Chapter 16

소리와 청각

스피커의 진동판이 앞뒤로 움직이면 바로 앞의 공기가 눌렸다 풀렸다 하고, 그 압력의 변화가 이웃 공기로 전해져 귀에 닿는다. 소리는 공기 분자가 날아오는 것이 아니라 압력의 파동이 전해지는 것이다. 15장에서 배운 파동의 언어로 음속, 소리의 세기, 악기의 음높이, 맥놀이, 사이렌의 음높이 변화까지 설명해 보자. 이 장의 몇몇 실험은 버튼을 누르면 실제 소리가 난다(작은 음량).

위아래로 끌면 진동수가 바뀐다 · 주황 분자 하나는 제자리에서 앞뒤로만 움직인다

음파를 변위파와 압력파로 기술하고, 둘의 위상이 90° 어긋나 있음을 설명한다.
기체·액체·고체에서 음속 $v = \sqrt{B/\rho}$, $\sqrt{Y/\rho}$, $\sqrt{\gamma RT/M}$을 계산한다.
소리의 세기와 압력 진폭의 관계, 데시벨 눈금, 역제곱 법칙(거리 2배 → −6 dB)을 쓴다.
열린관과 닫힌관의 정상파 모드와 고유 진동수를 구하고, 악기의 음색을 배음으로 설명한다.
두 음원의 간섭 조건과 맥놀이 진동수 $f_\text{beat} = |f_1 - f_2|$를 쓴다.
도플러 효과 $f_L = \dfrac{v + v_L}{v + v_S}f_S$와 충격파의 원뿔각 $\sin\alpha = v/v_S$를 계산한다.

음파: 변위파와 압력파

음파(sound wave)는 매질을 통해 전해지는 종파(longitudinal wave)다. 공기 분자들은 파동이 나아가는 방향으로 평형 위치 주위를 앞뒤로 진동할 뿐, 스피커에서 귀까지 실려 오지 않는다. $x$ 위치에 있던 공기 조각의 변위를 $y(x,t)$라 하면, 사인형 음파는

$$y(x,t) = A\cos(kx - \omega t)$$

$A$: 변위 진폭, $k = 2\pi/\lambda$: 파수, $\omega = 2\pi f$: 각진동수. 15장의 줄 파동과 같은 꼴이지만 변위가 진행 방향과 나란하다.

분자들이 앞뒤로 움직이면 어떤 곳은 분자가 몰려 압력이 높아지고(압축(compression)), 어떤 곳은 성겨져 압력이 낮아진다(희박(rarefaction)). 단면적 $S$, 길이 $\Delta x$인 공기 조각의 부피 변화는 $\Delta V = S\,[y(x+\Delta x) - y(x)]$이므로 $\Delta V/V \to \partial y/\partial x$이고, 부피 탄성률 $B = -\Delta p/(\Delta V/V)$의 정의에서 대기압에서 벗어난 압력(계기 압력)은

$$p(x,t) = -B\frac{\partial y}{\partial x} = BkA\sin(kx - \omega t), \qquad p_\text{max} = BkA$$

$p_\text{max}$: 압력 진폭(pressure amplitude). 변위가 $\cos$, 압력이 $\sin$ — 둘은 위상이 90° 어긋나 있다. 변위가 0인 곳에서 압력 변화가 가장 크다.

소리가 없을 때: 공기 분자 무리가 같은 간격으로 놓여 있다(점선은 평형 위치).
음파가 지나가면 각 무리가 $y = A\sin kx$만큼 밀린다(화살표). 이웃끼리 밀리는 양이 다르다.
밀린 뒤의 모습: 화살표가 서로를 향하던 곳은 압축, 서로 멀어지던 곳은 희박이 된다.
변위 곡선(실선)과 압력 곡선(점선): 압력은 변위의 기울기에 −B를 곱한 것이므로, 변위가 0인 곳에서 압력이 최대·최소다.

변위파에서 압력파로. 분자는 몇 μm도 움직이지 않지만, 밀린 양의 차이가 압력 변화를 만든다.

압력 곡선 빠르기

MINI LAB위: 공기 분자 무리, 아래: 변위 $y$(파랑)와 계기 압력 $p$(주황). 세로 막대의 흰 원을 좌우로 끌어 한 지점을 골라 보라. 분자가 가장 많이 밀린 순간($|y|$ 최대)에는 압력이 대기압과 같고, 분자가 평형 위치를 지나는 순간에 압력이 가장 크거나 작다.

귀가 감지하는 것은 압력 변화다. 사람이 들을 수 있는 진동수는 대략 20 Hz–20 kHz(가청 진동수(audible range))이고, 그보다 낮으면 초저주파(infrasound), 높으면 초음파(ultrasound)라 한다. 음높이는 주로 진동수, 소리의 크기는 압력 진폭, 음색(timbre)은 배음 구성으로 정해진다.

20 °C 공기에서 1000 Hz 음파의 압력 진폭이 $3.0\times10^{-2}$ Pa이다(꽤 큰 대화 소리). 공기 분자의 변위 진폭은? 공기의 부피 탄성률은 $B = \gamma p_0 = 1.40\times1.013\times10^5$ Pa $= 1.42\times10^5$ Pa, 음속 344 m/s.

풀이 보기

전략 $p_\text{max} = BkA$에서 $A = p_\text{max}/(Bk)$. 먼저 $k = 2\pi f/v$.

풀이 $k = 2\pi(1000)/344 = 18.3$ rad/m. $A = \dfrac{3.0\times10^{-2}}{(1.42\times10^5)(18.3)} = 1.2\times10^{-8}$ m.

A ≈ 1.2 × 10⁻⁸ m (약 12 nm)

검토 원자 지름의 100배 정도에 불과하다. 귀는 이렇게 작은 변위(대기압의 0.00003%에 해당하는 압력 변화)를 느끼는 아주 예민한 압력 센서다.

음속: 기체, 액체, 고체

15장에서 줄의 파동 속력은 $\sqrt{F/\mu}$ — "되돌리는 힘(탄성)"을 "관성(밀도)"으로 나눈 것의 제곱근이었다. 음파도 똑같다. 유체에서는 부피 탄성률 $B$가, 가는 고체 막대에서는 영률 $Y$가 탄성의 역할을 한다.

$$v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}\;(\text{유체}), \qquad v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}\;(\text{고체 막대}), \qquad v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}\;(\text{이상 기체})$$

$\gamma = C_p/C_V$(공기 1.40, 헬륨 1.67), $R = 8.314$ J/(mol·K), $T$: 절대 온도, $M$: 몰질량(공기 $2.88\times10^{-2}$ kg/mol). 음파의 압축·팽창은 너무 빨라 열이 드나들 틈이 없는 단열 과정이므로 기체의 $B = \gamma p$이다.

심화: 왜 $v = \sqrt{B/\rho}$인가

관 속 공기 조각(단면적 $S$, 길이 $dx$, 질량 $\rho S\,dx$)에 뉴턴 제2법칙을 쓰면 알짜힘은 양쪽 압력 차 $-S\,(\partial p/\partial x)\,dx$이다. $p = -B\,\partial y/\partial x$를 넣으면 $\rho\,\partial^2 y/\partial t^2 = B\,\partial^2 y/\partial x^2$. 이는 15장의 파동 방정식 $\partial^2 y/\partial x^2 = (1/v^2)\,\partial^2 y/\partial t^2$와 같은 꼴이므로 $v^2 = B/\rho$. 이상 기체의 단열 과정에서 $B = \gamma p$이고 $p/\rho = RT/M$이므로 $v = \sqrt{\gamma RT/M}$이다. 음속은 압력과 무관하고 온도의 제곱근에 비례한다.

기온이 20이면 공기 속 음속은 로, 0 °C일 때보다 . 번개가 번쩍이고 3.0 뒤에 천둥이 들렸다면 번개는 약 떨어진 곳에서 쳤다.

매질	음속 (m/s)	비고
공기 (0 °C)	332	$\gamma = 1.40$, $M = 28.8$ g/mol
공기 (20 °C)	344	이 장의 기본값
헬륨 (20 °C)	1008	가볍고 $\gamma$가 커서 빠르다
물 (20 °C)	1480	$B = 2.2\times10^9$ Pa
강철 막대	5060	$Y = 2.0\times10^{11}$ Pa, $\rho = 7800$ kg/m³

공기 온도

MINI LAB100 m 길이의 네 매질 한쪽 끝에서 동시에 소리 펄스를 보낸다(100배 느린 화면). 단단한(탄성률이 큰) 매질일수록 빠르다. 물은 공기보다 약 800배 무겁지만 탄성률은 약 15000배 크다.

(a) 물의 부피 탄성률이 $2.2\times10^9$ Pa, 밀도가 1000 kg/m³일 때 물속 음속은? (b) 27 °C 공기의 음속은?

풀이 보기

풀이 (a) $v = \sqrt{2.2\times10^9/1000} = 1.48\times10^3$ m/s. (b) $v = \sqrt{\dfrac{(1.40)(8.314)(300.15)}{2.88\times10^{-2}}} = 348$ m/s.

(a) 1.48 × 10³ m/s (b) 348 m/s

검토 20 °C의 344 m/s보다 조금 빠르다. $v\propto\sqrt T$이므로 $344\sqrt{300.15/293.15} = 348$ m/s로도 확인된다. 실온 근처에서는 1 °C마다 약 0.6 m/s씩 빨라진다.

소리의 세기와 데시벨

파동이 단위 시간에 단위 넓이를 지나며 나르는 평균 에너지를 세기(intensity) $I$라 한다(단위 W/m²). 음파의 세기는 압력과 공기 조각의 속도의 곱 $p\,\partial y/\partial t$의 시간 평균이고, 이를 계산하면

$$I = \frac{1}{2}\sqrt{\rho B}\,\omega^2A^2 = \frac{p_\text{max}^2}{2\rho v}$$

세기는 진폭의 제곱에 비례한다. 공기의 밀도는 20 °C에서 약 1.20 kg/m³.

모든 방향으로 고르게 퍼지는 점음원의 일률이 $P$이면 거리 $r$의 구면 전체로 같은 에너지가 퍼지므로 $I = P/4\pi r^2$ — 역제곱 법칙(inverse-square law)이다. 귀는 $10^{-12}$ W/m²부터 약 1 W/m²까지 열두 자릿수의 세기를 느끼고, 세기가 10배가 될 때마다 비슷한 정도로 "더 크다"고 느낀다. 그래서 로그 눈금을 쓴다.

소리 세기 준위 (데시벨)

$\beta = (10\ \text{dB})\log_{10}\dfrac{I}{I_0}$, $I_0 = 10^{-12}$ W/m²(1 kHz에서 들을 수 있는 가장 약한 소리, 가청 문턱(threshold of hearing)). 세기가 10배면 +10 dB, 2배면 +3.0 dB이다. 단위 dB는 데시벨(decibel)이다.

데시벨 눈금. 10 dB 오를 때마다 세기는 10배, 120 dB은 가청 문턱의 10¹²배다.

점음원에서 2.0 떨어진 곳의 소리가 80이면, 4.0 떨어진 곳에서는 이다. 세기는 가 되고, 음원의 일률은 이다.

$$\beta_2 - \beta_1 = (10\ \text{dB})\log_{10}\frac{I_2}{I_1} = -(20\ \text{dB})\log_{10}\frac{r_2}{r_1}$$

거리가 2배가 되면 $-20\log_{10}2 = -6.02$ dB, 10배가 되면 −20 dB.

바이올린 한 대가 60 dB로 들린다. 똑같은 바이올린 두 대가 같은 자리에서 연주하면(서로 위상 관계가 없는 소리) 몇 dB로 들릴까?

결맞지 않은 소리는 세기가 더해진다. 세기 2배 → $10\log_{10}2 = 3.0$ dB 증가. 아래 실험에서 음원 수를 1 → 2 → 10 → 100으로 바꿔 보라(+3, +10, +20 dB).

SIMULATOR

소음계: 듣는 사람을 끌어 데시벨을 재라

스피커와 듣는 사람(흰 원)을 끌 수 있다

음원 하나의 일률 P

같은 자리의 음원 수

10 dB 간격 등세기선

거리 r—

세기 I—

세기 준위 β—

도전—

해볼 것: ① 듣는 사람을 음원에서 4 m → 8 m → 16 m로 옮기며 β가 6 dB씩 줄어드는 것을 확인하라. 등세기선(10 dB 간격)의 반지름은 $\sqrt{10} = 3.16$배씩 커진다. ② 음원 수를 10배로 하면 모든 등세기선이 한 칸씩(10 dB) 바깥으로 밀린다. ③ ‘도전’을 누르면 목표 준위가 주어진다 — 듣는 사람을 그 준위(±0.5 dB)가 되는 곳에 놓아라.

20 °C 공기에서 압력 진폭이 $3.0\times10^{-2}$ Pa인 음파의 세기와 세기 준위는? 또 점음원에서 2.0 m 떨어진 곳이 80 dB일 때 20 m 떨어진 곳의 준위와 음원의 일률은?

풀이 보기

풀이 $I = \dfrac{p_\text{max}^2}{2\rho v} = \dfrac{(3.0\times10^{-2})^2}{2(1.20)(344)} = 1.09\times10^{-6}$ W/m², $\beta = 10\log_{10}(1.09\times10^{6}) = 60.4$ dB. 거리 10배 → $80 - 20 = 60$ dB. 2.0 m에서 $I = 10^{-4}$ W/m²이므로 $P = 4\pi(2.0)^2(10^{-4}) = 5.0\times10^{-3}$ W.

1.1 × 10⁻⁶ W/m², 60 dB · 60 dB · 5.0 mW

검토 80 dB(번잡한 도로)의 소리를 내는 데 고작 5 mW가 든다. 귀가 얼마나 적은 에너지에 반응하는지 보여 준다. 실제로는 벽의 반사와 공기의 흡수 때문에 역제곱 법칙에서 조금 벗어난다.

관의 정상파와 악기

관 속 공기도 줄처럼 정상파를 만든다. 경계 조건이 열쇠다. 닫힌 끝에서는 공기가 움직일 수 없으므로 변위의 마디(N, 압력의 배)이고, 열린 끝에서는 압력이 대기압으로 고정되므로 압력의 마디(변위의 배 A)다. 변위의 배와 마디 사이 거리는 $\lambda/4$다.

열린관 (양쪽 열림)

양 끝이 모두 변위의 배. $L = n\lambda/2$이므로 $$f_n = \frac{nv}{2L},\quad n = 1, 2, 3, \dots$$ 모든 배음이 있다. 예: 플루트, 오르간의 열린 관.

닫힌관 (한쪽 닫힘)

닫힌 끝은 마디, 열린 끝은 배. $L = n\lambda/4$이므로 $$f_n = \frac{nv}{4L},\quad n = 1, 3, 5, \dots$$ 홀수 배음만 있다. 예: 클라리넷(근사), 막힌 오르간 관.

가장 낮은 모드(기본 진동). 열린관 $\lambda = 2L$, 닫힌관 $\lambda = 4L$ — 같은 길이면 닫힌관이 한 옥타브 낮다.
두 번째 모드. 열린관은 2배음($2f_1$), 닫힌관은 3배음($3f_1$)이 다음 모드다.
세 번째 모드. 열린관 $3f_1$, 닫힌관 $5f_1$. 닫힌관에는 짝수 배음이 없다.

관 속 정상파의 변위 포락선(A: 변위의 배, N: 변위의 마디). 압력은 그 반대로 N에서 배, A에서 마디다.

양쪽이 열린 관을 불면 기본음이 난다. 한쪽 끝을 손바닥으로 막고 불면 기본음은?

열린관은 $\lambda_1 = 2L$, 닫힌관은 $\lambda_1 = 4L$이다. 파장이 2배이므로 진동수는 절반 — 한 옥타브 낮아진다. 아래 시뮬레이터에서 ‘열린관’과 ‘닫힌관’을 번갈아 눌러 소리로 확인하라.

SIMULATOR

관 공명: 관 끝을 끌어 길이를 바꾸고 소리를 들어라

관 오른쪽 끝의 흰 원을 끌어 길이를 바꾼다

관의 종류

모드 (배음 번호 n)

기온 압력 포락선도 보기

관 길이 L—

이 모드의 f_n—

파장 λ_n—

허용 진동수—

도전—

해볼 것: ① 같은 길이에서 열린관 ↔ 닫힌관을 바꾸며 기본음을 들어 보라(한 옥타브 차이). ② 닫힌관의 모드 버튼이 1, 3, 5, …로 바뀌는 것을 보라 — 짝수 배음이 없다. ③ ‘관 소리’는 그 관이 낼 수 있는 배음을 모두 섞은 소리다. 닫힌관 쪽이 더 ‘속이 빈’ 소리(클라리넷)로 들린다. ④ 도전: 목표 음의 진동수(±0.5%)가 나오도록 관 길이를 맞춰라. 기온을 올리면 같은 관의 음이 높아진다.

배음과 음색

실제 악기는 기본음과 함께 여러 배음을 동시에 낸다. 같은 440 Hz(라음)라도 플루트와 클라리넷의 소리가 다른 것은 배음의 세기 비율이 다르기 때문이다. 귀는 진동수 $f_1$을 음높이로, 배음 구성을 음색으로 듣는다. 관악기 연주자가 숨을 세게 불어 한 단계 위 모드로 "점프"시키는 것이 오버블로잉이다 — 플루트는 옥타브(×2), 클라리넷은 12도(×3) 위로 뛴다.

배음 구성

기본 진동수

MINI LAB왼쪽은 배음을 더한 파형(두 주기), 오른쪽은 각 배음의 진폭(스펙트럼)이다. 음높이는 같아도 파형과 소리가 달라진다. 닫힌관형은 홀수 배음만 있어 네모파에 가깝다.

길이 1.00 m인 오르간 관이 20 °C(음속 344 m/s)에서 (a) 양쪽이 열려 있을 때와 (b) 한쪽이 막혀 있을 때, 처음 세 개의 고유 진동수는?

풀이 보기

전략 열린관 $f_n = nv/2L$(n = 1, 2, 3), 닫힌관 $f_n = nv/4L$(n = 1, 3, 5).

풀이 (a) $f_1 = 344/2.00 = 172$ Hz, 344 Hz, 516 Hz. (b) $f_1 = 344/4.00 = 86.0$ Hz, 258 Hz, 430 Hz.

(a) 172, 344, 516 Hz (b) 86.0, 258, 430 Hz

검토 닫힌관의 기본음은 열린관의 절반이고, 이웃한 고유 진동수의 간격이 $2f_1$이다. 실제 관은 열린 끝에서 정상파가 관 밖으로 조금(반지름의 약 0.6배) 삐져나오므로 유효 길이가 약간 길다.

간섭과 맥놀이

두 스피커가 같은 진동수, 같은 위상으로 소리를 내면 공간의 각 점에서 두 파동이 중첩된다. 두 음원까지의 거리를 $r_1$, $r_2$라 할 때 경로차(path difference) $\Delta r = |r_2 - r_1|$이 파장의 정수배면 마루와 마루가 만나 보강 간섭(constructive interference), 반정수배면 마루와 골이 만나 상쇄 간섭(destructive interference)이 된다.

$$\text{보강: } \Delta r = n\lambda, \qquad \text{상쇄: } \Delta r = \left(n + \tfrac12\right)\lambda \qquad (n = 0, 1, 2, \dots)$$

한 스피커의 배선을 바꿔 위상을 반대로 하면 조건이 서로 바뀐다. 소음 제거 헤드폰은 들어오는 소음과 반대 위상의 소리를 만들어 상쇄한다.

경로차가 위상차를 만든다: 위상차 $\phi = k\Delta r = 2\pi\Delta r/\lambda$.

SIMULATOR

두 스피커의 간섭 지도

스피커 두 개와 듣는 사람을 끌어 옮긴다

진동수 f

보기

S₂ 역위상(배선 반대로)

r₁, r₂—

Δr / λ—

듣는 곳—

세기 (스피커 하나 대비)—

‘평균 세기’에서 어두운 줄무늬가 상쇄선(마디선)이다. 해볼 것: ① 듣는 사람을 상쇄선 위에 놓고 Δr/λ가 0.5, 1.5…인지 확인하라. ② 진동수를 높이면 파장이 짧아져 줄무늬가 촘촘해진다. ③ 역위상을 켜면 두 스피커의 정중앙 선이 보강선에서 상쇄선으로 바뀐다 — 스테레오 스피커 배선을 반대로 하면 저음이 약해지는 이유다.

같은 위상으로 구동되는 두 스피커에서 듣는 사람까지의 거리가 각각 4.00 m와 4.50 m이다. 음속 344 m/s일 때 상쇄 간섭이 일어나는 가장 낮은 두 진동수와 보강 간섭이 일어나는 가장 낮은 진동수(0 Hz 제외)는?

풀이 보기

풀이 $\Delta r = 0.50$ m. 상쇄: $\Delta r = (n+\tfrac12)\lambda$ → $f = (n+\tfrac12)v/\Delta r = 344, 1032$ Hz… 보강: $f = nv/\Delta r = 688$ Hz, 1376 Hz…

상쇄 344 Hz, 1032 Hz · 보강 688 Hz

검토 간섭 시뮬레이터에서 두 경로 길이를 이렇게 맞추고 진동수를 바꿔 보면, 같은 자리가 진동수에 따라 조용해졌다 시끄러워졌다 한다. 실제 방에서는 벽 반사 때문에 완전한 상쇄는 드물다.

맥놀이

진동수가 조금 다른 두 소리 $f_1$, $f_2$를 한 자리에서 들으면, 두 파동이 같은 위상이 되었다가 반대 위상이 되기를 되풀이하며 소리가 커졌다 작아진다. 이것이 맥놀이(beats)다. 삼각함수의 합 공식으로

$$A\cos\omega_1 t + A\cos\omega_2 t = \underbrace{2A\cos\!\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)}_{\text{천천히 변하는 진폭}}\cos\!\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right), \qquad f_\text{beat} = |f_1 - f_2|$$

귀에는 평균 진동수 $(f_1+f_2)/2$의 음이 들리고, 크기가 1초에 $|f_1-f_2|$번 커진다(포락선 $|\cos|$의 주기가 $1/|f_1-f_2|$이므로).

f₁ f₂

MINI LAB1초 동안의 합성파(색칠된 띠)와 포락선(점선). 차이를 1 Hz로 하면 1초에 한 번, 5 Hz로 하면 다섯 번 소리가 출렁인다. 차이가 15 Hz를 넘으면 귀는 출렁임 대신 거친 소리로 듣는다.

SIMULATOR

도전: 맥놀이로 기타 줄 조율하기

줄감개(왼쪽 흰 원)를 돌려 줄을 조이거나 푼다

조율할 줄

기준음—

맥놀이—

줄의 진동수?

상태—

기타리스트는 기준음(소리굽쇠·조율기)과 줄을 함께 울려 맥놀이가 사라질 때까지 줄감개를 돌린다. 맥놀이 진동수는 차이의 크기만 알려 준다 — 줄이 높은지 낮은지는 조금 돌려 보고 맥놀이가 느려지는지 빨라지는지로 판단해야 한다. 목표: 맥놀이를 0.2 회/s 이하로 줄여라. 오른쪽 그래프는 들리는 소리 크기(포락선)의 시간 변화다.

440 Hz 소리굽쇠와 피아노 건반을 함께 울리니 1초에 3번 맥놀이가 들렸다. 피아노 줄을 조금 조였더니 맥놀이가 1초에 5번으로 늘었다. 처음 피아노 음의 진동수는?

풀이 보기

전략 맥놀이 3회/s → 줄은 437 Hz 또는 443 Hz. 줄을 조이면 장력이 커져 진동수가 올라간다.

풀이 437 Hz였다면 조일 때 440 Hz에 가까워져 맥놀이가 줄어야 한다. 늘었으므로 처음부터 440 Hz보다 높았다.

443 Hz

검토 조율 시뮬레이터에서 하는 판단과 같다. 이제 줄을 풀어야 맥놀이가 사라진다.

도플러 효과와 충격파

구급차가 다가올 때는 사이렌이 높게, 멀어질 때는 낮게 들린다. 음원이나 관찰자가 매질에 대해 움직일 때 들리는 진동수가 달라지는 현상이 도플러 효과(Doppler effect)다. 두 가지 원인이 있다.

관찰자가 움직일 때

파장은 그대로지만 관찰자가 마루를 더 자주 만난다. 음원 쪽으로 $v_L$로 가면 파동이 관찰자에 대해 $v + v_L$로 다가오므로 $f_L = (v + v_L)/\lambda$.

음원이 움직일 때

음원이 앞선 마루를 쫓아가며 다음 마루를 내므로, 앞쪽 파장이 줄어든다: $\lambda_\text{앞} = (v - v_S)/f_S$, $\lambda_\text{뒤} = (v + v_S)/f_S$.

$$f_L = \frac{v + v_L}{v + v_S}\,f_S$$

부호 약속: 관찰자 L에서 음원 S로 향하는 방향을 +로 잡는다. 관찰자가 음원 쪽으로 가면 $v_L > 0$, 음원이 관찰자에게서 멀어지면 $v_S > 0$. 다가오는 음원은 $v_S < 0$이다. $v$는 매질(공기)에 대한 음속. 움직이는 방향이 시선과 비스듬하면 시선 방향 성분만 쓴다.

진동수 500의 음원이 30의 속력으로, 관찰자는 0의 속력으로 서로를 향해 다가오면 들리는 진동수는 이다. 서로를 지나쳐 같은 속력으로 멀어질 때는 로 떨어진다.

사이렌을 울리는 구급차가 일정한 속력으로 정면에서 곧장 나에게 다가오고 있다. 다가오는 동안 들리는 음높이는?

$f_L$은 속력에만 의존하고 거리에는 의존하지 않는다. 커지는 것은 소리 크기다. 지나치는 순간 갑자기 낮은 음으로 떨어진다. 길 옆에 서 있으면(시선과 비스듬하면) 시선 방향 성분이 서서히 바뀌어 음높이가 미끄러지듯 내려간다 — 아래에서 듣는 사람을 길 위/옆에 놓고 그래프를 비교해 보라.

SIMULATOR

도플러 효과: 음원의 속도 화살표를 끌어라

음원의 화살표 끝을 끌면 속도, 듣는 사람(주황)을 끌면 위치가 바뀐다

음원 진동수 f_S 음원 속력 v_S/v

음원 속력 v_S—

앞쪽 / 뒤쪽 파장—

지금 듣는 f_L—

원은 음원이 0.25 s(화면 시간)마다 낸 마루다. 원의 중심은 그 마루를 낸 순간의 음원 위치다. 아래 띠그래프는 듣는 사람에게 들리는 진동수의 기록이다. 해볼 것: ① 듣는 사람을 길 위에 놓으면 진동수가 계단처럼 한 번에 떨어지고, 길에서 멀리 놓을수록 완만하게 내려간다. ② 속력을 0.9로 올려 앞쪽 마루가 촘촘히 쌓이는 것을 보라 — 음속에 도달하면 마루가 한데 겹쳐 충격파가 된다. ③ ‘지나가는 소리’는 같은 조건(1칸 = 1 m)으로 계산한 실제 음높이 변화를 들려준다.

진동수 500 Hz의 사이렌을 울리는 구급차가 30.0 m/s로 서 있는 사람에게 다가왔다가 지나쳐 멀어진다(음속 344 m/s). 다가올 때와 멀어질 때 들리는 진동수는? 같은 구급차를 향해 사람이 15.0 m/s로 달려가면?

풀이 보기

전략 + 방향은 사람 → 구급차. 다가오는 구급차는 + 방향의 반대로 움직이므로 $v_S = -30.0$ m/s, 멀어질 때 $v_S = +30.0$ m/s.

풀이 다가올 때 $f_L = \dfrac{344}{344 - 30.0}(500) = 548$ Hz, 멀어질 때 $\dfrac{344}{344 + 30.0}(500) = 460$ Hz. 사람이 구급차 쪽으로 $v_L = +15.0$ m/s로 달리면 $f_L = \dfrac{344 + 15.0}{344 - 30.0}(500) = 572$ Hz.

548 Hz → 460 Hz · 572 Hz

검토 다가올 때 +48 Hz, 멀어질 때 −40 Hz로 비대칭이다. 음원이 움직이는 효과와 관찰자가 움직이는 효과는 속력이 같아도 크기가 다르다(공기가 특별한 기준틀이기 때문).

충격파와 음속 폭음

음원이 음속보다 빠르면($v_S > v$) 음원이 자기가 낸 마루보다 앞서 간다. 마루들의 포락면이 원뿔을 이루어 압력이 급격히 뛰는 충격파(shock wave)가 생긴다. 시간 $t$ 동안 음원은 $v_S t$, 그 사이 처음 낸 마루는 반지름 $vt$로 퍼지므로 원뿔의 반각 $\alpha$는

$$\sin\alpha = \frac{vt}{v_S t} = \frac{v}{v_S} = \frac{1}{\text{Ma}}$$

$\text{Ma} = v_S/v$: 마하수(Mach number). 원뿔이 지면을 쓸고 지나갈 때 들리는 "쾅" 소리가 음속 폭음(sonic boom)이다 — 음속을 넘는 순간만이 아니라 비행하는 내내 원뿔을 끌고 다닌다.

마하 4.0의 경우(α = 14.5°). 지난 순간들에 낸 마루(원)의 공통 접선이 충격파 면이다.

마하수 Ma

MINI LABMa < 1이면 마루가 음원 앞쪽에 촘촘하게 쌓이고(도플러), Ma = 1이면 음원 앞에 한데 겹친다(‘음속 장벽’). Ma > 1이면 원뿔이 생기고 마하수가 클수록 원뿔이 뾰족해진다.

제트기가 고도 8000 m에서 마하 1.75로 수평 비행한다. 그 고도의 음속은 320 m/s이다(간단히 음속이 일정하다고 하자). 원뿔의 반각은? 제트기가 머리 위를 지난 뒤 몇 초 후에 폭음이 들리는가?

풀이 보기

전략 머리 위를 지난 뒤 원뿔 면이 나에게 닿을 때까지 제트기는 수평 거리 $x$를 더 간다. 원뿔 면과 비행선 사이 각이 $\alpha$이므로 $\tan\alpha = h/x$.

풀이 $\alpha = \arcsin(1/1.75) = 34.8^\circ$. $x = h/\tan\alpha = 8000/\tan34.8^\circ = 1.15\times10^4$ m. $v_S = 1.75(320) = 560$ m/s이므로 $t = x/v_S = 20.5$ s.

α = 34.8°, 약 20.5 s 후

검토 폭음이 들릴 때 제트기는 이미 11 km 넘게 지나가 있다. 폭음은 제트기가 "음속을 돌파할 때" 한 번 나는 것이 아니라 원뿔이 지나가는 모든 곳에서 들린다.

핵심 정리

음파는 종파다. 변위 $y = A\cos(kx-\omega t)$와 계기 압력 $p = BkA\sin(kx-\omega t)$는 위상이 90° 다르고, 압력 진폭은 $p_\text{max} = BkA$이다.
음속은 $v = \sqrt{B/\rho}$(유체), $\sqrt{Y/\rho}$(고체 막대), $\sqrt{\gamma RT/M}$(이상 기체). 공기는 20 °C에서 344 m/s, $\sqrt T$에 비례한다.
세기 $I = p_\text{max}^2/2\rho v$, 점음원에서 $I = P/4\pi r^2$. 세기 준위 $\beta = 10\log_{10}(I/I_0)$ dB, $I_0 = 10^{-12}$ W/m². 세기 2배 +3 dB, 거리 2배 −6 dB.
열린관 $f_n = nv/2L$(모든 n), 닫힌관 $f_n = nv/4L$(홀수 n). 닫힌 끝은 변위 마디, 열린 끝은 변위 배. 음색은 배음 구성으로 정해진다.
경로차 $n\lambda$이면 보강, $(n+\frac12)\lambda$이면 상쇄 간섭. 진동수가 가까운 두 음은 $f_\text{beat} = |f_1-f_2|$로 맥놀이한다.
도플러 효과 $f_L = \dfrac{v+v_L}{v+v_S}f_S$(+ 방향: 관찰자 → 음원). 음원이 음속을 넘으면 반각 $\sin\alpha = v/v_S$인 충격파 원뿔이 생긴다.

연습문제

특별한 말이 없으면 공기의 음속은 344 m/s(20 °C), 공기 밀도 1.20 kg/m³, 공기의 $\gamma = 1.40$, $M = 2.88\times10^{-2}$ kg/mol, $I_0 = 10^{-12}$ W/m²를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

사람이 들을 수 있는 가장 낮은 소리(20 Hz)와 가장 높은 소리(20 kHz)의 공기 속 파장은?

$\lambda = v/f$: $344/20 = 17.2$ m, $344/20000 = 0.0172$ m = 1.72 cm. 저음은 건물 크기, 고음은 손가락 크기다 — 저음이 벽 모퉁이를 잘 돌아 들리는 이유(회절).

기온이 35 °C인 한여름 공기 속 음속은?

$v = \sqrt{\gamma RT/M} = \sqrt{(1.40)(8.314)(308.15)/0.0288} = 353$ m/s.

500 Hz 음파에서 공기 분자의 변위 진폭이 $2.0\times10^{-8}$ m이다. 압력 진폭은? ($B = 1.42\times10^5$ Pa)

$p_\text{max} = BkA$, $k = 2\pi f/v$.

$k = 2\pi(500)/344 = 9.13$ rad/m, $p_\text{max} = (1.42\times10^5)(9.13)(2.0\times10^{-8}) = 2.59\times10^{-2}$ Pa.

세기가 $3.2\times10^{-5}$ W/m²인 소리의 세기 준위는?

$\beta = 10\log_{10}(3.2\times10^{-5}/10^{-12}) = 10\log_{10}(3.2\times10^7) = 75.1$ dB.

한 대가 70.0 dB로 들리는 기계 세 대를 같은 자리에서 함께 돌리면 몇 dB인가? (서로 결맞지 않은 소리)

세기가 3배 → $70.0 + 10\log_{10}3 = 70.0 + 4.77 = 74.8$ dB. dB끼리 더하면(210 dB) 안 된다.

일률 0.50 W로 모든 방향에 고르게 소리를 내는 스피커에서 10 m 떨어진 곳의 세기 준위는?

$I = P/4\pi r^2 = 0.50/(4\pi\cdot100) = 3.98\times10^{-4}$ W/m², $\beta = 10\log_{10}(3.98\times10^8) = 86.0$ dB.

한쪽이 막힌 길이 0.500 m의 관에서 가장 낮은 고유 진동수와 그다음 고유 진동수는?

$f_1 = v/4L = 344/2.00 = 172$ Hz. 닫힌관은 홀수 배음만 있으므로 다음은 $3f_1 = 516$ Hz.

어떤 관의 이웃한 두 고유 진동수가 450 Hz와 750 Hz이고, 그 사이에는 다른 고유 진동수가 없다. 이 관은 열린관인지 닫힌관인지 판단하고 길이를 구하라.

열린관이면 이웃 간격이 $f_1$, 닫힌관이면 $2f_1$이다. 450 Hz가 $f_1$의 정수배인지 확인하라.

열린관이라면 $f_1 = 300$ Hz인데 450/300 = 1.5로 정수가 아니다. 닫힌관이면 $2f_1 = 300$ Hz → $f_1 = 150$ Hz, 450 = 3f₁, 750 = 5f₁(홀수 배음)로 맞는다. $L = v/4f_1 = 344/600 = 0.573$ m.

440 Hz 기준음과 기타 줄을 함께 울리니 맥놀이가 3회/s였다. 줄을 조금 조이자 맥놀이가 5회/s가 되었다. 조이기 전 줄의 진동수는?

조이면 진동수가 올라간다. 437 Hz였다면 맥놀이가 줄었어야 하므로 처음 진동수는 443 Hz이다.

같은 위상의 두 스피커에서 듣는 사람까지의 경로차가 1.20 m이다. 이 자리에서 상쇄 간섭이 일어나는 가장 낮은 진동수는?

$\Delta r = \lambda/2$ → $\lambda = 2.40$ m, $f = 344/2.40 = 143$ Hz.

400 Hz 경적을 울리는 기차가 25.0 m/s로 플랫폼에 서 있는 사람 옆을 지나간다. 다가올 때와 멀어질 때 들리는 진동수는?

다가올 때 $v_S = -25.0$: $f = 344(400)/(319) = 431$ Hz. 멀어질 때 $f = 344(400)/369 = 373$ Hz.

자동차가 20.0 m/s로 큰 벽을 향해 달리며 500 Hz 경적을 울린다. 운전자에게 들리는 메아리의 진동수는?

두 단계: ① 벽은 서 있는 관찰자로서 진동수 $f'$를 받는다. ② 벽이 $f'$를 내는 서 있는 음원이 되고, 운전자는 그쪽으로 다가가는 관찰자다.

① $f' = \dfrac{344}{344-20.0}(500) = 530.9$ Hz. ② $f = \dfrac{344+20.0}{344}f' = \dfrac{364}{324}(500) = 562$ Hz. 박쥐와 초음파 혈류계가 이 원리로 속도를 잰다.

고도 5000 m에서 마하 2.00으로 수평 비행하는 전투기가 머리 위를 지났다. 음속을 330 m/s로 일정하다고 할 때, 몇 초 후에 음속 폭음이 들리는가?

$\alpha = \arcsin(1/2.00) = 30.0^\circ$. 원뿔이 닿을 때까지 전투기가 더 간 거리 $x = h/\tan\alpha = 5000/0.577 = 8660$ m, $t = 8660/660 = 13.1$ s.

추운 공연장에서 조율한 오르간의 열린 관이 공연 중 실내가 따뜻해지면 음높이가 어떻게 되는가? (관 길이 변화는 무시)

$f_1 = v/2L$이고 $v\propto\sqrt T$이므로 따뜻해지면 높아진다. 관 시뮬레이터에서 기온을 올려 확인하라. (줄을 쓰는 현악기는 반대로 줄이 늘어나 음이 낮아지기 쉽다.)

야외의 점음원에서 듣는 거리를 2배로 늘리면 세기 준위는?

세기가 1/4 → $10\log_{10}(1/4) = -6.0$ dB. 데시벨 드래그 문단에서 확인하라.

개념 확인 퀴즈

음파가 지나갈 때 공기 분자의 변위가 0인 지점에서 계기 압력은?

$p = -B\,\partial y/\partial x$는 변위 곡선의 기울기에 비례하고, 사인 곡선의 기울기는 변위가 0인 곳에서 가장 크다.

헬륨을 들이마시고 말하면 목소리가 높게 들린다. 주된 이유는?

헬륨 속 음속은 공기의 약 3배다. 관 공명 $f\propto v/L$인 공명(포먼트)이 올라가 음색이 바뀐다. 성대의 기본 진동수 자체는 거의 그대로다.

두 소리굽쇠 256 Hz와 260 Hz를 함께 울리면 들리는 것은?

평균 진동수의 음이 $|f_1 - f_2| = 4$ Hz의 맥놀이로 출렁인다.

바람이 불지 않는 날, 서 있는 음원에 대해 관찰자가 다가가는 경우와 같은 속력으로 음원이 서 있는 관찰자에게 다가가는 경우를 비교하면?

$v_L = u$: $f(1 + u/v)$. $v_S = -u$: $f/(1 - u/v)$ — 이 값이 더 크다. 예: u = 30 m/s, f = 500 Hz이면 544 Hz 대 548 Hz.

초음속 비행기의 충격파 원뿔에 대해 옳은 것은?

$\sin\alpha = 1/\text{Ma}$. 원뿔은 비행 내내 생기고, 원뿔이 지나가는 곳마다 폭음이 들린다.

매질	음속 (m/s)	비고
공기 (0 °C)	332	\(\gamma = 1.40\), \(M = 28.8\) g/mol
공기 (20 °C)	344	이 장의 기본값
헬륨 (20 °C)	1008	가볍고 \(\gamma\)가 커서 빠르다
물 (20 °C)	1480	\(B = 2.2\times10^9\) Pa
강철 막대	5060	\(Y = 2.0\times10^{11}\) Pa, \(\rho = 7800\) kg/m³