Chapter 32

상대성 이론과 양자 물리 입문

1900년 무렵 물리학은 거의 완성된 듯 보였다. 그러나 두 개의 작은 구름이 남아 있었다. 빛의 속력은 누가 재든 같다는 실험 결과, 그리고 빛이 금속에서 전자를 떼어 내는 방식. 첫째 구름에서 아인슈타인의 상대성 이론이, 둘째에서 양자 물리가 나왔다. 둘 다 일상의 속력과 크기에서는 뉴턴 역학과 구별되지 않지만, 아주 빠르거나 아주 작은 세계에서는 시간과 공간, 입자와 파동에 대한 생각을 바꾼다. 이 장은 이 책의 마지막 장이자 현대 물리학의 입구다.

좌우로 끌어 우주선의 속력을 바꿔 보세요

특수 상대성의 두 가정을 말하고, 빛 시계로 시간 팽창 $\Delta t = \gamma\Delta t_0$를 유도한다.
길이 수축, 동시성의 상대성, 로런츠 변환과 속도 덧셈을 적용한다.
상대론적 운동량과 에너지 $E = \gamma mc^2$, 정지 에너지 $mc^2$를 계산한다.
광자의 에너지 $E = hf$로 광전 효과를 설명하고 일함수·저지 전압을 계산한다.
드브로이 파장 $\lambda = h/p$를 계산하고 전자의 이중 슬릿 실험의 뜻을 설명한다.

아인슈타인의 두 가정

29장에서 맥스웰 방정식은 빛의 속력 $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$를 주었다. 그런데 누구에 대한 속력인가? 소리가 공기에 대해 340 m/s이듯 빛도 우주를 채운 "에테르"에 대해 $c$라고 생각했다. 1887년 마이컬슨과 몰리는 지구가 공전하며 에테르 속을 30 km/s로 지나가니 빛의 속력이 방향에 따라 조금 다를 것이라 보고 정밀하게 쟀지만, 차이가 없었다. 1905년 아인슈타인은 이를 원리로 받아들였다.

특수 상대성 이론의 두 가정

① 상대성 원리(principle of relativity): 물리 법칙은 모든 관성 기준틀에서 같다. 등속으로 움직이는 기차 안의 실험으로는 기차가 움직이는지 알 수 없다.
② 광속 불변: 진공에서 빛의 속력은 광원이나 관찰자의 운동과 상관없이 모든 관성 기준틀에서 $c$다.

둘째 가정은 상식과 부딪친다. $0.5c$로 달리는 우주선이 앞으로 빛을 쏘아도, 땅에서 보는 빛의 속력은 $1.5c$가 아니라 $c$다. 속력 = 거리/시간이 모두에게 같으려면 거리와 시간이 관찰자마다 달라야 한다.

시간 팽창과 길이 수축

가장 단순한 시계를 생각하자. 거울 두 개 사이를 빛이 오가며, 한 번 왕복할 때마다 "째깍"한다 — 빛 시계.

시계와 함께 있는 관찰자에게 빛은 위아래로만 오가고, 한 번 째깍하는 시간은 $\Delta t_0 = 2L/c$이다.
시계가 속력 $v$로 지나가는 것을 땅에서 보면, 빛은 비스듬한 더 긴 길을 간다. 그런데 빛의 속력은 땅에서도 $c$다(둘째 가정).
더 먼 길을 같은 속력으로 가므로 시간이 더 걸린다. 피타고라스 정리로 $\Delta t = \gamma\Delta t_0$. 빛 시계만이 아니라 모든 시계 — 심장 박동, 원자의 진동, 입자의 붕괴 — 가 똑같이 느려진다(첫째 가정).

시간 팽창. 움직이는 시계는 느리게 간다. 시계와 함께 움직이는 관찰자가 재는 시간 $\Delta t_0$를 고유 시간(proper time)이라 한다.

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \qquad \Delta t = \gamma\,\Delta t_0, \qquad L = \frac{L_0}{\gamma}$$

$\gamma \ge 1$: 로런츠 인자. $L_0$: 물체와 함께 움직이는 관찰자가 잰 고유 길이. 운동 방향의 길이만 줄어든다. $v = 0.1c$에서도 $\gamma = 1.005$라, 일상에서는 느끼지 못한다.

MINI LAB곡선 위의 점(흰 원)을 끌어 속력을 바꿔 보라. 0.5c까지는 γ가 1.15를 넘지 않지만, c에 다가가면 끝없이 커진다. GPS 위성(3.9 km/s)의 γ − 1은 8 × 10⁻¹¹ — 그래도 하루 7 μs가 쌓여, 보정하지 않으면 위치가 하루 2 km씩 틀어진다.

우주선이 0.8c로 지구를 지난다. 우주선 안의 우주인이 보기에 지구의 시계는?

상대성 원리: 우주인에게는 자기가 정지해 있고 지구가 0.8c로 움직인다. 움직이는 쪽의 시계가 느리게 가므로, 서로 상대의 시계가 느리다고 본다. 모순이 아닌 이유는 "동시"가 관찰자마다 다르기 때문이다(다음 절).

SIMULATOR

빛 시계 두 개

아래 눈금의 흰 원을 끌어 속력을 정한다

빛의 궤적

속력 v/c · γ—

정지 시계 째깍—

움직이는 시계 째깍—

비율—

위: 땅에 정지한 빛 시계. 아래: 속력 v로 지나가는 빛 시계(화면 끝에서 다시 나타난다). 둘 다 땅의 관찰자가 본 모습이다. 해볼 것: ① v = 0.6c면 γ = 1.25 — 정지 시계가 5번 째깍할 때 움직이는 시계는 4번. ② v → c이면 빛이 거의 옆으로만 가서 움직이는 시계가 거의 멈춘다.

우주선이 대기 상층에서 만드는 뮤온은 $0.995c$로 내려온다. 두 관찰자의 설명은 다르지만(시간 팽창 대 길이 수축) 결론은 같다: 뮤온이 땅에 닿는다. 실제로 그렇다.

속력 0.8c로 날아가는 우주선의 γ는 이다. 우주선에서 1년이 지나는 동안 지구에서는 이 지나고, 고유 길이 100 m인 우주선은 지구에서 로 보인다.

정지한 뮤온의 평균 수명은 2.2 μs다. 0.995c로 움직이는 뮤온의 땅에서 잰 수명과, 그동안 가는 거리는?

풀이 보기

풀이 $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.995^2} = 10.0$. $\Delta t = 22$ μs, 거리 $= (0.995c)(22\ \mu\text{s}) = 6.6$ km.

약 22 μs, 6.6 km

검토 1941년 로시와 홀은 산꼭대기와 산 아래의 뮤온 수를 비교해 이것을 확인했다. 오늘날 입자 가속기에서는 날마다 확인된다.

고유 길이 100 m인 우주선이 0.80c로 지나간다. 지구에서 잰 길이는?

풀이 보기

풀이 $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 5/3$, $L = 100/(5/3) = 60$ m.

60 m

검토 우주선의 폭과 높이는 그대로다. 우주선 안의 사람에게 우주선은 100 m 그대로이고, 오히려 지구가 운동 방향으로 납작하다.

동시성과 로런츠 변환

서로 다른 곳의 두 사건이 "동시"인지도 관찰자에 따라 다르다. 이것이 시간 팽창과 길이 수축의 근원이다.

땅의 관찰자에게 두 번개는 동시에 친다. 그 순간 승객은 땅의 관찰자 바로 옆, 기차 한가운데에 있다.
빛이 오는 동안 기차가 앞으로 가므로, 승객은 앞쪽 번개의 빛을 먼저 만난다.
승객도 빛이 양쪽에서 같은 속력 $c$로 왔고 자신이 가운데라고 안다. 그러니 앞쪽 번개가 먼저 쳤다고 결론짓는다. 떨어진 곳의 "동시"는 절대적이지 않다.

동시성의 상대성(아인슈타인의 사고 실험). 한 장소에서 일어난 두 사건의 순서는 모두에게 같지만, 떨어진 두 사건의 시간 차는 관찰자마다 다르다.

사건의 좌표 $(x, t)$를 속력 $v$로 움직이는 기준틀의 좌표 $(x', t')$로 바꾸는 식이 로런츠 변환(Lorentz transformation)이다. $v \ll c$이면 갈릴레이 변환 $x' = x - vt,\ t' = t$가 된다.

$$x' = \gamma(x - vt), \qquad t' = \gamma\Big(t - \frac{vx}{c^2}\Big), \qquad u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2}$$

$u$: 땅에서 잰 속력, $u'$: 움직이는 기준틀에서 잰 속력. $u' = c$를 넣으면 $u = c$ — 빛의 속력은 더해지지 않는다. 시공간 간격 $(c\Delta t)^2 - (\Delta x)^2$는 모든 관찰자에게 같다.

SIMULATOR

시공간 도표: 동시성은 상대적이다

A, B와 파란 원을 끈다

움직이는 기준틀의 격자 빛 원뿔 (45°)

움직이는 틀 v/c · γ—

A (x, ct) → (x′, ct′)—

B (x, ct) → (x′, ct′)—

B − A: 순서 · 간격—

가로 x, 세로 ct(단위: 광년, 년). 검은 축은 땅의 기준틀, 파란 축은 v로 움직이는 기준틀. 파란 점선(x′ 축과 나란한 선)이 움직이는 틀에서 "동시"인 사건들이다. 해볼 것: ① A, B를 같은 높이(땅에서 동시)에 놓고 v를 바꾸면 움직이는 틀에서는 어느 한쪽이 먼저다. ② B를 A의 빛 원뿔 안에 넣으면(시간꼴) 어떤 v에서도 순서가 바뀌지 않는다 — 원인이 결과보다 늘 먼저다. ③ 간격 $(c\Delta t)^2 - \Delta x^2$는 v를 바꿔도 그대로다.

0.80c로 날아가는 우주선이 앞으로 0.60c(우주선에 대해)의 탐사정을 쏜다. 지구에서 본 탐사정의 속력은?

풀이 보기

풀이 $u = (0.60 + 0.80)/(1 + 0.48)\,c = 0.946c$.

0.946c (1.4c가 아니다)

검토 어떻게 더해도 $c$를 넘지 않는다. $u', v \ll c$이면 분모가 1이 되어 보통의 덧셈이 된다.

상대론적 운동량과 에너지

운동량 보존이 모든 관성 기준틀에서 성립하려면(첫째 가정) 운동량을 $\gamma mv$로 고쳐야 한다. 이에 맞춰 에너지도 바뀐다. 아인슈타인은 정지한 물체도 질량에 비례하는 에너지를 가진다는 결론에 이르렀다.

$$\vec p = \gamma m\vec v, \qquad E = \gamma mc^2, \qquad K = (\gamma - 1)mc^2, \qquad E_0 = mc^2, \qquad E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$

$v \ll c$이면 $K \approx \tfrac12mv^2$. $v \to c$이면 $K \to \infty$ — 질량이 있는 물체는 빛의 속력에 닿을 수 없다. 질량이 0인 광자는 $E = pc$이고 늘 $c$로 간다. 전자의 정지 에너지는 0.511 MeV, 양성자는 938 MeV.

MINI LAB전자의 운동 에너지 축(흰 원)을 끌어 보라. 에너지를 주는 만큼 속력이 오르다가, 0.5 MeV(정지 에너지 근처)를 넘으면 속력은 c에 붙어 거의 늘지 않는다. 뉴턴 역학(점선)으로는 0.26 MeV에서 이미 c를 넘는다. 가속기가 "가속"하는 것은 속력이 아니라 에너지다.

질량 1이 모두 에너지로 바뀌면 이다. 이는 에 해당한다.

운동 에너지 1.00 MeV인 전자의 γ와 속력은?

풀이 보기

풀이 $\gamma = 1 + K/mc^2 = 1 + 1.00/0.511 = 2.96$. $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} = 0.941c$.

γ ≈ 2.96, v ≈ 0.941c

검토 뉴턴 식 $\tfrac12mv^2 = 1$ MeV로 풀면 $v = 1.98c$ — 터무니없다. 병원의 방사선 치료기는 수 MeV 전자를 쓴다.

질량 1.0 g이 모두 에너지로 바뀌면?

풀이 보기

풀이 $E = (1.0\times10^{-3})(3.0\times10^8)^2 = 9.0\times10^{13}$ J.

9 × 10¹³ J (TNT 약 2만 톤)

검토 핵분열은 질량의 약 0.1%, 수소 핵융합은 0.7%를 에너지로 바꾼다. 화학 반응에서도 질량이 줄지만 10⁻¹⁰ 정도라 잴 수 없다.

광자와 광전 효과

17장에서 보았듯 플랑크는 1900년 흑체 복사를 설명하려고 빛 에너지가 $hf$ 단위로만 주고받아진다고 가정했다. 1905년 아인슈타인은 한 걸음 더 나아가, 빛 자체가 에너지 $hf$의 알갱이 — 광자(photon) — 로 이루어져 있다고 보았다. 증거는 광전 효과(photoelectric effect)였다: 금속에 빛을 비추면 전자가 튀어나온다.

$$E = hf = \frac{hc}\lambda, \qquad K_\text{max} = hf - W = eV_\text{정지}, \qquad hc = 1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}$$

$h = 6.626\times10^{-34}$ J·s(플랑크 상수). $W$: 금속의 일함수(work function), 전자 하나를 떼어 내는 최소 에너지. $V_\text{정지}$: 가장 빠른 전자도 되돌려 보내는 역전압(저지 전압).

광전 효과의 세 사실. 빛이 연속적인 파동이라면 밝기를 키울수록 전자가 더 세게 튀어나와야 하고, 어두운 빛도 오래 비추면 결국 전자가 나와야 한다. 광자 하나가 전자 하나에 에너지를 몽땅 주는 것이라야 설명된다.

나트륨(일함수 2.28 eV)에 빨간빛(700 nm, 광자 1.77 eV)을 비추면 전자가 나오지 않는다. 빨간빛을 100배 밝게 하면?

밝기를 키우면 광자의 수가 늘 뿐, 광자 하나의 에너지는 1.77 eV 그대로다. 광자 하나로 2.28 eV를 넘지 못하면 전자는 나오지 않는다.

SIMULATOR

광전관 · 도전: 미지 금속의 일함수를 재라

금속

파장 λ 밝기 전압 V (음수 = 역전압) 미지 금속의 일함수 예측 (eV)

광자 에너지 hf—

K_max (튀어나올 때)—

전류 (상대값)—

결과—

색 점 = 광자(그 파장의 색, 자외선은 보라), 파란 점 = 전자. 오른쪽 그래프는 전압에 따른 전류(지금 전압은 점). 전자들의 운동 에너지는 0부터 K_max까지 퍼져 있다. 역전압을 키우면 느린 전자부터 되돌아가고, 전류가 0이 되는 전압이 저지 전압이다. 미지 금속은 일함수가 정해지지 않은 채로 나온다 — 파장과 저지 전압을 재서 $W = hc/\lambda - eV_\text{정지}$로 구하라(±0.05 eV면 정답).

나트륨(W = 2.28 eV)에 400 nm 빛을 비춘다. 튀어나오는 전자의 최대 운동 에너지와 저지 전압, 그리고 문턱 파장은?

풀이 보기

풀이 $hf = 1240/400 = 3.10$ eV, $K_\text{max} = 3.10 - 2.28 = 0.82$ eV, $V_\text{정지} = 0.82$ V. 문턱 파장 $\lambda_0 = 1240/2.28 = 544$ nm.

0.82 eV, 0.82 V, 544 nm

검토 544 nm보다 긴 파장(노랑·빨강)은 아무리 밝아도 전자를 떼어 내지 못한다. 시뮬레이터에서 확인하라.

물질파

빛이 파동이면서 입자처럼 행동한다면, 입자인 전자는 파동처럼 행동하지 않을까? 1924년 드브로이는 광자의 $p = h/\lambda$를 모든 입자에 적용했다. 1927년 데이비슨과 저머는 니켈 결정에 쏜 전자가 X선처럼 회절하는 것을 보아 이를 확인했다.

$$\lambda = \frac hp = \frac{h}{mv}, \qquad \text{전압 } V\text{로 가속한 전자: } \lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \approx \frac{1.226\text{ nm}}{\sqrt{V/\text{volt}}}$$

질량이 크거나 빠를수록 파장이 짧다. 야구공의 드브로이 파장은 10⁻³⁴ m라 어떤 틈으로도 회절을 볼 수 없다. 전자 현미경은 가시광보다 훨씬 짧은 전자의 파장으로 원자를 본다.

100로 가속한 전자의 드브로이 파장은 이다(). (10 kV 이상에서는 상대론적 보정이 필요하다 — 여기서는 보정한 값.)

MINI LAB위의 흰 원으로 물체를, 아래 흰 원으로 속력을 고른다(속력은 로그 눈금, 전자의 크기는 측정 한계 10⁻¹⁸ m). 드브로이 파장이 물체 자신의 크기나 지나가는 틈과 비슷하거나 크면 파동성이 드러난다. 먼지 한 톨만 되어도 파장이 원자핵보다 훨씬 작다.

가장 놀라운 실험은 전자를 한 개씩 이중 슬릿에 보내는 것이다. 전자는 스크린의 한 점에 하나씩 찍힌다 — 입자다. 그러나 수천 개가 쌓이면 31장의 간섭 무늬가 나타난다 — 파동이다. 전자 하나하나가 두 슬릿을 모두 지나는 파동으로 퍼져 나가고, 그 파동의 세기(진폭의 제곱)가 전자가 찍힐 확률을 준다. 어느 슬릿으로 지나갔는지 확인하면 무늬가 사라진다.

SIMULATOR

전자 하나씩의 이중 슬릿

초당 전자 수 어느 슬릿인지 관측하기

도착한 전자—

무늬—

왼쪽: 스크린에 찍힌 점(전자 하나 = 점 하나, 가로가 위치). 오른쪽: 위치별 개수(막대)와 파동 이론의 예측(선). 처음 수십 개는 아무렇게나 찍힌 것처럼 보인다. 해볼 것: ① 초당 수를 키워 무늬가 드러나는 것을 보라. ② "관측하기"를 켜고 지운 뒤 다시 쌓으면 간섭 무늬 없이 두 슬릿의 회절 무늬를 더한 모양이 된다. 1989년 도노무라 연구진(히타치)이 실제로 이 실험을 했다.

원자 속의 물질파. 이 그림(보어 모형)은 실제보다 단순하지만, "갇힌 파동은 띄엄띄엄한 상태만 가진다"는 양자 역학의 핵심을 보여 준다.

100 V로 가속한 전자와, 40 m/s로 날아가는 0.145 kg 야구공의 드브로이 파장은?

풀이 보기

풀이 전자: $p = \sqrt{2meV} = 5.40\times10^{-24}$ kg·m/s, $\lambda = h/p = 1.23\times10^{-10}$ m = 0.123 nm. 야구공: $\lambda = h/mv = 6.626\times10^{-34}/5.8 = 1.1\times10^{-34}$ m.

0.12 nm, 1.1 × 10⁻³⁴ m

검토 전자의 파장은 결정 속 원자 간격과 비슷하다 — 그래서 결정이 회절 격자 역할을 한다. 야구공의 파장은 양성자 크기의 10¹⁹분의 1이다.

핵심 정리

두 가정: 모든 관성 기준틀에서 물리 법칙이 같고, 빛의 속력은 $c$로 같다.
$\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$. 시간 팽창 $\Delta t = \gamma\Delta t_0$, 길이 수축 $L = L_0/\gamma$. 떨어진 곳의 동시성은 상대적이다.
로런츠 변환 $x' = \gamma(x - vt)$, $t' = \gamma(t - vx/c^2)$. 속도 덧셈 $u = (u' + v)/(1 + u'v/c^2)$ — 어떤 물체도 $c$를 넘지 못한다.
$p = \gamma mv$, $E = \gamma mc^2$, $K = (\gamma - 1)mc^2$, 정지 에너지 $mc^2$.
광자 $E = hf = hc/\lambda$. 광전 효과 $K_\text{max} = hf - W = eV_\text{정지}$: 빛은 알갱이로 에너지를 준다.
물질파 $\lambda = h/p$. 입자 하나하나가 파동처럼 간섭하고, 파동의 세기가 입자가 발견될 확률을 준다.

연습문제

$c = 3.00\times10^8$ m/s, $h = 6.626\times10^{-34}$ J·s, $hc = 1240$ eV·nm, 전자의 정지 에너지 0.511 MeV를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

0.60c로 움직이는 물체의 γ는?

$1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25$.

0.90c로 날아가는 우주선 안에서 1.00시간이 지났다. 지구에서 잰 시간은?

$\gamma = 2.29$, $\Delta t = 2.29$ h.

고유 길이 1.00 m인 막대가 길이 방향으로 0.99c로 움직인다. 정지한 관찰자가 잰 길이는?

$L = L_0/\gamma = 1.00/7.09 = 0.141$ m.

γ = 2가 되는 속력은 c의 몇 배인가?

$v/c = \sqrt{1 - 1/4} = 0.866$.

0.50c로 달리는 우주선에서 앞으로 0.50c(우주선에 대해)로 탐사정을 쏘면, 지구에서 본 탐사정의 속력은 c의 몇 배인가?

$u = 1.0/(1 + 0.25) = 0.80c$.

0.99c로 움직이는 전자의 운동 에너지는?

$K = (\gamma - 1)mc^2 = (7.09 - 1)(0.511) = 3.11$ MeV.

파장 500 nm인 광자의 에너지는?

$E = 1240/500 = 2.48$ eV.

출력 1.0 mW인 633 nm 레이저가 1초에 내보내는 광자 수는?

광자 하나 $hc/\lambda = 3.14\times10^{-19}$ J → $N = 10^{-3}/3.14\times10^{-19} = 3.19\times10^{15}$개/s.

어떤 금속에 300 nm 빛을 비추었더니 저지 전압이 1.50 V였다. 일함수는?

$W = 1240/300 - 1.50 = 4.13 - 1.50 = 2.63$ eV.

일함수 4.30 eV인 금속의 문턱 파장은?

$\lambda_0 = 1240/4.30 = 288$ nm (자외선).

50 V로 가속한 전자의 드브로이 파장은?

$\lambda = 1.226/\sqrt{50} = 0.173$ nm.

2200 m/s로 움직이는 중성자(질량 1.675 × 10⁻²⁷ kg)의 드브로이 파장은?

$\lambda = h/mv = 1.80\times10^{-10}$ m = 0.180 nm — 결정 구조를 보는 중성자 회절에 쓴다.

1 kWh(3.6 × 10⁶ J)의 에너지에 해당하는 질량은?

$\Delta m = E/c^2 = 4.0\times10^{-11}$ kg. 충전된 전지는 방전된 전지보다 이만큼 무겁다.

0.9c로 빛을 향해 날아가며 그 빛의 속력을 재면?

둘째 가정. 속도 덧셈 식에 $u' = c$를 넣어도 $u = c$.

광전 효과가 일어나고 있을 때 같은 파장의 빛을 더 밝게 하면?

밝기 = 광자의 수. 광자 하나의 에너지 $hf$는 그대로.

개념 확인 퀴즈

쌍둥이 중 한 명이 0.8c로 왕복 우주여행을 다녀왔다. 다시 만났을 때 더 나이를 적게 먹은 쪽은?

여행한 쪽은 돌아올 때 방향을 바꾸며 기준틀을 갈아탔다 — 두 사람은 대칭이 아니다. 실제로 비행기에 싣고 돈 원자시계가 지상 시계보다 덜 갔다(1971년 하펠–키팅 실험).

물체의 속력을 c까지 올릴 수 없는 이유는?

유한한 에너지로는 γ가 유한하다.

광전 효과에서 저지 전압을 결정하는 것은?

$eV_\text{정지} = hf - W$.

전자를 하나씩 이중 슬릿에 보내 오래 쌓으면?

하나하나는 점(입자)으로 찍히지만 분포는 파동의 간섭을 따른다.

같은 속력의 전자와 양성자 중 드브로이 파장이 긴 것은?

$\lambda = h/mv$: 질량이 1836배 작은 전자가 1836배 길다.