Chapter 04

뉴턴의 운동 법칙

1–3장에서는 물체가 어떻게 움직이는지를 기술했다. 이 장에서는 왜 그렇게 움직이는지를 묻는다. 답은 놀랄 만큼 짧은 세 문장 — 뉴턴의 운동 법칙이다. 핵심은 이것이다. 힘은 속도를 만드는 것이 아니라 속도를 바꾼다. 아래 얼음판을 눌러 퍽을 밀어 보자. 손을 떼면 퍽은 어떻게 될까?

누르고 있는 동안 그쪽으로 퍽을 민다

힘을 두 물체 사이의 상호작용으로 이해하고, 접촉력과 원거리력을 구별하며, 여러 힘의 합력을 벡터로 구한다.
뉴턴 제1법칙(관성의 법칙)을 설명하고, 관성 기준틀과 비관성 기준틀을 구별한다.
뉴턴 제2법칙 $\sum\vec F = m\vec a$를 성분으로 써서 가속도·힘·질량을 구한다.
질량과 무게를 구별하고, 가속하는 엘리베이터 속 겉보기 무게를 계산한다.
뉴턴 제3법칙의 작용·반작용 쌍을 찾고, 두 힘이 서로 다른 물체에 작용함을 설명한다.
자유 물체도를 정확히 그리고, 그로부터 운동 방정식을 세운다.

힘과 상호작용

일상어로 힘은 "미는 것 또는 당기는 것"이다. 물리학에서는 조금 더 정확히 말한다. 힘(force)은 두 물체 사이의 상호작용이며, 크기와 방향을 가진 벡터다. 힘은 언제나 "누가 누구에게" 가하는 것이다 — 손이 상자에, 지구가 사과에, 줄이 양동이에. 힘의 SI 단위는 뉴턴(newton), $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$이다. 사과 하나(약 100 g)의 무게가 대략 1 N이다.

힘은 크게 두 종류로 나눈다. 두 물체가 맞닿아야 생기는 접촉력(contact force)과, 떨어져 있어도 작용하는 원거리력(long-range force)이다.

접촉력은 맞닿은 면에서, 원거리력은 공간을 건너 작용한다. 미시적으로 보면 접촉력도 원자 사이의 전기력이다.

힘의 합성: 알짜힘

여러 힘이 한 물체에 동시에 작용하면, 그 효과는 모든 힘을 벡터로 더한 하나의 힘과 같다. 이것을 힘의 중첩 원리(superposition of forces)라 하고, 그 합을 알짜힘(net force) 또는 합력이라 부른다.

알짜힘

물체에 작용하는 모든 힘의 벡터 합 $\vec R = \sum\vec F = \vec F_1 + \vec F_2 + \cdots$. 성분으로는 $R_x = \sum F_x$, $R_y = \sum F_y$를 따로 더한다.

$$R_x = \sum_i F_i\cos\theta_i, \qquad R_y = \sum_i F_i\sin\theta_i, \qquad R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \qquad \tan\theta_R = \frac{R_y}{R_x}$$

$\theta_i$는 각 힘이 $+x$축과 이루는 각. 크기끼리 더하면 안 된다 — 같은 방향일 때만 $R = F_1 + F_2$이다.

크기 50인 힘과 크기 30인 힘이 사이각 60을 이루며 작용하면 알짜힘의 크기는 , 첫째 힘에서 돌아간 방향이다.

SIMULATOR

힘 끌기: 알짜힘과 가속도

흰 원(힘의 끝)을 끌어 힘을 바꾼다 · 1칸 = 1 N

힘의 개수

퍽의 질량 m 꼬리–머리 잇기(힘 다각형) 알짜힘의 성분

ΣF_x, ΣF_y—

|ΣF|, 방향—

가속도 |a| = |ΣF|/m—

도전자유 모드

굵은 검은 화살표가 알짜힘 ΣF, 주황 점선이 가속도 $\vec a = \sum\vec F/m$(1칸 = 1 m/s²)이다. 해볼 것: ① 힘 두 개를 정반대로 같은 크기로 만들면 가속도가 0이 된다. ② 질량을 2배로 하면 같은 힘에서 가속도 화살표가 절반이 된다 — 방향은 언제나 알짜힘과 같다. ③ ‘평형 만들기’: 고정된 두 힘(회색)에 맞서 셋째 힘을 끌어 알짜힘을 0으로. ④ ‘목표 가속도’: 점선 과녁과 가속도 화살표를 일치시켜라.

MINI LAB힘의 끝(흰 원)을 끌어 보라. 경사진 힘 $\vec F$는 수평 성분 $F\cos\theta$와 수직 성분 $F\sin\theta$를 함께 낸 것과 효과가 같다. 각도가 커질수록 앞으로 끄는 몫은 줄고 들어 올리는 몫이 늘어난다.

상자에 두 힘이 작용한다. $\vec F_1$은 크기 50.0 N으로 $+x$ 방향, $\vec F_2$는 크기 30.0 N으로 $+x$축에서 60.0° 방향이다. (a) 알짜힘의 크기와 방향은? (b) 상자를 평형(알짜힘 0)으로 만들려면 셋째 힘을 어떻게 가해야 하는가?

풀이 보기

전략 각 힘을 성분으로 나누고, 성분끼리 더한다.

풀이 (a) $R_x = 50.0 + 30.0\cos60.0^\circ = 65.0$ N, $R_y = 30.0\sin60.0^\circ = 26.0$ N. $R = \sqrt{65.0^2 + 26.0^2} = 70.0$ N, $\theta_R = \arctan(26.0/65.0) = 21.8^\circ$. (b) $\vec F_3 = -\vec R$: 크기 70.0 N, $21.8^\circ + 180^\circ = 201.8^\circ$ 방향.

(a) 70.0 N, +x축에서 21.8° (b) 70.0 N, 201.8° 방향(정반대)

검토 $R$은 $F_1 + F_2 = 80$ N보다 작고 $F_1 - F_2 = 20$ N보다 크다. 위 드래그 문단에 50, 30, 60°를 넣으면 같은 값이 나온다.

뉴턴 제1법칙과 관성 기준틀

아리스토텔레스 이후 2000년 동안 사람들은 "물체가 움직이려면 계속 밀어 주어야 한다"고 믿었다. 실제로 바닥에서 민 상자는 손을 떼면 곧 멈춘다. 갈릴레이는 표면을 점점 매끄럽게 하면 물체가 점점 더 멀리 간다는 데 주목했다. 마찰이 전혀 없다면? 물체는 영원히 같은 속도로 갈 것이다. 상자를 멈추게 한 것은 "힘이 없어서"가 아니라 마찰이라는 힘이 있어서였다.

표면

처음 속력

MINI LAB같은 속력으로 밀어도 표면이 매끄러울수록 멀리 간다. 미끄러지는 거리 $d = v_0^2/(2\mu_k g)$는 마찰 계수 $\mu_k$가 0으로 가면 무한대가 된다 — 갈릴레이의 사고 실험이다.

뉴턴 제1법칙 (관성의 법칙)

물체에 작용하는 알짜힘이 0이면, 정지한 물체는 계속 정지해 있고 움직이는 물체는 같은 속도(같은 속력, 같은 방향)로 계속 움직인다: $\sum\vec F = 0 \iff \vec v = \text{일정}$.

물체가 운동 상태를 유지하려는 성질을 관성(inertia)이라 한다. 알짜힘이 0인 상태 — 정지해 있든 등속으로 움직이든 — 를 평형(equilibrium)이라 한다. 등속으로 날아가는 퍽도 평형 상태다.

흔한 오해: "움직이는 방향으로 힘이 있다"

위로 던진 공이 올라가는 동안 "위로 가는 힘"이 작용하지 않는다. 공에 작용하는 힘은 (공기 저항을 무시하면) 아래 방향의 중력뿐이다. 공이 위로 가는 것은 관성 때문이고, 중력은 그 속도를 줄이고 있을 뿐이다.

관성 기준틀

버스가 갑자기 출발하면 승객은 뒤로 쏠린다. 뒤로 미는 힘이 있었을까? 길가에 선 사람이 보면 승객은 원래 자리에 머물려 했고(관성) 버스가 앞으로 나갔을 뿐이다. 그러나 버스 안에서 보면 승객이 아무 힘도 받지 않았는데 뒤로 가속했다. 버스 안에서는 제1법칙이 성립하지 않는 것이다.

같은 승객을 두 관찰자가 본다. 가속하는 버스는 관성 기준틀이 아니다. 지구 표면은 자전·공전 때문에 엄밀히는 가속하지만, 대부분의 문제에서 관성 기준틀로 취급해도 된다.

관성 기준틀

뉴턴 제1법칙이 성립하는 기준틀을 관성 기준틀(inertial frame of reference)이라 한다. 관성 기준틀에 대해 등속으로 움직이는 기준틀도 관성 기준틀이며, 가속하는 기준틀은 관성 기준틀이 아니다. 뉴턴의 법칙은 관성 기준틀에서만 쓴다.

그릇이 놓인 식탁보를 아주 빠르게 잡아당긴다. 그릇은 어떻게 될까?

마찰력은 그릇을 식탁보 쪽으로 끌지만 그 크기는 $\mu_k mg$로 한정된다. 빨리 당기면 마찰이 작용하는 시간이 짧아 그릇의 속도가 거의 바뀌지 않는다 — 관성. 아래에서 당기는 가속도를 낮춰 가며 그릇이 떨어지기 시작하는 값을 찾아보라.

SIMULATOR

관성 실험: 식탁보 빼기와 가속하는 기차

식탁보 오른쪽 끝(흰 원)을 끌어도 된다

실험

당기는 가속도 A

그릇–식탁보 마찰 μ_k

그릇이 움직인 거리—

그릇의 최대 속력—

결과—

해볼 것: ① 식탁보: A = 20 m/s²로 당기면 그릇은 수십 cm만 움직인다. A를 줄여 그릇이 식탁에서 떨어지기 시작하는 값을 찾아라(μ_k = 0.30이면 약 7 m/s²). 흰 원을 직접 천천히 끌면 그릇이 함께 따라온다(정지 마찰). ② 기차: 바닥에 마찰이 없는 기차가 출발한다. ‘땅에서’ 보면 공은 그대로 서 있고 기차가 앞으로 간다. ‘기차 안에서’ 보면 공이 아무 힘도 받지 않는데 뒤로 가속한다 — 오른쪽 위 자유 물체도는 두 경우 모두 같다(알짜힘 0).

아이가 썰매를 수평으로 끌어 눈 위를 일정한 속도 1.5 m/s로 간다. 줄이 썰매를 앞으로 당기는 힘은 40 N이다. 썰매에 작용하는 마찰력과 알짜힘은? 아이가 갑자기 줄을 놓으면 그 순간 썰매의 속도와 가속도는 어떻게 되는가?

풀이 보기

전략 속도가 일정하면 제1법칙에 따라 알짜힘이 0이다.

풀이 수평 방향 힘은 줄의 40 N(앞)과 마찰력(뒤)뿐이다. $\sum F_x = 40\ \text{N} - f = 0$ → $f = 40$ N(뒤쪽). 알짜힘은 0이다. 줄을 놓는 순간 속도는 그대로 1.5 m/s(관성)이지만, 이제 마찰력만 남아 알짜힘이 뒤쪽 40 N이 되므로 썰매는 감속하기 시작한다.

마찰력 40 N(뒤쪽), 알짜힘 0. 줄을 놓은 순간 속도 1.5 m/s 유지, 가속도는 뒤쪽

검토 "움직이고 있으니 앞쪽 알짜힘이 있다"는 생각은 아리스토텔레스식 오해다. 등속 운동에는 알짜힘이 필요 없다.

뉴턴 제2법칙

알짜힘이 0이 아니면 무슨 일이 생길까? 실험해 보면 세 가지가 드러난다. (1) 가속도는 알짜힘과 같은 방향이다. (2) 같은 물체에서 가속도의 크기는 알짜힘에 비례한다. (3) 같은 알짜힘에서 가속도는 물체의 질량(mass)에 반비례한다. 질량은 관성의 정량적인 척도다 — 질량이 큰 물체일수록 속도를 바꾸기 어렵다.

뉴턴 제2법칙

물체에 알짜힘이 작용하면, 물체는 알짜힘의 방향으로 가속하며 가속도의 크기는 알짜힘에 비례하고 질량에 반비례한다. 관성 기준틀에서 $\sum\vec F = m\vec a$.

$$\sum\vec F = m\vec a \qquad\Longleftrightarrow\qquad \sum F_x = ma_x,\quad \sum F_y = ma_y,\quad \sum F_z = ma_z$$

$\sum\vec F$는 그 물체에 작용하는 모든 외력의 합이다. $m\vec a$는 힘이 아니다 — 힘의 목록에 "$ma$"를 넣지 않는다. $1\ \text{N}$은 1 kg에 1 m/s²의 가속도를 주는 힘이다.

질량 1200인 자동차에 앞쪽 알짜힘 4000이 작용하면 가속도는 , 정지 상태에서 시속 100 km(27.8 m/s)까지 걸린다.

SIMULATOR

F = ma 실험실: 힘을 끌어 정하고 데이터를 모아라

수레 질량 m 미는 힘 F

그래프

측정 가속도—

F/m—

기록한 점0

도전—

마찰 없는 2.0 m 트랙. 수레 앞의 힘 화살표 끝을 끌거나 슬라이더로 힘을 정하고 ‘실행’을 누르면, 0.1 s 간격 섬광 점과 함께 측정한 가속도(측정 오차 약 2%)가 그래프에 찍힌다. 해볼 것: ① 질량을 고정하고 힘을 바꿔 가며 5점을 찍으면 a–F 그래프가 원점을 지나는 직선이 된다. 기울기는? ② 힘을 고정하고 질량을 바꿔 a–1/m 그래프를 그려라. ③ ‘미지 질량 도전’: 질량이 숨겨진 수레의 질량을 데이터로 알아내라(5% 이내면 성공).

질량 1200 kg인 자동차가 25.0 m/s(90 km/h)로 달리다 브레이크를 밟아 50.0 m 만에 일정하게 감속해 멈췄다. 자동차에 작용한 알짜힘의 크기와 멈추는 데 걸린 시간은?

풀이 보기

전략 운동학(2장)으로 가속도를 구한 뒤 제2법칙으로 힘을 구한다.

풀이 $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$ → $0 = (25.0)^2 + 2a(50.0)$ → $a = -6.25$ m/s². $\sum F_x = ma = (1200)(-6.25) = -7.50\times10^3$ N. 시간 $t = (0 - 25.0)/(-6.25) = 4.00$ s.

7.50 × 10³ N (운동 반대 방향), 4.00 s

검토 감속도 6.25 m/s²는 약 0.64g — 마른 노면 급제동으로 타당하다. 힘은 운동 반대 방향(음수)이다.

심화: 시간에 따라 변하는 힘

힘이 시간의 함수 $F(t)$이면 $a(t) = F(t)/m$이고, 속도는 적분으로 구한다: $v(t) = v_0 + \dfrac1m\displaystyle\int_0^t F(t')\,dt'$. 예를 들어 정지한 2.0 kg 물체에 $F = (6.0\ \text{N/s})\,t$가 작용하면 $v(t) = \dfrac{6.0}{2.0}\cdot\dfrac{t^2}{2} = 1.5t^2$ m/s이므로 3.0 s 후 속력은 13.5 m/s다. 적분 $\int F\,dt$는 8장에서 충격량이라는 이름을 얻는다.

질량과 무게

물체의 무게(weight)는 지구가 그 물체를 당기는 중력이다. 자유 낙하하는 물체에는 무게만 작용하고 가속도는 $g$이므로, 제2법칙에서 바로 무게의 크기가 나온다.

$$w = mg \qquad (\text{방향: 연직 아래}, \; g = 9.80\ \text{m/s}^2 \text{ 지표 근처})$$

질량 $m$은 물체 고유의 양(관성의 척도, kg)이고, 무게 $w$는 장소에 따라 달라지는 힘(N)이다. 달에서는 $g = 1.62$ m/s²이므로 무게가 약 1/6이 되지만 질량은 그대로다.

장소

질량

MINI LAB왼쪽 용수철저울은 무게(힘)를 재고, 오른쪽 윗접시 천칭은 표준 추와 비교해 질량을 잰다. 장소를 바꾸면 용수철은 늘어나는 길이가 달라지지만 천칭은 언제나 같은 추에서 균형을 이룬다.

겉보기 무게

체중계가 재는 것은 사실 무게가 아니라 체중계가 우리를 떠받치는 수직항력(normal force) $n$이다. 정지해 있으면 $n = mg$이지만, 엘리베이터가 가속하면 달라진다. 위쪽을 $+y$로 하고 사람에게 제2법칙을 쓰면 $n - mg = ma_y$이다.

$$n = m(g + a_y) \qquad (\text{겉보기 무게})$$

위로 가속($a_y > 0$: 위로 출발하거나 아래로 가다 멈출 때)하면 무겁게, 아래로 가속($a_y < 0$)하면 가볍게 느낀다. 자유 낙하($a_y = -g$)하면 $n = 0$ — 무중력 상태다.

엘리베이터 속 사람의 자유 물체도. 무게 $mg$는 세 경우 모두 같고, 수직항력만 바뀐다. 알짜힘 $n - mg$의 방향이 가속도의 방향이다.

엘리베이터가 아래로 내려가다가 멈추려고 감속하는 동안, 체중계 눈금은?

아래로 가는 속도가 줄어들면 가속도는 위쪽이다. 따라서 $n = m(g + a_y) > mg$. 눈금은 속도의 방향이 아니라 가속도의 방향으로 정해진다. 아래 시뮬레이터에서 ‘아래로 운행’의 마지막 구간을 보라.

SIMULATOR

엘리베이터 속 체중계

사람의 질량 m 엘리베이터 가속도 a_y

속도 v_y—

가속도 a_y—

체중계 눈금 n—

n / mg—

오른쪽 그래프는 체중계 눈금(위)과 엘리베이터 속도(아래)를 시간에 따라 기록한다. 해볼 것: ① ‘위로 운행’: 출발할 때 무겁고, 등속 구간에서는 정상, 멈출 때 가볍다. ② 슬라이더로 a_y를 직접 바꾸며 눈금이 $m(g+a_y)$를 따르는지 확인하라 — 속도가 위든 아래든 상관없다. ③ ‘케이블 끊기’: 자유 낙하 동안 눈금 0(무중력), 비상 제동이 걸리면 눈금이 몸무게의 몇 배로 치솟는다.

질량 60.0 kg인 학생이 엘리베이터 바닥의 체중계 위에 서 있다. 엘리베이터가 (a) 2.00 m/s²로 위로 가속할 때, (b) 일정한 속도로 내려갈 때, (c) 2.00 m/s²의 크기로 감속하며 올라갈 때 체중계 눈금은?

풀이 보기

전략 학생의 자유 물체도: 위로 $n$, 아래로 $mg$. 위쪽을 $+y$로 $n - mg = ma_y$.

풀이 (a) $a_y = +2.00$: $n = 60.0(9.80 + 2.00) = 708$ N. (b) $a_y = 0$: $n = 60.0(9.80) = 588$ N. (c) 올라가며 감속하면 가속도는 아래쪽, $a_y = -2.00$: $n = 60.0(7.80) = 468$ N.

(a) 708 N (b) 588 N (c) 468 N

검토 체중계가 kg으로 표시된다면 (a) 72.2 kg, (c) 47.8 kg처럼 읽힐 것이다. 질량은 변하지 않았다 — 변한 것은 수직항력이다.

뉴턴 제3법칙

벽을 밀면 벽도 손을 민다. 노를 저어 물을 뒤로 밀면 물이 배를 앞으로 민다. 힘은 언제나 두 물체 사이의 상호작용이므로 짝으로 나타난다.

뉴턴 제3법칙 (작용–반작용 법칙)

물체 A가 물체 B에 힘 $\vec F_{A\to B}$를 가하면, B도 A에 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 가한다: $\vec F_{B\to A} = -\vec F_{A\to B}$. 이 두 힘을 작용–반작용 쌍(action–reaction pair)이라 한다.

작용–반작용 쌍의 특징

① 크기가 같고 방향이 반대 ② 서로 다른 두 물체에 작용 ③ 같은 종류의 힘(둘 다 중력, 둘 다 접촉력…) ④ 언제나 동시에 생기고 사라진다.

평형을 이루는 두 힘과의 차이

책상 위 책의 무게 $mg$와 수직항력 $n$은 크기가 같고 방향이 반대지만 둘 다 책에 작용하므로 쌍이 아니다. 무게의 짝은 "책이 지구를 당기는 힘"이다.

책, 책상, 지구 — 세 물체가 서로 상호작용한다.
지구가 책을 당기는 중력 w의 짝은 책이 지구를 당기는 중력이다(같은 크기, 위 방향, 지구에 작용).
책상이 책을 떠받치는 수직항력 n의 짝은 책이 책상을 누르는 힘이다.
w와 n은 크기가 같고 방향이 반대지만 같은 물체(책)에 작용하므로 작용–반작용 쌍이 아니다.

작용–반작용 쌍 찾기. 실선은 책에 작용하는 힘, 점선은 그 짝(다른 물체에 작용)이다.

무거운 상자 B 앞에 가벼운 상자 A를 붙여 놓고, A를 손으로 밀어 둘을 함께 가속시킨다. A가 B를 미는 힘과 B가 A를 미는 힘 중 어느 쪽이 더 큰가?

제3법칙은 운동 상태와 무관하게 언제나 성립한다. 가속 여부는 각 물체에 작용하는 모든 힘의 합으로 정해진다 — A에는 손의 힘도 작용하므로 알짜힘이 앞쪽이다.

SIMULATOR

작용–반작용 쌍 찾기

손의 힘 화살표 끝을 끌어 세기를 정한다

A의 질량 B의 질량

손의 힘 F—

가속도 a = F/(m_A+m_B)—

A→B = B→A—

찾은 쌍0 / 4

위 단추에서 작용–반작용 쌍이라고 생각하는 두 힘을 차례로 누른다. 맞으면 두 화살표가 같은 색으로 강조된다. 해볼 것: ① 네 쌍을 모두 찾아라. 무게와 수직항력을 짝지으면? ② 손의 힘을 키워도 A↔B 접촉력 두 개는 언제나 같다. 그 크기 $m_B a$는 B를 가속시키는 데 필요한 힘이다. ③ A와 B의 질량을 바꿔 접촉력이 어떻게 변하는지 보라.

왼쪽 m₁ 오른쪽 m₂

MINI LAB얼음 위의 두 사람이 0.50 s 동안 200 N으로 서로 민다. 두 사람이 받는 힘은 크기가 같지만(제3법칙) 가속도는 $a = F/m$이므로 가벼운 쪽이 더 빨리 멀어진다. 나중 속력의 비 $v_1/v_2$가 질량의 역비 $m_2/m_1$와 같음을 확인하라.

마찰 없는 바닥에 질량 4.0 kg인 상자 A와 2.0 kg인 상자 B가 맞붙어 있다. A의 왼쪽에서 수평으로 12 N을 가해 둘을 함께 민다. (a) 가속도는? (b) A가 B를 미는 힘과 B가 A를 미는 힘은?

풀이 보기

전략 두 상자를 한 덩어리로 보면 내부의 접촉력은 서로 상쇄된다(제3법칙). 그다음 B 하나만 떼어 자유 물체도를 그린다.

풀이 (a) 전체: $12 = (4.0 + 2.0)a$ → $a = 2.0$ m/s². (b) B: 수평 힘은 A가 미는 힘 $P$뿐이므로 $P = m_B a = (2.0)(2.0) = 4.0$ N(오른쪽). 제3법칙에 의해 B가 A를 미는 힘은 4.0 N(왼쪽). 확인: A에 대해 $12 - 4.0 = 8.0 = (4.0)(2.0)$ ✓.

(a) 2.0 m/s² (b) 둘 다 4.0 N, 방향 반대

검토 같은 12 N을 B 쪽에서 가하면 접촉력은 $m_A a = 8.0$ N이 된다. 뒤에서 끌려가는 물체가 무거울수록 접촉력이 크다.

말과 수레의 역설

"수레가 말을 당기는 힘이 말이 수레를 당기는 힘과 같다면, 어떻게 움직일 수 있나?" 두 힘은 서로 다른 물체에 작용하므로 상쇄되지 않는다. 말이 앞으로 가속하는 것은 땅이 말의 발굽을 앞으로 미는 힘(말이 땅을 뒤로 미는 힘의 반작용)이 수레가 말을 뒤로 당기는 힘보다 크기 때문이다.

자유 물체도

뉴턴 법칙을 문제에 쓸 때 가장 중요한 도구가 자유 물체도(free-body diagram)다. 관심 있는 물체 하나를 주변에서 떼어 내고, 그 물체에 작용하는 힘만 화살표로 그린 그림이다. 자유 물체도를 정확히 그리면 문제의 절반은 풀린 것이다.

상황: 사람이 마찰 없는 바닥 위의 상자를 줄로 30° 위로 당긴다.
관심 물체(상자)만 떼어 내 점이나 작은 상자로 그린다. 사람·바닥·줄은 지운다.
원거리력부터: 지구가 당기는 무게 w = mg (연직 아래).
물체에 닿아 있던 모든 것이 접촉력을 준다: 바닥 → 수직항력 n, 줄 → 장력 T(줄 방향). 마찰이 있다면 f도.
가속도 방향을 한 축으로 잡고, 각 힘을 성분으로 나눠 축마다 ΣF = ma를 쓴다.

자유 물체도 작성 절차. "닿아 있는 것 + 중력" 외에는 힘이 없다 — ma, 운동 방향의 힘, 원심력은 그리지 않는다.

자유 물체도 점검표

① 힘마다 "누가 가하는가?"에 답할 수 있는가? 답할 수 없는 힘은 지운다. ② 물체가 다른 물체에 가하는 힘은 넣지 않았는가? ③ 가속도는 화살표로 따로(옆에) 표시했는가 — 힘 목록에 넣지 않는다.

SIMULATOR

자유 물체도 그리기 도전

힘을 추가한 뒤 흰 원을 끌어 방향을 정한다

상황

힘 추가

상황을 읽고, 그 물체에 작용하는 힘을 모두 추가해 방향을 맞춘 뒤 ‘채점’을 누르세요.

그린 힘0

해결한 상황0 / 7

채점은 힘의 종류와 개수, 그리고 방향(±15°)을 본다. 크기는 채점하지 않지만 평형이면 화살표 길이도 맞춰 보라. 해볼 것: ① ‘최고점의 공’에서 위쪽 힘을 넣으면 어떻게 될까? ② ‘경사면 위에 정지한 상자’에서 마찰력은 어느 쪽을 향하는가? ③ 일곱 상황을 모두 해결하라.

마찰 없는 바닥에 놓인 10.0 kg 상자를 줄로 수평 위 30.0° 방향으로 40.0 N의 힘으로 당긴다(위 단계별 그림). 상자의 가속도와 바닥이 상자를 떠받치는 수직항력은?

풀이 보기

전략 자유 물체도: $mg$(아래), $n$(위), $T$(30°). 수평이 가속도 방향, 수직은 평형.

풀이 $x$: $T\cos30.0^\circ = ma$ → $a = (40.0)(0.866)/10.0 = 3.46$ m/s². $y$: $n + T\sin30.0^\circ - mg = 0$ → $n = 98.0 - 20.0 = 78.0$ N.

a = 3.46 m/s², n = 78.0 N

검토 수직항력이 무게(98.0 N)보다 작다 — 줄이 상자를 조금 들어 올리기 때문이다. $n = mg$는 공식이 아니라 특별한 경우의 결과일 뿐이다.

핵심 정리

힘은 두 물체 사이의 상호작용이며 벡터다(단위 N = kg·m/s²). 여러 힘의 효과는 벡터 합인 알짜힘 $\sum\vec F$ 하나와 같다.
제1법칙: 알짜힘이 0이면 속도가 일정하다(정지 포함). 이 법칙이 성립하는 기준틀이 관성 기준틀이며, 가속하는 기준틀은 관성 기준틀이 아니다.
제2법칙: $\sum\vec F = m\vec a$. 가속도는 알짜힘 방향이고, 성분마다 $\sum F_x = ma_x$, $\sum F_y = ma_y$이다. 질량은 관성의 척도다.
무게 $w = mg$는 중력이고, 질량은 장소와 무관하다. 체중계가 재는 겉보기 무게는 수직항력 $n = m(g + a_y)$이다.
제3법칙: $\vec F_{A\to B} = -\vec F_{B\to A}$. 작용–반작용 쌍은 서로 다른 물체에 작용하므로 결코 상쇄되지 않는다.
자유 물체도: 물체 하나를 떼어 중력과 닿아 있는 것들의 힘만 그린다. 그다음 축을 잡고 성분별로 제2법칙을 쓴다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s²를 쓰고 공기 저항과 마찰은 무시한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

질량 5.00 kg인 물체가 2.40 m/s²로 가속한다. 물체에 작용하는 알짜힘의 크기는?

$\sum F = ma = (5.00)(2.40) = 12.0$ N.

1500 kg 자동차에 4500 N의 알짜힘이 작용한다. 가속도는?

$a = \sum F/m = 4500/1500 = 3.00$ m/s².

질량 75.0 kg인 우주인의 지구에서의 무게와 달($g = 1.62$ m/s²)에서의 무게는?

$w_\text{지구} = (75.0)(9.80) = 735$ N, $w_\text{달} = (75.0)(1.62) = 122$ N. 질량은 두 곳 모두 75.0 kg.

한 점에 $\vec F_1$ = 30.0 N($+x$ 방향)과 $\vec F_2$ = 20.0 N($+x$축에서 120° 방향)이 작용한다. 알짜힘의 크기와 $+x$축에서 잰 방향은?

$F_{2x} = 20.0\cos120^\circ = -10.0$ N.

$R_x = 30.0 - 10.0 = 20.0$ N, $R_y = 20.0\sin120^\circ = 17.3$ N. $R = \sqrt{20.0^2 + 17.3^2} = 26.5$ N, $\theta = \arctan(17.3/20.0) = 40.9^\circ$.

0.145 kg 야구공이 40.0 m/s로 날아와 포수 미트에 잡히며 0.200 m 만에 멈췄다. 감속이 일정했다면 미트가 공에 가한 힘의 크기는?

$a = v_0^2/(2d)$.

$a = (40.0)^2/(2\times0.200) = 4000$ m/s², $F = ma = (0.145)(4000) = 580$ N — 공 무게의 400배가 넘는다.

70.0 kg인 사람이 엘리베이터 안의 체중계 위에 섰더니 눈금이 800 N이었다. 엘리베이터 가속도의 크기는? (방향은 위쪽이다.)

$n - mg = ma$ → $a = 800/70.0 - 9.80 = 1.63$ m/s². 위로 출발하거나, 아래로 가다 멈추는 중이다.

질량 800 kg인 엘리베이터가 1.50 m/s²로 아래로 가속한다. 케이블의 장력은?

위쪽을 +로: $T - mg = m(-1.50)$ → $T = 800(9.80 - 1.50) = 6640$ N. 무게(7840 N)보다 작다.

마찰 없는 바닥에 3.00 kg 상자와 5.00 kg 상자가 맞붙어 있다. 3.00 kg 상자 쪽에서 16.0 N으로 수평으로 민다. 가속도와 두 상자 사이의 접촉력은?

$a = 16.0/8.00 = 2.00$ m/s². 5.00 kg 상자: $P = (5.00)(2.00) = 10.0$ N. (반대쪽에서 밀면 $P = 3.00\times2.00 = 6.00$ N.)

마찰 없는 바닥에서 줄로 연결된 두 상자를 앞쪽 상자(4.00 kg)에 매단 다른 줄로 30.0 N의 힘으로 수평으로 끈다. 뒤쪽 상자는 6.00 kg이다. 가속도와 두 상자 사이 줄의 장력은?

뒤쪽 상자에 수평으로 작용하는 힘은 연결 줄의 장력뿐이다.

전체: $a = 30.0/10.0 = 3.00$ m/s². 뒤쪽 상자: $T = (6.00)(3.00) = 18.0$ N. 앞쪽 확인: $30.0 - 18.0 = 12.0 = 4.00\times3.00$ ✓.

20.0 kg 썰매를 수평 위 25.0° 방향의 줄로 80.0 N으로 끈다. 눈의 마찰은 무시한다. 썰매의 가속도와 눈이 썰매를 떠받치는 수직항력은?

$a = 80.0\cos25.0^\circ/20.0 = 3.63$ m/s². $n = mg - T\sin25.0^\circ = 196 - 33.8 = 162$ N.

정지해 있던 2.00 kg 물체에 $t = 0$부터 $F(t) = 4.00\ \text{N} + (2.00\ \text{N/s})\,t$의 알짜힘이 한 방향으로 작용한다. $t = 4.00$ s에서의 속력과 그때까지 간 거리는?

$a(t) = F/m = 2.00 + 1.00t$. 두 번 적분한다.

$v(t) = \int_0^t a\,dt' = 2.00t + 0.500t^2$ → $v(4.00) = 8.00 + 8.00 = 16.0$ m/s. $x(t) = 1.00t^2 + t^3/6$ → $x(4.00) = 16.0 + 10.7 = 26.7$ m.

얼음 위 0.400 kg 퍽에 하키 스틱이 1.00 N의 일정한 힘을 5.00 s 동안 가한 뒤 뗀다. 힘을 받는 동안의 가속도와 그동안 간 거리는? 그 뒤 퍽은 어떻게 움직이는가?

$a = 1.00/0.400 = 2.50$ m/s², $d = \tfrac12(2.50)(5.00)^2 = 31.3$ m. 그 뒤에는 알짜힘이 0이므로 12.5 m/s의 등속 직선 운동을 한다(제1법칙).

대형 트럭과 소형 승용차가 정면충돌했다. 충돌하는 동안 서로에게 가하는 힘의 크기에 대해 옳은 것은?

작용–반작용 쌍이므로 언제나 같다. 승용차가 더 크게 손상되는 것은 질량이 작아 같은 힘에서 가속도(속도 변화)가 훨씬 크기 때문이다.

엘리베이터가 일정한 속도로 올라가고 있다. 바닥에 선 사람에게 작용하는 힘을 바르게 나타낸 것은?

등속이면 가속도가 0이므로 알짜힘이 0, 즉 $n = mg$이다. 운동 방향의 힘이라는 것은 없다.

개념 확인 퀴즈

우주 공간(중력·마찰 없음)에서 우주선 엔진을 끄면 우주선은?

알짜힘이 0이므로 제1법칙에 따라 속도가 그대로 유지된다. 운동을 유지하는 데 힘은 필요 없다.

지구에서 질량 10 kg인 물체를 달에 가져가면?

질량은 물체 고유의 관성이다. 무게 $mg$는 $g$에 비례한다.

같은 알짜힘을 질량 $m$인 물체와 $3m$인 물체에 가했다. 가속도의 비 $a_m : a_{3m}$은?

$a = F/m$이므로 질량에 반비례한다.

자유 낙하하는 엘리베이터 안의 체중계는 얼마를 가리키는가?

$a_y = -g$이면 $n = m(g + a_y) = 0$. 사람과 체중계가 함께 떨어지므로 서로 누르지 않는다.

책상 위에 정지한 책의 무게(지구가 책을 당기는 힘)의 반작용은?

"A가 B에" ↔ "B가 A에"로 이름을 뒤집으면 짝이 나온다: 지구→책 ↔ 책→지구.