Chapter 05

연속 확률 변수

4장의 확률 변수는 0, 1, 2, …처럼 셀 수 있는 값만 가졌다. 그런데 공장에서 재는 양은 대부분 연속이다. 게이트 선폭(CD)은 45.13 nm일 수도 45.1327 nm일 수도 있고, 소자가 고장 나는 시각도 1년과 1년 1초 사이 어디든 될 수 있다. 이런 양에서는 "정확히 45 nm일 확률"이 0이 되어 버려서, 확률을 값 하나가 아니라 구간의 넓이로 말해야 한다. 아래 그림은 CD 측정값을 하나씩 쌓은 히스토그램이다. 측정이 늘수록 막대를 잘게 쪼갤 수 있고, 막대 꼭대기는 매끈한 곡선 하나로 수렴한다. 이 곡선이 이 장의 주인공인 확률 밀도 함수다.

아래 막대의 흰 원을 끌어 측정 개수를 바꾼다 · 누르면 처음부터

확률 밀도 함수 $f_X$와 누적 분포 함수 $F_X$의 관계($F' = f$, $P(a<X\le b) = F(b) - F(a)$)를 설명하고, 밀도의 정규화 상수와 구간 확률을 적분으로 구한다.
연속 확률 변수의 기댓값 $E[X] = \int x f(x)\,dx$, $E[g(X)]$, 분산, 중앙값·최빈값·분위수를 계산하고, 비대칭 분포에서 평균과 중앙값이 갈리는 이유를 말한다.
균일 분포와 지수 분포를 쓰고, 지수 분포의 무기억성과 일정한 고장률, FIT와 MTTF의 관계를 계산한다.
정규 분포를 표준화해 $z$ 값과 $\Phi(z)$로 확률을 구하고, 거꾸로 확률에서 분위수 $x = \mu + z\sigma$를 찾으며, 스펙 밖 비율을 ppm으로 나타낸다.
감마·베타·로그 정규·와이블 분포의 모양 모수와 척도 모수, 평균·중앙값·최빈값, 고장률 곡선을 비교하고 어떤 현상에 어떤 분포를 쓰는지 고른다.
확률 변수의 변환 $Y = g(X)$의 분포를 누적 분포 함수법과 변수 변환 공식 $f_Y(y) = f_X(x)\,|dx/dy|$로 구하고, 역변환 $X = F^{-1}(U)$로 원하는 분포의 난수를 만든다.

확률 밀도 함수와 누적 분포 함수

4장에서 이산 확률 변수는 확률 질량 함수 $p_X(x) = P(X = x)$로 다 설명되었다. 연속인 양에서는 이 방식이 통하지 않는다. CD가 40–50 nm 사이 어느 값이든 될 수 있다면 가능한 값이 셀 수 없이 많아서, 값 하나하나에 양의 확률을 주면 합이 무한대가 된다. 그래서 값 하나의 확률은 0이고, 확률은 구간에만 붙는다.

히스토그램에서 출발하면 자연스럽다. 측정값 $n$개를 폭 $w$인 계급으로 나누고, 각 막대의 높이를 개수가 아니라 개수 ÷ ($n\cdot w$)로 그리면 막대 넓이가 곧 상대 도수가 되고 넓이의 합은 1이다(1장의 밀도 히스토그램). 측정을 늘리며 계급 폭을 줄이면 막대 꼭대기가 한 곡선으로 다가가는데, 그 극한이 밀도다.

CD 50개를 폭 1 nm 계급으로 센 개수 히스토그램. 모양은 보이지만 계급 폭과 개수에 따라 높이가 달라진다.
높이를 $n w = 50$으로 나누면 세로축이 "1 nm당 상대 도수", 곧 밀도가 된다. 이제 막대 넓이가 그 계급에 들어갈 비율이고, 넓이를 다 더하면 1이다.
측정을 2000개로 늘리고 계급 폭을 0.25 nm로 줄였다. 같은 밀도 축에서 막대 꼭대기가 매끈해진다.
극한의 곡선이 확률 밀도 함수 $f(x)$다. 구간 [44, 46.5] nm 아래 넓이가 CD가 그 구간에 들어갈 확률이다.

밀도는 히스토그램의 극한이다. 세로축을 개수에서 "개수 ÷ ($n\cdot w$)"로 바꾸는 순간 넓이가 확률이 되고, 이 성질은 계급을 아무리 잘게 쪼개도 유지된다.

확률 밀도 함수

연속 확률 변수 $X$의 확률 밀도 함수(probability density function, pdf) $f_X(x)$는 모든 구간에 대해 $P(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(x)\,dx$를 만족하는 함수다. 따라서 $f_X(x) \ge 0$이고 $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1$이다.

두 가지를 바로 얻는다. 첫째, 구간의 폭을 0으로 줄이면 넓이도 0이므로 $P(X = a) = 0$이다. 그래서 연속 확률 변수에서는 $P(a < X < b) = P(a \le X \le b)$로, 끝점을 넣든 빼든 같다(4장의 이산 변수에서는 달랐다). 둘째, $f(x)$ 자체는 확률이 아니다. 아주 좁은 구간에서 $P(x < X \le x + \Delta x) \approx f(x)\,\Delta x$이므로 $f$는 "단위 길이당 확률"이고 단위가 $x$ 단위의 역수(CD라면 1/nm)다. 그러니 1보다 커도 된다.

어떤 막의 두께 편차 $X$가 0–0.25 nm에서 고르게(균일하게) 퍼져 있다. $0 < x < 0.25$에서 밀도 $f(x)$의 값은?

넓이가 1이어야 하므로 높이 × 0.25 = 1, 높이는 4 nm⁻¹이다. 밀도는 확률이 아니라 확률÷길이라서 구간이 좁으면 얼마든지 커진다. 아래 미니 실험에서 폭을 줄여 보라.

회색 띠를 끌어 옮긴다

균일 구간의 폭 w 띠 폭 Δx

MINI LAB$X \sim U(0, w)$의 밀도는 $1/w$이다. 폭을 0.5보다 줄이면 밀도가 1을 넘지만 넓이(초록)는 언제나 1이다. 회색 띠의 확률 $f\,\Delta x$는 $\Delta x \to 0$에서 0으로 간다 — 값 하나의 확률은 0이다.

누적 분포 함수

이산이든 연속이든 쓸 수 있는 공통 언어가 누적 분포 함수(cumulative distribution function, cdf) $F_X(x) = P(X \le x)$다. 연속 확률 변수에서는 밀도를 왼쪽 끝부터 $x$까지 쌓은 넓이다.

$$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,dt,\qquad f_X(x) = \frac{dF_X(x)}{dx},\qquad P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$$

$F$는 0에서 1로 올라가는 연속 증가 함수다. 밀도가 큰 곳에서 $F$가 가파르게 오르고, 밀도가 0인 곳에서는 평평하다. 이산 변수의 $F$가 계단이었던 것과 달리 연속 변수의 $F$에는 점프가 없다.

밀도와 누적 분포 함수. 왼쪽 곡선 아래 $x_0$까지의 넓이(초록)가 오른쪽 곡선의 $x_0$에서의 높이와 같고, 오른쪽 곡선의 기울기가 왼쪽 곡선의 높이다. 그림은 감마 분포 $\mathrm{Gamma}(3, 1)$, $x_0 = 3.2$.

아래 시뮬레이터에서 밀도 위의 두 끝점을 끌면 넓이($P(a < X < b)$)와 누적 분포 함수의 높이 차가 함께 바뀐다. 같은 분포에서 실제로 표본을 뽑아 구간에 들어간 비율을 세면 그 비율이 넓이로 다가간다.

SIMULATOR

넓이 = 확률: 구간 탐험기

a, b 흰 원을 끈다

분포

표본 뽑기

넓이 ∫f dx—

F(b) − F(a)—

표본 비율—

표본 수 n—

왼쪽은 밀도 $f(x)$(자주)와 뽑힌 표본(초록 눈금, 구간 안은 진하게), 오른쪽은 누적 분포 함수 $F(x)$와 그 높이 차다. 해볼 것: ① a와 b를 붙이면 넓이가 0으로 간다 — 값 하나의 확률은 0이다. ② 표본을 계속 뽑으면 "표본 비율"이 넓이로 다가가는데, 오차는 대략 $1/\sqrt n$로 준다(7장의 큰 수의 법칙). ③ 이봉 혼합에서 가운데 골짜기 구간은 폭이 넓어도 확률이 작다 — 오른쪽 $F$가 그 구간에서 거의 평평하다.

CD 말고 다른 연속량도 같은 언어로 말할 수 있다. 결함이 웨이퍼 넓이 위에 고르게 떨어진다면 결함의 중심 거리 $R$은 고르지 않다. 반지름 $r$과 $r + dr$ 사이 고리의 넓이 $2\pi r\,dr$가 $r$에 비례하기 때문이다. 반지름 $R_0$인 웨이퍼에서 $F_R(r) = (\pi r^2)/(\pi R_0^2) = r^2/R_0^2$이고, 미분하면 $f_R(r) = 2r/R_0^2$ ($0 \le r \le R_0$)이다. 가장자리일수록 밀도가 크다.

반지름 150인 웨이퍼에 결함이 넓이에 고르게 떨어진다. 가장자리 3 띠(가장자리 제외 영역)에 떨어질 확률은 $1 - F(R_0 - e)$ = 이고, 중심에서 50 안에 떨어질 확률은 $F(r)$ = 이다. 가장자리에서 밀도 $f(R_0) = 2/R_0$ = 로, 띠가 얇아도 확률은 생각보다 크다.

막두께 편차를 규격화한 $X$의 밀도가 $f(x) = c\,x(2 - x)$ ($0 \le x \le 2$), 그 밖에서는 0이다. 상수 $c$, 누적 분포 함수 $F(x)$, $P(X < 0.5)$, $P(0.5 < X < 1.5)$를 구하라.

풀이 보기

전략 전체 넓이가 1이라는 조건으로 $c$를 정하고, $F$는 0부터 $x$까지 적분한다. 구간 확률은 $F$의 차다.

풀이 $\int_0^2 x(2-x)\,dx = [x^2 - x^3/3]_0^2 = 4 - 8/3 = 4/3$이므로 $c = 3/4$. $F(x) = \tfrac34\left(x^2 - \tfrac{x^3}{3}\right)$ ($0 \le x \le 2$), $x < 0$이면 0, $x > 2$이면 1. $F(0.5) = 0.75(0.25 - 0.0417) = 0.156$, $F(1.5) = 0.75(2.25 - 1.125) = 0.844$.

$c = 3/4$, $P(X < 0.5) = 0.156$, $P(0.5 < X < 1.5) = 0.688$

검토 밀도는 $x = 1$에 대해 대칭이라 $P(X < 0.5) = P(X > 1.5)$이고 $0.156 + 0.688 + 0.156 = 1$이다. 가운데 절반의 폭에 69%가 몰려 있다.

기댓값·분산·분위수

4장에서 기댓값은 "값 × 확률"의 합이었다. 연속 확률 변수에서는 $x$ 근처 폭 $dx$의 확률이 $f(x)\,dx$이므로 합이 적분이 된다. 밀도 곡선을 얇은 판으로 오려 내 손가락 위에 올려놓았을 때 균형이 잡히는 점, 곧 무게 중심이 기댓값이다.

$$E[X] = \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx,\qquad E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f(x)\,dx$$

둘째 식(무의식적 통계학자의 법칙(law of the unconscious statistician, LOTUS))은 $Y = g(X)$의 분포를 몰라도 $E[Y]$를 $X$의 밀도로 바로 구하게 해 준다. 적분이 수렴하지 않으면 기댓값이 없다(예: 코시 분포).

$$\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - \mu^2,\qquad E[aX + b] = aE[X] + b,\qquad \operatorname{Var}(aX + b) = a^2\operatorname{Var}(X)$$

성질은 4장의 이산 변수와 똑같다. 단위를 nm에서 Å으로 바꾸면($a = 10$) 평균과 표준 편차는 10배, 분산은 100배가 된다. 측정값에 상수 오프셋을 더해도($b$) 분산은 그대로다.

평균만으로는 분포의 "가운데"를 다 말할 수 없다. $F(x_p) = p$인 값 $x_p$를 분위수(quantile)라 하고(100$p$ 백분위수), $p = 0.5$인 $x_{0.5}$가 중앙값(median)이다. 밀도가 가장 높은 점은 최빈값(mode)이다. 좌우 대칭이고 봉우리가 하나인 분포에서는 셋이 같지만, 오른쪽 꼬리가 긴 수명 분포에서는 대개 최빈값 < 중앙값 < 평균 순으로 벌어진다. 긴 꼬리가 무게 중심을 끌고 가기 때문이다.

SIMULATOR

내 손으로 그리는 밀도: 무게 중심과 넓이 반분점

흰 점을 위아래로 끈다

분위수 p

시작 모양

도전 과제

평균 μ (▲)—

중앙값—

최빈값—

표준 편차 σ—

분위수 x_p—

도전—

아홉 개의 흰 점을 이은 꺾은선이 밀도의 모양이다. 넓이는 늘 1로 자동 정규화된다. 받침점 ▲이 평균(무게 중심), 세로 점선이 중앙값(왼쪽·오른쪽 넓이가 반씩), 띠가 $\mu \pm \sigma$다. 해볼 것: ① 오른쪽 끝을 들어 올려 꼬리를 만들면 평균이 중앙값보다 먼저 끌려간다. ② 가운데를 누르고 양 끝을 올리면 σ가 커지고 평균 근처의 밀도는 거의 0이 된다 — 평균이 "가장 흔한 값"은 아니다. ③ 도전 과제 세 가지를 모두 달성해 보라(평균은 ±0.1).

평균 수명이 1000인 지수 분포 수명 $T$의 누적 분포 함수는 $F(t) = 1 - e^{-t/\mu}$이다. $F(t_p) = p$를 풀면 $t_p = -\mu\ln(1-p)$. 소자의 10가 고장 나는 시각은 , 중앙값은 $\mu\ln 2$ = 로 평균보다 짧다. 평균 시각까지 살아남는 비율은 $\mu$와 상관없이 $e^{-1}$ = 뿐이다.

로그 정규 모양 σ

MINI LAB오른쪽 꼬리가 긴 수명(로그 정규, 중앙값 1)을 하나씩 뽑으며 표본 평균(초록)과 표본 중앙값(주황 점선)을 그린다. 둘은 서로 다른 값 — 이론 평균 $e^{\sigma^2/2}$과 이론 중앙값 1(가로 점선) — 으로 수렴한다. 꼬리가 길수록 평균은 큰 표본 하나에 덜컥 뛰어 수렴이 느리다.

반지름 $R_0 = 150$ mm 웨이퍼에 결함이 넓이에 고르게 떨어질 때, 중심에서 결함까지의 거리 $R$(밀도 $f(r) = 2r/R_0^2$)의 평균, 표준 편차, 중앙값을 구하라.

풀이 보기

전략 $E[R] = \int_0^{R_0} r f(r)\,dr$, $E[R^2]$으로 분산, $F(m) = 0.5$로 중앙값.

풀이 $E[R] = \int_0^{R_0} \frac{2r^2}{R_0^2}dr = \frac{2R_0}{3} = 100$ mm. $E[R^2] = \int_0^{R_0}\frac{2r^3}{R_0^2}dr = \frac{R_0^2}{2} = 11250$ mm². $\operatorname{Var}(R) = 11250 - 100^2 = 1250$ mm², $\sigma = 35.4$ mm. $F(m) = m^2/R_0^2 = 0.5$에서 $m = R_0/\sqrt2 = 106.1$ mm.

$E[R] = 100$ mm, $\sigma_R = 35.4$ mm, 중앙값 106.1 mm

검토 분포가 왼쪽으로 꼬리를 끌므로(밀도가 $r$에 비례해 커진다) 평균 < 중앙값 < 최빈값($R_0$)이다. 결함의 절반이 바깥 29%의 고리(106–150 mm)에 떨어진다.

균일 분포와 지수 분포

균일 분포

$X$가 구간 $[a, b]$ 어디에나 똑같이 떨어질 수 있으면 $X \sim U(a, b)$, 곧 균일 분포(uniform distribution)를 따른다. 정보가 "이 범위 안"뿐일 때의 모형이고, 디지털 측정의 양자화 오차(분해능 $\Delta$이면 $U(-\Delta/2, \Delta/2)$), 회전하는 웨이퍼 노치의 각도, 컴퓨터 난수 $U(0,1)$이 대표적이다.

$$f(x) = \frac{1}{b-a}\ (a \le x \le b),\qquad F(x) = \frac{x-a}{b-a},\qquad E[X] = \frac{a+b}{2},\qquad \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$$

분산의 12는 $\int_{-1/2}^{1/2}x^2\,dx = 1/12$에서 온다. 분해능 1 nm인 측정기의 양자화 오차 표준 편차는 $1/\sqrt{12} = 0.29$ nm다.

지수 분포와 포아송 과정

4장에서 단위 시간당 평균 $\lambda$번 일어나는 드문 사건의 개수는 포아송 분포를 따랐다(포아송 과정(Poisson process), 15장). 이제 반대로 "다음 사건까지 기다리는 시간" $T$를 보자. 시간 $t$까지 사건이 하나도 없을 확률은 포아송 분포에서 $P(N(t) = 0) = e^{-\lambda t}$이므로

$$P(T > t) = e^{-\lambda t},\qquad F(t) = 1 - e^{-\lambda t},\qquad f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\ (t \ge 0),\qquad E[T] = \frac1\lambda,\ \ \operatorname{Var}(T) = \frac{1}{\lambda^2}$$

$T \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$를 지수 분포(exponential distribution)라 한다. $\lambda$는 비율(1/시간), 평균은 $1/\lambda$이고 표준 편차도 평균과 같다. 장비에 파티클이 시간당 3개꼴로 떨어지면 30분 동안 하나도 안 떨어질 확률은 $e^{-1.5} = 0.223$, 기다림의 중앙값은 $\ln 2/3$ h = 13.9분이다.

비율 λ

MINI LAB위 띠: 시간축 위에 무작위로 떨어지는 사건(파티클, 고장, 웨이퍼 도착). 아래: 이웃한 사건 사이 간격의 밀도 히스토그램(초록)이 $\lambda e^{-\lambda t}$(자주)로 다가간다. 짧은 간격이 가장 흔하다 — 무작위 사건은 뭉쳐 보인다.

무기억성

지수 분포에는 다른 연속 분포에 없는 성질이 있다. 이미 $s$시간 동안 고장 나지 않은 소자가 앞으로 $t$시간 더 버틸 확률은

$$P(T > s + t \mid T > s) = \frac{P(T > s+t)}{P(T > s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(T > t)$$

살아온 시간 $s$가 식에서 사라진다. 이것이 무기억성(memoryless property)이다. 연속 분포 가운데 무기억성을 가진 것은 지수 분포뿐이다(이산에서는 4장의 기하 분포).

무기억성은 고장률로 보면 더 분명하다. 시각 $t$까지 살아남은 것 가운데 다음 순간 고장 나는 비율, 곧 고장률(hazard rate, failure rate)은

$$h(t) = \lim_{\Delta t\to0}\frac{P(t < T \le t + \Delta t \mid T > t)}{\Delta t} = \frac{f(t)}{1 - F(t)} = \frac{f(t)}{R(t)}$$

$R(t) = 1 - F(t) = P(T > t)$를 신뢰도 함수(reliability function, survival function)라 한다. 지수 분포는 $h(t) = \lambda e^{-\lambda t}/e^{-\lambda t} = \lambda$, 곧 고장률이 나이와 상관없이 일정하다. 늙지 않으니 기억할 것도 없다.

수명이 지수 분포(평균 1000 h)인 소자가 이미 1000 h를 버텼다. 이 소자가 앞으로 500 h를 더 버틸 확률은 새 소자가 500 h를 버틸 확률과 비교해 어떤가?

둘 다 $e^{-0.5} = 0.607$이다. 아래 시뮬레이터에서 $s$를 끌어 1000 h에 놓으면 살아남은 소자들의 남은 수명 히스토그램이 새 소자의 수명 분포와 겹친다. 와이블(마모)로 바꾸면 "더 작다"가, 초기 고장형으로 바꾸면 "더 크다"가 맞게 된다.

SIMULATOR

무기억성: 살아남은 소자의 남은 수명

s 선을 좌우로 끈다

수명 모형 (평균 1000 h)

이미 버틴 시간 s

생존 R(s)—

P(T>s+500 | T>s)—

P(T>500) 새 소자—

평균 남은 수명—

왼쪽: 소자 400개의 수명을 점으로 찍었다(가로 = 고장 시각). $s$보다 왼쪽은 이미 고장(회색), 오른쪽이 생존자다. 오른쪽: 생존자의 남은 수명 $T - s$의 히스토그램(초록), 이론 조건부 밀도 $f(s+t)/R(s)$(자주 실선), 새 소자의 밀도(점선). 해볼 것: ① 지수 모형에서 $s$를 0에서 2000까지 끌어도 두 곡선은 늘 겹친다. ② 마모형(β = 3)에서는 $s$가 커질수록 남은 수명이 짧아진다. ③ 초기 고장형에서는 오래 버틴 소자일수록 남은 수명이 길어진다 — 번인이 이것을 이용한다.

욕조 곡선. 실제 제품의 고장률(검은 실선)은 결함 있는 소수가 일찍 빠지는 초기 고장, 원인이 고르게 섞인 일정한 우발 고장, 재료가 닳는 마모 고장을 더한 모양이다. 지수 분포는 가운데 평평한 구간만 그린다. 양 끝은 5.5절의 와이블 분포가 맡는다.

반도체 신뢰성에서는 일정한 고장률을 FIT(failures in time)로 쓴다. 1 FIT는 소자 10⁹개가 1시간 동작할 때 평균 1개 고장, 곧 $\lambda = 10^{-9}$/h다. 평균 고장 시간 MTTF는 $1/\lambda$이다.

고장률이 200로 일정한 칩의 MTTF는 ()이다. 10 동안 고장 나지 않을 확률은 이고, 이 칩 100를 1년 쓰면 평균 가 고장 난다.

어떤 제어 칩의 우발 고장률이 200 FIT로 일정하다. (a) MTTF는? (b) 10년(87,600 h) 동안 고장 나지 않을 확률은? (c) 이미 5년을 버틴 칩이 앞으로 5년 더 버틸 확률은?

풀이 보기

전략 $\lambda = 200\times10^{-9}$/h인 지수 분포. (c)는 무기억성으로 새 칩의 5년 생존 확률과 같다.

풀이 (a) $1/\lambda = 5\times10^6$ h ≈ 571년. (b) $e^{-\lambda t} = e^{-2\times10^{-7}\times87600} = e^{-0.01752} = 0.9826$. (c) $e^{-2\times10^{-7}\times43800} = e^{-0.00876} = 0.9913$.

MTTF $= 5.0\times10^6$ h, $R(10\text{년}) = 0.983$, 조건부 생존 확률 0.991

검토 MTTF 571년은 "칩 하나가 571년 산다"는 뜻이 아니다. 고장률이 일정하다는 가정은 우발 고장 구간에서만 맞고, 수십 년 뒤에는 마모가 시작된다. MTTF는 많은 칩에서 고장이 얼마나 자주 나오는지를 말하는 숫자로 읽어야 한다.

번인은 고장률 곡선의 왼쪽 끝을 잘라 낸다 출하 직후 몇 주 안에 나오는 고장은 대개 공정 중 생긴 약한 산화막, 미세한 금속 잔사처럼 결함을 가진 소수 칩에서 온다. 이 부분 모집단 때문에 초기 고장률은 시간이 지나며 줄고(β < 1), 지수 분포의 무기억성은 성립하지 않는다. 번인은 고온·고전압으로 이 구간을 공장 안에서 빨리 지나가게 해, 고객에게는 고장률이 낮고 평평한 구간부터 넘기는 공정이다. 평평한 구간의 고장률을 FIT로 보증하는 HTOL 시험의 χ² 상한은 10장에서 다룬다. → TestBook · 번인과 신뢰성 스크리닝(초기 고장과 욕조 곡선)

정규 분포와 표준화

CD, 막두께, 문턱 전압, 저항처럼 수많은 작은 요인이 더해져 생기는 양은 거의 언제나 종 모양으로 퍼진다. 7장의 중심 극한 정리가 그 이유를 설명한다. 이 종 모양이 정규 분포(normal distribution) $X \sim N(\mu, \sigma^2)$이다(가우스 분포라고도 한다).

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right],\qquad -\infty < x < \infty,\qquad E[X] = \mu,\ \ \operatorname{Var}(X) = \sigma^2$$

$\mu$는 봉우리의 위치, $\sigma$는 봉우리에서 변곡점까지의 거리다($f''(\mu \pm \sigma) = 0$). 봉우리 높이는 $1/(\sigma\sqrt{2\pi}) \approx 0.399/\sigma$라서 σ가 반이 되면 두 배로 솟는다. 표기 $N(\mu, \sigma^2)$의 둘째 자리는 분산이다.

정규 분포의 누적 분포 함수는 초등 함수로 적분되지 않는다. 그래서 모든 정규 분포를 하나로 바꿔 표 하나로 계산한다. 평균을 빼고 표준 편차로 나누는 표준화(standardization)다.

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1),\qquad P(X \le x) = \Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),\qquad \Phi(z) = \int_{-\infty}^{z}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\,dt$$

$Z$를 표준 정규 분포(standard normal distribution), $z = (x-\mu)/\sigma$를 z 값(z-score)이라 한다. z 값은 "평균에서 표준 편차 몇 개만큼 떨어졌는가"다. $\phi(z)$는 표준 정규 밀도. 대칭성으로 $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$이다.

SIMULATOR

정규 분포 실험실: 봉우리와 변곡점 끌기

봉우리 · 변곡점 · x 핸들을 끈다

μ ± 1σ (68.3%) μ ± 2σ (95.4%) μ ± 3σ (99.7%) 아래에 z 축 함께 보기

μ—

σ—

x → z—

P(X ≤ x) = Φ(z)—

봉우리 높이—

CD(nm) 축 위의 정규 밀도. 봉우리의 흰 원은 μ를, 오른쪽 변곡점의 흰 원은 σ를, 바닥의 x 핸들은 확률을 구할 점을 정한다. 해볼 것: ① σ를 반으로 줄여 봉우리가 두 배로 솟는지 확인하라. ② μ와 σ를 어떻게 바꿔도 x를 μ + 2σ에 두면 $\Phi = 0.977$이다 — z 값만이 확률을 정한다. ③ 세 띠를 켜고 68–95–99.7 규칙을 외워 두자.

CD가 $N(45, 1.2^2)$일 때 $P(X < 47.4)$는 경계 왼쪽 넓이다.
모든 값에서 $\mu = 45$를 빼면 곡선이 통째로 옮겨질 뿐 모양과 넓이는 같다. 경계는 2.4가 된다.
σ = 1.2로 나누면 가로가 1/1.2배로 줄고 세로가 1.2배로 늘어 넓이가 보존된다. 이것이 $N(0,1)$이다. 경계는 $z = 2$.
그러므로 $P(X < 47.4) = P(Z < 2) = \Phi(2) = 0.977$. 표 하나로 모든 정규 분포를 계산할 수 있다.

표준화는 평행 이동과 늘이기다. 넓이(확률)는 변하지 않고 단위만 사라진다.

MINI LAB정규 표본을 하나씩 떨어뜨려 $|Z| < 1, 2, 3$에 든 비율을 센다. 막대 끝의 눈금이 이론값 68.3%, 95.4%, 99.73%다. 3σ 밖은 1000개에 2.7개꼴 — 표본 수백 개로는 거의 못 본다.

표준 정규 표와 분위수

부록 A의 표는 $\Phi(z)$를 준다. 거꾸로 확률에서 z를 찾는 일도 잦다. 이 책은 상위 꼬리 관례를 쓴다: $z_\alpha$는 $P(Z > z_\alpha) = \alpha$인 값이다. 자주 쓰는 값은 $z_{0.05} = 1.645$, $z_{0.025} = 1.960$, $z_{0.01} = 2.326$, $z_{0.005} = 2.576$, $z_{0.00135} = 3.000$이다. $X$의 분위수는 표준화를 거꾸로 하면 된다.

$$x_p = \mu + \sigma\,\Phi^{-1}(p),\qquad \text{상위 } \alpha \text{ 경계} = \mu + z_\alpha\,\sigma$$

SIMULATOR

움직이는 z 표와 꼬리 맞히기

z 핸들을 끈다

넓이

꼬리 맞히기 게임

z—

칠한 넓이—

과녁—

점수—

아래 표는 현재 z 근처 일곱 줄의 $\Phi(z)$이고, 행(첫째 자리)과 열(둘째 자리)이 만나는 칸이 강조된다. 해볼 것: ① "P(Z > z)"에서 넓이가 0.025가 되는 z를 찾아 1.96을 확인하라. ② "P(|Z| ≤ z)"가 0.95, 0.99가 되는 z는? ③ 게임을 켜면 무작위 과녁(넓이 종류와 목표 확률)이 나온다. z를 맞추고 확인을 누르면 ±0.01 이내일 때 명중이다.

스펙 밖 비율

공정 엔지니어에게 정규 분포가 쓸모 있는 이유는 "스펙 밖으로 나갈 비율"을 바로 주기 때문이다. 하한 LSL과 상한 USL이 있으면 불량 비율은 두 꼬리의 합이다.

$$p_{\text{out}} = \Phi\!\left(\frac{\mathrm{LSL}-\mu}{\sigma}\right) + 1 - \Phi\!\left(\frac{\mathrm{USL}-\mu}{\sigma}\right),\qquad \text{ppm} = 10^6\,p_{\text{out}}$$

스펙 폭이 ±3σ이고 공정이 가운데 있으면 $2(1 - \Phi(3)) = 0.0027$, 곧 2700 ppm이다. 16장의 공정 능력 지수 $C_p = (\mathrm{USL}-\mathrm{LSL})/6\sigma$, $C_{pk}$는 이 계산을 숫자 하나로 줄인 것이다.

CD 분포가 스펙 중앙에 있고 스펙 폭이 정확히 ±3σ다. 평균이 1σ만큼 한쪽으로 밀리면 불량률은 대략 몇 배가 될까?

가운데 있을 때 0.0027이고, 1σ 밀리면 한쪽 꼬리가 $1 - \Phi(2) = 0.0228$, 반대쪽이 $\Phi(-4) = 0.00003$이라 합이 0.0228, 약 8.5배다. 꼬리 넓이는 경계까지의 z에 지수적으로 민감하다. 시뮬레이터에서 봉우리를 끌어 확인하라.

SIMULATOR

스펙 한계와 불량 ppm: 웨이퍼를 굴려 보자

LSL · USL · 봉우리를 끈다

공정 σ

과녁: 이 ppm 이하에서 σ를 가장 크게

이론 불량—

측정 불량—

z_L · z_U—

C_p · C_pk—

과녁—

CD 측정값이 하나씩 떨어져 쌓인다(스펙 밖은 빨강). 해볼 것: ① 봉우리를 스펙 가운데에 두고 σ = 1.0이면 ±3σ — 2700 ppm. 측정 불량 비율이 이론으로 다가가는 데 수천 개가 필요하다. ② 봉우리를 USL 쪽으로 1σ 밀어 불량이 8배 넘게 느는 것을 보라. ③ 과녁: 정한 ppm을 넘지 않으면서 σ를 가장 크게(공정을 가장 싸게) 만들어 판정을 눌러라. 최대 허용 σ의 97% 이상이면 명중이다.

게이트 CD가 평균 45.0, 표준 편차 1.20인 정규 분포를 따르고 스펙이 45 ± 3.0이다. 하한의 z 값은 , 상한은 이고, 불량률은 ()이다. 상위 1%의 CD는 보다 크다.

게이트 CD가 $N(45.0, 1.2^2)$ nm이고 스펙은 42–48 nm이다. (a) 스펙 밖 비율은? (b) 노광량 드리프트로 평균이 45.6 nm로 옮겨 가면?

풀이 보기

전략 두 스펙 한계를 표준화해 양쪽 꼬리를 더한다.

풀이 (a) $z_L = (42-45)/1.2 = -2.5$, $z_U = 2.5$. $p = 2[1 - \Phi(2.5)] = 2(0.00621) = 0.0124$. (b) $z_L = (42 - 45.6)/1.2 = -3.0$, $z_U = (48 - 45.6)/1.2 = 2.0$. $p = \Phi(-3) + 1 - \Phi(2) = 0.00135 + 0.02275 = 0.0241$.

(a) 0.0124 (12,400 ppm) (b) 0.0241 (24,100 ppm)

검토 평균이 0.5σ 옮겨 갔을 뿐인데 불량이 거의 두 배다. 가까워진 쪽 꼬리가 크게 늘고 먼 쪽 꼬리는 조금 줄 뿐이라 합이 커진다. CD 제어가 산포만큼 평균을 중시하는 이유다.

같은 CD 분포에서 (a) 상위 1% CD의 경계는? (b) 평균을 45.0에 둔 채 스펙 42–48 nm 밖 비율을 0.1% 이하로 만들려면 σ를 얼마 이하로 줄여야 하는가?

풀이 보기

전략 (a) $x = \mu + z_{0.01}\sigma$. (b) 양쪽 꼬리가 0.0005씩이므로 $3/\sigma \ge z_{0.0005}$.

풀이 (a) $z_{0.01} = 2.326$, $x = 45 + 2.326(1.2) = 47.79$ nm. (b) $z_{0.0005} = 3.291$이므로 $\sigma \le 3/3.291 = 0.912$ nm.

(a) 47.8 nm (b) $\sigma \le 0.912$ nm

검토 불량을 1.24%에서 0.1%로 줄이는 데 σ를 24%만 줄이면 된다. 꼬리 확률은 z에 매우 민감하다는 같은 이야기의 반대쪽이다.

CD 스펙은 3σ로 말한다 리소그래피와 식각 엔지니어는 CD 균일도(CDU)를 표준 편차가 아니라 3σ로 보고한다. "CDU 3σ = 1.5 nm"는 σ = 0.5 nm라는 뜻이고, 정규 분포라면 측정점의 99.7%가 평균 ±1.5 nm 안에 든다는 약속이다. 실제 CD 분포는 노광량·초점 지도의 계통 성분(웨이퍼 안의 모양)과 무작위 성분이 섞여 있어서, 계통 성분을 노광량 보정으로 지우면 3σ가 크게 준다. 국부 CDU처럼 확률적 성분은 보정으로 지워지지 않는 바닥이다. → LithoBook · CD 제어와 계측(CD 균일도와 거칠기)

감마·베타·로그 정규·와이블 분포

정규 분포는 음수까지 퍼지고 좌우가 대칭이다. 수명, 기다림, 비율처럼 0 이상이거나 [0, 1] 안에 갇힌 양, 오른쪽 꼬리가 긴 양에는 다른 분포가 필요하다. 네 가족을 소개한다. 각 분포에는 모양을 정하는 모양 모수와 가로축 단위를 정하는 척도 모수가 있다. 척도 모수를 바꾸면 그래프가 가로로 늘거나 줄 뿐 모양은 그대로다.

연속 분포 가족의 관계. 지수 분포에서 감마(합)와 와이블(거듭제곱)이, 정규 분포에서 로그 정규(지수 함수)가, 감마의 비에서 베타가 나온다. 균일 분포는 역변환으로 어떤 분포든 만든다(5.6절). 8장의 카이제곱 분포는 감마의 특별한 경우다.

감마 분포

포아송 과정에서 $k$번째 사건까지 기다리는 시간은 독립인 지수 분포 $k$개의 합이다. 이 분포를 일반화한 것이 감마 분포(gamma distribution) $\mathrm{Gamma}(k, \theta)$다(모양 $k$, 척도 $\theta = 1/\lambda$). $k$가 정수이면 얼랑 분포라고도 한다.

$$f(x) = \frac{x^{k-1}e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\ (x > 0),\qquad E[X] = k\theta,\ \ \operatorname{Var}(X) = k\theta^2,\qquad \Gamma(k) = \int_0^\infty t^{k-1}e^{-t}dt$$

감마 함수는 계승의 연장이다: $\Gamma(k) = (k-1)!$, $\Gamma(1/2) = \sqrt\pi$. $k = 1$이면 지수 분포. $k$가 커지면 7장의 중심 극한 정리대로 정규 분포에 가까워진다. 카이제곱 분포 $\chi^2_\nu$는 $\mathrm{Gamma}(\nu/2, 2)$이다(8장).

더하는 지수 분포 수 k

MINI LAB식각 장비가 공정 단계 $k$개를 거치고, 각 단계의 소요 시간이 평균 1분인 지수 분포라고 하자. 총 시간(초록 히스토그램)은 $\mathrm{Gamma}(k, 1)$(자주)를 따른다. $k$를 키우면 봉우리가 오른쪽으로 가며 점점 대칭이 된다.

베타 분포

0과 1 사이의 비율 — 수율, 커버리지, 불량률 그 자체의 불확실성 — 을 그릴 때는 베타 분포(beta distribution) $\mathrm{Beta}(a, b)$를 쓴다. 모양이 매우 유연해서 균일($a = b = 1$), 종 모양, U자, 한쪽으로 몰린 모양을 다 만든다. 9장의 베이즈 추정에서 비율의 사전 분포로 다시 나온다.

$$f(x) = \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\ (0 < x < 1),\qquad E[X] = \frac{a}{a+b},\qquad \operatorname{Var}(X) = \frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)},\qquad \text{최빈값} = \frac{a-1}{a+b-2}$$

$B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$. 최빈값 식은 $a, b > 1$일 때. $a + b$가 클수록 평균 근처로 좁게 몰린다.

로그 정규 분포

$\ln X$가 정규 분포 $N(\mu, \sigma^2)$를 따르면 $X$는 로그 정규 분포(lognormal distribution)를 따른다. 정규 분포가 작은 요인의 합에서 나온다면, 로그 정규 분포는 작은 요인의 곱에서 나온다. 보이드가 자라는 속도, 결함 크기, 누설 전류처럼 비율로 흔들리는 양이 그렇다.

$$f(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left[-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\ (x > 0),\qquad \text{중앙값} = e^{\mu},\ \ E[X] = e^{\mu + \sigma^2/2},\ \ \text{최빈값} = e^{\mu-\sigma^2}$$

여기서 $\mu, \sigma$는 $X$가 아니라 $\ln X$의 평균과 표준 편차다. 신뢰성에서는 중앙 수명 $t_{50} = e^\mu$와 모양 $\sigma$로 말한다. $P(X \le x) = \Phi\big((\ln x - \mu)/\sigma\big)$이므로 정규 표로 계산한다.

와이블 분포

사슬은 가장 약한 고리에서 끊어진다. 산화막도 넓이 전체 가운데 가장 약한 한 점에서 뚫린다. 많은 독립 요소 중 가장 먼저 고장 나는 것의 시각을 그리는 분포가 와이블 분포(Weibull distribution) $\mathrm{Weibull}(\beta, \eta)$다.

$$F(t) = 1 - e^{-(t/\eta)^\beta},\qquad f(t) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}e^{-(t/\eta)^\beta},\qquad h(t) = \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1},\qquad E[T] = \eta\,\Gamma(1 + 1/\beta)$$

$\beta$는 모양 모수, $\eta$는 척도 모수(특성 수명(characteristic life))다. $t = \eta$에서 언제나 $F = 1 - e^{-1} = 63.2\%$가 고장 난다. 고장률이 $t^{\beta-1}$에 비례하므로 β < 1은 초기 고장(감소), β = 1은 지수 분포(일정), β > 1은 마모(증가)다. 욕조 곡선의 세 구간을 β 하나로 그린다.

로그 정규 분포(σ = 0.8)에서 평균, 중앙값, 최빈값의 크기 순서는?

$e^{\mu-\sigma^2} < e^\mu < e^{\mu+\sigma^2/2}$. 오른쪽 꼬리가 평균을 끌어 올린다. 아래 동물원에서 로그 정규를 골라 세 표지(●, |, ▲)의 순서를 보라. σ를 키우면 셋이 더 벌어진다.

SIMULATOR

분포 동물원: 모양 모수와 고장률

척도 핸들을 좌우로 끈다

분포

모양

모수—

평균 ▲—

중앙값 |—

최빈값 ●—

표준 편차—

왼쪽: 밀도(자주)와 뽑은 표본의 히스토그램(초록), 평균 ▲·중앙값 |·최빈값 ●. 바닥의 흰 원은 척도 모수(감마 θ, 로그 정규 $e^\mu$, 와이블 η, 베타는 평균)를 옮긴다. 오른쪽: 고장률 $h(x) = f/(1-F)$. 해볼 것: ① 와이블 β를 1보다 작게, 1, 크게 바꾸며 고장률 곡선이 감소·일정·증가로 바뀌는 것을 보라. ② 척도 핸들을 끌면 밀도는 가로로 늘 뿐 모양이 같다 — 왼쪽 수치가 모두 같은 비율로 커진다. ③ 로그 정규의 고장률은 올라갔다가 다시 내려온다. 오래 버틴 소자는 오히려 덜 위험해진다.

산화막 넓이 (약점 수 N)

MINI LAB커패시터 하나에 약점 N개가 있고, 각 약점의 파괴 시각이 $\mathrm{Weibull}(\beta = 2, \eta_0 = 100)$이다. 커패시터는 가장 먼저 뚫리는 약점에서 죽는다. 커패시터 300개의 파괴 시각(초록)은 다시 와이블이고, 특성 수명만 $\eta_0 N^{-1/\beta}$로 준다(자주). 넓이가 100배면 수명은 10배 짧다.

TDDB 수명이 와이블 분포 $\beta$ = 1.5, $\eta$ = 1000를 따른다. 1%가 고장 나는 B1 수명은 $\eta(-\ln 0.99)^{1/\beta}$ = , 10%가 고장 나는 B10 수명은 , 중앙 수명은 , 평균은 이다. 시각 $t = \eta/2$에서 $t = \eta$로 가면 고장률은 가 된다.

자료에 분포 맞추기

실제 업무에서는 분포가 주어지지 않는다. 측정값이나 고장 시각을 받아 어떤 분포의 어떤 모수가 가장 그럴듯한지 고른다. 가장 널리 쓰는 기준은 9장의 최대 가능도다: 모수 $\theta$에서 이 자료가 나올 밀도의 곱 $\prod f(x_i;\theta)$, 곧 로그 가능도 $\ell(\theta) = \sum \ln f(x_i;\theta)$를 가장 크게 만드는 $\theta$를 고른다. 아래 게임에서 손으로 해 보자.

SIMULATOR

분포 맞히기 게임: 곡선을 끌어 자료에 겹치기

바닥 핸들(위치·척도)과 오른쪽 핸들(모양·산포)을 끈다

자료

내 모수—

로그 가능도 ℓ—

최대까지 Δℓ—

KS 거리—

판정—

자료 60개의 밀도 히스토그램(초록)과 맨 아래 깔개 그림 위에 내 모형 곡선(자주)을 겹친다. Δℓ = (가능한 최대 로그 가능도) − (지금 값)이 0.5보다 작으면 과녁 명중이다. KS 거리는 경험적 누적 분포와 모형 누적 분포의 최대 차이다(12장). 해볼 것: ① 곡선을 히스토그램 막대에 눈대중으로 맞춘 뒤 Δℓ을 보고 미세 조정하라. ② 와이블 자료에서 모양 β를 바꾸면 봉우리 위치도 함께 움직인다 — 척도와 모양이 얽혀 있다. ③ "새 자료"를 몇 번 눌러 보면 같은 분포에서 뽑아도 최대 가능도 모수가 매번 다르다(9장의 표본 변동).

가속 조건에서 테스트 커패시터의 산화막 파괴 시간이 $\mathrm{Weibull}(\beta = 1.5, \eta = 1000\ \text{h})$를 따른다. (a) 100 h 안에 파괴될 확률은? (b) B10 수명은? (c) 넓이가 10배인 커패시터의 특성 수명은?

풀이 보기

전략 $F(t) = 1 - e^{-(t/\eta)^\beta}$. B10은 $F = 0.1$을 풀고, 넓이는 약점 수에 비례하므로 가장 약한 고리 규칙 $\eta_A = \eta(A_1/A_2)^{1/\beta}$를 쓴다.

풀이 (a) $(100/1000)^{1.5} = 0.0316$, $F = 1 - e^{-0.0316} = 0.0311$. (b) $t = 1000(-\ln 0.9)^{1/1.5} = 1000(0.10536)^{0.667} = 223$ h. (c) $\eta' = 1000\times10^{-1/1.5} = 215$ h.

(a) 0.0311 (b) 223 h (c) 215 h

검토 칩 하나의 게이트 산화막 넓이는 테스트 구조의 수천 배이므로, 테스트 구조에서 얻은 η를 그대로 칩에 쓰면 수명을 크게 과대평가한다. β가 작을수록 넓이 환산의 영향이 커진다($10^{-1/\beta}$).

배선의 전자 이동(EM) 수명이 중앙 수명 $t_{50} = 500$ h, 모양 $\sigma = 0.5$인 로그 정규 분포를 따른다. (a) 200 h 안에 고장 날 확률은? (b) 평균 수명은? (c) 0.1%가 고장 나는 시각은?

풀이 보기

전략 $\ln T \sim N(\ln 500, 0.5^2)$이므로 $\ln t$를 표준화한다.

풀이 (a) $z = (\ln 200 - \ln 500)/0.5 = \ln(0.4)/0.5 = -1.833$, $\Phi(-1.833) = 0.0334$. (b) $500e^{0.5^2/2} = 500e^{0.125} = 567$ h. (c) $z = -3.090$, $t = 500e^{0.5\times(-3.090)} = 500e^{-1.545} = 107$ h.

(a) 0.0334 (b) 567 h (c) 107 h

검토 0.1% 고장 시각이 중앙값의 약 1/5이다. 신뢰성 보증은 중앙값이 아니라 이런 낮은 분위수로 하므로, 모양 σ를 정확히 아는 것이 $t_{50}$만큼 중요하다.

TDDB는 와이블, EM은 로그 정규 고장 분석가는 고장 메커니즘에 따라 분포를 고른다. 게이트 산화막의 TDDB는 결함이 쌓여 어느 한 곳에서 침투 경로가 이어지는 순간 파괴되므로 가장 약한 고리 모형, 곧 와이블이 물리적으로 맞고, 넓이 환산 $\eta \propto A^{-1/\beta}$를 그대로 쓴다. 배선의 EM은 보이드가 확산으로 서서히 자라 저항이 기준을 넘을 때 고장이라 여러 요인의 곱이 수명을 정하고, 관례로 로그 정규를 쓴다. 두 분포를 같은 자료에 맞추면 중앙값 근처는 비슷하지만 0.1% 같은 낮은 분위수에서 몇 배 차이가 날 수 있어, 모형 선택이 곧 보증 수명의 선택이다. → FailureBook · 불량 메커니즘(수명의 통계: 와이블, 가속 계수, FIT)

확률 변수의 변환과 역변환 표본 추출

공정 엔지니어는 선폭을 재지만 회로 설계자가 궁금한 것은 저항 $R = \rho L/(WH)$이다. 수명 $T$를 알면 $\ln T$의 분포가 궁금하다. $X$의 분포를 알 때 $Y = g(X)$의 분포는 어떻게 구할까?

누적 분포 함수법

가장 확실한 방법은 $Y$의 누적 분포 함수를 $X$의 사건으로 바꿔 쓰는 것이다. $g$가 증가 함수이면 $\{Y \le y\} = \{X \le g^{-1}(y)\}$이므로 $F_Y(y) = F_X(g^{-1}(y))$이고, 미분하면 밀도가 나온다. 예를 들어 $X \sim U(0,1)$, $Y = X^2$이면 $F_Y(y) = P(X \le \sqrt y) = \sqrt y$, $f_Y(y) = 1/(2\sqrt y)$ ($0 < y < 1$)다. 고른 $X$를 제곱하면 0 근처로 몰린다.

$X \sim N(0, 0.45^2)$를 증가 함수 $g(x) = e^x$에 넣는다. 아래가 $X$의 밀도다.
$x$에서 폭 $dx$인 띠의 확률은 $f_X(x)\,dx$다(여기서 약 0.085).
그 띠는 $g$를 거쳐 $y = g(x)$에서 폭 $dy = g'(x)\,dx$인 띠로 간다. $g$가 가파른 곳에서는 띠가 넓게 펴진다.
확률은 보존되므로 두 띠의 넓이가 같다. 그래서 $f_Y(y) = f_X(x)/g'(x)$. 펴진 곳은 밀도가 낮고, 눌린 곳은 높다. 결과는 로그 정규 분포다.

변수 변환 공식의 그림 증명. 확률(넓이)은 변환으로 옮겨질 뿐 생기거나 사라지지 않는다. 밀도가 바뀌는 비율은 $g$가 띠를 늘이는 비율 $|g'(x)|$의 역수다.

변수 변환 공식

$g$가 $X$의 범위에서 미분 가능한 단조 함수이면 $Y = g(X)$의 밀도는 $f_Y(y) = f_X\big(g^{-1}(y)\big)\left|\dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|$이다. 단조가 아니면(예: $Y = X^2$, $X$가 음수도 가질 때) $g(x) = y$인 모든 $x$에 대해 이 항을 더한다.

선형 변환 $Y = aX + b$는 $f_Y(y) = f_X\big((y-b)/a\big)/|a|$로 모양을 그대로 둔 채 옮기고 늘인다. 표준화가 그 예다. 정규 분포를 선형 변환하면 다시 정규이므로 $aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$이다. 반면 비선형 변환은 모양을 바꾸고, 평균도 그대로 옮겨지지 않는다: 일반적으로 $E[g(X)] \ne g(E[X])$다(볼록 함수이면 $E[g(X)] \ge g(E[X])$, 옌센 부등식).

SIMULATOR

변환 기계: 표본을 g에 통과시키기

아래 띠(흰 원)를 좌우로 끈다

변환

P(X ∈ 띠)—

P(Y ∈ 띠의 상)—

E[g(X)] vs g(E[X])—

표본 수—

아래 띠의 $X$ 밀도(초록)에서 표본이 하나씩 올라와 곡선 $g$에 닿은 뒤 왼쪽으로 꺾여 $Y$의 히스토그램(옆으로 누운 초록 막대)에 쌓인다. 자주 곡선은 변수 변환 공식으로 구한 $f_Y$다. 해볼 것: ① 띠를 옮겨 $g$가 가파른 곳에서는 $Y$ 띠가 넓고 낮게 펴지는 것을 보라 — 두 확률은 늘 같다. ② "2000/W"는 선폭 W ~ U(18, 22) nm로 저항(Ω)을 만든다. 저항 분포는 더는 균일하지 않고, 평균 저항이 2000/20 = 100 Ω보다 크다. ③ "X²"는 단조가 아니어서 두 갈래(±x)가 한 $y$로 모인다. ④ "−ln U"는 균일 난수를 지수 분포로 바꾼다 — 다음 시뮬레이터의 예고다.

$\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)$에서 $\mu$ = 6.0, $\sigma$ = 0.50이면 $X = e^{\ln X}$의 중앙값은 $e^\mu$ = , 평균은 $e^{\mu+\sigma^2/2}$ = , 최빈값은 $e^{\mu-\sigma^2}$ = 이다. 변환이 볼록이라 평균이 중앙값보다 크다. 거꾸로 $\ln X$의 평균 $\mu$를 그대로 지수로 올린 값은 평균이 아니라 중앙값이다.

확률 적분 변환과 역변환 표본 추출

특별한 변환 하나가 있다. 연속 확률 변수 $X$를 자기 자신의 누적 분포 함수에 넣으면 $U = F_X(X)$는 언제나 $U(0,1)$이다(확률 적분 변환(probability integral transform)). 증명은 한 줄이다: $P(U \le u) = P(F(X) \le u) = P(X \le F^{-1}(u)) = F(F^{-1}(u)) = u$.

이것을 거꾸로 쓰면 컴퓨터의 균일 난수로 어떤 분포의 난수든 만들 수 있다. $U \sim U(0,1)$을 뽑아 $X = F^{-1}(U)$로 보내면 $X$의 누적 분포 함수가 $F$가 된다. 이것이 역변환 표본 추출(inverse transform sampling)이다. 지수 분포는 $F^{-1}(u) = -\ln(1-u)/\lambda$, 와이블은 $\eta(-\ln(1-u))^{1/\beta}$, 결함 반지름은 $R_0\sqrt u$이다.

SIMULATOR

역변환 표본 추출: 세로로 뽑아 가로로 읽기

왼쪽 축의 흰 원(u)을 위아래로 끈다

목표 분포

뽑기

u—

x = F⁻¹(u)—

표본 수—

표본 평균 · 이론—

위: 누적 분포 함수 $F$. 균일 난수 $u$(왼쪽 세로축의 점)가 가로로 달려 곡선에 닿고, 아래로 떨어져 $x = F^{-1}(u)$가 된다. 아래: 그렇게 만든 $x$들의 밀도 히스토그램(초록)과 목표 밀도(자주). 해볼 것: ① u를 손으로 끌어 $F$가 가파른 곳(밀도가 큰 곳)에서는 u가 크게 움직여도 x가 조금만 움직이는 것을 보라 — 그래서 그곳에 표본이 몰린다. ② 1000개를 뽑아 히스토그램이 목표 밀도에 겹치는지 확인하라. ③ 결함 반지름은 $R_0\sqrt u$ — 웨이퍼 결함 지도 시뮬레이션이 이렇게 만들어진다.

F로 쓴 모형

MINI LAB와이블 수명 자료 $X$를 모형의 누적 분포 함수에 넣어 $U = F(X)$의 히스토그램을 그린다. 모형이 맞으면 평평하고(균일), 틀리면 한쪽이 솟는다. 12장의 Q–Q 그림과 적합도 검정이 이 아이디어를 쓴다.

배선 선폭 $W$가 $U(18, 22)$ nm이고 저항은 $R = 2000/W$ Ω(W는 nm)이다. (a) $R$의 밀도와 범위는? (b) $E[R]$을 구하고 $2000/E[W]$과 비교하라. (c) $P(R > 105\ \Omega)$는?

풀이 보기

전략 $g(w) = 2000/w$는 감소 함수. $w = 2000/r$, $|dw/dr| = 2000/r^2$. (c)는 사건을 $W$로 바꾼다.

풀이 (a) $f_R(r) = f_W(2000/r)\cdot2000/r^2 = \tfrac14\cdot2000/r^2 = 500/r^2$, $2000/22 = 90.9 \le r \le 2000/18 = 111.1$ Ω. (b) $E[R] = \int_{18}^{22}\frac{2000}{w}\cdot\frac14\,dw = 500\ln(22/18) = 100.34$ Ω, 반면 $2000/E[W] = 100$ Ω. (c) $P(R > 105) = P(W < 19.048) = (19.048 - 18)/4 = 0.262$.

(a) $f_R(r) = 500/r^2$, 90.9–111.1 Ω (b) $E[R] = 100.3\ \Omega > 100\ \Omega$ (c) 0.262

검토 $1/w$이 볼록 함수라 옌센 부등식대로 $E[R] > g(E[W])$이다. 선폭이 대칭으로 흔들려도 저항은 큰 쪽으로 꼬리를 끈다. 좁은 선의 저항이 더 많이 오르기 때문이다.

몬테카를로 소자 시뮬레이션은 역변환에서 시작한다 SPICE와 TCAD의 통계 시뮬레이션은 도펀트 원자 수, 게이트 선폭, 일함수 같은 공정 변수를 분포에서 뽑고(균일 난수를 역변환하거나 정규 난수로 바꿔서), 그 값으로 소자를 수천 번 풀어 문턱 전압과 전류의 분포를 얻는다. 입력이 정규여도 출력은 변환 $g$가 비선형인 만큼 비뚤어지고, SRAM 수율을 정하는 것은 바로 그 꼬리다. 그래서 출력의 평균만 보지 않고 분위수를 본다. → TCADBook · 변동성과 3D 소자(통계적 TCAD)

핵심 정리

연속 확률 변수의 확률은 밀도 아래 넓이다: $P(a < X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. $f \ge 0$, 전체 넓이 1, $P(X = a) = 0$. 밀도는 확률÷길이라서 1보다 클 수 있고, $F' = f$이다.
$E[X] = \int x f\,dx$(무게 중심), $E[g(X)] = \int g f\,dx$, $\operatorname{Var}(X) = E[X^2] - \mu^2$, $\operatorname{Var}(aX+b) = a^2\operatorname{Var}(X)$. 분위수 $x_p$는 $F(x_p) = p$의 해, 중앙값은 $x_{0.5}$. 오른쪽 꼬리가 길면 최빈값 < 중앙값 < 평균.
$U(a,b)$: 평균 $(a+b)/2$, 분산 $(b-a)^2/12$. $\mathrm{Exp}(\lambda)$: $R(t) = e^{-\lambda t}$, 평균·표준 편차 $1/\lambda$, 고장률 $h = f/R = \lambda$ 일정, 무기억성 $P(T > s+t \mid T > s) = P(T > t)$. 1 FIT = $10^{-9}$/h, MTTF = $1/\lambda$.
$N(\mu, \sigma^2)$은 $Z = (X-\mu)/\sigma$로 표준화해 $\Phi(z)$로 계산한다. 68–95–99.7 규칙, $z_{0.05} = 1.645$, $z_{0.025} = 1.960$, $z_{0.005} = 2.576$. 분위수 $x_p = \mu + \sigma\Phi^{-1}(p)$. 스펙 밖 비율은 두 꼬리의 합이고, ±3σ 가운데이면 2700 ppm.
감마 $\mathrm{Gamma}(k,\theta)$(지수 $k$개의 합, 평균 $k\theta$), 베타 $\mathrm{Beta}(a,b)$([0,1]의 비율, 평균 $a/(a+b)$), 로그 정규($\ln X$가 정규, 중앙값 $e^\mu$, 평균 $e^{\mu+\sigma^2/2}$), 와이블 $F = 1 - e^{-(t/\eta)^\beta}$(가장 약한 고리, $h \propto t^{\beta-1}$, $F(\eta) = 63.2\%$, 넓이 환산 $\eta \propto A^{-1/\beta}$). TDDB는 와이블, EM은 로그 정규.
변환 $Y = g(X)$: 누적 분포 함수법 $F_Y(y) = P(g(X) \le y)$ 또는 단조 $g$에서 $f_Y(y) = f_X(x)\,|dx/dy|$. 일반적으로 $E[g(X)] \ne g(E[X])$(옌센).
$F_X(X) \sim U(0,1)$(확률 적분 변환), 거꾸로 $X = F^{-1}(U)$는 분포 $F$를 따른다(역변환 표본 추출): 지수 $-\ln(1-U)/\lambda$, 와이블 $\eta(-\ln(1-U))^{1/\beta}$, 결함 반지름 $R_0\sqrt U$.

연습문제

표준 정규 분포 값은 부록 A의 표나 계산기를 쓴다. 표에서 z를 소수 둘째 자리로 반올림해 읽은 답도 정답으로 처리되도록 허용 오차를 잡았다. 따로 말이 없으면 답이 ±1% 이내면 정답이다.

$X \sim U(2, 8)$이다. $P(3 < X < 5.5)$와 $X$의 표준 편차는?

밀도는 $1/6$로 일정하다. 분산은 $(b-a)^2/12$.

$P = (5.5 - 3)/6 = 0.417$. $\sigma = (8-2)/\sqrt{12} = 1.73$.

$f(x) = kx^3$ ($0 \le x \le 2$), 그 밖은 0인 밀도가 있다. $k$와 $P(X > 1)$은?

$\int_0^2 x^3dx = 4$.

$k\cdot4 = 1$에서 $k = 1/4$. $F(x) = x^4/16$이므로 $P(X > 1) = 1 - 1/16 = 0.9375$.

계측 장비의 대기열에서 다음 로트가 도착하기까지의 시간이 평균 20분인 지수 분포를 따른다. 30분 넘게 기다릴 확률은?

$\lambda = 1/20$/분, $P(T > 30) = e^{-30/20} = e^{-1.5} = 0.223$.

고장률이 500 FIT로 일정한 칩이 이미 3년을 고장 없이 동작했다. 앞으로 2년(17,520 h) 안에 고장 날 확률은?

무기억성: 지나온 3년은 상관없다.

$\lambda = 5\times10^{-7}$/h. $P = 1 - e^{-5\times10^{-7}\times17520} = 1 - e^{-0.00876} = 0.00872$.

$X \sim N(100, 15^2)$이다. $P(X < 120)$과 $P(85 < X < 130)$은?

$z = 20/15 = 1.33$, $\Phi(1.33) = 0.909$. $P(-1 < Z < 2) = 0.9772 - 0.1587 = 0.819$.

핀 CD가 $N(32.0, 0.8^2)$ nm이고 스펙은 30–34 nm이다. 스펙 밖 비율을 ppm으로 구하라.

$z = \pm2/0.8 = \pm2.5$. $p = 2(1 - \Phi(2.5)) = 2(0.00621) = 0.01242$, 곧 12,400 ppm.

게이트 산화막 두께가 $N(5.00, 0.08^2)$ nm이다. 두께가 가장 두꺼운 5%를 골라내는 경계값은?

$x = \mu + z_{0.05}\sigma = 5.00 + 1.645(0.08) = 5.132$ nm.

스펙이 목표값 ±6 nm이고 공정 평균이 목표값에 있다. 스펙 밖 비율을 100 ppm 이하로 하려면 σ는 얼마 이하여야 하는가?

양쪽 꼬리가 각각 50 ppm = $5\times10^{-5}$이다.

$z_{0.00005} = 3.891$. $6/\sigma \ge 3.891$이므로 $\sigma \le 1.54$ nm.

수명이 $\mathrm{Weibull}(\beta = 2, \eta = 1000\ \text{h})$이다. 500 h까지 고장 날 확률과 중앙 수명은?

$F(500) = 1 - e^{-0.5^2} = 1 - e^{-0.25} = 0.221$. $t_{0.5} = 1000(\ln 2)^{1/2} = 833$ h.

신공정 로트의 수율 $Y$에 대한 엔지니어의 믿음을 $\mathrm{Beta}(8, 2)$로 나타냈다. 평균 수율과 $P(Y < 0.6)$은?

$b = 2$이면 $f(y) = 72y^7(1-y)$로 적분이 쉽다.

$E[Y] = 8/10 = 0.8$. $F(y) = \int_0^y 72t^7(1-t)\,dt = 9y^8 - 8y^9$, $F(0.6) = 9(0.01680) - 8(0.01008) = 0.0705$.

EM 수명이 $t_{50} = 1000$ h, $\sigma = 0.8$인 로그 정규 분포를 따른다. 300 h 안에 고장 날 확률과 평균 수명은?

$z = \ln(300/1000)/0.8 = -1.505$, $\Phi(-1.505) = 0.0662$. $E[T] = 1000e^{0.8^2/2} = 1000e^{0.32} = 1377$ h.

장비 정비가 독립인 세 단계로 이루어지고, 각 단계의 소요 시간이 평균 2 h인 지수 분포다. 총 시간 $T$의 표준 편차와 $P(T > 10\ \text{h})$는?

$T \sim \mathrm{Gamma}(3, 2)$. 얼랑 분포에서 $P(T > t)$는 "시간 $t$ 동안 포아송 사건이 3개 미만"과 같다.

$\operatorname{Var}(T) = 3\cdot2^2 = 12$, $\sigma = 3.46$ h. 비율 $\lambda = 0.5$/h로 10 h 동안 사건 수는 $\mathrm{Poisson}(5)$이므로 $P(T > 10) = P(N < 3) = e^{-5}(1 + 5 + 12.5) = 0.125$.

$X \sim N(2, 0.5^2)$이고 $Y = e^X$이다. $P(Y > 10)$과 $E[Y]$는? $e^{E[X]}$와 비교하라.

$P(Y > 10) = P(X > \ln 10) = 1 - \Phi\big((2.303 - 2)/0.5\big) = 1 - \Phi(0.605) = 0.273$. $Y$는 로그 정규이므로 $E[Y] = e^{2 + 0.125} = 8.37$, 반면 $e^{E[X]} = e^2 = 7.39$이다(옌센).

균일 난수 $u$로 (1) 밀도 $f(x) = 2x$ ($0 \le x \le 1$)인 난수를 만들 때 $u = 0.36$에서 나오는 값 $x_1$, (2) $\mathrm{Weibull}(\beta = 2, \eta = 100\ \text{h})$ 난수를 만들 때 $u = 0.9$에서 나오는 값 $x_2$를 구하라.

(1) $F(x) = x^2 = u$에서 $x_1 = \sqrt{0.36} = 0.6$. (2) $1 - e^{-(x/100)^2} = 0.9$에서 $x_2 = 100\sqrt{\ln 10} = 152$ h.

"이미 $s$시간을 버틴 것과 상관없이 앞으로 $t$시간 더 버틸 확률이 같다"는 성질을 가진 연속 분포는?

지수 분포만 무기억성을 가진다. 고장률이 일정하기 때문이다. 와이블 β = 2는 고장률이 $t$에 비례해 늘고, 균일 분포 $U(0, b)$는 $b$에 가까울수록 고장률이 무한대로 커진다.

연속 확률 변수 $X$의 밀도가 $x = 3$에서 $f(3) = 2.5$이다. 옳은 것은?

밀도는 확률÷길이다. 값이 큰 곳은 좁은 구간에 확률이 몰려 있다는 뜻일 뿐이고, 전체 넓이가 1이면 된다. $P(2.995 < X < 3.005) \approx 2.5\times0.01 = 0.025$.

개념 확인 퀴즈

CD가 연속 확률 변수일 때 $P(\text{CD} = 45.000\ \text{nm})$는?

폭이 0인 구간의 넓이는 0이다. 실제 측정값은 분해능 Δ만큼의 구간 $[45 - \Delta/2, 45 + \Delta/2]$에 들 확률 $\approx f(45)\Delta$로 해석해야 한다.

와이블 모양 모수 β = 0.6인 제품에 번인을 하면 출하 후 고장률은?

β < 1이면 $h(t) \propto t^{\beta-1}$이 시간에 따라 줄어든다. 번인으로 고장률이 높은 초기 구간을 공장에서 지나 보내면 고객은 낮은 고장률부터 쓴다. β > 1(마모)인 제품에 번인을 하면 오히려 수명을 깎는다.

스펙이 ±3인 두 공정 A(평균이 가운데, σ = 1)와 B(평균이 1만큼 치우침, σ = 0.75) 중 스펙 밖 비율이 더 큰 것은?

A: $2(1 - \Phi(3)) = 0.0027$. B: 가까운 쪽 $z = 2/0.75 = 2.67$, $1 - \Phi(2.67) = 0.0038$, 먼 쪽 $z = 5.33$은 무시할 만하다. 불량을 정하는 것은 σ 자체가 아니라 가까운 경계까지의 z 값이다(16장의 $C_{pk}$).

$\ln T$의 평균이 $\mu$인 로그 정규 수명에서 $e^\mu$는 무엇인가?

$P(T \le e^\mu) = P(\ln T \le \mu) = 0.5$. 지수 함수는 단조라 분위수를 그대로 옮기지만 평균은 옮기지 않는다. 평균은 $e^{\mu+\sigma^2/2}$로 더 크다.

균일 난수 $U$로 평균 $1/\lambda$인 지수 분포 난수를 만드는 식은?

$F^{-1}(u) = -\ln(1-u)/\lambda$이고, $1 - U$도 $U(0,1)$이므로 $-\ln(U)/\lambda$로 써도 같은 분포다. 넷째 보기는 밀도 식이다.