Chapter 01

자료의 요약과 시각화

산화 공정을 마친 300 mm 웨이퍼 한 장의 막두께를 엘립소미터로 49곳에서 쟀다. 숫자 49개가 화면에 뜬다. 공정 엔지니어가 회의에서 말할 시간은 한 줄뿐이다 — "평균 100.40 nm, 1σ 0.25%, 가장자리가 두껍다." 이 한 줄에는 자료의 중심, 퍼짐, 모양, 그리고 무늬가 들어 있다. 이 장은 숫자 한 묶음을 몇 개의 숫자와 몇 장의 그림으로 줄이는 방법, 그리고 그렇게 줄일 때 무엇을 잃는지를 다룬다. 아래 점 하나를 오른쪽으로 끌어 보자. 평균(삼각형 받침점)은 따라 움직이지만 중앙값은 거의 그대로다.

점을 좌우로 끈다 · 웨이퍼 위 같은 자리가 빛난다

변수를 범주형과 수치형(이산·연속)으로 나누고, 명목·순서·구간·비율 척도에 따라 의미 있는 요약 통계를 고른다.
도수 분포표(계급, 상대 도수, 누적 도수)와 히스토그램을 만들고, 계급 폭과 시작점이 그림을 어떻게 바꾸는지 Sturges·Scott·Freedman–Diaconis 규칙과 함께 설명한다.
평균·중앙값·최빈값·절사 평균·가중 평균을 계산하고, 평균이 받침점(편차의 합 0)이며 제곱 거리를, 중앙값이 절대 거리를 최소로 만든다는 사실로 둘의 강건성 차이를 설명한다.
범위·분산·표준 편차·변동 계수·사분위 범위·중앙 절대 편차와 z 점수를 계산하고, $n-1$로 나누는 이유를 반복 실험으로 확인한다.
다섯 숫자 요약과 상자 그림을 그리고, 1.5·IQR 울타리로 이상값을 표시하며, 여러 장비의 자료를 나란히 비교한다.
왜도와 첨도의 정의와 부호를 이해하고, 분포의 모양에 따라 평균·중앙값·최빈값의 순서가 바뀌는 것을 확인한다.
산점도와 표본 공분산, 상관 계수 $r$을 계산하고, $r$이 선형 변환에 불변이지만 곡선 관계·이상값·숨은 변수에 속는다는 것을 설명한다.
막두께 균일도(1σ %, 범위/2·평균)를 계산하고, 요약 통계가 웨이퍼 위의 공간 무늬를 숨길 수 있음을 웨이퍼 맵으로 확인한다.

자료의 종류와 측정 척도

통계학은 "흩어진 숫자에서 결론을 끌어내는 기술"이다. 그 첫걸음은 지금 손에 쥔 숫자가 무엇의 일부인지 아는 것이다. 웨이퍼 위의 막두께는 표면의 모든 점에서 정의되므로 값이 무한히 많다. 우리가 관심을 두는 이 전체를 모집단(population)이라 하고, 실제로 잰 49개를 표본(sample)이라 한다. 모집단의 평균처럼 전체를 설명하는 수를 모수(parameter), 표본에서 계산한 수를 통계량(statistic)이라 한다. 이 장은 표본을 정리하고 보여 주는 기술 통계(descriptive statistics)를 다룬다. 표본으로 모집단을 말하는 추론 통계는 8장부터 시작한다.

측정 기록 한 줄에는 여러 변수(variable)가 들어 있다. 로트 번호, 장비 이름, 슬롯 위치, 막두께, 결함 수, 결함 등급 …. 변수는 값의 성격에 따라 둘로 나뉜다. 범주형 자료(categorical data)는 값이 이름표다(장비 A·B·C, 결함 유형). 수치형 자료(numerical data)는 값이 양이다. 수치형은 다시 셀 수 있는 값만 갖는 이산형(discrete)(웨이퍼당 결함 수 0, 1, 2, …)과 구간 안의 어떤 값도 가질 수 있는 연속형(continuous)(막두께 100.37 nm)으로 나뉜다. 측정기가 소수 둘째 자리까지만 보여 줘도 막두께는 연속형이다 — 끊긴 것은 기록이지 양 자체가 아니다.

자료의 분류. 범주형은 명목·순서 척도로, 수치형은 구간·비율 척도로 잰다. 척도가 높을수록 의미 있는 계산이 많아진다.

네 가지 측정 척도

스티븐스(S. S. Stevens)는 값 사이에 어떤 연산이 의미 있는지에 따라 척도를 넷으로 나눴다. 명목 척도(nominal scale)는 같다·다르다만 의미가 있다. 빈 번호 "Bin 7"은 숫자처럼 보이지만 이름표라 평균을 내면 안 된다. 순서 척도(ordinal scale)는 크고 작음이 의미 있지만 간격은 그렇지 않다. 결함 심각도 등급 4와 2의 차이가 2와 0의 차이와 같다는 보장이 없다. 구간 척도(interval scale)는 차이가 의미 있지만 0이 임의로 정해져 있어 비는 의미가 없다(섭씨 온도, 날짜). 비율 척도(ratio scale)는 0이 "없음"을 뜻하는 진짜 0이라 비까지 의미가 있다(막두께, 결함 수, 절대 온도, 전류).

척도	의미 있는 연산	중심	퍼짐	예
명목	=, ≠	최빈값	범주 수, 비율	장비 ID, 결함 유형, 빈 코드
순서	+ <, >	+ 중앙값	+ 사분위수	결함 등급, 만족도
구간	+ 차이(−)	+ 평균	+ 표준 편차	섭씨 온도, 측정 시각
비율	+ 비(÷)	+ 기하 평균	+ 변동 계수	막두께, 결함 수, 누설 전류

웨이퍼 척 A의 온도가 20, 척 B가 40이다. 섭씨로 비를 내면 B/A = 이지만, 같은 온도를 절대 온도로 바꾸면 B/A = 이다. 섭씨의 0은 물이 어는 점일 뿐 "열이 없음"이 아니어서 비가 단위를 바꿀 때마다 달라진다. 반면 차이 B − A = 는 어느 단위로 재도 같은 크기(1 °C = 1 K)다. 섭씨는 구간 척도, 켈빈은 비율 척도다.

척도를 가려내는 연습을 게임으로 해 보자. 카드 하나가 위에 나타나면 아래 네 칸 중 알맞은 척도로 끌어다 놓는다(버튼을 눌러도 된다). 틀리면 이유가 나온다.

SIMULATOR

척도 분류 게임

카드를 알맞은 칸으로 끈다

또는 눌러서 분류

진행—

점수—

해설—

해볼 것: ① 12장의 카드를 모두 분류하고 10점 이상을 노려라. ② "빈 코드"와 "측정 날짜"처럼 숫자로 쓰였지만 비율 척도가 아닌 카드에 주의하라. ③ 헷갈리면 "0이 '없음'을 뜻하는가?", "두 값의 비가 말이 되는가?"를 물어라.

범주형 자료의 요약: 도수와 파레토 그림

범주형 자료는 범주마다 몇 번 나왔는지(도수)를 세어 막대그래프로 그린다. 막대를 도수가 큰 순서로 늘어놓고 누적 비율 꺾은선을 겹친 것이 파레토 그림(Pareto chart)이다. "결함의 80%는 소수의 원인에서 나온다"는 파레토 원리에 따라, 수율 개선 회의는 늘 이 그림에서 출발한다. 범주형 자료의 중심은 가장 많이 나온 범주, 곧 최빈값(mode)이다.

막대 꼭대기를 위아래로 끈다

MINI LAB한 주 동안 검사에서 분류된 결함 유형의 도수. 막대를 끌어 도수를 바꾸면 파레토 순서와 누적 비율 곡선(자주색)이 즉시 다시 정렬된다. 범주에는 순서가 없으므로 "평균 결함 유형"은 없다. 상위 두 범주가 전체의 몇 %인지 보라.

CVD 공정 기록표에 다음 열이 있다: ① 로트 ID(예: L2741), ② 챔버 이름(A, B, C), ③ 카세트 슬롯 번호(1–25), ④ 증착 온도(°C), ⑤ 49점 평균 막두께(nm), ⑥ 웨이퍼당 입자 수, ⑦ 육안 검사 등급(양호·주의·불량). 각 변수의 자료 유형과 척도를 말하고, 각각에 평균을 내도 되는지 판단하라.

풀이 보기

전략 "값이 이름표인가, 양인가?"를 먼저 묻고, 양이면 "0이 없음을 뜻하는가?"로 구간과 비율을 가른다.

풀이 ① 로트 ID: 범주형·명목(숫자가 섞여 있어도 이름표). ② 챔버: 범주형·명목. ③ 슬롯 번호: 위치에 순서가 있으므로 순서 척도로 쓰는 것이 안전하다(슬롯 간 간격이 같아 구간 척도로 보기도 하지만, "슬롯 평균 12.7"은 쓸모가 없다). ④ 섭씨 온도: 수치형·연속·구간 척도. ⑤ 막두께: 수치형·연속·비율 척도. ⑥ 입자 수: 수치형·이산·비율 척도. ⑦ 검사 등급: 범주형·순서 척도.

평균이 의미 있는 것: ④ 온도, ⑤ 막두께, ⑥ 입자 수. ①②는 최빈값(도수), ③⑦은 중앙값까지.

검토 등급을 1, 2, 3으로 코딩해 평균을 내는 일은 현장에서 흔하지만, 간격이 같다는 가정을 몰래 넣는 것이다. 보고서에는 등급별 도수(비율)를 함께 적는다.

도수 분포와 히스토그램

이 장 내내 쓸 자료를 소개한다. 300 mm 웨이퍼에 열산화막을 기른 뒤, 가장자리 3 mm를 뺀 영역에서 표준 49점 배치(중심 1점, 반지름 49 mm에 8점, 98 mm에 16점, 147 mm에 24점)로 막두께를 쟀다.

막두께 측정의 49점 배치. 49개 값은 웨이퍼 전체(모집단)에서 뽑은 표본이며, 점의 배치 자체가 요약 통계에 영향을 준다.

1–7	8–14	15–21	22–28	29–35	36–42	43–49

표 1.1 — 49점 막두께(nm). 1번은 중심, 2–9번은 1번 고리, 10–25번은 2번 고리, 26–49번은 3번 고리다(열 방향으로 읽는다). 숫자만 늘어놓아서는 아무것도 보이지 않는다. 먼저 순서대로 늘어놓고 묶어서 센다.

도수 분포표

값의 범위를 겹치지 않는 구간인 계급(class, bin)으로 나누고, 각 계급에 든 값의 개수(도수(frequency))를 센 표가 도수 분포표(frequency distribution)다. 도수를 전체 개수 $n$으로 나눈 것이 상대 도수(relative frequency), 첫 계급부터 차례로 더한 것이 누적 도수(cumulative frequency)다. 경계에 걸린 값이 두 계급에 들어가지 않도록 계급은 $[a, b)$처럼 왼쪽 끝을 포함하고 오른쪽 끝을 뺀다. 계급의 가운데 값을 계급값(class mark)이라 한다.

정렬한 49개 값을 수직선 위에 점으로 찍는다. 이것만으로도 점 그림(dot plot)이 된다.
범위를 폭 0.2 nm의 계급으로 자른다. 경계값 100.20은 오른쪽 계급 [100.2, 100.4)에 넣는다.
계급마다 점을 센다: 3, 9, 12, 12, 11, 2 — 합 49.
도수만큼 막대를 세우면 히스토그램이다. 막대는 서로 붙어 있다(수치형 자료의 연속된 구간).

점 그림에서 도수 분포표를 거쳐 히스토그램으로. 각 단계에서 개별 값의 정보가 조금씩 사라지고 모양이 드러난다.

도수 분포표를 막대로 그린 것이 히스토그램(histogram)이다. 막대그래프와 달리 가로축이 연속된 수직선이라 막대 사이에 틈이 없다. 세로축을 도수 대신 밀도 $=$ 상대 도수 ÷ 계급 폭으로 그리면 막대 넓이가 상대 도수가 되고 넓이의 합이 1이 된다. 계급 폭이 서로 다를 때나, 5장에서 확률 밀도 함수와 겹쳐 그릴 때 이 밀도 척도를 쓴다.

$$\text{밀도 높이}_j = \frac{f_j}{n\,h},\qquad \sum_j (\text{높이}_j \times h) = \sum_j \frac{f_j}{n} = 1$$

$f_j$는 $j$번째 계급의 도수, $h$는 계급 폭, $n$은 자료 수.

MINI LAB측정기가 중심부터 바깥 고리 순서로 49점을 재는 동안 값이 하나씩 계급 칸에 떨어져 쌓인다. 히스토그램은 관측 하나를 벽돌 한 장으로 쌓은 탑이다. 안쪽 사이트가 먼저 재지므로 처음엔 왼쪽(얇은 쪽)이 쌓이고 나중에 오른쪽이 자란다 — 순서 정보는 완성된 히스토그램에서는 사라진다.

계급 폭은 그림을 바꾼다

같은 자료라도 계급 폭과 시작점을 바꾸면 히스토그램의 모양이 달라진다. 폭이 너무 넓으면 봉우리 두 개가 하나로 뭉개지고, 너무 좁으면 막대마다 한두 개씩 들어가 들쭉날쭉한 잡음만 보인다. 정답은 없지만 출발점이 되는 규칙이 있다.

$$\text{Sturges: } k = \lceil \log_2 n + 1\rceil,\qquad \text{Scott: } h = 3.49\,s\,n^{-1/3},\qquad \text{Freedman–Diaconis: } h = 2\,\mathrm{IQR}\,n^{-1/3}$$

$k$는 계급 수, $h$는 계급 폭, $s$는 표본 표준 편차, IQR은 사분위 범위(뒤에서 정의). Sturges는 자료가 정규 분포에 가깝다고 보고 만든 규칙이라 $n$이 크면 계급이 너무 적다. Scott은 정규 분포에서 밀도 추정 오차를 최소로 하고, FD는 이상값에 덜 흔들리는 IQR을 쓴다.

자료 49개, 표준 편차 0.25, 사분위 범위 0.41, 범위(최댓값 − 최솟값) 0.96이면 Sturges 계급 수는 , 폭으로는 이다. Scott 폭은 (계급 약 개), FD 폭은 (약 개)이다. $n$을 5000으로 늘리면 Sturges는 14개에 머물지만 Scott·FD는 계급을 훨씬 잘게 나눈다.

두 챔버(A, B)에서 나온 웨이퍼 200장의 평균 막두께를 하나의 히스토그램으로 그린다. 두 챔버의 평균은 약 0.85 nm 다르고, 각 챔버의 표준 편차는 0.25 nm쯤이다. 계급 폭을 1.0 nm로 넓게 잡으면 히스토그램은?

폭이 두 평균의 차이보다 넓으면 두 무리가 같은 막대에 들어가 봉우리가 하나로 보인다. 아래에서 오른쪽 손잡이를 끌어 폭을 1.0 nm 근처로 넓혔다가 0.15 nm쯤으로 좁혀 보라. 시작점 손잡이를 옮기기만 해도 봉우리 수가 바뀌는 폭도 있다.

SIMULATOR

계급 폭 탐험기: 숨은 두 봉우리

아래 흰 원: 왼쪽은 시작점, 오른쪽은 폭

규칙으로 폭 정하기

세로축

점(러그) 보기 매끄러운 곡선(커널 밀도) 겹치기 챔버별 색 보기

계급 폭 h—

계급 수—

봉우리 수—

Sturges · Scott · FD 폭—

자료: 챔버 A 120장(평균 99.70 nm), 챔버 B 80장(평균 100.55 nm)을 섞은 200개. 해볼 것: ① 폭을 1.0 nm로 넓히면 봉우리가 몇 개로 보이는가? 0.25 nm(Sturges)로 좁히면? 0.08 nm까지 좁히면? ② 폭 0.35 nm 근처에서 시작점만 옮겨 보라 — 같은 폭인데 봉우리 수가 1과 2 사이를 오간다. ③ "커널 밀도"는 각 점에 작은 종 모양을 얹어 더한 곡선으로, 시작점에 흔들리지 않는다. ④ "챔버별 색"을 켜서 두 무리가 실제로 어디에 있는지 확인하라.

히스토그램을 볼 때의 습관

① 폭을 두세 번 바꿔 그려 본다. 모양이 그대로인 특징만 믿는다. ② 봉우리가 둘이면 "섞인 무리"(장비 두 대, 로트 두 개, 측정자 두 명)를 의심한다. ③ 자료가 수십 개뿐이면 히스토그램보다 점 그림이나 상자 그림이 정직하다.

표 1.1의 49개 값으로 99.8 nm에서 시작하는 계급 폭 0.2 nm의 도수 분포표를 만들고, 상대 도수와 누적 상대 도수를 구하라. Sturges 규칙이 권하는 계급 수와 폭은 얼마인가?

풀이 보기

전략 값을 정렬한 뒤 $[a, a+0.2)$ 구간마다 센다. 최솟값 99.89, 최댓값 100.85이므로 계급 6개면 된다.

풀이

계급 (nm)	계급값	도수	상대 도수	누적 상대 도수
[99.8, 100.0)	99.9	3	0.061	0.061
[100.0, 100.2)	100.1	9	0.184	0.245
[100.2, 100.4)	100.3	12	0.245	0.490
[100.4, 100.6)	100.5	12	0.245	0.735
[100.6, 100.8)	100.7	11	0.224	0.959
[100.8, 101.0)	100.9	2	0.041	1.000

Sturges: $\log_2 49 = 5.61$이므로 $k = \lceil 6.61\rceil = 7$, 폭 $= (100.85 - 99.89)/7 = 0.137$ nm.

도수 3, 9, 12, 12, 11, 2 (합 49). Sturges 계급 수 7, 폭 약 0.14 nm

검토 누적 상대 도수가 0.5를 넘는 첫 계급이 [100.4, 100.6)이므로 중앙값은 100.4 근처에 있다(실제 100.41). 모양은 가운데가 넓고 평평한 편이다 — 가장자리가 두꺼운 방사형 무늬 때문인데, 이것은 8절에서 확인한다.

중심의 척도: 평균, 중앙값, 최빈값

자료를 숫자 하나로 대표하라면 보통 "가운데"를 말한다. 그 가운데를 정하는 방법이 셋이다. 값이 $x_1, x_2, \dots, x_n$일 때 표본 평균(sample mean)은

$$\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,\qquad \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x) = 0$$

둘째 식이 평균의 핵심 성질이다. 평균에서 잰 편차(deviation) $x_i - \bar x$의 합은 언제나 0이다. 수직선을 가벼운 막대로, 값을 같은 무게의 추로 보면 평균은 막대가 수평을 이루는 받침점이다. (확률 변수로서의 표본 평균은 8장에서 대문자 $\bar X$로 쓴다.)

삼각형 받침점이나 추를 끈다

MINI LAB추 7개가 놓인 시소. 받침점을 끌어 시소를 수평으로 만들어 보라. 처음 받침점은 중앙값(넷째 추) 아래에 있어 오른쪽으로 기운다 — 멀리 떨어진 추 하나가 큰 돌림힘 $\sum(x_i - c)$를 만든다. 수평이 되는 자리가 평균이다. 오른쪽 끝 추를 더 멀리 끌면 균형점도 따라간다.

중앙값(median)은 값을 크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 값이다. $n$이 홀수면 $(n+1)/2$번째 값, 짝수면 가운데 두 값의 평균이다. 최빈값은 가장 자주 나오는 값인데, 막두께처럼 연속형 자료에서는 같은 값이 거의 반복되지 않으므로 도수가 가장 큰 계급(최빈 계급)으로 말한다. 표 1.1에서도 100.30, 100.46, 100.78이 세 번씩 나와 최빈값이 셋이다 — 측정 해상도가 만든 우연일 뿐 의미가 없다.

평균은 제곱 거리를, 중앙값은 절대 거리를 최소로 한다

자료 전체를 대표할 한 점 $c$를 고른다고 하자. "모든 값에서 $c$까지의 거리를 가장 작게" 하려는데, 거리를 어떻게 재느냐에 따라 답이 다르다.

$$\frac{d}{dc}\sum_{i}(x_i - c)^2 = -2\sum_i (x_i - c) = 0 \;\Rightarrow\; c = \bar x,\qquad \sum_i |x_i - c| \text{ 는 } c = \text{중앙값에서 최소}$$

절대 거리의 합은 $c$를 조금 오른쪽으로 옮길 때 왼쪽 점 수만큼 늘고 오른쪽 점 수만큼 준다. 양쪽 점 수가 같아지는 곳, 곧 중앙값에서 더 줄일 수 없다.

흰 원 c를 좌우로 끈다

MINI LAB위: 같은 추 7개와 후보점 $c$, 각 점까지의 편차. 가운데: 평균 절대 편차 $\frac1n\sum|x_i-c|$. 아래: 평균 제곱 편차 $\frac1n\sum(x_i-c)^2$. $c$를 끌어 두 곡선의 바닥을 찾으라. 절대 편차 곡선은 중앙값에서, 제곱 편차 곡선은 평균에서 가장 낮다. 멀리 있는 점 하나가 제곱 편차를 크게 키우므로 평균이 그쪽으로 끌려간다.

강건성: 이상한 값 하나에 얼마나 흔들리는가

측정기가 입자 위에 초점을 맞춰 58.7 nm라는 엉뚱한 값을 냈다고 하자. 평균은 모든 값을 똑같이 더하므로 이 값 하나가 평균을 크게 옮긴다. 중앙값은 순서만 보므로 거의 꿈쩍하지 않는다. 이상한 값에 덜 흔들리는 성질을 강건성(robustness)이라 한다. 그 사이의 타협이 절사 평균(trimmed mean)이다. 정렬한 자료의 양쪽 끝에서 같은 비율(예: 10%)씩 버리고 남은 값의 평균을 낸다. 체조 채점에서 최고점과 최저점을 빼는 것과 같다.

막두께 10개 중 하나를 52.5 nm에서 70 nm로 바꾼다(나머지 9개는 51.7–52.6 nm). 평균, 중앙값, 표준 편차 중 가장 크게 변하는 것은?

평균은 $(70 - 52.5)/10 = 1.75$ nm 오른다. 표준 편차는 편차를 제곱하므로 한 값의 큰 편차가 지배해 0.30 nm에서 5.66 nm가 된다. 중앙값은 52.15 nm에서 꿈쩍도 하지 않는다 — 52.5도 70도 중앙값보다 크다는 순서 정보만 쓰기 때문이다. 아래에서 빨간 점을 끌어 확인하고, 오염된 점 수를 늘려 중앙값이 언제 무너지는지 보라.

SIMULATOR

이상값 줄다리기: 누가 버티나

빨간 점을 오른쪽으로 끈다

오염된 점 수

평균—

중앙값—

10% 절사 평균—

표준 편차 s—

IQR—

1.4826·MAD—

아래 막대는 깨끗한 자료(오염 없음)일 때보다 각 통계량이 얼마나 변했는지 보여 준다(위치는 nm 이동, 퍼짐은 배율). 해볼 것: ① 점 하나를 70 nm까지 끌 때 평균과 표준 편차의 막대를 비교하라. ② 오염된 점을 2개로 늘리면 10% 절사 평균(양쪽 1개씩 버림)이 무너진다. ③ 오염된 점이 몇 개가 될 때 중앙값이 무너지는가? 무너지기 전까지 오염시킬 수 있는 비율을 붕괴점이라 한다 — 평균 0%, 중앙값 50%.

가중 평균과 묶은 자료의 평균

값마다 무게가 다르면 가중 평균(weighted mean) $\bar x_w = \sum w_i x_i / \sum w_i$를 쓴다. 챔버별 평균을 합칠 때 무게는 웨이퍼 수다. 도수 분포표만 남아 있을 때는 계급값 $m_j$를 도수 $f_j$만큼 반복된 값으로 보고 평균과 분산을 근사한다.

$$\bar x \approx \frac{\sum_j f_j m_j}{n},\qquad s^2 \approx \frac{\sum_j f_j (m_j - \bar x)^2}{n - 1}$$

챔버 A에서 12장(평균 100.20), 챔버 B에서 8장(평균 100.70), 챔버 C에서 5장(평균 99.90)을 처리했다. 웨이퍼 장 전체의 평균은 가중 평균 이다. 세 챔버 평균을 그냥 평균하면 로, 차이가 난다. 웨이퍼 수가 같을 때만 둘이 같다.

한 웨이퍼의 10점 막두께(nm)가 52.3, 51.8, 52.6, 52.1, 51.9, 52.4, 52.0, 52.2, 51.7, 58.7이다. 마지막 값은 입자 위에서 잰 것으로 의심된다. 평균, 중앙값, 10% 절사 평균을 구하고, 의심 값을 뺐을 때와 비교하라.

풀이 보기

전략 정렬부터 한다: 51.7, 51.8, 51.9, 52.0, 52.1, 52.2, 52.3, 52.4, 52.6, 58.7. 10% 절사는 $10 \times 0.1 = 1$개씩 양쪽에서 버린다.

풀이 합 527.7 → $\bar x = 52.77$ nm. 중앙값은 5·6번째 값의 평균 $(52.1 + 52.2)/2 = 52.15$ nm. 절사 평균은 51.8부터 52.6까지 8개의 평균 $417.3/8 = 52.16$ nm. 58.7을 빼면 평균 52.11, 중앙값 52.10 nm.

평균 52.77 nm, 중앙값 52.15 nm, 10% 절사 평균 52.16 nm

검토 의심 값 하나가 평균을 0.66 nm 끌어올렸지만 중앙값은 0.05 nm만 움직였다. 평균과 중앙값이 크게 다르면 그 자체가 "자료를 다시 보라"는 신호다. 다만 의심 값을 지우는 것은 원인(입자, 측정 오류)을 확인한 뒤에 한다.

퍼짐의 척도: 범위, 분산, 표준 편차

평균이 같아도 한 웨이퍼는 100.0±0.1 nm 안에 모여 있고 다른 웨이퍼는 98–102 nm에 흩어져 있다면 둘은 전혀 다른 공정이다. 공정 엔지니어가 평균보다 더 자주 들여다보는 것이 이 퍼짐이다. 가장 단순한 척도는 범위(range) $R = x_{\max} - x_{\min}$이다. 계산이 쉽지만 양 끝 두 값만 보므로 이상값에 약하고, 자료가 많을수록 커지는 경향이 있다(8절 실험). 모든 값을 쓰는 척도는 편차에서 출발한다. 편차의 합은 늘 0이니 그대로 평균할 수 없고, 제곱해서 평균한다.

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2 = \frac{1}{n-1}\Big(\sum_i x_i^2 - n\bar x^2\Big),\qquad s = \sqrt{s^2}$$

$s^2$을 표본 분산(sample variance), $s$를 표본 표준 편차(sample standard deviation)라 한다. $s$는 자료와 단위가 같다(nm). 둘째 꼴은 손계산에 편하지만, 값이 100 근처이고 퍼짐이 0.2쯤이면 큰 수끼리 빼면서 자릿수가 사라진다 — 계산기로 할 때는 먼저 모든 값에서 100을 빼고 계산해도 $s$는 변하지 않는다.

다섯 점 101.2, 100.4, 99.8, 100.9, 100.7과 평균 100.6.
각 점의 편차. 오른쪽(+)과 왼쪽(−)이 정확히 상쇄되어 합이 0이다.
편차를 제곱하면 모두 양수가 된다. 제곱은 한 변이 |편차|인 정사각형의 넓이다 — 먼 점일수록 넓이가 급격히 커진다.
넓이를 더해 $n - 1 = 4$로 나눈 것이 표본 분산이다.
제곱근을 취해 단위를 nm로 되돌린 것이 표준 편차다. 대부분의 점이 $\bar x \pm s$ 근처에 있다.

표본 분산과 표준 편차를 계산하는 다섯 단계.

점을 좌우로 끈다

MINI LAB분산은 "편차 정사각형의 평균 넓이"다. 점 6개 위에 한 변이 $|x_i - \bar x|$인 정사각형을 그렸다. 오른쪽 자주색 정사각형은 넓이가 $s^2$($n-1$로 나눈 평균 넓이)이고 한 변이 $s$다. 점 하나를 멀리 끌면 그 정사각형만 넓어져 $s$를 끌어올린다.

왜 $n-1$로 나누는가

편차를 잴 기준인 $\bar x$를 같은 자료에서 구했기 때문이다. $\bar x$는 언제나 자료의 한가운데로 끌려와 있으므로 $\sum(x_i - \bar x)^2$는 진짜 평균 $\mu$로 잰 $\sum(x_i - \mu)^2$보다 작다(앞의 미니 실험: 평균이 제곱 거리를 최소로 한다). $n$으로 나누면 평균적으로 모분산을 $(n-1)/n$배만큼 작게 추정한다. 또 편차의 합이 0이라는 제약 때문에 $n$개 편차 중 자유롭게 움직이는 것은 $n - 1$개뿐이다. 이 수를 자유도(degrees of freedom)라 한다. 정확한 증명($E[S^2] = \sigma^2$)은 8–9장에서 한다. 여기서는 실험으로 확인하자.

표본 크기 n

MINI LAB모분산이 $\sigma^2 = 1$인 정규 모집단에서 크기 $n$인 표본을 반복해 뽑아, $n-1$로 나눈 분산(초록)과 $n$으로 나눈 분산(자주)의 누적 평균을 그린다. 수천 번 뽑으면 초록은 1로, 자주는 $(n-1)/n$(점선)으로 모인다. $n = 2$이면 $n$으로 나눈 분산은 평균적으로 진짜 값의 절반밖에 안 된다.

변동 계수와 z 점수

표준 편차를 평균으로 나눈 변동 계수(coefficient of variation) $\mathrm{CV} = s/\bar x$는 단위가 없어서, 두께가 다른 막(10 nm 게이트 산화막과 1 µm 층간 절연막)의 고르기를 비교할 수 있다. 비율 척도에서만 의미가 있다. 값 하나가 무리 속 어디쯤인지는 z 점수(z-score) $z_i = (x_i - \bar x)/s$로 잰다. "평균에서 표준 편차 몇 개만큼 떨어져 있는가"다.

표준 편차를 눈으로 읽는 법

자료가 봉우리 하나인 종 모양이면 대략 68%가 $\bar x \pm s$, 95%가 $\bar x \pm 2s$, 99.7%가 $\bar x \pm 3s$ 안에 든다(경험 법칙, 5장의 정규 분포). 모양과 상관없이 언제나 성립하는 보장은 체비쇼프 부등식이다: $\bar x \pm ks$ 밖에 있는 값의 비율은 $1/k^2$ 이하다(7장). 거꾸로, 점 무리의 가운데 2/3를 덮는 띠의 반폭이 대략 $s$다. 아래 게임에서 이 감각을 길러 보자.

SIMULATOR

표준 편차 눈대중 게임

흰 원을 끌어 ±s 띠의 폭을 맞춘다

띠 안의 점 비율 보기(도움)

자료 모양

내 추정 s—

실제 s?

오차—

성공 / 문제0 / 0

점 40개의 평균(삼각형)은 알려 준다. 흰 원을 끌어 $\bar x \pm s$ 띠를 맞추고 "확인"을 누르라. 실제 $s$와 10% 안이면 성공이다. 해볼 것: ① 도움 없이 5문제 연속 성공에 도전하라. ② "띠 안의 점 비율"을 켜고 68%가 되도록 맞추면 얼마나 정확한가? ③ "아무거나"에서는 한쪽 꼬리가 긴 자료나 두 무리 자료가 나온다 — 68% 요령이 언제 빗나가는지 보라.

막두께 균일도

반도체 공정에서 "균일도"는 대개 비균일도(nonuniformity, NU)를 퍼센트로 말한다. 정의가 둘 이상이라 보고서에는 꼭 어떤 정의인지 적는다.

$$\mathrm{NU}_{1\sigma} = \frac{s}{\bar x}\times100\%,\qquad \mathrm{NU}_{\text{range}} = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{2\,\bar x}\times100\%$$

1σ 비균일도는 변동 계수 그 자체다. 범위 기반 비균일도("±% 균일도")는 반폭을 평균으로 나눈 것이다. 같은 웨이퍼라도 점이 많을수록 범위가 커지므로 측정 점 수가 다른 두 결과를 범위 기반으로 비교하면 안 된다. 3σ 비균일도(1σ의 세 배)를 쓰는 회사도 있다.

49점 평균이 100.40, 최댓값이 평균보다 0.45 크고, 최솟값이 평균보다 0.51 작고, 표준 편차가 0.253이면, 범위는 , 범위 비균일도는 , 1σ 비균일도는 (3σ로는 )이다. 범위가 표준 편차의 배인데, 종 모양 자료 49개라면 보통 4.5배 안팎이다.

WIWNU: 웨이퍼 안 비균일도 CMP·증착·식각 장비의 사양서에는 "WIWNU ≤ 3% (1σ, 49점, EE 3 mm)"처럼 비균일도와 함께 정의(1σ인지 범위인지), 측정 점 수, 가장자리 제외(edge exclusion)가 붙는다. 셋 중 하나만 달라도 숫자를 비교할 수 없다. 가장자리 제외를 3 mm에서 2 mm로 줄이면 가장자리 고리의 두꺼운 값이 더 들어와 1σ가 눈에 띄게 커지는 일이 흔하다. 웨이퍼끼리의 산포(WTWNU, 웨이퍼별 평균의 표준 편차)와 로트끼리의 산포도 따로 관리한다. → CMPBook · 운동학과 균일도(WIWNU와 가장자리 제외) · ProcessBook · 계측·결함·수율(엘립소미터와 SPC)

한 웨이퍼의 5점 막두께(nm)가 101.2, 100.4, 99.8, 100.9, 100.7이다. 범위, 표본 분산, 표본 표준 편차, 1σ 비균일도, 범위 비균일도를 구하라.

풀이 보기

전략 평균 → 편차 → 편차 제곱합 → $n-1$로 나누기 → 제곱근 (위 단계 그림 그대로).

풀이 $\bar x = 503.0/5 = 100.6$ nm. 편차 0.6, −0.2, −0.8, 0.3, 0.1, 제곱합 $0.36 + 0.04 + 0.64 + 0.09 + 0.01 = 1.14$. $s^2 = 1.14/4 = 0.285$ nm², $s = 0.534$ nm. 범위 $101.2 - 99.8 = 1.4$ nm. $\mathrm{NU}_{1\sigma} = 0.534/100.6 = 0.531\%$, $\mathrm{NU}_{\text{range}} = 1.4/(2 \times 100.6) = 0.696\%$.

$R = 1.4$ nm, $s^2 = 0.285$ nm², $s = 0.534$ nm, 1σ NU = 0.531%, 범위 NU = 0.696%

검토 범위/s = 2.6으로, 점이 5개뿐이라 범위가 $s$의 몇 배밖에 안 된다. 49점이었다면 같은 공정에서도 범위가 더 넓게 나왔을 것이다. 공식 $\sum x_i^2 - n\bar x^2$를 소수 첫째 자리로 반올림한 값에 쓰면 50604.54 − 50603.6처럼 큰 수의 차가 되어 오차가 커진다.

사분위수, 상자 그림과 이상값

중앙값이 자료를 반으로 나누듯, 자료를 네 등분하는 세 값을 사분위수(quartiles)라 한다. 아래쪽 25%를 자르는 제1사분위수 $Q_1$, 중앙값 $Q_2$, 위쪽 25%를 자르는 제3사분위수 $Q_3$이다. 일반적으로 $p$분위수(백분위수 $100p$)는 자료의 $100p$%가 그 아래에 놓이는 값이다. 정렬한 값 $x_{(1)} \le \dots \le x_{(n)}$에서 계산하는 방법이 여러 가지인데, 이 책은 엑셀 QUARTILE.INC·R 기본값과 같은 선형 보간을 쓴다.

$$h = (n-1)p + 1,\qquad Q(p) = x_{(\lfloor h\rfloor)} + \big(h - \lfloor h\rfloor\big)\big(x_{(\lfloor h\rfloor + 1)} - x_{(\lfloor h\rfloor)}\big)$$

$h$가 정수면 그 순위의 값 그대로다. 예: $n = 13$이면 $Q_1$은 $h = 4$, 곧 넷째 값이다. 다른 교재는 $h = (n+1)p$를 쓰기도 해서 작은 자료에서는 답이 조금 다르다. 자료가 많으면 차이가 사라진다.

사분위 범위(interquartile range, IQR) $\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$은 가운데 50%가 차지하는 폭으로, 양 끝 25%를 무시하니 이상값에 강하다. 더 강건한 척도는 중앙 절대 편차(median absolute deviation, MAD) $\mathrm{MAD} = \operatorname{median}|x_i - \tilde x|$($\tilde x$는 중앙값)다. 정규 분포에서는 $\mathrm{IQR} \approx 1.349\sigma$, $\mathrm{MAD} \approx 0.6745\sigma$이므로 $\mathrm{IQR}/1.349$나 $1.4826\,\mathrm{MAD}$가 이상값에 흔들리지 않는 $\sigma$ 추정값이 된다.

다섯 숫자 요약과 상자 그림

최솟값, $Q_1$, 중앙값, $Q_3$, 최댓값을 다섯 숫자 요약(five-number summary)이라 한다. 이것을 그림으로 그린 것이 튜키(J. Tukey)의 상자 그림(box plot)이다. 상자는 $Q_1$부터 $Q_3$까지, 상자 속 선은 중앙값이다. 상자에서 $1.5\,\mathrm{IQR}$만큼 떨어진 곳에 보이지 않는 울타리(fence)를 치고, 수염은 울타리 안에서 가장 먼 자료까지 긋는다. 울타리 밖의 점은 따로 찍어 이상값(outlier)으로 표시한다.

$$\text{아래 울타리} = Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR},\qquad \text{위 울타리} = Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}$$

정규 분포라면 울타리는 $\mu \pm 2.70\sigma$에 놓여 정상 자료의 0.70%만 울타리 밖으로 나간다. $3\,\mathrm{IQR}$ 밖은 "아주 먼 이상값"이라 부르기도 한다. 이상값 표시는 "지우라"가 아니라 "들여다보라"는 뜻이다.

13개 CD 값을 정렬하고 순위를 붙인다.
$h = 12p + 1$: $Q_1$은 4번째, 중앙값은 7번째, $Q_3$은 10번째 값이다.
$Q_1$–$Q_3$이 상자, 가운데 선이 중앙값이다. 상자 폭이 IQR = 0.9 nm.
상자에서 $1.5 \times 0.9 = 1.35$ nm 떨어진 곳에 울타리를 친다(그림에는 보통 그리지 않는다).
수염은 울타리 안의 가장 먼 값(31.2, 34.0)까지. 36.2는 울타리 밖이라 이상값으로 찍는다. 31.2는 울타리 31.15에 아슬아슬하게 안쪽이다.

상자 그림 만들기. 자료 13개의 정보가 다섯 숫자와 이상값 하나로 줄었다.

상자 그림의 진짜 힘은 여러 무리를 나란히 놓을 때 나온다. 장비 세 대의 자료를 상자 그림 셋으로 그리면 중심(중앙값)의 차이, 퍼짐(상자 길이)의 차이, 이상값이 한눈에 들어온다. 장비를 서로 맞추는 일(tool matching)의 첫 화면이 이것이다.

SIMULATOR

챔버 세 대 나란히: 상자 그림 비교

아무 점이나 좌우로 끈다

울타리 배수 k

자료 점 보기 평균(◆) 보기

챔버 1 중앙값 · IQR—

챔버 2 중앙값 · IQR—

챔버 3 중앙값 · IQR—

이상값 수—

같은 레시피를 쓰는 챔버 세 대에서 웨이퍼 25장씩의 평균 막두께. 해볼 것: ① 어느 챔버가 중심이 어긋났고(맞추기 필요), 어느 챔버가 퍼짐이 큰가? ② 챔버 3의 이상값을 끌어 상자 쪽으로 옮기면 수염이 어떻게 바뀌는가? 상자는 거의 그대로인 이유는? ③ 챔버 1의 점 하나를 울타리 바로 밖으로 끌어 이상값을 만들어 보라. 울타리 배수를 3으로 바꾸면 어떻게 되는가?

MINI LAB세 자료(각 41개)의 다섯 숫자 요약이 정확히 같다 — 상자 그림도 똑같다. "자료와 함께"를 누르면 하나는 종 모양, 하나는 두 무리, 하나는 네 덩어리로 뭉친 모양이다. 상자 그림은 봉우리 수를 말해 주지 않는다. 자료가 많지 않으면 점을 함께 찍는 습관을 들이자.

PAT: 규격 안의 이상값을 강건 통계로 거른다 자동차용 칩은 규격 안에 들어도 같은 로트의 무리에서 멀리 떨어진 칩을 버린다. AEC-Q001의 부품 평균 검사(PAT)는 로트(또는 웨이퍼)마다 측정값의 분포를 보고 한계를 다시 잡는데, 평균과 표준 편차 대신 중앙값과 강건 $\sigma$(IQR/1.35 또는 1.4826·MAD)를 쓴다. 이상값 자신이 평균과 $s$를 부풀려 한계를 넓히는 일을 막기 위해서다 — 이 절의 이상값 줄다리기와 같은 이유다. → TestBook · 빈 분류와 이상치 스크리닝(PAT·DPAT의 견고 통계)

한 웨이퍼에서 잰 게이트 CD 13개(nm)가 31.2, 32.0, 32.4, 32.5, 32.7, 32.8, 33.0, 33.1, 33.3, 33.4, 33.6, 34.0, 36.2이다. 다섯 숫자 요약, IQR, 울타리, 수염의 끝, 이상값을 구하라. 평균·표준 편차와도 비교하라.

풀이 보기

전략 $n = 13$이므로 $h = 12p + 1$: $Q_1$은 4번째, 중앙값은 7번째, $Q_3$은 10번째 값.

풀이 다섯 숫자: 31.2, 32.5, 33.0, 33.4, 36.2. IQR $= 0.9$ nm. 울타리 $32.5 - 1.35 = 31.15$, $33.4 + 1.35 = 34.75$. 울타리 안 가장 먼 값은 31.2와 34.0이므로 수염은 31.2–34.0. 36.2는 이상값. 평균 $= 430.2/13 = 33.09$ nm, $s = 1.18$ nm.

(31.2, 32.5, 33.0, 33.4, 36.2), IQR 0.9 nm, 울타리 31.15 / 34.75 nm, 이상값 36.2 nm 하나

검토 강건 추정 $\mathrm{IQR}/1.349 = 0.67$ nm에 비해 $s = 1.18$ nm가 거의 두 배다 — 이상값 하나가 $s$를 부풀렸다. 36.2를 빼면 $s = 0.75$ nm로 강건 추정에 훨씬 가까워진다.

분포의 모양: 왜도와 첨도

중심과 퍼짐이 같아도 모양은 다를 수 있다. 봉우리를 사이에 두고 한쪽 꼬리가 길게 늘어진 분포를 치우쳤다고 한다. 오른쪽(큰 값 쪽) 꼬리가 길면 오른쪽 꼬리 분포(양의 왜도), 왼쪽 꼬리가 길면 왼쪽 꼬리 분포(음의 왜도)다. 누설 전류, 입자 수, 결함 밀도, 소자 수명처럼 0 아래로 갈 수 없고 가끔 아주 큰 값이 나오는 양은 거의 언제나 오른쪽 꼬리를 가진다.

분포가 치우치면 평균이 꼬리 쪽으로 가장 멀리 끌려가고, 중앙값이 그 사이에 놓인다. 봉우리 하나인 매끄러운 분포에서 흔히 보이는 순서지만 예외도 있다.

치우침의 정도는 표준화한 편차의 세제곱 평균으로 잰다. 세제곱은 부호를 살리므로 오른쪽의 큰 편차가 많으면 양수가 된다. 마찬가지로 네제곱 평균은 꼬리가 얼마나 두꺼운지를 잰다.

$$g_1 = \frac{m_3}{m_2^{3/2}},\qquad g_2 = \frac{m_4}{m_2^{2}} - 3,\qquad m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^k$$

$g_1$이 표본 왜도(skewness), $g_2$가 표본 (초과) 첨도(kurtosis)다. 정규 분포에서 $m_4/m_2^2 = 3$이므로 3을 빼서 정규 분포를 0으로 맞춘다. 엑셀의 SKEW·KURT와 이 책의 시뮬레이터는 작은 표본의 치우침을 보정한 $G_1 = \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}g_1$과 $G_2$를 보여 준다. 대략적인 감: $|G_1| < 0.5$이면 거의 대칭, $|G_1| > 1$이면 뚜렷이 치우침. 표본이 수십 개면 왜도·첨도 자체가 크게 흔들리니 히스토그램과 함께 본다.

칩 1000개의 누설 전류를 쟀다. 대부분 1–2 pA인데 몇 개가 50 pA를 넘는다. 평균과 중앙값의 관계는?

오른쪽 꼬리 분포에서는 평균 > 중앙값이다. 그래서 누설 전류나 결함 수는 중앙값(또는 로그를 취한 뒤의 평균)으로 보고하는 경우가 많다. 아래에서 꼬리 손잡이를 끌어 오른쪽·왼쪽으로 치우치게 만들고, 세 선의 순서가 뒤집히는 순간을 보라.

SIMULATOR

꼬리를 끌어라: 왜도와 세 중심

오른쪽 꼬리의 흰 원을 좌우로 끈다

모집단 곡선 보기 로그 변환 보기(오른쪽 꼬리일 때)

모집단 왜도—

표본 G₁ · G₂—

순서—

평균 − 중앙값—

모양 모형: 평균 0, 표준 편차 1로 맞춘 로그 정규 분포(왜도 0이면 정규 분포, 음수면 좌우를 뒤집음). 표본 400개가 같은 난수에서 나오므로 꼬리를 끌면 히스토그램이 모양만 바꾼다. 해볼 것: ① 꼬리를 오른쪽 끝까지 끌면(왜도 약 2) 평균과 중앙값은 몇 표준 편차 차이인가? ② 왼쪽 꼬리로 바꾸면 순서가 어떻게 되는가? ③ ▶로 표본을 처음부터 쌓아 보라 — 표본 수가 적을 때 G₁이 모집단 왜도와 얼마나 다른가? ④ 오른쪽 꼬리 상태에서 "로그 변환"을 켜면 모양이 어떻게 바뀌는가?

첨도: 꼬리의 두께

첨도라는 이름 때문에 "봉우리가 뾰족한 정도"로 오해하기 쉽지만, 실제로 $m_4$를 지배하는 것은 꼬리의 먼 값들이다. 첨도가 크면 평균에서 3σ 넘게 벗어나는 일이 정규 분포보다 훨씬 잦다. 수율이나 신뢰성처럼 꼬리 확률(ppm)을 따지는 일에서는 이 차이가 결정적이다.

MINI LAB평균 0, 표준 편차 1이 모두 같은 다섯 분포. 점선은 정규 분포, 빨간 부분은 $|x| > 3$인 꼬리다. 첨도가 클수록 가운데가 뾰족해지는 동시에 꼬리가 두꺼워지고, 그 사이 "어깨"가 얇아진다. 3σ 밖 확률을 정규 분포의 0.27%와 비교하라.

계산이 귀찮을 때 쓰는 근사가 피어슨의 제2 왜도 계수 $\mathrm{Sk}_2 = 3(\bar x - \tilde x)/s$다. 평균 2.33, 중앙값 1.80, 표준 편차 1.44이면 $\mathrm{Sk}_2$ = — .

트랜지스터 6개의 누설 전류(pA)가 1.2, 1.5, 1.6, 2.0, 2.6, 5.1이다. 평균, 중앙값, 표준 편차, 모멘트 왜도 $g_1$과 보정 왜도 $G_1$을 구하라.

풀이 보기

전략 편차를 구해 2제곱·3제곱 평균 $m_2, m_3$을 계산한다. $s$는 $n-1$로, $m_2$는 $n$으로 나눈다는 점에 주의.

풀이 $\bar x = 14.0/6 = 2.333$, 중앙값 $(1.6 + 2.0)/2 = 1.80$. 편차 −1.133, −0.833, −0.733, −0.333, 0.267, 2.767. $m_2 = 10.353/6 = 1.726$, $s = \sqrt{10.353/5} = 1.439$. 세제곱 합 $= 18.73$, $m_3 = 3.122$. $g_1 = 3.122/1.726^{1.5} = 1.377$, $G_1 = \frac{\sqrt{6 \cdot 5}}{4}(1.377) = 1.886$.

평균 2.33 pA, 중앙값 1.80 pA, $s = 1.44$ pA, $g_1 = 1.38$, $G_1 = 1.89$

검토 평균 > 중앙값이고 왜도가 양수 — 5.1 pA 하나가 만든 오른쪽 꼬리다. 세제곱 합 18.73 중 2.767³ = 21.2가 거의 전부를 차지한다. 왜도는 극단값 몇 개에 지배되므로 작은 표본에서는 불안정하다.

산점도와 상관 계수

지금까지는 변수 하나를 봤다. 웨이퍼마다 막두께와 굴절률, 증착 온도와 두께, 문턱 전압과 누설 전류처럼 두 변수를 함께 재면 "같이 움직이는가?"를 물을 수 있다. 짝 $(x_i, y_i)$를 평면에 점으로 찍은 것이 산점도(scatter plot)다. 가장 먼저 볼 것은 방향(오르막·내리막), 모양(직선·곡선), 세기(띠가 얼마나 좁은가), 그리고 무리에서 벗어난 점이다.

상관 계수의 네 모습. 넷째 그림은 $y$가 $x$로 거의 정확히 정해지는데도 $r \approx 0$이다 — $r$은 직선 관계만 잰다.

공분산과 상관 계수

평균점 $(\bar x, \bar y)$를 원점으로 평면을 네 칸으로 나누자. 오른쪽 위와 왼쪽 아래의 점은 $(x_i - \bar x)(y_i - \bar y) > 0$, 나머지 두 칸의 점은 음수다. 이 곱을 평균한 것이 표본 공분산(sample covariance)이다.

$$s_{xy} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)(y_i - \bar y),\qquad r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$$

$S_{xx} = \sum(x_i - \bar x)^2$, $S_{yy} = \sum(y_i - \bar y)^2$, $S_{xy} = \sum(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$. 공분산은 단위(nm·°C)에 따라 크기가 바뀌므로, 두 표준 편차로 나눠 단위를 없앤 상관 계수(correlation coefficient) $r$(피어슨 상관 계수)을 쓴다. $r$은 z 점수끼리 곱의 평균 $\frac{1}{n-1}\sum z_{x,i}z_{y,i}$이기도 하다.

$r$의 성질: ① $-1 \le r \le 1$이고, $|r| = 1$은 모든 점이 한 직선 위에 있을 때뿐이다. ② 단위가 없다. $x$를 $ax + b$로 바꿔도($a > 0$) $r$은 그대로, $a < 0$이면 부호만 바뀐다. ③ $x$와 $y$를 바꿔도 같다. ④ 직선 관계의 세기만 잰다 — 곡선 관계, 이상값, 무리 섞임에 속는다. 13장의 결정 계수 $r^2$은 $y$의 변동 중 직선이 설명하는 비율이다.

상관이 거의 없는($r \approx 0$) 점 11개가 있다. 여기에 다른 점들보다 $x$와 $y$가 모두 훨씬 큰 점 하나를 오른쪽 위 멀리 더하면 $r$은?

먼 점의 $(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$는 다른 점들의 곱보다 몇십 배 커서 공분산을 거의 혼자 만든다. 앤스컴 Ⅳ가 그런 자료다: 점 하나만 빼면 $x$가 모두 같아 상관을 정할 수조차 없는데 $r = 0.82$이 나온다. 아래에서 점을 끌어 확인하라.

SIMULATOR

점을 끌며 보는 상관 계수

점을 끈다 · 빈 곳을 누르면 점 추가

자료 고르기 편차 곱 넓이 보기

r—

r²—

공분산 s_xy—

스피어만 r_s—

n—

각 점에서 평균점 $(\bar x, \bar y)$까지의 직사각형 넓이가 $(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$다. 초록은 양(+), 빨강은 음(−)이며 공분산은 그 넓이들의 합을 $n-1$로 나눈 것이다. 해볼 것: ① "무상관 + 먼 점"에서 먼 점을 무리 속으로 끌어오면 $r$이 어떻게 되는가? ② 앤스컴 Ⅰ–Ⅳ는 $r$이 모두 0.82로 같다 — 그림은 얼마나 다른가? ③ "곡선"에서 $r$과 순위 상관 $r_s$는 왜 둘 다 작은가? 오른쪽 절반의 점만 남기면 어떻게 되는가?

온도 편차 $x$(°C)와 막두께 $y$(nm)의 상관 계수가 0.922인 자료(예제)에서, $x$를 $x' = $ 1.8$\,x + $ 32로 바꾼다(1.8과 32는 °F 변환). 그러면 $\bar x'$ = , $s_{x'}$ = , 공분산 $s_{x'y}$ = 로 바뀌지만, 상관 계수는 $r'$ = 이다.

상관 계수 눈대중

$r$을 계산하기 전에 산점도만 보고 짐작할 수 있어야 계산 실수를 잡는다. 사람은 대개 $|r|$이 0.5 근처인 자료를 실제보다 약하게 본다 — 0.5는 생각보다 흐릿한 구름이다.

SIMULATOR

r 맞히기 게임

아래 자의 흰 원을 끌어 r을 고른다

내 추정 r

점 수

실제 r?

오차—

성공 / 문제0 / 0

연속 성공0

$|\text{추정} - r| \le 0.10$이면 성공. 해볼 것: ① 연속 5번 성공에 도전하라. ② 점이 20개일 때와 200개일 때 어느 쪽이 더 맞히기 쉬운가? ③ 틀린 문제에서 내가 $|r|$을 과소평가했는지 과대평가했는지 기록해 보라.

상관은 인과가 아니다

두 변수가 같이 움직이는 이유는 셋 중 하나다. $x$가 $y$를 바꾸거나, $y$가 $x$를 바꾸거나, 제3의 변수가 둘 다 바꾼다. 증착 챔버의 온도가 오르면 막두께도 늘고 굴절률도 바뀐다. 두께와 굴절률의 상관은 강하지만 두께가 굴절률을 바꾸는 것은 아니다. 이런 숨은 변수(교란 변수)를 가리려면 13–14장의 회귀와 실험 계획이 필요하다. 또 자료의 범위를 좁히면 $r$이 작아진다. 규격 안의 웨이퍼만 골라 보면 원래 강한 관계도 약해 보인다. 순서만 믿을 수 있거나 이상값이 걱정되면 값을 순위로 바꿔 상관을 구한 순위 상관 계수(Spearman rank correlation) $r_s$를 함께 본다.

공통성 분석: 상관에서 원인으로 가는 길 불량 웨이퍼가 몰려 나오면 수율 엔지니어는 로트 이력에서 "불량 웨이퍼가 공통으로 지난 장비"를 찾는다. 이때 한 장비를 지난 로트가 대개 다른 특정 장비도 함께 지나는 공선성 때문에, 상관이 가장 강한 장비가 범인이 아닐 수 있다. 상관을 단서로 삼고, 분할 로트 실험으로 원인을 확인하는 것이 순서다. → YieldBook · 공통성 분석과 근본 원인(공선성의 함정)

챔버 온도를 설정값에서 $x$ °C 바꿔 가며 웨이퍼 6장을 증착했다. $x$ = −2, −1, 0, 1, 2, 3에서 막두께 $y$(nm) = 99.6, 100.1, 99.9, 100.5, 100.4, 101.0이다. 표본 공분산과 상관 계수를 구하라.

풀이 보기

전략 $S_{xx}, S_{yy}, S_{xy}$를 표로 계산한다. $y$에서 100을 빼고 계산해도 결과는 같다.

풀이 $\bar x = 0.5$, $\bar y = 100.25$. $x - \bar x$ = −2.5, −1.5, −0.5, 0.5, 1.5, 2.5; $y - \bar y$ = −0.65, −0.15, −0.35, 0.25, 0.15, 0.75. $S_{xx} = 17.5$, $S_{yy} = 1.215$, $S_{xy} = 1.625 + 0.225 + 0.175 + 0.125 + 0.225 + 1.875 = 4.25$. $s_{xy} = 4.25/5 = 0.85$ nm·°C, $r = 4.25/\sqrt{17.5 \times 1.215} = 4.25/4.611 = 0.922$.

$s_{xy} = 0.850$ nm·°C, $r = 0.922$

검토 여섯 점 중 다섯이 양의 칸에 있어 강한 양의 상관이 맞다. 다만 점이 6개라 $r$의 불확실성이 크다(11·13장에서 $r$의 검정). 온도를 바꾼 실험이므로 이 경우는 인과로 읽을 근거가 있다.

웨이퍼 한 장을 숫자 몇 개로

이제 처음의 질문으로 돌아가자. 49점 막두께를 어떻게 보고할까? 표준 보고서는 대개 평균, 표준 편차(1σ %), 최솟값·최댓값(범위 %)을 적는다. 그러나 이 숫자들은 어느 점이 어느 자리에 있었는지를 모두 버린다. 위치 정보를 되살리는 그림이 웨이퍼 맵(wafer map)이고, 반지름에 따른 두께를 찍은 반경 그림이다. 표 1.1의 자료는 고리별 평균이 99.97(중심), 100.07, 100.32, 100.58 nm로 바깥으로 갈수록 두꺼워진다. 두께와 반지름 제곱의 상관 계수가 0.80이다 — 히스토그램에서는 전혀 보이지 않던 정보다.

SIMULATOR

웨이퍼 맵과 반경 그림

흰 원(중심·가장자리 두께)을 위아래로 끈다

좌우 기울기 무작위 잡음 σ 값을 사이트끼리 무작위로 섞기

평균—

1σ NU—

범위 NU—

가장자리 − 중심 고리—

r(두께, 반지름²)—

처음 화면은 표 1.1 자료다. 오른쪽 그림의 흰 원 두 개(중심 두께, 가장자리 두께)를 끌면 방사형 무늬 $t(\rho) = t_0 + (t_e - t_0)(\rho/147)^2$에 잡음을 더한 새 웨이퍼가 된다. 해볼 것: ① 가장자리를 중심보다 0.8 nm 얇게 만들면(돔 모양) 1σ NU는 얼마인가? 같은 크기로 두껍게 만들 때(그릇 모양)와 같은가? ② 무늬를 지우고 기울기만 주면 반경 그림은 어떻게 보이는가? 왜 $r$(두께, 반지름²)이 0 근처인가? ③ "섞기"를 켜면 평균·1σ·범위는 그대로인데 맵과 반경 그림의 무늬가 사라진다.

MINI LAB왼쪽은 표 1.1의 웨이퍼, 오른쪽은 같은 49개 값을 사이트에 무작위로 다시 배정한 웨이퍼다. 히스토그램, 평균, 표준 편차, 상자 그림이 모두 같다. 그러나 왼쪽은 "가장자리가 두꺼운 장비 문제"이고 오른쪽은 "고칠 것 없는 무작위 잡음"이다. 요약 통계는 위치를 모른다.

요약 숫자가 측정 점 수에 따라 달라지는 것도 기억하자. 범위는 점을 많이 잴수록 극단값을 만날 기회가 많아져 커진다. 표준 편차는 점 수와 상관없이 같은 값 근처에 머문다(점이 적으면 흔들릴 뿐이다). 그래서 5점 측정과 49점 측정의 범위 균일도는 비교할 수 없다.

MINI LAB표준 편차 $\sigma = 0.25$ nm인 정규 모집단에서 크기 $n$(2–25)인 표본을 반복해 뽑아, 범위의 평균(초록)과 표준 편차의 평균(자주)을 $n$마다 쌓는다. 범위는 $n$과 함께 계속 자라 $n = 25$에서 $\sigma$의 약 4배가 되지만, $s$는 $\sigma$ 근처에 머문다. 점선은 이론값 $d_2(n)\,\sigma$로, 16장 관리도의 $\bar R/d_2$가 여기서 나온다.

무늬는 장비의 지문이다 가장자리가 두꺼운 그릇 모양은 가장자리에서 반응 기체가 더 많이 공급되거나 온도가 높은 챔버의 흔적이고, 한쪽으로 기운 무늬는 가스 유입구나 정전척 온도 구역의 비대칭을, 동심원 고리는 CMP 헤드의 압력 구역을 가리킨다. 수율 엔지니어가 웨이퍼 맵의 무늬에서 장비를 좁혀 가는 이유가 바로 요약 숫자가 이 정보를 버리기 때문이다. → YieldBook · 장비의 지문(무늬에서 공정 모듈로) · YieldBook · 공간 패턴 도감(반지름 무늬)

표 1.1의 49개 값으로 평균, 중앙값, 표준 편차, 최솟값·최댓값, 1σ 비균일도, 범위 비균일도, 사분위수를 구하고 보고서 한 줄을 써라. 고리별 평균(중심 99.97, 1번 고리 100.07, 2번 100.32, 3번 100.58 nm)을 보고 무엇을 덧붙여야 하는가?

풀이 보기

전략 합과 제곱합을 계산기로 구하고(100을 빼고 계산하면 편하다), 사분위수는 $h = 48p + 1$: $Q_1$은 13번째, $Q_3$은 37번째 값.

풀이 $\sum x_i = 4919.66$ → $\bar x = 100.401$ nm. $s = 0.2527$ nm. 최솟값 99.89(사이트 8), 최댓값 100.85(사이트 48), 범위 0.96 nm. 중앙값(25번째) 100.41, $Q_1 = 100.20$, $Q_3 = 100.61$, IQR 0.41 nm. 1σ NU $= 0.2527/100.401 = 0.252\%$, 범위 NU $= 0.96/(2 \times 100.401) = 0.478\%$.

평균 100.40 nm, 1σ 0.25 nm (0.252%), 범위 99.89–100.85 nm (±0.478%), 중앙값 100.41 nm, IQR 0.41 nm

검토 평균 ≈ 중앙값이고 왜도도 0에 가까워 히스토그램만으로는 문제가 없어 보인다. 그러나 고리 평균이 0.6 nm나 단조 증가하고, 고리 안의 표준 편차(0.10–0.16 nm)는 전체 $s$보다 작다. 퍼짐의 대부분이 반경 무늬에서 온다는 뜻이다. 보고서에 "가장자리 두꺼움(중심 대비 +0.6 nm)"을 덧붙이고 장비 조정의 근거로 삼는다.

핵심 정리

자료는 범주형(명목·순서 척도)과 수치형(이산·연속; 구간·비율 척도)으로 나뉜다. 척도가 의미 있는 연산을 정한다: 명목은 최빈값, 순서는 중앙값까지, 구간은 평균·표준 편차까지, 비율은 비와 변동 계수까지.
도수 분포표는 계급 $[a, b)$마다 도수·상대 도수·누적 도수를 적고, 히스토그램은 그것을 붙은 막대로 그린다(밀도 높이 $f_j/nh$, 넓이 합 1). 계급 폭과 시작점이 모양을 바꾸므로 Sturges $\lceil\log_2 n + 1\rceil$, Scott $3.49sn^{-1/3}$, FD $2\,\mathrm{IQR}\,n^{-1/3}$를 출발점으로 여러 폭을 그려 본다.
평균 $\bar x = \sum x_i/n$은 받침점($\sum(x_i - \bar x) = 0$)이며 제곱 거리를, 중앙값은 절대 거리를 최소로 한다. 평균은 이상값 하나에 무너지고(붕괴점 0%) 중앙값은 50%까지 버틴다. 절사 평균은 그 사이, 가중 평균은 $\sum w_ix_i/\sum w_i$.
$s^2 = \sum(x_i - \bar x)^2/(n-1)$, $s = \sqrt{s^2}$, $\mathrm{CV} = s/\bar x$, $z = (x - \bar x)/s$. $n-1$은 같은 자료로 구한 $\bar x$를 기준으로 쓴 대가(자유도)다. 막두께 비균일도는 1σ % $= s/\bar x$와 범위 % $= (x_{\max} - x_{\min})/2\bar x$ — 범위는 측정 점 수에 따라 커진다.
사분위수는 $h = (n-1)p + 1$ 선형 보간(이 책의 약속), IQR $= Q_3 - Q_1$, MAD $= \operatorname{median}|x_i - \tilde x|$. 상자 그림은 다섯 숫자 요약에 $Q_1 - 1.5\,\mathrm{IQR}$, $Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}$ 울타리 밖의 점을 이상값으로 찍는다. 여러 무리 비교에 강하지만 봉우리 수는 숨긴다.
왜도 $g_1 = m_3/m_2^{3/2}$(오른쪽 꼬리면 양수, 대개 최빈값 < 중앙값 < 평균), 초과 첨도 $g_2 = m_4/m_2^2 - 3$(정규 0, 꼬리가 두꺼우면 양수). 엑셀의 SKEW·KURT는 보정된 $G_1, G_2$.
공분산 $s_{xy} = S_{xy}/(n-1)$, 상관 계수 $r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}} \in [-1, 1]$은 선형 변환에 불변(부호만 $a$를 따름)이고 직선 관계만 잰다. 곡선, 먼 점, 섞인 무리, 숨은 변수에 속으므로 언제나 산점도를 먼저 본다. 요약 통계는 위치 정보를 버리므로 웨이퍼 맵·반경 그림을 함께 본다.

연습문제

분위수는 이 장의 약속($h = (n-1)p + 1$ 선형 보간), 분산과 표준 편차는 $n-1$로 나눈 표본 값을 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다(따로 적은 문제 제외).

결함 리뷰에서 각 결함에 심각도 1(무해)부터 5(치명)까지 등급을 매긴다. 이 변수의 척도는?

등급 사이에 크고 작음은 있지만, 4와 2의 차이가 2와 0의 차이와 같다거나 4가 2의 "두 배 치명적"이라는 보장은 없다. 순서 척도이므로 중앙값·사분위수까지가 안전한 요약이다.

웨이퍼 6장의 결함 밀도(개/cm²)가 3.2, 2.8, 3.5, 3.1, 4.0, 2.9이다. 평균과 중앙값은?

합 19.5 → $\bar x = 3.25$. 정렬: 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.5, 4.0 → 중앙값 $(3.1 + 3.2)/2 = 3.15$ 개/cm².

웨이퍼 200장의 평균 막두께로 히스토그램을 그린다. Sturges 규칙이 권하는 계급 수는?

$\log_2 200 = 7.64$, $k = \lceil 7.64 + 1\rceil = \lceil 8.64\rceil = 9$.

자료 80개로 계급 폭 0.5 nm인 히스토그램을 밀도 척도(넓이 합 1)로 그린다. 도수가 12인 계급의 막대 높이는?

높이 $= f/(nh) = 12/(80 \times 0.5) = 0.3$ nm⁻¹. 막대 넓이 $0.3 \times 0.5 = 0.15$가 상대 도수 $12/80$과 같다.

게이트 산화막을 같은 자리에서 네 번 재니 2.1, 2.5, 1.9, 2.7 Å만큼 기준값에서 벗어났다. 이 반복 측정값의 표본 표준 편차는?

$\bar x = 2.3$. 편차 −0.2, 0.2, −0.4, 0.4, 제곱합 0.40. $s^2 = 0.40/3 = 0.1333$, $s = 0.365$ Å.

웨이퍼 50장의 평균 막두께가 도수 분포표로만 남아 있다. 계급값(nm)과 도수: 99.6(3), 99.8(8), 100.0(15), 100.2(14), 100.4(7), 100.6(3). 평균과 표준 편차를 근사하라.

계급값을 도수만큼 반복된 자료로 본다. 100을 빼고 계산하면 편하다.

100을 뺀 계급값 −0.4, −0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6. $\sum f m = -1.2 - 1.6 + 0 + 2.8 + 2.8 + 1.8 = 4.6$ → $\bar x = 100 + 4.6/50 = 100.092$ nm. $\sum f(m - \bar x)^2 = 3.137$ → $s^2 = 3.137/49 = 0.0640$, $s = 0.253$ nm.

한 로트 25장을 챔버 A(12장, 평균 100.2 nm), B(8장, 100.7 nm), C(5장, 99.9 nm)에 나눠 처리했다. 로트 전체의 평균 막두께는?

$(12 \times 100.2 + 8 \times 100.7 + 5 \times 99.9)/25 = (1202.4 + 805.6 + 499.5)/25 = 2507.5/25 = 100.30$ nm. 세 평균의 단순 평균 100.27과 다르다.

질화막 49점 측정 결과 평균 250.0 nm, 최댓값 253.1 nm, 최솟값 247.4 nm, 표준 편차 1.2 nm였다. 범위 비균일도 $(x_{\max} - x_{\min})/2\bar x$와 1σ 비균일도를 %로 구하라.

범위 NU $= 5.7/(2 \times 250.0) = 1.14\%$. 1σ NU $= 1.2/250.0 = 0.48\%$. 범위가 $s$의 4.75배로 49점 정규 자료에서 흔한 비율(약 4.5배)과 비슷하다.

소자 9개의 누설 전류(nA)가 4.1, 4.4, 4.5, 4.7, 4.8, 5.0, 5.1, 5.3, 7.2이다. $Q_1$, $Q_3$, 위 울타리 $Q_3 + 1.5\,\mathrm{IQR}$을 구하고, 이상값이 있는지 말하라.

$n = 9$이면 $h = 8p + 1$: $Q_1$은 3번째, $Q_3$은 7번째 값이다.

$Q_1 = 4.5$, 중앙값 4.8, $Q_3 = 5.1$, IQR 0.6. 울타리 $4.5 - 0.9 = 3.6$, $5.1 + 0.9 = 6.0$. 7.2 nA가 위 울타리 밖이라 이상값이다.

평균 100.4 nm, 표준 편차 0.25 nm인 49점 자료에서 101.1 nm인 사이트의 z 점수는? 체비쇼프 부등식에 따르면 이만큼 이상 떨어진 값의 비율은 최대 몇 %인가?

$z = (101.1 - 100.4)/0.25 = 2.8$. 체비쇼프: $|z| \ge 2.8$인 비율 $\le 1/2.8^2 = 12.8\%$. 종 모양이라면 실제로는 약 0.5%뿐이다 — 체비쇼프는 어떤 모양에도 성립하는 대신 느슨하다.

웨이퍼 24장의 평균 막두께가 평균 100.30 nm, 표준 편차 0.20 nm이다. 25번째 웨이퍼 101.30 nm가 더해지면 새 평균과 표준 편차는?

옛 제곱합 $\sum(x_i - \bar x)^2 = (n-1)s^2$을 되살린다. 새 값을 넣으면 제곱합은 $(x - \bar x_{\text{옛}})(x - \bar x_{\text{새}})$만큼 는다.

새 평균 $= (24 \times 100.30 + 101.30)/25 = 100.34$ nm. 옛 제곱합 $23 \times 0.04 = 0.92$. 증가분 $(101.30 - 100.30)(101.30 - 100.34) = 0.96$ → 새 제곱합 1.88, $s^2 = 1.88/24 = 0.0783$, $s = 0.280$ nm. 웨이퍼 한 장이 표준 편차를 40% 키웠다.

웨이퍼 10장의 증착 시간 $x$와 막두께 $y$에서 $S_{xx} = 40$, $S_{yy} = 2.5$, $S_{xy} = 8.4$를 얻었다. 상관 계수는?

$r = 8.4/\sqrt{40 \times 2.5} = 8.4/10 = 0.84$.

챔버 온도의 평균이 400 °C, 표준 편차 2.5 °C이고, 온도와 막두께의 상관 계수가 −0.62이다. 온도를 화씨($F = 1.8C + 32$)로 바꾸면 평균, 표준 편차, 상관 계수는?

평균 $1.8 \times 400 + 32 = 752$ °F. 표준 편차는 더하기에 영향을 받지 않고 배율만 받으므로 $1.8 \times 2.5 = 4.5$ °F. 상관 계수는 양의 배율 변환에 불변이라 −0.62 그대로다.

칩 수명(시간) 자료의 히스토그램이 왼쪽에 몰려 있고 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진다. 옳은 것은?

오른쪽(큰 값) 꼬리가 길면 세제곱 편차의 합이 양수라 왜도 > 0이고, 긴 꼬리가 평균을 끌어가 평균 > 중앙값이 된다. 수명, 누설 전류, 결함 수가 대표적이다.

한 웨이퍼의 대기 전류 중앙값이 1.20 µA, 중앙 절대 편차(MAD)가 0.050 µA이다. 정규 분포를 가정한 강건 표준 편차 $1.4826\,\mathrm{MAD}$와, PAT 방식의 위 한계 "중앙값 + 6σ"를 구하라. 1.70 µA인 칩은 어떻게 되는가?

$\hat\sigma = 1.4826 \times 0.050 = 0.0741$ µA, 위 한계 $= 1.20 + 6 \times 0.0741 = 1.645$ µA. 1.70 µA 칩은 규격 안이라도 이 한계를 넘어 걸러진다. 평균과 $s$를 썼다면 바로 그런 칩들이 $s$를 키워 한계를 느슨하게 만들었을 것이다.

다음 중 옳은 것은?

범위를 제한하면 $x$의 퍼짐이 줄어 직선 관계가 잡음에 묻히므로 $|r|$이 작아진다(규격 안 웨이퍼만 본 상관 분석의 함정). $r = 0$은 직선 관계가 없다는 뜻일 뿐(U자 곡선), 큰 $r$도 인과를 보장하지 않으며(숨은 변수), 단위 변환에 $r$은 불변이다.

개념 확인 퀴즈

웨이퍼 맵의 빈 코드(Bin 1 = 양품, Bin 7 = 누설 불량, Bin 12 = 기능 불량 …) 1000개의 평균이 4.3으로 나왔다. 이 숫자에 대한 평가로 옳은 것은?

빈 번호는 이름표다. 번호를 바꿔 매겨도 같은 자료인데 평균은 달라진다. 범주형 자료는 도수와 비율, 최빈값으로 요약한다.

같은 자료로 히스토그램을 그렸더니 계급 폭 0.2 nm에서는 봉우리가 둘, 0.8 nm에서는 하나였다. 가장 알맞은 해석은?

넓은 폭은 봉우리 사이 골짜기를 막대 하나에 덮어 버린다. 계급 폭을 바꿔도 남는 특징만 믿고, 섞인 무리가 의심되면 범주 변수로 나눠 그린다.

공정 A와 B의 49점 막두께 평균이 같고, A의 표준 편차는 0.20 nm, IQR은 0.27 nm, B의 표준 편차는 0.35 nm, IQR은 0.27 nm이다. 가장 그럴듯한 상황은?

IQR은 양 끝 25%를 보지 않고, 표준 편차는 먼 값의 제곱에 크게 흔들린다. 둘의 비가 정규 분포의 $\mathrm{IQR} \approx 1.35\sigma$에서 크게 벗어나면 꼬리나 이상값을 의심한다(A: 0.27/0.20 = 1.35).

산점도에서 두 변수의 상관 계수가 $r = 0.05$였다. 옳은 결론은?

$r$은 직선 관계만 잰다. U자 관계처럼 $y$가 $x$로 거의 완전히 정해져도 $r \approx 0$일 수 있다.

두 웨이퍼의 49점 막두께가 같은 값들을 자리만 바꿔 가진다(평균, 표준 편차, 히스토그램이 같다). 두 웨이퍼에 대해 옳은 것은?

평균·분산·히스토그램은 값의 순서를 바꿔도 변하지 않는 통계량이다. 가장자리 두꺼움 같은 체계적 무늬와 무작위 잡음은 맵이나 반경 그림, 위치와의 상관으로만 구별된다.

자료의 종류와 측정 척도

네 가지 측정 척도

척도 분류 게임

범주형 자료의 요약: 도수와 파레토 그림

도수 분포와 히스토그램

도수 분포표

계급 폭은 그림을 바꾼다

계급 폭 탐험기: 숨은 두 봉우리

중심의 척도: 평균, 중앙값, 최빈값

평균은 제곱 거리를, 중앙값은 절대 거리를 최소로 한다

강건성: 이상한 값 하나에 얼마나 흔들리는가

이상값 줄다리기: 누가 버티나

가중 평균과 묶은 자료의 평균

퍼짐의 척도: 범위, 분산, 표준 편차

왜 \(n-1\)로 나누는가

변동 계수와 z 점수

표준 편차 눈대중 게임

막두께 균일도

사분위수, 상자 그림과 이상값

다섯 숫자 요약과 상자 그림

챔버 세 대 나란히: 상자 그림 비교

분포의 모양: 왜도와 첨도

꼬리를 끌어라: 왜도와 세 중심

첨도: 꼬리의 두께

산점도와 상관 계수

공분산과 상관 계수

점을 끌며 보는 상관 계수

상관 계수 눈대중

r 맞히기 게임

상관은 인과가 아니다

웨이퍼 한 장을 숫자 몇 개로

웨이퍼 맵과 반경 그림

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈