Chapter 17

온도와 열

뜨거운 커피는 식고 찬 음료는 미지근해진다. 접촉한 두 물체 사이에서 에너지가 저절로 흘러 결국 같은 온도가 된다. 이 장에서는 온도(무엇이 같아지는가)와 열(무엇이 흐르는가)을 구별하고, 물체가 열을 받으면 늘어나고(열팽창), 데워지고(비열), 녹고 끓으며(잠열), 열이 어떻게 옮겨 가는지(전도·대류·복사)를 직접 실험해 본다.

한쪽 상자를 누르면 그쪽 기체를 가열한다 · 색은 분자의 속력

열평형과 열역학 제0법칙으로 온도를 정의하고, 섭씨·화씨·켈빈 눈금을 서로 바꾼다.
선팽창 $\Delta L = \alpha L_0\Delta T$, 부피 팽창 $\Delta V = \beta V_0\Delta T$와 열응력을 계산하고, 물의 이상 팽창을 설명한다.
열량 $Q = mc\Delta T$와 에너지 보존으로 열량 측정 문제를 푼다.
상변화의 잠열 $Q = \pm mL$을 포함해 가열 곡선과 얼음–물 혼합의 최종 상태를 구한다.
전도 $H = kA\,\Delta T/L$(직렬 열저항), 대류, 복사 $H = Ae\sigma T^4$와 빈 법칙 $\lambda_\text{max}T = 2.898\times10^{-3}$ m·K를 쓴다.

온도와 열평형

뜨거운 물체와 찬 물체를 맞대면 뜨거운 쪽 분자들의 활발한 운동 에너지가 충돌을 통해 찬 쪽으로 넘어간다. 더 이상 알짜 에너지가 흐르지 않는 상태를 열평형(thermal equilibrium)이라 하고, 열평형에 있는 물체들이 공유하는 성질이 온도(temperature)다. 장 머리의 두 기체 상자에서 분자 속력이 평균적으로 같아지는 것이 바로 이 과정이다.

열역학 제0법칙

물체 A와 B가 각각 물체 C(예: 온도계)와 열평형에 있으면, A와 B도 서로 열평형에 있다. 그래서 온도계 하나로 온도를 비교할 수 있다. 열(heat) $Q$는 온도 차 때문에 이동하는 에너지이며, 물체가 "가지고 있는" 양이 아니다.

온도계는 온도에 따라 규칙적으로 변하는 성질(수은 기둥의 길이, 기체의 압력, 저항)을 이용한다. 섭씨 눈금은 1기압에서 물의 어는점을 0 °C, 끓는점을 100 °C로, 화씨 눈금은 각각 32 °F, 212 °F로 잡는다. 과학에서 쓰는 켈빈 눈금(Kelvin scale)은 절대 영도(absolute zero)에서 0이고 눈금 간격은 섭씨와 같다.

$$T_F = \tfrac95 T_C + 32^\circ, \qquad T_K = T_C + 273.15$$

온도 차는 1 K = 1 °C = 1.8 °F. 켈빈 온도에는 ° 기호를 쓰지 않는다(300 K).

세 온도 눈금. 어는점–끓는점 사이를 섭씨와 켈빈은 100칸, 화씨는 180칸으로 나눈다.

온도 37는 화씨 , 켈빈 이다.

기체 온도계와 절대 영도

부피를 일정하게 유지한 묽은 기체의 압력은 온도에 따라 직선으로 변한다. 기체의 종류나 양이 달라도, 측정한 직선을 연장하면 모두 압력이 0이 되는 한 온도 −273.15 °C를 지난다. 이 점이 켈빈 눈금의 0이다. 현재 SI는 볼츠만 상수 $k_B = 1.380649\times10^{-23}$ J/K를 정확한 값으로 정해 켈빈을 정의한다.

외삽선 보기

MINI LAB세 기체 시료(양이 다름)의 압력–온도 직선. 아래 축의 흰 원(수조 온도)을 끌어 보라. 압력은 시료마다 다르지만 $p/T_K$는 시료마다 일정하고, 연장선은 모두 −273.15 °C에서 만난다. (실제 기체는 그 전에 액화한다.)

체온 98.6 °F를 섭씨와 켈빈으로 바꿔라. 또 화씨와 섭씨 눈금의 값이 같아지는 온도는?

풀이 보기

풀이 $T_C = \tfrac59(98.6 - 32) = 37.0$ °C, $T_K = 37.0 + 273.15 = 310.15$ K. 같은 값 $x$: $x = \tfrac95x + 32$ → $x = -40$.

37.0 °C = 310.15 K · −40° (−40 °C = −40 °F)

검토 위의 드래그 숫자 문단에서 37 °C와 −40 °C를 넣어 확인하라.

열팽창

온도가 오르면 원자들이 평형 위치 주위에서 더 크게 진동한다. 원자 사이 퍼텐셜 에너지 곡선이 비대칭(당길 때보다 누를 때 더 가파름)이므로 평균 원자 간격이 늘어나 물체가 커진다. 온도 변화가 크지 않으면 길이 변화는 처음 길이와 온도 변화에 비례한다.

$$\Delta L = \alpha L_0\,\Delta T, \qquad \Delta V = \beta V_0\,\Delta T, \qquad \beta = 3\alpha\ (\text{등방 고체})$$

$\alpha$: 선팽창 계수(coefficient of linear expansion), $\beta$: 부피 팽창 계수(coefficient of volume expansion), 단위 K⁻¹. $(1+\alpha\Delta T)^3 \approx 1 + 3\alpha\Delta T$이므로 $\beta = 3\alpha$.

물질	α (10⁻⁵ K⁻¹)	물질	β (10⁻⁵ K⁻¹)
알루미늄	2.4	수은	18
황동	2.0	에탄올	75
구리	1.7	휘발유	95
강철·콘크리트	1.2	물 (20 °C)	20.7
유리(보통)	0.4–0.9	유리(보통)	1.2–2.7
인바(Fe–Ni 합금)	0.09	석영 유리	0.12

길이 25인 강철 다리 상판(α = 1.2 × 10⁻⁵ K⁻¹)이 겨울 -10에서 여름 40까지 데워지면 늘어난다. 그래서 이음매는 겨울에 적어도 그만큼 벌어져 있어야 한다. 지금 기온 20에서 이음매 간격은 이다(여름 최고 온도에서 5 mm 남도록 설계).

바이메탈

팽창 계수가 다른 두 금속 띠를 붙인 바이메탈(bimetallic strip)은 가열하면 더 많이 늘어나는 금속이 바깥쪽이 되도록 휜다. 두 층의 두께와 탄성률이 같을 때 곡률은 $\kappa = 1/R = \dfrac{3(\alpha_1-\alpha_2)\Delta T}{2h}$이다($h$: 전체 두께). 온도 조절기, 다이얼 온도계, 전열 기구의 과열 차단기에 쓰인다.

황동(α = 2.0 × 10⁻⁵ K⁻¹)이 위, 강철(α = 1.2 × 10⁻⁵ K⁻¹)이 아래인 바이메탈을 가열하면?

황동이 더 늘어나므로 바깥(볼록한 쪽)이 된다 → 강철 쪽으로 휜다. 냉각하면 반대로 황동 쪽으로 휜다. 아래에서 온도계를 끌어 확인하라.

SIMULATOR

바이메탈: 온도계를 끌어 데우고 식혀라

오른쪽 온도계의 흰 원을 위아래로 끈다

금속 쌍 (위 / 아래)

전체 두께 h 20 °C 모양(점선)

온도—

곡률 반지름 R—

끝의 처짐 (길이 100 mm)—

그림은 실제 비율이다(두께만 과장). 해볼 것: ① 20 °C(만든 온도)에서는 곧다. 가열과 냉각에서 휘는 방향이 반대다. ② 두께를 절반으로 하면 같은 온도에서 곡률이 2배다. ③ 알루미늄/인바 쌍은 팽창 계수 차이가 약 3배 커서 훨씬 많이 휜다.

구멍도 커질까?

가운데 원형 구멍이 뚫린 금속판을 균일하게 가열하면 구멍의 지름은?

균일한 열팽창은 사진 확대와 같다: 모든 길이가 $(1+\alpha\Delta T)$배가 된다. 구멍을 같은 금속 원판으로 채웠다고 생각하면 원판도 늘어나므로 구멍은 커진다. 아래 단계별 그림을 보라.

처음 판과 구멍.
구멍 자리를 같은 금속으로 채운 판을 생각한다. 이 판은 균일하게 늘어난다.
가열하면 모든 길이가 같은 비율로 커진다. 채운 원판을 다시 빼면 커진 구멍이 남는다.

열팽창은 확대 복사와 같다. 꽉 낀 금속 뚜껑을 뜨거운 물에 담그면 잘 열리는 이유다(유리병보다 금속의 α가 크다).

열응력과 물의 이상 팽창

막대의 양 끝을 고정하고 온도를 바꾸면 늘어나지 못한 만큼 응력이 생긴다. 열팽창 $\alpha\Delta T$만큼을 탄성 변형이 정확히 되돌려야 하므로 $F/A = -Y\alpha\Delta T$(11장의 영률 $Y$)이다 — 이것이 열응력(thermal stress)이다. 한편 물은 0 °C에서 4 °C 사이에서 온도가 오를수록 오히려 줄어들고, 3.98 °C에서 밀도가 가장 크다. 이 이상 팽창(anomalous expansion) 덕분에 호수는 위에서부터 얼고, 바닥의 물은 4 °C 근처에 머물러 생물이 겨울을 난다.

기온(수면 온도)

MINI LAB왼쪽: 호수의 온도 분포(정지 상태), 오른쪽: 물의 밀도(0–20 °C). 가장 무거운 4 °C 물이 바닥에 깔린다. 기온을 4 °C 아래로 내리면 차가운 물이 위에 남아 수면부터 언다.

(a) 길이 25.0 m의 강철 상판이 −10 °C에서 40 °C가 될 때 늘어나는 길이는? (b) 레일을 20 °C에서 양 끝을 고정해 놓았는데 50 °C가 되었다면 열응력은? (강철 $\alpha = 1.2\times10^{-5}$ K⁻¹, $Y = 2.0\times10^{11}$ Pa)

풀이 보기

풀이 (a) $\Delta L = (1.2\times10^{-5})(25.0)(50) = 1.5\times10^{-2}$ m = 15 mm. (b) $F/A = -Y\alpha\Delta T = -(2.0\times10^{11})(1.2\times10^{-5})(30) = -7.2\times10^{7}$ Pa (압축).

(a) 15 mm (b) 7.2 × 10⁷ Pa의 압축 응력

검토 72 MPa는 강철 항복 응력(약 250 MPa)의 30% 정도이지만, 레일이 옆으로 휘는(좌굴) 사고를 일으키기에는 충분하다. 그래서 레일에도 이음매를 두거나 미리 장력을 준다.

20 °C에서 부피 200 cm³인 유리 플라스크에 수은을 가득 채우고 50 °C로 데웠다. 넘치는 수은의 부피는? ($\beta_\text{수은} = 18\times10^{-5}$, $\beta_\text{유리} = 1.2\times10^{-5}$ K⁻¹)

풀이 보기

전략 그릇도 팽창한다. 넘치는 양은 두 팽창의 차이다.

풀이 $\Delta V = (\beta_\text{Hg} - \beta_\text{유리})V_0\Delta T = (16.8\times10^{-5})(200)(30) = 1.01$ cm³.

약 1.0 cm³

검토 유리의 팽창을 무시하면 1.08 cm³로 7% 과대평가한다. 수은 온도계는 이 차이를 가는 관에 모아 크게 보이게 만든 장치다.

열량과 비열

같은 열을 주어도 물은 잘 데워지지 않고 금속은 금방 뜨거워진다. 질량 $m$인 물체의 온도를 $\Delta T$만큼 올리는 데 필요한 열은 질량과 온도 변화에 비례하고, 비례 상수가 물질마다 다른 비열(specific heat) $c$다.

$$Q = mc\,\Delta T, \qquad Q = nC\,\Delta T$$

$c$: 비열 [J/(kg·K)], $C = Mc$: 몰 열용량(molar heat capacity) [J/(mol·K)]. $Q > 0$이면 열을 받는다. 1 cal = 4.186 J은 물 1 g을 1 °C 올리는 열이다.

물질	c (J/(kg·K))	C (J/(mol·K))
물 (액체)	4190	75.4
얼음 (−5 °C 부근)	2100	37.8
수증기	2010	36.2
알루미늄	910	24.6
철	470	26.3
구리	390	24.8
납	130	26.9

금속의 몰 열용량이 모두 약 25 J/(mol·K) $\approx 3R$인 것은 우연이 아니다(뒬롱–프티 법칙, 18장의 에너지 등분배). 물의 비열이 유난히 커서 바다는 천천히 데워지고 천천히 식으며 해안 기후를 온화하게 만든다.

전력 1500의 전기 주전자로 물 1.0를 20에서 100까지 데우려면 열 가 필요하고, 손실이 없다면 걸린다. 같은 열을 같은 질량의 구리에 주면 온도가 오른다.

열량 측정

단열된 그릇 안에서 뜨거운 물체와 찬 물을 섞으면 에너지 보존에 의해 받은 열과 잃은 열의 합이 0이다: $\sum Q_i = 0$. 나중 온도를 재면 모르는 비열을 구할 수 있다(열량 측정법(calorimetry)).

금속 (100 °C)

금속 질량

MINI LAB20 °C 물 0.200 kg에 100 °C 금속을 넣는다(그릇의 열용량·손실 무시). 그래프는 금속(주황)과 물(파랑)의 온도, 점선은 에너지 보존으로 계산한 나중 온도다. 같은 질량이면 납은 물 온도를 거의 올리지 못한다.

100 °C로 데운 금속 0.200 kg을 20.0 °C 물 0.400 kg이 든 단열 그릇에 넣었더니 나중 온도가 23.6 °C였다. 금속의 비열은? 무슨 금속일까?

풀이 보기

전략 $Q_\text{금속} + Q_\text{물} = 0$: $m_mc_m(T_f - 100) + m_wc_w(T_f - 20.0) = 0$.

풀이 $c_m = \dfrac{(0.400)(4190)(3.6)}{(0.200)(76.4)} = 3.95\times10^2$ J/(kg·K).

c ≈ 395 J/(kg·K) — 구리(390)에 가깝다

검토 금속이 76 °C 식는 동안 물은 3.6 °C만 올랐다. 물의 열용량($m c$)이 금속의 약 21배이기 때문이다. 위 미니 실험에서 Cu, 0.20 kg으로 해 보면 물이 0.200 kg이라 약 6.8 °C 오른다.

상변화와 잠열

얼음에 열을 계속 주면 0 °C에서 온도가 멈춘 채 녹는다. 받은 에너지가 분자들을 묶은 결합을 끊는 데(퍼텐셜 에너지) 쓰이고 분자의 평균 운동 에너지는 늘지 않기 때문이다. 단위 질량이 상을 바꾸는 데 드는 열을 잠열(latent heat)이라 한다.

$$Q = \pm mL$$

녹음·끓음(+), 얼음·응결(−). 물: 융해열(heat of fusion) $L_f = 3.34\times10^5$ J/kg, 기화열(heat of vaporization) $L_v = 2.256\times10^6$ J/kg(1 atm, 100 °C). 물 1 kg을 끓여 없애는 열로 같은 물을 0 °C에서 100 °C까지 5번 넘게 데울 수 있다.

−20 °C 얼음을 0 °C까지: 얼음의 비열이 작아 열이 조금 든다(42 kJ).
0 °C에서 녹는 동안 온도가 일정하다: $Q = mL_f = 334$ kJ. 얼음과 물이 공존한다.
물을 0 °C에서 100 °C까지: $Q = mc\Delta T = 419$ kJ. 기울기가 얼음 구간의 절반이다(비열이 2배).
100 °C에서 끓는 동안: $Q = mL_v = 2256$ kJ — 전체의 73%. 가장 긴 평탄 구간이다.
수증기를 120 °C까지(40 kJ). 일정한 전력으로 가열하면 가로축은 시간과 같다.

물 1 kg의 가열 곡선(가로축은 실제 비율). 평탄한 구간에서는 온도 대신 상이 바뀐다.

−30 °C 얼음을 일정한 전력으로 계속 가열한다. 얼음이 녹기 시작해 다 녹을 때까지, 그릇 속 온도는?

녹는 동안 들어온 에너지는 모두 결합을 끊는 데 쓰인다. 얼음과 물이 공존하는 한 온도는 0 °C다. 끓는 동안의 100 °C도 같다.

SIMULATOR

가열 곡선: 얼음에서 수증기까지

가열 전력 P 얼음 질량 m 시간 배속

상태—

온도—

가한 열 Q—

경과 시간—

−30 °C 얼음에서 시작한다(손실 없음). 해볼 것: ① 전력을 2배로 하면 온도가 오르는 기울기와 평탄 구간 길이가 어떻게 바뀌나? ② 녹는 동안과 끓는 동안 얼음·수증기 비율을 지켜보라. ③ 얼음 구간 기울기는 물 구간의 약 2배다($c_\text{얼음} \approx c_\text{물}/2$).

−10.0 °C 얼음 0.500 kg을 100 °C 수증기로 모두 바꾸는 데 필요한 열은? ($c_\text{얼음} = 2100$, $c_\text{물} = 4190$ J/(kg·K))

풀이 보기

풀이 얼음 데우기 $(0.500)(2100)(10.0) = 1.05\times10^4$ J, 녹이기 $(0.500)(3.34\times10^5) = 1.67\times10^5$ J, 물 데우기 $(0.500)(4190)(100) = 2.095\times10^5$ J, 끓이기 $(0.500)(2.256\times10^6) = 1.128\times10^6$ J. 합 $1.515\times10^6$ J.

Q ≈ 1.52 × 10⁶ J

검토 기화가 74%를 차지한다. 1000 W 가열기로 약 25분 걸린다 — 시뮬레이터(질량 0.50 kg)의 경과 시간과 비교해 보라(−30 °C에서 시작하므로 조금 더 길다).

얼음과 물을 섞으면

얼음을 물에 넣을 때는 "얼음이 다 녹는가?"를 먼저 따져야 한다. 물이 0 °C까지 식으며 내놓을 수 있는 열 $m_wc_wT_w$와, 얼음을 0 °C까지 데우고 모두 녹이는 데 드는 열 $m_ic_i(0 - T_i) + m_iL_f$를 비교한다. 물의 열이 모자라면 나중 상태는 0 °C의 얼음–물 혼합물이다.

SIMULATOR

도전: 얼음–물 혼합의 최종 상태를 맞혀라

예측을 정한 뒤 얼음을 컵으로 끌어 넣는다

예측: 나중 온도 예측: 남은 얼음

문제—

실제 결과?

판정—

연속 정답0

단열 컵, 컵의 열용량 무시. $c_\text{얼음} = 2100$, $c_\text{물} = 4190$ J/(kg·K), $L_f = 3.34\times10^5$ J/kg. 판정 기준: 온도 ±0.5 °C, 남은 얼음 ±3 g. 공책에 계산한 뒤 슬라이더로 예측을 정하고 얼음을 컵에 넣어라. 다 녹는 문제, 일부만 녹는 문제, 물이 일부 어는 문제가 섞여 나온다.

30.0 °C 물 0.300 kg에 0 °C 얼음 (a) 0.100 kg, (b) 0.200 kg을 넣었다. 각각의 최종 상태는?

풀이 보기

전략 물이 0 °C까지 식으며 낼 수 있는 열: $(0.300)(4190)(30.0) = 3.77\times10^4$ J. 얼음을 다 녹이는 열: (a) $3.34\times10^4$ J, (b) $6.68\times10^4$ J.

풀이 (a) 다 녹는다. $(0.300)(4190)(30.0 - T) = 3.34\times10^4 + (0.100)(4190)T$ → $T = 2.57$ °C. (b) 다 못 녹는다. 녹는 양 $= 3.77\times10^4/3.34\times10^5 = 0.113$ kg, 남은 얼음 0.087 kg, 0 °C.

(a) 2.6 °C의 물 (b) 0 °C, 얼음 87 g이 남는다

검토 (b)에서 T를 그냥 계산하면 −2.6 °C 같은 모순된 답이 나온다. 얼음이 남아 있으면 물은 0 °C보다 차가울 수 없다.

열전달 1: 전도

열은 세 가지 방법으로 옮겨 간다. 전도(conduction)는 물질 자체는 움직이지 않고 이웃 원자·자유 전자의 충돌로 에너지가 전해지는 것, 대류(convection)는 데워진 유체가 직접 흘러가는 것, 복사(radiation)는 전자기파로 옮겨 가는 것이다.

열전달의 세 방식. 실제 상황에서는 셋이 함께 일어난다.

단면적 $A$, 길이 $L$인 막대(또는 판)의 두 끝 온도가 $T_H$, $T_C$로 유지되면, 시간이 지나 각 점의 온도가 변하지 않는 정상 상태(steady state)에서 단위 시간당 흐르는 열, 곧 열류(heat current)는

$$H = \frac{dQ}{dt} = kA\frac{T_H - T_C}{L}, \qquad \text{일반적으로 } H = -kA\frac{dT}{dx}$$

$k$: 열전도도(thermal conductivity) [W/(m·K)]. 구리 385, 알루미늄 205, 강철 50, 콘크리트·유리 0.8, 물 0.6, 나무 0.12, 유리섬유 0.04, 공기 0.024. 열저항 $R = L/kA$로 쓰면 $H = \Delta T/R$ — 직렬로 쌓은 층은 $R$이 더해진다.

판을 통한 정상 상태 전도. 온도 기울기가 클수록, 전도도가 클수록 열이 많이 흐른다.

처음에 20 °C인 구리 막대의 왼쪽 끝을 100 °C, 오른쪽 끝을 0 °C로 유지한다. 충분히 오래 지난 뒤(정상 상태) 막대 위의 온도 분포는?

정상 상태에서는 각 구간으로 들어오는 열류와 나가는 열류가 같아야 하므로 $dT/dx$가 일정하다 → 직선. 그 직선에 이르기까지의 과정(확산)을 아래에서 보라.

SIMULATOR

막대의 열전도 (유한 차분 시뮬레이션)

그래프 양 끝의 흰 원을 위아래로 끌어 끝 온도를 정한다

재료 (길이 20 cm)

시간 배속 오른쪽 끝 단열(열이 못 나감)

경과 시간—

가운데 열류 (A = 1 cm²)—

정상 상태 열류—

확산 시간 L²/D—

열 방정식 $\partial T/\partial t = D\,\partial^2T/\partial x^2$($D = k/\rho c$: 열확산도)을 60개 칸으로 나눠 푼다. 점선은 정상 상태 직선. 해볼 것: ① 구리와 강철에서 정상 상태에 이르는 시간을 비교하라($L^2/D$에 비례). ② 오른쪽 끝을 단열하면 막대 전체가 왼쪽 끝 온도로 올라간다. ③ 유리는 배속을 최대로 해도 한참 걸린다 — 유리컵에 뜨거운 물을 부으면 안쪽만 팽창해 깨지는 이유다.

단면적이 같은 강철 막대(길이 10.0 cm, $k = 50.2$)와 구리 막대(길이 20.0 cm, $k = 385$ W/(m·K))를 이어 붙였다. 강철 끝을 100 °C, 구리 끝을 0 °C로 유지할 때 정상 상태에서 접합부의 온도는?

풀이 보기

전략 정상 상태에서 두 막대의 열류는 같다(직렬): $k_sA(100 - T)/L_s = k_cA(T - 0)/L_c$.

풀이 $\dfrac{50.2(100 - T)}{0.100} = \dfrac{385\,T}{0.200}$ → $502(100 - T) = 1925\,T$ → $T = 20.7$ °C.

T ≈ 20.7 °C

검토 열저항 $L/k$가 큰 강철 쪽에서 온도가 대부분(79 °C) 떨어진다. 전기 회로의 직렬 저항에서 전압 강하가 큰 저항에 몰리는 것과 같다.

단열재 비교

건물의 벽은 여러 층이 직렬로 쌓인 열저항이다. 단위 넓이당 열저항 $R = L/k$(m²·K/W)가 더해지므로, 전도도가 아주 작은 단열재 몇 cm가 두꺼운 벽돌보다 큰 역할을 한다. 대부분의 단열재는 공기를 작은 칸에 가두어 대류를 막은 것이다.

단열층

단열층 두께

MINI LAB실내 20 °C, 실외 −5 °C. 벽돌(20 cm, k = 0.6 W/(m·K)) 바깥에 단열층을 덧댄다. 온도 직선은 열저항이 큰 층에서 가파르게 떨어지고, 흐르는 점의 빠르기는 열류에 비례한다. 유리섬유 5 cm가 벽돌 20 cm보다 열저항이 4배 크다.

열전달 2: 대류와 복사

유체를 아래에서 데우면 데워진 부분이 팽창해 밀도가 작아지고 떠오르며, 위에서 식은 유체는 가라앉는다. 이렇게 생기는 순환 흐름이 자연 대류다. 냄비의 물, 방 안의 공기, 해풍과 육풍, 대기와 맨틀의 흐름이 모두 대류다. 대류의 열전달은 흐름의 모양에 따라 달라서 간단한 공식은 없지만, 대략 온도 차의 $5/4$제곱에 비례한다.

가열 위치

온도 차

MINI LAB바닥은 뜨겁고 천장은 찬 상자 속 유체 입자(색 = 온도). 아래에서 데우면 두 개의 대류 세포가 돌며 열을 빠르게 나른다. 위에서 데우면 가벼운 뜨거운 유체가 이미 위에 있으므로 흐름이 생기지 않고, 열은 느린 전도로만 내려간다.

모든 물체는 온도에 따라 전자기파를 낸다. 넓이 $A$, 절대 온도 $T$인 표면이 내는 복사의 일률은 슈테판–볼츠만 법칙(Stefan–Boltzmann law)을 따른다.

$$H = Ae\sigma T^4, \qquad H_\text{알짜} = Ae\sigma\,(T^4 - T_s^4), \qquad \sigma = 5.670\times10^{-8}\ \text{W/(m}^2\cdot\text{K}^4)$$

$e$: 방출률(emissivity), 0–1. 잘 흡수하는 표면이 잘 방출한다(같은 $e$). $T_s$: 둘레의 온도. 온도가 2배면 복사는 16배다. $e = 1$인 이상적 물체가 흑체(blackbody)다.

피부 온도 34, 넓이 1.5, 방출률 1.00인 사람이 벽 온도 20인 방에 있으면, 몸은 복사로 를 내고 를 흡수해 알짜로 를 잃는다.

복사의 스펙트럼도 온도로 정해진다. 흑체 스펙트럼이 가장 센 파장은 절대 온도에 반비례한다 — 빈 변위 법칙(Wien's displacement law)이다. 뜨거워지는 쇠가 검붉은색 → 주황 → 흰색으로 바뀌고, 별의 색으로 표면 온도를 아는 원리다(곡선의 모양 자체는 32장의 플랑크 복사 법칙으로 설명된다).

$$\lambda_\text{max}T = 2.898\times10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$$

태양(5800 K): 500 nm(초록). 사람(310 K): 9.3 μm(적외선) — 열화상 카메라가 보는 빛이다.

SIMULATOR

흑체 복사 스펙트럼: 봉우리를 끌어 온도를 바꿔라

곡선의 봉우리(흰 원)를 좌우로 끈다

온도 T

예

다른 온도 곡선(회색)

λ_max—

방출 σT⁴—

가시광 비율—

보이는 색—

로그–로그 축의 분광 복사 휘도 $B_\lambda$. 무지개 띠가 가시광(380–750 nm)이다. 해볼 것: ① 봉우리를 끌며 $\lambda_\text{max}T$가 일정한지 확인하라. ② 온도를 2배로 하면 곡선 전체가 위로 올라간다(봉우리 높이 $\propto T^5$, 넓이 $\propto T^4$). ③ 전구(2800 K)는 에너지의 대부분을 적외선으로 내서 백열전구의 효율이 낮다. 사람의 봉우리는 가시광에서 한참 멀다.

(a) 넓이 1.50 m², 방출률 1.00, 피부 온도 34 °C인 사람이 벽 온도 20 °C인 방에서 복사로 잃는 알짜 일률은? (b) 태양 스펙트럼의 봉우리가 500 nm이면 표면 온도는?

풀이 보기

풀이 (a) $H = Ae\sigma(T^4 - T_s^4) = (1.50)(5.670\times10^{-8})(307.15^4 - 293.15^4) = 757 - 628 = 129$ W. (b) $T = 2.898\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5.80\times10^3$ K.

(a) 약 129 W (b) 5.80 × 10³ K

검토 기초 대사량(약 80–100 W)보다 크다. 실제로는 옷이 피부 표면 온도를 낮추고 복사 넓이를 줄인다. 반드시 켈빈 온도를 써야 한다 — 섭씨로 계산하면 엉뚱한 값이 나온다.

핵심 정리

열평형에 있는 물체는 온도가 같다(제0법칙). $T_K = T_C + 273.15$, $T_F = \frac95T_C + 32$. 열은 온도 차로 이동하는 에너지다.
열팽창: $\Delta L = \alpha L_0\Delta T$, $\Delta V = \beta V_0\Delta T$, $\beta = 3\alpha$. 고정된 막대의 열응력 $F/A = -Y\alpha\Delta T$. 물은 4 °C에서 밀도가 가장 크다.
$Q = mc\Delta T = nC\Delta T$. 고립계에서 $\sum Q = 0$(열량 측정).
상변화 동안 온도는 일정하고 $Q = \pm mL$. 물: $L_f = 3.34\times10^5$, $L_v = 2.256\times10^6$ J/kg. 혼합 문제는 "다 녹는가?"부터 확인한다.
전도 $H = kA\Delta T/L$, 직렬 층은 열저항 $L/kA$가 더해진다. 정상 상태 온도 분포는 직선이다.
대류는 유체의 흐름이 열을 나른다(아래에서 가열할 때). 복사 $H = Ae\sigma T^4$, 알짜 $Ae\sigma(T^4 - T_s^4)$, 빈 법칙 $\lambda_\text{max}T = 2.898\times10^{-3}$ m·K.

연습문제

특별한 말이 없으면 $c_\text{물} = 4190$, $c_\text{얼음} = 2100$ J/(kg·K), $L_f = 3.34\times10^5$, $L_v = 2.256\times10^6$ J/kg, $\sigma = 5.670\times10^{-8}$ W/(m²·K⁴)를 쓰고 열 손실은 무시한다. 팽창 계수는 본문의 표를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

종이가 타기 시작하는 온도라는 451 °F는 섭씨와 켈빈으로 몇 도인가?

$T_C = \tfrac59(451 - 32) = 232.8$ °C, $T_K = 505.9$ K.

길이 1.50 m인 알루미늄 막대를 20 °C에서 80 °C로 데우면 몇 mm 늘어나는가?

$\Delta L = (2.4\times10^{-5})(1.50)(60) = 2.16\times10^{-3}$ m = 2.16 mm.

20 °C에서 안지름이 2.5000 cm인 강철 고리를 지름 2.5030 cm인 축에 끼우려 한다. 고리를 몇 °C까지 가열해야 하는가?

구멍도 금속처럼 늘어난다: $\Delta d = \alpha d_0\Delta T$.

$\Delta T = \dfrac{0.0030}{(1.2\times10^{-5})(2.5000)} = 100$ K → $T = 120$ °C. 식으면 꽉 조인다(열박음).

10 °C에서 강철 연료통(60.0 L)에 휘발유를 가득 채웠다. 35 °C가 되면 몇 L가 넘치는가? (휘발유 $\beta = 9.5\times10^{-4}$, 강철 $\beta = 3.6\times10^{-5}$ K⁻¹)

$\Delta V = (9.5\times10^{-4} - 3.6\times10^{-5})(60.0)(25) = 1.37$ L.

양 끝이 고정된 황동 막대($Y = 9.0\times10^{10}$ Pa, $\alpha = 2.0\times10^{-5}$ K⁻¹)가 40 K 식었다. 막대에 생기는 인장 응력의 크기는?

$|F/A| = Y\alpha|\Delta T| = (9.0\times10^{10})(2.0\times10^{-5})(40) = 7.2\times10^7$ Pa.

물 2.00 kg을 20 °C에서 100 °C로 데우는 데 필요한 열은?

$Q = (2.00)(4190)(80) = 6.70\times10^5$ J.

1500 W 전기 주전자로 물 1.00 kg을 20 °C에서 100 °C로 데우는 데 걸리는 시간은? (손실 없음)

$t = Q/P = (1.00)(4190)(80)/1500 = 223$ s ≈ 3.7분.

90 °C 알루미늄 0.150 kg($c = 910$)을 20 °C 물 0.250 kg에 넣으면 나중 온도는?

$T = \dfrac{(0.150)(910)(90) + (0.250)(4190)(20)}{(0.150)(910) + (0.250)(4190)} = \dfrac{12285 + 20950}{136.5 + 1047.5} = 28.1$ °C.

−15 °C 얼음 0.300 kg을 0 °C 물로 만드는 데 필요한 열은?

$(0.300)(2100)(15) + (0.300)(3.34\times10^5) = 9450 + 100200 = 1.10\times10^5$ J.

100 °C 수증기 0.0200 kg을 20.0 °C 물 0.300 kg에 불어 넣어 모두 응결시켰다. 나중 온도는?

수증기가 내놓는 열 = 응결열 $mL_v$ + 100 °C 물이 $T$까지 식는 열.

$(0.0200)(2.256\times10^6) + (0.0200)(4190)(100 - T) = (0.300)(4190)(T - 20.0)$ → $45120 + 8380 - 83.8T = 1257T - 25140$ → $T = 58.7$ °C. 같은 질량의 100 °C 물이라면 25 °C에 그친다 — 수증기 화상이 더 위험한 이유.

겉넓이 0.80 m², 벽 두께 2.0 cm인 스티로폼 아이스박스($k = 0.027$ W/(m·K)) 안에 0 °C 얼음이 있고 바깥은 30 °C이다. 열류와 한 시간에 녹는 얼음의 질량은?

$H = (0.027)(0.80)(30)/0.020 = 32.4$ W. 1시간: $Q = 1.17\times10^5$ J → $m = Q/L_f = 0.349$ kg.

어떤 별의 복사 스펙트럼 봉우리가 290 nm(자외선)이다. 표면 온도는?

$T = 2.898\times10^{-3}/(290\times10^{-9}) = 9.99\times10^3$ K. 푸르스름한 흰 별이다(흑체 시뮬레이터에서 확인).

반지름 0.100 m인 흑체 구($e = 1$)가 500 K이고 둘레가 300 K이다. 구가 복사로 잃는 알짜 일률은?

$A = 4\pi(0.100)^2 = 0.1257$ m², $H = (0.1257)(5.670\times10^{-8})(500^4 - 300^4) = 388$ W.

겨울에 호수가 위에서부터 어는 가장 중요한 이유는?

4 °C 아래로 식은 물은 오히려 가벼워져 대류가 멈추고 수면에 남는다. 얼음은 물보다 가벼워 떠서 아래를 단열한다. 이상 팽창 미니 실험을 보라.

같은 실온(20 °C)의 금속 문손잡이와 나무 문이 손에 다르게 느껴지는 이유는?

둘의 온도는 같다. 손이 느끼는 것은 온도가 아니라 열이 빠져나가는 빠르기(열류)이고, 이는 $k$에 크게 의존한다.

개념 확인 퀴즈

"뜨거운 물체는 열을 많이 가지고 있다"는 말이 물리적으로 부정확한 이유는?

물체가 가진 것은 내부 에너지(18장)이고, 열 $Q$는 과정에서 옮겨 간 양이다.

같은 질량의 물과 구리에 같은 열을 주면?

$\Delta T = Q/mc$이고 $c_\text{물}/c_\text{구리} = 4190/390 \approx 10.7$.

얼음물 컵을 아무리 오래 저어도 얼음이 남아 있는 동안 온도계가 0 °C를 가리키는 이유는?

얼음과 물이 공존하는 동안 (1 atm에서) 온도는 0 °C로 고정된다.

두께가 같은 두 층(전도도 $k$와 $4k$)을 직렬로 붙였다. 정상 상태에서 온도 차는 어느 층에서 더 큰가?

열류가 같으므로 $\Delta T \propto L/k$. 전도도가 작은 층에서 온도가 4배 많이 떨어진다.

흑체의 절대 온도를 2배로 하면 방출 일률과 봉우리 파장은?

$H\propto T^4$, $\lambda_\text{max}\propto 1/T$.