Chapter 05

격자 진동과 포논

실리콘 원자는 300 K에서 1초에 약 10조 번씩 떨린다. 원자 하나하나가 제멋대로 흔들리는 것 같지만, 원자들은 결합이라는 용수철로 이어져 있으므로 실제로는 결정 전체에 퍼진 파동이 겹친 것이다. 이 파동의 진동수와 파장 사이의 관계, 곧 분산 관계가 소리의 속도, 열이 흐르는 방식, 전자가 산란되는 방식을 정한다. 그리고 양자역학은 이 파동의 에너지가 $\hbar\omega$ 덩어리로만 오간다고 말한다. 그 덩어리가 포논이다. 아래 사슬의 파동을 먼저 보고, 오른쪽 곡선 위 점을 끌어 파장을 바꿔 보자.

오른쪽 곡선 위를 끌어 k 선택

단원자 사슬의 운동 방정식을 세우고 분산 관계 $\omega = 2\sqrt{C/M}\,|\sin(ka/2)|$를 유도한다.
제1 브릴루앙 영역 밖의 $k$가 같은 원자 운동을 나타내는 이유(앨리어싱)를 설명한다.
위상 속도와 군속도를 구별하고, 장파장 극한의 음속과 영역 경계의 정상파를 계산한다.
이원자 사슬의 음향·광학 가지, 간격, 고유 벡터(같은 위상·반대 위상)를 구한다.
3차원 포논의 종파·횡파 편광과 $3p$개의 가지를 세고, 실리콘의 포논 분산 대표값을 읽는다.
포논의 양자화, 결정 운동량, 보스–아인슈타인 점유수를 쓰고, 중성자·라만 산란으로 포논을 재는 원리와 라만 응력 측정을 설명한다.

단원자 사슬의 운동 방정식

3장에서 두 원자 사이의 결합 에너지 $U(r)$는 평형 거리 $r_0$에서 가장 낮다는 것을 보았다. 원자가 평형 위치에서 조금만 벗어나면 $U$를 바닥 근처에서 포물선으로 근사할 수 있다: $U \approx U_0 + \tfrac12 C(r-r_0)^2$, $C = d^2U/dr^2$. 이것이 조화 근사(harmonic approximation)다. 결합이 용수철 상수 $C$인 용수철처럼 행동한다는 뜻이다. 결정 전체는 원자(질량)와 결합(용수철)이 3차원으로 엮인 거대한 용수철 그물이다.

가장 간단한 경우부터 보자. 질량 $M$인 같은 원자가 간격 $a$로 한 줄로 늘어서 있고, 이웃끼리만 용수철 $C$로 이어져 있다. 이 단원자 사슬(monatomic chain)은 결정을 [100] 방향 같은 대칭 방향으로 자른 원자면들의 운동을 그대로 흉내 낸다. 원자면 전체가 같이 움직이면 각 면을 원자 하나로 보면 되기 때문이다.

단원자 사슬 모형. 원자 $n$의 평형 위치는 $na$이고, 실제 위치는 $na + u_n$이다. 원자 $n$이 받는 힘은 양옆 용수철이 늘어난 길이 $u_{n+1}-u_n$과 $u_n-u_{n-1}$로만 정해진다.

원자 $n$의 오른쪽 용수철은 $u_{n+1}-u_n$만큼 늘어나 원자를 오른쪽으로 $C(u_{n+1}-u_n)$의 힘으로 끌고, 왼쪽 용수철은 $u_n-u_{n-1}$만큼 늘어나 왼쪽으로 $C(u_n-u_{n-1})$의 힘으로 끈다. 뉴턴 법칙은

$$M\frac{d^2u_n}{dt^2} = C(u_{n+1}-u_n) - C(u_n-u_{n-1}) = C\left(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n\right)$$

원자마다 하나씩, 연립 미분 방정식이 원자 수만큼 있다. 모두가 같은 꼴이라는 것(병진 대칭)이 풀이의 열쇠다.

모든 원자가 같은 진동수 $\omega$로, 이웃마다 위상이 $ka$씩 밀리며 움직이는 해를 시도한다. 이것이 정규 모드(normal mode)다.

$$u_n(t) = A\,e^{i(kna-\omega t)}$$

실제 변위는 실수부 $A\cos(kna-\omega t)$. $k$는 파수(파장 $\lambda = 2\pi/k$), $na$는 원자 $n$의 평형 위치다.

대입하면 $u_{n\pm1} = u_n e^{\pm ika}$이므로 $-M\omega^2 u_n = C(e^{ika}+e^{-ika}-2)u_n = -2C(1-\cos ka)\,u_n = -4C\sin^2(ka/2)\,u_n$. $u_n$이 소거되고 $\omega$와 $k$ 사이의 관계만 남는다.

단원자 사슬의 분산 관계

$$\omega(k) = 2\sqrt{\frac{C}{M}}\,\left|\sin\frac{ka}{2}\right|, \qquad \omega_\text{max} = 2\sqrt{C/M}\ \ (k = \pm\pi/a)$$

진동수와 파수의 관계 $\omega(k)$를 분산 관계(dispersion relation)라 한다. 진공의 빛($\omega = ck$)과 달리 직선이 아니며, 사슬이 실어 나를 수 있는 진동수에는 위 끝 $\omega_\text{max}$가 있다.

사슬의 원자들이 평형 위치에서 서로 다르게 밀려 있다(변위는 실제로 사슬 방향).
원자 하나가 받는 힘은 두 이웃과의 상대 변위로만 정해진다. 가운데 원자가 이웃의 평균보다 많이 밀려 있으면 되돌리는 힘을 받는다.
사슬 방향 변위를 세로축에 옮겨 그리면 원자들이 사인 곡선 위에 놓인다. 모든 원자가 같은 $\omega$로 진동하면서 이 곡선이 오른쪽으로 흘러가는 것이 정규 모드다.

운동 방정식에서 분산 관계까지. 힘이 "이웃과의 차이"로만 정해지므로 사인파 모양이 그대로 유지되며 진행할 수 있고, 그 대가로 $\omega$와 $k$가 묶인다.

길이 $L = Na$인 사슬에 주기 경계 조건 $u_{n+N} = u_n$을 주면 $e^{ikNa} = 1$, 곧 $k = 2\pi m/(Na)$로 띄엄띄엄하다. 다음 절에서 보듯 의미 있는 $k$는 길이 $2\pi/a$인 구간에만 있으므로 원자 $N$개짜리 사슬의 정규 모드는 정확히 $N$개다. 원자 하나가 자유도 하나를 가져와 모드 하나를 보탠 셈이다. 1 mm 사슬이면 $N$은 수백만이라 $k$는 사실상 연속 변수다.

용수철 상수 40, 원자 질량 28.1, 간격 0.30인 사슬의 최대 진동수는 $f_\text{max} = \omega_\text{max}/2\pi =$ (에너지로 $\hbar\omega_\text{max} =$ )이고, 그때 파장은 $2a =$ 이다. 장파장 음속은 $v_s = a\sqrt{C/M} =$ 다.

$k$를 영역 경계 $\pi/a$까지 끌어 올리면(파장 $2a$), 이웃한 두 원자는 어떻게 움직이고 파동 에너지는 어느 쪽으로 흐를까?

$k = \pi/a$이면 이웃 위상차가 $\pi$라 원자들이 번갈아 반대로 흔들린다. 분산 곡선의 기울기 $d\omega/dk$가 0이므로 군속도도 0 — 정상파다. 아래 실험대에서 점을 곡선 꼭대기로 끌어 확인하라.

SIMULATOR

단원자 사슬 실험대: 분산 곡선 위 k를 끌어 보라

흰 점을 곡선 위로 끌기 (영역 밖까지)

용수철 상수 C 원자 질량 M 변위를 세로로 그린 곡선 영역 안 k로 그린 곡선(점선)

k (영역 안으로 옮긴 값)—

진동수 f—

위상 속도 ω/k—

군속도 dω/dk—

사슬 간격 $a = 0.30$ nm, 원자 16개 구간을 보여 준다. 위 줄은 실제 운동(사슬 방향 변위, 크게 확대), 아래 줄은 같은 변위를 세로로 옮겨 그린 것이다. 위쪽 두 화살표는 위상 속도(마루가 움직이는 빠르기)와 군속도(에너지가 움직이는 빠르기)를 같은 눈금으로 비교한다. 해볼 것: ① $k$를 0 가까이 두면 두 속도가 같아진다(음속). ② $k = \pi/a$에서 군속도가 0이 되고 이웃 원자가 정반대로 흔들린다. ③ $k$를 $1.6\pi/a$로 끌고 점선을 켜 보라. 원자 운동은 $-0.4\pi/a$와 똑같다 — 군속도도 같고, 달라지는 것은 원자 사이를 지나가는 가상의 곡선뿐이다.

질량 $M = 28.09$ u(실리콘), 용수철 상수 $C = 40.0$ N/m, 간격 $a = 0.300$ nm인 단원자 사슬이 있다. (a) 최대 진동수 $f_\text{max}$와 그 에너지 $\hbar\omega_\text{max}$, (b) 장파장 음속, (c) $k = \pi/2a$인 모드의 진동수를 구하라. $1\ \text{u} = 1.6605\times10^{-27}$ kg.

풀이 보기

전략 $\sqrt{C/M}$을 먼저 구하면 세 값이 모두 나온다: $\omega_\text{max} = 2\sqrt{C/M}$, $v_s = a\sqrt{C/M}$, $\omega(\pi/2a) = \omega_\text{max}\sin(\pi/4)$.

풀이 $M = 28.09\times1.6605\times10^{-27} = 4.664\times10^{-26}$ kg, $\sqrt{C/M} = \sqrt{40.0/4.664\times10^{-26}} = 2.928\times10^{13}$ rad/s. (a) $\omega_\text{max} = 5.857\times10^{13}$ rad/s → $f_\text{max} = \omega_\text{max}/2\pi = 9.32$ THz, $\hbar\omega_\text{max} = hf = 4.136\ \text{meV/THz}\times9.32\ \text{THz} = 38.6$ meV. (b) $v_s = 0.300\times10^{-9}\times2.928\times10^{13} = 8.79\times10^3$ m/s. (c) $f = 9.32\times\sin45^\circ = 6.59$ THz.

(a) f_max = 9.32 THz, ħω_max = 38.6 meV (b) v_s = 8.79 km/s (c) 6.59 THz

검토 실제 실리콘의 종파 음속(8.43 km/s)과 X점 LA 포논(12.3 THz)과 같은 크기다. 결합이 수십 N/m의 용수철, 원자가 10⁻²⁶ kg이면 진동수는 THz, 에너지는 수십 meV — 상온 열에너지 $k_BT = 25.9$ meV와 비슷하다는 것이 이 장 전체의 출발점이다.

브릴루앙 영역과 두 가지 속도

영역 밖의 k는 같은 운동이다: 앨리어싱

분산 관계 $|\sin(ka/2)|$는 $k$에 $2\pi/a$를 더해도 바뀌지 않는다. 우연이 아니다. 원자 변위 $u_n = Ae^{i(kna-\omega t)}$에서 $k$를 $k + 2\pi m/a$로 바꾸면 $e^{i2\pi mn} = 1$이므로 모든 원자의 변위가 완전히 같다. 파장 $2a$보다 짧은 파동을 상상할 수는 있지만, 원자는 격자점에만 있으므로 그 파동은 원자 위치에서 더 긴 파동과 구별되지 않는다. 디지털 표본화에서 표본 간격보다 빠른 신호가 느린 신호로 보이는 앨리어싱(aliasing)과 같은 현상이다.

그래서 물리적으로 다른 모드는 길이 $2\pi/a$인 구간 하나에 다 들어 있다. 대칭이 보기 좋게 원점을 가운데 두면

$$-\frac{\pi}{a} < k \le \frac{\pi}{a} \qquad (\text{제1 브릴루앙 영역})$$

2장의 역격자 벡터 $G = 2\pi m/a$만큼 다른 $k$는 같은 모드다. 3차원에서는 2장에서 만든 제1 브릴루앙 영역(실리콘은 깎은 팔면체)이 그대로 포논의 $k$ 공간이 된다.

파수 k

MINI LAB실선은 파수 $k$인 파동, 점선은 $k$에서 $2\pi/a$의 정수배를 빼 영역 안으로 옮긴 파동이다. 두 곡선은 원자 사이에서는 전혀 다르지만 원자 위치(점)에서는 언제나 같은 값을 지난다. 원자가 보는 것은 점뿐이다.

위상 속도와 군속도

마루 하나가 움직이는 빠르기가 위상 속도(phase velocity) $v_p = \omega/k$이고, 진폭의 덩어리(파속), 곧 에너지와 정보가 움직이는 빠르기가 군속도(group velocity) $v_g = d\omega/dk$다. 단원자 사슬에서는

$$v_g = \frac{d\omega}{dk} = a\sqrt{\frac{C}{M}}\cos\frac{ka}{2}, \qquad v_p = \frac{\omega}{k} = a\sqrt{\frac{C}{M}}\,\frac{\sin(ka/2)}{ka/2} \qquad (0 < k \le \pi/a)$$

위상 속도는 $k$에 $2\pi/a$를 더하면 값이 바뀌므로 물리적 의미가 약하다. 군속도는 어느 $k$로 이름 붙여도 같다.

두 극한이 중요하다.

장파장 $ka \ll 1$: 음파

$\sin(ka/2) \approx ka/2$이므로 $\omega \approx a\sqrt{C/M}\,k$ — 직선이다. $v_p = v_g = v_s = a\sqrt{C/M}$로 같아지고, 파장에 상관없이 같은 속도로 퍼지는 소리가 된다. 파장이 원자 간격보다 훨씬 길면 결정은 연속 탄성체로 보인다.

영역 경계 $k = \pi/a$: 정상파

$v_g = 0$. 이웃 원자의 위상차가 $\pi$라 원자들이 번갈아 반대로 흔들리고, 파형은 진행하지 않는다. 파장 $2a$인 파동은 원자면마다 반사된 파동이 모두 같은 위상으로 더해지는 브래그 조건(2장, $2a\sin90^\circ = \lambda$)을 만족해 오른쪽 파와 왼쪽 파가 같은 세기로 섞이기 때문이다.

연속체 극한은 탄성론과 정확히 맞는다. 1차원 사슬의 영률은 $Y = C/a$(힘 $C\Delta$ / 단면 무시), 선밀도는 $M/a$이므로 $v = \sqrt{Y/\rho} = \sqrt{(C/a)/(M/a)}\cdot a = a\sqrt{C/M}$. 3차원 입방 결정에서는 3장의 탄성 상수가 그 자리에 들어간다: [100] 방향 종파는 $v_L = \sqrt{C_{11}/\rho}$, 횡파는 $v_T = \sqrt{C_{44}/\rho}$.

실리콘의 탄성 상수 $C_{11} =$ 165.7, $C_{44} =$ 79.6, 밀도 2.329이면 [100] 방향 종파 음속은 , 횡파 음속은 다. 진동수 1 GHz인 종파 음파의 파장은 로 격자 상수(0.543 nm)의 배 — 이런 파동은 원자 하나하나를 전혀 느끼지 못한다.

중심 파수 k₀

MINI LAB중심 파수 $k_0$ 근처의 정규 모드 15개를 더해 만든 파속(원자 96개 고리, 변위를 세로로 그림). 주황 삼각형은 군속도로, 청록 삼각형은 위상 속도로 움직이는 표지다. 진폭 덩어리는 주황을 따라가고, 마루는 청록을 따라 덩어리 속을 빠져나간다. $k_0$을 1(영역 경계)로 올리면 덩어리가 제자리에 멈춘다.

단원자 사슬에서 (a) $k = 1.6\pi/a$인 파동과 같은 원자 운동을 주는 제1 브릴루앙 영역의 $k$는? (b) $k = \pi/2a$인 모드의 군속도와 위상 속도는 음속 $v_s$의 몇 배인가?

풀이 보기

전략 (a) $2\pi/a$의 정수배를 빼서 $-\pi/a < k \le \pi/a$에 넣는다. (b) $v_g/v_s = \cos(ka/2)$, $v_p/v_s = \sin(ka/2)/(ka/2)$.

풀이 (a) $1.6\pi/a - 2\pi/a = -0.4\pi/a$. 부호가 바뀌었으므로 마루가 반대로 움직이는 것처럼 보이지만 원자 운동은 같다. (b) $ka/2 = \pi/4$: $v_g/v_s = \cos45^\circ = 0.707$, $v_p/v_s = 0.7071/(0.7854) = 0.900$.

(a) k = −0.4π/a (b) v_g = 0.707 v_s, v_p = 0.900 v_s

검토 분산 곡선이 아래로 휘므로(오목) 접선 기울기 $v_g$가 할선 기울기 $v_p$보다 작아야 한다. 0.707 < 0.900으로 맞다. 이런 매질을 정상 분산 매질이라 하며, 파속은 진행하며 퍼진다.

실리콘의 $C_{11} = 165.7$ GPa, $C_{44} = 79.6$ GPa, 밀도 $\rho = 2.329$ g/cm³이다. [100] 방향 종파·횡파 음속과, 1 GHz 종파 음파의 파장을 구하라. 이 파동의 $k$는 영역 경계 $2\pi/a$($a = 0.5431$ nm)의 몇 분의 1인가?

풀이 보기

전략 장파장 극한이므로 연속 탄성체 공식 $v = \sqrt{C_{ij}/\rho}$를 쓴다. 단위를 SI로 맞춘다($\rho = 2329$ kg/m³).

풀이 $v_L = \sqrt{165.7\times10^9/2329} = 8.43\times10^3$ m/s, $v_T = \sqrt{79.6\times10^9/2329} = 5.85\times10^3$ m/s. $\lambda = v_L/f = 8435/10^9 = 8.43\ \mu\text{m}$. $k = 2\pi/\lambda = 7.45\times10^{-4}$ nm⁻¹, $2\pi/a = 11.57$ nm⁻¹ → 비 $6.4\times10^{-5}$.

v_L = 8.43 km/s, v_T = 5.85 km/s, λ = 8.43 µm (k는 영역 크기의 약 1/15 500)

검토 측정값(종파 8.43, 횡파 5.84 km/s)과 같다. GHz 음파는 분산 곡선의 원점에 바짝 붙은 직선 부분이다. 열을 나르는 포논은 THz 영역이라 곡선이 휘는 곳까지 퍼져 있다.

칩의 열을 나르는 것은 포논이다

실리콘은 도체가 아닌데도 열전도도가 약 150 W/(m·K)로 금속에 버금간다. 열을 나르는 주인공이 전자가 아니라 이 장의 격자 파동, 특히 군속도가 큰 음향 포논이기 때문이다. 영역 경계 근처의 포논은 군속도가 0에 가까워 열을 거의 나르지 못하고, 광학 포논도 분산이 평평해 느리다. 그래서 핀펫의 얇은 핀이나 SOI처럼 포논이 표면에 자주 부딪히는 구조에서는 열전도도가 크게 떨어지고 자체 발열이 커진다. 포논 열전도와 움클랍 산란은 6장의 주제이고, 패키지 수준의 열 경로는 PackagingBook · 열·기계·전기 설계에서 이어진다.

이원자 사슬: 음향 가지와 광학 가지

실리콘의 기본 단위 세포에는 원자가 2개, GaAs에는 Ga와 As가 하나씩 있다. 단위 세포에 원자가 둘 이상이면 새로운 종류의 진동이 생긴다. 질량 $M_1$과 $M_2$인 원자가 번갈아 늘어서고 같은 용수철 $C$로 이어진 이원자 사슬(diatomic chain)을 보자. 반복 주기(격자 상수)는 $a$이고, 한 세포 안에서 원자 1의 변위를 $u_s$, 원자 2의 변위를 $v_s$라 하자.

$$M_1\ddot u_s = C(v_s + v_{s-1} - 2u_s), \qquad M_2\ddot v_s = C(u_{s+1} + u_s - 2v_s)$$

해를 $u_s = u\,e^{i(ksa-\omega t)}$, $v_s = v\,e^{i(ksa-\omega t)}$로 두면 두 진폭 $u, v$에 대한 2×2 연립 방정식이 된다.

자명하지 않은 해가 있으려면 계수 행렬식이 0이어야 한다:

$$\begin{vmatrix} 2C - M_1\omega^2 & -C(1+e^{-ika}) \\ -C(1+e^{ika}) & 2C - M_2\omega^2 \end{vmatrix} = 0 \;\Rightarrow\; \omega^2 = C\left(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\right) \mp C\sqrt{\left(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\right)^2 - \frac{4\sin^2(ka/2)}{M_1M_2}}$$

한 $k$마다 $\omega$가 두 개 — 분산 곡선이 두 갈래(가지(branch))로 갈라진다.

아래쪽(− 부호)은 $k\to0$에서 $\omega\to0$인 음향 가지(acoustic branch), 위쪽(+ 부호)은 $k = 0$에서도 진동수가 유한한 광학 가지(optical branch)다. $M_1 > M_2$일 때 대표점의 값은 다음과 같다.

	$k = 0$	$k = \pi/a$
광학 가지	$\sqrt{2C(1/M_1+1/M_2)}$	$\sqrt{2C/M_2}$ (가벼운 원자만 진동)
음향 가지	0 (기울기 $v_s = a\sqrt{C/2(M_1+M_2)}$)	$\sqrt{2C/M_1}$ (무거운 원자만 진동)

영역 경계에서 $\sqrt{2C/M_1}$과 $\sqrt{2C/M_2}$ 사이에는 어떤 진동도 없다. 이 포논 간격(phonon gap)의 진동수로 원자를 흔들면 파동이 진행하지 못하고 지수적으로 감쇠한다. 띠 간격이 전자의 정상파 두 개에서 생겼듯(8장), 포논 간격도 영역 경계의 두 정상파 — 무거운 원자만 움직이는 것과 가벼운 원자만 움직이는 것 — 가 서로 다른 진동수를 갖기 때문에 생긴다.

두 원자의 질량을 똑같이($M_1 = M_2$) 만들면 음향·광학 가지 사이 간격은 어떻게 될까?

$M_1 = M_2$이면 영역 경계 진동수 $\sqrt{2C/M_1}$과 $\sqrt{2C/M_2}$가 같아진다. 실제로는 주기가 $a/2$인 단원자 사슬인데 주기를 $a$로 잡아 영역을 반으로 접은 것이다. 실리콘의 X점에서 LA와 LO가 만나는 것(4절)이 같은 이유다.

SIMULATOR

이원자 사슬: 질량비를 끌어 간격 2 THz를 만들어라

곡선 클릭: 모드 선택 · 사각 핸들: 질량

원자 1 질량 M₁ 원자 2 질량 M₂ 용수철 상수 C

가지

광학 f(k=0)—

간격 Δf (k=π/a)—

진폭비 v/u—

과녁 2.00 ± 0.05 THz—

큰 원은 원자 1(청록), 작은 원은 원자 2(주황), 크기는 질량에 비례하게 그렸다. 위 줄은 실제 운동, 아래 줄은 두 원자의 변위를 세로로 옮겨 그린 것. 분산 그림 오른쪽 끝의 사각 핸들을 위아래로 끌면 그 진동수를 내는 질량이 정해진다(아래 핸들 = 무거운 원자, 위 핸들 = 가벼운 원자). 해볼 것: ① 광학 가지의 $k = 0$을 눌러 두 원자가 반대로, 질량에 반비례하는 진폭으로 흔들리는 것(질량 중심 고정)을 보라. ② 음향 가지의 $k\to\pi/a$에서 가벼운 원자가 멈춘다. ③ 과녁: $C = 50$ N/m, $M_2 = 28$ u로 두고 $M_1$만 바꿔 간격을 2.00 THz로 만들어라.

음향 가지의 장파장 모드: 이웃이 같이 움직인다.
광학 가지의 $k = 0$ 모드: 세포 안의 두 원자가 서로 마주 보며 진동한다.
음향 가지의 영역 경계: 무거운 원자의 정상파.
광학 가지의 영역 경계: 가벼운 원자의 정상파.

이원자 사슬의 고유 벡터(eigenvector). 화살표 길이는 진폭이다. 음향은 "같은 위상", 광학은 "반대 위상"이 핵심 차이이며, 영역 경계에서는 두 가지가 각각 한 종류의 원자만 움직인다.

"광학"이라는 이름은 이온 결정에서 왔다. NaCl의 Na⁺와 Cl⁻이 $k = 0$ 광학 모드로 반대로 진동하면 세포마다 전기 쌍극자가 같은 위상으로 흔들린다. 적외선의 파장(수십 µm)은 영역 크기에 비하면 사실상 $k = 0$이므로 적외선이 이 진동을 직접 흔들어 강하게 흡수된다. GaAs의 횡광학(TO) 포논은 8.0 THz(268 cm⁻¹), 종광학(LO) 포논은 8.55 THz(292 cm⁻¹)다. 실리콘은 두 원자가 똑같아 쌍극자가 생기지 않으므로 이 진동은 적외선으로는 보이지 않고, 6절의 라만 산란으로 본다.

질량 $M_1 = 35.45$ u(Cl), $M_2 = 22.99$ u(Na)인 원자가 번갈아 놓이고 용수철 상수가 $C = 30.0$ N/m인 이원자 사슬이 있다. (a) $k = 0$ 광학 포논의 진동수, (b) 영역 경계의 음향·광학 진동수와 간격 $\Delta f$, (c) $k = 0$ 광학 모드의 진폭비 $v/u$를 구하라.

풀이 보기

전략 표의 극한값을 쓰고 $f = \omega/2\pi$로 바꾼다. 질량을 kg으로 바꿔 $\sqrt{2C/M}$을 계산한다.

풀이 $M_1 = 5.887\times10^{-26}$ kg, $M_2 = 3.818\times10^{-26}$ kg. (a) $\omega = \sqrt{2C(1/M_1+1/M_2)} = \sqrt{60\times(1.699+2.619)\times10^{25}} = 5.090\times10^{13}$ rad/s → $f = 8.10$ THz. (b) $\sqrt{2C/M_1} = 3.193\times10^{13}$ → 5.08 THz, $\sqrt{2C/M_2} = 3.964\times10^{13}$ → 6.31 THz, 간격 $\Delta f = 1.23$ THz. (c) $v/u = -M_1/M_2 = -1.54$.

(a) 8.10 THz (b) 5.08 THz, 6.31 THz, Δf = 1.23 THz (c) v/u = −1.54

검토 $f_\text{op}(0)^2 = f_\text{ac}(\pi/a)^2 + f_\text{op}(\pi/a)^2$ ($8.10^2 = 5.08^2 + 6.31^2$)가 맞는다. 가벼운 Na가 1.54배 크게 움직여 질량 중심이 고정된다. 실제 NaCl의 TO 포논(약 5 THz)과 같은 규모다.

3차원 포논: 편광과 실리콘의 분산

3차원에서는 파수가 벡터 $\vec k$이고, 원자가 움직이는 방향(편광(polarization) 벡터 $\hat e$)이 $\vec k$와 나란할 수도 수직일 수도 있다. 원자가 파동의 진행 방향으로 움직이면 종파(longitudinal wave)(L), 수직으로 움직이면 횡파(transverse wave)(T)다. 횡파는 수직 방향이 둘이라 두 가지다. 대칭이 높은 방향([100], [111])에서는 순수한 L·T로 나뉘고 두 T가 같은 진동수를 갖지만(겹침), 일반 방향에서는 L과 T가 섞인다.

가지의 수

기본 단위 세포에 원자가 $p$개 있으면, $\vec k$마다 정규 모드가 $3p$개 — 분산 가지가 $3p$개다. 그중 3개(LA 1개 + TA 2개)는 $k\to0$에서 $\omega\to0$인 음향 가지, 나머지 $3p-3$개는 광학 가지다. 결정 전체(세포 $N$개)의 모드 수는 $3pN$ — 원자 하나당 자유도 3개다.

세포당 원자 수 p

MINI LAB세포당 원자 수와 차원에 따라 가지가 몇 개 생기는지 보여 주는 개념도(곡선 모양은 개략적). 음향 가지는 언제나 차원 수만큼, 나머지는 모두 광학 가지다. Cu·Al(p = 1)에는 광학 가지가 없고, Si·GaAs(p = 2)는 6가지, 페로브스카이트 SrTiO₃(p = 5)는 15가지다.

종파와 횡파는 원자를 되돌리는 힘의 종류가 다르다. 종파는 결합을 늘이고 줄이지만, 횡파는 결합을 휘게 하거나 대각선 이웃과의 거리를 바꿔야 복원력이 생긴다. 그래서 같은 $k$에서 보통 $\omega_T < \omega_L$이다. 아래 2차원 정사각 격자 모형에서 최근접 용수철 $C_1$은 종파에만 기여하고, 대각선 이웃 용수철 $C_2$가 있어야 횡파가 생긴다는 것을 직접 확인해 보자.

SIMULATOR

2차원 격자의 종파와 횡파: k 벡터를 끌어라

k 끝점을 끌기

가지

대각선 용수철 C₂/C₁

높은 가지 ω/ω₀—

낮은 가지 ω/ω₀—

편광과 k의 각—

판정—

질량 $M$, 최근접 용수철 $C_1$, 대각선 이웃 용수철 $C_2$인 정사각 격자(원자 1개/세포 → 가지 2개). $\omega_0 = \sqrt{C_1/M}$. 왼쪽은 원자 운동(변위 확대, 옅은 선은 파면), 오른쪽은 제1 브릴루앙 영역과 두 가지의 편광 방향. 해볼 것: ① Γ→X 방향에서 높은 가지는 정확히 종파(0°), 낮은 가지는 정확히 횡파(90°)다. ② $C_2 = 0$으로 내리면 [10] 방향 횡파의 진동수가 0이 된다 — 최근접 용수철만으로는 옆으로 미는 힘이 없다. ③ k를 일반 방향(예: 20°)으로 끌면 편광 각이 0°·90°에서 벗어나 L과 T가 섞인다.

실제 실리콘은 다이아몬드 구조로 세포당 원자 2개이므로 가지가 6개다: TA 2, LA 1, TO 2, LO 1. 아래 그림은 중성자 비탄성 산란으로 잰 분산 곡선을 대표점의 실측값을 지나도록 그린 것이다.

실리콘의 포논 분산(L–Γ–X). 동그라미는 중성자 산란 실측값(Dolling 1963, Nilsson·Nelin 1972 — 반도체 물성 자료집에 실린 값)이고, 곡선은 그 점과 장파장 음속(탄성 상수로 계산)을 매끄럽게 이은 개략선이다. 대칭 방향에서는 두 TA, 두 TO가 겹친다. X점에서 LA와 LO가 만나는 것은 두 원자가 똑같기 때문이다(이원자 사슬의 $M_1 = M_2$). 점선은 상온 열에너지 $k_BT$.

점	가지	f (THz)	ħω (meV)	ν̃ (cm⁻¹)
Γ (k = 0)	LO = TO (3중 겹침)	15.5–15.6	64.2–64.6	518–521 (라만 520.7)
X (2π/a)(1,0,0)	TA	4.49	18.6	150
	LA = LO	12.32	51.0	411
	TO	13.90	57.5	464
L (π/a)(1,1,1)	TA	3.43	14.2	114
	LA	11.36	47.0	379
	LO	12.60	52.1	420
	TO	14.68	60.7	490

표에서 읽을 것 세 가지. 첫째, 광학 포논의 에너지(50–65 meV)는 상온 $k_BT$(25.9 meV)의 2배 이상이라 300 K에서 잘 들뜨지 않는다(다음 절). 둘째, TA 가지는 영역 경계 근처에서 아주 평평하다(X점 4.5 THz) — 이 포논들은 많지만 느리다. 셋째, 실리콘 전자가 계곡 사이를 건너뛸 때(Δ 계곡 → 다른 Δ 계곡, 8장) 필요한 큰 $\vec k$는 이런 영역 경계 포논이 공급한다. 간접 띠 간격의 빛 흡수도 같은 포논이 운동량을 맞춰 준다.

포논: 격자 진동의 양자

지금까지는 고전 역학이었다. 원자 $N$개의 결합된 진동은 정규 좌표로 바꾸면 서로 독립인 조화 진동자 $3pN$개로 정확히 나뉜다 — 각 정규 모드 $(\vec k, s)$가 진동수 $\omega_s(\vec k)$인 진동자 하나다. 현대물리학 7장의 양자 조화 진동자를 그대로 쓰면 각 모드의 에너지는 띄엄띄엄하다.

$$E_{\vec k s} = \left(n_{\vec k s} + \tfrac12\right)\hbar\omega_s(\vec k), \qquad n = 0, 1, 2, \dots$$

$n$은 그 모드에 들어 있는 에너지 덩어리의 개수, $\tfrac12\hbar\omega$는 영점 에너지(절대 0도에서도 원자는 떨린다).

모드 $(\vec k, s)$가 $n$번째 준위에 있다는 것을 "그 모드에 포논(phonon)이 $n$개 있다"고 말한다. 빛의 양자가 광자이듯 격자 진동의 양자가 포논이다. 포논은 에너지 $\hbar\omega$를 가진 입자처럼 생성·소멸되고, 같은 모드에 몇 개든 들어갈 수 있는 보손이며, 개수가 보존되지 않는다(온도를 올리면 늘어난다).

결정 운동량

포논은 $\hbar\vec k$의 결정 운동량(crystal momentum)을 가진다. 그러나 진짜 운동량은 아니다. $\vec k$는 역격자 벡터만큼 다른 값과 같은 모드이고(2절), $k \ne 0$인 진동에서는 원자들이 앞뒤로 흔들릴 뿐 결정 전체의 질량 중심은 움직이지 않는다. 그런데도 포논이 전자·중성자·광자와 충돌할 때는 운동량처럼 보존된다. 정확히는 역격자 벡터 $\vec G$만큼의 차이를 허용하는 보존 법칙이다:

$$\vec k_\text{처음} = \vec k_\text{나중} \pm \vec q + \vec G$$

$\vec q$는 생성(+)되거나 흡수(−)된 포논의 파수 벡터. $\vec G = 0$이면 정상 과정, $\vec G \ne 0$이면 결정이 통째로 $\hbar\vec G$를 받아 가는 움클랍 과정(6장의 열저항 원인)이다.

보스–아인슈타인 점유수

온도 $T$에서 진동수 $\omega$인 모드에 평균 몇 개의 포논이 있을까? 진동자 준위 $n\hbar\omega$에 볼츠만 인자 $e^{-n\hbar\omega/k_BT}$를 주고 평균을 내면(현대물리학 양자 통계)

보스–아인슈타인 점유수

$$\langle n\rangle = \frac{1}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}, \qquad \langle E\rangle = \left(\langle n\rangle + \tfrac12\right)\hbar\omega$$

$\hbar\omega \ll k_BT$이면 $\langle n\rangle \approx k_BT/\hbar\omega$이고 $\langle E\rangle \approx k_BT$ — 고전 등분배 정리. $\hbar\omega \gg k_BT$이면 $\langle n\rangle \approx e^{-\hbar\omega/k_BT}$로 거의 0, 그 모드는 "얼어 있다". 이것이 6장 비열의 핵심이다.

진동수 15.61인 포논 하나의 에너지는 $\hbar\omega = hf =$ = (분광학 단위 $\tilde\nu = f/c$)이고, 온도로 치면 $\hbar\omega/k_B =$ 다. 온도 300에서 이 모드의 평균 포논 수는 $\langle n\rangle =$ , 평균 에너지는 $(\langle n\rangle + \tfrac12)\hbar\omega =$ 로 고전값 $k_BT =$ 와 비교된다.

온도 T

MINI LAB평균 포논 수 $\langle n\rangle$(세로 로그 눈금)과 포논 에너지. 점선은 고전 근사 $k_BT/\hbar\omega$. 표시된 세 점은 실리콘의 TA(X) 18.6 meV, LA(X) 51.0 meV, Γ 광학 64.6 meV 포논이다. 그래프를 눌러 끌면 그 에너지의 $\langle n\rangle$을 읽는다. 상온에서 광학 포논은 10개 모드 중 1개꼴로만 들떠 있다.

실리콘의 $k = 0$ 광학 포논은 라만 분광에서 520.7 cm⁻¹에 나타난다. (a) 이 포논의 진동수(THz)와 에너지(meV), (b) 300 K와 77 K에서의 평균 포논 수를 구하라.

풀이 보기

전략 파수 $\tilde\nu$(cm⁻¹)에서 $f = c\tilde\nu$, $E = hf$. 점유수는 $1/(e^{x}-1)$, $x = \hbar\omega/k_BT$.

풀이 (a) $f = 2.998\times10^{10}\ \text{cm/s}\times520.7\ \text{cm}^{-1} = 1.561\times10^{13}$ Hz = 15.61 THz, $E = 4.1357\times10^{-15}\ \text{eV}\cdot\text{s}\times1.561\times10^{13}\ \text{Hz} = 64.56$ meV. (b) 300 K: $k_BT = 25.85$ meV, $x = 2.497$, $\langle n\rangle = 1/(12.15-1) = 0.0897$. 77 K: $k_BT = 6.635$ meV, $x = 9.73$, $\langle n\rangle = 5.95\times10^{-5}$.

(a) 15.61 THz, 64.6 meV (b) ⟨n⟩ = 0.090 (300 K), 5.95 × 10⁻⁵ (77 K)

검토 $x > 1$이므로 고전 근사($k_BT/\hbar\omega = 0.40$)는 크게 틀린다. 77 K에서는 광학 포논이 사실상 하나도 없다 — 6절의 반스토크스 라만선이 저온에서 사라지는 이유다. 유용한 환산: 1 THz = 4.136 meV = 33.36 cm⁻¹ = 48.0 K.

광학 포논이 전자 속도에 뚜껑을 씌운다

MOSFET 채널에 강한 전기장이 걸리면 전자는 충돌 사이에 에너지를 얻어 "뜨거워진다". 전자 에너지가 광학 포논 에너지(약 63 meV)에 닿으면 광학 포논을 하나 내놓고 에너지를 단번에 잃는 산란이 폭발적으로 늘어난다. 표의 광학 포논은 분산이 평평해 거의 어떤 $\vec k$로도 만들 수 있으니 피할 길이 없다. 그 결과 실리콘 전자의 속도는 전기장을 더 올려도 약 $1\times10^7$ cm/s에서 멈춘다 — 속도 포화다. 짧은 채널 트랜지스터의 구동 전류를 정하는 이 현상은 11장 캐리어 수송에서 계산하고, 소자 관점은 DeviceBook · 캐리어 수송의 고전계 절에 있다.

포논을 보는 법: 중성자 산란과 라만 산란

포논 분산을 재려면 결정에 무언가를 쏘아 넣고, 나온 입자가 포논 하나를 만들거나(에너지 잃음) 흡수했는지(에너지 얻음) 본다. 에너지와 결정 운동량이 모두 보존된다:

$$E_i - E_f = \pm\hbar\omega_s(\vec q), \qquad \vec k_i - \vec k_f = \pm\vec q + \vec G$$

+는 포논 생성, −는 포논 흡수. 들어간 입자의 에너지 변화와 파수 변화를 동시에 재면 분산 곡선의 한 점 $(\vec q, \omega)$이 나온다.

문제는 탐침의 크기다. 포논 에너지는 수–수십 meV, 파수는 최대 $2\pi/a \approx 10$ nm⁻¹이다. 에너지와 파수가 둘 다 이 정도인 탐침이 필요하다.

열중성자

파장 0.2 nm 중성자의 에너지는 20 meV, 파수는 31 nm⁻¹ — 포논과 딱 맞는다. 에너지 변화가 상대적으로 커서 잘 재지고, 산란 각도로 $\vec q$를 영역 전체에서 고를 수 있다. 원자로·파쇄 중성자원의 중성자 비탄성 산란(inelastic neutron scattering)이 4절의 실리콘 분산 곡선을 만들었다.

가시광선 광자

532 nm 광자의 에너지는 2.33 eV로 포논보다 수십 배 크지만 파수는 0.012 nm⁻¹로 영역 크기의 0.1%뿐이다. 따라서 빛은 $\vec q \approx 0$, 곧 Γ점 포논만 만들 수 있다. 대신 실험실 장비로 µm 크기 점을 빠르게, 비파괴로 잰다 — 라만 산란(Raman scattering).

중성자 삼축 분광기. 세 개의 회전축(단색기, 시료, 분석기)을 돌려 원하는 $(\vec Q, \hbar\omega)$에 맞추고, 그 점에 포논이 있을 때만 중성자가 검출된다. 분산 곡선을 점 하나씩 따라 가며 그린다.

입사 에너지 E_i 같은 에너지의 광자와 비교

MINI LAB1차원 사슬(1절 예제: $a = 0.30$ nm, 최대 38.6 meV)에 사슬 방향으로 중성자를 쏠 때. 포물선은 에너지·운동량 보존이 허락하는 $(Q, \Delta E)$의 자취 $\Delta E = \tfrac{\hbar^2}{2m_n}(k_i^2 - (k_i - Q)^2)$이고, 분산 곡선(위: 포논 생성, 아래: 흡수)과 만나는 점만 실제로 일어난다. 꼭짓점 핸들을 끌어 $E_i$를 바꿔 보라. 광자를 켜면 자취가 $Q \approx 0$의 수직선으로 줄어든다.

(a) 파장 0.200 nm인 중성자의 에너지(meV)와 파수(nm⁻¹)를 구하고, 실리콘의 $2\pi/a$($a = 0.5431$ nm)와 비교하라. (b) 같은 에너지(20.5 meV)의 광자 파장은? (c) 532 nm 광자의 파수는 $2\pi/a$의 몇 %인가? $m_n = 1.6749\times10^{-27}$ kg.

풀이 보기

전략 중성자: $E = h^2/2m_n\lambda^2$, $k = 2\pi/\lambda$. 광자: $\lambda = hc/E$.

풀이 (a) $E = (6.626\times10^{-34})^2/(2\times1.6749\times10^{-27}\times(2.00\times10^{-10})^2) = 3.277\times10^{-21}$ J = 20.5 meV. $k = 2\pi/0.200 = 31.4$ nm⁻¹, $2\pi/a = 11.57$ nm⁻¹ → 약 2.7배. (b) $\lambda = 1239.8\ \text{eV}\cdot\text{nm}/0.0205\ \text{eV} = 6.06\times10^4$ nm = 60.6 µm(원적외선). (c) $k = 2\pi/532 = 0.0118$ nm⁻¹ → 0.102%.

(a) 20.5 meV, 31.4 nm⁻¹ (영역의 약 2.7배) (b) 60.6 µm (c) 약 0.10%

검토 중성자는 질량이 커서 같은 에너지에서 파수가 광자보다 $10^5$배 이상 크다. X선은 파수는 맞지만(0.2 nm) 에너지가 6 keV라 meV 변화를 가려내기 어렵다. 그래서 전체 분산은 중성자로, Γ점은 빛으로 잰다.

라만 산란: 스토크스와 반스토크스

레이저(진동수 $\omega_L$)를 실리콘에 비추면 대부분은 같은 진동수로 산란되지만(레일리 산란), $10^{-6}$ 이하의 아주 작은 비율로 광학 포논을 하나 만들고 $\omega_L - \omega$로 나오거나(스토크스 산란(Stokes scattering)), 이미 있던 포논을 하나 흡수하고 $\omega_L + \omega$로 나온다(반스토크스 산란(anti-Stokes scattering)). 산란광의 진동수 차이를 파수로 나타낸 라만 이동(Raman shift) $\tilde\nu = (\omega_L - \omega_S)/2\pi c$가 곧 포논의 파수(cm⁻¹)다.

광자가 결정의 전자를 실제 상태가 아닌 가상 준위로 잠시 올린다.
전자가 내려오며 포논 하나를 남기면 산란광은 $\hbar\omega$만큼 에너지를 잃는다(스토크스).
이미 들떠 있던 포논을 흡수하면 $\hbar\omega$만큼 에너지를 얻는다(반스토크스). 포논이 있어야 하므로 세기는 $\langle n\rangle$에 비례한다.
파수 보존 때문에 1차 라만 산란은 Γ점($q\approx0$) 광학 포논만 본다. 실리콘의 세 Γ 광학 모드는 겹쳐 있어 520.7 cm⁻¹의 날카로운 선 하나가 된다.

라만 산란의 에너지와 운동량. 스토크스와 반스토크스 세기의 비는 포논 점유수로 정해지므로 시료의 온도계가 된다.

두 선의 세기 비는 점유수 비 $\langle n\rangle/(\langle n\rangle+1) = e^{-\hbar\omega/k_BT}$에 산란 효율의 진동수 의존($\omega^4$)을 곱한 것이다.

$$\frac{I_\text{AS}}{I_\text{S}} = \left(\frac{\omega_L + \omega}{\omega_L - \omega}\right)^4 e^{-\hbar\omega/k_BT}$$

레이저 파장이 짧을수록 앞의 인자는 1에 가까워진다(532 nm에서 1.248). 실리콘 300 K에서 $e^{-\hbar\omega/k_BT} = 0.082$ — 반스토크스선은 스토크스선의 약 10분의 1이다.

SIMULATOR

실리콘 라만 분광기: 온도와 응력 읽기

세로 커서를 봉우리 꼭대기로 끌기

시료 온도 T 1축 응력 σ

레이저

I_AS/I_S → 온도—

커서 위치 Δω—

커서로 본 응력—

미지 시료—

위: 전체 스펙트럼(가운데 레일리선은 노치 필터로 막힘, 오른쪽 + 이동이 스토크스, 왼쪽 − 이동이 반스토크스). 아래: 스토크스 봉우리 확대. 모형: 봉우리 위치 $520.7 - 0.022(T-300) - \sigma/434$ cm⁻¹(1축, 압축 σ < 0이면 위로 이동), 폭은 온도와 함께 넓어진다. 해볼 것: ① 온도를 올리면 반스토크스선이 자라고, 세기 비로 계산한 온도가 설정값을 따라간다. ② 레이저를 785 nm로 바꾸면 $\omega^4$ 인자 때문에 같은 온도에서도 비가 달라진다 — 보정하지 않으면 온도를 잘못 읽는다. ③ 미지 시료: 300 K에서 응력을 숨긴 시료를 받는다. 커서를 봉우리에 맞춘 뒤 판정을 눌러라(±30 MPa 이내 명중).

532 nm 레이저로 잰 실리콘 라만 스펙트럼에서 반스토크스선과 스토크스선(520.7 cm⁻¹)의 세기 비가 0.100이었다. (a) $\omega^4$ 인자를 무시하면 시료 온도는? (b) 인자를 넣으면?

풀이 보기

전략 $I_\text{AS}/I_\text{S} = F\,e^{-\hbar\omega/k_BT}$에서 $T = \hbar\omega/[k_B\ln(F/r)]$. 레이저 파수 $\tilde\nu_L = 10^7/532 = 18\,797$ cm⁻¹.

풀이 $\hbar\omega = 64.56$ meV. (a) $F = 1$: $T = 64.56/(0.08617\times\ln10) = 64.56/0.1984 = 325$ K. (b) $F = \left(\dfrac{18\,797+520.7}{18\,797-520.7}\right)^4 = (1.05698)^4 = 1.248$, $\ln(1.248/0.100) = 2.524$ → $T = 64.56/(0.08617\times2.524) = 297$ K.

(a) 325 K (b) 297 K

검토 보정 인자 25%가 온도로는 약 30 K 차이를 낸다. 실제로는 검출기 감도의 파장 의존도 보정해야 한다. 이 방법은 레이저가 시료를 얼마나 데우는지 확인하는 데 쓰인다.

라만으로 응력 재기

결정을 누르면 원자 간격이 줄어 결합의 용수철 상수가 커지고(비조화성, 6장), 광학 포논 진동수가 올라간다. 늘이면 내려간다. 실리콘에서 이 이동은 응력에 비례하며, 문헌에서 널리 쓰는 환산 계수는 다음과 같다(De Wolf, 1996).

$$\sigma\ [\text{MPa}] = -434\,\Delta\omega\ [\text{cm}^{-1}]\ \ (\text{1축}), \qquad \sigma\ [\text{MPa}] = -250\,\Delta\omega\ [\text{cm}^{-1}]\ \ ((001)\ \text{면 2축})$$

$\Delta\omega = \omega - 520.7$ cm⁻¹. 응력 부호는 인장이 +, 압축이 −. 압축이면 $\Delta\omega > 0$(위로 이동). 봉우리 중심을 0.02–0.05 cm⁻¹까지 맞추면 수십 MPa 이하의 응력을 µm 크기 점에서 비접촉으로 잴 수 있다. 계수는 응력 상태와 결정 방위에 따라 달라지는 근삿값이다.

MINI LAB측정 봉우리(실선)를 좌우로 끌어 기준(점선, 무응력 520.7 cm⁻¹)에서 옮겨 보라. 이동량 $\Delta\omega$가 응력으로 바뀐다. 변형 실리콘 채널(약 1 GPa 2축 인장)은 봉우리를 약 4 cm⁻¹ 아래로 내린다.

온도와 응력을 헷갈리지 말 것

레이저 출력이 크면 측정점이 수십 K 데워지고, 실리콘 봉우리는 1 K마다 약 0.02 cm⁻¹ 내려간다. 50 K 가열이면 −1.1 cm⁻¹ — 1축 환산으로 약 +480 MPa의 "가짜 인장 응력"이다. 그래서 응력 측정은 낮은 레이저 출력, 무응력 기준 시료와의 같은 조건 비교, 또는 반스토크스/스토크스 비로 온도를 동시에 확인하며 한다.

SiGe 위에 키운 얇은 실리콘 층의 라만 봉우리가 519.5 cm⁻¹에 나타났다(같은 조건 무응력 기준 520.7 cm⁻¹). (a) (001) 면 2축 응력으로 보면 응력은? (b) 같은 이동을 1축 응력으로 잘못 환산하면?

풀이 보기

전략 $\Delta\omega = 519.5 - 520.7 = -1.2$ cm⁻¹를 환산 계수에 넣는다.

풀이 (a) $\sigma = -250\times(-1.2) = +300$ MPa (인장). (b) $\sigma = -434\times(-1.2) = +521$ MPa.

(a) +300 MPa (2축 인장) (b) +521 MPa — 응력 상태를 잘못 가정하면 70% 넘게 틀린다

검토 아래로 이동했으니 인장, 부호가 맞다. SiGe 위의 Si는 격자 불일치(3장) 때문에 면 안에서 늘어나는 2축 인장 상태이므로 (a)가 맞는 해석이다. 실리콘 위의 얇은 층을 보려면 침투 깊이가 수 nm인 자외선 레이저를 써서 아래 기판의 신호를 피한다.

라만으로 변형 실리콘 채널을 확인한다

90 nm 세대부터 트랜지스터는 채널에 일부러 응력을 넣어 이동도를 높인다. nMOS에는 인장(SiN 응력막, SiGe 위 변형 Si), pMOS에는 압축(소스·드레인의 SiGe)이 쓰인다. 공정 개발에서는 이 응력이 의도대로 들어갔는지를 라만 봉우리 이동으로 확인하고, 단면 시료에서 µm 간격으로 응력 지도를 그린다. 분석 실험실에서 라만은 이물의 정체와 국부 응력을 함께 보는 도구로 쓰인다: FailureBook · 원소·화학 분석. 응력이 띠 구조와 이동도를 바꾸는 원리는 8장과 11장에서 다룬다.

TSV 둘레의 응력 지도

실리콘 관통 전극(TSV)의 구리는 실리콘보다 열팽창 계수가 6배쯤 커서, 어닐 후 식으면 주변 실리콘에 수백 MPa의 응력을 남긴다. 이 응력이 근처 트랜지스터의 이동도를 바꾸므로 TSV 둘레에 소자를 두지 않는 금지 영역(KOZ)을 정한다. KOZ 크기를 검증하는 대표적인 방법이 TSV를 가로지르며 라만 봉우리 이동을 µm 간격으로 찍는 것이다. 응력이 거리 제곱에 반비례해 줄어드는 모습이 라만 지도에 그대로 나타난다. 공정 흐름과 KOZ 계산은 PackagingBook · TSV와 3D 적층에 있다.

핵심 정리

조화 근사에서 결정은 원자(질량 $M$)와 결합(용수철 $C$)의 그물이다. 단원자 사슬의 정규 모드 $u_n = Ae^{i(kna-\omega t)}$는 분산 관계 $\omega = 2\sqrt{C/M}\,|\sin(ka/2)|$를 따르고, 원자 $N$개면 모드도 $N$개다.
$k$와 $k + 2\pi/a$는 원자 위치에서 같은 변위를 주므로(앨리어싱) 제1 브릴루앙 영역 $-\pi/a < k \le \pi/a$만 보면 된다.
군속도 $v_g = d\omega/dk = a\sqrt{C/M}\cos(ka/2)$가 에너지의 속도다. 장파장에서 $v_g = v_p = v_s = a\sqrt{C/M}$(3차원: $v_L = \sqrt{C_{11}/\rho}$, Si 8.43 km/s), 영역 경계에서는 $v_g = 0$인 정상파다.
이원자 사슬은 음향 가지(같은 위상, $k\to0$에서 $\omega\to0$)와 광학 가지(반대 위상, $\omega(0) = \sqrt{2C(1/M_1+1/M_2)}$)로 갈라지고, 영역 경계에서 $\sqrt{2C/M_1}$과 $\sqrt{2C/M_2}$ 사이에 간격이 열린다.
세포당 원자 $p$개인 3차원 결정은 $3p$개 가지(음향 3: LA + 2TA, 광학 $3p-3$)를 갖는다. Si는 6가지이고 Γ 광학 포논이 15.6 THz = 64.6 meV = 520.7 cm⁻¹다.
각 모드는 양자 조화 진동자라 에너지가 $(n+\tfrac12)\hbar\omega$이고, 그 양자가 포논이다. 포논은 결정 운동량 $\hbar\vec q$($\vec G$만큼 차이 허용)를 가진 보손이며, 평균 수는 $\langle n\rangle = 1/(e^{\hbar\omega/k_BT}-1)$이다.
중성자는 에너지·파수가 포논과 맞아 전체 분산을 재고, 빛은 파수가 작아 Γ점 포논만 본다. 라만 반스토크스/스토크스 비는 온도를, 봉우리 이동은 응력(1축 −434, 2축 −250 MPa/cm⁻¹)을 알려 준다.

연습문제

$1\ \text{u} = 1.6605\times10^{-27}$ kg, $h = 6.626\times10^{-34}$ J·s $= 4.136\times10^{-15}$ eV·s, $k_B = 8.617\times10^{-5}$ eV/K, $c = 2.998\times10^{10}$ cm/s. 실리콘 $a = 0.5431$ nm. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

질량 63.55 u(구리) 원자가 용수철 상수 25.0 N/m로 이어진 단원자 사슬의 최대 진동수 $f_\text{max}$는?

$\omega_\text{max} = 2\sqrt{C/M}$, $f = \omega/2\pi$.

$M = 1.0553\times10^{-25}$ kg, $\sqrt{C/M} = \sqrt{25.0/1.0553\times10^{-25}} = 1.539\times10^{13}$ rad/s. $f_\text{max} = 2\times1.539\times10^{13}/2\pi = 4.90$ THz.

앞 문제의 사슬에서 원자 간격이 0.256 nm이면 장파장 음속은?

$v_s = a\sqrt{C/M} = 0.256\times10^{-9}\times1.539\times10^{13} = 3.94\times10^3$ m/s. 구리의 실제 종파 음속(약 4.7 km/s)과 같은 크기다.

단원자 사슬에서 $k = 2.3\pi/a$인 파동과 원자 운동이 같은 제1 브릴루앙 영역의 $k$를 $\pi/a$ 단위로 쓰라.

$2\pi/a$를 빼면 $2.3\pi/a - 2\pi/a = 0.3\pi/a$. $-\pi/a < 0.3\pi/a \le \pi/a$이므로 이것이 답이다.

단원자 사슬에서 $k = 0.8\pi/a$인 모드의 군속도와 위상 속도는 각각 음속의 몇 배인가?

$ka/2 = 0.4\pi$.

$v_g/v_s = \cos(0.4\pi) = 0.309$. $v_p/v_s = \sin(0.4\pi)/(0.4\pi) = 0.9511/1.2566 = 0.757$. 영역 경계에 가까워 에너지는 음속의 3분의 1 이하로 느리게 흐른다.

질량 79.90 u(Br)와 39.10 u(K)가 번갈아 놓이고 용수철 상수가 20.0 N/m인 이원자 사슬에서 $k = 0$ 광학 포논의 진동수는?

$1/M_1 + 1/M_2 = (1/79.90 + 1/39.10)/1.6605\times10^{-27} = (0.012516 + 0.025575)\times6.0223\times10^{26} = 2.2939\times10^{25}$ kg⁻¹. $\omega = \sqrt{2\times20.0\times2.2939\times10^{25}} = 3.029\times10^{13}$ rad/s → $f = 4.82$ THz.

앞 문제의 사슬에서 영역 경계 $k = \pi/a$의 음향·광학 가지 사이 간격 $\Delta f$는?

$f_\text{ac} = \sqrt{2C/M_1}/2\pi = \sqrt{40.0/1.3267\times10^{-25}}/2\pi = 1.736\times10^{13}/2\pi = 2.76$ THz, $f_\text{op} = \sqrt{40.0/6.4926\times10^{-26}}/2\pi = 2.482\times10^{13}/2\pi = 3.95$ THz. $\Delta f = 1.19$ THz.

이원자 사슬의 $k = 0$ 광학 모드에서 두 원자의 운동을 바르게 설명한 것은?

$v/u = -M_1/M_2$이므로 $M_1u + M_2v = 0$ — 질량 중심이 고정된 반대 위상 진동이다. 한 종류만 움직이는 것은 영역 경계($k = \pi/a$)의 모드다.

페로브스카이트 SrTiO₃는 기본 단위 세포에 원자 5개(Sr 1, Ti 1, O 3)가 있다. 포논 가지는 모두 몇 개이고, 그중 광학 가지는 몇 개인가?

$3p = 15$개, 음향 3개를 빼면 광학 $3p - 3 = 12$개.

실리콘 라만선 520.7 cm⁻¹를 진동수(THz)와 에너지(meV)로 바꾸라.

$f = c\tilde\nu = 2.998\times10^{10}\times520.7 = 1.561\times10^{13}$ Hz = 15.6 THz. $\hbar\omega = hf = 4.136\times10^{-15}\times1.561\times10^{13} = 0.0646$ eV = 64.6 meV.

실리콘 X점 TA 포논(4.49 THz)의 300 K 평균 포논 수는?

$\hbar\omega = 4.136\times10^{-15}\times4.49\times10^{12} = 18.57$ meV, $k_BT = 25.85$ meV, $x = 0.7183$. $\langle n\rangle = 1/(e^{0.7183}-1) = 1/(2.0510-1) = 0.952$. 광학 포논(0.09)보다 10배 많다 — 상온 열에너지의 상당 부분을 이런 낮은 에너지 포논이 맡는다.

가시광선 라만 분광(1차 산란)으로 실리콘에서 볼 수 있는 포논은 어느 것인가?

광자의 파수(약 0.01–0.05 nm⁻¹)가 영역 폭(11.6 nm⁻¹)보다 훨씬 작아 $q \approx 0$ 포논만 만들 수 있다. 그 중 음향 포논은 $\omega \approx 0$이라(브릴루앙 산란, GHz 영역) 라만선은 Γ점 광학 포논이다.

1축 응력을 받는 실리콘 막대의 라만 봉우리가 521.5 cm⁻¹에 나타났다(무응력 520.7 cm⁻¹). 응력은? (인장 +, 압축 −)

$\Delta\omega = +0.8$ cm⁻¹, $\sigma = -434\times0.8 = -347$ MPa. 위로 이동했으므로 압축이다.

532 nm 레이저로 잰 실리콘의 반스토크스/스토크스 세기 비가 0.120이다. $\omega^4$ 인자를 포함해 시료 온도를 구하라(포논 64.56 meV, 520.7 cm⁻¹).

$F = [(\tilde\nu_L + 520.7)/(\tilde\nu_L - 520.7)]^4$, $\tilde\nu_L = 10^7/532$ cm⁻¹.

$F = 1.248$. $\ln(F/r) = \ln(10.40) = 2.342$. $T = 0.06456/(8.617\times10^{-5}\times2.342) = 320$ K. (인자를 빼면 353 K로 33 K 높게 나온다.)

633 nm 레이저를 실리콘에 수직으로 비추고 뒤로 산란된 빛을 모은다(후방 산란). 실리콘의 굴절률이 3.88이면 산란에 관여하는 포논의 파수 $q$는 최대 얼마이고, 영역 폭 $2\pi/a$의 몇 %인가?

결정 안 광자 파수 $nk_0$, 후방 산란이면 $q = 2nk_0 = 4\pi n/\lambda$.

$q = 4\pi\times3.88/633\ \text{nm} = 0.0770$ nm⁻¹. $2\pi/a = 11.57$ nm⁻¹ → 0.666%. 사실상 Γ점이다.

실리콘을 질량 28.0855 u인 원자가 같은 용수철로 이어진 사슬로 보되, 세포에 원자 2개가 있는 이원자 사슬($M_1 = M_2 = M$)로 다룬다. Γ점 광학 포논 15.53 THz를 재현하는 용수철 상수 $C$는?

$\omega_\text{op}(0)^2 = 2C(1/M + 1/M) = 4C/M$.

$M = 4.6637\times10^{-26}$ kg, $\omega = 2\pi\times15.53\times10^{12} = 9.758\times10^{13}$ rad/s. $C = M\omega^2/4 = 4.6637\times10^{-26}\times9.521\times10^{27}/4 = 111$ N/m. 실제 Si–Si 결합은 굽힘 힘까지 있어 1차원 용수철 하나로 다 담을 수 없지만, 결합 하나가 대략 100 N/m 규모임을 보여 준다.

개념 확인 퀴즈

단원자 사슬의 분산 곡선이 $k = \pi/a$에서 평평해지는($d\omega/dk = 0$) 물리적 이유는?

이웃 위상차가 $\pi$라 원자면마다 반사된 파가 모두 보강된다. 진행하지 않는 정상파이므로 에너지 흐름(군속도)이 0이다.

원자 $N$개짜리 단원자 사슬(1차원)에서 서로 다른 정규 모드의 수는?

$k = 2\pi m/Na$ 중 제1 브릴루앙 영역에 드는 것이 $N$개다. 영역 밖의 $k$는 같은 모드를 다시 이름 붙인 것일 뿐이다. 3차원이면 원자당 자유도가 3이라 $3N$개.

이원자 사슬에서 광학 가지와 음향 가지의 원자 운동을 가르는 가장 근본적인 차이는?

편광(L/T)과 가지 종류(음향/광학)는 독립이다. 한 종류만 움직이는 것은 영역 경계에서의 특수한 경우다.

상온(300 K)에서 실리콘 광학 포논(64 meV)의 평균 점유수가 0.09에 불과하다는 사실과 가장 관계 깊은 것은?

반스토크스는 이미 있는 포논을 흡수해야 하므로 세기 ∝ ⟨n⟩, 스토크스는 ∝ ⟨n⟩ + 1. 비 $e^{-\hbar\omega/k_BT} \approx 0.08$.

실리콘 웨이퍼 한 점의 라만 봉우리가 기준보다 0.5 cm⁻¹ 낮게 나왔다. 가장 먼저 의심할 두 가지는?

인장 응력과 온도 상승은 모두 봉우리를 낮춘다(1 K당 약 −0.02 cm⁻¹). 레이저 출력을 바꿔 봉우리가 따라 움직이는지, 반스토크스/스토크스 비로 온도를 함께 확인해 둘을 가른다.

	\(k = 0\)	\(k = \pi/a\)
광학 가지	\(\sqrt{2C(1/M_1+1/M_2)}\)	\(\sqrt{2C/M_2}\) (가벼운 원자만 진동)
음향 가지	0 (기울기 \(v_s = a\sqrt{C/2(M_1+M_2)}\))	\(\sqrt{2C/M_1}\) (무거운 원자만 진동)

격자 진동과 포논

단원자 사슬의 운동 방정식

단원자 사슬 실험대: 분산 곡선 위 k를 끌어 보라

브릴루앙 영역과 두 가지 속도

영역 밖의 k는 같은 운동이다: 앨리어싱

위상 속도와 군속도

장파장 \(ka \ll 1\): 음파

영역 경계 \(k = \pi/a\): 정상파

이원자 사슬: 음향 가지와 광학 가지

이원자 사슬: 질량비를 끌어 간격 2 THz를 만들어라

3차원 포논: 편광과 실리콘의 분산

2차원 격자의 종파와 횡파: k 벡터를 끌어라

포논: 격자 진동의 양자

결정 운동량

보스–아인슈타인 점유수

포논을 보는 법: 중성자 산란과 라만 산란

열중성자

가시광선 광자

라만 산란: 스토크스와 반스토크스

실리콘 라만 분광기: 온도와 응력 읽기

라만으로 응력 재기

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈