Chapter 02

직선 운동

출발하는 자동차, 떨어지는 사과, 브레이크를 밟는 버스 — 한 직선을 따라 움직이는 운동은 역학의 출발점이다. 이 장에서는 위치·속도·가속도를 정의하고, 이 셋이 기울기와 넓이로 서로 이어져 있음을 그래프로 확인한다. 아래 화면을 누르고 있으면 가속 페달, 떼면 브레이크다.

누르고 있으면 가속 · 떼면 브레이크

변위와 이동 거리, 평균 속도와 평균 속력을 구별하고 x–t 그래프의 할선 기울기로 해석한다.
순간 속도를 극한 $v = dx/dt$로 정의하고 x–t 그래프의 접선 기울기로 읽는다.
가속도 $a = dv/dt$를 정의하고 속도와 가속도의 부호로 빨라짐·느려짐을 판단한다.
등가속도 운동의 네 공식을 유도하고 제동·추격 문제에 적용한다.
자유 낙하를 $a = -g$인 등가속도 운동으로 다루고, v–t 그래프 아래 넓이(적분)로 변위를 구한다.

변위, 시간, 평균 속도

직선 운동을 기술하려면 먼저 직선 위에 원점과 양의 방향을 정한 좌표축(x축)이 필요하다. 물체를 크기 없는 점 입자로 보면, 그 상태는 시각 $t$와 위치 $x$만으로 완전히 정해진다. 위치가 $x_1$에서 $x_2$로 바뀌었을 때 위치의 변화 $\Delta x = x_2 - x_1$을 변위(displacement)라 한다. 변위는 부호(방향)를 가진 양이고, 실제로 지나온 길의 길이인 이동 거리(distance traveled)와 다르다.

변위의 부호는 방향을 나타낸다. 출발점과 도착점만 정하고, 그 사이에 어떤 길로 갔는지와는 무관하다.

평균 속도와 평균 속력

평균 속도(average velocity)는 변위를 걸린 시간으로 나눈 값 $v_{\text{av},x} = \Delta x/\Delta t$로, 부호가 있다. 평균 속력(average speed)은 이동 거리를 시간으로 나눈 값으로, 언제나 0 이상이다. 출발점으로 돌아오면 평균 속도는 0이지만 평균 속력은 0이 아니다.

$$v_{\text{av},x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$$

x–t 그래프에서 두 점 $(t_1, x_1)$, $(t_2, x_2)$를 잇는 할선의 기울기다. SI 단위는 m/s.

MINI LAB산책하는 사람이 200 s 동안 동쪽으로 300 m 걸은 뒤, 100 s 동안 서쪽으로 100 m 되돌아온다. 그래프 위 흰 점을 끌어 시각을 바꿔 보라. 원점에서 그 점까지의 할선 기울기가 평균 속도다. 되돌아오기 시작하면 이동 거리는 계속 늘지만 변위는 줄어든다.

서울에서 부산까지 고속도로로 400를 4.5 만에 갔다면 평균 속력은 ()이다.

위 미니 실험의 산책(동쪽 300 m를 200 s, 서쪽 100 m를 100 s)에서 전체 300 s 동안의 평균 속도와 평균 속력을 구하라. 동쪽이 +x다.

풀이 보기

전략 평균 속도에는 변위를, 평균 속력에는 이동 거리를 쓴다.

풀이 변위 $\Delta x = +300 - 100 = +200$ m, 이동 거리 $300 + 100 = 400$ m. $v_{\text{av},x} = 200/300 = +0.667$ m/s, 평균 속력 $= 400/300 = 1.33$ m/s.

평균 속도 +0.667 m/s (동쪽), 평균 속력 1.33 m/s

검토 방향을 바꾸는 운동에서는 평균 속력이 평균 속도의 크기보다 크다. 한 방향으로만 가면 둘은 같다.

순간 속도

속도계가 가리키는 값은 "지금 이 순간"의 속도다. 평균 속도의 시간 간격 $\Delta t$를 점점 줄이면 할선은 한 점에서 곡선에 닿는 접선에 다가간다. 그 극한이 순간 속도(instantaneous velocity)다.

$$v_x = \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$$

순간 속도는 x–t 그래프의 접선 기울기이며, 위치를 시간으로 미분한 값이다. 순간 속도의 크기를 속력이라 한다.

$x = 20 + 5t^2$ (m)에서 t = 1 s와 3 s 사이의 평균 속도: 20 m/s.
Δt = 1 s로 줄이면 15 m/s.
Δt = 0.5 s이면 12.5 m/s. 할선이 곡선에 점점 붙는다.
극한: P에서의 접선 기울기 $dx/dt = 10t = 10$ m/s가 순간 속도다.

할선에서 접선으로. 평균 속도 $10(2 + \Delta t)$ m/s는 $\Delta t\to0$에서 10 m/s로 간다.

x(t)

MINI LAB파란 점 P와 주황 점 Q를 곡선을 따라 끌 수 있다. 주황 직선이 할선, 초록 점선이 P에서의 접선이다. Q를 P에 가까이 가져가면 할선 기울기가 접선 기울기로 수렴한다. 접선이 수평인 곳(기울기 0)은 물체가 잠깐 멈추는 순간이다.

그래프를 읽는 감각을 기르는 가장 좋은 방법은 직접 그려 보는 것이다. 아래에서 x–t 그래프를 손으로 그리면, 물체가 그 그래프대로 움직이고 속도와 가속도 그래프가 저절로 만들어진다.

SIMULATOR

x–t 그래프를 그리면 물체가 따라 움직인다

가운데 x–t 칸에 손가락/마우스로 그린다

예시 그래프

재생 중 접선 표시

t—

x—

v = dx/dt—

a = dv/dt—

위쪽 띠가 물체가 움직이는 직선이다. 해볼 것: ① 오른쪽 위로 올라가는 직선을 그리면 v–t는 수평선, a–t는 0이다. ② 점점 가팔라지는 곡선(아래로 볼록)을 그리면 v가 늘고 a가 양수다. ③ 산 모양을 그리면 꼭대기에서 v = 0이 되고 방향이 바뀐다. ④ 계단처럼 갑자기 꺾으면 v가 튀고 a가 크게 치솟는다 — 실제 물체는 이렇게 움직일 수 없다.

치타의 위치가 $x(t) = 20\text{ m} + (5.0\text{ m/s}^2)t^2$이다. (a) $t_1 = 1.0$ s에서 $t_2 = 2.0$ s 사이의 평균 속도, (b) $t = 1.0$ s와 $t = 2.0$ s에서의 순간 속도를 구하라.

풀이 보기

전략 (a)는 할선 기울기 $\Delta x/\Delta t$, (b)는 미분 $dx/dt$.

풀이 (a) $x(1.0) = 25$ m, $x(2.0) = 40$ m → $v_\text{av} = 15/1.0 = 15$ m/s. (b) $v = dx/dt = (10\text{ m/s}^2)t$ → $v(1.0) = 10$ m/s, $v(2.0) = 20$ m/s.

(a) 15 m/s (b) 10 m/s, 20 m/s

검토 속도가 일정하게 늘어나므로 평균 속도 15 m/s는 두 순간 속도의 평균과 같다. 이 관계는 등가속도 운동에서만 성립한다.

가속도

속도가 바뀌는 빠르기가 가속도(acceleration)다. 위치와 속도의 관계가 그대로 속도와 가속도 사이에서 되풀이된다.

$$a_{\text{av},x} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t}, \qquad a_x = \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$$

가속도는 v–t 그래프의 접선 기울기다. SI 단위는 m/s². x–t 그래프에서는 곡선이 위로 휘면(아래로 볼록) $a > 0$, 아래로 휘면 $a < 0$이다.

"감속 = 음의 가속도"가 아니다

가속도의 부호는 좌표축의 방향을 나타낼 뿐이다. 물체가 빨라지는지 느려지는지는 속도와 가속도의 부호가 같은지로 정해진다. −x 방향으로 달리는 차가 브레이크를 밟으면 가속도는 양수다.

섬광 그림(같은 시간 간격의 위치). 점 사이 간격이 늘어나면 빨라지고, 줄어들면 느려진다. 가속도가 속도와 같은 방향이면 빨라진다.

처음 속도 v₀

가속도 a

MINI LAB네 가지 부호 조합을 모두 시험해 보라. 파란 화살표(v)와 주황 화살표(a)가 같은 방향이면 빨라지고, 반대 방향이면 느려지다가 멈춘 뒤 거꾸로 간다. 흐린 점은 0.25 s 간격의 섬광 사진이다.

정지한 자동차가 100까지 6.0 만에 가속하면 평균 가속도는 , 중력 가속도의 배다. 가속도가 일정했다면 그동안 를 달린다.

자동차가 정지 상태에서 6.0 s 만에 100 km/h에 이르렀다. 평균 가속도를 m/s²와 g 단위로 구하라.

풀이 보기

풀이 $100\text{ km/h} = 27.8$ m/s. $a_\text{av} = 27.8/6.0 = 4.63$ m/s² $= 4.63/9.80 = 0.47g$.

4.63 m/s² ≈ 0.47 g

검토 일반 승용차는 0.2–0.4 g, 고성능 전기차는 약 1 g다. 크기가 상식에 맞는다.

도전: 그래프 따라 움직이기

물리 실험실의 동작 감지기 앞에서 걸으며 주어진 그래프를 그대로 만드는 실험을 화면으로 옮겼다. 위쪽 길에서 자동차를 끌어 움직이면, 그 움직임이 그래프로 기록된다.

x–t 그래프가 오른쪽 아래로 기울어진 직선이다. 자동차를 어떻게 움직여야 할까?

기울기가 일정한 음수 → 속도가 일정한 음수. 직선의 경사가 가파를수록 빨리 움직여야 한다. 아래에서 직접 해 보라.

CHALLENGE

그래프 짝 맞추기: 자동차를 끌어 목표 그래프를 만들어라

위쪽 길에서 자동차를 좌우로 끈다

목표

천천히 (시간 ½배)

남은 시간—

평균 오차—

점수—

최고 기록—

회색 굵은 선이 목표, 파란 선이 내 기록이다. x–t 목표는 시작 전에 자동차를 목표의 출발점(t = 0의 x)에 놓아야 한다. v–t 목표에서는 위치가 아니라 빠르기와 방향을 맞춰야 한다 — v = 0인 구간은 멈추고, v가 음수면 왼쪽으로 간다. 별 셋(★★★)에 도전하라.

등가속도 운동

가속도가 일정하면 v–t 그래프는 기울기 $a$인 직선이다. 따라서 $v_x = v_{0x} + a_xt$. 위치는 그 직선 아래 넓이(뒤에서 적분으로 정당화한다)로 구할 수 있다.

등가속도: v–t 그래프는 기울기 aₓ인 직선이다.
넓이의 아래 부분: 높이 v₀ₓ, 폭 t인 직사각형 = v₀ₓt.
위 부분: 밑변 t, 높이 aₓt인 삼각형 = ½aₓt².
두 넓이의 합이 변위: $x - x_0 = v_{0x}t + \tfrac12a_xt^2$.

v–t 그래프 아래 넓이 = 변위. 사다리꼴 넓이로 보면 $x - x_0 = \tfrac12(v_{0x} + v_x)t$이기도 하다.

$$\begin{aligned} v_x &= v_{0x} + a_xt & x &= x_0 + v_{0x}t + \tfrac12a_xt^2 \\ v_x^2 &= v_{0x}^2 + 2a_x(x - x_0) & x - x_0 &= \tfrac12(v_{0x} + v_x)\,t \end{aligned}$$

가속도가 일정할 때만 성립한다. 세 번째 식은 처음 두 식에서 $t$를 소거한 것으로, 시간이 주어지지 않은 문제(제동 거리 등)에 쓴다.

처음 속도 $v_{0x} =$ 10, 가속도 $a_x =$ 2.0로 4.0 동안 움직이면 속도는 , 변위는 가 된다.

등가속도 운동의 세 그래프. 오른쪽에서 왼쪽으로는 넓이(적분), 왼쪽에서 오른쪽으로는 기울기(미분)로 이어진다.

30.0 m/s(108 km/h)로 달리던 자동차가 브레이크를 밟아 −6.00 m/s²로 일정하게 감속했다. 정지할 때까지 걸리는 시간과 거리는?

풀이 보기

전략 시간은 $v = v_0 + at$에서, 거리는 $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$에서 ($v = 0$).

풀이 $t = (0 - 30.0)/(-6.00) = 5.00$ s. $\Delta x = (0 - 30.0^2)/(2\times(-6.00)) = 75.0$ m.

t = 5.00 s, Δx = 75.0 m

검토 $\Delta x = \tfrac12(v_0 + v)t = \tfrac12(30.0)(5.00) = 75.0$ m로 확인된다. 제동 거리는 $v_0^2$에 비례하므로 속력이 2배면 4배가 된다.

추격 문제

두 물체가 "만난다"는 것은 같은 시각에 같은 위치에 있다는 뜻이다. 두 물체의 $x(t)$를 각각 쓰고 $x_A(t) = x_B(t)$를 풀면 된다. x–t 그래프에서는 두 곡선의 교점이다.

과속 차가 일정한 속력 v로 서 있는 경찰차 옆을 지나는 순간, 경찰차가 일정한 가속도로 출발해 쫓아간다. 경찰차가 과속 차를 따라잡는 순간 경찰차의 속력은?

같은 시간 동안 같은 거리를 갔으므로 두 차의 평균 속도가 같다. 경찰차의 평균 속도는 $(0 + v_B)/2$이므로 $v_B/2 = v$ → $v_B = 2v$. 가속도와 무관하다! 아래에서 지연 시간을 0으로 두고 확인하라.

SIMULATOR

두 차의 추격: 언제, 어디서 만나는가

과속 차 A의 속력 v_A 경찰차 B의 가속도 a_B B의 출발 지연

따라잡는 시각—

따라잡는 위치—

그때 v_B—

v_B / v_A—

왼쪽 위 길에서 경찰차(주황)를 끌어 출발 위치를 바꿀 수 있다. A는 t = 0에 x = 0을 지난다. 오른쪽 x–t 그래프의 교점이 만나는 순간이다. 해볼 것: ① 지연 0, 출발 위치 0이면 $v_B/v_A$가 언제나 2임을 확인하라. ② 경찰차를 앞쪽(+x)에 두면 교점이 두 개 생긴다 — A가 먼저 B를 지나치고, 나중에 B가 따라잡는다. ③ 지연 시간이 늘면 따라잡는 시각은 얼마나 늦어지는가?

25.0 m/s로 달리는 과속 차가 정지한 경찰차 옆을 지나는 순간, 경찰차가 3.00 m/s²로 일정하게 가속하며 쫓아간다. 언제, 어디서 따라잡으며 그때 경찰차의 속력은?

풀이 보기

전략 $x_A = v_At$, $x_B = \tfrac12a_Bt^2$으로 놓고 $x_A = x_B$를 푼다.

풀이 $25.0t = 1.50t^2$ → $t = 0$ 또는 $t = 25.0/1.50 = 16.7$ s. $x = 25.0\times16.7 = 417$ m. $v_B = a_Bt = 3.00\times16.7 = 50.0$ m/s.

t = 16.7 s, x = 417 m, v_B = 50.0 m/s

검토 $t = 0$인 해는 두 차가 나란히 있던 출발 순간이다. $v_B = 2v_A$로 예측과 같다.

자유 낙하

공기 저항을 무시할 수 있으면, 지표 근처의 모든 물체는 무게와 모양에 상관없이 같은 가속도로 떨어진다. 갈릴레이가 처음 밝힌 이 사실은 1971년 아폴로 15호 우주인이 달에서 망치와 깃털을 동시에 떨어뜨려 극적으로 확인했다. 이 일정한 가속도의 크기가 중력 가속도(acceleration due to gravity) $g$다. 위로 던지든 아래로 던지든, 공중에 있는 동안의 운동을 자유 낙하(free fall)라 한다.

자유 낙하

위쪽을 +y로 잡으면 $a_y = -g$ ($g = 9.80$ m/s², 표준값 9.806 65 m/s²)인 등가속도 운동이다: $v_y = v_{0y} - gt$, $y = y_0 + v_{0y}t - \tfrac12gt^2$, $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g(y - y_0)$.

공을 위로 던졌다. 공이 최고점에 있는 순간, 속도와 가속도는?

가속도는 비행 내내 $-g$다. 최고점에서 가속도가 0이라면 공은 그 자리에 영원히 멈춰 있어야 한다. 아래 v–t 그래프에서 최고점을 지날 때도 기울기가 변하지 않음을 확인하라.

SIMULATOR

자유 낙하 섬광 사진: 던지는 속도를 끌어라

던지는 높이 y₀ 섬광 간격

행성

v₀ᵧ—

최고점 (시각)—

착지 시각—

착지 속력—

왼쪽 공 위의 흰 원(속도 화살표 끝)을 위아래로 끌어 처음 속도를 정한다. 해볼 것: ① 위로 던지면 올라갈 때와 내려올 때 섬광 점이 대칭이고, 같은 높이를 지날 때 속력이 같다. ② v–t 그래프는 어떤 v₀에서도 기울기 −g인 직선이다. ③ 달에서는 같은 속도로 던져도 약 6배 높이, 6배 오래 난다.

건물 옥상에서 공을 15.0 m/s로 똑바로 위로 던졌다. (a) 최고점은 던진 곳보다 얼마나 높은가? 거기까지 걸리는 시간은? (b) 1.00 s 후의 위치는? (c) 던진 곳보다 5.00 m 아래를 지나는 시각은?

풀이 보기

전략 던진 곳을 원점, 위를 +y로 잡는다. 최고점은 $v_y = 0$인 순간.

풀이 (a) $t = 15.0/9.80 = 1.53$ s, $y = 15.0^2/(2\times9.80) = 11.5$ m. (b) $y = 15.0(1.00) - 4.90(1.00)^2 = 10.1$ m. (c) $-5.00 = 15.0t - 4.90t^2$ → $4.90t^2 - 15.0t - 5.00 = 0$ → $t = \dfrac{15.0 + \sqrt{225 + 98.0}}{9.80} = 3.36$ s.

(a) 11.5 m, 1.53 s (b) 10.1 m 위 (c) 3.36 s

검토 (c)의 다른 근(음수)은 던지기 전의 시각이라 버린다. 공은 3.06 s에 던진 곳으로 돌아오고(2×1.53 s), 조금 더 떨어져 3.36 s에 5 m 아래를 지난다.

반응 시간 재기

친구가 들고 있던 자를 예고 없이 놓을 때 얼마나 빨리 잡을 수 있을까? 자가 떨어진 거리 $d$를 재면 $d = \tfrac12gt^2$에서 반응 시간 $t = \sqrt{2d/g}$를 알 수 있다. 아래 자는 화면에서 실제 시간에 맞춰 떨어진다.

‘준비’를 누르고 기다려라

MINI LAB · GAME‘준비’를 누르면 1–4 s 뒤 예고 없이 자가 떨어진다. 떨어지는 것이 보이면 즉시 그림을 누르거나 스페이스 키를 눌러 잡아라. 손가락 높이의 눈금이 떨어진 거리 $d$다. 사람의 시각 반응 시간은 보통 0.15–0.30 s다.

떨어지는 자를 15.0 cm 지점에서 잡았다. 반응 시간은?

풀이 보기

풀이 $t = \sqrt{2d/g} = \sqrt{2(0.150)/9.80} = 0.175$ s.

t = 0.175 s

검토 거리는 시간의 제곱에 비례한다. 반응 시간이 2배(0.35 s)라면 자는 4배인 60 cm나 떨어진다. 그래서 30 cm 자로는 0.25 s보다 느린 반응을 잴 수 없다.

미적분으로 본 운동

가속도가 일정하지 않으면 등가속도 공식은 쓸 수 없다. 대신 미분과 적분의 관계를 직접 쓴다. 미분이 기울기라면 그 역연산인 적분은 넓이다. 짧은 시간 $dt$ 동안의 변위는 $v_x\,dt$이고, 이것을 모두 더하면 v–t 그래프 아래 넓이가 된다.

$$x(t) = x_0 + \int_0^t v_x(t')\,dt', \qquad v_x(t) = v_{0x} + \int_0^t a_x(t')\,dt'$$

v–t 그래프 아래 (부호 있는) 넓이 = 변위, a–t 그래프 아래 넓이 = 속도 변화. t축 아래($v < 0$)의 넓이는 음으로 센다. 이동 거리는 $\int|v_x|\,dt$다.

직사각형 수 n

높이를 잡는 점

MINI LAB$v(t) = 1.0 + 0.30t^2$ (m/s)를 0–5 s 동안 직사각형 n개로 근사한다. 각 직사각형의 넓이 $v\,\Delta t$는 그 짧은 시간 동안의 변위다. n이 커질수록 합이 정확한 적분값 17.5 m로 수렴한다.

SIMULATOR

v–t 그래프 아래 넓이를 끌어 적분 보기

v–t 모양

처음 위치 x₀

t—

넓이 = Δx—

이동 거리 ∫|v|dt—

x(t)—

왼쪽 v–t 그래프의 흰 점 여섯 개를 위아래로 끌어 속도 그래프를 바꾸고, 아래쪽 ◆ 손잡이를 좌우로 끌어 적분 끝 시각 t를 바꾼다. 초록 넓이는 +, 빨강 넓이는 −로 센다. 오른쪽 x–t 그래프의 높이가 정확히 그 넓이만큼 변한다. 해볼 것: ① v가 음수인 구간에서 x가 줄어드는 것을 보라. ② 넓이의 합이 0이 되게 만들면 물체는 출발점으로 돌아온다. ③ v–t의 꼭짓점(v = 0을 지나는 곳)이 x–t의 극대·극소다.

심화: 등가속도 공식을 적분으로 유도하기

$a_x$가 상수이면 $v_x = v_{0x} + \int_0^t a_x\,dt' = v_{0x} + a_xt$. 이것을 다시 적분하면 $x = x_0 + \int_0^t (v_{0x} + a_xt')\,dt' = x_0 + v_{0x}t + \tfrac12a_xt^2$. 또 연쇄 법칙으로 $a_x = \dfrac{dv_x}{dt} = \dfrac{dv_x}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v_x\dfrac{dv_x}{dx}$이므로 $\int v_x\,dv_x = \int a_x\,dx$ → $v_x^2 = v_{0x}^2 + 2a_x(x - x_0)$. 이 마지막 형태는 가속도가 위치의 함수일 때(용수철 등)도 쓸 수 있다 — 7장 에너지 보존의 씨앗이다.

정지해 있던 자동차의 가속도가 $a_x(t) = 4.0\text{ m/s}^2 - (0.50\text{ m/s}^3)t$이다($x_0 = 0$). 속도가 최대가 되는 시각, 그때의 속도와 위치를 구하라.

풀이 보기

전략 적분으로 $v(t)$, $x(t)$를 구한다. 속도가 최대인 순간은 $dv/dt = a = 0$.

풀이 $v = \int_0^t(4.0 - 0.50t')dt' = 4.0t - 0.25t^2$, $x = 2.0t^2 - t^3/12$. $a = 0$ → $t = 8.0$ s. $v(8.0) = 32 - 16 = 16$ m/s, $x(8.0) = 128 - 42.7 = 85.3$ m.

t = 8.0 s, v = 16 m/s, x = 85.3 m

검토 등가속도 공식을 잘못 쓰면(평균 가속도 2.0 m/s²로 $\tfrac12at^2$) 64 m가 나온다. 초반에 가속도가 커서 실제로는 더 멀리 간다.

핵심 정리

변위 $\Delta x = x_2 - x_1$는 부호가 있고 경로와 무관하다. 평균 속도 $\Delta x/\Delta t$는 x–t 그래프의 할선 기울기, 평균 속력은 이동 거리/시간이다.
순간 속도 $v_x = dx/dt$는 x–t 그래프의 접선 기울기, 가속도 $a_x = dv_x/dt$는 v–t 그래프의 접선 기울기다.
속도와 가속도의 부호가 같으면 빨라지고, 다르면 느려진다.
등가속도: $v_x = v_{0x} + a_xt$, $x = x_0 + v_{0x}t + \tfrac12a_xt^2$, $v_x^2 = v_{0x}^2 + 2a_x\Delta x$, $\Delta x = \tfrac12(v_{0x} + v_x)t$.
자유 낙하는 $a_y = -g$(9.80 m/s²)인 등가속도 운동이다. 최고점에서도 가속도는 $-g$다.
v–t 그래프 아래 부호 있는 넓이 $\int v_x\,dt$가 변위, a–t 아래 넓이가 속도 변화다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s²를 쓰고 공기 저항은 무시한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

2009년 우사인 볼트는 100 m를 9.58 s에 달렸다. 평균 속도는?

$v = 100/9.58 = 10.4$ m/s (약 37.6 km/h).

둘레 400 m인 트랙을 80.0 s에 한 바퀴 돌았다. 평균 속력은? (평균 속도는 얼마인지도 생각해 보라.)

평균 속력 $= 400/80.0 = 5.00$ m/s. 출발점으로 돌아왔으므로 변위가 0, 평균 속도도 0이다.

어떤 거리의 절반을 60.0 km/h로, 나머지 절반을 40.0 km/h로 갔다. 전체 평균 속력은?

50 km/h가 아니다. 각 구간에 걸린 시간을 구하라(전체 거리를 2d로 두면 편하다).

$t = d/60 + d/40$, 평균 속력 $= 2d/t = 2/(1/60 + 1/40) = 48.0$ km/h. 느린 구간에 더 오래 머물기 때문에 산술 평균보다 작다.

비행기가 정지 상태에서 일정하게 가속해 32.0 s 만에 이륙 속력 80.0 m/s에 이른다. 가속도와 활주 거리는?

$a = 80.0/32.0 = 2.50$ m/s². $\Delta x = \tfrac12(0 + 80.0)(32.0) = 1280$ m.

입자의 위치가 $x(t) = 3.0t^3 - 2.0t$ (x는 m, t는 s)이다. $t = 2.0$ s에서 속도와 가속도는?

$v = 9.0t^2 - 2.0 = 34.0$ m/s, $a = 18t = 36.0$ m/s².

108 km/h로 달리던 운전자가 위험을 보고 0.750 s 뒤에 브레이크를 밟았다. 감속도는 7.50 m/s²이다. (a) 브레이크를 밟은 뒤 미끄러진 거리, (b) 위험을 본 순간부터 정지까지 거리는?

반응 시간 동안은 처음 속력 그대로 간다.

$v_0 = 30.0$ m/s. (a) $30.0^2/(2\times7.50) = 60.0$ m. (b) $60.0 + 30.0\times0.750 = 82.5$ m.

제트기의 이륙 속력은 70.0 m/s, 최대 가속도는 2.00 m/s²이다. 활주로는 최소 몇 m여야 하는가?

$v^2 = 2aL$ → $L = 70.0^2/(2\times2.00) = 1225$ m.

우물에 돌을 떨어뜨렸더니 2.40 s 뒤에 물에 닿았다. 우물의 깊이는? (소리가 오는 시간은 무시한다.)

$d = \tfrac12(9.80)(2.40)^2 = 28.2$ m.

공을 12.0 m/s로 똑바로 위로 던졌다. 최고 높이와, 던진 손으로 돌아올 때까지의 시간은?

$H = 12.0^2/(2\times9.80) = 7.35$ m, $T = 2\times12.0/9.80 = 2.45$ s.

높이 30.0 m 옥상 끝에서 공을 8.00 m/s로 똑바로 위로 던졌다. 공이 땅에 닿을 때까지의 시간과 그때의 속력은?

$0 = 30.0 + 8.00t - 4.90t^2$을 근의 공식으로 푼다. 속력은 $v^2 = v_0^2 + 2gh$로도 구할 수 있다.

$4.90t^2 - 8.00t - 30.0 = 0$ → $t = (8.00 + \sqrt{64.0 + 588})/9.80 = 3.42$ s. $v = \sqrt{8.00^2 + 2(9.80)(30.0)} = 25.5$ m/s.

30.0 m/s로 달리는 과속 차가 경찰차 옆을 지나고, 2.00 s 뒤에 경찰차가 4.00 m/s²로 가속하며 출발한다. 과속 차가 지나간 순간부터 따라잡을 때까지의 시간과 그동안 과속 차가 간 거리는?

$30.0t = \tfrac12(4.00)(t - 2.00)^2$, $t > 2.00$ s인 근.

$2(t-2)^2 = 30t$ → $t^2 - 19t + 4 = 0$ → $t = (19 + \sqrt{345})/2 = 18.8$ s. $x = 30.0\times18.79 = 564$ m. (추격 시뮬레이터에서 v = 30, a = 4, 지연 2로 확인하라.)

엘리베이터의 속도가 0에서 4.0 s 동안 일정하게 12 m/s까지 늘고, 6.0 s 동안 12 m/s를 유지한 뒤, 2.0 s 동안 일정하게 줄어 멈췄다. 움직인 거리는?

v–t 그래프 아래 넓이: $\tfrac12(4.0)(12) + (6.0)(12) + \tfrac12(2.0)(12) = 24 + 72 + 12 = 108$ m.

입자의 속도가 $v(t) = 3.0t^2 - 2.0t$ (m/s)이고 $t = 0$에서 $x = 4.0$ m이다. $t = 3.0$ s에서의 위치는?

$x = 4.0 + \int_0^{3.0}(3.0t^2 - 2.0t)\,dt = 4.0 + [t^3 - t^2]_0^{3.0} = 4.0 + 27 - 9.0 = 22.0$ m.

어떤 물체의 x–t 그래프가 증가하면서 위로 볼록(기울기가 점점 작아짐)하다. 옳은 것은?

그래프가 증가 → 기울기(속도) 양수. 기울기가 줄어듦 → 가속도 음수. 부호가 반대이므로 느려진다.

같은 높이에서 공 A는 가만히 놓고, 공 B는 아래로 5 m/s로 던졌다. 공중에 있는 동안 두 공의 가속도는?

자유 낙하의 가속도는 처음 속도와 무관하게 g다. 처음 속도는 v–t 그래프의 절편만 바꾸고 기울기는 바꾸지 않는다.

개념 확인 퀴즈

v–t 그래프에서 기울기와 아래 넓이가 각각 뜻하는 것은?

$a = dv/dt$(기울기), $\Delta x = \int v\,dt$(넓이).

x–t 그래프가 t축에 평행한 직선이다. 물체는?

기울기 0 → 속도 0. 위치는 0이 아닐 수도 있다.

$v_x < 0$, $a_x > 0$인 물체는?

속도와 가속도의 부호가 반대 → 느려진다. 계속되면 멈춘 뒤 +x 방향으로 간다.

정지 상태에서 등가속도로 출발한 물체가 처음 1 s 동안 2 m를 갔다. 처음 3 s 동안 가는 거리는?

$x = \tfrac12at^2 \propto t^2$ → $3^2 = 9$배, 18 m.

공을 위로 던졌다. 올라가는 동안과 내려오는 동안 같은 높이를 지날 때의 속도는?

$v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g(y - y_0)$는 높이만의 함수이므로 크기가 같다(공기 저항이 없을 때).