Chapter 01

결정 구조

300 mm 실리콘 웨이퍼 한 장에는 원자가 약 3×10²⁴개 있다. 그 많은 원자가 웨이퍼 끝에서 끝까지 한 치 어긋남 없이 같은 무늬로 늘어서 있다. 그래서 웨이퍼 가장자리에 1 mm 남짓한 홈(노치) 하나만 파 두면 30 cm 떨어진 반대편 원자 열의 방향까지 알 수 있고, 수산화 포타슘 용액은 그 무늬를 따라 정확히 54.7° 기울어진 벽을 깎아 낸다. 이 장은 그 무늬를 이름 붙이고 세는 법이다. 격자와 기저, 단위 셀, 14가지 브라베 격자, 공을 빽빽이 쌓는 두 가지 방법, 그리고 결정면을 부르는 밀러 지수까지. 아래 화면에서는 원자층이 한 장씩 내려앉는다. 세 번째 층을 어디에 놓느냐에 따라 전혀 다른 결정이 된다.

누르면 ABAB ↔ ABC · 끌어서 돌리기

격자와 기저, 단위 셀

소금 알갱이를 확대경으로 보면 반듯한 정육면체다. 원자 수준에서 같은 배열이 끝없이 되풀이되기 때문이다. 이렇게 원자 배열이 3차원으로 주기적으로 반복되는 고체를 결정(crystal)이라 한다. 결정을 기술하는 요령은 "무엇이 되풀이되는가"와 "어떻게 되풀이되는가"를 나누는 것이다.

격자와 기저

격자(lattice)는 되풀이의 규칙만 담은 수학적 점들의 무한 집합이다. 어느 격자점에 서서 보아도 주위가 방향까지 똑같아 보인다. 이런 점 집합을 브라베 격자(Bravais lattice)라 한다. 각 격자점에 똑같이 붙는 원자(또는 원자 묶음)가 기저(basis)다. 결정 구조 = 격자 + 기저.

격자 (점들) + 기저 (원자 묶음)격자점마다 똑같이 붙는다 = 결정 구조
격자는 위치만 있는 점들이고, 기저는 그 점마다 똑같이 붙이는 원자 묶음이다. 원자 두 개를 한 묶음으로 붙였으므로 이 결정은 "격자 + 기저 2개"다. 실리콘도 이렇게 원자 두 개를 한 묶음으로 붙인 결정이다.

3차원 브라베 격자의 모든 점은 세 기본 벡터(primitive vectors) \(\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3\)의 정수 조합으로 닿을 수 있다.

$$\vec R = n_1\vec a_1 + n_2\vec a_2 + n_3\vec a_3, \qquad n_1, n_2, n_3 \in \mathbb Z$$
\(\vec R\)을 격자 벡터라 한다. 결정을 \(\vec R\)만큼 옮기면 자기 자신과 완전히 겹친다(병진 대칭). 다음 장의 역격자도, 8장의 블로흐 정리도 모두 이 식에서 출발한다.

세 기본 벡터가 만드는 평행육면체를 기본 단위 셀(primitive unit cell)이라 한다. 이 셀을 모든 \(\vec R\)만큼 옮기면 공간이 빈틈도 겹침도 없이 채워지고, 셀 하나에 격자점은 정확히 하나다(꼭짓점 8개 × ⅛). 부피는 \(V_c = |\vec a_1\cdot(\vec a_2\times\vec a_3)|\)이다. 기본 벡터를 고르는 방법은 무수히 많지만 부피는 모두 같다.

기본 셀은 대칭이 잘 안 보일 때가 많다. 그래서 격자점이 여러 개 들어가더라도 격자의 대칭(직각, 같은 변 길이)을 그대로 드러내는 더 큰 셀을 쓰는데, 이것이 관용 단위 셀(conventional unit cell)이다. 입방정의 정육면체가 대표적이며, 그 모서리 길이가 격자 상수(lattice constant) \(a\)다. 실리콘은 \(a = 0.5431\) nm이다.

먼저 2차원에서 격자와 기저를 직접 바꿔 보자. 두 번째 원자를 끌어 특별한 자리(점선 표시)에 놓으면 무슨 일이 생기는지 보라.

주황 원자를 끌어 보세요
격자
MINI LAB점선 평행사변형이 기본 셀이다. 정사각 격자에서 같은 원자를 \((\tfrac12,\tfrac12)\)에 놓으면 모든 원자가 동등해져 "기저 2개"가 아니라 넓이가 절반인 새 격자가 된다. 육방 격자에서 \((\tfrac13,\tfrac13)\)에 놓으면 그래핀의 벌집이 나오는데, 벌집은 원자가 모두 같아도 브라베 격자가 아니다.

2차원에서는 기본 벡터 두 개 \(\vec a_1, \vec a_2\)(길이와 사잇각 \(\gamma\))만으로 격자가 정해진다. 아무렇게나 고르면 비스듬한 사각 격자(경사 격자)가 되고, 길이와 각이 특별한 관계를 만족할 때만 대칭이 더 높은 격자가 된다. 그렇게 해서 2차원 브라베 격자는 정확히 5가지다.

2차원 격자기본 벡터 조건관용 셀
사각(경사)\(|\vec a_1| \ne |\vec a_2|\), \(\gamma\) 임의평행사변형
직사각\(|\vec a_1| \ne |\vec a_2|\), \(\gamma = 90°\)직사각형
중심 직사각\(|\vec a_1| = |\vec a_2|\), \(\gamma\) 임의 (마름모)중심에 점이 있는 직사각형(격자점 2개)
정사각\(|\vec a_1| = |\vec a_2|\), \(\gamma = 90°\)정사각형
육방\(|\vec a_1| = |\vec a_2|\), \(\gamma = 120°\) (또는 60°)마름모(120°)
SIMULATOR

2차원 격자 실험대

두 화살표 끝을 끌어 보세요
과녁(만들 격자)
완성한 격자
|a₁|, |a₂|—
사잇각 γ—
기본 셀 넓이—
격자 종류—
해볼 것: ① 과녁(속 빈 원)에 \(\vec a_2\) 끝을 맞춰 다섯 격자를 모두 만들어 보라. 근처에 가면 자석처럼 붙는다. ② 정사각 격자를 만든 뒤 \(\vec a_2\)를 \(\vec a_2 + \vec a_1\) 자리로 옮겨 보라. 기본 벡터는 바뀌었지만 격자점과 셀 넓이, 위그너–자이츠 셀은 그대로다. ③ 중심 직사각 격자에서 위그너–자이츠 셀(초록 육각형)과 관용 셀(점선 직사각형, 넓이 2배)을 비교하라.

시뮬레이터의 초록 다각형이 위그너–자이츠 셀(Wigner–Seitz cell)이다. 한 격자점에서 다른 어느 격자점보다 그 점에 더 가까운 영역으로, 다음처럼 만든다. 기본 벡터를 어떻게 고르든 모양이 하나로 정해지고 격자의 대칭을 모두 가진다는 것이 장점이다. 넓이(부피)는 기본 셀과 같다.

O 위그너–자이츠 셀 만들기 ① 격자점 하나(O)를 고른다 ② 가까운 이웃 점들과 잇는다 ③ 각 선분을 수직이등분한다 ④ 이등분선이 O를 둘러싼 가장 작은 영역 = 셀 점선: 기본 벡터로 만든평행사변형 기본 셀 넓이가 같다: 격자점 1개짜리 셀 O에 더 가까운 점들의 영역— 격자의 대칭을 그대로 가진다
  1. 격자점 하나를 원점 O로 고른다.
  2. O를 가까운 이웃 격자점들과 선분으로 잇는다.
  3. 각 선분의 수직이등분선을 긋는다. 이등분선 위의 점은 O와 그 이웃에서 거리가 같다.
  4. 이등분선들이 O를 둘러싼 가장 작은 다각형이 위그너–자이츠 셀이다. 점선 평행사변형(기본 셀)과 넓이가 같다.
위그너–자이츠 셀 작도. 3차원에서는 수직이등분 면으로 똑같이 하며, 체심 입방 격자에서는 깎은 팔면체, 면심 입방 격자에서는 마름모 십이면체가 나온다. 같은 작도를 다음 장에서 역격자에 하면 브릴루앙 영역이 된다.

면심 입방 격자의 관용 셀(모서리 \(a\)인 정육면체)에는 격자점이 몇 개 있는가? 기본 벡터를 \(\vec a_1 = \tfrac a2(0,1,1)\), \(\vec a_2 = \tfrac a2(1,0,1)\), \(\vec a_3 = \tfrac a2(1,1,0)\)으로 고를 때 기본 셀 부피를 구하고 두 결과가 맞는지 확인하라.

풀이 보기
전략 꼭짓점은 셀 8개가, 면 중심은 2개가 나눠 가진다. 기본 셀 부피는 스칼라 삼중곱이다.
풀이 격자점 수: \(8\times\tfrac18 + 6\times\tfrac12 = 4\). 부피: \(\vec a_2\times\vec a_3 = \tfrac{a^2}{4}(0\cdot0-1\cdot1,\ 1\cdot1-1\cdot0,\ 1\cdot1-0\cdot1) = \tfrac{a^2}{4}(-1, 1, 1)\), \(\vec a_1\cdot(\vec a_2\times\vec a_3) = \tfrac{a^3}{8}(0 + 1 + 1) = \tfrac{a^3}{4}\).
관용 셀 격자점 4개, 기본 셀 부피 \(a^3/4\)
검토 관용 셀 부피 \(a^3\)을 격자점 수 4로 나누면 격자점 하나당 \(a^3/4\)이므로 기본 셀과 맞는다. 체심 입방이면 격자점 2개, 기본 셀 \(a^3/2\)이다.

7결정계와 14가지 브라베 격자

3차원 기본 셀은 변 길이 \(a, b, c\)와 사잇각 \(\alpha\)(\(b\)–\(c\)), \(\beta\)(\(c\)–\(a\)), \(\gamma\)(\(a\)–\(b\)) 여섯 개로 정해진다. 이 값들이 같거나 90°·120°가 되는 조건에 따라 결정계(crystal system) 7가지가 나온다. 결정계마다 관용 셀의 꼭짓점에만 격자점이 있는 단순(P) 격자가 있고, 몸 중심(I), 모든 면 중심(F), 한 쌍의 면 중심(C)에 격자점을 더해도 여전히 브라베 격자가 되는 경우가 있다. 겹치는 것을 빼면 모두 14가지다(브라베, 1848).

결정계셀 조건브라베 격자예
삼사정\(a \ne b \ne c\), \(\alpha \ne \beta \ne \gamma\)PK₂Cr₂O₇
단사정\(a \ne b \ne c\), \(\alpha = \gamma = 90° \ne \beta\)P, C단사 HfO₂ · ZrO₂
사방정\(a \ne b \ne c\), 세 각 모두 90°P, C, I, F강유전 HfO₂(Pca2₁), α-S
정방정\(a = b \ne c\), 세 각 모두 90°P, ITiO₂(루틸), β-Sn, 정방 BaTiO₃
삼방정\(a = b = c\), \(\alpha = \beta = \gamma \ne 90°\)RBi, Sb, Al₂O₃(사파이어)
육방정\(a = b \ne c\), \(\alpha = \beta = 90°\), \(\gamma = 120°\)PMg, Zn, GaN, 4H-SiC
입방정\(a = b = c\), 세 각 모두 90°P, I, FPo, Fe·W, Cu·Al·Si

목록에서 "정방정 C"나 "정방정 F"가 빠진 이유가 궁금할 것이다. 먼저 예측해 보고 아래 뷰어로 확인하자.

정방정계(\(a = b \ne c\))의 관용 셀 모든 면 중심에 격자점을 더한 "면심 정방정"은 14가지 목록에 없다. 왜일까?

면심 정방정은 브라베 격자이긴 하지만, 셀을 45° 돌려 \(a/\sqrt2\) 크기로 다시 잡으면 몸 중심에만 점이 있는 체심 정방정이 된다. 아래 단계 그림이 바로 그 작도다. 뷰어에서 "정방정 I"를 고르고 위에서 내려다보며 확인해 보라.
끌어서 돌리기
MINI LAB꼭짓점 격자점(청록)과 중심화로 더한 격자점(주황). 셀당 격자점 수는 P·R 1개, C·I 2개, F 4개다. 육방정 P는 120° 마름모 기둥 셀 세 개가 모여 육각기둥을 이룬다.
저심 정방정(C)을 c축 위에서 보면 a a′ = a/√2 → 더 작은 단순 정방정(P) 면심 정방정(F)도 마찬가지 ½½½½ → 몸 중심(높이 ½)에 점: 체심 정방정(I)
  1. 정방정 셀(\(a\times a\), 높이 \(c\))의 위아래 면 중심에 점을 더한 "저심 정방정"을 c축 방향에서 내려다본다. 점들은 모두 같은 높이에 있다.
  2. 45° 돌린 정사각형(변 a/√2)을 셀로 잡으면 꼭짓점에만 점이 있다. 새 격자가 아니라 더 작은 단순 정방정이다.
  3. 면심 정방정: 속 빈 원은 옆면 중심(높이 \(c/2\))이다. 같은 45° 셀을 잡으면 그 점이 셀의 몸 중심에 온다. 즉 체심 정방정과 같은 격자다.
14가지에 "저심 정방정"과 "면심 정방정"이 없는 이유. 입방정에 같은 작도를 하면 c/a′ = √2인 정방정 셀이 나와 입방 대칭이 셀에 드러나지 않는다. 그래서 대칭을 보여 주는 면심 입방(F)을 따로 센다.

14가지 격자에 기저를 붙이는 방법(원자 배치의 대칭)까지 분류하면 공간군 230가지가 된다. 고체물리와 반도체 공정에서 매일 만나는 것은 그중 몇 가지뿐이다. 입방정 Si·Ge·GaAs·Cu·W·TiN, 육방정 GaN·4H-SiC·Ti·Co, 정방정·사방정 HfO₂·ZrO₂(강유전 메모리), 삼방정 사파이어(GaN LED 기판) 정도다.

입방 격자와 조밀 쌓기

원소 결정 대부분은 세 입방 격자와 육방 조밀 구조 중 하나다. 원자를 단단한 공으로 보고 가장 가까운 원자끼리 닿는다고 하면 몇 가지 숫자로 구조를 비교할 수 있다. 원자 하나에 가장 가까운 이웃의 수를 배위수(coordination number) \(Z\), 셀 부피 가운데 공이 차지하는 비율을 채움률(packing fraction) \(f\)라 한다.

단순 입방(simple cubic, SC)

꼭짓점에만 원자. 셀당 \(8\times\tfrac18 = 1\)개. 모서리 방향으로 닿아 \(2r = a\). \(Z = 6\). 원소로는 폴로늄뿐이다.

체심 입방(body-centered cubic, BCC)

몸 중심에 하나 더: 셀당 2개. 몸대각선으로 닿아 \(4r = \sqrt3 a\). \(Z = 8\). Fe(α), W, Mo, Cr, Na.

면심 입방(face-centered cubic, FCC)

여섯 면 중심에 하나씩: 셀당 \(1 + 6\times\tfrac12 = 4\)개. 면 대각선으로 닿아 \(4r = \sqrt2 a\). \(Z = 12\). Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt.

$$f = \frac{N\cdot\tfrac43\pi r^3}{a^3}:\qquad f_\text{SC} = \frac{\pi}{6} = 0.524,\quad f_\text{BCC} = \frac{\sqrt3\,\pi}{8} = 0.680,\quad f_\text{FCC} = \frac{\sqrt2\,\pi}{6} = 0.740$$
\(N\)은 관용 셀의 원자 수, \(r\)는 최근접 원자가 닿을 때의 반지름이다. 채움률은 \(a\)와 무관하고 구조만으로 정해진다.

같은 크기의 공을 닿을 때까지 키우면, SC·BCC·FCC 가운데 채움률이 가장 큰 것은? 그리고 육방 조밀(HCP)은?

SC 52% < BCC 68% < FCC 74% = HCP 74%. FCC와 HCP는 똑같은 조밀 층을 쌓는 순서만 다르므로 채움률이 같다(케플러 추측: 74%가 같은 공의 최대 밀도). 아래에서 각 구조의 원자를 닿을 때까지 키워 확인하라.
SIMULATOR

단위 셀 뷰어: 닿을 때까지 키우기

끌어서 돌리기
닿게 만든 구조 (채움률)
셀당 원자—
배위수 Z—
최근접 거리—
채움률—
상태—
해볼 것: ① 구조마다 반지름을 키워 "닿음!"이 뜨게 하라(근처에서 저절로 맞춰진다). 배지에 채움률이 쌓인다. ② 다이아몬드 구조는 34%밖에 안 된다. 빈 공간이 많은 이유를 "이웃 보기"로 찾아보라. ③ 암염에서 반지름 비를 0.414 아래로 줄이면 큰 이온끼리 먼저 닿고 작은 이온은 구멍 속에서 헐렁해진다. 이온 결정의 구조가 반지름 비로 갈리는 이유다(CsCl은 0.732).
구조셀당 원자배위수최근접 거리닿는 반지름 r채움률
SC16\(a\)\(a/2\)0.524
BCC28\(\sqrt3 a/2\)\(\sqrt3 a/4\)0.680
FCC412\(a/\sqrt2\)\(\sqrt2 a/4\)0.740
HCP (이상적 \(c/a\))6 (육각기둥) · 2 (기본 셀)12\(a\)\(a/2\)0.740
다이아몬드84\(\sqrt3 a/4\)\(\sqrt3 a/8\)0.340

FCC와 BCC의 채움률을 셀당 원자 수와 닿는 방향에서 유도하라.

풀이 보기
전략 닿는 방향의 길이를 \(r\)로 쓰고 \(a\)를 \(r\)로 바꾼 뒤 \(f = N\tfrac43\pi r^3/a^3\).
풀이 FCC: 면 대각선 \(\sqrt2 a = 4r\) → \(a = 2\sqrt2\,r\), \(f = \dfrac{4\cdot\tfrac43\pi r^3}{16\sqrt2\,r^3} = \dfrac{\pi}{3\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2\pi}{6} = 0.7405\). BCC: 몸대각선 \(\sqrt3 a = 4r\) → \(a = 4r/\sqrt3\), \(f = \dfrac{2\cdot\tfrac43\pi r^3}{64r^3/(3\sqrt3)} = \dfrac{\sqrt3\pi}{8} = 0.6802\).
\(f_\text{FCC} = 0.740\), \(f_\text{BCC} = 0.680\)
검토 BCC는 이웃이 8개뿐이지만 둘째 이웃 6개가 \(a\)로 최근접(\(0.866a\))보다 15%만 멀다. 그래서 배위수 12인 FCC와 채움률 차이가 크지 않다.

조밀 층 쌓기: ABAB와 ABC

같은 공을 평면에 가장 빽빽이 깔면 공 하나를 여섯 개가 둘러싼 육각형 층이 된다. 이 층(A) 위에 둘째 층을 놓을 오목한 자리는 두 종류(B, C)가 있는데, 서로 너무 가까워 한 종류만 쓸 수 있다. 둘째 층을 B에 놓으면 셋째 층은 다시 A 위에 오거나(ABAB…) 남은 C에 올 수 있다(ABCABC…).

조밀 층 하나(A) 위의 오목한 자리 ○ A: 첫 층 원자 중심 ● B 자리 · ✕ C 자리 — 둘 중 한 곳에만 다음 층을 놓을 수 있다(서로 너무 가깝다) ABABAB… → 육방 조밀(HCP) 셋째 층이 첫 층 바로 위 ABCABC… → 면심 입방(FCC) 쌓는 방향이 FCC의 [111], 층이 {111}
조밀 층 위의 두 가지 오목 자리. 어느 쪽에 쌓든 원자마다 이웃은 같은 층에 6개, 위아래 층에 3개씩 모두 12개이고 채움률은 74%다. 다른 것은 셋째 층의 위치뿐이다.

ABAB… 순서가 육방 조밀(hexagonal close-packed, HCP) 구조다. 육방 격자에 원자 2개짜리 기저(\((0,0,0)\)과 \((\tfrac13,\tfrac23,\tfrac12)\))를 붙인 것이고, 층 간격이 \(c/2 = \sqrt{2/3}\,a\)일 때 이상적인 \(c/a = \sqrt{8/3} = 1.633\)이 된다. Mg(1.624), Co(1.623), Ti(1.587), Zn(1.856)처럼 실제 값은 조금씩 다르다. ABCABC… 순서는 놀랍게도 FCC다. 정육면체의 몸대각선 [111] 방향으로 보면 {111} 면들이 A, B, C 순서로 쌓여 있다. 아래에서 직접 쌓아 보라.

예시
MINI LAB옆에서 본 조밀 층(A, B, C 자리가 가로로 ⅓씩 어긋난다). 층마다 위아래 이웃 층이 같은 글자면 h(육방형), 다르면 c(입방형)로 표시한다. 버튼으로 층을 쌓으면 구조 이름이 판정된다. 바로 아래 층과 같은 글자는 놓을 수 없다.
쌓는 순서가 곧 물질이다: 폴리타입

SiC는 Si–C 쌍으로 된 조밀 층을 여러 순서로 쌓는 폴리타입(polytype)이 200가지가 넘는다. ABC는 3C(입방, 섬아연석), ABCB는 4H, ABCACB는 6H다. 화학식은 같아도 띠 간격이 3C 2.36 eV, 6H 3.0 eV, 4H 3.26 eV로 다르고, 전력 반도체는 이동도가 높고 이방성이 작은 4H-SiC 웨이퍼를 쓴다. FCC 금속의 ABC 순서가 한 번 어긋난 ABCAB|ABC…가 4장의 적층 결함이다.

반지름 0.128인 원자가 FCC로 쌓이면 면 대각선에서 닿으므로 격자 상수는 \(a = 2\sqrt2\,r =\) 이다. 셀에 원자가 4개이므로 원자 밀도는 \(n = 4/a^3 =\) 이고, 몰질량이 63.5이면 밀도는 \(\rho = nM/N_A =\) 이다. 채움률은 \(r\)에 상관없이 늘 이다.

구리(\(r = 0.128\) nm, \(M = 63.55\))는 실측 \(a = 0.3615\) nm, \(\rho = 8.96\) g/cm³이다. 반지름을 0.143, 몰질량을 27.0으로 바꾸면 알루미늄이 된다.

알루미늄은 FCC이고 \(a = 0.4050\) nm, \(M = 26.98\) g/mol이다. 원자 반지름(닿는 공 모형), 원자 밀도, 질량 밀도를 구하라. \(N_A = 6.022\times10^{23}\) mol⁻¹.

풀이 보기
전략 FCC는 면 대각선으로 닿는다. 셀당 원자 4개.
풀이 \(r = \sqrt2 a/4 = 0.4050\times0.35355 = 0.1432\) nm. \(a^3 = (0.4050\times10^{-7}\ \text{cm})^3 = 6.643\times10^{-23}\) cm³, \(n = 4/a^3 = 6.02\times10^{22}\) cm⁻³. \(\rho = nM/N_A = 6.021\times10^{22}\times26.98/6.022\times10^{23} = 2.70\) g/cm³.
\(r = 0.143\) nm, \(n = 6.02\times10^{22}\) cm⁻³, \(\rho = 2.70\) g/cm³
검토 실측 밀도 2.70 g/cm³과 맞는다. 원자 밀도가 실리콘(5.0×10²²)보다 20% 높은 것은 Al이 74% 조밀 구조, Si가 34% 성긴 구조이기 때문이다(원자 크기는 비슷하다).

다이아몬드·섬아연석·암염·염화 세슘 구조

반도체 공정에서 만나는 결정 대부분은 FCC 격자에 원자 두 개짜리 기저를 붙인 것이다. 두 번째 원자를 어디에 붙이느냐만 다르다.

다이아몬드 구조(diamond structure)는 FCC 격자에 기저 \(\{(0,0,0),\ (\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)a\}\)를 붙인 것이다. 같은 말로, 똑같은 FCC 격자 두 벌을 몸대각선 길이의 ¼만큼 어긋나게 겹친 것이다. 모든 원자가 이웃 4개와 정사면체(109.47°) 공유 결합을 이룬다. 현대물리학 11장의 sp³ 혼성이 만드는 바로 그 모양이다. C(다이아몬드), Si, Ge, α-Sn이 이 구조다.

(¼,¼,¼)a 만큼 밀기 ① 면심 입방 격자 A꼭짓점 8×⅛ + 면 중심 6×½ = 4개 ② 똑같은 FCC 격자 B를몸대각선의 ¼만큼 밀어 겹친다셀 안에 들어오는 B 원자: 4개(속 빈 원: 셀 밖으로 나간 B) ③ B 원자마다 A 이웃 4개거리 √3a/4, 정사면체 결합(109.5°)셀당 원자 4 + 4 = 8개A = B 같은 원자 → 다이아몬드(Si, Ge)A ≠ B 다른 원자 → 섬아연석(GaAs) ④ [001] 방향에서 내려다본 높이(a 단위) 0 ½ 0 ½ 0 ½ 0 ½ 0 ¼ ¾ ¾ ¼
  1. FCC 격자 A: 꼭짓점과 면 중심, 셀당 4개.
  2. 똑같은 FCC 격자 B를 \((\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)a\)만큼 민다. 셀 안에 남는 B 원자는 4개다.
  3. B 원자 하나하나가 A 원자 4개의 정사면체 한가운데 앉는다. 결합 길이 √3a/4, 셀당 원자 8개.
  4. [001] 방향에서 내려다본 높이 지도. A는 0과 ½, B는 ¼과 ¾ 높이에 있다. (100) 원자층이 \(a/4\) 간격으로 쌓인다.
다이아몬드 구조는 FCC 두 벌의 겹침이다. A와 B가 같은 원자면 다이아몬드(Si), 다르면 섬아연석(GaAs: A = Ga, B = As)이다. 기본 셀에는 원자 2개(A 하나, B 하나)가 들어 있다.

두 FCC의 어긋남을 ¼에서 ½로 바꾸면 어떻게 될까? 두 번째 격자를 몸대각선을 따라 직접 밀어 보자.

끌어서 돌리기
MINI LAB\(t = \tfrac14\)에서 이웃 4개(정사면체): 섬아연석·다이아몬드. \(t = \tfrac12\)에서 이웃 6개(팔면체): 암염. 그 사이에서는 이웃 수가 3이나 1로 떨어지는, 이름 없는 구조가 된다.

섬아연석 구조(zinc blende, sphalerite)

다이아몬드와 같되 A, B 자리를 서로 다른 원자가 차지한다. 원자마다 다른 종류 이웃 4개. GaAs, InP, GaP, InAs, 3C-SiC, ZnS. 극성 결합이라 (111)과 (1̄1̄1̄) 면이 다르다(Ga 면 / As 면).

암염 구조(rock salt, NaCl)

FCC에 기저 \(\{(0,0,0),\ (\tfrac12,0,0)a\}\). 두 FCC가 모서리 절반만큼 어긋났다(\((\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)\)과 같은 어긋남). 이웃 6개. NaCl, MgO, PbS, TiN, HfC.

염화 세슘 구조(cesium chloride)

단순 입방 격자에 기저 \(\{(0,0,0),\ (\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)a\}\). 겉모습은 BCC 같지만 몸 중심 원자가 다른 종류이므로 BCC가 아니다. 이웃 8개. CsCl, CsBr, β-황동(CuZn), NiAl.

FCC 셀 속 빈자리로 보면 더 간단하다. FCC 셀에는 이웃 6개에 둘러싸인 팔면체 자리가 4개(몸 중심과 모서리 중점), 이웃 4개에 둘러싸인 사면체 자리가 8개(\((\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)\)형)다. 암염은 팔면체 자리를 모두, 섬아연석과 다이아몬드는 사면체 자리의 절반을 채운 구조다. 육방 조밀 층에 사면체 결합을 ABAB로 쌓으면 GaN, ZnO, AlN의 우르츠광 구조(wurtzite)가 된다.

격자 상수 0.5431, 몰질량 28.09인 다이아몬드 구조 결정은 셀당 원자 8개이므로 원자 밀도 \(8/a^3 =\) , 밀도 \(\rho =\) , 결합 길이 \(\sqrt3 a/4 =\) (공유 결합 반지름 )이다.

Ge(\(a = 0.5658\) nm, \(M = 72.63\))로 바꾸면 5.33 g/cm³, 다이아몬드(\(a = 0.3567\) nm, \(M = 12.01\))로 바꾸면 3.52 g/cm³이 나온다. 결합이 짧고 강한 다이아몬드는 원자 밀도가 1.76×10²³ cm⁻³로 실리콘의 3.5배다.

실리콘(\(a = 0.5431\) nm, \(M = 28.086\) g/mol)의 원자 밀도와 질량 밀도를 구하라. 붕소를 \(10^{16}\) cm⁻³ 넣으면 실리콘 원자 몇 개당 붕소 원자 하나인가?

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전략 다이아몬드 구조 셀당 원자 8개(FCC 4 + 사면체 자리 4).
풀이 \(a^3 = (5.431\times10^{-8}\ \text{cm})^3 = 1.602\times10^{-22}\) cm³. \(n = 8/a^3 = 4.994\times10^{22}\) cm⁻³. \(\rho = nM/N_A = 4.994\times10^{22}\times28.086/6.022\times10^{23} = 2.329\) g/cm³. 비율: \(4.994\times10^{22}/10^{16} = 4.99\times10^{6}\).
\(n = 4.99\times10^{22}\) cm⁻³ ≈ 5×10²² cm⁻³, \(\rho = 2.33\) g/cm³, 약 500만 개당 붕소 1개
검토 실측 밀도 2.329 g/cm³과 소수 셋째 자리까지 맞는다. 이 일치는 X선으로 잰 격자 상수와 아보가드로 수를 서로 검증하는 방법이기도 하다(실리콘 구로 아보가드로 수를 정한 국제 프로젝트).
5×10²² cm⁻³이라는 기준점

도핑 농도는 늘 이 숫자와 비교해 읽는다. \(10^{15}\) cm⁻³은 5000만 개 중 하나, 소스·드레인의 \(10^{20}\) cm⁻³도 500개 중 하나다. 고용 한계(As 약 \(2\times10^{21}\))에 이르러도 불순물은 수 %에 그친다. 그래서 도펀트는 실리콘 격자의 한 자리를 빌려 앉는 "치환형 점결함"으로 다룰 수 있고, 띠 구조는 순수 실리콘 그대로 쓴다. 금속 오염 \(10^{10}\) cm⁻² 규격은 표면 원자 \(6.8\times10^{14}\) cm⁻²의 1억분의 1을 관리하는 일이다. 결정과 띠는 DeviceBook · 결정과 에너지 밴드에서 소자 쪽으로 이어진다.

GaAs는 섬아연석 구조이고 \(a = 0.56533\) nm이다. Ga 69.723, As 74.922 g/mol일 때 밀도를 구하라.

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전략 셀에 Ga 4개와 As 4개, 즉 GaAs 단위 4개.
풀이 셀 질량 \(= 4\times(69.723 + 74.922)/N_A = 4\times144.645/6.022\times10^{23} = 9.608\times10^{-22}\) g. \(a^3 = 1.8068\times10^{-22}\) cm³. \(\rho = 9.608/1.8068 = 5.317\) g/cm³.
\(\rho = 5.32\) g/cm³
검토 실측 5.32 g/cm³. 격자 상수는 Si보다 4% 크고(0.5653 대 0.5431), 원자가 무거워 밀도는 2.3배다. Ge(0.5658 nm)와 격자 상수가 거의 같아 Ge 위에 GaAs를 키울 수 있다.

밀러 지수: 방향과 면의 이름

웨이퍼 사양서의 "(100), notch ⟨110⟩", XRD 보고서의 "Si (004) 피크", 식각 레시피의 "(111) 정지면"은 모두 결정 속 방향과 면을 부르는 같은 언어다. 관용 셀의 축 \(\vec a, \vec b, \vec c\)를 기준으로 쓴다.

방향 [uvw]

원점에서 \(u\vec a + v\vec b + w\vec c\)로 가는 방향. 가장 작은 정수 비로 줄이고 대괄호에 쓴다. 음수는 숫자 위에 줄: \([1\bar10]\). 대칭으로 같은 방향 전체는 꺾쇠 괄호 \(\langle uvw\rangle\)로 쓴다. 입방정의 \(\langle100\rangle\)은 \([100], [010], [001]\)과 그 반대 방향, 모두 6개다.

밀러 지수(Miller indices) (hkl)

① 면이 세 축을 자르는 절편을 셀 길이 단위로 읽는다(평행하면 ∞). ② 역수를 취한다. ③ 같은 비의 가장 작은 정수로 맞춘다. 그 결과를 소괄호에 쓴 것이 면 \((hkl)\)이다. 원점을 지나는 면은 평행한 이웃 면으로 바꿔 읽는다. 대칭으로 같은 면 전체는 중괄호 \(\{hkl\}\)로 쓴다: 이것이 등가면(equivalent planes)이다.

x y z 면 (100) · 방향 [100] x y z 면 (110) · 방향 [110] x y z 면 (111) · 방향 [111]
입방정의 세 기본 면과 세 기본 방향. 입방정에서는 방향 \([hkl]\)이 면 \((hkl)\)에 수직이다. 다른 결정계에서는 일반적으로 수직이 아니다.

절편을 쓰는 이유는 역수가 면의 법선과 간격을 바로 주기 때문이다. 절편이 \((a/h, a/k, a/l)\)인 평면은 \(hx + ky + lz = a\)이므로 법선이 \((h, k, l)\)이고, 원점에서 이 면까지 거리가 면간 거리 \(d_{hkl}\)이다(다음 장에서 이 법선이 역격자 벡터임을 본다). 입방정 \(\{100\}\)은 부호까지 세면 6개(평행한 쌍을 하나로 치면 3개), \(\{110\}\)은 12개(6개), \(\{111\}\)은 8개(4개)다.

세 축을 \(x = \tfrac12,\ y = 1\)에서 자르고 \(z\)축과는 평행한 면의 밀러 지수는?

역수 \((2, 1, 0)\). 절편이 작을수록 지수가 크다. 아래 탐색기에서 \(x\) 절편 점을 ½로, \(y\)를 1로, \(z\)를 ∞로 끌어 확인하라.
SIMULATOR

밀러 면 탐색기

축 위의 점을 끌기 · 빈 곳을 끌어 돌리기
도전: 이 면을 만들어라
성공
절편 (a 단위)—
밀러 지수—
Si 면간 거리 d—
Si 원자층 하나의 면 밀도—
{hkl} 등가면—
해볼 것: ① 도전 다섯 개를 모두 풀어 보라. 절편은 ¼, ⅓, ½, ⅔, 1, 2, 3, ∞와 음수 −½, −1에 걸린다. ② (110)과 (220), 즉 절편 (1, 1, ∞)와 (½, ½, ∞)를 비교하라. 지수는 같은 비로 줄어들지만 "같은 족의 평행 면"을 켜면 셀 안의 면 수가 다르다. ③ 법선 화살표가 언제나 면에 수직인지 돌려 가며 확인하라(입방정에서만 성립).

(가) 입방정에서 \(x\)축을 \(2a\), \(y\)축을 \(3a\)에서 자르고 \(z\)축에 평행한 면의 밀러 지수는? (나) 셀 안의 점 \((1, 0, 1)\)에서 \((0, 1, \tfrac12)\)로 가는 방향의 지수는?

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전략 면은 절편의 역수, 방향은 끝점 빼기 시작점. 둘 다 가장 작은 정수로 맞춘다.
풀이 (가) 역수 \((\tfrac12, \tfrac13, 0)\), 6을 곱하면 \((3, 2, 0)\). (나) \((0-1,\ 1-0,\ \tfrac12-1) = (-1, 1, -\tfrac12)\), 2를 곱하면 \([\bar2\,2\,\bar1]\).
(가) \((320)\) (나) \([\bar22\bar1]\)
검토 \((320)\) 법선과 \(z\)축의 내적은 0이므로 면은 \(z\)축에 평행하다. \([\bar22\bar1]\)의 반대 방향 \([2\bar21]\)은 다른 방향(화살표가 반대)이지만, 면 \((hkl)\)과 \((\bar h\bar k\bar l)\)은 같은 면(평행한 면의 앞뒤)이다.

입방정에서 두 방향(또는 두 면의 법선) 사이의 각은 보통의 벡터 내적으로 구한다.

$$\cos\theta = \frac{h_1h_2 + k_1k_2 + l_1l_2}{\sqrt{h_1^2+k_1^2+l_1^2}\,\sqrt{h_2^2+k_2^2+l_2^2}}$$
입방정 전용이다. (100)과 (111) 사이는 \(\cos\theta = 1/\sqrt3\), \(\theta = 54.74°\)로 KOH 식각 벽의 각도가 된다.

방향 [1 0 0]과 [1 1 1] 사이의 각은 \(\cos\theta =\) , \(\theta =\) 이다.

이온 주입은 왜 7° 기울이는가

(100) 웨이퍼를 [100] 방향에서 보면 원자 열 사이로 뻥 뚫린 통로가 보인다. 이 방향으로 들어온 이온은 원자핵에 거의 부딪히지 않고 깊이 미끄러져 들어가는 채널링을 일으켜 접합 깊이가 예상보다 몇 배 깊어진다. 그래서 주입기는 웨이퍼를 7° 정도 기울이고 ⟨110⟩ 통로도 피하도록 비틀어(twist) 결정을 "무작위 방향의 고체"처럼 보이게 한다. 어느 각도에서 통로가 열리는지가 이 절의 방향 지수다. → DopingBook · 채널링

육방정의 4지수 표기

육방정에서 \(\vec a_1, \vec a_2\)(120°)와 \(\vec c\) 세 축으로 쓰면 대칭으로 같은 면의 지수가 \((100)\)과 \((1\bar10)\)처럼 서로 닮지 않는다. 그래서 바닥면에 120°씩 벌어진 세 번째 축 \(\vec a_3 = -(\vec a_1 + \vec a_2)\)를 더한 밀러–브라베 지수(Miller–Bravais indices) \((hkil)\)을 쓴다. 세 바닥 축이 독립이 아니므로 언제나 \(i = -(h + k)\)이다. 그러면 기둥 옆면 여섯 개가 \((10\bar10), (01\bar10), (\bar1100)\) …처럼 같은 숫자의 순열로 보인다. GaN의 c면 \((0001)\), m면 \(\{10\bar10\}\), a면 \(\{11\bar20\}\)이 이 표기다.

방향은 조금 다르다. 3지수 \([UVW]\)를 4지수 \([uvtw]\)로 바꾸려면 \(u = (2U - V)/3\), \(v = (2V - U)/3\), \(t = -(u + v)\), \(w = W\)로 바꾼 뒤 정수로 맞춘다. 아래에서 바닥면 위 방향을 끌어 보라.

화살표 끝을 격자점으로 끌기
MINI LAB바닥면(c축이 화면 밖을 향함)의 육방 격자. 화살표를 3지수 \(U\vec a_1 + V\vec a_2\)로 읽으면 \([UV0]\), 세 축 \(\vec a_1, \vec a_2, \vec a_3\)로 나눠 읽으면 \([uvt0]\)이다(점선: \(u\vec a_1\), \(v\vec a_2\), \(t\vec a_3\) 성분). 여섯 개의 \(\langle11\bar20\rangle\) 방향이 4지수에서는 모두 같은 숫자의 순열이다.

육방정 3지수 방향 \([100]\)(즉 \(\vec a_1\))과 \([110]\)을 4지수로 바꿔라.

풀이 보기
전략 \(u = (2U-V)/3\), \(v = (2V-U)/3\), \(t = -(u+v)\), \(w = W\).
풀이 \([100]\): \(u = \tfrac23\), \(v = -\tfrac13\), \(t = -\tfrac13\) → 3을 곱해 \([2\bar1\bar10]\). \([110]\): \(u = \tfrac13\), \(v = \tfrac13\), \(t = -\tfrac23\) → \([11\bar20]\).
\([100] = \tfrac13[2\bar1\bar10]\), \([110] = \tfrac13[11\bar20]\)
검토 \(\tfrac13(2\vec a_1 - \vec a_2 - \vec a_3) = \tfrac13(2\vec a_1 - \vec a_2 + \vec a_1 + \vec a_2) = \vec a_1\) ✓. 두 결과는 같은 \(\langle11\bar20\rangle\) 족의 구성원이다(\(\vec a_1\)과 \(\vec a_1+\vec a_2\)는 60° 떨어진 같은 길이의 벡터).

면간 거리, 면 밀도, 그리고 웨이퍼

같은 \((hkl)\) 족의 평행한 면들 사이의 간격이 면간 거리(interplanar spacing)다. 입방정에서는

$$d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$$
원점을 지나는 면과 절편 \((a/h, a/k, a/l)\)의 면 사이 거리. 육방정은 \(1/d^2 = \tfrac43(h^2 + hk + k^2)/a^2 + l^2/c^2\). 이 \(d\)가 다음 장 브래그 법칙 \(2d\sin\theta = n\lambda\)의 \(d\)다.

주의할 점이 있다. \(d_{hkl}\)은 격자의 대칭만으로 정한 간격이고, 실제 원자층의 간격은 기저에 따라 더 좁을 수 있다. 실리콘의 (100) 방향 원자층은 \(a\)가 아니라 \(a/4 = 0.136\) nm마다 있다(위 다이아몬드 높이 지도의 0, ¼, ½, ¾). 그래서 XRD에서 Si의 (100) 반사는 사라지고 (400)이 나타난다. (111) 방향 원자층은 \(\sqrt3a/12\)와 \(3\sqrt3a/12\) 간격이 번갈아 와서 촘촘한 "이중층"을 이룬다.

면 밀도(planar density)는 원자층 하나의 단위 넓이당 원자 수다. 실리콘 (100) 원자층은 넓이 \(a^2\)인 정사각형에 원자 2개(꼭짓점 4 × ¼ + 중심 1)가 들어 있어 \(2/a^2\)이다.

Si 면\(d_{hkl}\) (nm)원자층 간격원자층 하나의 면 밀도 (cm⁻²)표면 원자당 끊긴 결합
(100)0.5431\(a/4\) = 0.136 nm\(2/a^2\) = 6.78×10¹⁴2
(110)0.3840\(a/2\sqrt2\) = 0.192 nm\(2\sqrt2/a^2\) = 9.59×10¹⁴1
(111)0.31360.078 / 0.235 nm (이중층)\(4/\sqrt3a^2\) = 7.83×10¹⁴1 (안쪽 결합 3)

실리콘(\(a = 0.5431\) nm)의 (1 1 1) 면: 면간 거리 \(d = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2} =\) . 이 방향으로 원자층은 한 주기(\(a/\sqrt{N}\), \(N\)은 줄인 지수의 제곱합)에 , 가장 가까운 두 층의 간격 , 원자층 하나의 면 밀도 이다.

실리콘 (110)과 (111) 원자층의 면 밀도를 직접 세어 구하고, (100) 웨이퍼 표면과 {111} 면이 이루는 각을 구하라.

풀이 보기
전략 면 위의 2차원 셀을 잡고 그 안의 원자를 센다. 각도는 법선끼리의 내적.
풀이 (110): \([001]\) 방향 \(a\) × \([1\bar10]\) 방향 \(\sqrt2a\)인 직사각형에 FCC 원자 2개(꼭짓점 4×¼ + 긴 변 중점 2×½)와, 같은 층에 들어오는 사면체 자리 원자 2개가 지그재그 사슬을 이뤄 모두 4개. \(4/(\sqrt2a^2) = 2\sqrt2/a^2 = 9.59\times10^{14}\) cm⁻². (111): 한 원자층은 최근접 거리 \(a/\sqrt2\)의 삼각 격자이고 2차원 기본 셀 넓이는 \(\tfrac{\sqrt3}{2}(a/\sqrt2)^2 = \sqrt3a^2/4\), 원자 1개 → \(4/(\sqrt3a^2) = 7.83\times10^{14}\) cm⁻². 각도: \(\cos\theta = (1\cdot1 + 0 + 0)/\sqrt{1\cdot3} = 0.5774\) → \(\theta = 54.74°\).
(110) 9.59×10¹⁴ cm⁻², (111) 7.83×10¹⁴ cm⁻², 사잇각 54.74°
검토 (100)의 6.78×10¹⁴과 비교하면 (110):(111):(100) = 1.41 : 1.15 : 1. (111) 이중층 전체로는 15.7×10¹⁴ cm⁻²로 가장 촘촘하다.

웨이퍼 방위, 노치, 벽개

실리콘 웨이퍼는 잉곳을 특정 결정면에 평행하게 잘라 만든다. 표면이 (100)이면 "(100) 웨이퍼"다. 로직·메모리는 거의 모두 (100), 일부 전력 소자·MEMS는 (111)이나 (110)을 쓴다. 표면 방위만으로는 면 안의 방향을 알 수 없으므로, 웨이퍼 가장자리에 오리엔테이션 플랫(orientation flat)을 깎거나(200 mm 이하) 노치(notch)를 판다(300 mm).

(111) p형주 플랫만 (111) n형보조 플랫 45° (100) p형보조 플랫 90° (100) n형보조 플랫 180° 200 mm 이하: 주 플랫이 {110} 면(⟨110⟩ 방향 현), 보조 플랫 위치로 방위·형을 구별(SEMI 관례) [011] [01̄1] 300 mm (100) 노치다이 변 ∥ ⟨110⟩
플랫과 노치. (100) 웨이퍼의 노치는 ⟨110⟩ 방향을 가리키고, 다이의 변과 트랜지스터 채널은 노치에 평행하거나 수직인 ⟨110⟩ 방향으로 놓는다. 노치에서 90° 돌아간 방향도 같은 ⟨110⟩ 족이다.
MINI LAB(100) 웨이퍼를 위에서 본 모습(화면 밖이 [100]). 채널 화살표 끝의 흰 점을 끌어 방향을 돌리면 방향 지수와 그 방향의 실리콘 영률(\(E_{\langle110\rangle} = 169\) GPa, \(E_{\langle100\rangle} = 130\) GPa)이 바뀐다. 45° 돌리면 ⟨100⟩ 채널이 된다.
노치, 벽개, 그리고 ⟨110⟩ 채널

실리콘은 끊긴 결합이 가장 적은 {111} 면을 따라 가장 잘 쪼개지고(벽개(cleavage)), 그다음이 {110}이다. (100) 웨이퍼에서 표면과 수직인 {110} 면들은 표면과 ⟨110⟩ 방향 직선에서 만나므로, 웨이퍼를 긁어 누르면 노치에 평행·수직인 직선으로 깨진다. 다이를 ⟨110⟩ 방향으로 배열하면 다이싱과 깨짐이 이 결을 따른다. 트랜지스터 채널도 관례상 ⟨110⟩이다. pMOS의 정공 이동도와 1축 압축 변형 효과가 ⟨110⟩에서 크기 때문이다. 웨이퍼를 45° 돌려 ⟨100⟩ 채널을 쓰면 nMOS의 응력 민감도와 pMOS 이동도의 균형이 달라진다. 노치 규격과 웨이퍼 가공은 ProcessBook · 실리콘 웨이퍼와 세정, 다이 분리는 PackagingBook · 다이싱.

방향을 아는 식각: KOH

KOH나 TMAH 같은 알칼리 용액은 실리콘을 면마다 전혀 다른 속도로 녹인다. 30% KOH, 80 °C에서 (100)은 약 1 μm/min, (110)은 그보다 조금 빠르지만 (111)은 수십~수백 배 느리다. 결정 구조로 보면 (111) 면 원자는 안쪽으로 결합 3개가 묶여 있고 밖으로 끊긴 결합이 1개뿐이며, 표면을 한 층 벗겨 내려면 이 세 결합을 한꺼번에 끊어야 한다. (100) 면 원자는 안쪽 결합 2개, 끊긴 결합 2개로 공격받기 쉽다. 이 이방성 식각(anisotropic etching) 때문에 식각은 느린 {111} 면이 드러날 때까지 진행되고, 그 뒤로는 사실상 멈춘다.

결합 수가 전부는 아니다

끊긴 결합 수만 보면 (110)(원자당 1개)이 (100)(2개)보다 느려야 하지만 실제 KOH에서는 (110)이 더 빠르다. 식각 속도는 표면 계단과 꺾임 자리의 밀도, 수소 종단, OH⁻ 반응 경로가 함께 정한다. "(111)이 가장 느리다"는 결론만 결합 그림으로 믿을 만하다.

(100) 웨이퍼 표면에 질화막으로 ⟨110⟩ 방향 변을 가진 창을 열고 KOH에 오래 담갔다. 창 아래 단면은 어떤 모양이 될까?

창의 변에서 시작하는 두 {111} 면이 표면과 54.74°를 이루며 안쪽으로 기울어 있다. (100) 바닥이 내려가는 동안 벽은 거의 움직이지 않아, 두 벽이 만나는 깊이 \(W/\sqrt2\)에서 V홈이 완성되고 식각이 스스로 멈춘다.
SIMULATOR

KOH 이방성 식각 단면

마스크 창 모서리(흰 점)를 끌기
웨이퍼
과녁깊이 50 μm에서 스스로 멈추는 V홈
마스크 창 W—
깊이—
벽 각도—
언더컷—
상태—
모형: R(100) = 1.0 μm/min, R(110) = 1.5 μm/min, {111} 벽은 R(111)로 제 법선 방향으로 물러난다. 해볼 것: ① 창 폭을 끌어 깊이 50 μm에서 멈추는 V홈을 만들어 보라(과녁 점선). 필요한 폭은 \(W = \sqrt2 \times 50 = 70.7\) μm이고, 언더컷만큼 조금 더 좁혀야 한다. ② 속도 비를 10으로 낮추면 언더컷이 커지고 V홈이 계속 조금씩 깊어진다. ③ (110) 웨이퍼로 바꾸면 {111} 면이 표면에 수직으로 서 있어 수직 벽의 깊은 홈이 된다(창의 변을 ⟨112⟩에 맞췄다고 가정).
54.7°로 만드는 것들

KOH·TMAH 이방성 식각은 MEMS 압력 센서의 얇은 실리콘 막, 잉크젯 노즐, 광섬유 정렬용 V홈, 웨이퍼 뒷면 관통 구멍에 쓰인다. 창 크기와 웨이퍼 두께만으로 막 크기가 정해지므로(바닥 폭 = \(W - \sqrt2\,D\)), 마스크 정렬을 노치의 ⟨110⟩에 어긋나게 하면 벽이 계단처럼 깎여 막 모양이 망가진다. 붕소를 \(10^{20}\) cm⁻³ 이상 넣은 층에서는 식각이 거의 멈춰 식각 정지층으로 쓴다. → EtchBook · 습식 식각과 등방성

로직 공정에서도 결정면은 계속 나타난다. FinFET 핀 옆벽은 (100) 웨이퍼에서 (110) 면이라 표면 이동도와 산화 속도가 윗면과 다르고, 소스·드레인 SiGe 에피는 {111} 면에서 성장이 느려 다이아몬드(마름모) 모양 단면이 된다. MOS 소자가 (100)을 쓰는 가장 큰 이유는 Si/SiO₂ 계면 준위 밀도가 (100)에서 가장 낮기 때문이다(13장 접합과 계면).

반복 연습

밀러 지수와 결정 숫자는 손에 익어야 빨라진다. 문제는 누를 때마다 새로 만들어진다.

핵심 정리

  1. 결정 구조 = 브라베 격자 + 기저. 격자점은 \(\vec R = n_1\vec a_1 + n_2\vec a_2 + n_3\vec a_3\)이고, 기본 셀(부피 \(|\vec a_1\cdot\vec a_2\times\vec a_3|\))에는 격자점이 하나, 관용 셀에는 대칭을 보이려고 여러 개가 들어간다. 위그너–자이츠 셀은 대칭을 모두 가진 기본 셀이다.
  2. 2차원 브라베 격자는 사각·직사각·중심 직사각·정사각·육방의 5가지, 3차원은 7결정계에 P·C·I·F·R 중심화를 붙인 14가지다. 벌집(그래핀)과 다이아몬드는 격자가 아니라 "격자 + 기저 2개"다.
  3. SC·BCC·FCC의 셀당 원자 1·2·4, 배위수 6·8·12, 채움률 0.524·0.680·0.740. HCP(ABAB…)와 FCC(ABC…, [111] 방향)는 같은 조밀 층의 쌓는 순서만 다르고 둘 다 74%, 이상적 \(c/a = 1.633\)이다.
  4. 다이아몬드 = FCC 두 벌을 \((\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)a\) 어긋나게 겹친 것(셀당 8원자, 이웃 4, 결합 \(\sqrt3a/4\), 채움률 0.34). 섬아연석은 두 자리가 다른 원자, 암염은 어긋남 \((\tfrac12,0,0)a\)(이웃 6), CsCl은 단순 입방 + 기저(BCC 아님, 이웃 8).
  5. 실리콘: \(a = 0.5431\) nm, 원자 밀도 \(8/a^3 = 5.0\times10^{22}\) cm⁻³, 밀도 2.33 g/cm³, 결합 길이 0.235 nm.
  6. 밀러 지수 (hkl)는 절편의 역수를 정수로 맞춘 것, [uvw]는 방향, {hkl}·⟨uvw⟩는 등가 집합. 입방정에서 [hkl] ⊥ (hkl), \(d_{hkl} = a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}\), 각도는 내적. 육방정은 \((hkil)\), \(i = -(h+k)\).
  7. Si 원자층 면 밀도 (100) 6.78, (110) 9.59, (111) 7.83 ×10¹⁴ cm⁻². (111)은 안쪽 결합 3개로 묶여 가장 잘 쪼개지고 KOH에 가장 느리다. (100) 웨이퍼의 노치·다이 변·채널은 ⟨110⟩, KOH V홈 벽은 54.74°.

연습문제

\(N_A = 6.022\times10^{23}\) mol⁻¹. 원자량: B 10.81, Al 26.98, Si 28.086, Fe 55.845, Cu 63.55, Ge 72.63, W 183.84 g/mol. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

구리는 FCC이고 격자 상수가 0.3615 nm이다. 구리의 밀도는?

셀당 원자 4개. 셀 질량 = 4M/N_A, 셀 부피 = a³.

\(a^3 = (3.615\times10^{-8})^3 = 4.724\times10^{-23}\) cm³. \(\rho = 4\times63.55/(6.022\times10^{23}\times4.724\times10^{-23}) = 254.2/28.45 = 8.94\) g/cm³ (실측 8.96).

α-철은 BCC이고 \(a = 0.2866\) nm이다. 최근접 원자 사이 거리는?

BCC는 몸대각선으로 닿는다. \(d = \sqrt3a/2 = 0.866\times0.2866 = 0.248\) nm. 둘째 이웃은 \(a = 0.287\) nm에 6개.

입방정에서 \(x\)축을 \(a\), \(y\)축을 \(2a\)에서 자르고 \(z\)축에 평행한 면의 밀러 지수를 \((hkl)\) 꼴로 써라.

역수 \((1, \tfrac12, 0)\)를 정수로.

역수 \((1, \tfrac12, 0)\) × 2 = \((2, 1, 0)\) → \((210)\).

실리콘 결정 구조에 대한 설명으로 옳은 것은?

다이아몬드 구조 = FCC + 기저 \(\{(0,0,0), (\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)a\}\). 정사면체 결합이라 이웃 4개, 채움률 \(\sqrt3\pi/16 = 0.340\). "단순 입방 + 기저 8개"도 틀린 기술은 아니지만 기본 셀이 아니며 유일하지도 않다.

배선 플러그에 쓰는 텅스텐은 BCC이고 \(a = 0.3165\) nm이다. 밀도는?

셀당 2원자. \(a^3 = 3.170\times10^{-23}\) cm³. \(\rho = 2\times183.84/(6.022\times10^{23}\times3.170\times10^{-23}) = 19.3\) g/cm³ (실측 19.25).

저마늄(다이아몬드 구조, \(a = 0.5658\) nm)의 (100) 원자층 하나의 면 밀도는?

(100) 원자층의 \(a\times a\) 정사각형에 원자가 몇 개 있는지 세라(다이아몬드 높이 지도 참고).

한 층에 꼭짓점 4×¼ + 중심 1 = 2개. \(\sigma = 2/a^2 = 2/(5.658\times10^{-8})^2 = 6.25\times10^{14}\) cm⁻².

Ge의 \(d_{111}\)은?

\(d_{111} = a/\sqrt3 = 0.5658/1.732 = 0.327\) nm.

입방정에서 \((111)\)과 \((1\bar11)\) 면이 이루는 각(법선 사이 각, 예각)은?

\(\cos\theta = (1 - 1 + 1)/(\sqrt3\sqrt3) = 1/3\) → \(\theta = 70.53°\). {111} 면끼리는 70.5° 또는 109.5°로 만난다. (110) 웨이퍼의 KOH 식각 홈이 평행사변형 모양인 이유다.

마그네슘(HCP)은 \(a = 0.3209\) nm이다. 공이 이상적으로 쌓였다면 \(c\)는 얼마인가? 실측 \(c = 0.5211\) nm와 비교하라.

층 간격 \(c/2\)는 공 네 개가 만든 정사면체의 높이 \(\sqrt{2/3}\,a\)다.

\(c = 2\sqrt{2/3}\,a = \sqrt{8/3}\,a = 1.633\times0.3209 = 0.524\) nm. 실측 \(c/a = 1.624\)로 이상값보다 0.6% 납작하다.

(100) 실리콘 웨이퍼에 변이 ⟨110⟩ 방향인 폭 100 μm의 긴 창을 열고 KOH로 식각했다. (111) 식각과 언더컷을 무시하면 V홈이 완성되어 식각이 멈추는 깊이는?

벽은 표면과 54.74°. \(D = (W/2)\tan54.74° = 50\times\sqrt2 = 70.7\) μm.

KOH 식각에서 실리콘 (111) 면이 가장 느린 이유로 가장 알맞은 것은?

원자층 하나의 면 밀도는 (110)이 가장 높다(9.59 > 7.83 > 6.78 ×10¹⁴). 느린 이유는 결합 구조다. (111) 원자를 떼려면 결합 3개를 끊어야 하고, 끊긴 결합의 면 밀도도 가장 낮다.

실리콘 (110) 원자층 하나의 면 밀도를 직접 세어 구하라.

면 위에 \(a\times\sqrt2 a\) 직사각형을 잡는다. FCC 자리 원자와, 같은 면에 놓이는 사면체 자리 원자를 따로 센다.

FCC 자리: 꼭짓점 4×¼ + 긴 변 중점 2×½ = 2. 사면체 자리: 예컨대 \(x + y = 1\)인 면에는 \((\tfrac14,\tfrac34,\tfrac34)\)과 \((\tfrac34,\tfrac14,\tfrac34)\)형 원자가 같은 면에 있어 직사각형당 2개. 합 4개 / \(\sqrt2a^2\) = \(2\sqrt2/a^2 = 2.828/(2.950\times10^{-15}) = 9.59\times10^{14}\) cm⁻².

지름 300 mm, 두께 775 μm인 실리콘 웨이퍼(노치 무시)의 질량과 원자 수는? \(a = 0.5431\) nm.

\(V = \pi(15\ \text{cm})^2\times0.0775\ \text{cm} = 54.78\) cm³. \(\rho = 2.329\) g/cm³ → \(m = 127.6\) g. \(N = 4.994\times10^{22}\times54.78 = 2.74\times10^{24}\)개.

육방정 3지수 방향 \([110]\)을 4지수 \([uvtw]\)로 바꿔라(음수는 −로 입력, 예: [21-10]).

\(u = (2-1)/3 = \tfrac13\), \(v = \tfrac13\), \(t = -\tfrac23\), \(w = 0\) → 3을 곱해 \([11\bar20]\).

CsCl의 격자 상수는 0.4123 nm, 이온 반지름은 Cs⁺ 0.174 nm, Cl⁻ 0.181 nm이다. 채움률은? 이온이 몸대각선 방향으로 닿는지도 확인하라.

셀에 Cs 1, Cl 1. \(f = \tfrac43\pi(0.174^3 + 0.181^3)/0.4123^3 = \tfrac43\pi(0.005268 + 0.005930)/0.07009 = 0.669\). 몸대각선 절반 \(\sqrt3a/2 = 0.357\) nm ≈ \(r_+ + r_- = 0.355\) nm이므로 닿는다. 반지름 비 \(0.174/0.181 = 0.96 > 0.732\)라 배위수 8인 CsCl형이 안정하다.

개념 확인 퀴즈

CsCl 구조는 겉보기에 BCC와 같다. 그런데 브라베 격자로는 무엇인가?

몸 중심의 Cl은 꼭짓점의 Cs와 종류가 다르므로 \((\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)a\)는 격자 벡터가 아니다. 격자는 단순 입방이고 기저가 Cs와 Cl 둘이다.

그래핀의 벌집 무늬에 대해 옳은 것은?

벌집의 두 종류 자리는 이웃이 반대 방향(Y와 거꾸로 된 Y)을 향해 주위가 같지 않다. 같은 원자라도 격자점이 될 수 없다. 2차원 브라베 격자는 다섯 가지뿐이다.

FCC 결정에서 ABCABC… 순서로 쌓인 조밀 층은 어느 면인가?

FCC의 조밀 층은 {111}이고 쌓는 방향은 ⟨111⟩이다. 그래서 FCC 금속은 {111} 면에서 미끄러지고, 실리콘의 적층 결함도 {111}에 생긴다.

입방정에서는 \([hkl] \perp (hkl)\)이다. 육방정 Mg에서 3지수로 쓴 방향 \([001]\)과 면 \((001)\)은?

c축은 바닥면에 수직이므로 이 경우는 수직이다. 하지만 육방정의 \([100]\)과 \((100)\)은 30° 어긋나 수직이 아니다. "[hkl] ⊥ (hkl)"은 입방정에서만 일반적으로 성립한다.

로직 MOSFET을 거의 모두 (100) 웨이퍼에 만드는 가장 큰 이유는?

열산화한 Si/SiO₂ 계면의 계면 준위와 고정 전하는 (111) > (110) > (100) 순이다. 면 밀도는 (110), 벽개는 (111)이 1등이고, (100)은 KOH에 오히려 빨리 식각된다.