등색 실험과 CIE XYZ
색을 "측정한다"는 말은 무엇을 뜻하는가. 측색학(colorimetry)의 답은 놀랄 만큼 조작적이다. 관측자에게 시험광과 세 원색의 혼합광을 나란히 보여 주고, 둘이 구별되지 않을 때까지 세 원색의 양을 조절한다. 그 세 숫자가 곧 색이다. 이 장에서는 이 실험이 어떻게 선형대수 문제가 되는지, 왜 실제 원색으로는 음수가 피할 수 없는지, 그리고 CIE가 1931년에 왜 눈에 보이지 않는 가상 원색 XYZ를 표준으로 골랐는지를 계산으로 확인한다.
- 이분 시야 등색 실험의 절차를 설명하고, 음의 원색량이 물리적으로 무엇을 뜻하는지 말할 수 있다.
- 그라스만 법칙으로부터 색 매칭이 3차원 선형 시스템이라는 결론을 유도하고, 메타머 블랙(영공간)을 계산한다.
- 원색 변환 정리를 써서 한 등색 함수 집합을 다른 집합의 3×3 선형 변환으로 바꾸고, 최소자승 피팅의 잔차를 해석한다.
- CIE XYZ의 설계 조건(음수 없음, Y = 휘도, 등에너지 백색에서 X = Y = Z)과 가상 원색의 의미를 설명한다.
- 3자극치 적분을 직접 수행하고, 적분 간격과 관측자(2°·10°) 선택이 결과에 주는 영향을 정량적으로 따진다.
색을 숫자로 만드는 조작적 정의
1장에서 빛은 분광 분포(SPD) \( S(\lambda) \), 즉 파장마다 값을 갖는 함수였다. 380–780 nm를 1 nm 간격으로 적으면 401개의 숫자다. 그런데 2장에서 본 것처럼 사람의 눈은 이 함수를 세 종류의 원추세포 L·M·S로 적분해 세 개의 숫자만 뇌로 보낸다. 401차원 공간에서 3차원 공간으로 가는 선형 사상이고, 그 영공간(null space)은 398차원이다. 서로 다른 스펙트럼이 같은 색으로 보이는 메타머리즘은 이 거대한 영공간의 직접적인 결과다.
문제는 1920년대에는 원추세포의 분광 감도를 직접 잴 방법이 없었다는 것이다. 그래서 측색학은 생리학 대신 행동 실험을 택했다. "두 빛이 같아 보인다"는 판단은 관측자가 매우 정밀하고 재현성 있게 내릴 수 있다. 같아 보이는지 여부만 묻는다면, 관측자는 눈 안의 메커니즘을 몰라도 영점 검출기(null detector)로 쓸 수 있다. 휘트스톤 브리지가 검류계의 영점으로 저항을 재듯, 등색 실험은 눈의 "구별 불가"를 영점 삼아 색을 잰다.
측정 결과는 시험광 \( C \)에 대한 세 원색의 양 \( (R, G, B) \)이고, 이를 3자극치(tristimulus values)라 부른다. 이 정의는 원색의 선택과 그 단위에 의존한다. 같은 빛이라도 원색을 바꾸면 3자극치가 바뀐다. 그런데도 측색학이 성립하는 것은 원색을 바꿔도 결과가 3×3 행렬 하나로 변환되기 때문이다. 이 장의 줄거리는 이 한 문장을 증명하고 이용하는 과정이다.
등색 실험(행동 데이터) → 그라스만 법칙(선형성) → 단색광별 3자극치 = 등색 함수(CMF) → 원색 변환 정리(3×3 행렬) → 공학적으로 편한 원색 XYZ 선택 → 임의 스펙트럼을 CMF로 적분해 XYZ 계산. 이후의 모든 장(색도도, RGB 색공간, Lab, 카메라, 디스플레이)은 이 XYZ에서 출발한다.
이분 시야 실험과 음의 원색량
실험의 표준 형태는 다음과 같다. 원색으로 서로 독립인 세 빛(어느 둘을 섞어도 나머지 하나를 만들 수 없는 빛) R, G, B를 정한다. 시험광으로는 단색광을 쓰고, 파장 \( \lambda \)를 가시 영역 전체에 걸쳐 바꿔 가며 매번 등색이 되는 원색량을 기록한다. 시험광의 복사속을 1단위로 고정하면, 파장마다 얻은 세 숫자는 파장의 함수가 된다.
그런데 실제 실험을 해 보면 곤란한 일이 생긴다. 예컨대 500 nm 청록 단색광은 어떤 양의 R, G, B를 섞어도 맞출 수 없다. G와 B를 섞으면 색상은 비슷해지지만 혼합광은 언제나 단색광보다 탁하다(채도가 낮다). 해결책은 원색 하나를 반대편, 즉 시험광 쪽에 더하는 것이다. 시험광에 R을 조금 섞어 채도를 떨어뜨리면 G+B 혼합과 맞출 수 있다.
그라스만 법칙(다음 절)이 보장하는 가법성 덕분에 등식을 대수처럼 이항할 수 있고, 시험광 쪽에 더한 원색은 음의 계수로 기록된다. 음수는 실험상의 편법이 아니라 본질이다. 세 원추 감도가 서로 크게 겹쳐 있어서, 어떤 실재 원색도 L·M·S 중 하나만 자극할 수 없기 때문이다. 세 실재 원색이 만드는 원추 반응의 볼록 원뿔은 스펙트럼 단색광들이 만드는 원뿔을 다 덮지 못하고, 덮지 못한 바깥 부분이 음수로 나타난다(4장에서 이것이 색도도 위 삼각형과 말굽 궤적의 관계로 보인다).
가상 등색 실험 — 세 원색으로 단색광 맞추기
시뮬레이터는 Stiles–Burch 1955 2° 데이터(CB.rgbCMF)를 "관측자"로 쓴다. 두 반쪽의 색은 모두 같은 r̄ḡb̄ 공간에서 계산한 뒤 같은 3×3 행렬로 XYZ와 sRGB로 바꾸므로, 슬라이더가 정답과 일치하면 두 반쪽은 수치적으로 정확히 같아진다. 실제 실험에서는 관측자 간 편차가 있어서 개인의 등색값은 평균 CMF에서 수 % 벗어나며, 표준 관측자는 이런 개인들의 평균이다.
음의 R은 빛을 흡수하거나 빼는 장치가 아니다. 실험에서는 언제나 양의 빛만 더한다. 다만 더하는 위치가 반대편일 뿐이다. 디스플레이가 음의 원색량을 낼 수 없다는 사실이 곧 "가멋 밖의 색"이며, 이는 5장의 주제다.
그라스만 법칙: 색 매칭은 선형 시스템이다
1853년 그라스만(H. Grassmann)이 정리한 가법 혼색의 경험 법칙은 등색 관계 \( \equiv \)가 벡터 공간의 등식처럼 행동한다는 진술이다. 현대적 형태로 쓰면 네 가지다.
| 법칙 | 진술 | 선형대수적 의미 |
|---|---|---|
| 대칭성 (symmetry) | \( A \equiv B \Rightarrow B \equiv A \) | 등가 관계 |
| 추이성 (transitivity) | \( A \equiv B,\; B \equiv C \Rightarrow A \equiv C \) | 등가 관계 (등색 클래스 = 한 점) |
| 비례성 (proportionality) | \( A \equiv B \Rightarrow kA \equiv kB \) | 스칼라 곱 보존 (동차성) |
| 가법성 (additivity) | \( A \equiv B,\; C \equiv D \Rightarrow A{+}C \equiv B{+}D \) | 벡터 합 보존 |
대칭성과 추이성은 등색이 등가 관계임을 말한다. 따라서 스펙트럼 공간을 "같아 보이는 것끼리" 묶은 등색 클래스를 하나의 점으로 볼 수 있다. 비례성과 가법성은 이 점들의 공간이 스펙트럼의 덧셈과 스칼라 곱을 그대로 물려받는다는 뜻이다. 따라서 스펙트럼에서 3자극치로 가는 사상은 선형이다. 그리고 원색이 셋이면 충분하다는 실험 사실(삼색성)이 이 공간이 3차원임을 정한다.
임의의 스펙트럼 \( S(\lambda) \)는 단색광들의 합(적분)이므로, 가법성과 비례성을 단색광 하나하나에 적용하면 곧바로 적분식이 나온다.
선형성의 가장 강력한 귀결은 메타머 블랙(metameric black)이다. \( A^\top \mathbf b = 0 \)인 스펙트럼 성분 \( \mathbf b \), 즉 등색 함수 행렬의 영공간에 있는 성분은 어떤 스펙트럼에 더해도 3자극치를 바꾸지 않는다. 임의의 섭동 \( \mathbf p \)에서 CMF 성분을 사영해 빼면 블랙이 된다.
메타머 블랙 — 등색 함수의 영공간
XYZ 세 숫자만 저장하면 그 광원·관측자 조건에서의 색은 완전히 기술되지만 스펙트럼은 복원할 수 없다. 조명이 바뀔 수 있는 제품(자동차 내장재, 도료, 섬유)은 그래서 분광 반사율로 사양을 관리하고, 특수 메타머리즘 지수(CIE 015)처럼 광원을 바꿨을 때의 색차를 따로 평가한다. 카메라 센서가 CMF의 선형 결합이 아니면 생기는 색 오차(12장)도 같은 구조의 문제다.
RGB 등색 함수: Wright–Guild와 Stiles–Burch
CIE 1931 표준 관측자의 원천 데이터는 영국에서 독립적으로 수행된 두 실험이다. 라이트(W. D. Wright, 1928–29)는 10명, 길드(J. Guild, 1931)는 7명의 관측자로 2° 이분 시야 실험을 했다. 두 실험은 서로 다른 원색을 썼지만 그라스만 법칙 덕분에 공통 원색으로 변환해 평균할 수 있었다. CIE가 채택한 공통 원색은 단색광 700 nm, 546.1 nm, 435.8 nm다. 뒤의 둘은 수은 방전관의 휘선이어서 실험실에서 정확히 재현할 수 있고, 700 nm는 그 부근에서 색도가 거의 변하지 않아 파장 오차에 둔감하다.
단위는 등에너지 백색 E(모든 파장에서 같은 복사 파워)를 세 원색의 같은 양으로 맞추도록 정했다. 그 결과 세 원색 단위의 휘도비는 \( L_R : L_G : L_B = 1 : 4.5907 : 0.0601 \)이다. 이 단위계에서는 \( \int\bar r\,d\lambda = \int\bar g\,d\lambda = \int\bar b\,d\lambda \)가 된다.
이 책의 공통 데이터 CB.rgbCMF는 Wright–Guild 데이터가 아니라 Stiles–Burch 1955 2° 등색 함수다. 이는 국립물리연구소(NPL)에서 10명의 관측자로 측정한 것으로, 원색은 645.16, 526.32, 444.44 nm이고, 단위는 복사 단위(각 원색의 등색 함수 값이 자기 원색 파장에서 1)다. 1931년 데이터와 달리 휘도 측정에 V(λ)를 끌어들이지 않고 직접 3자극치를 측정했기 때문에 측색학적으로 더 신뢰할 수 있는 2° 데이터로 평가받는다. 데이터는 390–730 nm 범위만 정의되어 있다.
| 데이터 | 원색 (nm) | 시야 · 관측자 | 단위 | 비고 |
|---|---|---|---|---|
| CIE 1931 RGB (Wright–Guild) | 700 / 546.1 / 435.8 | 2° · 17명 | E 백색 = 같은 양 | CIE 1931 XYZ의 원천 |
| Stiles–Burch 1955 | 645.16 / 526.32 / 444.44 | 2° · 10명 | 복사 단위 | 이 책의 CB.rgbCMF |
| Stiles–Burch 1959 | 645.16 / 526.32 / 444.44 | 10° · 49명 | 복사 단위 | CIE 1964 10° 관측자의 주 데이터 |
| CIE 1931 x̄ȳz̄ | 가상 원색 | 2° | ȳ = V(λ) | CB.cmf(nm) |
| CIE 1964 x̄₁₀ȳ₁₀z̄₁₀ | 가상 원색 | 10° | E 백색에서 X=Y=Z | CB.cmf(nm,'1964') |
| Stockman–Sharpe (CIE 170-1:2006) | 원추 L·M·S | 2° | 각 최대 1 | CB.lms(nm) |
원색 집합이 바뀌면 곡선 모양이 어떻게 달라지는지 직접 비교해 보자. "사용자 원색"에서는 세 단색광 파장을 고르면 그 원색의 등색 함수를 CIE 1931 x̄ȳz̄에서 계산한다. 실험을 다시 할 필요가 없다는 것, 이것이 다음 절의 원색 변환 정리다.
등색 함수 비교 — r̄ḡb̄ · x̄ȳz̄ · LMS · 사용자 원색
Wright–Guild 실험은 휘도를 직접 재지 않고 3자극치를 상대값(색도 좌표)으로 기록했다. 이후 CIE 1924 V(λ)를 이용해 절대 크기를 복원했는데, 당시 V(λ)가 460 nm 아래 단파장에서 감도를 과소평가하고 있었다. 그 오차가 1931 ȳ와 z̄에 그대로 남아 있다. Judd(1951)와 Vos(1978)의 보정안, CIE 170-1:2006의 원추 기반 관측자가 이를 고치려는 시도다. 다음 절의 피팅에서 잔차가 단파장에 몰리는 것도 이와 관련이 있다. 그럼에도 산업 표준은 지금도 1931/1964 관측자다. 수십 년 치 측정 데이터와 호환되어야 하기 때문이다.
원색 변환 정리와 최소자승 피팅
원색 집합 \( \{\mathbf P_1,\mathbf P_2,\mathbf P_3\} \)에서 다른 집합 \( \{\mathbf Q_1,\mathbf Q_2,\mathbf Q_3\} \)로 바꾸는 것은 3차원 벡터 공간의 기저 변환이다. 새 원색 각각을 옛 원색으로 등색하면 3×3 행렬 \( M \)을 얻는다. \( M \)의 j번째 열은 \( \mathbf Q_j \)의 옛 3자극치다.
단색광 원색이라면 \( M \)을 예측하기도 쉽다. 원색 \( \mathbf Q_j \)가 파장 \( \lambda_j \)의 단색광 1 복사 단위라면, 그 XYZ는 정의상 \( \bar{\mathbf x}(\lambda_j) \)다. 따라서 Stiles–Burch r̄ḡb̄(복사 단위)에서 x̄ȳz̄로 가는 행렬의 열은 \( \bar{\mathbf x}(645.16),\ \bar{\mathbf x}(526.32),\ \bar{\mathbf x}(444.44) \)이어야 한다. 하지만 두 데이터는 서로 다른 관측자 집단에서 나왔으므로 정확히 하나의 행렬로 연결되지 않는다. 실무에서는 전 파장에 걸친 최소자승으로 \( M \)을 구한다.
r̄ḡb̄ → x̄ȳz̄ 3×3 최소자승 피팅과 잔차
결과를 정리하면 다음과 같다(5 nm 간격, 390–730 nm). Stiles–Burch 1955에서 CIE 1931로 가는 최소자승 행렬은
두 CMF 집합이 같은 관측자에서 나왔다면 잔차는 측정 잡음 수준이어야 한다. 잔차가 수 % 이상이면 두 집합은 다른 관측자이고, 어떤 행렬로도 모든 스펙트럼에서 일치시킬 수 없다. 카메라 분광 감도가 CMF의 선형 결합이 아닐 때(루터 조건 위배) 생기는 오차와 정확히 같은 수학이다.
CIE XYZ: 가상 원색을 고른 이유
원색은 아무 셋이나 고를 수 있으므로 CIE는 1931년 계산하기 편한 원색을 설계했다. 당시는 탁상 계산기로 적분하던 시대였고, 음수가 섞인 곡선은 부호 실수의 원천이었다. 설계 조건은 다음과 같다.
- 음수 없음: 모든 파장에서 \( \bar x, \bar y, \bar z \ge 0 \). 원색 삼각형이 스펙트럼 궤적 전체를 감싸야 하므로 원색은 실재할 수 없는 가상 원색(imaginary primaries)이 된다.
- Y = 휘도: \( \bar y(\lambda) = V(\lambda) \)(CIE 1924 명소시 비시감도). 그러려면 X와 Z 원색은 휘도가 0이어야 하고, 둘 다 휘도 0 직선인 알리크네(alychne) 위에 놓인다. 색도(x, y)와 밝기(Y)가 깔끔하게 분리된다.
- E 백색에서 X = Y = Z: 세 곡선의 면적이 같다. 등에너지 백색의 색도가 \( (1/3, 1/3) \)이 된다.
- 계산 편의: 650 nm 이상에서 \( \bar z = 0 \)이 되도록 삼각형의 한 변을 스펙트럼 궤적의 장파장 직선 부분에 맞췄다. 장파장 쪽은 두 함수만 적분하면 된다.
x̄ȳz̄ 면적이 같은지는 내장 데이터로 바로 확인된다. 380–780 nm, 5 nm 합으로 \( \sum\bar x\,\Delta\lambda = 106.858,\ \sum\bar y\,\Delta\lambda = 106.857,\ \sum\bar z\,\Delta\lambda = 106.858 \)이다. 10° 관측자는 116.65 / 116.66 / 116.67이다. Y가 V(λ)라는 조건 덕분에 발광체의 Y에 \( K_m = 683\ \text{lm/W} \)를 곱하면 광속이나 휘도 같은 측광량이 된다(1장).
XYZ와 원추 반응 LMS
XYZ는 생리학에서 출발하지 않았지만, 그라스만 법칙이 성립하는 한 모든 등색 함수 집합은 원추 기본함수의 선형 변환이어야 한다. 실제로 색 외관 모델과 색순응 모델은 XYZ에 3×3 행렬을 곱해 "원추 비슷한" 공간으로 간다. 대표적인 것이 Hunt–Pointer–Estevez(HPE) 행렬이다(E 백색 정규화).
CB.lms)를 x̄ȳz̄로 최소자승 피팅하면 상대 RMS 잔차가 L 약 2%, M 약 2%, S 약 13%로, 1931 관측자는 원추 공간의 근사적 선형 변환이다. S 잔차가 큰 것은 앞서 본 단파장 오차 탓이다. 색순응 행렬(Bradford, CAT02)은 8장에서 다룬다.X, Y, Z는 어떤 물리적 빛으로도 만들 수 없다. XYZ = (1, 0, 0)인 빛은 존재하지 않는다. XYZ 값의 쓰임은 계산과 교환이고, 화면에 보일 때는 반드시 sRGB나 P3 같은 실재 원색 공간으로 변환하고 음수·1 초과 값은 클리핑하거나 가멋 매핑해야 한다(5장).
3자극치 적분: 발광체와 물체색
등색 함수가 준비되면 어떤 빛의 XYZ도 적분 하나로 구할 수 있다. 실무에서는 표로 주어진 데이터를 쓰므로 적분은 합이 된다. 두 경우를 구분한다.
CB.spd2XYZ(R, {illum, observer, step})가 이 식을 그대로 계산한다.적분 간격 \( \Delta\lambda \)는 얼마로 해야 할까. CIE 015:2018은 1 nm 간격을 기준으로 하고, 매끈한 스펙트럼이면 5 nm 간격도 충분하다고 본다. 분광광도계는 흔히 10 nm(때로 20 nm) 간격으로 반사율을 내놓는다. 이때 CMF를 단순히 10 nm마다 뽑아 쓰면 오차가 커지므로, ASTM E308은 10·20 nm 간격 데이터에 바로 곱할 수 있는 3자극치 가중치 표를 광원·관측자 조합별로 제공한다. 이 가중치는 사이 파장의 CMF와 광원 정보를 보간 이론으로 흡수하고, 측정기 대역폭 보정 유무에 따라 두 종류로 나뉜다.
3자극치 적분 계산기 — 광원 × 반사율 × CMF, 적분 간격별 오차
| 광원 | 5 nm 최대 ΔE00 | 10 nm 최대 ΔE00 | 20 nm 최대 ΔE00 | 해석 |
|---|---|---|---|---|
| D65 (주광) | 0.09 | 0.07 | 0.20 | 매끈한 분포. 10 nm면 충분 |
| A (백열) | 0.09 | 0.07 | 0.11 | 가장 매끈함 |
| LED-B3 (백색 LED) | 0.14 | 0.08 | 1.61 | 청색 피크(FWHM 수십 nm) |
| FL2 (냉백색 형광) | 0.09 | 3.25 | 1.38 | 수은 휘선 + 광대역 형광체 |
| FL11 (3파장 형광) | 0.14 | 3.86 | 9.12 | 협대역 형광체 → 1·5 nm 필수 |
표는 TCS01–14 열네 시료에 대해 1 nm 합을 기준으로 단순 부분 샘플링한 오차의 최댓값이다(이 페이지의 데이터로 계산, CIE 1931 2°). 단순 샘플링은 ASTM E308 가중치보다 훨씬 나쁜 최악의 경우다. 그래도 결론은 분명하다. 협대역 광원(형광등, 레이저, 일부 LED)을 다룰 때는 5 nm 이하 간격이 필요하다.
분광광도계 사양의 "파장 간격 10 nm"와 "대역폭 10 nm"는 다른 말이다. 간격은 샘플링, 대역폭은 각 샘플이 얼마나 넓은 파장을 섞는지다. 표면색(반사율)은 대체로 매끈해서 10 nm 측정 + ASTM E308 가중치가 업계 표준(ISO/CIE 11664-3 계열 절차와 함께)으로 쓰인다. 광원 측정(분광복사계)에서는 1–5 nm 간격과 좁은 대역폭이 필요하다. 측정기 쪽 이야기는 11장에서 다룬다.
2° 관측자와 10° 관측자
1931 관측자는 2° 시야로 측정했다. 2°는 팔 길이에서 엄지손톱 정도이며, 원추세포가 빽빽하고 황반 색소가 짙은 중심와 영역에 해당한다. 그런데 실제로 우리가 색 견본을 비교할 때는 이보다 훨씬 넓은 시야를 쓴다. 시야가 넓어지면 황반 색소가 옅은 주변부가 포함되어 단파장 감도가 올라가고, 원추 광색소의 유효 광학 밀도도 달라진다. 그래서 CIE는 1964년 10° 시야의 보조 표준 관측자 x̄₁₀ȳ₁₀z̄₁₀을 정했다. 주 데이터는 Stiles–Burch(1959, 49명)와 Speranskaya(1959, 27명)의 10° 실험이다.
CIE 015는 시야각이 약 4°보다 크면 10° 관측자를 쓰라고 권고한다. 그래서 산업별 관례가 갈린다. 도료·플라스틱·섬유·인쇄 품질 관리의 표면색 측정은 D65/10°(인쇄는 ISO 13655에 따라 D50/2°도 흔함)를 많이 쓰고, 디스플레이·조명·영상 표준(sRGB, Rec.709/2020, CCT, CRI)은 2°로 정의되어 있다. 같은 시료라도 관측자가 다르면 숫자가 달라지므로, 측정 보고서에는 언제나 "D65/10°"처럼 광원/관측자를 함께 적는다.
| 광원 | 2° 백색 (X, Y, Z) | 2° xy | 10° 백색 (X, Y, Z) | 10° xy |
|---|---|---|---|---|
| D65 | 95.04, 100, 108.88 | 0.3127, 0.3290 | 94.81, 100, 107.32 | 0.3138, 0.3310 |
| D50 | 96.42, 100, 82.51 | 0.3457, 0.3585 | 96.72, 100, 81.43 | 0.3477, 0.3595 |
| A | 109.85, 100, 35.58 | 0.4476, 0.4074 | 111.14, 100, 35.20 | 0.4512, 0.4059 |
표의 값은 내장 원표로 5 nm 합을 계산한 것이다. CIE 015 공표값과 소수 둘째 자리까지 일치한다(D65/2°의 Z는 1 nm 기준 108.85, 5 nm 기준 108.88로 간격에 따라 셋째 자리가 바뀐다).
같은 시료, 다른 관측자 — 2° vs 10°
10°로 측정한 Lab 목표값을 2°로 측정한 생산품과 비교하면, 아무 문제 없는 청색 시료에서도 ΔE00가 수 단위 나올 수 있다. 색차 허용치가 ΔE00 1–2인 산업에서는 치명적이다. 측정기 설정(광원/관측자), 백색 기준(\( X_n, Y_n, Z_n \))을 목표값과 반드시 일치시켜야 한다.
모든 색 계산의 공통 화폐, XYZ
이 장에서 얻은 결론은 단순하다. 스펙트럼이 주어지면 표준 관측자와 광원을 지정해 적분 한 번으로 XYZ를 얻는다. 그리고 그 뒤의 모든 색 표현은 XYZ의 함수다. 색도 좌표는 XYZ의 사영이고, RGB 색공간은 XYZ의 3×3 변환에 전달 함수를 붙인 것이며, CIELAB은 백색 기준으로 나눈 XYZ의 비선형 함수다. ICC 색 관리의 프로파일 연결 공간(PCS)도 D50 XYZ(또는 그로부터 계산한 Lab)다.
예를 들어 CRI 시험색 TCS01(연한 적회색)을 D65 · 2° · 5 nm로 적분하면 \( (X, Y, Z) = (32.99,\ 29.78,\ 24.51) \), 색도는 \( (x, y) = (0.3780,\ 0.3412) \)이다. D65 백색 \( (95.04,\ 100,\ 108.88) \)으로 정규화한 CIELAB은 \( (L^*, a^*, b^*) = (61.5,\ 17.5,\ 11.9) \)다. 같은 시료를 10° 관측자로 보면 \( (61.0,\ 17.3,\ 10.9) \)이다. 이 숫자들은 어떤 회사의 어떤 장비에서든 같은 원표와 같은 절차를 쓰면 재현된다. 이것이 1931년 CIE가 만든 체계의 가치다.
XYZ에서 밝기 Y를 떼어 내고 방향만 남기면 2차원 색도도가 된다. 가법 혼합이 직선이 되는 그 평면에서, 이 장의 음수 로브와 가상 원색이 어떤 모양으로 보이는지 4장 색도도에서 이어서 본다.
핵심 정리
- 측색학은 관측자의 "구별 불가" 판단을 영점 검출기로 쓰는 등색 실험으로 색을 정의한다. 시험광과 세 원색 혼합을 2° 이분 시야에서 맞춘다.
- 어떤 실재 원색 셋으로도 맞출 수 없는 단색광이 있다. 원색을 시험광 쪽에 더해 맞추고, 그 양을 음수로 기록한다. 원추 감도가 겹쳐 있는 한 음수는 피할 수 없다.
- 그라스만 법칙(대칭·추이·비례·가법)은 색 매칭을 스펙트럼 공간에서 ℝ³로 가는 선형 사상으로 만든다. 그 영공간 성분이 메타머 블랙이며, 블랙은 특정 광원·관측자에서만 블랙이다.
- 원색 변환 정리: 서로 다른 원색의 등색 함수는 3×3 행렬로 연결된다. Stiles–Burch 1955 → CIE 1931 최소자승 행렬의 열은 원색 파장의 x̄ȳz̄와 거의 같고, 잔차는 1931 데이터의 단파장 오차를 드러낸다(Z 상대 RMS ≈ 14%).
- CIE XYZ는 가상 원색이다. x̄ȳz̄ ≥ 0, ȳ = V(λ)(X·Z는 알리크네 위), 세 곡선 면적이 같아 E 백색에서 X = Y = Z가 되도록 설계했다. 원추 LMS의 근사적 선형 변환이다(HPE 행렬).
- 물체색: \( X = k\sum S R \bar x \Delta\lambda \), \( k = 100/\sum S\bar y\Delta\lambda \). 매끈한 스펙트럼은 10 nm로 충분하지만, 협대역 광원은 20 nm에서 ΔE00가 9를 넘을 수 있다. 10·20 nm 데이터에는 ASTM E308 가중치를 쓴다.
- 2°(1931)와 10°(1964) 관측자는 같은 시료에 다른 숫자를 준다(D65 백색 xy 0.3127,0.3290 vs 0.3138,0.3310; 청색 시료 ΔE00 최대 ≈ 8). 보고서에는 언제나 광원/관측자를 함께 쓴다.
- XYZ는 모든 색 계산의 공통 화폐다. D65/2°에서 TCS01의 Lab = (61.5, 17.5, 11.9).
확인 퀴즈
Q1. 이분 시야 실험에서 500 nm 단색광을 맞추기 위해 R 원색을 시험광 쪽에 0.3단위 더했다. 기록되는 r̄(500)은?
Q2. 색 매칭이 스펙트럼에 대한 선형 사상이라는 결론에 직접 필요한 그라스만 법칙의 조합은?
Q3. D65·2°로 설계한 메타머 블랙을 회색 시료에 더했다. 다음 중 XYZ가 변하지 않는 조건은?
Q4. 원색이 각각 파장 λ₁, λ₂, λ₃의 단색광 1 복사 단위인 RGB 등색 함수를 x̄ȳz̄로 바꾸는 행렬 M의 j번째 열은 이론적으로 무엇인가?
Q5. CIE XYZ 원색 X와 Z가 알리크네 위에 놓이도록 한 이유는?
Q6. x̄, ȳ, z̄의 380–780 nm 면적이 같다는 설계 조건의 결과는?
Q7. 물체색 계산에서 \( k = 100 / \sum S(\lambda)\bar y(\lambda)\Delta\lambda \)로 두는 의미는?
Q8. 3파장 형광등 FL11 아래에서 적색 시료의 XYZ를 20 nm 간격 단순 샘플링으로 계산했더니 1 nm 결과와 ΔE00 ≈ 9가 났다. 가장 적절한 대응은?
Q9. 도료 공장의 품질 기준이 "D65/10°에서 ΔE00 ≤ 1.0"이다. 납품 업체가 D65/2° Lab 데이터를 보내왔다. 옳은 처리는?