Chapter 10

회전 동역학과 각운동량

9장에서는 회전을 기술했다. 이 장은 회전을 일으키는 원인을 다룬다. 녹슨 볼트는 아무리 세게 밀어도 렌치 손잡이 끝을, 렌치에 수직으로 밀어야 풀린다. 힘의 크기만이 아니라 어디를, 어느 방향으로 미느냐가 회전을 정한다 — 이것이 토크다. 아래 렌치의 손 위치(흰 원)와 힘 화살표 끝을 끌어 볼트를 풀어 보자.

손 위치와 힘 화살표 끝을 끌어 보세요

토크를 $\tau = rF\sin\phi = Fl$과 벡터곱 $\vec\tau = \vec r\times\vec F$로 계산하고, 지레팔과 작용선을 그림으로 찾는다.
회전의 뉴턴 제2법칙 $\sum\tau_z = I\alpha_z$를 유도하고, 추가 매달린 도르래처럼 병진과 회전이 연결된 문제를 푼다.
미끄러짐 없는 구름 조건 $v_\text{cm} = R\omega$를 쓰고, 경사면을 구르는 물체의 가속도·마찰력·미끄러짐 조건을 구한다.
회전에서 일 $W = \int\tau\,d\theta$과 일률 $P = \tau\omega$을 계산한다.
각운동량 $\vec L = \vec r\times\vec p$, $L = I\omega$와 $d\vec L/dt = \sum\vec\tau$를 이해하고 각운동량 보존으로 스케이터·회전 의자·회전 충돌을 푼다.
자이로스코프의 세차 각속도 $\Omega = \tau/L$를 유도하고, 세차와 장동을 설명한다.

토크

문을 열 때 손잡이는 경첩 반대편 끝에 있다. 경첩 바로 옆을 밀면 같은 힘으로도 문이 잘 움직이지 않고, 문 면을 따라 경첩 쪽으로 밀면 전혀 돌지 않는다. 회전 효과는 힘의 크기 $F$, 회전축에서 힘이 작용하는 점까지의 거리 $r$, 그리고 두 방향 사이의 각 $\phi$에 함께 달려 있다.

토크

회전축 O에서 힘의 작용점까지의 위치 벡터를 $\vec r$, 힘을 $\vec F$, 둘 사이의 각을 $\phi$라 하면 O에 대한 토크(torque)의 크기는 $\tau = rF\sin\phi$이다. 축에서 힘의 작용선(line of action)까지의 수직 거리 $l = r\sin\phi$를 지레팔(lever arm, moment arm)이라 한다. 축을 따라 보아 반시계 방향으로 돌리는 토크를 +로 잡는다. 단위는 N·m이다(에너지 단위 J와 차원은 같지만 J로 쓰지 않는다).

$$\tau = rF\sin\phi = F\,l = r\,F_\perp \qquad (l = r\sin\phi,\ F_\perp = F\sin\phi)$$

세 식은 같은 값이다. 지레팔로 보느냐, 힘의 수직 성분으로 보느냐의 차이일 뿐이다. 작용선이 축을 지나면($\phi = 0^\circ$ 또는 $180^\circ$) 토크는 0이다.

위치 벡터 r과 힘 F, 그리고 그 사이의 각 φ.
힘의 작용선을 늘이고 축에서 내린 수선의 길이(지레팔 l)를 잰다.
F를 r 방향과 그에 수직인 방향으로 나누면, r 방향 성분은 축을 밀거나 당길 뿐 돌리지 못한다.

같은 토크를 세 방식으로 본다. 문제에 따라 가장 편한 방식을 고르면 된다.

볼트에서 0.25 떨어진 곳을 120의 힘으로, 렌치와 70 각도로 밀면 토크는 (지레팔 )이다. 볼트를 푸는 데 40 N·m가 필요하다면

토크는 사실 벡터다. 위치 벡터와 힘의 벡터곱(vector product)으로 정의하면 크기와 방향(회전축의 방향)을 한꺼번에 담는다.

$$\vec\tau = \vec r\times\vec F, \qquad \tau_z = xF_y - yF_x$$

방향은 오른손 규칙: 오른손 네 손가락을 $\vec r$에서 $\vec F$ 쪽으로 감으면 엄지가 $\vec\tau$ 방향이다. 평면(xy) 문제에서는 $\vec\tau$가 늘 z축을 따르므로 부호 있는 $\tau_z$ 하나로 충분하다.

토크 벡터는 힘과 위치 벡터가 이루는 평면에 수직이며, 그 물체가 돌게 될 회전축 방향을 가리킨다.

문 손잡이(경첩에서 0.85 m)를 20 N으로 수직하게 밀면 문이 잘 열린다. 같은 20 N으로 경첩에서 0.20 m 떨어진 곳을 수직하게 밀면, 0.5초 밀었을 때 문의 각속도는?

토크 $\tau = rF$가 $0.20/0.85 \approx 1/4$로 줄어든다. 문의 관성 모멘트는 그대로이므로 각가속도도 1/4이다. 아래 실험실에서 손 위치를 옮겨 가며 확인하라.

SIMULATOR

토크 실험실: 문을 위에서 내려다보기

손(흰 원)을 문 위에서 옮기고, 화살표 끝을 끌어 힘을 정한다

힘의 크기 F 문과 힘 사이 각 φ

r—

지레팔 l = r sin φ—

토크 τ—

각가속도 α = τ/I—

문의 ω—

문: 폭 0.90 m, 질량 18 kg, 경첩 축에 대한 관성 모멘트 $I = \tfrac13ML^2 = 4.86$ kg·m². 해볼 것: ① 힘의 방향을 문 면과 나란하게(φ = 0° 또는 180°) 하면 아무리 세게 밀어도 τ = 0이다. ② 같은 토크를 만드는 (r, F, φ) 조합이 무수히 많다 — 목표 토크를 가장 작은 힘으로 만들어 보라. ③ φ가 90°를 넘으면 sin φ는 다시 줄어든다. φ와 180° − φ는 같은 토크를 준다.

여러 힘이 작용하면 각각의 토크를 부호와 함께 더한 알짜 토크 $\sum\tau_z$가 회전을 정한다. 시소는 그 가장 친숙한 예다. 받침점에 대해 왼쪽 무게는 반시계(+), 오른쪽 무게는 시계(−) 방향 토크를 만든다. 둘이 상쇄되면 시소는 기울지 않는다 — 이 조건은 11장의 정적 평형에서 본격적으로 다룬다.

SIMULATOR

도전: 시소 균형 맞추기

사람·짐과 받침(▲)을 끌어 옮긴다

지레팔과 토크 표시

반시계(+) 토크 합—

시계(−) 토크 합—

알짜 토크—

판자: 길이 4.0 m, 질량 20 kg(무게 중심은 판자 가운데). 위치는 5 cm 간격으로 놓인다. 해볼 것: ① 받침을 가운데 둔 채 두 사람의 $m_1 x_1 = m_2 x_2$를 맞춰라. ② 받침을 한쪽으로 옮기면 판자 자신의 무게도 토크를 만든다 — 가벼운 사람 쪽으로 받침을 옮겨서 맞춰 보라. ③ 알짜 토크가 0이 아니면 시소는 각가속도 $\alpha = \sum\tau/I$로 기운다.

(a) 볼트 중심에서 0.30 m 떨어진 렌치 손잡이를 렌치와 60.0° 각도로 150 N의 힘으로 민다. 토크의 크기와 지레팔은? (b) 원점에 대한 위치 $\vec r = (0.30\hat\imath + 0.40\hat\jmath)$ m인 점에 $\vec F = (20\hat\imath - 10\hat\jmath)$ N이 작용한다. 원점에 대한 토크 $\tau_z$는?

풀이 보기

전략 (a)는 $\tau = rF\sin\phi$, (b)는 성분식 $\tau_z = xF_y - yF_x$.

풀이 (a) $\tau = (0.30)(150)\sin60.0^\circ = 39.0$ N·m, $l = 0.30\sin60.0^\circ = 0.260$ m. (b) $\tau_z = (0.30)(-10) - (0.40)(20) = -3.0 - 8.0 = -11$ N·m.

(a) 39.0 N·m, l = 0.260 m (b) τ_z = −11 N·m (시계 방향, −z)

검토 (a) 수직으로 밀면 45.0 N·m까지 낼 수 있다. (b) 음의 부호는 위에서 보아 시계 방향으로 돌린다는 뜻이다.

회전의 뉴턴 제2법칙

고정축을 도는 강체를 작은 질점 $m_i$들로 나누자. 질점 $i$에 작용하는 힘의 접선 성분 $F_{i,\text{tan}}$은 뉴턴 제2법칙으로 $F_{i,\text{tan}} = m_i a_{i,\text{tan}} = m_i r_i\alpha_z$이다. 양변에 $r_i$를 곱하면 왼쪽은 그 질점에 작용한 토크다. 모든 질점에 대해 더하면, 내부 힘의 토크는 작용–반작용으로 짝지어 상쇄되고(두 힘이 같은 작용선 위에 있으므로) 외부 토크만 남는다.

$$\sum\tau_z = \Big(\sum_i m_i r_i^2\Big)\alpha_z = I\alpha_z$$

$\sum F = ma$의 회전판이다. 힘 ↔ 토크, 질량 ↔ 관성 모멘트(9장), 가속도 ↔ 각가속도. 축은 고정축이거나 질량 중심을 지나는 축이어야 한다.

흔한 실수: 줄의 장력은 mg가 아니다

도르래에 감긴 줄에 추가 매달려 떨어질 때, 추가 가속하므로 장력 $T$는 $mg$보다 작다. 도르래와 추에 각각 자유 물체도를 그리고 $\sum F = ma$(추), $\sum\tau = I\alpha$(도르래), 그리고 연결 조건 $a = R\alpha$를 연립해야 한다.

추 m이 질량 M, 반지름 R인 도르래에 감긴 줄에 매달려 있다.
추: 아래로 mg, 위로 T. 아래를 +로 잡아 mg − T = ma.
도르래: 장력 T가 지레팔 R로 토크를 만든다(축의 힘은 축을 지나므로 토크 0). TR = Iα.
줄이 미끄러지지 않으면 a = Rα. 세 식을 풀면 a = g/(1 + I/mR²), T = mg − ma.

병진과 회전이 연결된 문제의 표준 풀이 순서. 물체마다 자유 물체도를 따로 그린다.

도르래 바퀴살에 끼운 구슬 네 개를 축 가까이에서 테두리 쪽으로 옮긴다(도르래 전체 질량은 그대로). 추가 1.5 m 떨어지는 시간은?

질량이 같아도 축에서 멀리 있으면 관성 모멘트 $I = \sum mr^2$이 커진다. 같은 장력 토크로 얻는 각가속도가 작아지므로 추도 천천히 떨어진다.

SIMULATOR

추가 매달린 도르래: 질량 분포를 바꿔 낙하 시간을 맞혀라

구슬(흰 원)을 끌어 축에서의 거리를 바꾼다

추의 질량 m 구슬 하나의 질량

바퀴(2.0 kg, R = 0.20 m)

관성 모멘트 I—

가속도 a—

장력 T—

1.5 m 낙하 시간—

오른쪽 그래프는 추의 속력–시간(실선)과 자유 낙하(점선)이다. 해볼 것: ① 구슬 질량을 0으로 하고 원판·고리를 비교하라 — 고리의 a가 작다. ② 추를 아주 무겁게 하면 a → g, T → ? ③ 목표 시간을 정확히 맞혀라(±0.03 s). $t = \sqrt{2h/a}$를 거꾸로 풀어 필요한 $I$를 계산할 수도 있다.

질량 12인 원판 도르래($I = \tfrac12MR^2$)에 질량 5인 추를 매달면 추의 가속도는 , 장력은 이다(무게 mg = ). 도르래 반지름은 답에 나오지 않는다: $a = g/(1 + M/2m)$.

질량 12.0 kg, 반지름 0.200 m인 속이 찬 원통 도르래(마찰 없는 수평축)에 줄을 감고 끝에 5.00 kg 두레박을 매달아 놓았다. 두레박의 가속도, 줄의 장력, 도르래의 각가속도, 그리고 정지 상태에서 2.00 m 떨어지는 데 걸리는 시간은?

풀이 보기

전략 위 단계별 그림의 세 식: $mg - T = ma$, $TR = I\alpha$, $a = R\alpha$. $I = \tfrac12MR^2$이면 $T = \tfrac12Ma$.

풀이 $mg - \tfrac12Ma = ma$ → $a = \dfrac{g}{1 + M/2m} = \dfrac{9.80}{1 + 1.20} = 4.45$ m/s². $T = \tfrac12(12.0)(4.455) = 26.7$ N. $\alpha = a/R = 22.3$ rad/s². $t = \sqrt{2h/a} = \sqrt{4.00/4.455} = 0.948$ s.

a = 4.45 m/s², T = 26.7 N, α = 22.3 rad/s², t = 0.948 s

검토 $T < mg = 49.0$ N이고 $a < g$이다. $M \to 0$이면 자유 낙하($a = g$, $T = 0$)가 된다. 위 시뮬레이터 대신 드래그 숫자 문단에 같은 값을 넣어 확인할 수 있다.

회전의 일과 일률

반지름 $R$인 바퀴 테두리에 접선 방향 힘 $F$가 작용해 바퀴가 $d\theta$만큼 돌면, 작용점은 호 $ds = R\,d\theta$를 움직인다. 힘이 한 일은 $dW = F\,ds = FR\,d\theta = \tau_z\,d\theta$이다.

토크가 회전각을 따라 하는 일. 병진 운동의 $F\,dx$가 회전에서는 $\tau\,d\theta$가 된다.

$$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_z\,d\theta = \tfrac12I\omega_2^2 - \tfrac12I\omega_1^2, \qquad P = \frac{dW}{dt} = \tau_z\,\omega_z$$

둘째 등식은 회전의 일–에너지 정리다: $\tau = I\alpha = I\,\omega\,d\omega/d\theta$를 적분하면 얻는다. $\omega$는 반드시 rad/s로 쓴다.

짐 m 드럼 반지름 r 모터 ω

MINI LAB모터가 드럼을 일정한 각속도로 돌려 짐을 들어 올린다. 필요한 토크는 $\tau = mgr$, 짐의 속력은 $v = r\omega$, 일률은 $P = \tau\omega = mgv$. 드럼을 키우면 토크는 커지지만, 같은 속력으로 들려면 ω를 줄여야 하므로 일률은 그대로다 — 기어가 하는 일이 바로 이 교환이다.

자동차 엔진이 3000에서 350의 토크를 내면 출력은 ()이다. 1분 동안 하는 일은 .

엔진이 3000 rpm에서 350 N·m의 토크를 낸다. 출력(kW와 마력)은? (1 hp = 746 W)

풀이 보기

전략 $P = \tau\omega$. rpm을 rad/s로 바꾼다.

풀이 $\omega = 3000\times2\pi/60 = 314.2$ rad/s, $P = (350)(314.2) = 1.10\times10^5$ W $= 110$ kW $= 147$ hp.

P = 110 kW ≈ 147 hp

검토 중형 승용차 엔진의 최대 출력 수준이다. 같은 출력이라도 변속기가 바퀴의 ω를 낮추면 바퀴의 토크는 그만큼 커진다.

구름 운동

굴러가는 바퀴는 병진과 회전을 동시에 한다. 바퀴가 땅 위에서 미끄러지지 않으면, 한 바퀴 돌 때 중심은 둘레 $2\pi R$만큼 나아간다. 따라서

미끄러짐 없는 구름

반지름 $R$인 물체가 미끄러짐 없이 구를(rolling without slipping) 조건은 $v_\text{cm} = R\omega$(그리고 $a_\text{cm} = R\alpha$)이다. 이때 바닥과 닿은 점의 순간 속도는 0이다.

질량 중심과 함께 모든 점이 속도 v로 나아간다.
질량 중심에 대한 회전: 테두리 점의 속력은 Rω이고, 미끄러지지 않으면 Rω = v이다.
합치면 꼭대기는 2v, 중심은 v, 바닥 접촉점은 0. 순간적으로 접촉점을 축으로 도는 것과 같다.

구름 = 병진 + 회전. 자전거 바퀴살 윗부분이 사진에서 흐리게 찍히는 이유다.

운동 에너지도 두 부분으로 나뉜다. 질량 중심에 대한 관성 모멘트를 $I_\text{cm} = cMR^2$으로 쓰면(구 $c = \tfrac25$, 원통 $\tfrac12$, 구 껍질 $\tfrac23$, 고리 1),

$$K = \tfrac12Mv_\text{cm}^2 + \tfrac12I_\text{cm}\omega^2 = \tfrac12(1 + c)Mv_\text{cm}^2$$

높이 $h$를 굴러 내려오면 $Mgh = \tfrac12(1+c)Mv^2$ → $v = \sqrt{2gh/(1+c)}$. 미끄러짐 없는 구름에서 정지 마찰력은 일을 하지 않는다(접촉점이 움직이지 않으므로).

높이 1.5인 비탈 꼭대기에서 정지 상태로 굴러 내려오면 바닥에서의 속력은 — 속이 찬 구 , 원통 , 구 껍질 , 고리 , 마찰 없이 미끄러지는 상자 . 크기와 질량은 상관없다.

경사면의 동역학: 마찰이 바퀴를 돌린다

경사각 $\theta$인 비탈을 구르는 물체에 작용하는 힘은 중력, 수직항력, 그리고 접촉점의 정지 마찰력 $f$(비탈 위쪽)다. 병진: $Mg\sin\theta - f = Ma$. 질량 중심에 대한 회전: $fR = I_\text{cm}\alpha = cMR^2(a/R)$. 연립하면

$$a = \frac{g\sin\theta}{1 + c}, \qquad f = \frac{c}{1+c}Mg\sin\theta \le \mu_sMg\cos\theta \;\Rightarrow\; \mu_s \ge \frac{c\tan\theta}{1+c}$$

필요한 마찰이 $\mu_sN$을 넘으면 물체는 미끄러지며 구른다. 이때 마찰은 운동 마찰 $\mu_kN$이고 $v_\text{cm} > R\omega$가 된다. 마찰이 전혀 없으면 물체는 돌지 않고 상자처럼 미끄러진다.

마찰이 전혀 없는 얼음 비탈에서 고리와 속이 찬 구를 같은 높이에서 놓는다. 어느 쪽이 먼저 바닥에 닿을까?

마찰이 없으면 바퀴를 돌리는 토크가 없다(중력과 수직항력은 질량 중심을 지나거나 향한다). 둘 다 돌지 않고 $a = g\sin\theta$로 미끄러진다. 구름 경주에서 구가 이기는 것은 마찰 덕분이다.

SIMULATOR

경사면 구름 경주: 마찰과 미끄러짐

왼쪽 꼭대기 흰 원을 끌어 경사각을 바꾼다

A (왼쪽) B (오른쪽) 정지 마찰 계수 μ_s 경사각 θ

A: 시간 · 상태—

B: 시간 · 상태—

A 바닥 K_회전/K—

B 바닥 K_회전/K—

비탈 길이 1.8 m, $\mu_k = 0.8\mu_s$. 물체에 그린 바퀴살이 돌아가는 속도로 미끄러짐을 볼 수 있다. 해볼 것: ① μ_s = 0.5, θ = 30°에서 구·원통·고리를 경주시켜라(c가 작을수록 빠르다). ② θ를 키우면 고리가 먼저 미끄러지기 시작한다 — 고리는 $\mu_s \ge \tfrac12\tan\theta$가 필요하다. ③ 얼음에서는 모두(상자 포함) 같은 시간이 걸린다.

속이 찬 공이 높이 1.50 m, 경사각 30.0°인 비탈 꼭대기에서 정지 상태로 미끄러짐 없이 굴러 내려온다. (a) 바닥에서의 속력, (b) 가속도, (c) 미끄러지지 않으려면 필요한 최소 정지 마찰 계수는?

풀이 보기

전략 (a) 에너지 보존, (b)(c) 위의 동역학 식에서 $c = \tfrac25$.

풀이 (a) $v = \sqrt{2gh/(1 + 2/5)} = \sqrt{10gh/7} = \sqrt{10(9.80)(1.50)/7} = 4.58$ m/s. (b) $a = \tfrac57g\sin30.0^\circ = 3.50$ m/s². (c) $\mu_s \ge \tfrac{(2/5)\tan30.0^\circ}{7/5} = \tfrac27\tan30.0^\circ = 0.165$.

(a) 4.58 m/s (b) 3.50 m/s² (c) μ_s ≥ 0.165

검토 미끄러지는 상자라면 $\sqrt{2gh} = 5.42$ m/s. 공은 에너지의 $2/7$를 회전에 쓰므로 느리다. 시뮬레이터에서 μ_s를 0.16 근처로 내리면 공이 미끄러지기 시작한다.

미끄러짐에서 구름으로

볼링공은 처음에 회전 없이 미끄러지며 출발한다. 접촉점이 앞으로 미끄러지므로 운동 마찰력은 뒤쪽을 향한다. 이 마찰은 $v$를 줄이는 동시에(병진), 질량 중심에 대해 토크 $\mu_kMgR$을 만들어 $\omega$를 늘린다(회전). $v = R\omega$가 되는 순간 미끄러짐이 멈추고 이후로는 순수하게 구른다.

처음 속력 v₀ μ_k

처음 회전

MINI LAB아래 그래프의 파란 선은 $v_\text{cm}$, 주황 선은 $R\omega$다. 두 선이 만나는 순간 미끄러짐이 끝난다. 회전 없이 출발하면 최종 속력은 언제나 $\tfrac57v_0$이다(μ_k와 무관). 역회전을 주면 $\tfrac37v_0$으로, 앞회전($\omega_0 = 2v_0/R$)을 주면 마찰이 오히려 공을 $\tfrac97v_0$까지 빠르게 한다.

볼링공(속이 찬 구)을 회전 없이 8.00 m/s로 레인에 놓았다. $\mu_k = 0.200$일 때, 미끄러짐이 끝나는 시각, 그때의 속력, 그동안 이동한 거리는?

풀이 보기

전략 미끄러지는 동안 $v = v_0 - \mu_kgt$, $\omega = \dfrac{\mu_kMgR}{\tfrac25MR^2}t = \dfrac{5\mu_kg}{2R}t$. $v = R\omega$인 $t$를 찾는다.

풀이 $v_0 - \mu_kgt = \tfrac52\mu_kgt$ → $t = \dfrac{2v_0}{7\mu_kg} = \dfrac{16.0}{7(0.200)(9.80)} = 1.17$ s. $v = \tfrac57v_0 = 5.71$ m/s. $d = v_0t - \tfrac12\mu_kgt^2 = 9.33 - 1.33 = 8.00$ m.

t = 1.17 s, v = 5.71 m/s, d = 8.00 m

검토 공의 반지름은 답에 나오지 않는다. 운동 에너지는 $\tfrac12(\tfrac75)Mv^2 / \tfrac12Mv_0^2 = \tfrac57$로 줄었다 — 처음 에너지의 2/7은 미끄러지는 동안 마찰열이 되었다.

각운동량

선운동량 $\vec p = m\vec v$의 회전판이 각운동량(angular momentum)이다. 토크가 $\vec r\times\vec F$였듯이, 원점 O에 대한 질점의 각운동량은 위치 벡터와 운동량의 벡터곱이다.

각운동량

질점: $\vec L = \vec r\times\vec p = m\,\vec r\times\vec v$, 크기 $L = mvr\sin\phi = mvl$($l$은 O에서 속도 방향 직선까지의 수직 거리). 고정된 대칭축을 각속도 $\omega$로 도는 강체: $L_z = I\omega_z$. 단위는 kg·m²/s.

왼쪽: 직선으로 움직이는 질점도 각운동량을 가진다. 크기는 운동량 × O에서 진행 직선까지의 거리. 오른쪽: 회전하는 강체의 각운동량은 각 질점의 $m_ir_i^2\omega$를 더한 $I\omega$이며 회전축 방향(오른손 규칙)이다.

1 s마다 쓸고 지나간 넓이

MINI LAB질점(2.0 kg)이 1.5 m/s로 직선 운동한다. 기준점 O(흰 원)를 끌어 옮겨 보라. $r$과 $\phi$는 계속 바뀌지만 $L = rp\sin\phi = mvl$은 일정하다 — 힘이 없으면 각운동량은 보존된다. 같은 시간에 쓸고 지나가는 삼각형의 넓이도 같다($dA/dt = L/2m$). 12장의 케플러 제2법칙이 바로 이것이다.

각운동량의 시간 변화율을 구하면 토크와의 관계가 나온다. $\dfrac{d\vec L}{dt} = \dfrac{d\vec r}{dt}\times m\vec v + \vec r\times m\dfrac{d\vec v}{dt} = \vec v\times m\vec v + \vec r\times\vec F$이고, 첫 항은 같은 벡터끼리의 벡터곱이므로 0이다.

$$\sum\vec\tau = \frac{d\vec L}{dt}$$

$\sum\vec F = d\vec p/dt$의 회전판. 여러 질점계에서는 내부 힘의 토크가 상쇄되어 외부 토크만 남는다. 고정축 강체에서는 $L_z = I\omega_z$이므로 $\sum\tau_z = I\alpha_z$로 돌아간다.

심화: $\vec L$이 $\vec\omega$와 나란하지 않을 때

강체가 대칭축이 아닌 축을 돌면(예: 축에 비스듬히 붙은 막대), 각운동량 벡터는 회전축과 나란하지 않고 축 둘레를 함께 돈다. $\vec L$이 방향을 바꾸므로 축받이가 토크를 계속 공급해야 하고, 이것이 바퀴의 '동적 불균형'이 떨림을 만드는 이유다. 정비소에서 바퀴에 작은 납추를 붙이는 것은 $\vec L$을 축과 나란하게 맞추는 작업이다.

피겨 스케이터가 팔을 펴고 1.50 rev/s로 돈다. 이때 회전축에 대한 관성 모멘트는 4.00 kg·m²이다. 각운동량과 회전 운동 에너지는?

풀이 보기

풀이 $\omega = 1.50\times2\pi = 9.42$ rad/s. $L = I\omega = (4.00)(9.42) = 37.7$ kg·m²/s. $K = \tfrac12I\omega^2 = \tfrac12(4.00)(9.42)^2 = 178$ J.

L = 37.7 kg·m²/s, K = 178 J

검토 다음 절에서 이 스케이터가 팔을 오므렸을 때 L은 그대로, K는 늘어남을 본다.

각운동량 보존

각운동량 보존 법칙

계에 작용하는 외부 토크의 합이 0이면 계의 전체 각운동량은 일정하다: $\sum\vec\tau_\text{ext} = 0 \Rightarrow \vec L = \text{일정}$. 고정축 둘레에서는 $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$. 운동량·에너지 보존과 함께 물리학의 가장 기본적인 보존 법칙이다.

계 내부에서 질량 분포가 바뀌면 $I$가 바뀌고, 그만큼 $\omega$가 반대로 바뀐다. 스케이터가 팔을 오므리면 $I$가 줄어 빨리 돈다. 다이빙 선수가 몸을 웅크려 공중제비를 돌고, 착수 직전에 몸을 펴 회전을 늦추는 것도 같다.

스케이터가 팔을 오므려 관성 모멘트를 1/3로 줄였다. 회전 운동 에너지 $K = \tfrac12I\omega^2$는?

$L$이 보존되므로 $K = L^2/2I$. $I$가 1/3이면 $K$는 3배다. 늘어난 에너지는 팔을 안쪽으로 당기는 근육이 한 일이다(팔은 원운동하므로 구심력을 이겨 끌어당겨야 한다).

SIMULATOR

피겨 스케이터: 팔을 끌어 회전 속도를 바꿔라

흰 원(손)을 좌우로 끌어 팔을 펴고 오므린다

팔(손)까지의 거리 r 양손에 2 kg 아령 (다시 회전) 슬로 모션 (1/4배)

관성 모멘트 I—

회전수—

각운동량 L—

회전 운동 에너지 K—

모형: 몸통 $I_0 = 1.20$ kg·m², 팔 두 개를 축에서 r 떨어진 3.5 kg짜리 질점으로 본다. $I = I_0 + 2(3.5)r^2$. 얼음 마찰은 무시한다. 해볼 것: ① 팔을 끝까지 오므리면 회전수가 몇 배가 되는가? 오른쪽 그래프에서 L은 평평하고 K는 오르내린다. ② 아령을 들면 오므렸을 때의 증가 비율이 더 커진다. ③ 목표 회전수를 1초 동안 유지하라.

앞 예제의 스케이터($I_1 = 4.00$ kg·m², 1.50 rev/s)가 팔을 오므려 $I_2 = 1.60$ kg·m²가 되었다. 나중 회전수와 운동 에너지는?

풀이 보기

전략 얼음의 마찰 토크를 무시하면 $L$ 보존: $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$. 비율만 필요하므로 rev/s 그대로 써도 된다.

풀이 $\omega_2 = (4.00/1.60)(1.50) = 3.75$ rev/s. $K_2 = \tfrac12(1.60)(3.75\times2\pi)^2 = 444$ J ($K_1 = 178$ J의 2.5배).

3.75 rev/s, K = 444 J

검토 $K_2/K_1 = I_1/I_2 = 2.5$. 에너지는 보존되지 않았다 — 근육이 266 J의 일을 했다.

회전 의자에 앉아 돌고 있는 자전거 바퀴를 들고 있다가 바퀴를 뒤집으면, 가만히 있던 의자가 돌기 시작한다. 사람·의자·바퀴 계에 대해 연직축 방향의 외부 토크가 없으므로(의자 축받이는 연직축 둘레로 마찰이 없다) 전체 $L_z$는 일정해야 하기 때문이다.

사람은 처음에 정지해 있고, 바퀴의 각운동량은 위쪽으로 $L_w$이다. 바퀴를 완전히 뒤집으면(축이 아래로), 사람과 의자의 각운동량은?

처음 $L_z = +L_w$. 나중 바퀴는 $-L_w$이므로 사람·의자가 $+2L_w$를 가져야 합이 $+L_w$로 유지된다. 사람은 바퀴가 원래 돌던 방향으로 돈다.

SIMULATOR

회전 의자와 자전거 바퀴: 각운동량 벡터 맞추기

바퀴 축 끝(흰 원)을 끌어 바퀴를 기울인다

바퀴 회전 ω_w 사람+의자 I_p 바퀴 축 각도 β (위 = 0°)

바퀴 L_z—

사람 L_z—

전체 L_z—

사람의 회전—

바퀴: $I_w = 0.120$ kg·m². 오른쪽 벡터 그림에서 바퀴(파랑)와 사람(주황)의 연직 성분 합(초록)은 늘 같다. 해볼 것: ① β = 90°(축 수평)에서 사람의 $L_z$는 처음 바퀴의 $L_w$와 같다. ② β = 180°에서 사람은 $2L_w$. ③ 수평 성분은 누가 바꾸는가? 바퀴를 기울이는 동안 사람 몸과 의자 축받이를 통해 바닥이 수평 방향 토크를 준다 — 그래서 $L_z$만 보존된다.

두 물체가 부딪혀 함께 돌게 되는 회전 충돌에서도, 충돌 동안 외부 토크가 무시되면 각운동량이 보존된다. 운동량 보존이 비탄성 충돌에서 쓸모 있었듯이(8장), 회전 충돌에서도 운동 에너지는 대개 보존되지 않는다.

질량 100 kg, 반지름 2.00 m인 원판 회전목마가 정지해 있다. 25.0 kg 어린이가 테두리의 접선 방향으로 3.00 m/s로 달려와 테두리에 올라탔다. 나중 각속도와 운동 에너지 손실은?

풀이 보기

전략 축에 대한 각운동량 보존. 어린이의 처음 각운동량은 $L = mvR$(지레팔 = R).

풀이 $L = (25.0)(3.00)(2.00) = 150$ kg·m²/s. 나중 $I = \tfrac12(100)(2.00)^2 + (25.0)(2.00)^2 = 200 + 100 = 300$ kg·m². $\omega = 150/300 = 0.500$ rad/s. $K_1 = \tfrac12(25.0)(3.00)^2 = 112.5$ J, $K_2 = \tfrac12(300)(0.500)^2 = 37.5$ J.

ω = 0.500 rad/s, 손실 75.0 J (처음의 2/3)

검토 완전 비탄성 충돌과 같은 구조다. 회전목마 축이 어린이의 운동량 일부를 흡수하므로 선운동량은 보존되지 않지만, 축에 대한 각운동량은 보존된다.

자이로스코프와 세차 운동

빠르게 도는 바퀴의 축 한쪽 끝만 받침대에 올려놓으면, 바퀴는 떨어지지 않고 받침점 둘레를 수평으로 천천히 돈다. 이 신기한 운동을 세차 운동(precession)이라 하고, 이런 장치를 자이로스코프(gyroscope)라 한다. 비밀은 $d\vec L = \vec\tau\,dt$에 있다: 중력의 토크는 $\vec L$에 수직이어서 $\vec L$의 크기는 바꾸지 못하고 방향만 옆으로 돌린다.

축이 수평인 자이로스코프. 받침점에 대한 중력 토크는 수평이고 L에 수직이다(지면 속으로).
위에서 보면, 짧은 시간 dt 동안 L 끝에 dL = τ dt가 옆으로 더해져 L이 각 dφ만큼 돈다.
이것이 계속되어 L은 수평면에서 원을 그린다. 세차 각속도 Ω = τ/L.

토크가 각운동량과 수직이면 크기는 그대로 두고 방향만 돌린다 — 등속 원운동에서 구심력이 속도의 방향만 바꾸는 것과 같은 구조다.

$$\Omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{|d\vec L|/|\vec L|}{dt} = \frac{\tau}{L} = \frac{Mgr}{I\omega}$$

$r$: 받침점에서 질량 중심까지 거리, $I\omega$: 바퀴의 스핀 각운동량. 바퀴가 빨리 돌수록 세차는 느려진다. 이 식은 $\Omega \ll \omega$일 때(빠른 자이로)의 근사다.

SIMULATOR

자이로스코프: 세차와 장동 (무거운 대칭 팽이의 정확한 운동 방정식)

화면을 좌우로 끌어 보는 방향을 돌린다

스핀 ω 받침점–원판 거리 r 처음 기울기(연직에서)

놓는 방법

스핀 각운동량 L = Iω—

중력 토크 τ—

Ω 예측 τ/L—

Ω 측정—

에너지 오차—

원판: 질량 0.50 kg, 반지름 5.0 cm($I = \tfrac12MR^2 = 6.25\times10^{-4}$ kg·m²). 축의 질량은 무시. 파란 화살표는 L, 주황 화살표는 중력 토크, 점선은 원판 중심의 자취다. 해볼 것: ① ‘가만히 놓기’를 하면 축이 잠깐 떨어지며 고개를 까딱이는 장동(nutation)이 생긴다. ‘세차 속도로 밀며 놓기’는 장동이 없다. ② 스핀을 절반으로 줄이면 Ω는 2배, 장동은 더 크고 느리다. ③ 스핀 0이면 그냥 진자처럼 떨어진다.

질량 50 g, $I = 2.0\times10^{-5}$ kg·m²인 팽이가 1500로 돌고, 받침점에서 무게 중심까지 3.0이면 세차 각속도는 , 세차 한 바퀴에 가 걸린다.

질량 0.500 kg, 반지름 5.00 cm인 균일한 원판이 300 rad/s로 돈다. 원판 중심은 받침점에서 수평 축을 따라 10.0 cm 떨어져 있다. 세차 각속도와 세차 주기는?

풀이 보기

전략 $\Omega = Mgr/(I\omega)$.

풀이 $I = \tfrac12(0.500)(0.0500)^2 = 6.25\times10^{-4}$ kg·m², $L = I\omega = 0.1875$ kg·m²/s. $\tau = (0.500)(9.80)(0.100) = 0.490$ N·m. $\Omega = 0.490/0.1875 = 2.61$ rad/s, $T = 2\pi/\Omega = 2.40$ s.

Ω = 2.61 rad/s, T = 2.40 s

검토 $\Omega/\omega \approx 0.009$로 근사 조건 $\Omega \ll \omega$를 만족한다. 위 시뮬레이터의 기본 설정과 같으니 측정값과 비교해 보라.

지구도 세차한다

지구는 적도가 부푼 회전 타원체이고 자전축이 23.4° 기울어 있다. 태양과 달이 적도의 부푼 부분을 당겨 만드는 토크 때문에 자전축은 약 25 800년 주기로 세차한다. 그래서 지금의 북극성(폴라리스)은 영원한 북극성이 아니다 — 약 13 000년 뒤에는 직녀성 근처가 하늘의 북극이 된다.

핵심 정리

토크 $\tau = rF\sin\phi = Fl$, 벡터로 $\vec\tau = \vec r\times\vec F$. 작용선이 축을 지나면 토크는 0이다.
회전의 뉴턴 제2법칙 $\sum\tau_z = I\alpha_z$. 도르래 문제는 물체마다 자유 물체도를 그리고 $a = R\alpha$로 연결한다.
미끄러짐 없는 구름: $v_\text{cm} = R\omega$, $K = \tfrac12Mv^2 + \tfrac12I_\text{cm}\omega^2$. 비탈에서 $a = g\sin\theta/(1+c)$이고, $\mu_s \ge c\tan\theta/(1+c)$이어야 미끄러지지 않는다.
회전의 일 $W = \int\tau\,d\theta = \Delta(\tfrac12I\omega^2)$, 일률 $P = \tau\omega$.
각운동량 $\vec L = \vec r\times\vec p$, 대칭축 강체에서 $L = I\omega$. $\sum\vec\tau_\text{ext} = d\vec L/dt$.
외부 토크가 없으면 $\vec L$은 보존된다: $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$. 운동 에너지는 보존되지 않을 수 있다.
토크가 $\vec L$에 수직이면 $\vec L$은 방향만 바뀐다: 자이로스코프의 세차 $\Omega = \tau/L = Mgr/I\omega$.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s²를 쓴다. 관성 모멘트: 속이 찬 구 $\tfrac25MR^2$, 원통·원판 $\tfrac12MR^2$, 구 껍질 $\tfrac23MR^2$, 고리 $MR^2$. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

축에서 0.500 m 떨어진 점에 40.0 N의 힘이 위치 벡터와 30.0° 각도로 작용한다. 토크의 크기는?

$\tau = rF\sin\phi = (0.500)(40.0)\sin30.0^\circ = 10.0$ N·m.

위치 $\vec r = (0.50\hat\imath + 0.20\hat\jmath)$ m인 점에 $\vec F = (-3.0\hat\imath + 6.0\hat\jmath)$ N이 작용한다. 원점에 대한 $\tau_z$는?

$\tau_z = xF_y - yF_x$.

$\tau_z = (0.50)(6.0) - (0.20)(-3.0) = 3.0 + 0.60 = 3.60$ N·m (반시계).

관성 모멘트 2.00 kg·m²인 바퀴에 일정한 알짜 토크 5.00 N·m가 작용한다. 각가속도와, 정지 상태에서 4.00 s 뒤의 각속도는?

$\alpha = \tau/I = 2.50$ rad/s², $\omega = \alpha t = 10.0$ rad/s.

질량 2.00 kg, 반지름 R인 원판 도르래(마찰 없음)에 걸친 줄 양 끝에 3.00 kg과 2.00 kg 물체가 매달려 있다. 줄은 미끄러지지 않는다. 가속도와 무거운 쪽 장력 $T_1$, 가벼운 쪽 장력 $T_2$는?

두 장력이 다르다! 도르래: $(T_1 - T_2)R = \tfrac12MR^2(a/R)$.

$m_1g - T_1 = m_1a$, $T_2 - m_2g = m_2a$, $T_1 - T_2 = \tfrac12Ma$. 더하면 $a = \dfrac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2 + M/2} = \dfrac{9.80}{6.00} = 1.63$ m/s². $T_1 = 3.00(9.80 - 1.633) = 24.5$ N, $T_2 = 2.00(9.80 + 1.633) = 22.9$ N.

얇은 구 껍질(농구공)이 높이 2.00 m 비탈을 정지 상태에서 미끄러짐 없이 굴러 내려온다. 바닥에서의 속력은?

$v = \sqrt{2gh/(1 + 2/3)} = \sqrt{6gh/5} = \sqrt{6(9.80)(2.00)/5} = 4.85$ m/s.

질량 2.00 kg인 속이 찬 원통이 3.00 m/s로 미끄러짐 없이 구른다. 전체 운동 에너지는?

$K = \tfrac12(1 + \tfrac12)Mv^2 = \tfrac34(2.00)(9.00) = 13.5$ J (그중 1/3인 4.5 J가 회전).

고리가 경사각 35.0°인 비탈을 미끄러짐 없이 구르려면 정지 마찰 계수가 최소 얼마여야 하는가?

$\mu_s \ge \dfrac{c\tan\theta}{1+c}$, $c = 1$ → $\tfrac12\tan35.0^\circ = 0.350$.

전동기가 1800 rpm으로 돌며 2.00 kW를 낸다. 축의 토크는?

$\omega = 1800\times2\pi/60 = 188.5$ rad/s, $\tau = P/\omega = 2000/188.5 = 10.6$ N·m.

관성 모멘트 0.800 kg·m²인 숫돌을 정지 상태에서 20.0 rad/s까지 돌리려 한다. 필요한 일과, 일정한 토크로 5.00바퀴 만에 그렇게 하려면 필요한 토크는?

$W = \tfrac12I\omega^2 = \tfrac12(0.800)(400) = 160$ J. $\Delta\theta = 5.00\times2\pi = 31.4$ rad, $\tau = W/\Delta\theta = 5.09$ N·m.

2.00 kg 질점이 3.00 m/s로 직선 운동한다. 이 직선과 원점 사이의 수직 거리가 4.00 m일 때 원점에 대한 각운동량의 크기는?

$L = mvl = (2.00)(3.00)(4.00) = 24.0$ kg·m²/s. 질점이 어디에 있든 같다.

관성 모멘트 3.00 kg·m²로 2.00 rad/s로 돌던 회전 의자 위의 학생이 아령을 당겨 관성 모멘트를 1.20 kg·m²로 줄였다. 나중 각속도는?

$\omega_2 = I_1\omega_1/I_2 = (3.00)(2.00)/1.20 = 5.00$ rad/s.

정지한 회전 의자에 앉은 학생(의자 포함 $I_p = 3.00$ kg·m²)이 축을 연직 위로 향한 채 30.0 rad/s로 도는 바퀴($I_w = 0.120$ kg·m²)를 들고 있다. 바퀴를 거꾸로 뒤집으면 학생의 각속도는? (바퀴는 의자 축 위에 있다고 본다.)

$L_z$ 보존: $I_w\omega_w = -I_w\omega_w + I_p\Omega$.

$\Omega = 2I_w\omega_w/I_p = 2(0.120)(30.0)/3.00 = 2.40$ rad/s, 바퀴가 처음 돌던 방향.

질량 0.150 kg인 팽이가 $I = 1.50\times10^{-4}$ kg·m², 200 rad/s로 돈다. 받침점에서 무게 중심까지 4.00 cm이고 축이 기울어 있다. 세차 각속도는? (기울기와 무관함을 보여라.)

축이 연직과 θ를 이루면 τ = Mgr sin θ, L의 수평 성분 = L sin θ.

$\Omega = \dfrac{Mgr\sin\theta}{L\sin\theta} = \dfrac{(0.150)(9.80)(0.0400)}{(1.50\times10^{-4})(200)} = \dfrac{0.0588}{0.0300} = 1.96$ rad/s.

볼링공(속이 찬 구)을 회전 없이 6.00 m/s로 놓았다. $\mu_k = 0.250$이다. 순수한 구름이 시작될 때까지의 시간과 그동안 미끄러지며 이동한 거리는?

$t = 2v_0/(7\mu_kg) = 12.0/(7\times0.250\times9.80) = 0.700$ s. $d = v_0t - \tfrac12\mu_kgt^2 = 4.198 - 0.600 = 3.60$ m. 이때 속력은 $\tfrac57v_0 = 4.29$ m/s.

길이 1 m 막대의 한끝이 축에 고정되어 있다. 같은 10 N의 힘으로 가장 큰 토크를 내는 것은?

각각 0, 8, 5, 5 N·m. 거리와 각도가 함께 중요하다.

도는 팽이가 마찰로 점점 느려진다. 세차 운동은 어떻게 되는가?

$\Omega = Mgr/(I\omega)$이므로 ω가 줄면 Ω는 커진다. 멈추기 직전의 팽이가 크게 휘청이며 빠르게 도는 이유다(그때는 근사도 깨진다).

개념 확인 퀴즈

알짜힘이 0인 강체에 대해 옳은 것은?

크기가 같고 방향이 반대인 두 힘이 다른 작용선 위에 있으면(짝힘) 알짜힘은 0이지만 토크는 0이 아니다. 운전대를 두 손으로 돌리는 경우다.

같은 질량·반지름의 원판과 고리를 같은 토크로 돌린다. 각가속도가 더 큰 것은?

$\alpha = \tau/I$, $I_\text{원판} = \tfrac12MR^2 < I_\text{고리} = MR^2$.

미끄러짐 없이 구르는 바퀴에서 땅에 대한 속력이 가장 큰 점은?

꼭대기는 $v + R\omega = 2v$, 접촉점은 $v - R\omega = 0$.

회전하는 의자 위의 학생이 팔을 펴면?

외부 토크가 없으면 L 일정. I가 커지므로 ω가 줄고, $K = L^2/2I$도 줄어든다.

수평 축 자이로스코프가 위에서 보아 반시계 방향으로 세차한다. 스핀을 반대 방향으로 바꾸면?

토크 방향은 그대로인데 $\vec L$이 반대이므로, $d\vec L = \vec\tau\,dt$가 L을 반대쪽으로 돌린다.