Chapter 03

평면 운동

던진 공, 커브를 도는 자동차, 강을 건너는 배 — 운동이 직선을 벗어나면 위치·속도·가속도가 모두 벡터가 된다. 이 장의 핵심 아이디어는 하나다. 평면 운동은 서로 독립인 두 개의 직선 운동이다. 아래 화면을 눌러 공을 던져 보면서 시작하자.

화면을 누르면 그 방향으로 공을 던진다

위치, 속도, 가속도 벡터

평면 위의 점은 원점에서 그 점까지의 위치 벡터(position vector) \(\vec r = x\hat\imath + y\hat\jmath\)로 나타낸다. 시간 \(\Delta t\) 동안 점이 \(\vec r_1\)에서 \(\vec r_2\)로 움직이면 변위(displacement)는 \(\Delta\vec r = \vec r_2 - \vec r_1\)이고, 평균 속도는 \(\vec v_\text{av} = \Delta\vec r/\Delta t\)이다. \(\Delta t\)를 0으로 보내면 순간 속도가 된다.

$$\vec v = \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\vec r}{\Delta t} = \frac{d\vec r}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat\imath + \frac{dy}{dt}\hat\jmath, \qquad \vec a = \frac{d\vec v}{dt}$$
성분마다 따로 미분한다. 이것이 "평면 운동 = 두 직선 운동"의 수학적 근거다.
P₁ P₂Δr P₂Δr P₂ v (접선) Δt = 2.0 s1.0 s0.3 s→ 0
  1. Δt가 클 때 평균 속도 Δr/Δt는 두 점을 잇는 할선 방향이다.
  2. Δt를 줄이면 P₂가 P₁에 다가가며 Δr의 방향이 바뀐다.
  3. Δt가 아주 작으면 Δr은 곡선에 거의 붙는다.
  4. 극한 Δt → 0: 순간 속도 v는 궤적의 접선 방향이다.
평균 속도에서 순간 속도로. ▶를 눌러 한 단계씩 보거나 자동 재생해 보라.

가속도 벡터는 속도 벡터가 얼마나 빨리, 어느 쪽으로 바뀌는지를 말한다. 속도의 크기(속력)가 일정해도 방향이 바뀌면 가속도가 있다. 가속도를 궤적의 접선 방향 성분 \(a_\parallel\)과 법선(곡률 중심) 방향 성분 \(a_\perp\)으로 나누면 의미가 분명해진다.

\(a_\parallel\) — 접선 성분

속력을 바꾼다. 속도와 같은 방향이면 빨라지고, 반대면 느려진다.

\(a_\perp\) — 법선 성분

방향을 바꾼다. 항상 곡선의 안쪽(휘어지는 쪽)을 향한다.

경로
MINI LAB파란 화살표는 속도(항상 접선), 주황 화살표는 가속도다. 타원과 8자에서 점이 빨라지고 느려지는 곳에 \(a_\parallel\)이 생기는 것을 확인하라. 원에서는 가속도가 정확히 중심을 향한다.

드론이 \(t = 1.0\) s에 \(\vec r_1 = (2.0\hat\imath + 1.0\hat\jmath)\) m, \(t = 3.0\) s에 \(\vec r_2 = (8.0\hat\imath + 5.0\hat\jmath)\) m에 있었다. 평균 속도의 성분, 크기, 방향을 구하라.

풀이 보기
전략 성분별로 \(\Delta x/\Delta t\), \(\Delta y/\Delta t\)를 구한 뒤 피타고라스와 arctan.
풀이 \(\vec v_\text{av} = \dfrac{(6.0, 4.0)\,\text{m}}{2.0\,\text{s}} = (3.0, 2.0)\) m/s, \(|\vec v_\text{av}| = \sqrt{3.0^2+2.0^2} = 3.6\) m/s, \(\theta = \arctan(2.0/3.0) = 33.7^\circ\) (+x축에서).
(3.0 î + 2.0 ĵ) m/s, 3.6 m/s, +x축에서 34°
검토 평균 속도는 경로와 무관하게 두 끝점만으로 정해진다. 실제 드론이 어떻게 날았는지는 알 수 없다.

포물선 운동

공기 저항을 무시하면 던진 물체에 작용하는 가속도는 \(\vec a = -g\hat\jmath\) 하나뿐이다(\(g = 9.80\) m/s²). 수평 방향에는 가속도가 없으므로 \(v_x\)는 끝까지 그대로이고, 수직 방향은 2장의 자유 낙하와 똑같다. 이 둘은 서로를 전혀 모른다.

같은 높이에서 공 A는 그냥 놓고, 공 B는 수평으로 세게 던졌다. 어느 공이 먼저 바닥에 닿을까?

수직 운동은 수평 속도와 무관하다. 두 공은 언제나 같은 높이에 있다 — 아래 실험에서 섬광 사진의 점들을 가로로 비교해 보라.
SIMULATOR

떨어뜨리기 vs 수평으로 던지기 (섬광 사진)

A 착지 시간—
B 착지 시간—
B 착지 거리—
해볼 것: ① vx를 0에서 15 m/s까지 바꿔도 착지 시간 \(t = \sqrt{2h/g}\)가 변하지 않음을 확인하라. ② 높이를 4배로 하면 착지 시간은 몇 배가 되는가? ③ B의 섬광 점들은 가로 간격이 일정하고(등속), 세로 간격은 점점 커진다(가속).

운동 방정식과 세 가지 핵심 양

원점에서 속력 \(v_0\), 각도 \(\theta_0\)로 던지면 초기 속도 성분은 \(v_{0x} = v_0\cos\theta_0\), \(v_{0y} = v_0\sin\theta_0\)이다.

$$x = (v_0\cos\theta_0)\,t, \qquad y = (v_0\sin\theta_0)\,t - \tfrac12 g t^2, \qquad v_y = v_0\sin\theta_0 - g t$$
\(t\)를 소거하면 \(y = x\tan\theta_0 - \dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\theta_0}x^2\) — 아래로 열린 포물선이다.
실제 운동(포물선) x 그림자: 같은 간격 → 등속 y 그림자: 위로 던진 공과 같다 → 등가속도
  1. 같은 시간 간격으로 찍은 공의 위치. 궤적은 포물선이다.
  2. 바닥에 비친 그림자(x)는 같은 간격으로 움직인다: 수평 방향 가속도 0.
  3. 벽에 비친 그림자(y)는 위로 던졌다 떨어지는 1차원 운동과 똑같다.
포물선 운동의 분해. 두 그림자 운동을 합치면 원래 운동이 된다.

지면에서 던져 같은 높이에 떨어질 때, 비행 시간·최고점·사거리는 다음과 같다(\(v_y = 0\)인 순간이 최고점, \(y = 0\)으로 돌아오는 순간이 착지).

$$T = \frac{2v_0\sin\theta_0}{g}, \qquad H = \frac{v_0^2\sin^2\theta_0}{2g}, \qquad R = \frac{v_0^2\sin 2\theta_0}{g}$$

속력 20, 각도 30로 9.8인 곳에서 던지면, 공은 동안 날아 최고 까지 올라갔다가 떨어진 곳에 떨어진다.

\(\sin 2\theta_0\)는 \(\theta_0 = 45^\circ\)에서 최대이므로 같은 속력이면 45°가 가장 멀리 간다. 또 \(\sin 2\theta = \sin(180^\circ - 2\theta)\)이므로 \(\theta\)와 \(90^\circ - \theta\)는 같은 사거리를 준다 — 위 문단에서 각도를 30°와 60°로 바꿔 확인해 보라. 높이 쏜 쪽이 더 오래 날 뿐이다.

SIMULATOR

발사대: 화살표를 끌어 겨냥하고 과녁을 맞혀라

흰 원(화살표 끝)을 끌어 속도를 정한다
행성
v₀, θ₀—
비행 시간—
최고점—
사거리—
과녁—
해볼 것: ① 점선은 이상적(저항 없는) 궤적의 미리보기다. 과녁을 맞히는 각도가 두 개 있음을 찾아라. ② 높은 곳(h₀ = 20 m)에서는 45°보다 낮은 각도가 더 멀리 간다. ③ 공기 저항을 켜면 궤적이 비대칭(내려올 때 더 가파름)이 되고, 최대 사거리 각도가 45°보다 작아진다. ④ 달에서는 같은 속도로 약 6배 멀리 간다.

축구공을 지면에서 20.0 m/s, 30.0°로 찼다. 공기 저항을 무시할 때 비행 시간, 최고 높이, 사거리를 구하라.

풀이 보기
전략 같은 높이로 돌아오므로 \(T, H, R\) 공식을 바로 쓴다. \(v_{0y} = 10.0\) m/s, \(v_{0x} = 17.3\) m/s.
풀이 \(T = 2(10.0)/9.80 = 2.04\) s, \(H = (10.0)^2/(2\times9.80) = 5.10\) m, \(R = v_{0x}T = (17.32)(2.041) = 35.3\) m.
T = 2.04 s, H = 5.10 m, R = 35.3 m
검토 위 발사대에서 v₀ = 20 m/s, θ = 30°로 맞추면 같은 값이 나온다. 60°로 차면 사거리는 같고 최고점은 3배(15.3 m)다.

높이 45.0 m 절벽 위에서 돌을 수평으로 12.0 m/s로 던졌다. 착지까지 시간, 수평 거리, 착지 순간 속력과 방향은?

풀이 보기
전략 수직: \(v_{0y} = 0\)인 자유 낙하로 시간을 구한다. 수평: 그 시간 동안 등속.
풀이 \(45.0 = \tfrac12(9.80)t^2\) → \(t = 3.03\) s. \(x = (12.0)(3.03) = 36.4\) m. 착지 때 \(v_y = -gt = -29.7\) m/s, \(v = \sqrt{12.0^2 + 29.7^2} = 32.0\) m/s, 수평 아래 \(\arctan(29.7/12.0) = 68.0^\circ\).
t = 3.03 s, x = 36.4 m, v = 32.0 m/s (수평 아래 68°)
검토 착지 시간은 던진 속력과 무관하다(떨어뜨리기 실험과 같다). 속력은 에너지 보존(7장)으로도 \(\sqrt{v_0^2 + 2gh}\) = 32.0 m/s로 확인된다.

원숭이와 사냥꾼

나무에 매달린 원숭이를 정확히 겨냥해 총을 쏘는 순간, 원숭이가 손을 놓고 떨어진다. 총알은 맞을까? 중력이 없다면 총알은 겨냥선을 따라 원숭이에게 간다. 중력이 있으면 총알과 원숭이가 똑같이 \(\tfrac12gt^2\)만큼 겨냥선 아래로 떨어진다. 따라서 (총알이 바닥에 닿기 전에 도달하기만 하면) 반드시 맞는다.

MINI LAB점선은 겨냥선, 회색 선은 겨냥선에서 실제 위치까지의 낙하 거리 \(\tfrac12 gt^2\)이다. 속력을 줄여도 두 낙하 거리는 늘 같다 — 너무 느리면 총알이 원숭이보다 먼저 바닥에 닿을 뿐이다.

원운동

반지름 \(r\)인 원을 일정한 속력 \(v\)로 도는 운동을 등속 원운동(uniform circular motion)이라 한다. 속력은 일정하지만 속도의 방향은 끊임없이 바뀌므로 가속도가 있다. 시간 \(\Delta t\) 동안 속도가 각 \(\Delta\theta\)만큼 돌아가면 \(|\Delta\vec v| \approx v\,\Delta\theta\)이고, \(\Delta\theta = v\Delta t/r\)이므로

$$a_\text{rad} = \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = \omega^2 r \qquad (\text{방향: 원의 중심})$$
\(T\): 주기(한 바퀴 시간), \(\omega = 2\pi/T\): 각속도. 중심을 향하므로 구심 가속도(centripetal acceleration)라 부른다.
SIMULATOR

원운동과 속도 그림(호도그래프)

arad = v²/r—
|a| 전체—
주기 T—
각속도 ω—
오른쪽 그림은 속도 벡터들을 한 점에서 그린 것(호도그래프)이다. 속도 끝점은 반지름 v인 원을 그리고, 그 끝점의 속도가 바로 가속도다 — 그래서 a는 v에 수직이고 크기는 \(v\cdot\omega = v^2/r\)이다. 해볼 것: ① v를 2배로 하면 a는 4배. ② r을 절반으로 해도 a는 2배. ③ 접선 가속도를 켜면 가속도 화살표가 중심에서 벗어나고, 호도그래프는 나선이 된다.

자동차가 반지름 80인 커브를 90로 돌면 구심 가속도는 , 중력 가속도의 배다.

자동차가 반지름 80.0 m인 평평한 커브를 25.0 m/s(90 km/h)로 돈다. 구심 가속도는 g의 몇 배인가?

풀이 보기
풀이 \(a = v^2/r = (25.0)^2/80.0 = 7.81\) m/s² \(= 0.797g\).
7.81 m/s² ≈ 0.80 g
검토 마른 노면의 타이어 마찰이 줄 수 있는 가속도는 약 0.7–0.9g이다(5장). 이 속도는 한계에 가깝다 — 위의 드래그 숫자 문단에서 비 오는 날(약 0.4g)의 안전 속력을 찾아보라.
"원심력"이라는 함정

커브에서 몸이 바깥으로 쏠리는 느낌은 바깥으로 미는 힘 때문이 아니다. 몸은 관성 때문에 직진하려 하고, 차가 안쪽으로 방향을 트는 것이다. 지면에서 보면 물체에 작용하는 알짜힘은 언제나 중심 쪽이다(5장).

상대 속도

속도는 누가 재느냐에 따라 다르다. 강물 위의 배, 바람 속의 비행기, 달리는 기차 안에서 걷는 사람 — 관찰자(기준틀)마다 속도가 다르다. 물체 A의 B에 대한 속도를 \(\vec v_{A/B}\)라 쓰면

$$\vec v_{A/C} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/C}, \qquad \vec v_{A/B} = -\vec v_{B/A}$$
아래첨자의 안쪽 글자 B가 "상쇄"되는 꼴이다. 벡터로 더해야 한다는 점에 주의(크기끼리 더하면 안 된다).

강물이 오른쪽으로 흐른다. 배가 뱃머리를 정확히 맞은편(위쪽)으로 향하고 전속력으로 가면, 배는 어디에 도착할까?

땅에 대한 배의 속도는 (물에 대한 배의 속도) + (물의 속도)다. 물살이 배를 하류로 밀어 대각선으로 건넌다. 건너는 시간은 물살과 무관하다!
SIMULATOR

강 건너기: 뱃머리 방향을 끌어 정하라

배의 화살표 끝을 끌어 방향을 바꾼다
땅에 대한 속력—
건너는 시간 (폭 120 m)—
하류로 밀린 거리—
오른쪽 위 작은 그림이 속도 벡터 삼각형이다. 해볼 것: ① 각도 0°에서 물살을 바꿔도 건너는 시간이 변하지 않음을 확인하라. ② ‘맞은편으로 가는 각도’는 \(\sin\phi = v_\text{물}/v_\text{배}\)이다. 물살이 배보다 빠르면 맞은편에 갈 수 없다. ③ 가장 빨리 건너려면? 가장 적게 밀리려면?

폭 120 m인 강이 1.50 m/s로 흐른다. 물에 대해 4.00 m/s로 가는 배가 (a) 뱃머리를 맞은편으로 향할 때 건너는 시간과 하류로 밀리는 거리, (b) 정확히 맞은편에 닿으려면 뱃머리를 상류로 몇 도 틀어야 하며 이때 건너는 시간은?

풀이 보기
전략 강을 가로지르는 성분만이 건너는 시간을 정한다. 흐름 방향 성분은 밀리는 거리를 정한다.
풀이 (a) \(t = 120/4.00 = 30.0\) s, 밀린 거리 \(= (1.50)(30.0) = 45.0\) m. (b) 흐름 방향 성분이 0이 되도록 \(4.00\sin\phi = 1.50\) → \(\phi = 22.0^\circ\). 가로 성분 \(\sqrt{4.00^2 - 1.50^2} = 3.71\) m/s → \(t = 32.4\) s.
(a) 30.0 s, 45.0 m 하류 (b) 상류로 22.0°, 32.4 s
검토 맞은편에 정확히 가려면 시간이 조금 더 걸린다. 배의 속도 일부를 물살 상쇄에 쓰기 때문이다.
MINI LAB비는 수직으로 내리지만 달리는 차 안에서는 비스듬히 내린다: \(\vec v_{\text{비}/\text{차}} = \vec v_{\text{비}/\text{땅}} - \vec v_{\text{차}/\text{땅}}\). 창문의 빗줄기 각도 \(\tan\alpha = v_\text{차}/v_\text{비}\)를 확인하라.

핵심 정리

  1. 속도 \(\vec v = d\vec r/dt\)는 궤적의 접선 방향이다. 가속도의 접선 성분은 속력을, 법선 성분은 방향을 바꾼다.
  2. 포물선 운동은 수평 등속(\(a_x = 0\))과 수직 자유 낙하(\(a_y = -g\))의 합이며, 두 운동은 독립이다.
  3. 같은 높이로 돌아올 때 \(T = 2v_0\sin\theta_0/g\), \(H = v_0^2\sin^2\theta_0/2g\), \(R = v_0^2\sin2\theta_0/g\). 최대 사거리는 45°, \(\theta\)와 \(90^\circ-\theta\)는 같은 사거리.
  4. 등속 원운동의 가속도는 중심을 향하고 크기는 \(v^2/r = \omega^2 r = 4\pi^2r/T^2\)이다.
  5. 비등속 원운동에서는 \(a_\parallel = dv/dt\)(접선)와 \(a_\text{rad} = v^2/r\)(중심)이 함께 있다.
  6. 상대 속도는 벡터 덧셈: \(\vec v_{A/C} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/C}\). 강을 건너는 시간은 강을 가로지르는 성분만으로 정해진다.

연습문제

특별한 말이 없으면 \(g = 9.80\) m/s²를 쓰고 공기 저항은 무시한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

입자가 (3.0 m, −2.0 m)에서 (−1.0 m, 4.0 m)로 움직였다. 변위의 크기는?

\(\Delta\vec r = (-4.0, 6.0)\) m, \(|\Delta\vec r| = \sqrt{16+36} = 7.21\) m.

속도가 \(\vec v(t) = (2t)\hat\imath + (3t^2)\hat\jmath\) m/s이다. \(t = 2.0\) s에서 가속도의 크기는?

성분별로 미분: \(a_x = 2\), \(a_y = 6t\).

\(\vec a = (2, 6t) = (2, 12)\) m/s² → \(|\vec a| = \sqrt{4+144} = 12.2\) m/s².

공을 지면에서 15.0 m/s, 40.0°로 던졌다. 같은 높이에 떨어질 때까지 수평 거리는?

\(R = v_0^2\sin2\theta/g = (225)\sin80^\circ/9.80 = 22.6\) m.

위 문제의 공이 올라가는 최고 높이는?

\(H = v_0^2\sin^2\theta/2g = 225(0.6428)^2/19.6 = 4.74\) m.

높이 1.80 m에서 공을 수평으로 10.0 m/s로 던졌다. 공이 바닥에 닿는 곳까지의 수평 거리는?

\(t = \sqrt{2(1.80)/9.80} = 0.606\) s, \(x = 10.0\times0.606 = 6.06\) m.

20.0 m/s로 던져 같은 높이의 30.0 m 떨어진 과녁을 맞히려 한다. 가능한 두 발사각을 작은 것부터 구하라.

\(\sin2\theta = Rg/v_0^2\). 두 해는 \(90^\circ\)에 대해 대칭이다.

\(\sin2\theta = (30.0)(9.80)/400 = 0.735\) → \(2\theta = 47.3^\circ\) 또는 \(132.7^\circ\) → \(\theta = 23.7^\circ, 66.3^\circ\). 발사대 시뮬레이터로 확인해 보라.

높이 30.0 m 건물 옥상에서 공을 25.0 m/s, 수평 위 35.0°로 던졌다. 땅에 닿을 때까지 시간과 수평 거리는?

\(y = h + v_{0y}t - \tfrac12gt^2 = 0\)을 근의 공식으로 푼다(양의 근).

\(v_{0y} = 14.34\) m/s. \(4.90t^2 - 14.34t - 30.0 = 0\) → \(t = 4.34\) s. \(x = (25.0\cos35^\circ)(4.34) = 20.48\times4.34 = 88.8\) m.

적도 위의 사람은 지구 자전으로 반지름 \(6.37\times10^6\) m의 원을 24.0 h에 한 바퀴 돈다. 구심 가속도는?

\(a = 4\pi^2R/T^2 = 4\pi^2(6.37\times10^6)/(86400)^2 = 0.0337\) m/s² (g의 0.34%).

원심 분리기가 반지름 0.100 m에서 3000 rpm으로 돈다. 시료의 구심 가속도는 g의 몇 배인가?

\(\omega = 3000\times2\pi/60 = 314\) rad/s, \(a = \omega^2r = 9.87\times10^3\) m/s² \(= 1007g\).

비행기가 공기에 대해 북쪽으로 200 km/h로 난다. 동쪽으로 50.0 km/h의 바람이 분다. 땅에 대한 속력과 방향(북쪽에서 동쪽으로 잰 각)은?

\(\vec v = (50.0, 200)\) km/h → \(|\vec v| = 206\) km/h, \(\arctan(50/200) = 14.0^\circ\).

비가 8.0 m/s로 수직으로 내린다. 12 m/s로 달리는 차의 옆 창문에 보이는 빗줄기는 수직에서 몇 도 기울어 있는가?

\(\tan\alpha = 12/8.0\) → \(\alpha = 56.3^\circ\). 미니 실험에서 확인하라.

공기 저항이 없을 때, 포물선 운동의 최고점에서 공의 가속도는?

가속도는 비행 내내 \(-g\hat\jmath\)이다. 최고점에서 0이 되는 것은 속도의 수직 성분뿐이다.

등속 원운동에 대해 옳은 것은?

속도의 방향이 계속 바뀌므로 가속도가 있고, 그 방향은 중심이다(호도그래프 시뮬레이터).

개념 확인 퀴즈

같은 속력으로 30°와 60°로 던진 두 공(같은 높이로 착지)에 대해 옳은 것은?

\(\sin60^\circ = \sin120^\circ\)이므로 사거리는 같다. 비행 시간은 \(\sin\theta\)에 비례해 60° 쪽이 \(\sqrt3\)배 길다.

원운동하는 물체의 속력을 2배로, 반지름을 2배로 하면 구심 가속도는?

\(a = v^2/r\) → \(4/2 = 2\)배.

수평으로 날아가는 비행기에서 짐을 떨어뜨렸다. 공기 저항이 없다면 비행기 조종사가 보는 짐의 궤적은?

짐의 수평 속도는 비행기와 같으므로 비행기 기준으로 수평 속도는 0이다. 땅에서 보면 포물선이다.

물살보다 빠른 배가 가장 빨리 강을 건너려면 뱃머리를 어디로 향해야 하는가?

건너는 시간은 가로 성분 \(v_\text{배}\cos\phi\)로만 정해지므로 \(\phi = 0\)이 가장 빠르다(대신 하류로 밀린다).