Chapter 06

일과 운동 에너지

뉴턴 법칙은 "매 순간 무엇이 일어나는가"를 묻는다. 그런데 썰매가 20 m를 끌려간 뒤 얼마나 빨라졌는가만 알고 싶다면, 가속도를 시간에 대해 적분하지 않고도 답할 수 있다. 힘이 이동 거리에 걸쳐 한 일이 곧 운동 에너지의 변화이기 때문이다. 아래에서 손을 위아래로 끌어 줄의 각도를 바꿔 보라 — 줄이 한 일, 마찰이 한 일, 그리고 썰매의 운동 에너지가 실시간으로 맞아떨어진다.

흰 원(손)을 위아래로 끌고, 빈 곳을 누르면 처음부터

일정한 힘이 한 일 $W = Fs\cos\phi = \vec F\cdot\vec s$를 계산하고, 일이 양·음·0이 되는 경우를 구별한다.
운동 에너지 $K = \tfrac12 mv^2$를 정의하고 일–에너지 정리 $W_\text{tot} = \Delta K$를 유도해 적용한다.
변하는 힘의 일을 F–x 그래프의 넓이와 적분 $W = \int F_x\,dx$로 구한다.
용수철 힘(훅 법칙)이 하는 일 $\tfrac12 kx_1^2 - \tfrac12 kx_2^2$를 유도하고 쓴다.
평균 일률과 순간 일률 $P = \vec F\cdot\vec v$를 구하고, 같은 일을 다른 시간에 하는 경우를 비교한다.

일

일상어의 "일"과 물리학의 일(work)은 다르다. 무거운 가방을 들고 가만히 서 있으면 지치지만, 물리학적으로는 가방에 아무 일도 하지 않았다. 물리학에서 일은 힘이 물체를 그 힘의 방향으로 얼마나 옮겼는가를 잰다. 힘이 일정하고 물체가 직선으로 변위 $\vec s$만큼 움직이면

일정한 힘이 한 일

일정한 힘 $\vec F$가 작용하는 동안 물체가 변위 $\vec s$만큼 움직였을 때 그 힘이 한 일은 힘과 변위의 스칼라곱이다. 일은 스칼라이며 SI 단위는 줄(joule), 1 J = 1 N·m이다.

$$W = \vec F\cdot\vec s = Fs\cos\phi = F_x s_x + F_y s_y + F_z s_z$$

$\phi$: 힘과 변위 사이의 각. 변위에 나란한 성분 $F\cos\phi$만 일을 하고, 수직 성분 $F\sin\phi$는 일을 하지 않는다.

힘이 변위와 같은 방향: 일은 $+Fs$로 가장 크다.
비스듬한 힘: 변위 방향 성분 $F\cos\phi$만 일을 한다.
수직인 힘(수직 항력, 원운동의 구심력): 일은 0이다.
$90^\circ < \phi < 180^\circ$: 힘이 운동을 방해하는 쪽이므로 일은 음수다.
정반대: $-Fs$. 운동 마찰력은 언제나 음의 일을 한다.

힘과 변위 사이의 각 $\phi$가 일의 부호를 정한다. ▶로 각도를 바꿔 보라.

상자를 80의 힘으로 수평 위 30 방향으로 당기며 수평으로 5.0 끌면, 이 힘이 한 일은 이다. 일을 한 것은 수평 성분 뿐이고, 수직 성분 은 일을 하지 않는다.

바닥 위의 상자를 오른쪽으로 옮기는 동안, 누군가 상자를 왼쪽 위로 비스듬히(수평과 150°) 잡아당기고 있다. 이 힘이 상자에 한 일은?

$\cos150^\circ < 0$이므로 힘의 크기와 상관없이 일은 음수다. 아래 계산기에서 화살표 끝을 왼쪽 위로 끌어 확인하고, 상자의 도착점도 왼쪽으로 옮겨 부호가 다시 바뀌는지 보라.

SIMULATOR

일 계산기: 힘 화살표와 도착점을 끌어라

화살표 끝(흰 원)과 점선 상자를 끈다

성분 분해(F_∥, F_⊥) 중력 mg와 수직 항력도 표시

예시

|F|, φ—

변위 s—

F s cos φ—

F_xs_x + F_ys_y—

한 칸은 1 m, 힘 화살표는 1 m가 10 N이다. 해볼 것: ① 화살표를 돌려 일이 0이 되는 각도(90°)와 음이 되는 범위를 찾아라. ② 두 계산 $Fs\cos\phi$와 $F_xs_x + F_ys_y$가 언제나 같음을 확인하라. ③ 중력과 수직 항력을 켜 보면, 바닥을 따라 움직이는 동안 둘 다 일을 하지 않는다.

일이 0이 되는 경우는 세 가지다. 힘이 없거나($F = 0$), 움직이지 않았거나($s = 0$), 힘이 변위에 수직이다($\phi = 90^\circ$). 가방을 들고 서 있거나, 들고 수평으로 걸을 때 손이 가방에 하는 일은 0이다. 줄에 묶여 원을 도는 공에 장력이 하는 일도 0이다 — 장력은 언제나 속도에 수직이기 때문이다.

세 경우 모두 일은 0이다. 무게를 버티는 근육이 지치는 것은 근섬유가 계속 수축·이완하며 몸 안에서 에너지를 쓰기 때문이지, 가방에 일을 해서가 아니다.

힘과 속도 사이 각 φ

MINI LAB크기 2 N인 힘이 1 kg 물체의 속도와 언제나 각 $\phi$를 이루며 작용한다. $\phi = 90^\circ$이면 물체는 원을 돌고 속력이 변하지 않는다(일 = 0). $\phi < 90^\circ$이면 밖으로 감기며 빨라지고, $\phi > 90^\circ$이면 안으로 감기며 느려진다.

질량 25.0 kg인 썰매를 수평 위 30.0° 방향의 줄로 120 N의 힘으로 끌어 수평 눈길을 따라 15.0 m 옮겼다. 운동 마찰 계수는 0.200이다. (a) 줄의 장력이 한 일, (b) 마찰력이 한 일, (c) 중력과 수직 항력이 한 일, (d) 모든 힘이 한 일의 합을 구하라.

풀이 보기

전략 힘마다 $W = Fs\cos\phi$를 따로 구한다. 마찰력은 수직 항력에 비례하므로 먼저 수직 방향 힘의 평형에서 $n$을 구한다(수직 방향 가속도 0).

풀이 (a) $W_T = (120)(15.0)\cos30.0^\circ = 1559$ J. (b) $n = mg - T\sin30.0^\circ = 245 - 60.0 = 185$ N, $f_k = \mu_k n = 37.0$ N, $W_f = -(37.0)(15.0) = -555$ J. (c) 둘 다 변위에 수직이므로 0. (d) $W_\text{tot} = 1559 - 555 = 1004$ J.

(a) 1.56 × 10³ J (b) −555 J (c) 0, 0 (d) 1.00 × 10³ J

검토 줄을 위로 비스듬히 당기면 수직 항력이 줄어 마찰이 작아진다. 다음 절의 일–에너지 정리에 따르면 썰매가 정지에서 출발했다면 끝 속력은 $\sqrt{2(1004)/25.0} = 8.96$ m/s이다.

일정한 힘 $\vec F = (40.0\hat\imath - 30.0\hat\jmath)$ N이 작용하는 동안 물체가 $\vec s = (5.00\hat\imath + 2.00\hat\jmath)$ m 움직였다. 이 힘이 한 일과, 힘과 변위 사이의 각을 구하라.

풀이 보기

전략 성분이 주어졌으므로 $W = F_xs_x + F_ys_y$. 각은 $\cos\phi = W/(Fs)$에서.

풀이 $W = (40.0)(5.00) + (-30.0)(2.00) = 140$ J. $F = 50.0$ N, $s = \sqrt{29.0} = 5.39$ m → $\cos\phi = 140/(50.0\times5.39) = 0.520$, $\phi = 58.7^\circ$.

W = 140 J, φ = 58.7°

검토 y 성분은 서로 반대 방향이라 −60 J을 기여했다. 각이 90°보다 작으니 전체 일은 양수가 맞다.

운동 에너지와 일–에너지 정리

일정한 알짜힘 $F$가 질량 $m$인 물체를 $x$ 방향으로 $s$만큼 밀었다고 하자. 가속도 $a = F/m$은 일정하므로 2장의 등가속도 식 $v_2^2 = v_1^2 + 2as$를 쓸 수 있다. 양변에 $m/2$를 곱하면

$$Fs = mas = \tfrac12 mv_2^2 - \tfrac12 mv_1^2$$

왼쪽은 알짜힘이 한 일이고, 오른쪽은 $\tfrac12mv^2$이라는 양의 변화다. 이 양을 운동 에너지(kinetic energy)라 한다.

일–에너지 정리

입자에 작용하는 모든 힘이 한 일의 합은 입자의 운동 에너지 변화와 같다. 운동 에너지는 언제나 0 이상인 스칼라이며 단위는 일과 같은 J이다.

$$K = \tfrac12 mv^2, \qquad W_\text{tot} = K_2 - K_1 = \Delta K$$

알짜일이 양이면 빨라지고, 음이면 느려지고, 0이면 속력이 그대로다(방향은 바뀔 수 있다 — 위 미니 실험의 원운동).

심화: 힘이 변해도 성립한다

뉴턴 제2법칙 $F_x = m\,dv_x/dt$에서 연쇄 법칙으로 $\dfrac{dv_x}{dt} = \dfrac{dv_x}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v_x\dfrac{dv_x}{dx}$이다. 따라서 $W_\text{tot} = \int_{x_1}^{x_2}F_x\,dx = \int_{v_1}^{v_2} m v_x\,dv_x = \tfrac12mv_2^2 - \tfrac12mv_1^2$. 힘이 위치에 따라 변하거나 경로가 곡선이어도 정리는 그대로 성립한다(곡선 경로는 다음 절).

운동 에너지가 속력의 제곱에 비례한다는 사실은 실생활에서 중요하다. 같은 제동력이면 정지 거리 $d$는 $Fd = \tfrac12mv^2$에서 속력의 제곱에 비례한다.

A의 속력 v

노면

MINI LAB두 차가 같은 노면에서 동시에 브레이크를 밟는다. B는 A의 두 배 속력이다. 운동 에너지가 4배이므로 마찰력이 4배의 거리에 걸쳐 일을 해야 멈춘다.

질량 1200인 자동차가 90로 달린다. 운동 에너지는 이다. 운동 마찰 계수 0.70인 노면에서 바퀴를 잠그고 미끄러지면 마찰력이 이므로 를 미끄러진 뒤 멈춘다.

상자를 마찰 있는 경사면 위로 일정한 속력으로 밀어 올린다. 미는 힘, 중력, 수직 항력, 마찰력이 한 일을 모두 더하면?

속력이 변하지 않으면 $\Delta K = 0$이므로 알짜일은 0이다. 미는 힘의 양의 일이 중력과 마찰의 음의 일과 정확히 상쇄된다. 아래에서 ‘등속이 되는 힘’ 버튼을 눌러 확인하라.

SIMULATOR

일–에너지 정리 검산기: 힘마다 한 일의 합 = ΔK

미는 힘 화살표 끝을 경사 방향으로 끈다

경사각 θ 운동 마찰 계수 μ_k 처음 속력 v₁ 이동 거리 d

미는 힘 P—

ΣW—

ΔK—

나중 속력 v₂—

상자 질량은 2.00 kg, 화살표는 미는 힘(파랑), 중력(노랑), 수직 항력(초록), 마찰력(빨강)이다. 막대는 각 힘이 지금까지 한 일이다. 해볼 것: ① 어떤 설정에서든 ΣW와 ΔK 막대의 길이가 같다. ② 수직 항력의 일은 언제나 0이다. ③ 미는 힘을 음수(아래쪽)로 하거나 마찰을 키워 상자가 도중에 멈추게 해 보라 — 그때도 ΣW = −K₁이다.

1200 kg인 자동차가 25.0 m/s로 달리다 바퀴가 잠겨 미끄러진다. 타이어와 노면 사이의 운동 마찰 계수가 0.700일 때 정지할 때까지 미끄러진 거리는?

풀이 보기

전략 일을 하는 힘은 마찰력뿐이다(중력·수직 항력은 수직). $W_f = -\mu_kmg\,d = 0 - \tfrac12mv_1^2$.

풀이 $d = \dfrac{v_1^2}{2\mu_kg} = \dfrac{(25.0)^2}{2(0.700)(9.80)} = 45.6$ m. 처음 운동 에너지는 $\tfrac12(1200)(25.0)^2 = 3.75\times10^5$ J이다.

d = 45.6 m

검토 질량이 약분되어 사라진다: 무거운 차는 운동 에너지도 크지만 마찰력도 그만큼 크다. 속력을 두 배로 하면 정지 거리는 4배(182 m)가 된다.

항타기의 200 kg 쇠망치가 정지 상태에서 3.00 m 떨어져 강철 기둥 머리를 때리고, 기둥을 7.40 cm 더 박은 뒤 멈췄다. 기둥이 망치에 작용한 평균 힘은? (공기 저항 무시)

풀이 보기

전략 출발(정지)부터 멈춤(정지)까지 전체 과정에 일–에너지 정리를 쓰면 $\Delta K = 0$. 중력은 3.074 m 내내, 기둥의 힘은 마지막 0.0740 m 동안만 일을 한다.

풀이 $mg(3.074) - F(0.0740) = 0$ → $F = \dfrac{(200)(9.80)(3.074)}{0.0740} = 8.14\times10^4$ N.

F ≈ 8.14 × 10⁴ N (망치 무게의 약 42배)

검토 짧은 거리에서 멈출수록 평균 힘이 커진다. 같은 원리로 에어백과 범퍼는 멈추는 거리를 늘려 힘을 줄인다.

CHALLENGE

도전: 상자가 멈출 곳에 깃발을 꽂아라

깃발(흰 원)을 끌어 예상 정지 위치에 놓는다

코스

계산 힌트 보기

처음 속력 v₁—

μ_k—

결과—

점수0 / 0

상자는 깃발 기준점(0 m)을 v₁로 지나 마찰 구간에 들어간다. 오차 5% 이내면 명중이다. 오르막에서는 중력과 마찰이 함께 음의 일을 하므로 $\tfrac12mv_1^2 = (mg\sin\theta + \mu_kmg\cos\theta)d$. 멈춘 뒤에는 정지 마찰로 그 자리에 머문다고 하자.

변하는 힘이 하는 일

용수철을 늘일수록 더 큰 힘이 필요하고, 로켓 엔진의 추력은 연료가 타면서 변한다. 힘이 위치에 따라 변하면 $W = Fs$를 그대로 쓸 수 없다. 대신 이동 구간을 아주 짧은 조각 $\Delta x$로 나누면, 각 조각 안에서는 힘이 거의 일정하므로 $\Delta W_i \approx F_i\Delta x$이다. 이 조각들을 모두 더하고 $\Delta x \to 0$으로 보내면 적분이 된다.

$$W = \lim_{\Delta x\to0}\sum_i F_{x,i}\,\Delta x = \int_{x_1}^{x_2} F_x\,dx$$

기하학적 의미: F–x 그래프 아래의 넓이. 가로축 아래(힘이 음)의 넓이는 음의 일로 센다.

x₁에서 x₂까지 힘이 계속 변한다. 일정한 힘의 공식을 쓸 수 없다.
구간을 4조각으로 나누고, 각 조각의 왼쪽 끝 힘으로 직사각형을 만든다. 넓이의 합 28.6 J — 거친 근사다.
16조각이면 30.3 J. 직사각형이 곡선에 더 붙는다.
조각을 무한히 잘게: 직사각형 넓이의 합은 곡선 아래 넓이, 즉 적분 30.8 J로 수렴한다.

직사각형 근사에서 적분으로. 일은 F–x 그래프 아래의 넓이다.

SIMULATOR

F–x 그래프 그리기: 넓이가 곧 일이다

그래프 위를 눌러 끌면 힘 곡선이 그려진다

예시 곡선

직사각형 개수 n 처음 속력 v₁

직사각형 합—

∫F dx (0 → 12 m)—

물체: W(0→x)—

물체: ΔK—

위 띠는 이 힘을 받는 2.00 kg 물체다(x = 0에서 출발). 해볼 것: ① n을 늘리며 직사각형 합이 적분값에 다가가는 것을 보라(n = 0이면 끈다). ② 물체를 놓으면 지금까지의 넓이 W(0→x)와 ΔK가 매 순간 같다. ③ 힘이 음수인 구간을 크게 그려 물체가 되돌아오게 해 보라 — 넓이의 합이 −K₁에 이르는 곳이 전환점이다.

4.00 kg인 물체에 $F_x = (12.0\ \text{N/m}^2)\,x^2$인 힘이 작용한다. 물체가 $x = 0$에서 정지해 있다가 $x = 2.00$ m에 이를 때 이 힘이 한 일과 그때의 속력은? (다른 힘은 없다.)

풀이 보기

전략 힘이 변하므로 적분한다. 그다음 일–에너지 정리.

풀이 $W = \int_0^{2.00}12.0x^2\,dx = 4.00x^3\Big|_0^{2.00} = 32.0$ J. $\tfrac12(4.00)v^2 = 32.0$ → $v = 4.00$ m/s.

W = 32.0 J, v = 4.00 m/s

검토 평균 힘을 $F(1.00) = 12.0$ N으로 잡으면 24.0 J이 되어 틀린다. 힘이 x에 대해 선형이 아니면 "중간값 × 거리"는 정확하지 않다.

심화: 곡선 경로를 따라 하는 일(선적분)

입자가 곡선을 따라 움직이고 힘의 크기와 방향이 모두 변하면, 경로를 작은 변위 $d\vec l$로 나누어 $dW = \vec F\cdot d\vec l = F\cos\phi\,dl$을 더한다: $W = \int_{P_1}^{P_2}\vec F\cdot d\vec l$. 이것을 선적분(line integral)이라 한다. 경로에 수직인 힘 성분은 여전히 일을 하지 않는다.

각 작은 변위마다 힘의 접선 성분 $F\cos\phi$와 $dl$을 곱해 더한다. 중간 점의 힘은 경로에 거의 수직이라 일에 기여하지 않고, 오른쪽 점의 힘은 음의 일을 한다.

용수철 힘이 하는 일

용수철을 자연 길이에서 $x$만큼 늘이거나($x > 0$) 줄이면($x < 0$) 용수철은 원래 길이로 돌아가려는 힘을 낸다. 변형이 너무 크지 않으면 그 힘은 변형에 비례한다.

훅 법칙

훅 법칙(Hooke's law): 용수철이 물체에 작용하는 힘은 $F_x = -kx$이다. $k$는 용수철 상수(spring constant, force constant)로 단위는 N/m이며, 클수록 뻣뻣하다. 음의 부호는 힘이 언제나 평형 위치($x = 0$)를 향한다는 뜻이다.

용수철을 0에서 $X$까지 천천히 늘이려면 우리는 $+kx$의 힘을 내야 한다. 이 힘은 $x$에 비례하므로 F–x 그래프는 원점을 지나는 직선이고, 그 아래 넓이는 삼각형 넓이다.

$$W_\text{우리} = \int_0^X kx\,dx = \tfrac12 kX^2, \qquad W_\text{용수철} = \int_{x_1}^{x_2}(-kx)\,dx = \tfrac12kx_1^2 - \tfrac12kx_2^2$$

용수철이 한 일은 $|x|$가 커질 때 음수, 작아질 때 양수다. 결과는 처음과 나중 위치에만 의존한다 — 7장의 탄성 퍼텐셜 에너지로 이어지는 성질이다.

0에서 $x_1$까지의 삼각형 넓이는 $\tfrac12kx_1^2$. $x_1$에서 $x_2$로 더 늘이는 데 드는 일은 두 삼각형의 차이(사다리꼴)이다. 같은 거리라도 이미 많이 늘어난 용수철을 더 늘이는 일이 더 크다.

용수철을 2 cm 늘이는 데 1 J의 일이 들었다. 자연 길이에서 4 cm까지 늘이려면 모두 몇 J이 필요할까?

$W = \tfrac12kx^2$이므로 늘인 길이가 2배면 일은 4배다. 힘도 2배, 거리도 2배이기 때문이다. 아래에서 삼각형 넓이를 보며 확인하라.

SIMULATOR

용수철 늘이기: 손잡이를 끌면 넓이가 쌓인다

물체(흰 원)를 좌우로 끈다

용수철 상수 k

용수철이 한 일로 보기

x₁ → x—

용수철의 힘 −kx—

우리가 한 일—

용수철이 한 일—

해볼 것: ① x₁ = 0에서 10 cm, 20 cm로 늘이며 일이 1 : 4가 되는지 보라. ② 늘인 상태(예: 10 cm)를 시작점으로 고정하고 다시 늘여 보라 — 같은 10 cm라도 일이 3배다. ③ 압축(x < 0)해도 일은 양수다. 늘였다가 원래 자리로 돌아오면 용수철이 한 일의 합은 0이다.

용수철 상수 400인 용수철을 10.0 변형시키려면 끝에서 의 힘이 필요하고, 그동안 한 일은 이다. 이 일로 1.00 kg 추를 들어 올릴 수 있다.

용수철 상수 400 N/m인 용수철이 있다. (a) 자연 길이에서 10.0 cm 압축하는 데 필요한 일, (b) 5.00 cm 늘어난 상태에서 15.0 cm 늘어난 상태로 만드는 데 필요한 일을 구하라.

풀이 보기

풀이 (a) $W = \tfrac12(400)(0.100)^2 = 2.00$ J. (b) $W = \tfrac12(400)\big[(0.150)^2 - (0.0500)^2\big] = 200(0.0200) = 4.00$ J.

(a) 2.00 J (b) 4.00 J

검토 (b)의 늘인 거리 10 cm는 (a)와 같지만 일은 2배다. 사다리꼴의 평균 높이가 더 높기 때문이다.

공기 궤도 위의 0.100 kg 활주체가 1.50 m/s로 움직이다 용수철 상수 20.0 N/m인 용수철 끝에 부딪힌다. (a) 마찰이 없을 때 용수철의 최대 압축량은? (b) 공기를 끄고 운동 마찰 계수가 0.470이면?

풀이 보기

전략 부딪힌 순간부터 멈출 때까지 일–에너지 정리. 용수철의 일 $-\tfrac12kd^2$, 마찰의 일 $-\mu_kmg\,d$.

풀이 (a) $-\tfrac12kd^2 = 0 - \tfrac12mv_1^2$ → $d = v_1\sqrt{m/k} = 1.50\sqrt{0.100/20.0} = 0.106$ m. (b) $\tfrac12kd^2 + \mu_kmg\,d - \tfrac12mv_1^2 = 0$ → $10.0d^2 + 0.4606d - 0.1125 = 0$ → 양의 근 $d = 0.0855$ m.

(a) 10.6 cm (b) 8.55 cm

검토 마찰이 에너지 일부를 빼앗으므로 압축량이 줄었다. 이차방정식의 음의 근은 물리적 의미가 없다.

일률

계단을 걸어 오르든 뛰어 오르든 몸을 같은 높이로 올리는 일은 같다. 다른 것은 얼마나 빨리 했느냐다. 일을 하는 빠르기를 일률(power)이라 한다.

평균 일률과 순간 일률

시간 $\Delta t$ 동안 일 $\Delta W$를 했다면 평균 일률은 $P_\text{av} = \Delta W/\Delta t$, 순간 일률은 $P = dW/dt$이다. SI 단위는 와트(watt), 1 W = 1 J/s. 마력은 1 hp = 746 W이고, 전력량 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J은 에너지의 단위다.

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{\vec F\cdot d\vec l}{dt} = \vec F\cdot\vec v = Fv\cos\phi$$

힘이 속도 $\vec v$로 움직이는 물체에 작용할 때의 순간 일률. 같은 힘이라도 빠른 물체에 더 큰 일률을 전달한다.

A가 걸리는 시간 B가 걸리는 시간

MINI LAB두 기중기가 똑같은 50.0 kg 상자를 똑같이 10.0 m 들어 올린다(등속). 한 일은 $mgh = 4.90$ kJ로 같지만, 빨리 끝내는 쪽의 일률이 크다. 막대는 지금까지 한 일, 숫자는 일률이다.

1500 kg 자동차가 평지를 100로 등속 주행한다. 공기 저항 $\tfrac12C_\text{D}\rho Av^2$($C_\text{D}A = 0.65$ m², $\rho = 1.20$ kg/m³)은 , 구름 저항(계수 0.015)은 이다. 엔진이 바퀴에 전달해야 하는 일률은 $P = Fv =$ ()이다.

70.0 kg인 사람이 높이 443 m인 빌딩의 계단을 15.0분 만에 올랐다. 몸을 들어 올리는 데 필요한 평균 일률은 몇 W이며, 몇 마력인가?

풀이 보기

풀이 $W = mgh = (70.0)(9.80)(443) = 3.04\times10^5$ J, $P_\text{av} = W/\Delta t = 3.04\times10^5/900 = 338$ W $= 0.453$ hp.

338 W ≈ 0.45 hp

검토 사람 근육의 효율은 20–25% 정도이므로 실제로 몸이 쓰는 일률은 1.4 kW 안팎이다. 잘 훈련된 사람도 이 정도를 15분 유지하기는 힘들다.

핵심 정리

일정한 힘이 한 일은 $W = \vec F\cdot\vec s = Fs\cos\phi$. 변위에 나란한 성분만 일을 하며, $\phi > 90^\circ$이면 음의 일, 수직이면 0이다.
운동 에너지 $K = \tfrac12mv^2$. 일–에너지 정리: 모든 힘이 한 일의 합 $W_\text{tot} = K_2 - K_1$.
변하는 힘의 일은 F–x 그래프 아래 넓이 $W = \int F_x\,dx$이고, 곡선 경로에서는 선적분 $\int\vec F\cdot d\vec l$이다.
훅 법칙 $F_x = -kx$. 용수철을 $X$만큼 변형시키는 일은 $\tfrac12kX^2$, 용수철이 한 일은 $\tfrac12kx_1^2 - \tfrac12kx_2^2$.
정지 거리는 속력의 제곱에 비례한다(같은 제동력일 때).
일률 $P = dW/dt = \vec F\cdot\vec v$. 1 W = 1 J/s, 1 hp = 746 W, 1 kWh = 3.6 MJ.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s²를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

상자를 수평 아래 25.0° 방향으로 50.0 N의 힘으로 밀어 수평 바닥을 따라 4.00 m 옮겼다. 이 힘이 한 일은?

변위는 수평이므로 $\phi = 25.0^\circ$: $W = (50.0)(4.00)\cos25.0^\circ = 181$ J. 아래 방향 성분은 수직 항력을 키울 뿐 일을 하지 않는다.

배달원이 20 kg 상자를 들고 평평한 복도를 일정한 속력으로 30 m 걸었다. 배달원의 손이 상자에 한 일은?

손의 힘은 위쪽(무게를 받침), 변위는 수평이므로 $\phi = 90^\circ$ → W = 0. 상자의 운동 에너지도 변하지 않아 일–에너지 정리와 맞는다.

5.00 kg 블록이 수평 바닥에서 6.00 m 미끄러졌다. 운동 마찰 계수가 0.300일 때 마찰력이 블록에 한 일은?

$f_k = \mu_kmg = 14.7$ N, 변위와 반대 방향 → $W_f = -(14.7)(6.00) = -88.2$ J.

힘 $\vec F = (6.00\hat\imath - 2.00\hat\jmath)$ N이 작용하는 동안 물체가 $\vec s = (3.00\hat\imath + 4.00\hat\jmath)$ m 이동했다. 이 힘이 한 일은?

$W = (6.00)(3.00) + (-2.00)(4.00) = 18.0 - 8.0 = 10.0$ J.

0.145 kg 야구공이 40.0 m/s로 날아간다. 운동 에너지는?

$K = \tfrac12(0.145)(40.0)^2 = 116$ J.

정지해 있던 2.00 kg 상자를 12.0 N의 수평 힘으로 거친 바닥을 따라 3.00 m 밀었다. 운동 마찰 계수가 0.250이면 3.00 m 지점에서 속력은?

알짜힘은 $12.0 - \mu_kmg$이고 이 힘이 3.00 m에 걸쳐 일을 한다.

$W_\text{tot} = (12.0 - 4.90)(3.00) = 21.3$ J $= \tfrac12(2.00)v^2$ → $v = 4.62$ m/s.

30.0° 경사면 꼭대기에서 블록을 가만히 놓았다. 운동 마찰 계수가 0.200일 때 경사면을 따라 2.00 m 내려온 곳의 속력은?

$W_g = mg\sin30^\circ(2.00)$, $W_f = -\mu_kmg\cos30^\circ(2.00)$. $\tfrac12v^2 = (9.80)(2.00)(0.500 - 0.200\times0.866) = 6.405$ → $v = 3.58$ m/s. 질량은 약분된다.

어떤 힘 $F_x$가 $x = 0$에서 0이고 $x = 2.0$ m까지 10.0 N으로 일정하게 증가한 뒤, $x = 5.0$ m까지 10.0 N을 유지하고, $x = 7.0$ m에서 다시 0으로 일정하게 줄어든다. $x = 0$에서 7.0 m까지 이 힘이 한 일은?

그래프는 사다리꼴이다: 삼각형 + 직사각형 + 삼각형.

$W = \tfrac12(2.0)(10.0) + (3.0)(10.0) + \tfrac12(2.0)(10.0) = 10 + 30 + 10 = 50.0$ J.

힘 $F_x = (6.00\ \text{N/m})x - (1.50\ \text{N/m}^2)x^2$이 $x = 0$에서 $x = 2.00$ m까지 한 일은?

$W = \big[3.00x^2 - 0.500x^3\big]_0^{2.00} = 12.0 - 4.00 = 8.00$ J.

용수철을 2.00 cm 늘이는 데 6.00 N이 필요하다. 용수철 상수와, 자연 길이에서 5.00 cm 늘이는 데 필요한 일을 구하라.

$k = 6.00/0.0200 = 300$ N/m, $W = \tfrac12(300)(0.0500)^2 = 0.375$ J.

용수철 상수 250 N/m인 용수철이 3.00 cm 늘어나 있다. 7.00 cm 늘어난 상태로 만드는 데 필요한 일은?

$W = \tfrac12(250)\big[(0.0700)^2 - (0.0300)^2\big] = 125(0.00400) = 0.500$ J.

0.500 kg 블록이 2.00 m/s로 수평면을 미끄러지다 용수철 상수 200 N/m인 용수철을 압축한다. 블록과 바닥의 운동 마찰 계수가 0.200이면 용수철의 최대 압축량은?

$\tfrac12kd^2 + \mu_kmg\,d = \tfrac12mv_1^2$을 $d$에 대해 푼다.

$100d^2 + 0.980d - 1.00 = 0$ → $d = \dfrac{-0.980 + \sqrt{0.960 + 400}}{200} = 0.0952$ m. 마찰이 없으면 0.100 m.

900 kg 엘리베이터가 일정한 속력 2.00 m/s로 올라간다. 마찰을 무시할 때 케이블을 감는 전동기의 일률은 몇 kW인가?

등속이므로 장력 = $mg = 8820$ N. $P = Fv = (8820)(2.00) = 1.76\times10^4$ W = 17.6 kW.

1200 kg 자동차가 정지에서 8.00 s 동안 27.0 m/s까지 가속했다. 손실을 무시할 때 평균 일률은 몇 kW인가?

$P = \tfrac12(1200)(27.0)^2/8.00 = 5.47\times10^4$ W = 54.7 kW.

같은 차가 같은 노면에서 60 km/h일 때 정지 거리가 20 m였다. 120 km/h에서의 정지 거리는? (반응 시간 무시)

$\mu_kmg\,d = \tfrac12mv^2$ → $d \propto v^2$. 속력 2배 → 4배, 80 m.

개념 확인 퀴즈

줄에 묶인 공이 수평면 위에서 등속 원운동을 한다. 한 바퀴 동안 장력이 공에 한 일은?

장력은 매 순간 속도에 수직이다. 속력이 변하지 않으니 일–에너지 정리로도 0이다.

어떤 물체에 작용하는 모든 힘이 한 일의 합이 음수였다. 옳은 것은?

$W_\text{tot} = \Delta K < 0$이므로 나중 속력이 처음보다 작다. 멈추거나 방향이 바뀔 필요는 없다.

용수철을 자연 길이에서 $x$만큼 늘이는 데 일 $W$가 든다. 같은 용수철을 $x$에서 $2x$까지 더 늘이는 데 드는 일은?

$\tfrac12k(2x)^2 - \tfrac12kx^2 = 3\cdot\tfrac12kx^2 = 3W$. 용수철 시뮬레이터의 사다리꼴 넓이로 확인할 수 있다.

두 학생이 같은 계단을 오른다. 질량이 같고 A는 20 s, B는 10 s 걸렸다. 옳은 것은?

$W = mgh$는 같고 $P = W/t$이므로 시간이 절반인 B의 일률이 2배다.

무거운 상자를 손으로 잡고 일정한 속력으로 천천히 바닥에 내려놓았다. 손이 상자에 한 일의 부호는?

손의 힘은 위, 변위는 아래($\phi = 180^\circ$)이므로 음의 일이다. 중력의 양의 일과 상쇄되어 알짜일 0 — 속력이 일정한 것과 맞는다.