“이 칩이 불량일 확률은 0.1%다.” 칩 하나는 불량이거나 양품이거나 둘 중 하나일 뿐인데, 0.1%라는 숫자는 무엇을 말하는 걸까? 이 장은 확률이라는 말을 집합의 언어로 정확히 적는 데서 시작한다. 일어날 수 있는 모든 결과를 모은 표본 공간, 그 부분집합인 사건, 그리고 세 줄짜리 공리. 여기서 여사건 법칙과 포함–배제 원리가 나오고, 경우의 수를 세는 기술이 더해지면 생일 문제나 칩 불량 문제처럼 직관을 배신하는 문제도 풀린다. 아래에서는 동전과 주사위가 쉬지 않고 던져진다. 던질수록 앞면의 비율이 한 숫자로 모여드는데, 그 숫자가 바로 확률이다.
누르면 100번을 한꺼번에 던진다
확률 실험의 표본 공간과 사건을 집합으로 쓰고, 합사건·곱사건·여사건·배반 사건·분할을 벤 다이어그램으로 나타낸다.
콜모고로프의 세 공리에서 여사건 법칙 \(P(A^c) = 1 - P(A)\), 단조성, 포함–배제 원리를 이끌어 계산에 쓴다.
상대 도수가 확률로 다가가는 대수의 법칙을 실험으로 확인하고, 흔들림이 \(\sqrt{p(1-p)/n}\)처럼 \(1/\sqrt n\)로 준다는 것을 안다.
곱의 법칙, 순열 \({}_nP_k\), 조합 \(\binom nk\), 중복순열 \(n^k\), 중복조합 \(\binom{n+k-1}{k}\), 같은 것이 있는 순열로 경우의 수를 세고 같은 가능성 모형의 확률을 구한다.
여사건 기법으로 생일 문제와 “적어도 하나” 문제(칩 속 블록·비아 불량, 로트 샘플링)를 풀고, 몬티 홀 문제를 직접 실험해 본다.
표본 공간과 사건
주사위를 던지거나, 웨이퍼의 칩 하나를 테스트하거나, 막 두께를 한 번 재는 일처럼 결과를 미리 알 수 없지만 일어날 수 있는 결과의 범위는 알고 있는 과정을 확률 실험(random experiment)이라 한다. 실험을 한 번 하면 나오는 하나하나를 결과(outcome)라 하고, 일어날 수 있는 모든 결과를 모은 집합을 표본 공간(sample space)이라 하며 \(\Omega\)(또는 \(S\))로 쓴다.
주사위 두 개의 결과는 순서쌍으로 적는다. (1, 2)와 (2, 1)은 다른 결과다 — 두 주사위를 빨강·파랑으로 칠해 두었다고 생각하면 분명하다. 이렇게 적어야 36개 결과가 모두 같은 가능성을 갖는다.
표본 공간의 부분집합을 사건(event)이라 한다. 실험의 결과 \(\omega\)가 사건 \(A\)에 들어 있으면(\(\omega\in A\)) “\(A\)가 일어났다”고 말한다. 원소가 하나뿐인 사건 \(\{\omega\}\)는 근원 사건, \(\Omega\) 자신은 반드시 일어나는 전사건, 공집합 \(\varnothing\)은 결코 일어나지 않는 공사건이다. 주사위에서 “짝수가 나온다”는 \(A = \{2, 4, 6\}\)이고, 4가 나오면 \(A\)가 일어난 것이다.
확률 실험 한 번이 결과 하나를 낳고, 결과가 사건이라는 부분집합 안에 들면 그 사건이 일어났다고 말한다. 표본 공간은 유한일 수도, 셀 수 있는 무한일 수도, 연속 구간일 수도 있다.
같은 실험이라도 무엇을 결과로 기록하느냐에 따라 표본 공간이 달라진다. 칩 하나를 테스트해 합격·불합격만 적으면 \(\Omega = \{\text{합격}, \text{불합격}\}\)이고, 측정한 누설 전류 값을 적으면 \(\Omega = (0, \infty)\)이다. 표본 공간은 문제를 푸는 데 필요한 만큼 자세해야 하고, 확률을 쉽게 매길 수 있게 잡는 것이 요령이다. 동전 세 번을 던질 때 “앞면 수”만 적으면 \(\{0,1,2,3\}\)이지만 네 결과의 가능성이 같지 않고, 순서까지 적은 8개 결과 \(\{HHH, HHT, \dots, TTT\}\)는 가능성이 모두 같다.
칩 3개를 각각 합격·불합격으로 판정하면 결과는 길이 \(n\)의 합격/불합격 문자열이고, 표본 공간의 원소는 \(2^n\) = 개다. 사건은 표본 공간의 부분집합이므로 생각할 수 있는 사건은 \(2^{2^n}\) = 개나 된다. 주사위 2개를 던지면 결과는 \(6^k\) = 개, 그중 모든 눈이 같은 결과는 6개뿐이라 확률은 이다.
만들 사건
MINI LAB동전 세 번 던지기의 표본 공간은 가지 끝의 8개 결과다. 말로 적은 사건을 결과의 집합으로 바꿔 보자 — 오른쪽 결과 칸을 누르면 사건에 들어가고, 다시 누르면 빠진다. 사건을 정확히 칠하면 ✔ 표시와 함께 같은 가능성 모형의 확률 \(|A|/8\)이 나온다. “앞면 적어도 1번”은 여사건 “한 번도 안 나옴” = {TTT}를 빼는 편이 빠르다.
결과들의 가능성이 모두 같다면, 사건의 확률은 그 사건에 든 결과의 수를 전체 결과의 수로 나눈 값이다. 이것을 고전적 확률(classical probability) 또는 라플라스의 정의라 한다.
$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{A\text{에 속한 결과의 수}}{\text{전체 결과의 수}}\qquad(\text{모든 결과가 같은 가능성일 때})$$
\(|A|\)는 집합 \(A\)의 원소 개수. 주사위 두 개의 합이 7일 확률은 (1,6), (2,5), …, (6,1)의 6개이므로 \(6/36 = 1/6\)이다. “같은 가능성” 가정이 깨지면(찌그러진 주사위, 군집하는 결함) 이 식을 쓸 수 없다 — 그때는 공리(2.3절)로 돌아간다.
주사위 두 개를 던져 나온 눈의 합 가운데 가장 잘 나오는 값은?
합 \(s\)가 되는 순서쌍은 대각선 하나에 놓인다. 격자에서 합 7의 대각선(6칸)이 가장 길고, 2와 12는 한 칸뿐이다. 아래에서 1000번 던져 오른쪽 막대가 삼각형 모양 \(p(s) = (6 - |s-7|)/36\)으로 모이는지 보라.
SIMULATOR
주사위 두 개의 표본 공간: 사건 칠하기
칠할 사건
던지기
P(A)—
P(B)—
P(A∩B)—
P(A∪B)—
포함–배제 확인—
던진 횟수 · A의 상대 도수—
왼쪽 격자는 36개 결과(가로 첫째 눈, 세로 둘째 눈)다. 칠할 사건을 고른 뒤 칸을 누르거나 끌어 칠한다. 초록은 A, 자주는 B, 겹친 칸은 A∩B다. 던질 때마다 결과 칸에 점이 찍히고, 오른쪽은 합의 상대 도수(초록 막대)와 이론 확률(자주 선)이다. 해볼 것: ① “합 = 7”과 “적어도 하나가 6”을 두고 \(P(A) + P(B)\)가 \(P(A\cup B)\)보다 \(P(A\cap B)\) = 2/36만큼 큰 것을 확인하라 — 겹친 두 칸을 두 번 셌다. ② A와 B가 겹치지 않게 칠하면(배반) 포함–배제 식의 마지막 항이 0이 된다. ③ 1000번씩 여러 번 던져 A의 상대 도수가 \(P(A)\) 근처에서 ±0.03 정도로 흔들리는 것을 보라.
주사위 두 개를 던진다. \(A\) = “합이 7”, \(B\) = “적어도 하나가 6”일 때 \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A\cap B)\), \(P(A\cup B)\)를 구하라.
풀이 보기
전략 36개 순서쌍은 같은 가능성이다. 각 사건의 원소를 세어 36으로 나눈다. \(B\)는 여사건 “둘 다 6이 아님”(\(5\times5 = 25\)개)을 빼면 빠르다.
검토 \(P(A) + P(B) = 17/36\)은 \(P(A\cup B)\)보다 크다. 위 시뮬레이터의 기본 설정이 바로 이 두 사건이니 칸 수를 직접 세어 보라.
벤 다이어그램과 집합 연산
사건은 집합이므로 집합 연산으로 새 사건을 만든다. 표본 공간을 사각형, 사건을 그 안의 영역으로 그린 그림이 벤 다이어그램이다. 다음 네 연산이 기본이다.
이름
기호
뜻 (“…가 일어난다”)
칩 테스트에서
합사건(union)
\(A\cup B\)
\(A\) 또는 \(B\) (적어도 하나)
누설 불량이거나 속도 불량
곱사건(intersection)
\(A\cap B\) (또는 \(AB\))
\(A\)와 \(B\)가 함께
누설도 속도도 불량
여사건(complement)
\(A^c\)
\(A\)가 아님
누설 불량이 아님
차사건
\(A\setminus B = A\cap B^c\)
\(A\)이지만 \(B\)는 아님
누설만 불량
두 사건이 함께 일어날 수 없으면, 곧 \(A\cap B = \varnothing\)이면 \(A\)와 \(B\)를 배반 사건(mutually exclusive events)이라 한다. 칩이 받는 빈(bin)처럼 서로 배반이면서 합치면 \(\Omega\) 전체가 되는 사건들 \(B_1, \dots, B_k\)를 표본 공간의 분할(partition)이라 한다. 분할은 3장의 전확률 공식에서 다시 쓴다.
여섯 가지 기본 영역. 사각형 전체가 표본 공간 \(\Omega\)다. 마지막 그림처럼 두 원이 겹치지 않으면 두 사건은 배반이다.
집합 연산은 교환·결합 법칙과 함께 분배 법칙 \(A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)\), \(A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)\)을 따른다. 여사건과 합·곱을 잇는 것이 드모르간 법칙(De Morgan's laws)이다.
“적어도 하나가 불량”의 반대는 “둘 다 양품”이고, “둘 다 불량”의 반대는 “적어도 하나가 양품”이다. 사건이 여러 개여도 같다: \(\big(\bigcup_i A_i\big)^c = \bigcap_i A_i^c\). 이 식이 2.6절 “적어도 하나” 기법의 출발점이다.
먼저 \(A\cup B\) — “적어도 하나가 일어남” — 을 칠한다.
그 여사건 \((A\cup B)^c\)는 두 원 바깥의 영역, 곧 “둘 다 일어나지 않음”이다.
이번에는 \(A^c\)(초록 빗금)와 \(B^c\)(자주 빗금)를 따로 칠한다. 한쪽 원 안이어도 다른 원 밖이면 빗금이 하나는 있다.
두 빗금이 모두 있는 곳, 곧 \(A^c\cap B^c\)는 2단계의 영역(빨강 테두리)과 정확히 같다.
드모르간 법칙을 그림으로 확인하기. 원 안의 어느 점에도 두 빗금이 함께 있을 수 없으므로, 두 빗금이 겹친 곳은 두 원의 바깥뿐이다.
벤 다이어그램에서 넓이를 확률로 읽으면(사각형 넓이 = 1) 연산의 확률을 눈으로 볼 수 있다. 다음 절의 공리가 바로 “확률은 넓이처럼 더해진다”를 정식으로 쓴 것이다.
\(P(A) = 0.5\), \(P(B) = 0.4\)일 때 \(P(A\cup B)\)가 될 수 없는 값은?
\(P(A\cup B)\)는 \(B\)가 \(A\) 안에 쏙 들어갈 때 가장 작아 \(\max(P(A), P(B)) = 0.5\), 두 원이 떨어져 배반일 때 가장 커서 \(P(A) + P(B) = 0.9\)이다. 아래에서 원을 끌어 두 극단을 만들어 보라.
SIMULATOR
넓이가 확률인 벤 다이어그램
원 가운데를 끌어 옮기고, 테두리의 흰 점으로 크기를 바꾼다
칠할 영역
P(A) · P(B)—
P(A∩B)—
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)—
칠한 영역의 확률—
점이 들어간 비율—
과녁‘과녁 문제’를 누른다
사각형 \(\Omega\)의 넓이를 1로 두고, 원의 넓이를 그 사건의 확률로 읽는다. 점 뿌리기는 \(\Omega\) 안에 무작위로 점을 던져 칠한 영역에 든 비율(상대 도수)이 넓이(확률)에 다가가는 것을 보여 준다. 해볼 것: ① 두 원을 떼어 놓으면 \(P(A\cap B) = 0\)이고 \(P(A\cup B) = P(A) + P(B)\)다. ② B를 A 안에 넣으면 \(P(A\cup B) = P(A)\). ③ “(A∪B)ᶜ”와 “Aᶜ∪Bᶜ”를 번갈아 눌러 어느 것이 \(A^c\cap B^c\)와 같은지 확인하라. ④ 과녁 문제: 주어진 \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A\cap B)\)를 모두 ±0.01 안에 맞추면 점수가 오른다.
영역을 눌러 칠하거나 지운다
목표 식
MINI LAB세 사건의 벤 다이어그램은 여덟 조각으로 나뉜다(\(2^3 = 8\)). 목표 식에 해당하는 조각을 눌러 칠해 보자. A∩(B∪C)를 맞힌 다음 (A∩B)∪(A∩C)를 고르면 칠한 그림이 그대로 정답이다 — 분배 법칙. 마지막 두 식도 같은 그림이다 — 드모르간 법칙.
확률의 공리와 기본 성질
“같은 가능성” 정의는 찌그러진 주사위나 불량이 드문 칩에는 쓸 수 없다. 1933년 콜모고로프는 확률이 무엇인지 묻는 대신, 확률이라 부를 수 있는 숫자 매김이 지켜야 할 규칙만 정했다. 이것이 확률의 공리(axioms of probability)다.
확률의 공리 (콜모고로프)
표본 공간 \(\Omega\)의 사건 \(A\)마다 실수 \(P(A)\)를 대응시키는 규칙 \(P\)가 다음 셋을 만족하면 \(P\)를 확률이라 한다.
공리 1 (음이 아님) 모든 사건에 대해 \(P(A) \ge 0\). 공리 2 (전체는 1) \(P(\Omega) = 1\). 공리 3 (가산 가법성) 서로 배반인 사건 \(A_1, A_2, \dots\)에 대해 \(P(A_1\cup A_2\cup\cdots) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots\).
세 줄뿐이지만 우리가 아는 확률의 성질이 모두 여기서 나온다. 공리 3에서 \(A_i = \varnothing\)을 계속 붙이면 \(P(\varnothing) = 0\)이고, 유한 개의 배반 사건에도 덧셈이 성립한다. 나머지는 사건을 배반인 조각으로 쪼개는 한 가지 요령으로 증명된다.
두 사건이 겹치면 단순히 더할 수 없다. \(A\cup B\)를 배반인 \(A\)와 \(B\cap A^c\)로 쪼개고, \(B\)도 \(A\cap B\)와 \(B\cap A^c\)로 쪼개면 겹친 부분을 한 번 빼야 한다는 포함–배제 원리(inclusion–exclusion principle)가 나온다.
$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$
$$P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C)$$
세 사건이면 한 개씩 더하고(겹친 곳을 너무 많이 셈), 두 개씩 겹친 것을 빼고(세 겹 부분을 너무 많이 뺌), 세 겹을 다시 더한다. \(P(A\cap B) \ge 0\)이므로 언제나 \(P(A\cup B) \le P(A) + P(B)\)이고, 여러 사건으로 넓힌 \(P(\bigcup_i A_i) \le \sum_i P(A_i)\)를 불의 부등식(Boole's inequality)이라 한다.
테스트에서 칩이 누설 불량일 확률이 \(P(A)\) = 0.040, 속도 불량일 확률이 \(P(B)\) = 0.030, 둘 다일 확률이 \(P(A\cap B)\) = 0.010이면, 적어도 하나가 불량일 확률은 \(P(A\cup B)\) = , 누설만 불량일 확률은 \(P(A\cap B^c)\) = , 양품(둘 다 아님)일 확률은 이다.
어떤 칩의 최종 테스트에서 누설 전류 불량(\(A\))이 4%, 속도 불량(\(B\))이 3%, 두 불량이 함께 나오는 칩이 1%다. 칩 하나가 (가) 적어도 한 가지 불량일 확률, (나) 누설만 불량일 확률, (다) 양품일 확률을 구하라.
풀이 보기
전략 겹친 부분이 있으므로 4% + 3%가 아니다. 포함–배제와 차사건 \(A\cap B^c\), 여사건 법칙을 쓴다.
검토 네 조각(누설만 0.03, 속도만 0.02, 둘 다 0.01, 양품 0.94)은 서로 배반이고 합이 1이다. 위 드래그 숫자에서 \(P(A\cap B)\)를 \(\min(P(A), P(B))\)보다 크게 하면 경고가 뜬다 — 곱사건이 각 사건보다 클 수는 없다.
이산 표본 공간에서 확률 매기기
표본 공간이 \(\{\omega_1, \omega_2, \dots\}\)처럼 이산이면 결과 하나하나에 \(p_i = P(\{\omega_i\})\)를 정해 주는 것으로 충분하다. 공리를 만족하려면 \(p_i \ge 0\)이고 \(\sum_i p_i = 1\)이어야 하며, 그러면 사건의 확률은 그 안의 결과 확률을 더한 \(P(A) = \sum_{\omega_i\in A} p_i\)이다. 같은 가능성(\(p_i = 1/N\))은 그 특별한 경우다.
엔지니어가 “불량 칩의 원인 확률은 누설 0.5, 속도 0.4, 기능 0.3”이라고 보고했다. 합이 1.2다. 이 보고는?
합이 1이어야 하는 것은 서로 배반이고 Ω를 덮는 결과들(분할)이다. 누설·속도·기능 불량은 겹칠 수 있는 사건이라 합이 1을 넘을 수 있다. 반면 칩마다 정확히 하나씩 붙는 테스트 빈은 분할이라 빈 확률의 합은 반드시 1이다. 아래 막대는 그런 분할(결과)의 확률이다.
SIMULATOR
공리 감시기: 확률 막대를 끌어 보자
결과
Σ pi—
공리 판정—
P(A) · P(Aᶜ)—
실험: A의 상대 도수—
막대 끝의 흰 점을 위아래로 끌어 확률을 바꾸고, 아래 이름 칩을 눌러 사건 A에 넣거나 뺀다. 자주 막대는 결과마다 매긴 확률 \(p_i\)(모형), 초록 점은 그 모형대로 1000번 실험했을 때의 상대 도수다. 해볼 것: ① 막대 하나를 0 아래로 끌면 공리 1, 합이 1이 아니게 만들면 공리 2 위반이 뜨고 실험이 막힌다. ② “정규화”는 모든 막대를 합으로 나눈다 — 비율은 그대로 두고 공리 2를 맞춘다. ③ 이름을 눌러 A를 고르면 \(P(A) = \sum_{i\in A} p_i\)와 \(P(A^c) = 1 - P(A)\)가 나오고, 실험의 상대 도수가 그 근처에 온다. 6을 0.5로 키운 찌그러진 주사위도 공리만 지키면 훌륭한 확률 모형이다.
세는 단계
MINI LAB칩 100개에 세 가지 검사(A 초록, B 자주, C 주황)를 했다. 칩 속 숫자는 지금 단계까지 그 칩을 몇 번 셌는지다. ①에서는 걸린 검사 수만큼 세어 겹친 칩이 2, 3으로 과대 계산된다. ②에서 두 개씩 겹친 것을 빼면 세 검사에 모두 걸린 칩이 0이 되고, ③에서 다시 더하면 하나라도 걸린 칩은 모두 정확히 1이 된다 — 포함–배제가 왜 맞는지 칩 하나하나에서 보인다.
테스트 빈은 분할, 불량 모드는 겹치는 사건 웨이퍼 테스트에서 다이마다 하드 빈 하나가 붙는다. 빈 1(양품), 빈 2–9(불량 유형)는 서로 배반이고 모두 합치면 전체 다이이므로 표본 공간의 분할이며, 빈 비율의 합은 반드시 100%다. 그런데 대부분의 테스트 프로그램은 첫 실패에서 멈추고(stop-on-first-fail) 그 테스트의 빈을 준다. 누설과 기능 불량을 함께 가진 다이는 먼저 걸린 쪽 빈에만 잡히므로, 빈 파레토의 “누설 3%”는 \(P(A)\)가 아니라 \(P(A\cap\{\text{앞선 테스트 통과}\})\)이다. 불량 모드별 실제 확률 \(P(A)\), \(P(A\cap B)\)를 알려면 실패 후에도 계속 테스트하는 특성 평가 로트가 필요하다. → TestBook · 빈 분류와 이상치 스크리닝(테스트 순서와 첫 실패)
상대 도수와 대수의 법칙
공리는 확률이 지켜야 할 규칙만 말할 뿐, “불량률 0.1%”라는 숫자가 현실에서 무엇을 뜻하는지는 말하지 않는다. 가장 쓸모 있는 해석은 반복이다. 같은 실험을 \(n\)번 되풀이해 사건 \(A\)가 \(n_A\)번 일어났다면
$$f_n(A) = \frac{n_A}{n}$$
를 \(A\)의 상대 도수(relative frequency)라 한다. 상대 도수도 \(f_n \ge 0\), \(f_n(\Omega) = 1\), 배반 사건에 대한 덧셈을 만족한다 — 공리는 상대 도수의 성질을 본뜬 것이다.
동전을 던질수록 앞면의 상대 도수는 0.5 근처로 모인다. 이 경험 법칙을 수학으로 쓴 것이 대수의 법칙(law of large numbers)이다. 같은 조건에서 서로 영향 없이 되풀이하면, 어떤 작은 허용치 \(\varepsilon\)을 잡아도
상대 도수가 확률에서 \(\varepsilon\)보다 멀리 벗어날 가능성이 \(n\)이 커질수록 0으로 간다. 증명은 7장(체비쇼프 부등식)에서 한다. 여기서 중요한 것은 그 빠르기다: 상대 도수의 전형적 흔들림(표준 편차)은 \(\sqrt{p(1-p)/n}\)이고(4장), 대략 95%의 실험이 \(p \pm 2\sqrt{p(1-p)/n}\) 안에 든다.
이 해석을 따르면 “불량률 0.1%”는 같은 공정으로 칩을 아주 많이 만들면 그중 0.1%가 불량이라는 뜻이다. 한 번뿐인 사건(“이 신공정이 성공할 확률”)에는 반복을 생각하기 어려워, 근거에 기대어 믿음의 정도를 매기는 주관적 확률(subjective probability)을 쓰기도 한다. 고전적·빈도·주관적 해석 모두 같은 공리를 따르므로 계산 규칙은 하나다. 주관적 확률을 자료로 갱신하는 방법은 3장의 베이즈 정리가 다룬다.
동전을 10번 던지는 실험과 1000번 던지는 실험이 있다. 앞면 비율이 0.4–0.6 밖으로 벗어날 가능성이 더 큰 쪽은?
10번이면 앞면 3개 이하 또는 7개 이상일 확률이 \(352/1024 \approx 0.34\)이다. 1000번이면 흔들림이 \(\sqrt{0.25/1000} \approx 0.016\)이라 0.1이나 벗어나는 일은 \(10^{-9}\)보다 드물다. 아래에서 경로 100개를 그려 깔때기가 좁아지는 것을 보라.
SIMULATOR
상대 도수의 깔때기: 대수의 법칙
흰 점을 끌어 p를 바꾼다
사건
실험 경로 수
더 던지기
던진 횟수 n—
첫 경로의 fn—
σ = √(p(1−p)/n)—
깔때기 안 경로—
가로축은 던진 횟수(로그 눈금), 세로축은 상대 도수다. 경로 하나가 한 사람의 실험이고, 오른쪽 끝 막대는 지금 \(n\)에서 경로들의 상대 도수 분포다. 해볼 것: ① 처음 10번까지는 경로들이 0과 1 사이를 크게 오가지만 1000번이 넘으면 깔때기 안으로 모인다. ② 경로 100개로 끝까지 던져 깔때기 안 비율이 95% 근처인지 보라. ③ “칩 불량 5%”에서는 깔때기가 동전보다 좁지만 상대 오차(σ/p)는 훨씬 크다 — 드문 사건의 확률을 재려면 시행이 많이 필요하다.
확률 0.500인 사건을 100번 시행하면 상대 도수의 전형적 흔들림은 \(\sqrt{p(1-p)/n}\) = 이고, 실험의 약 95%가 안에 든다. 흔들림을 절반으로 줄이려면 번, 곧 4배를 던져야 한다. 한편 횟수 \(n_A\)의 흔들림은 \(\sqrt{np(1-p)}\) = 번으로, \(n\)이 커질수록 오히려 커진다.
불량률이 약 5%인 공정에서 시험한 칩 중 불량의 상대 도수로 불량률을 추정하려 한다. 상대 도수의 전형적 흔들림 \(\sqrt{p(1-p)/n}\)이 0.01(1%p) 이하가 되려면 칩을 몇 개 시험해야 하나? 0.005로 줄이려면?
풀이 보기
전략 \(\sqrt{p(1-p)/n} \le e\)를 \(n\)에 대해 풀면 \(n \ge p(1-p)/e^2\).
검토 475개를 시험하면 불량은 평균 24개 정도다. 흔들림 0.01은 불량률 5%의 20%에 해당하는 상대 오차라 여전히 크다. 10장에서 이것을 신뢰 구간과 표본 크기 결정으로 정식화한다.
대수의 법칙은 비율에 관한 법칙이다. 동전 1만 번에서 앞면 비율이 0.5에 가까워져도 앞면 개수와 5000의 차이는 보통 50개 안팎으로, 100번일 때(5개 안팎)보다 오히려 크다. 비율이 맞아 가는 이유는 차이가 메워져서가 아니라 \(n\)이 차이보다 빨리 커지기 때문이다.
공정한 동전을 계속 던질 때 “앞면 수 − 뒷면 수”는 대체로 어떻게 되는가?
차이는 ±1씩 걷는 랜덤 워크라 크기가 \(\sqrt n\) 정도로 자란다. 그 차이를 \(n\)으로 나눈 비율의 차이 \(f_n - 0.5\)만 \(1/\sqrt n\)로 줄어든다. 아래 두 그래프를 함께 보라.
MINI LAB동전 다섯 사람의 실험. 위: 앞면 수 − 뒷면 수(점선 \(\pm2\sqrt n\)). 아래: 앞면 비율 − 0.5(점선 \(\pm1/\sqrt n\)). 같은 실험인데 위는 퍼지고 아래는 모인다. 동전은 과거의 차이를 기억해 메우지 않는다.
“앞면이 다섯 번 연속 나왔으니 이번에는 뒷면 차례”라는 생각을 도박사의 오류(gambler's fallacy)라 한다. 던지기마다 서로 영향이 없다면(3장의 독립) 과거의 연속은 다음 결과의 확률을 바꾸지 않는다. 아래 실험은 긴 동전 수열에서 “앞면 \(k\)번 연속” 바로 뒤의 결과만 골라 모은다.
MINI LAB위 띠는 방금 던진 동전(초록 앞면, 회색 뒷면)으로, 앞면 \(k\)번 연속(테두리)과 그 다음 결과(▼)를 표시한다. 아래 막대는 \(k = 1, \dots, 8\)마다 “연속 뒤 앞면”의 상대 도수다. 던질수록 모든 막대가 0.5에 모인다. \(k\)가 길수록 그런 연속 자체가 드물어(\(2^{-k}\)) 막대가 늦게 안정된다.
수율은 상대 도수이고, 웨이퍼마다 흔들린다 웨이퍼 수율은 양품 다이 수 ÷ 전체 다이 수, 곧 “다이가 양품”이라는 사건의 상대 도수다. 다이가 600개이고 참 수율이 90%라도 다이들이 서로 독립이라면 웨이퍼마다 수율이 \(\sqrt{0.9\times0.1/600} \approx 1.2\%\)p 정도 흔들린다. 그러니 어제 웨이퍼가 89%, 오늘 웨이퍼가 91%인 것은 공정이 변했다는 증거가 아니다. 실제 웨이퍼 간 수율 산포가 이보다 훨씬 크다면, 결함이 뭉치거나 장비·챔버별 차이처럼 “독립이고 같은 조건”이라는 가정이 깨졌다는 신호다. 무작위인데도 눈에 무늬처럼 보이는 맵과 진짜 무늬를 가르는 통계는 → YieldBook · 무늬인가 우연인가 · YieldBook · 웨이퍼 테스트와 빈 맵
경우의 수: 순열과 조합
같은 가능성 모형에서 \(P(A) = |A|/|\Omega|\)를 쓰려면 원소를 세야 한다. 결과가 수백만 개면 하나씩 나열할 수 없으니 세는 규칙이 필요하다. 모든 규칙의 바탕은 곱의 법칙(multiplication rule)이다: 1단계를 \(n_1\)가지, 그 각각에 대해 2단계를 \(n_2\)가지, …로 할 수 있으면 전체는 \(n_1 n_2\cdots n_k\)가지다. 로트 번호가 영문자 2개와 숫자 4개면 \(26^2\times10^4 = 6{,}760{,}000\)가지다.
\(n\)개의 서로 다른 대상에서 \(k\)개를 고를 때, 결과를 어떻게 세는지는 두 질문으로 정해진다. 고른 순서를 구별하는가?같은 대상을 다시 고를 수 있는가(복원 추출)?
두 질문, 네 공식. 순서를 무시하면 같은 묶음을 한 번만 센다. 복원 추출에서 순서를 무시한 10가지는 같은 가능성이 아니라는 점에 주의하라(AA는 1/16, AB는 2/16).
\(n\)개 중 \(k\)개를 순서 있게 늘어놓는 순열(permutation)의 수는 첫 자리 \(n\)가지, 둘째 자리 \(n-1\)가지, …를 곱한다. \(k = n\)이면 \(n\)개 전부를 줄 세우는 수 \(n!\)이 되며 이것을 \(n\)의 계승(factorial)이라 한다(\(0! = 1\)로 약속).
순서를 무시하고 \(k\)개를 고르는 조합(combination)의 수 \(\binom nk\)(\({}_nC_k\)로도 쓴다)는 순열의 수를 \(k!\)로 나눈다 — 같은 \(k\)개의 묶음이 순열 목록에 \(k!\)번씩 나오기 때문이다. \(\binom nk\)는 아래 이항 정리의 계수라서 이항 계수(binomial coefficient)라고도 한다. \(\binom nk = \binom n{n-k}\)이다.
서로 다른 공 5개에서 3개를 뽑는다. 순서를 구별해 셀 때의 경우의 수는 순서를 무시할 때의 몇 배인가?
\({}_5P_3 = 60\), \(\binom53 = 10\). 같은 세 공 {A, B, C}가 순서를 바꿔 \(3! = 6\)번 나오기 때문이다. 아래에서 “순서 있음 + 비복원”의 목록이 조합마다 한 줄에 6개씩 묶여 나온다.
SIMULATOR
세기 놀이터: 뽑고, 나열하고, 묶기
순서
추출
공식—
경우의 수—
내 선택—
무작위 추출 시 이 결과의 확률—
위의 공을 끌어 아래 칸에 넣고, 칸을 누르면 비운다. 아래 목록은 가능한 결과 전부다(많으면 앞부분만). “순서 구별 + 비복원”에서는 같은 공들의 묶음이 한 줄에 모여 한 줄의 길이가 \(k!\)다 — 줄 수가 곧 조합의 수다. 해볼 것: ① 순서를 “구별 → 무시”로 바꾸며 경우의 수가 \(k!\)로 나뉘는 것을 보라. ② 복원 + 순서 무시에서 같은 공 셋(AAA)과 서로 다른 셋(ABC)을 골라 확률을 비교하라 — 중복조합의 결과들은 같은 가능성이 아니다. ③ “무작위 뽑기”를 여러 번 눌러 고른 결과가 목록 어디쯤인지 보라.
곱의 법칙으로 세 자리를 채우는 순열은 \(5\times4\times3 = 60\)가지다.
그중 같은 세 글자 {A, B, C}로 된 나열은 \(3! = 6\)개다.
어느 세 글자 묶음이나 똑같이 6번씩 나오므로 60개는 10개의 묶음으로 깔끔히 나뉜다.
그래서 조합의 수는 순열의 수를 \(k!\)로 나눈 값이다.
조합 공식의 유도. “같은 것을 몇 번씩 셌는지 알면 나눈다”는 생각은 같은 것이 있는 순열과 중복조합에서도 그대로 쓰인다.
복원 추출에서 순서를 구별하면 자리마다 \(n\)가지라 중복순열(permutation with repetition)의 수는 \(n^k\)이다. 칩 \(n\)개의 합불 결과 \(2^n\)가지, 4자리 숫자 비밀번호 \(10^4\)가지가 그 예다. 대상 가운데 같은 것이 섞여 있으면 같은 것끼리 자리를 바꿔도 같은 나열이므로 그만큼 나눈다. 이것이 같은 것이 있는 순열(permutation of multisets)이다.
\(r = 2\)이면 \(\frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom nk\)로 조합과 같다: 웨이퍼 10장 가운데 어느 3장을 불량으로 표시할지 정하는 것은 “불불불양양…”의 나열이다. 이 수를 다항 계수라 하며 6장의 다항 분포에서 다시 나온다. SILICON의 글자를 줄 세우는 방법은 I가 둘이라 \(7!/2! = 2520\)가지다.
서로 다른 것 10개에서 3개를 고르면 — 순서 구별·비복원 \({}_nP_k\) = , 순서 무시·비복원 \(\binom nk\) = , 순서 구별·복원 \(n^k\) = , 순서 무시·복원 \(\binom{n+k-1}{k}\) = 가지다. 비복원은 \(k \le n\)이어야 한다.
조합으로 확률을 구하는 고전적인 예가 복권과 카드다. 1부터 45까지에서 6개를 고르는 로또의 1등 확률은 \(1/\binom{45}{6} = 1/8{,}145{,}060 \approx 1.23\times10^{-7}\)이다. 잘 섞은 카드 52장에서 5장을 받는 포커 패는 \(\binom{52}{5} = 2{,}598{,}960\)가지가 모두 같은 가능성이다.
52장에서 5장을 받을 때, 같은 숫자 3장과 다른 같은 숫자 2장(풀하우스, 예: K K K 7 7)이 나올 확률은?
풀이 보기
전략 곱의 법칙으로 풀하우스 패를 단계별로 만든다: 세 장짜리 숫자 고르기 → 그 숫자의 무늬 3개 고르기 → 두 장짜리 숫자 고르기 → 무늬 2개 고르기.
풀이 \(13\times\binom43\times12\times\binom42 = 13\times4\times12\times6 = 3744\). 전체 \(\binom{52}5 = 2{,}598{,}960\). 확률은 \(3744/2{,}598{,}960\).
\(P = 3744/2598960 \approx 0.00144\) (약 694판에 한 번)
검토 두 숫자를 \(\binom{13}2\)로 고르면 안 된다. K-K-K-7-7과 7-7-7-K-K는 다른 패인데, \(\binom{13}{2}\)는 {K, 7}을 한 번만 세기 때문이다. 어느 숫자가 셋인지 구별되므로 \(13\times12\)가 맞다.
이항 계수는 \((a+b)^n\)을 전개할 때 \(a^kb^{n-k}\) 항이 몇 번 나오는지 센다 — \(n\)개의 괄호 가운데 \(a\)를 고를 \(k\)개를 정하는 방법이기 때문이다.
$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom nk a^kb^{n-k},\qquad \binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k},\qquad \sum_{k=0}^n\binom nk = 2^n$$
가운데 식(파스칼의 규칙)은 “특정한 원소 하나를 포함하는 조합 + 포함하지 않는 조합”으로 나눠 센 것이다. 마지막 식은 \(a = b = 1\)을 넣은 것으로, \(n\)개 원소의 부분집합(사건)이 모두 \(2^n\)개라는 말이다. 이것을 삼각형으로 늘어놓은 것이 파스칼 삼각형(Pascal's triangle)이다.
칸을 누르면 그 칸까지의 길을 그린다
MINI LAB\(n\)번째 줄의 \(k\)번째 수(0부터 셈)가 \(\binom nk\)다. 칸을 누르면 그 칸의 두 부모가 표시되고, 꼭대기에서 왼쪽·오른쪽 아래로만 내려가 그 칸에 닿는 길 하나가 무작위로 그려진다. \(n\)번 내려가며 오른쪽을 \(k\)번 고르는 길의 수가 바로 \(\binom nk\)다 — 7장의 갈톤 보드가 이 길이다.
마지막으로, 같은 것을 나누는 문제는 중복조합(combination with repetition)이다. 서로 다른 \(n\)종류에서 중복을 허락해 \(k\)개를 고르는(순서 무시) 방법의 수는 \({}_nH_k = \binom{n+k-1}{k}\)이다. 별(★) \(k\)개와 칸막이(|) \(n-1\)개를 한 줄로 늘어놓고, 칸막이 사이의 별 수를 각 종류의 개수로 읽으면 일대일로 대응한다.
구별되지 않는 대상 \(k = 10\)개를 별로 그린다.
종류(장비) \(n = 4\)개를 가르려면 칸막이가 \(n - 1 = 3\)개 필요하다. 칸막이 사이의 별 수가 각 장비의 몫이다.
별과 칸막이 13개의 자리 가운데 칸막이 3자리만 고르면 배분이 정해진다: \(\binom{13}{3} = \binom{n+k-1}{k}\).
별과 막대(stars and bars). 중복조합은 “별과 칸막이의 같은 것이 있는 순열”이다.
같은 레시피의 웨이퍼 10장을 식각 장비 4대에 나눠 싣는다. 웨이퍼끼리는 구별하지 않는다. (가) 장비마다 0장 이상이면 배분 방법은 몇 가지인가? (나) 모든 장비에 적어도 1장씩 실어야 한다면?
풀이 보기
전략 별 10개, 칸막이 3개의 중복조합. (나)는 먼저 한 장씩 실어 두고 남은 6장을 자유롭게 나눈다.
검토 웨이퍼마다 슬롯 번호(ID)가 있어 구별한다면 각 웨이퍼가 4대 중 하나를 고르는 중복순열 \(4^{10} = 1{,}048{,}576\)가지가 된다. “같은 것인가”가 답을 몇천 배 바꾼다.
샘플링 검사와 조합
로트에서 일부만 뽑아 검사할 때 확률 계산은 조합 문제다. 불량 \(D\)개가 섞인 \(N\)개짜리 로트에서 \(n\)개를 비복원으로 뽑으면, 가능한 표본은 \(\binom Nn\)개이고 모두 같은 가능성이다. 그중 불량이 하나도 없는 표본은 양품 \(N - D\)개에서만 고른 \(\binom{N-D}{n}\)개다. 표본 속 불량 수의 분포는 4장의 초기하 분포다.
칩 50개짜리 로트에 불량이 3개 섞여 있다. 5개를 무작위로(비복원) 뽑아 검사할 때 (가) 불량이 하나도 안 뽑힐 확률, (나) 적어도 하나 뽑힐 확률을 구하라.
풀이 보기
전략 전체 표본 \(\binom{50}{5}\)개 중 양품 47개에서만 뽑은 표본을 센다. (나)는 여사건.
검토 불량률 6%인 로트를 5개 샘플로 검사하면 넷 중 세 번은 “불량 없음”으로 통과시킨다. 샘플 검사의 판별력은 16장의 OC 곡선으로 정량화한다.
빨간 웨이퍼를 끌어 다른 슬롯에 넣는다
고르는 방법
MINI LABFOUP 하나에 웨이퍼 25장, 그중 한 장(빨강)만 문제가 있다. \(k\)장을 골라 계측할 때 문제 웨이퍼가 표본에 들 확률은 \(\binom{24}{k-1}/\binom{25}{k} = k/25\)이다. 무작위로 고르면 문제 웨이퍼가 어느 슬롯에 있든 확률이 같다. 고정 슬롯 샘플링은 문제 웨이퍼가 그 슬롯에 있느냐에 따라 0 아니면 1이다 — 짝수 슬롯만 한 챔버를 지나는 것처럼 문제가 슬롯 규칙을 따르면 영영 못 잡는다.
한 로트 25장, 무엇을 몇 장 잴까 웨이퍼는 25장 단위로 FOUP에 담겨 로트로 움직이고, 웨이퍼마다 로트·슬롯 번호가 붙는다. 계측 장비 시간은 비싸서 막 두께나 CD는 로트당 몇 장, 장당 몇 점만 잰다. 이때 “어느 슬롯을 잴까”는 확률 문제다. 고정 슬롯(예: 1·13·25번)만 재면 장비가 웨이퍼를 두 챔버에 번갈아 넣는 경우 한 챔버의 문제를 놓칠 수 있고, 무작위로 고르면 어떤 슬롯의 문제든 같은 확률 \(k/25\)로 잡는다. 실무에서는 슬롯을 돌려 가며 고르거나 챔버별로 층을 나눠(8장의 층화 추출) 고른다. → YieldBook · 웨이퍼에서 다이로(로트 · 슬롯 · 웨이퍼 ID) · ProcessBook · 계측·결함·수율
고전적 확률 문제: 생일, 칩, 몬티 홀
“적어도 하나”가 들어간 사건은 직접 세면 경우가 갈래갈래 나뉜다(정확히 하나, 정확히 둘, …). 드모르간 법칙으로 뒤집으면 “하나도 없음” 한 가지가 되어 훨씬 쉽다.
$$P(\text{적어도 하나}) = 1 - P(\text{하나도 없음})$$
이 여사건 기법은 이 장에서 가장 자주 쓰는 계산 요령이다. 생일 문제, 칩 불량, 샘플링 검사, 드 메레의 주사위 문제가 모두 이 꼴이다.
생일 문제
\(n\)명이 모인 방에서 생일이 같은 사람이 적어도 한 쌍 있을 확률은? 2월 29일을 빼고 365일이 같은 가능성이라 하자. 생일의 나열은 중복순열 \(365^n\)가지이고, 모두 다른 경우는 순열 \({}_{365}P_n = 365\cdot364\cdots(365-n+1)\)가지다. 이것이 생일 문제(birthday problem)다.
근사는 작은 \(x\)에서 \(1 - x \approx e^{-x}\)와 \(\sum_{i\lt n} i = n(n-1)/2\)에서 나온다. 핵심은 비교하는 대상이 사람 수 \(n\)이 아니라 쌍의 수 \(\binom n2\)라는 것이다. 23명이면 쌍이 253개다.
23명이 모인 방에서 생일이 같은 쌍이 적어도 하나 있을 확률은 대략?
정확한 값은 0.507이다. 23/365 ≈ 6%는 “어느 한 사람이 나와 생일이 같을” 확률에 가까운 숫자다. 쌍이 253개나 되므로 그중 하나라도 맞을 가능성은 훨씬 크다. 아래에서 방을 100개 만들어 확인하라.
SIMULATOR
생일 문제: 방을 채우고 겹치기를 센다
모드
정확한 P(일치)—
이 n에서 방의 일치 비율—
마지막 방—
과녁‘과녁 게임’을 고른다
왼쪽은 365일 달력(한 줄이 한 달)으로, 사람이 한 명씩 들어와 자기 생일 칸에 앉는다. 이미 누가 있는 칸에 앉으면 빨강으로 표시된다. 오른쪽 곡선은 정확한 \(P(\text{일치})\)이고 가로축의 흰 점을 끌면 \(n\)이 바뀐다. 초록 점은 지금까지 만든 방들의 일치 비율(±2σ 막대)이다. 해볼 것: ① \(n = 23\)에서 방 100개를 여러 번 만들어 비율이 0.5 근처인지 보라. ② \(n = 57\)이면 99%다. ③ 과녁 게임: 곡선이 숨겨진 채 목표 확률이 주어진다. 실험만으로 \(P(\text{일치})\)가 목표 이상이 되는 가장 작은 \(n\)을 찾아 제출하라(정확히 맞히면 +1, ±2 이내면 +½).
(가) 23명, (나) 30명의 방에서 생일이 같은 쌍이 적어도 하나 있을 확률을 구하라. (다) 23명 가운데 나와 생일이 같은 사람이 적어도 한 명 있을 확률과 비교하라.
풀이 보기
전략 여사건 “모두 다름”의 곱 \(\prod(1 - i/365)\)을 계산한다. (다)는 다른 22명이 각자 나의 생일을 피하는 경우가 \(364^{22}\)가지다.
검토 (가)와 (다)의 차이는 비교하는 쌍의 수다: 253쌍 대 22쌍. “나와 같은 생일” 확률이 50%를 넘으려면 다른 사람이 253명 있어야 한다(연습문제).
칩 하나가 불량일 확률
칩은 수많은 작은 부분으로 이루어진다. 비아 수억 개, 트랜지스터 수십억 개, 회로 블록 수십 개. 각 부분이 다른 부분과 상관없이(3장에서 정의할 독립) 작은 확률 \(p\)로 고장 나고 하나만 고장 나도 칩이 불량이면, 칩이 양품일 확률은 “\(n\)개 모두 정상”의 확률이다. 독립이면 확률이 곱해진다는 사실을 3장에서 미리 빌려 오면
\(n\)이 크고 \(p\)가 작으면 \((1-p)^n \approx e^{-np}\)이다. 여기서 \(np\)는 칩당 평균 고장 개수로, 결함 밀도 \(D_0\)와 칩 면적 \(A\)의 곱 \(D_0A\)에 해당한다. 그래서 양품률(수율) \(e^{-D_0A}\)는 17장의 푸아송 수율 모형이 된다. \(np\)가 작을 때만 \(P \approx np\)이고, \(np\)가 1에 가까워지면 \(np\)는 확률을 크게 부풀린다(\(np = 2\)이면 “확률 2”가 되어 버린다).
칩 안에 같은 비아가 10 있고, 비아 하나가 끊어질 확률이 10.00이라면, 평균 고장 수는 \(np\) = , 칩이 불량일 확률은 \(1 - (1-p)^n\) = (근사 \(1 - e^{-np}\) = , 선형 근사 \(np\) = )이다. 수율 99%를 지키려면 비아 하나의 고장 확률이 이하여야 한다.
SIMULATOR
적어도 하나: 블록 수와 다이 수율
np (칩당 평균 고장)—
P(칩 불량) = 1−(1−p)ⁿ—
선형 근사 np—
웨이퍼 수율 (실험)—
과녁—
왼쪽 웨이퍼의 다이마다 고장 난 부분의 수를 뽑아, 하나라도 있으면 빨강(진할수록 고장 수가 많음)으로 칠한다. 오른쪽은 \(n\)에 따른 \(P(\text{칩 불량})\)(자주)와 선형 근사 \(np\)(점선)이고, 곡선 위 흰 점을 끌면 \(n\)이 바뀐다. 해볼 것: ① \(np = 0.01\)에서는 \(np\)와 정확한 값이 거의 같지만 \(np = 1\)에서는 0.63 대 1로 갈린다. ② \(np\)가 2를 넘으면 불량 다이 안에 고장이 여러 개씩 겹친다 — 고장 수에 비해 불량 다이가 적은 이유다. ③ 과녁: 무작위 \(p\)와 목표 수율이 주어진다. 점을 끌어 수율을 ±0.5%p 안에 맞추면 성공이다.
칩 하나에 같은 공정의 비아가 \(10^4\)개 있고, 각 비아는 다른 비아와 상관없이 \(10^{-5}\)의 확률로 끊어진다. 비아가 하나라도 끊어지면 칩은 불량이다. 칩이 불량일 확률을 구하고 근사식과 비교하라.
검토 비아 하나의 고장 확률이 10만분의 1이어도 1만 개를 모으면 칩 열에 하나가 불량이다. 첨단 칩에는 비아가 \(10^{9}\)개를 넘으므로 비아 하나의 고장 확률은 \(10^{-11}\)보다 훨씬 작아야 하고, 그래서 중요한 곳에는 비아를 두 개씩(이중 비아) 둔다.
다이 수율은 “결함이 하나도 없을 확률”이다 웨이퍼 위에 치명 결함이 평균 밀도 \(D_0\)(개/cm²)로 무작위로 떨어지면, 면적 \(A\)인 다이에 떨어지는 결함 수의 평균은 \(D_0A\)이고 다이가 양품일 확률은 결함이 0개일 확률 \(e^{-D_0A}\)이다. 위 시뮬레이터의 \(np\)가 바로 \(D_0A\)다. \(D_0 = 0.1\)/cm²에서 1 cm² 다이는 90.5%, 6 cm² 대형 GPU 다이는 54.9%로 떨어진다 — 칩렛으로 다이를 쪼개는 이유다. 실제 결함은 뭉치는 경향이 있어 “독립” 가정이 깨지고, 그러면 푸아송 모형은 수율을 비관적으로 예측한다(음이항·머피 모형, 17장). → YieldBook · 결함 밀도와 수율 모델(푸아송 모델)
드 메레의 주사위와 몬티 홀
17세기 도박사 드 메레는 “주사위 1개를 4번 던져 6이 적어도 한 번”에 거는 내기로 돈을 벌었고, “주사위 2개를 24번 던져 6-6이 적어도 한 번”도 같은 이치(\(4/6 = 24/36\))라 믿었다가 돈을 잃었다. 파스칼과 페르마의 편지는 이 문제에서 시작되었다.
드 메레의 비례 추론 \(4\times\frac16 = 24\times\frac1{36} = \frac23\)은 선형 근사 \(np\)이고, 여기서는 \(np\)가 작지 않아 틀렸다. 두 확률의 차이는 0.026뿐이라 이 차이를 경험으로 알아채려면 수천 판이 필요하다.
MINI LAB두 내기를 동시에 계속 한다. 선은 판이 쌓이는 동안 각 내기의 승률(상대 도수), 점선은 정확한 확률이다. 수백 판까지는 두 선이 자주 엇갈려 어느 쪽이 유리한지 알 수 없다. 몇천 판이 지나야 0.518과 0.491이 갈라진다 — 대수의 법칙의 속도가 \(1/\sqrt n\)이기 때문이다.
마지막은 몬티 홀 문제(Monty Hall problem)다. 문 세 개 중 하나 뒤에 자동차가, 나머지 둘 뒤에 염소가 있다. 참가자가 문 하나를 고르면, 답을 아는 진행자가 남은 두 문 중 염소가 있는 문 하나를 열어 보이고 “바꾸겠습니까?”라고 묻는다. 남은 문은 둘이니 반반일까?
문을 바꾸면 자동차를 받을 확률은?
처음 고른 문이 맞을 확률은 1/3이고, 진행자가 무엇을 열든 이 사실은 변하지 않는다. 처음 고른 문이 틀렸다면(2/3) 진행자는 남은 염소 문을 열 수밖에 없어 바꾸면 반드시 자동차다. 아래에서 직접 몇 판 해 보고 “자동 300판”으로 확인하라. 진행자의 행동이 확률을 바꾸는 이유는 3장의 조건부 확률과 베이즈 정리로 정확히 계산한다.
MINI LAB문을 고르면 진행자가 염소 문 하나를 연다. 그대로 둘지 바꿀지 정하면 결과와 함께 전략별 승률이 쌓인다. “자동 300판”은 두 전략을 150판씩 빠르게 해 본다. 문이 100개이고 진행자가 98개를 연다면 어떨지 상상해 보라.
핵심 정리
확률 실험의 모든 결과를 모은 집합이 표본 공간 \(\Omega\), 그 부분집합이 사건이다. 결과 \(\omega\in A\)이면 \(A\)가 일어났다. 결과들이 같은 가능성이면 \(P(A) = |A|/|\Omega|\).
공리: \(P(A) \ge 0\), \(P(\Omega) = 1\), 배반 사건의 확률은 더해진다. 여기서 \(P(A^c) = 1 - P(A)\), 단조성, \(0 \le P \le 1\), 포함–배제 \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\)(세 사건은 ±를 번갈아), 불의 부등식이 나온다. 합이 1이어야 하는 것은 분할뿐이다.
상대 도수 \(f_n(A) = n_A/n\)은 시행이 늘수록 \(P(A)\)로 모이고(대수의 법칙), 흔들림은 \(\sqrt{p(1-p)/n}\)로 \(1/\sqrt n\)에 비례해 준다. 정밀도를 두 배로 하려면 시행이 네 배 필요하다. 과거의 연속은 다음 결과를 바꾸지 않는다(도박사의 오류).
세기: 곱의 법칙, 순열 \({}_nP_k = n!/(n-k)!\), 조합 \(\binom nk = {}_nP_k/k!\), 중복순열 \(n^k\), 중복조합 \(\binom{n+k-1}{k}\), 같은 것이 있는 순열 \(n!/(n_1!\cdots n_r!)\). 파스칼의 규칙 \(\binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k\), \(\sum_k\binom nk = 2^n\). 로트 샘플링의 “불량 0개” 확률은 \(\binom{N-D}{n}/\binom Nn\).
“적어도 하나” = 1 − “하나도 없음”. 생일 문제는 \(1 - \prod_{i\lt n}(1 - i/365)\)(23명이면 0.507, 쌍의 수 \(\binom n2\)가 핵심), 독립인 \(n\)개 부분 중 하나라도 고장 날 확률은 \(1 - (1-p)^n \approx 1 - e^{-np}\)이고, \(np \ll 1\)일 때만 \(\approx np\)이다. 이것이 다이 수율 \(e^{-D_0A}\)의 뿌리다.
연습문제
따로 말이 없으면 주사위·동전은 공정하고, 1년은 365일이며 생일은 같은 가능성이다. 확률은 소수로 답한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.
서로 구별되지 않는 결함 8개가 다이 5개에 떨어진다(한 다이에 여러 개 가능). 다이별 결함 개수의 배치 \((x_1, \dots, x_5)\)는 몇 가지인가? 이 배치들이 같은 가능성인지도 생각해 보라.
별 8개와 칸막이 4개: \(\binom{8+5-1}{8} = \binom{12}{4} = 495\). 결함이 각각 독립적으로 다이를 고른다면 이 495가지는 같은 가능성이 아니다. 결함을 구별하면 \(5^8\)가지가 같은 가능성이고, 예컨대 (8,0,0,0,0)은 그중 1가지, (2,2,2,1,1)은 \(8!/(2!2!2!1!1!) = 5040\)가지에 해당한다.
웨이퍼 8장 가운데 레시피 A가 3장, B가 3장, C가 2장이다. 같은 레시피 웨이퍼끼리는 구별하지 않을 때, 장비에 넣는 레시피 순서(예: AABCBACB)는 몇 가지인가?
칩이 검사 A, B, C에서 걸릴 확률이 각각 0.05, 0.04, 0.03이고, 두 검사에 함께 걸릴 확률이 \(P(A\cap B) = 0.010\), \(P(A\cap C) = 0.008\), \(P(B\cap C) = 0.006\), 셋 모두는 0.003이다. 적어도 하나의 검사에 걸릴 확률은?
52장에서 5장을 받을 때 투 페어(같은 숫자 두 쌍 + 다른 숫자 한 장, 예: Q Q 5 5 9)가 나올 확률은?
이번에는 두 쌍의 숫자에 순서가 없다. 풀하우스와 무엇이 다른가?
쌍이 될 두 숫자 \(\binom{13}{2} = 78\)(두 쌍은 역할이 같아 순서 없음), 각 쌍의 무늬 \(\binom42^2 = 36\), 남은 한 장은 다른 11개 숫자 × 4무늬 = 44. \(78\times36\times44 = 123{,}552\), \(P = 123552/2598960 = 0.0475\).
주사위 두 개를 \(n\)번 던져 6-6이 적어도 한 번 나올 확률이 0.5 이상이 되는 가장 작은 \(n\)은?
\(1 - (35/36)^n \ge 0.5\) → \(n \ge \ln 0.5/\ln(35/36) = 24.6\). \(n = 24\)이면 0.491, \(n = 25\)이면 0.506. 드 메레는 한 번 차이로 돈을 잃었다.
나를 뺀 다른 사람이 몇 명 이상이어야 그중 나와 생일이 같은 사람이 적어도 한 명 있을 확률이 0.5 이상이 되는가?
\(1 - (364/365)^n \ge 0.5\) → \(n \ge \ln0.5/\ln(364/365) = 252.65\) → 253명. 23명 방의 쌍의 수 \(\binom{23}2 = 253\)과 같은 숫자인 것은 우연이 아니다 — 둘 다 “비교하는 쌍이 약 253개”여야 50%가 된다.
공정한 동전에 대한 설명으로 옳은 것은?
대수의 법칙은 비율에 관한 법칙이다. 동전은 과거를 기억하지 않으므로 첫째는 도박사의 오류, 셋째의 차이는 오히려 \(\sqrt n\) 정도로 커진다. 정확히 500번일 확률은 \(\binom{1000}{500}/2^{1000} = 0.025\)뿐이다(가장 가능성 높은 값이긴 하다).
개념 확인 퀴즈
확률이 0보다 큰 두 사건 \(A\), \(B\)가 배반이다. 옳은 것은?
배반은 \(A\cap B = \varnothing\)이라 \(P(A\cap B) = 0\)이다. \(P(A)P(B) > 0\)이므로 첫째는 틀리고, 배반인 두 사건은 오히려 서로에 대해 강한 정보를 준다(3장: 배반 ≠ 독립). 합이 1인 것은 \(B = A^c\)일 때뿐이다.
\(P(A) = 0.7\), \(P(B) = 0.6\)일 때 \(P(A\cap B)\)가 가질 수 있는 가장 작은 값은?
\(P(A\cap B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B) \ge 0.7 + 0.6 - 1 = 0.3\). 두 원의 넓이 합이 사각형보다 크면 반드시 겹친다. 넓이 벤 다이어그램에서 확인해 보라.
룰렛에서 빨강이 8번 연속 나왔다. 다음 판에 대한 올바른 생각은?
도박사의 오류다. 대수의 법칙은 과거의 치우침을 메우는 것이 아니라 앞으로의 많은 시행이 그것을 희석한다는 뜻이다. 다만 빨강이 이상하게 많이 나오는 것이 바퀴가 공정하지 않다는 증거가 될 수는 있다 — 그것은 11장의 가설 검정이 다루는 질문이다.
생일 문제에서 23명만 모여도 일치 확률이 50%를 넘는 가장 큰 이유는?
일치는 어느 쌍에서든 일어나면 된다. 쌍마다 1/365의 기회가 253번 있으니 \(1 - e^{-253/365} \approx 0.50\)이다. 실제 생일의 쏠림은 확률을 조금 더 키울 뿐이다.
공 4개에서 복원 추출로 2개를 뽑고 순서를 무시하면 결과는 \(\binom{4+2-1}{2} = 10\)가지다. 이 10가지에 대해 옳은 것은?
같은 가능성인 기본 결과는 순서 있는 16가지다. AB는 (A,B)와 (B,A) 둘에 해당해 2/16, AA는 (A,A) 하나뿐이라 1/16이다. 중복조합은 세는 데는 유용하지만 \(|A|/|\Omega|\) 공식에 그대로 넣으면 틀린다.