측정, 단위, 벡터
양성자에서 관측 가능한 우주까지, 물리학이 다루는 길이는 40자릿수가 넘게 걸쳐 있다. 이 넓은 세계를 다루려면 공통의 단위, 크기를 가늠하는 어림, 그리고 크기와 방향을 함께 담는 벡터가 필요하다. 아래 화면을 좌우로 끌어 크기의 사다리를 오르내려 보자.
- 물리 모형이 무엇이며 이상화가 어떤 범위에서 성립하는지 설명한다.
- SI 기본 단위와 접두사를 쓰고, 단위 환산 인자로 환산하며, 차원 분석으로 식을 검사하거나 관계식을 추론한다.
- 페르미 추정으로 크기의 자릿수를 어림하고, 측정의 불확도·정확도·정밀도와 유효숫자 규칙을 적용한다.
- 벡터를 그림(꼬리–머리)과 성분으로 더하고 빼며, 단위 벡터 \(\hat\imath, \hat\jmath, \hat k\)로 나타낸다.
- 스칼라곱 \(\vec A\cdot\vec B\)와 벡터곱 \(\vec A\times\vec B\)를 계산하고 기하학적 의미와 오른손 규칙을 설명한다.
물리학과 모형
물리학(physics)은 자연 현상을 지배하는 가장 기본적인 규칙을 찾는 실험 과학이다. 그런데 실제 세계는 너무 복잡해서 그대로 계산할 수 없다. 떨어지는 공 하나에도 공기 저항, 회전, 바람, 지구 자전, 공의 찌그러짐이 모두 관여한다. 그래서 물리학자는 본질만 남기고 나머지를 버린 단순한 그림, 즉 모형(model)을 만든다.
모형은 현상을 다루기 쉽게 단순화한 물리적·수학적 표현이다. 크기를 무시한 점 입자, 늘어나지 않는 줄, 마찰 없는 면처럼 중요하지 않은 효과를 버리는 것을 이상화라 한다. 모형은 참·거짓이 아니라 어떤 범위에서 얼마나 잘 맞는가로 평가한다.
- 현상을 관찰한다: 떨어지는 공은 점점 빨라진다.
- 본질만 남긴 모형을 세운다: 공을 점 입자로, 가속도를 일정한 g로 본다.
- 모형에서 수학적으로 예측을 끌어낸다: 낙하 시간 \(t = \sqrt{2h/g}\).
- 측정해 예측과 비교한다. 어긋나면 모형을 고치고(공기 저항 추가) 순환을 다시 돈다.
아래 미니 실험은 같은 낙하를 두 모형으로 계산한다. 모형 A는 공기 저항을 무시하고, 모형 B는 공기 저항력 \(F = \tfrac12\rho C_D A v^2\)을 넣어 운동 방정식을 수치 적분한다(RK4). 무거운 쇠공에서는 두 모형이 거의 같지만, 가벼운 탁구공에서는 금방 크게 갈라진다. 모형이 맞는 범위가 있다는 뜻이다.
뉴턴 역학은 빛에 가까운 속력이나 원자 크기에서는 틀리지만, 다리·로켓·행성 궤도를 계산하는 데는 여전히 최고의 모형이다. 모형을 쓸 때는 언제나 "어떤 효과를 무시했고, 그것이 정말 작은가?"를 묻는 습관을 들이자.
SI 단위, 단위 환산, 차원 분석
"길이가 3"이라는 말은 아무 뜻이 없다. 3 m인지 3 km인지 3 광년인지 알아야 한다. 측정은 언제나 수치 × 단위다. 과학과 공학은 국제단위계(International System of Units, SI)를 쓴다. 2019년 개정 이후 SI의 일곱 기본 단위는 빛의 속력 \(c\), 플랑크 상수 \(h\), 기본 전하 \(e\) 같은 자연 상수의 값을 정확히 정해 놓고 그로부터 정의된다.
| 물리량 | 단위 | 기호 | 정의의 바탕 |
|---|---|---|---|
| 시간 | 초 | s | 세슘-133 원자의 전이 진동수 \(\Delta\nu_\text{Cs} = 9\,192\,631\,770\) Hz |
| 길이 | 미터 | m | 빛의 속력 \(c = 299\,792\,458\) m/s (빛이 1/299 792 458 s 동안 가는 거리) |
| 질량 | 킬로그램 | kg | 플랑크 상수 \(h = 6.626\,070\,15\times10^{-34}\) J·s |
| 전류 | 암페어 | A | 기본 전하 \(e = 1.602\,176\,634\times10^{-19}\) C |
| 온도 | 켈빈 | K | 볼츠만 상수 \(k_B = 1.380\,649\times10^{-23}\) J/K |
| 물질의 양 | 몰 | mol | 아보가드로 수 \(N_A = 6.022\,140\,76\times10^{23}\) mol⁻¹ |
| 광도 | 칸델라 | cd | 540 THz 빛의 발광 효율 683 lm/W |
속력(m/s), 힘(N = kg·m/s²), 에너지(J = kg·m²/s²)처럼 나머지 단위는 모두 기본 단위의 곱과 나눗셈으로 만든 유도 단위다. 아주 크거나 작은 값에는 10의 거듭제곱을 뜻하는 접두사(prefix)를 붙인다.
| 접두사 | 기호 | 배수 | 접두사 | 기호 | 배수 |
|---|---|---|---|---|---|
| 펨토 | f | 10⁻¹⁵ | 킬로 | k | 10³ |
| 피코 | p | 10⁻¹² | 메가 | M | 10⁶ |
| 나노 | n | 10⁻⁹ | 기가 | G | 10⁹ |
| 마이크로 | μ | 10⁻⁶ | 테라 | T | 10¹² |
| 밀리 | m | 10⁻³ | 페타 | P | 10¹⁵ |
| 센티 | c | 10⁻² | 엑사 | E | 10¹⁸ |
단위 환산
단위는 대수 기호처럼 곱하고 나누고 약분할 수 있다. \(1\text{ mi} = 1609.344\text{ m}\)이므로 \(\dfrac{1609.344\text{ m}}{1\text{ mi}} = 1\)이다. 이런 환산 인자(conversion factor)는 1과 같으므로 어떤 양에 곱해도 값은 그대로이고 단위만 바뀐다. 없애고 싶은 단위가 약분되도록 분자·분모를 고르면 된다.
- 출발: 65 mi/h.
- ×(1609.344 m / 1 mi): mi가 약분된다.
- ×(1 h / 3600 s): h가 약분된다.
- 결과: 29.1 m/s(유효숫자 세 자리).
자동차가 110로 달리면 이는 , 이고, 100 m를 지나는 데 걸린다. 빛의 속력은 이보다 배 빠르다.
1 광년(light-year, ly)은 빛이 1 율리우스년(365.25일) 동안 가는 거리다. 미터로 나타내라.
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차원 분석
물리량의 차원(dimension)은 그 양이 어떤 기본량으로 이루어졌는지를 나타낸다. 질량 [M], 길이 [L], 시간 [T]로 쓰면 속력은 [L T⁻¹], 가속도는 [L T⁻²], 힘은 [M L T⁻²]이다.
등식의 양변, 그리고 더하거나 빼는 모든 항은 같은 차원을 가져야 한다. 사과와 오렌지를 더할 수 없듯 m와 m/s는 더할 수 없다. 차원이 맞지 않는 식은 반드시 틀렸다(맞는다고 옳은 식인 것은 아니다 — 2π 같은 순수한 수는 차원 분석으로 알 수 없다).
차원 분석은 검사 도구일 뿐 아니라 발견 도구이기도 하다. 단진자의 주기 \(T\)가 줄의 길이 \(L\), 중력 가속도 \(g\), 추의 질량 \(m\)에만 달려 있다고 가정하고 \(T = C\,L^a g^b m^c\)로 놓자. 차원을 맞추면 지수가 하나로 정해진다. 아래 퍼즐에서 직접 지수를 맞혀 보라.
차원 분석 퍼즐: 지수를 맞혀 목표 차원을 만들어라
단진자의 주기가 \(T = C L^a g^b m^c\)꼴이라 하자. 지수 \(a, b, c\)를 구하고, \(C = 2\pi\)일 때 \(L = 1.00\) m인 진자의 주기를 구하라(\(g = 9.80\) m/s²).
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어림, 불확도, 유효숫자
페르미 추정
정확한 자료가 없어도 답의 자릿수는 알아낼 수 있다. 물리학자 페르미는 "시카고에 피아노 조율사가 몇 명인가?" 같은 질문을 즐겨 냈다. 문제를 어림할 수 있는 작은 조각으로 쪼개고, 각 조각을 대충(10배 이내로) 정해 곱하면 오차들이 서로 상쇄되어 놀랄 만큼 좋은 답이 나온다. 이를 크기 자릿수 어림(order-of-magnitude estimate) 또는 페르미 추정이라 한다.
한국 인구 5170이 한 사람당 하루에 물 2.0를 마신다면, 1년 동안 마시는 물은 이다. 이는 올림픽 수영장(약 2500 m³) 를 채우는 양이고, 크기 자릿수는 이다.
사람의 심장은 평생 몇 번 뛰는가? 크기 자릿수로 어림하라.
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불확도, 정확도, 정밀도
모든 측정에는 불확도(uncertainty)가 있다. 자로 길이를 재면 마지막 자리는 눈금 사이를 어림해 읽는다. 측정값은 \(L = (4.36 \pm 0.02)\) cm처럼 쓰고, 불확도를 측정값으로 나눈 \(0.02/4.36 = 0.5\%\)를 상대 불확도라 한다.
정확도 (accuracy)
측정값이 참값에 얼마나 가까운가. 영점이 어긋난 저울처럼 늘 한쪽으로 치우치는 계통 오차가 정확도를 망친다.
정밀도 (precision)
반복 측정값이 서로 얼마나 모여 있는가. 손 떨림·눈금 어림 같은 우연 오차가 정밀도를 망친다.
조준이 과녁 중심에서 오른쪽으로 3 cm 어긋난 채로(계통 오차) 1000발을 던졌다. 탄착점들의 평균 위치는 어디에 있을까?
과녁 맞히기: 정확도와 정밀도
유효숫자
측정값에서 의미 있는 숫자를 유효숫자(significant figures)라 한다. 0.00450 m의 앞쪽 0들은 자리만 잡아 줄 뿐이므로 유효숫자는 4, 5, 0의 세 개다. 과학적 표기법 \(4.50\times10^{-3}\) m로 쓰면 분명하다. 계산 결과는 입력의 정밀도를 넘을 수 없다.
곱셈·나눗셈: 결과의 유효숫자 개수는 입력 중 가장 적은 개수에 맞춘다. \(12.3\text{ cm}\times4.5\text{ cm} = 55.35 \to 55\text{ cm}^2\).
덧셈·뺄셈: 결과의 소수 자리는 입력 중 가장 적은 소수 자리에 맞춘다. \(12.3 + 4.567 = 16.867 \to 16.9\).
판의 길이 \((12.3\pm0.1)\) cm, 폭 \((4.5\pm0.1)\) cm를 쟀다. 넓이와 그 불확도를 구하라.
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벡터와 스칼라
온도 20 °C, 질량 3 kg, 시간 5 s처럼 수치 하나로 완전히 정해지는 양을 스칼라(scalar)라 한다. 반면 "북동쪽으로 5 km"처럼 크기와 방향을 함께 가져야 하는 양을 벡터(vector)라 한다. 변위, 속도, 가속도, 힘이 모두 벡터다. 벡터는 굵은 글씨나 화살표 \(\vec A\)로 쓰고, 그 크기는 \(|\vec A|\) 또는 \(A\)로 쓴다.
두 변위를 연달아 하면 전체 변위는 첫 화살표의 머리에 둘째 화살표의 꼬리를 붙여 얻는다. 이것이 벡터 덧셈의 정의다.
- 두 벡터 A, B. 벡터는 크기와 방향만 같으면 어디에 그려도 같은 벡터다.
- B를 평행 이동해 꼬리를 A의 머리에 붙인다.
- A의 꼬리에서 B의 머리까지가 합 R = A + B다.
- 순서를 바꿔도 같은 R이 나온다. 두 경로가 평행사변형을 이루고, R은 그 대각선이다.
크기가 3인 벡터와 크기가 4인 벡터를 더했다. 합의 크기가 될 수 없는 값은?
벡터 덧셈 놀이터: 화살 끝을 끌어라
성분과 단위 벡터
그림으로 더하기는 직관적이지만 정확한 계산에는 성분(component)을 쓴다. 벡터 \(\vec A\)가 +x축과 각 \(\theta\)를 이루면, x축과 y축 위의 그림자(사영)가 성분이다.
성분이 \(A_x =\) -3.0, \(A_y =\) 4.0인 벡터의 크기는 이고, 방향은 +x축에서 이다.
크기가 1이고 방향만 나타내는 벡터를 단위 벡터(unit vector)라 한다. x, y, z축 방향의 단위 벡터 \(\hat\imath, \hat\jmath, \hat k\)를 쓰면 벡터를 성분과 함께 한 줄로 쓸 수 있다.
등산객이 남동쪽(+x축에서 −45°)으로 25.0 km를 걸은 뒤, 동쪽에서 북쪽으로 60.0° 방향으로 40.0 km를 걸었다. 전체 변위의 성분, 크기, 방향을 구하라(+x = 동쪽, +y = 북쪽).
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도전: 보물 찾기
해적의 지도에는 보물까지 가는 길이 "어느 방향으로 몇 걸음"으로 적혀 있다. 지도에는 길이 그려져 있지 않다. 성분으로 계산해 보물의 위치를 찾고, 깃발을 그 자리에 꽂아라.
벡터 합으로 보물 찾기
스칼라곱과 벡터곱
벡터끼리 곱하는 방법은 두 가지다. 결과가 스칼라인 스칼라곱(scalar product, dot product)과 결과가 벡터인 벡터곱(vector product, cross product)이다. 일(6장)은 스칼라곱으로, 토크와 각운동량(10장), 자기력(25장)은 벡터곱으로 정의된다.
\(\vec A\cdot\vec B = AB\cos\phi\). \(\phi\)는 두 벡터의 사잇각(0°–180°)이다. 한 벡터의 크기 × (다른 벡터를 그 방향으로 사영한 길이)와 같다. 같은 방향이면 \(AB\), 수직이면 0, 반대 방향이면 \(-AB\).
\(\vec C = \vec A\times\vec B\)의 크기는 \(C = AB\sin\phi\)로 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같다. 방향은 \(\vec A\)와 \(\vec B\)에 모두 수직이며 오른손 규칙으로 정한다: 오른손 손가락을 \(\vec A\)에서 \(\vec B\) 쪽으로(작은 각으로) 감으면 엄지가 \(\vec C\)의 방향이다. 순서를 바꾸면 방향이 반대다: \(\vec B\times\vec A = -\vec A\times\vec B\).
두 벡터의 크기는 그대로 두고 사잇각을 0°에서 180°까지 천천히 늘린다. \(\vec A\cdot\vec B\)와 \(|\vec A\times\vec B|\)는 각각 어떻게 변할까?
내적·외적 탐색기: 사잇각을 끌어라
\(\vec A = (\)3, 1\()\), \(\vec B = (\)-1, 3\()\)이면 \(\vec A\cdot\vec B =\) , 사잇각 , \((\vec A\times\vec B)_z =\) .
\(\vec A = 2\hat\imath + 3\hat\jmath + \hat k\), \(\vec B = -4\hat\imath + 2\hat\jmath - \hat k\)의 스칼라곱과 사잇각을 구하라.
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같은 두 벡터의 벡터곱 \(\vec A\times\vec B\)와 그 크기를 구하고, 크기가 \(AB\sin\phi\)와 같은지 확인하라.
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핵심 정리
- 물리 모형은 본질만 남긴 이상화다. 모형은 무시한 효과가 작은 범위에서만 맞는다.
- SI 기본 단위(s, m, kg, A, K, mol, cd)는 자연 상수의 고정값으로 정의된다. 환산 인자는 1과 같으므로 곱해서 단위를 바꾼다.
- 더하거나 같다고 놓는 항들은 차원이 같아야 한다. 차원 분석으로 식을 검사하고 \(T \propto \sqrt{L/g}\) 같은 관계를 추론할 수 있다.
- 페르미 추정은 자릿수를 어림한다. 측정값은 불확도와 함께 쓰고, 곱·나눗셈은 유효숫자 개수, 덧·뺄셈은 소수 자리를 따른다. 반복 평균은 우연 오차만 줄인다.
- 벡터는 꼬리–머리로 더하며 \(|\vec A + \vec B| \le A + B\). 성분 \(A_x = A\cos\theta\), \(A_y = A\sin\theta\)끼리 더하면 정확하다.
- \(\vec A\cdot\vec B = AB\cos\phi = \sum A_iB_i\) (스칼라), \(|\vec A\times\vec B| = AB\sin\phi\) = 평행사변형 넓이, 방향은 오른손 규칙, \(\vec B\times\vec A = -\vec A\times\vec B\).
연습문제
필요하면 \(c = 2.997\,924\,58\times10^8\) m/s, 1 mi = 1609.344 m를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.
마라톤 거리 42.195 km는 몇 마일인가?
\(42\,195\text{ m}\times\dfrac{1\text{ mi}}{1609.344\text{ m}} = 26.2\) mi.
빛이 4.50 μs 동안 가는 거리는 몇 m인가?
\(d = ct = (2.998\times10^8)(4.50\times10^{-6}) = 1.35\times10^3\) m.
가로 4.00 m, 세로 5.00 m, 높이 2.50 m인 방의 부피는 몇 cm³인가?
\(V = 50.0\text{ m}^3\times\left(\dfrac{100\text{ cm}}{1\text{ m}}\right)^3 = 5.00\times10^7\) cm³.
금의 밀도는 19.3 g/cm³이다. SI 단위(kg/m³)로 나타내라.
\(19.3\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\times\dfrac{1\text{ kg}}{1000\text{ g}}\times\dfrac{10^6\text{ cm}^3}{1\text{ m}^3} = 1.93\times10^4\) kg/m³.
입자의 위치가 \(x = At^2 + Bt^3\)으로 주어진다(\(x\)는 m, \(t\)는 s). 상수 \(B\)의 SI 단위는?
\(Bt^3\)이 m이어야 하므로 \(B\)는 m/s³. 같은 이유로 \(A\)는 m/s².
원의 반지름을 2.35 cm로 쟀다. 넓이를 유효숫자에 맞게 구하라.
\(\pi(2.35)^2 = 17.349\ldots\) → 유효숫자 세 자리: 17.3 cm². (π는 정확한 수다.)
길이를 \((5.00\pm0.02)\) m로 쟀다. 상대 불확도는 몇 %인가?
\(0.02/5.00 = 0.004 = 0.40\%\).
사람 한 명(약 70 kg)의 몸을 이루는 원자 수의 크기 자릿수에 가장 가까운 것은? (원자 하나의 평균 질량은 수소·산소·탄소를 섞어 약 10 u, 1 u ≈ 1.7×10⁻²⁷ kg로 어림하라.)
\(N \approx 70\text{ kg}/(10\times1.7\times10^{-27}\text{ kg}) \approx 4\times10^{27}\). 자릿수는 10²⁷.
크기 12.0 m, +x축에서 37.0° 방향의 벡터의 x, y 성분은?
\(A_x = 12.0\cos37.0^\circ = 9.58\) m, \(A_y = 12.0\sin37.0^\circ = 7.22\) m.
\(A_x = -3.00\) m, \(A_y = 4.00\) m인 벡터의 크기와 방향(+x축에서 시계 반대 방향으로 잰 각)은?
\(A = \sqrt{9 + 16} = 5.00\) m. \(\theta = 180^\circ - 53.1^\circ = 126.9^\circ\).
\(\vec A\)는 크기 8.00 m, +x축에서 60.0°이고 \(\vec B\)는 크기 15.0 m, +x축에서 205.0°이다. \(\vec R = \vec A + \vec B\)의 크기와 방향(+x축에서 0°–360°)은?
\(\vec A = (4.00, 6.93)\), \(\vec B = (-13.59, -6.34)\) → \(\vec R = (-9.59, 0.589)\) m. \(R = 9.61\) m, \(\theta = 180^\circ - 3.5^\circ = 176.5^\circ\).
xy평면의 두 벡터: \(\vec A\)는 크기 4.00, +x축에서 35.0°, \(\vec B\)는 크기 6.00, +x축에서 155.0°. \(\vec A\cdot\vec B\)는?
사잇각 \(\phi = 120.0^\circ\). \(\vec A\cdot\vec B = (4.00)(6.00)\cos120^\circ = -12.0\).
\(\vec A = \hat\imath + 2\hat\jmath + 2\hat k\), \(\vec B = 2\hat\imath - \hat\jmath + 2\hat k\)의 사잇각은?
\(\vec A\cdot\vec B = 2 - 2 + 4 = 4\), \(A = B = 3\). \(\cos\phi = 4/9\) → \(\phi = 63.6^\circ\).
\(\vec A = 2\hat\imath - \hat\jmath\), \(\vec B = \hat\imath + 3\hat\jmath + 2\hat k\)일 때 \(\vec C = \vec A\times\vec B\)의 성분을 구하라.
\(C_x = (-1)(2) - (0)(3) = -2\), \(C_y = (0)(1) - (2)(2) = -4\), \(C_z = (2)(3) - (-1)(1) = 7\). 검산: \(\vec C\cdot\vec A = -4 + 4 + 0 = 0\) ✓.
꼭짓점이 (0, 0, 0), (3, 0, 0), (1, 2, 2)인 삼각형의 넓이는? (좌표는 m)
\(\vec u = (3,0,0)\), \(\vec v = (1,2,2)\): \(\vec u\times\vec v = (0, -6, 6)\), 크기 \(\sqrt{72} = 8.49\). 넓이 = 8.49/2 = 4.24 m².
개념 확인 퀴즈
다음 중 차원이 맞지 않는(따라서 반드시 틀린) 식은? (\(x\): 위치, \(v\): 속도, \(a\): 가속도, \(t\): 시간)
0.004050 kg의 유효숫자는 몇 개인가?
크기 5와 12인 두 벡터의 합의 크기가 13이다. 두 벡터의 사잇각은?
영이 아닌 두 벡터에 대해 \(\vec A\cdot\vec B = |\vec A\times\vec B|\)이면 사잇각은?
\(\hat\jmath\times\hat\imath\)는?