Chapter 09

강체의 회전

바퀴, 팽이, 하드 디스크, 지구 — 회전하는 물체에서는 점마다 속도가 다르다. 축 가까운 점은 느리고 테두리는 빠르다. 그래도 모든 점은 같은 각도만큼 돈다. 이 장은 회전을 각도의 언어로 다시 쓰고, 회전하는 물체의 에너지가 질량뿐 아니라 질량이 축에서 얼마나 멀리 퍼져 있는지에 달려 있음을 보인다. 아래 바퀴의 테두리를 잡고 돌려 보자.

바퀴를 잡고 돌린다

각변위(라디안)·각속도·각가속도를 정의하고 rpm과 rad/s를 서로 바꾼다.
등각가속도 회전의 네 식을 직선 운동과 대응시켜 쓰고, θ–t·ω–t 그래프를 해석한다.
강체 위 점의 $v = r\omega$, $a_\text{tan} = r\alpha$, $a_\text{rad} = \omega^2 r$을 구하고 벨트·톱니 문제를 푼다.
회전 운동 에너지 $K = \tfrac12 I\omega^2$를 쓰고, 에너지 보존으로 도르래와 구르는 물체의 속력을 구한다.
관성 모멘트를 질점의 합과 적분으로 계산하고, 평행축 정리 $I_P = I_\text{cm} + Md^2$를 유도해 쓴다.

각변위, 각속도, 각가속도

강체(rigid body)는 모양과 크기가 변하지 않는 물체다. 고정된 축을 도는 강체의 모든 점은 같은 시간에 같은 각도만큼 돈다. 그래서 회전은 각도 하나 $\theta$로 기술된다. 물리에서 각도는 라디안(radian)으로 잰다: 반지름 $r$인 원에서 호의 길이 $s$를 반지름으로 나눈 값이다.

$$\theta = \frac{s}{r}\ \ (\text{rad}), \qquad 1\ \text{rev} = 2\pi\ \text{rad} = 360^\circ, \qquad 1\ \text{rad} \approx 57.3^\circ$$

반지름 r

MINI LAB흰 점을 원을 따라 끌어 보라(여러 바퀴도 된다). 호의 길이가 반지름과 같아지는 각이 1 rad이다. 반지름을 바꿔도 같은 각이면 $s/r$은 같다 — 라디안은 단위가 없는 비율이다.

각위치가 시간에 따라 $\theta(t)$로 바뀔 때, 직선 운동의 속도·가속도에 대응하는 양을 정의한다.

각속도와 각가속도

각속도(angular velocity) $\omega_z = d\theta/dt$ (rad/s), 각가속도(angular acceleration) $\alpha_z = d\omega_z/dt$ (rad/s²). 축에서 보아 반시계 방향을 +로 잡는다. 평균값은 $\omega_\text{av} = \Delta\theta/\Delta t$, $\alpha_\text{av} = \Delta\omega/\Delta t$이다.

각속도는 회전축 방향의 벡터다(오른손 규칙). 고정축 회전에서는 부호(±)만으로 충분하다. 각가속도 벡터는 ω가 커지면 ω와 같은 방향, 작아지면 반대 방향이다.

모터가 7200로 돌면 각속도는 , 한 바퀴에 걸린다. 축에서 4.5 떨어진 점의 속력은 이다.

바퀴의 각위치가 $\theta(t) = (2.0\ \text{rad/s})t + (0.50\ \text{rad/s}^3)t^3$이다. $t = 2.0$ s에서 각속도와 각가속도, 그리고 0–2.0 s 동안의 평균 각속도는?

풀이 보기

전략 미분 두 번. 평균은 $\Delta\theta/\Delta t$ — 순간값의 평균이 아님에 주의.

풀이 $\omega = 2.0 + 1.5t^2 = 8.0$ rad/s, $\alpha = 3.0t = 6.0$ rad/s². $\theta(2.0) = 4.0 + 4.0 = 8.0$ rad → $\omega_\text{av} = 8.0/2.0 = 4.0$ rad/s.

ω = 8.0 rad/s, α = 6.0 rad/s², ω_av = 4.0 rad/s

검토 α가 일정하지 않으므로 평균 각속도는 (처음 + 나중)/2 = 5.0 rad/s가 아니다.

등각가속도 회전

각가속도가 일정하면 2장의 등가속도 운동 식이 기호만 바뀌어 그대로 성립한다: $x \to \theta$, $v \to \omega$, $a \to \alpha$.

직선 운동 (a 일정)

$v = v_0 + at$
$x = x_0 + v_0t + \tfrac12at^2$
$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$
$x - x_0 = \tfrac12(v_0 + v)t$

회전 운동 (α 일정)

$\omega = \omega_0 + \alpha t$
$\theta = \theta_0 + \omega_0t + \tfrac12\alpha t^2$
$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
$\theta - \theta_0 = \tfrac12(\omega_0 + \omega)t$

정지해 있던 바퀴가 일정한 각가속도로 돌기 시작했다. 처음 2초 동안 돈 각과 그다음 2초 동안 돈 각의 비는?

$\theta \propto t^2$이므로 $\theta(2) : \theta(4) = 1 : 4$, 그다음 2초는 $4 - 1 = 3$. 아래에서 ω₀ = 0으로 놓고 θ–t 그래프를 보라(갈릴레이의 홀수 법칙과 같다).

SIMULATOR

각운동 그래프와 브레이크 도전

처음 각속도 ω₀ 각가속도 α ω = 0이 되면 멈춤(브레이크)

θ—

ω—

멈추는 각 / 목표—

도전—

ω–t 그래프의 흰 점 두 개를 끌어 ω₀(왼쪽 점)와 기울기 α(오른쪽 점)를 바꿀 수 있다. θ–t 그래프는 ω–t 그래프 아래 넓이이고, ω–t의 기울기가 α다. 도전: 빨간 표시(목표 각)에서 정확히 멈추도록(±0.05 rev) ω₀와 α를 정하라 — $\theta_\text{stop} = -\omega_0^2/2\alpha$.

3600로 돌던 믹서 날을 끄자 4 만에 일정하게 감속해 멈췄다. 각가속도는 이고, 멈출 때까지 더 돈다.

3600 rpm으로 돌던 믹서 날이 전원을 끈 뒤 일정한 각가속도로 4.00 s 만에 멈췄다. 각가속도와 멈출 때까지 회전수는?

풀이 보기

풀이 $\omega_0 = 3600\times2\pi/60 = 377$ rad/s. $\alpha = (0 - 377)/4.00 = -94.2$ rad/s². $\Delta\theta = \tfrac12(377 + 0)(4.00) = 754$ rad $= 120$ rev.

α = −94.2 rad/s², 120 회전

검토 $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta$: $0 = 377^2 - 2(94.2)(754)$ ✓. 위 드래그 숫자 문단의 처음 값과 같다.

선속도·선가속도와의 관계

축에서 거리 $r$인 점은 원을 그린다. 각 $\theta$만큼 돌면 호 $s = r\theta$를 가므로, 시간으로 미분하면 접선 방향 속력과 가속도가 나온다. 점은 원운동을 하므로 3장의 구심 가속도도 있다.

$$v = r\omega, \qquad a_\text{tan} = \frac{dv}{dt} = r\alpha, \qquad a_\text{rad} = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$

$\omega, \alpha$는 반드시 rad 단위(rad/s, rad/s²)여야 한다. rpm이나 °/s를 넣으면 틀린다. 전체 가속도 크기는 $a = \sqrt{a_\text{tan}^2 + a_\text{rad}^2}$.

강체 위 한 점의 속도와 가속도 성분. 각속도가 빨라지는 중(α > 0)이면 전체 가속도는 중심에서 앞쪽으로 기운다.

회전목마의 안쪽 말과 바깥쪽 말에 대해 옳은 것은?

강체이므로 모든 점의 ω가 같다. 속력 $v = r\omega$는 반지름에 비례한다. 아래에서 점들을 바깥으로 끌어 화살표 길이를 비교하라.

SIMULATOR

바퀴 위 점들의 속도와 가속도

각속도 ω 각가속도 α 속도 v 가속도 성분 a_tan, a_rad

r (점 1)—

v = rω—

a_tan = rα—

a_rad = ω²r—

현재 ω—

바퀴 반지름 1.0 m. 세 점(흰 테두리)을 바퀴살을 따라 안팎으로 끌어 반지름을 바꾼다. 해볼 것: ① 점 1을 바깥으로 두 배 옮기면 v, a_rad 모두 두 배. ② ω를 두 배로 하면 v는 2배, a_rad는 4배. ③ α를 켜면 초록 화살표(a_tan)가 생기고, ω가 0을 지날 때 a_rad가 사라진다.

7200 rpm으로 도는 하드 디스크에서 축으로부터 4.50 cm 떨어진 점의 속력과 구심 가속도는?

풀이 보기

풀이 $\omega = 7200\times2\pi/60 = 754$ rad/s. $v = (0.0450)(754) = 33.9$ m/s, $a_\text{rad} = (754)^2(0.0450) = 2.56\times10^4$ m/s².

v = 33.9 m/s (약 122 km/h), a_rad = 2.56 × 10⁴ m/s² ≈ 2600g

검토 읽기 헤드는 이 속력의 표면 위 수 나노미터를 떠서 난다.

원반이 축에서 0.800 m 떨어진 원을 그리며 돈다. 어느 순간 ω = 10.0 rad/s이고 α = 50.0 rad/s²이다. 원반의 가속도 성분과 크기는?

풀이 보기

풀이 $a_\text{tan} = (0.800)(50.0) = 40.0$ m/s², $a_\text{rad} = (10.0)^2(0.800) = 80.0$ m/s², $a = \sqrt{40.0^2 + 80.0^2} = 89.4$ m/s².

a_tan = 40.0, a_rad = 80.0, a = 89.4 m/s²

검토 선수 팔이 원반을 안쪽으로 당기는 힘이 가속도의 대부분을 만든다. 손을 놓는 순간 원반은 $\vec v$ 방향(접선)으로 날아간다.

벨트나 체인으로 연결된 두 바퀴에서는 벨트가 미끄러지지 않는 한 두 테두리의 속력이 벨트 속력과 같다: $r_1\omega_1 = r_2\omega_2$. 작은 바퀴가 더 빨리 돈다.

구동 바퀴 r₁ 종동 바퀴 r₂ ω₁

MINI LAB벨트 위의 점(주황)은 두 바퀴 테두리와 같은 속력으로 움직인다. 자전거 기어를 바꾸는 것은 r₁/r₂를 바꾸는 일이다. 종동 바퀴가 2배 크면 각속도는 1/2.

회전 운동 에너지

회전하는 바퀴는 전체가 움직이지 않아도(질량 중심 정지) 운동 에너지를 가진다. 각 조각 $m_i$의 속력이 $r_i\omega$이므로 모두 더하면

$$K = \sum_i\tfrac12 m_i(r_i\omega)^2 = \tfrac12\Big(\sum_i m_i r_i^2\Big)\omega^2 = \tfrac12 I\omega^2$$

$I = \sum m_i r_i^2$를 관성 모멘트(moment of inertia)라 한다(단위 kg·m²). 직선 운동의 질량 역할을 한다: $K = \tfrac12mv^2 \leftrightarrow \tfrac12I\omega^2$.

관성 모멘트

회전축에 대해 $I = \sum m_i r_i^2$ ($r_i$: 축까지의 수직 거리). 같은 물체라도 축이 바뀌면 I가 바뀐다. 질량이 축에서 멀리 퍼져 있을수록 크다 — 같은 ω에서 더 큰 에너지가 필요하다.

질량 50, 반지름 3인 원판 팽이($I = \tfrac12MR^2$)가 1500로 돈다. 관성 모멘트는 , 회전 운동 에너지는 이다. 이 에너지면 팽이를 들어 올릴 수 있다.

질량 500 kg, 반지름 1.00 m인 균일한 원판 플라이휠이 3000 rpm으로 돈다. 저장된 에너지는? (원판 $I = \tfrac12MR^2$)

풀이 보기

풀이 $I = \tfrac12(500)(1.00)^2 = 250$ kg·m², $\omega = 314$ rad/s, $K = \tfrac12(250)(314)^2 = 1.23\times10^7$ J.

K ≈ 1.23 × 10⁷ J ≈ 3.43 kWh

검토 에너지는 ω²에 비례하므로 회전 속도를 2배로 하면 4배를 저장한다. 대신 테두리의 $a_\text{rad} = \omega^2 R$도 4배가 되어 재료의 강도가 한계를 정한다.

에너지 보존과 회전

도르래에 감긴 줄에 매달린 추가 떨어지면, 잃은 중력 퍼텐셜 에너지가 추의 병진 운동 에너지와 도르래의 회전 운동 에너지로 나뉜다. 줄이 미끄러지지 않으면 $v = R\omega$로 묶인다.

$$mgh = \tfrac12mv^2 + \tfrac12I\omega^2 = \tfrac12\Big(m + \frac{I}{R^2}\Big)v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2mgh}{m + I/R^2}}$$

추 m 도르래(원판) M

MINI LAB반지름 10 cm 원판 도르래에 감긴 줄에 추를 매달아 1.00 m 떨어뜨린다. 오른쪽 막대: 중력 퍼텐셜 U, 추의 K_병진, 도르래의 K_회전. 합은 언제나 같다. 도르래가 무거울수록 에너지를 많이 가져가 추가 느리게 떨어진다(M = 0이면 자유 낙하).

질량 4.00 kg, 반지름 0.100 m인 원판 도르래에 감긴 줄에 2.00 kg 추를 매달고 정지 상태에서 놓았다. 1.00 m 떨어졌을 때 추의 속력은?

풀이 보기

풀이 $I/R^2 = \tfrac12M = 2.00$ kg. $v = \sqrt{2(2.00)(9.80)(1.00)/(2.00 + 2.00)} = 3.13$ m/s.

v = 3.13 m/s (자유 낙하라면 4.43 m/s)

검토 에너지의 절반이 도르래 회전으로 갔다. 미니 실험의 처음 값과 같다.

관성 모멘트 계산

질점 몇 개라면 $\sum m_ir_i^2$를 그대로 더한다. 막대·원판처럼 질량이 연속으로 퍼져 있으면 작은 조각 $dm$으로 쪼개 적분한다.

$$I = \sum_i m_i r_i^2 \qquad\longrightarrow\qquad I = \int r^2\,dm$$

$dm$을 좌표로 쓴다: 선밀도 $\lambda$이면 $dm = \lambda\,dx$, 면밀도 $\sigma$이면 $dm = \sigma\,dA$, 부피밀도 $\rho$이면 $dm = \rho\,dV$.

SIMULATOR

관성 모멘트 실험실

선택한 구슬 질량 구슬 수

I (회전축)—

I_cm + Md²—

같은 E에서 ω—

목표 I—

길이 2.00 m의 가벼운 막대 위 구슬을 좌우로 끌고, 아래 ▲(회전축)도 끌어 옮길 수 있다. 구슬을 누르면 선택되어 질량을 바꿀 수 있다. '돌리기'는 같은 에너지 2.0 J를 주어 $\omega = \sqrt{2E/I}$로 돌린다. 도전: I를 목표값의 ±3% 안으로 맞춰라. 해볼 것: ① 구슬 하나를 축에서 2배 멀리 옮기면 그 기여는 4배. ② 축을 질량 중심(◆)에 두면 I가 최소다.

가벼운 막대 위 $x = 0$에 1.00 kg, $x = 0.500$ m에 2.00 kg, $x = 1.00$ m에 3.00 kg이 있다. 막대에 수직이고 (a) $x = 0$, (b) $x = 0.500$ m를 지나는 축에 대한 관성 모멘트는?

풀이 보기

풀이 (a) $I = 1.00(0)^2 + 2.00(0.500)^2 + 3.00(1.00)^2 = 3.50$ kg·m². (b) $I = 1.00(0.500)^2 + 2.00(0)^2 + 3.00(0.500)^2 = 1.00$ kg·m².

(a) 3.50 kg·m² (b) 1.00 kg·m²

검토 같은 물체도 축에 따라 3.5배 차이가 난다. 시뮬레이터에서 구슬 셋을 이렇게 놓고 확인해 보라(막대 중심을 x = 0으로 옮겨서).

연속체: 적분으로 구하기

균일한 원판. 질량은 면 전체에 고르게 퍼져 있다.
반지름 r, 두께 dr인 얇은 고리를 하나 잘라 낸다. 고리의 모든 부분이 축에서 거리 r에 있으므로 $dI = r^2\,dm$이다.
중심(r = 0)에서 가장자리(r = R)까지 고리를 쌓듯이 더한다: $I = \int_0^R r^2\sigma\,2\pi r\,dr$. 바깥 고리일수록 질량도 크고 r²도 크다.
$\sigma = M/\pi R^2$를 넣으면 $I = \tfrac12MR^2$. 같은 질량의 고리($MR^2$)의 절반 — 질량이 축 가까이에도 있기 때문이다.

얇은 고리 쌓기로 원판의 관성 모멘트 구하기. 구는 얇은 원판을 쌓아 같은 방법으로 $\tfrac25MR^2$을 얻는다.

심화: 막대의 관성 모멘트

길이 $L$, 질량 $M$인 균일한 막대($\lambda = M/L$)의 중심을 지나는 수직축: $I = \int_{-L/2}^{L/2}x^2\lambda\,dx = \lambda\frac{L^3}{12} = \frac{1}{12}ML^2$. 한쪽 끝을 지나는 축이면 적분 구간을 $0$–$L$로 바꿔 $\frac13ML^2$. 같은 막대인데 4배다.

자주 쓰는 관성 모멘트(점선·점: 회전축, 고리·원판·구는 중심축). 모두 $I = cMR^2$ 꼴이고, 질량이 바깥에 몰릴수록 $c$가 크다.

경사면 경주

미끄러지지 않고 구르는 물체는 $v_\text{cm} = R\omega$이다(10장). 높이 $h$를 내려오면 $Mgh = \tfrac12Mv^2 + \tfrac12(cMR^2)(v/R)^2$이므로 $v = \sqrt{2gh/(1+c)}$ — 질량과 반지름이 지워지고 모양 계수 $c$만 남는다.

굴렁쇠(고리), 원판, 속 찬 구를 같은 경사면 꼭대기에서 동시에 놓아 굴린다. 누가 가장 먼저 도착할까? (질량·크기는 제각각)

$c$가 작을수록 에너지를 회전에 덜 빼앗겨 빠르다: 구(0.4) < 원판(0.5) < 굴렁쇠(1). 질량과 반지름은 상관없다.

SIMULATOR

경사면 경주: 굴렁쇠·원판·구

경사각 얇은 구 껍질도 추가 마찰 없이 미끄러지는 상자도 추가 원판만 질량 10배·반지름 2배

굴렁쇠—

원판—

구—

K_회전/K (구)—

경사면 길이 2.00 m. 꼭대기의 흰 점을 위아래로 끌어 경사각을 바꿀 수도 있다. 각 물체는 $a = g\sin\theta/(1+c)$로 가속한다. 해볼 것: ① 원판의 질량·반지름을 바꿔도 도착 시간이 같다. ② 마찰 없는 상자(c = 0)가 모두를 이긴다 — 회전에 에너지를 쓰지 않으니까. ③ 오른쪽 위 막대는 도착 순간 운동 에너지 중 회전 몫 $c/(1+c)$이다.

평행축 정리

같은 막대도 중심축보다 끝축에서 I가 4배였다. 일반적으로, 질량 중심을 지나는 축에 대한 $I_\text{cm}$을 알면 그와 평행하고 거리 $d$만큼 떨어진 모든 축의 I를 바로 구할 수 있다.

평행축 정리

질량 $M$인 물체의, 질량 중심을 지나는 축과 평행하며 거리 $d$인 축 P에 대한 관성 모멘트는 $I_P = I_\text{cm} + Md^2$이다(평행축 정리(parallel-axis theorem)). 따라서 평행한 축들 가운데 $I$는 질량 중심축에서 가장 작다.

임의의 물체. 질량 중심(cm)을 지나는 축에 대한 관성 모멘트를 $I_\text{cm} = \int r^2\,dm$이라 하자.
cm에서 거리 $d$만큼 떨어진 평행한 축 P를 잡는다.
조각 dm의 P축까지 위치는 $\vec r\,{}' = \vec r + \vec d$. 제곱을 전개하면 세 항이 나온다.
가운데 항의 $\int\vec r\,dm$은 질량 중심에서 잰 질량 가중 위치의 합이므로 정의상 0. 남는 것이 $I_\text{cm} + Md^2$이다.

평행축 정리의 증명. 핵심은 질량 중심의 정의(8장) $\int\vec r\,dm = 0$이다.

물체

MINI LAB회전축(흰 점)을 좌우로 끌어 보라. 오른쪽 그래프의 점은 포물선 $I(d) = I_\text{cm} + Md^2$ 위를 움직이며, 맨 아래가 질량 중심축이다. 막대 끝(d = 0.5 m)에서 $\tfrac1{12} + \tfrac14 = \tfrac13$이 되는 것을 확인하라. (M = 1 kg)

(a) 질량 0.800 kg, 길이 1.20 m 막대의 끝을 지나는 수직축에 대한 I를 평행축 정리로 구하라. (b) 질량 M, 반지름 R인 원판의 가장자리 한 점을 지나고 원판에 수직인 축에 대한 I는?

풀이 보기

풀이 (a) $I_\text{cm} = \tfrac1{12}(0.800)(1.20)^2 = 0.0960$ kg·m², $d = 0.600$ m: $I = 0.0960 + 0.800(0.600)^2 = 0.384$ kg·m² $= \tfrac13ML^2$ ✓. (b) $I = \tfrac12MR^2 + MR^2 = \tfrac32MR^2$.

(a) 0.384 kg·m² (b) 3MR²/2

검토 앞 예제의 세 질점도 확인된다: $x_\text{cm} = 2/3$ m, $I_\text{cm} = 3.50 - 6.00(2/3)^2 = 0.833$, $x = 0.5$ 축: $0.833 + 6.00(1/6)^2 = 1.00$ ✓.

핵심 정리

각도는 라디안 $\theta = s/r$로 잰다. $\omega = d\theta/dt$, $\alpha = d\omega/dt$. 1 rev = 2π rad, rpm × 2π/60 = rad/s.
α가 일정하면 $\omega = \omega_0 + \alpha t$, $\theta = \theta_0 + \omega_0t + \tfrac12\alpha t^2$, $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta$ — 직선 운동과 같은 꼴.
강체의 모든 점은 같은 ω, α를 가진다. 점의 $v = r\omega$, $a_\text{tan} = r\alpha$, $a_\text{rad} = \omega^2r$.
회전 운동 에너지 $K = \tfrac12I\omega^2$, 관성 모멘트 $I = \sum m_ir_i^2 = \int r^2dm$. I는 축에 따라 다르다.
고리 $MR^2$, 원판 $\tfrac12MR^2$, 구 $\tfrac25MR^2$, 막대(중심) $\tfrac1{12}ML^2$, 막대(끝) $\tfrac13ML^2$.
평행축 정리 $I_P = I_\text{cm} + Md^2$: 평행한 축 중 질량 중심축의 I가 최소.
구르는 물체 $v = \sqrt{2gh/(1+c)}$ ($I = cMR^2$): 모양만이 경주의 승패를 정한다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s²를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다. 각도 답은 rad 단위로 쓴다.

LP 레코드판은 $33\tfrac13$ rpm으로 돈다. 각속도는 몇 rad/s인가?

$\omega = (100/3)(2\pi/60) = 3.49$ rad/s.

정지한 바퀴가 일정한 각가속도로 4.00 s 만에 12.0 rad/s가 되었다. 각가속도와 그동안 돈 각은?

$\alpha = 12.0/4.00 = 3.00$ rad/s², $\theta = \tfrac12(0 + 12.0)(4.00) = 24.0$ rad.

1200 rpm으로 돌던 선풍기 날개가 일정하게 감속해 50.0 바퀴를 더 돌고 멈췄다. 각가속도와 멈추는 데 걸린 시간은?

$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta$, $\Delta\theta = 50.0\times2\pi$ rad.

$\omega_0 = 125.7$ rad/s, $\Delta\theta = 314.2$ rad. $\alpha = -\omega_0^2/2\Delta\theta = -25.1$ rad/s². $t = 2\Delta\theta/\omega_0 = 5.00$ s.

각위치가 $\theta(t) = 3.00t^2 - 1.00t^3$ (rad, s)이다. $t = 1.00$ s에서 각속도와, $t > 0$에서 바퀴가 순간 정지하는 시각은?

$\omega = 6.00t - 3.00t^2$ → $\omega(1) = 3.00$ rad/s. $\omega = 0$: $t = 2.00$ s.

반지름 0.300 m인 바퀴가 50.0 rad/s로 일정하게 돈다. 테두리 점의 속력과 구심 가속도는?

$v = (0.300)(50.0) = 15.0$ m/s, $a_\text{rad} = (50.0)^2(0.300) = 750$ m/s².

반지름 0.500 m인 바퀴가 어느 순간 ω = 4.00 rad/s, α = 6.00 rad/s²이다. 테두리 점의 전체 가속도 크기는?

$a_\text{tan} = 3.00$, $a_\text{rad} = 16.0\times0.500 = 8.00$ m/s² → $a = \sqrt{9.00 + 64.0} = 8.54$ m/s².

반지름 4.00 cm 모터 풀리가 1800 rpm으로 돌며 벨트로 반지름 12.0 cm 풀리를 돌린다. 큰 풀리의 회전 속도와 벨트 속력은?

$r_1\omega_1 = r_2\omega_2$ → $n_2 = 1800\times4.00/12.0 = 600$ rpm. $v = (0.0400)(188.5) = 7.54$ m/s.

한 변이 0.400 m인 정사각형의 네 꼭짓점에 0.500 kg 질점이 하나씩 있다(가벼운 틀로 연결). 정사각형 중심을 지나고 면에 수직인 축에 대한 I는?

각 질점까지 거리 $r = 0.400/\sqrt2 = 0.283$ m. $I = 4(0.500)(0.0800) = 0.160$ kg·m².

질량 2.00 kg, 길이 1.50 m인 균일한 막대가 중심을 지나는 수직축 주위로 6.00 rad/s로 돈다. 회전 운동 에너지는?

$I = \tfrac1{12}(2.00)(1.50)^2 = 0.375$ kg·m², $K = \tfrac12(0.375)(6.00)^2 = 6.75$ J.

질량 20.0 kg, 반지름 0.250 m인 원판 플라이휠에 $1.00\times10^4$ J를 저장하려면 몇 rpm으로 돌려야 하는가?

$I = 0.625$ kg·m², $\omega = \sqrt{2K/I} = 178.9$ rad/s → $n = 178.9\times60/2\pi = 1.71\times10^3$ rpm.

길이 0.800 m, 질량 1.20 kg인 막대의 선밀도가 $\lambda(x) = \lambda_0x/L$이다($x$: 한쪽 끝부터). $x = 0$ 끝을 지나는 수직축에 대한 I는?

$M = \lambda_0L/2$, $I = \int_0^Lx^2\lambda_0\frac{x}{L}dx = \lambda_0L^3/4$.

$I = \lambda_0L^3/4 = \tfrac12ML^2 = \tfrac12(1.20)(0.800)^2 = 0.384$ kg·m². (균일하면 $\tfrac13ML^2$ — 질량이 먼 쪽에 몰려 더 크다.)

질량 2.00 kg, 반지름 0.300 m인 원판의 가장자리를 지나고 원판 면에 수직인 축에 대한 I는?

$I = \tfrac12MR^2 + MR^2 = \tfrac32(2.00)(0.0900) = 0.270$ kg·m².

질량 3.00 kg, 반지름 0.200 m인 원판 도르래에 감긴 줄에 1.50 kg 추를 매달아 정지 상태에서 놓았다. 2.00 m 떨어졌을 때 추의 속력과 도르래의 각속도는?

$v = \sqrt{2mgh/(m + M/2)} = \sqrt{2(1.50)(9.80)(2.00)/3.00} = 4.43$ m/s, $\omega = v/R = 22.1$ rad/s.

같은 질량·반지름의 속 빈 원통(얇은 껍질)과 속 찬 원통을 같은 경사면에서 굴린다. 바닥에 먼저 닿는 것은?

속 찬 원통 $c = 1/2$, 속 빈 원통 $c = 1$. $c$가 작은 쪽이 $v = \sqrt{2gh/(1+c)}$가 커 먼저 닿는다.

일정하게 도는 회전목마에서 축에서 1 m인 아이 A와 3 m인 아이 B에 대해 옳은 것은?

ω가 같으므로 $v = r\omega$와 $a_\text{rad} = \omega^2r$ 모두 r에 비례해 3배.

개념 확인 퀴즈

바퀴의 각속도가 음수이고 각가속도가 양수이다. 바퀴는?

ω와 α의 부호가 반대면 느려진다. 반시계가 +이므로 ω < 0은 시계 방향.

같은 질량의 고리와 원판(같은 반지름)을 같은 ω로 돌릴 때 회전 운동 에너지의 비 K_고리 : K_원판은?

$MR^2 : \tfrac12MR^2 = 2 : 1$.

물체의 관성 모멘트가 가장 작은 회전축은 (평행한 축들 가운데)?

평행축 정리 $I = I_\text{cm} + Md^2$에서 $d = 0$일 때 최소.

등각가속도로 빨라지는 바퀴의 테두리 점에서 시간이 지나도 변하지 않는 양은?

$a_\text{tan} = r\alpha$는 일정하다. ω가 커지므로 $v$와 $a_\text{rad} = \omega^2r$는 커지고, 전체 가속도는 점점 중심 쪽으로 기운다.

다이빙 선수가 몸을 웅크리면 빨리 돈다. 이것과 관련된 양의 변화는?

질량을 축 가까이 모으면 I가 작아진다. 왜 그때 ω가 커지는지는 10장의 각운동량 보존이 설명한다.