Chapter 08

운동량, 충격량, 충돌

당구공이 부딪치는 순간의 힘은 너무 크고 너무 짧아서 측정하기 어렵다. 그런데도 충돌 후에 공들이 어디로 갈지는 정확히 말할 수 있다. 비결은 힘의 세부를 몰라도 되는 양, 운동량이다. 외력이 없으면 계의 전체 운동량은 절대 변하지 않는다. 아래 당구대에서 흰 공을 뒤로 끌었다가 놓아 보자. 오른쪽 위의 화살표 Σp는 공들이 아무리 부딪쳐도 쿠션에 닿기 전까지는 그대로다(바닥 마찰로 서서히 줄어들 뿐이다).

흰 공을 끌었다 놓아 친다

운동량 $\vec p = m\vec v$와 충격량 $\vec J = \int\vec F\,dt = \Delta\vec p$를 정의하고, F–t 그래프의 넓이로 충격량을 구한다.
같은 운동량 변화라도 충돌 시간이 길면 평균 힘이 작아진다는 것으로 에어백·헬멧·쿠션을 설명한다.
내력과 외력을 구별하고, 고립계의 운동량 보존으로 반동·분리·충돌 문제를 푼다.
반발 계수 $e$로 탄성·비탄성·완전 비탄성 충돌을 구별하고 1차원 탄성 충돌 공식과 탄동 진자를 다룬다.
2차원 충돌을 성분별 운동량 보존으로 풀고, 같은 질량의 탄성 충돌에서 두 공이 90°로 갈라지는 이유를 설명한다.
질량 중심을 이산·연속 분포에서 계산하고 $\sum\vec F_\text{ext} = M\vec a_\text{cm}$과 로켓 방정식 $\Delta v = v_\text{ex}\ln(m_0/m)$을 쓴다.

운동량과 충격량

같은 속력으로 굴러오는 탁구공과 볼링공 중 어느 것을 멈추기 어려울까? 질량이 클수록, 또 빠를수록 운동을 바꾸기 어렵다. 이 "운동의 양"을 나타내는 벡터가 운동량(momentum)이다.

운동량

질량 $m$인 입자가 속도 $\vec v$로 움직일 때 운동량은 $\vec p = m\vec v$이다. 단위는 kg·m/s이고 방향은 속도와 같다. 뉴턴의 제2법칙은 원래 운동량으로 쓴 식이다: $\sum\vec F = d\vec p/dt$.

힘이 시간 $t_1$부터 $t_2$까지 작용하면, $d\vec p = \sum\vec F\,dt$를 적분해 운동량의 변화를 얻는다. 이 적분을 충격량(impulse)이라 한다.

$$\vec J = \int_{t_1}^{t_2}\sum\vec F\,dt = \vec p_2 - \vec p_1 = \Delta\vec p \qquad\text{(충격량–운동량 정리)}$$

1차원에서 $J$는 F–t 그래프 아래 넓이다. 평균 힘 $F_\text{av}$로 쓰면 $J = F_\text{av}\,\Delta t$.

MINI LAB시속 126 km(−35 m/s)로 날아온 야구공(0.145 kg)을 방망이가 친다. 곡선 위 흰 점을 위아래로, 오른쪽 끝 점을 좌우로 끌어 힘의 모양과 접촉 시간을 바꿔 보라. 공의 나중 속도는 곡선 아래 넓이로만 정해진다. 목표: 타구 속도를 +45 m/s로 만들어라.

질량 0.145인 공이 40로 날아와 반대 방향으로 50로 튕겨 나갔다. 충격량은 이다. 접촉 시간이 1.2이면 평균 힘은 — 공 무게의 배다.

0.145 kg 야구공이 수평으로 40.0 m/s로 날아와 방망이에 맞고 반대 방향으로 50.0 m/s로 날아갔다. 접촉 시간이 1.20 ms라면 충격량과 평균 힘은?

풀이 보기

전략 방망이 쪽(공이 나가는 방향)을 +로 잡는다. 처음 속도는 $-40.0$ m/s이다. 부호를 놓치면 차이(10 m/s)를 계산하는 실수를 한다.

풀이 $J = m(v_2 - v_1) = 0.145\,[50.0 - (-40.0)] = 13.1$ N·s. $F_\text{av} = J/\Delta t = 13.05/(1.20\times10^{-3}) = 1.09\times10^4$ N.

J = 13.1 N·s (방망이 → 투수 쪽), F_av ≈ 1.09 × 10⁴ N

검토 공 무게(1.42 N)의 약 7700배다. 이렇게 크고 짧은 힘을 충격력이라 하며, 이 동안 중력은 무시해도 된다.

같은 Δp, 다른 충돌 시간

달걀을 바닥에 떨어뜨리든 이불 위에 떨어뜨리든 멈추면 $\Delta p = mv$로 같다. 충격량이 같으니 넓이가 같은 F–t 곡선이다. 하지만 이불은 멈추는 데 오래 걸리므로 곡선이 낮고 넓어지고, 최대 힘이 작다. 에어백, 헬멧 속 스티로폼, 착지할 때 무릎을 굽히는 것이 모두 같은 원리다.

같은 높이에서 떨어뜨린 같은 달걀이 콘크리트 바닥과 두꺼운 쿠션에 떨어져 멈춘다. 받는 충격량은 어느 쪽이 클까?

둘 다 같은 속력에서 0으로 멈추므로 $\Delta p$가 같다. 다른 것은 최대 힘이다. 아래 그래프에서 두 곡선의 넓이(색칠한 부분)가 똑같은지 확인하라.

SIMULATOR

달걀 떨어뜨리기: 충돌 시간과 최대 힘

낙하 높이 h

A의 바닥

B의 충돌 시간 τ_B

Δp (A = B)—

A 최대 힘—

B 최대 힘—

B 달걀—

오른쪽 그래프 x축 위의 흰 점을 좌우로 끌면 B의 충돌 시간이 바뀐다. 달걀(60 g)은 25 N보다 큰 힘을 받으면 깨진다고 하자. 그래프는 바닥이 달걀에 주는 알짜힘을 반사인 곡선 $F = F_\text{max}\sin(\pi t/\tau)$으로 모형화한 것이며, 넓이 $2F_\text{max}\tau/\pi$가 항상 $\Delta p$와 같다. 해볼 것: ① B 달걀이 깨지지 않는 가장 짧은 충돌 시간을 찾아라. ② 높이를 4배로 하면 $\Delta p$는 2배, 깨지지 않는 최소 τ도 2배가 된다. ③ 콘크리트에서는 최대 힘이 수백 N — 넓이는 같아도 곡선이 바늘처럼 뾰족하다.

질량 70.0 kg인 운전자가 15.0 m/s(54 km/h)에서 멈춘다. (a) 에어백이 0.150 s에 걸쳐 멈추게 할 때와 (b) 운전대에 부딪쳐 0.0100 s 만에 멈출 때 평균 힘은?

풀이 보기

전략 두 경우 모두 $\Delta p = 0 - (70.0)(15.0) = -1050$ kg·m/s로 같다. $F_\text{av} = |\Delta p|/\Delta t$.

풀이 (a) $1050/0.150 = 7.00\times10^3$ N, (b) $1050/0.0100 = 1.05\times10^5$ N.

(a) 7.00 kN (몸무게의 약 10배) (b) 105 kN (약 150배)

검토 충돌 시간이 15배 길어지면 평균 힘은 1/15이 된다. 에어백이 넓은 면적에 힘을 나눠 압력까지 줄이는 효과는 덤이다.

운동량 보존

두 물체 A, B가 서로 힘을 주고받을 때, 뉴턴의 제3법칙에 따라 $\vec F_{B\to A} = -\vec F_{A\to B}$이다. 두 힘은 같은 시간 동안 작용하므로 충격량도 크기가 같고 방향이 반대다. 따라서 A가 얻은 운동량만큼 B가 잃는다. 계 안의 물체끼리 주고받는 힘을 내력(internal force), 계 밖에서 오는 힘을 외력(external force)이라 한다.

얼음 위에 정지한 두 스케이터 A(55 kg), B(85 kg)를 하나의 계로 본다. 처음 전체 운동량은 0이다.
서로 밀면 내력 $\vec F_{B\to A}$와 $\vec F_{A\to B}$는 크기가 같고 방향이 반대다(제3법칙). 충격량도 반대다.
외력은 중력과 수직항력뿐인데, 각 사람에게서 서로 상쇄된다. 알짜 외력 = 0.
그러므로 밀고 난 뒤에도 $\vec p_A + \vec p_B = 0$. 가벼운 A가 더 빠르게 미끄러진다($v_A/v_B = m_B/m_A$).

내력은 계의 전체 운동량을 바꾸지 못한다. 바꿀 수 있는 것은 알짜 외력뿐이다.

운동량 보존 법칙

계에 작용하는 외력의 합이 0이면(고립계(isolated system)) 계의 전체 운동량은 일정하다: $\vec P = \vec p_A + \vec p_B + \cdots = \text{일정}$. 성분별로도 성립하므로, 한 방향의 외력만 0이어도 그 성분은 보존된다.

$$\frac{d\vec P}{dt} = \sum\vec F_\text{ext} \quad\Rightarrow\quad \sum\vec F_\text{ext} = 0 \text{ 이면 } m_A\vec v_{A1} + m_B\vec v_{B1} = m_A\vec v_{A2} + m_B\vec v_{B2}$$

내력이 아무리 복잡해도(마찰, 용수철, 폭발) 상관없다. 충돌처럼 짧은 시간에는 중력·마찰 같은 외력의 충격량이 내력에 비해 무시할 만해서 거의 언제나 쓸 수 있다.

m_A m_B 미는 충격량 J

MINI LAB얼음 위의 두 사람이 서로 민다. 아래 막대는 각자의 운동량과 합(Σp)이다. 질량을 어떻게 바꿔도 Σp는 0이고, ◆ 표시(질량 중심)는 움직이지 않는다.

질량 3인 소총이 5 총알을 300로 쏘면 소총은 로 반동한다. 운동량은 크기가 같지만 운동 에너지는 총알 , 소총 — 가벼운 쪽이 에너지를 배 가져간다.

3.00 kg 소총에서 5.00 g 총알이 300 m/s로 발사된다. 소총의 반동 속도와, 총알·소총의 운동 에너지를 구하라.

풀이 보기

전략 발사 전 총과 총알은 정지 → 전체 운동량 0. 화약 폭발은 내력이다.

풀이 $0 = m v + M V$ → $V = -mv/M = -(0.00500)(300)/3.00 = -0.500$ m/s. $K_b = \tfrac12(0.00500)(300)^2 = 225$ J, $K_g = \tfrac12(3.00)(0.500)^2 = 0.375$ J.

V = 0.500 m/s (총알 반대 방향), K_총알 = 225 J, K_소총 = 0.375 J

검토 $K = p^2/2m$이고 $p$가 같으므로 에너지비는 질량의 역비 $M/m = 600$이다. 운동량은 보존되지만 운동 에너지는 0에서 생겨났다 — 화약의 화학 에너지가 바뀐 것이다.

운동량 보존 ≠ 에너지 보존

두 법칙은 독립이다. 운동량은 외력이 없으면 언제나 보존되지만, 운동 에너지는 충돌·폭발에서 늘거나 줄 수 있다. 문제를 풀 때 "운동 에너지가 보존된다"는 말은 따로 근거(탄성 충돌)가 있어야 쓸 수 있다.

비탄성 충돌

충돌 전후에 운동량은 보존된다. 운동 에너지는 어떨까? 일부가 열·소리·변형 에너지로 바뀌면 줄어든다. 운동 에너지가 보존되는 충돌을 탄성 충돌(elastic collision), 줄어드는 충돌을 비탄성 충돌(inelastic collision), 두 물체가 붙어서 함께 움직이는 경우를 완전 비탄성 충돌(completely inelastic collision)이라 한다.

같은 질량의 공이 정지한 공에 부딪칠 때. 세 경우 모두 운동량은 같지만(나중 화살표들의 합 = 처음 화살표), 남는 운동 에너지가 다르다. 완전 비탄성 충돌에서 가장 많이 잃는다.

충돌의 "탄성 정도"는 반발 계수(coefficient of restitution) $e$로 나타낸다. 1차원 충돌에서 $e$는 멀어지는 상대 속력과 다가오는 상대 속력의 비다.

$$e = -\frac{v_{B2} - v_{A2}}{v_{B1} - v_{A1}}, \qquad 0 \le e \le 1$$

$e = 1$: 탄성, $e = 0$: 완전 비탄성(붙음). 운동량 보존과 $e$를 함께 쓰면 두 미지수 $v_{A2}, v_{B2}$가 정해진다.

완전 비탄성 충돌($v_{A2} = v_{B2} = v_2$)에서는 운동량 보존 하나로 답이 나온다. B가 정지해 있었다면 남는 운동 에너지의 비율은 질량비로만 정해진다.

$$v_2 = \frac{m_A v_{A1} + m_B v_{B1}}{m_A + m_B}, \qquad \frac{K_2}{K_1}\Big|_{v_{B1}=0} = \frac{m_A}{m_A + m_B}$$

같은 질량의 두 수레가 있다. 한 수레가 정지한 수레에 부딪쳐 붙어서 함께 간다. 처음 운동 에너지 중 얼마가 남을까?

운동량 보존으로 속도는 절반, 질량은 두 배: $K_2 = \tfrac12(2m)(v/2)^2 = \tfrac12\cdot\tfrac12mv^2$. 아래 트랙에서 e = 0으로 놓고 에너지 막대를 비교하라.

SIMULATOR

1차원 충돌 트랙

m_A m_B 반발 계수 e

범퍼

v_A2, v_B2—

Σp 전 → 후—

ΣK 전 → 후—

잃은 K—

출발 전에 수레 위 화살표 끝의 흰 점을 좌우로 끌어 처음 속도를 정한다. ◆는 질량 중심이다. 충돌 전후 내내 같은 속도로 움직이는 것을 확인하라. 해볼 것: ① e를 0 → 1로 바꿔도 Σp 막대는 변하지 않는다. ② 같은 질량, e = 1이면 두 수레가 속도를 맞바꾼다. ③ 질량 중심이 정지하도록(Σp = 0) 속도를 맞춘 뒤 e = 0으로 충돌시키면 운동 에너지가 전부 사라진다.

질량 $1.80\times10^4$ kg인 화차가 2.00 m/s로 굴러가 정지한 $1.20\times10^4$ kg 화차와 연결되었다. 연결된 화차의 속력과 잃은 운동 에너지는?

풀이 보기

전략 연결 = 완전 비탄성. 운동량 보존으로 공통 속도를 구하고 K를 비교한다.

풀이 $v_2 = (1.80\times10^4)(2.00)/(3.00\times10^4) = 1.20$ m/s. $K_1 = \tfrac12(1.80\times10^4)(2.00)^2 = 3.60\times10^4$ J, $K_2 = \tfrac12(3.00\times10^4)(1.20)^2 = 2.16\times10^4$ J.

v₂ = 1.20 m/s, 잃은 K = 1.44 × 10⁴ J (40%)

검토 남은 비율 $m_A/(m_A + m_B) = 0.600$과 일치한다. 잃은 에너지는 연결기의 변형과 열이 된다.

탄동 진자

총알의 속력처럼 직접 재기 힘든 속력은 탄동 진자(ballistic pendulum)로 잰다. 총알이 매달린 나무토막에 박히는 순간(완전 비탄성)은 운동량 보존, 그 뒤 토막이 올라가는 동안은 역학적 에너지 보존 — 두 단계를 나눠 써야 한다.

$$m v = (m + M)V, \qquad \tfrac12(m+M)V^2 = (m+M)gh \quad\Rightarrow\quad v = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$$

SIMULATOR

탄동 진자 도전: 목표 높이까지 정확히 올려라

총알 질량 m 총알 속력 v 나무토막 M

충돌 직후 V—

최고 높이 h—

남은 K 비율—

결과—

토막은 길이 1.00 m의 가벼운 막대에 매달려 있고, 충돌 뒤의 흔들림은 진자 방정식 $\ddot\theta = -(g/L)\sin\theta$를 RK4로 적분해 그린다. 목표: 점선 높이에 ±5% 안으로 맞히면 성공. 해볼 것: ① 총알의 운동 에너지 중 토막에 남는 비율 $m/(m+M)$이 1%도 안 됨을 확인하라. ② 질량을 2배로 하고 속력을 절반으로 하면(같은 운동량) 높이는 같다.

5.00 g 총알이 2.00 kg 나무토막에 박혀, 토막이 3.00 cm 올라갔다. 총알의 처음 속력은?

풀이 보기

전략 위로 올라가는 단계에서 에너지 보존으로 $V$를, 충돌 단계에서 운동량 보존으로 $v$를 구한다.

풀이 $V = \sqrt{2(9.80)(0.0300)} = 0.767$ m/s. $v = \dfrac{2.005}{0.00500}(0.767) = 307$ m/s.

v ≈ 307 m/s

검토 충돌에서 남는 K 비율은 $0.005/2.005 = 0.25\%$. "총알의 K = 토막의 위치 에너지"로 풀면 $v = 3.7$ m/s라는 엉터리 답이 나온다.

탄성 충돌

당구공, 원자핵과 중성자, 우주선의 스윙바이처럼 운동 에너지까지 보존되는 충돌을 생각하자. 1차원에서 B가 정지해 있을 때 두 보존 법칙을 연립하면

$$m_A v_{A1} = m_A v_{A2} + m_B v_{B2}, \qquad \tfrac12 m_A v_{A1}^2 = \tfrac12 m_A v_{A2}^2 + \tfrac12 m_B v_{B2}^2$$ $$\Rightarrow\quad v_{A2} = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B}\,v_{A1}, \qquad v_{B2} = \frac{2m_A}{m_A + m_B}\,v_{A1}$$

두 식을 $m_A(v_{A1} - v_{A2}) = m_B v_{B2}$, $m_A(v_{A1}^2 - v_{A2}^2) = m_B v_{B2}^2$로 쓰고 나누면 $v_{A1} + v_{A2} = v_{B2}$, 곧 $e = 1$(상대 속도가 뒤집힘)이 나온다. 이 1차식을 쓰면 연립이 쉽다.

질량 1인 공이 4로 정지한 3 공과 탄성 충돌하면, A는 , B는 로 움직인다. B가 가져간 운동 에너지는 .

세 극단을 기억하자. 같은 질량이면 $v_{A2} = 0$, $v_{B2} = v_{A1}$ — 속도를 통째로 넘긴다(당구의 정면 충돌, 뉴턴의 요람). 무거운 공 → 가벼운 공이면 B는 최대 $2v_{A1}$까지 튀어 나간다. 가벼운 공 → 무거운 벽이면 A는 같은 속력으로 튕겨 나온다.

질량 중심 기준틀에서 보기

$m_A = 1$ kg가 +4 m/s로 정지한 $m_B = 3$ kg에 부딪친다. 질량 중심 속도 $v_\text{cm} = (1\cdot4)/(1+3) = 1$ m/s.
질량 중심과 함께 움직이는 틀(CM 틀)로 옮기면 모든 속도에서 $v_\text{cm}$을 뺀다. 이 틀에서는 전체 운동량이 0이다.
CM 틀에서 탄성 충돌은 단순하다. 운동량 0과 에너지 보존을 동시에 만족하려면 각 속도가 크기는 그대로, 방향만 뒤집혀야 한다.
다시 $v_\text{cm}$을 더하면 실험실 결과 $v_{A2} = -2$, $v_{B2} = +2$ m/s — 공식 $(m_A - m_B)/(m_A + m_B)\cdot4 = -2$와 같다.

질량 중심 기준틀에서는 모든 탄성 충돌이 "속도 뒤집기"다. 비탄성 충돌이면 뒤집힌 속도에 $e$가 곱해진다.

들어 올릴 공

반발 계수 e

MINI LAB뉴턴의 요람. 왼쪽 끝 공을 끌어 올렸다가 놓아라. 같은 질량의 탄성 충돌은 속도를 통째로 넘기므로 공 $n$개를 들면 반대쪽에서 정확히 $n$개가 튀어 나간다 — 운동량과 에너지를 동시에 맞추는 유일한 방법이다. e를 줄이면 점점 모든 공이 함께 흔들리게 된다.

원자로에서 빠른 중성자는 가벼운 원자핵과 정면 탄성 충돌하며 느려진다. 정지한 탄소-12 핵(질량 ≈ 12배)과 정면 충돌하면 중성자는 운동 에너지의 몇 %를 잃는가?

풀이 보기

전략 $v_{A2}/v_{A1} = (m_A - m_B)/(m_A + m_B)$. 남는 에너지 비율은 그 제곱.

풀이 $v_{A2}/v_{A1} = (1 - 12)/(1 + 12) = -11/13$, $K_2/K_1 = (11/13)^2 = 0.716$.

약 28.4%를 잃는다 (71.6%가 남음)

검토 납(질량 ≈ 207배)이라면 1.9%만 잃는다. 질량이 비슷할수록 에너지 전달이 크므로 수소가 많은 물·흑연이 감속재로 쓰인다.

2차원 충돌

정면이 아닌 충돌에서는 공들이 비스듬히 갈라진다. 운동량은 벡터이므로 성분마다 보존된다. 처음 진행 방향을 $x$로 잡으면 B가 정지해 있을 때

$$m_A v_{A1} = m_A v_{A2}\cos\alpha + m_B v_{B2}\cos\beta, \qquad 0 = m_A v_{A2}\sin\alpha - m_B v_{B2}\sin\beta$$

$\alpha, \beta$: 충돌 후 A, B가 $x$축과 이루는 각(서로 반대쪽). 탄성이면 에너지 식이 하나 더 있지만 미지수가 네 개이므로 하나는 주어져야 한다 — 실제로는 충돌 매개변수(impact parameter) $b$(두 중심이 빗나간 거리)가 그것을 정한다.

나중 운동량 두 개를 이으면 처음 운동량이 된다. 같은 질량의 탄성 충돌이면 $v_{A1}^2 = v_{A2}^2 + v_{B2}^2$(피타고라스)이므로 삼각형은 직각삼각형이고, 두 공은 90°로 갈라진다.

같은 질량의 당구공이 정지한 공을 비스듬히 맞혔다(탄성, 마찰·회전 무시). 충돌 직후 두 공의 진행 방향 사이 각은?

운동량 삼각형이 피타고라스 정리를 만족해야 하므로 직각이다. 아래에서 공을 여러 위치에 놓고 "사이각"을 확인하라. 질량비나 e를 바꾸면 90°가 깨진다.

SIMULATOR

2차원 충돌 당구대: 목표 포켓에 넣어라

질량비 m_B/m_A 반발 계수 e 예상 경로 보기

충돌 매개변수 b—

α, β—

사이각—

K 후/전—

목표—

주황 공을 끌어 위치를, 흰 화살표 끝을 끌어 큐의 속도를 정한다. 공은 반지름 5 cm, 충돌 힘은 두 중심을 잇는 선 방향뿐이다(마찰 없는 접촉). 충돌 직후 당구대 아래에 운동량 벡터 삼각형이 그려진다. 해볼 것: ① b = 0(정면)이면 A가 멈추고 B가 모든 운동량을 가져간다. ② b가 커질수록 B는 옆으로, A는 거의 그대로 간다 — 그래도 사이각은 90°. ③ 질량비 2에서 사이각은 90°보다 큰가 작은가?

1500 kg 승용차가 동쪽으로 20.0 m/s, 2500 kg SUV가 북쪽으로 15.0 m/s로 교차로에서 충돌해 엉겨 붙었다. 충돌 직후 속도(크기와 방향)는?

풀이 보기

전략 완전 비탄성 + 성분별 운동량 보존.

풀이 $P_x = (1500)(20.0) = 3.00\times10^4$, $P_y = (2500)(15.0) = 3.75\times10^4$ kg·m/s. $v = \sqrt{P_x^2 + P_y^2}/4000 = 12.0$ m/s, $\theta = \arctan(3.75/3.00) = 51.3^\circ$(동쪽에서 북쪽으로).

12.0 m/s, 동쪽에서 북쪽으로 51.3°

검토 처음 운동 에너지의 50.4%가 사라진다. 사고 조사관은 바퀴 자국의 방향과 길이로 이 계산을 거꾸로 한다. 아래 미니 실험에서 확인하라.

m₁ m₂

MINI LAB두 차의 속도 화살표 끝(흰 점)을 끌어 보라. 오른쪽 위 삼각형이 $\vec p_1 + \vec p_2 = \vec P$이고, 엉겨 붙은 차는 $\vec P$ 방향으로 $|\vec P|/(m_1 + m_2)$의 속력으로 미끄러진다.

2.00 m/s로 굴러가던 당구공이 정지한 같은 질량의 공을 비스듬히 맞혀, 맞은 공이 처음 방향에서 30.0° 쪽으로 갔다. 충돌 후 두 공의 속력과 친 공의 방향은?

풀이 보기

전략 같은 질량·탄성 → 사이각 90°. 운동량 직각삼각형에서 빗변이 $v_{A1}$.

풀이 $v_{B2} = 2.00\cos30.0^\circ = 1.73$ m/s, $v_{A2} = 2.00\sin30.0^\circ = 1.00$ m/s, A는 반대쪽으로 60.0°.

v_B2 = 1.73 m/s (30°), v_A2 = 1.00 m/s (반대쪽 60°)

검토 $1.73^2 + 1.00^2 = 4.00 = 2.00^2$: 에너지 보존 확인. y성분: $1.00\sin60^\circ = 1.73\sin30^\circ = 0.866$ ✓.

질량 중심

던진 렌치는 빙글빙글 돌며 날아가지만 그중 한 점은 깔끔한 포물선을 그린다. 그 점이 질량 중심(center of mass)이다. 계 전체를 그 점에 모인 하나의 입자처럼 다룰 수 있게 해 주는 위치다.

질량 중심

입자들의 위치를 질량으로 가중 평균한 점. 연속체는 합을 적분으로 바꾼다.

$$\vec r_\text{cm} = \frac{\sum_i m_i\vec r_i}{\sum_i m_i} = \frac{1}{M}\int\vec r\,dm, \qquad \vec v_\text{cm} = \frac{\sum m_i\vec v_i}{M} = \frac{\vec P}{M}$$

전체 운동량은 $\vec P = M\vec v_\text{cm}$. 이것을 미분하면 계의 운동 방정식 $\sum\vec F_\text{ext} = M\vec a_\text{cm}$이 된다(내력은 쌍으로 상쇄).

포물선을 그리며 날던 불꽃놀이 포탄이 최고점에서 여러 조각으로 터졌다(공기 저항 무시). 조각들이 모두 공중에 있는 동안 조각들의 질량 중심은?

폭발력은 내력이다. 외력은 여전히 중력 $Mg$뿐이므로 $\vec a_\text{cm} = \vec g$ — 원래 포물선이다. 아래 '폭발' 모드에서 확인하라. 단, 첫 조각이 땅에 닿으면 수직항력(외력)이 생겨 그때부터 어긋난다.

SIMULATOR

질량 중심 놀이터

모드

선택한 공의 질량 조각 수(폭발)

x_cm, y_cm—

전체 질량 M—

상태—

배치 모드에서는 공을 끌어 옮기고, 누른 공의 질량을 슬라이더로 바꾼다. 도전: 공을 옮기거나 질량을 바꿔 질량 중심(◆)을 과녁(⊕)에 0.2 m 안으로 넣어라 — 공 하나만 움직여서도 가능한가? 폭발 모드: 점선은 터지지 않은 포탄의 포물선, ◆의 자취는 조각들의 질량 중심이다.

질량 중심이 움직이지 않는 상황도 유용하다. 잔잔한 물 위의 배에서 사람이 걸어가면(수평 외력 0, 처음에 정지) 배는 반대로 밀려나 질량 중심을 제자리에 둔다.

사람 m 배 M

MINI LAB사람(흰 점)을 배 위에서 좌우로 끌어 걸어 보라. 배가 사람과 반대로 $\Delta x_\text{배} = -\dfrac{m}{m+M}\,\Delta x_\text{상대}$만큼 움직여 ◆(질량 중심)은 그대로다.

연속체의 질량 중심. 작은 조각 $dm = \lambda(x)\,dx$로 쪼개 $x\,dm$을 더한다. 균일한 막대라면 $L/2$, 오른쪽이 무거우면 오른쪽으로 치우친다.

지구($5.97\times10^{24}$ kg)와 달($7.35\times10^{22}$ kg)의 중심 사이 거리는 $3.84\times10^8$ m이다. 질량 중심은 지구 중심에서 얼마나 떨어져 있는가? (지구 반지름 $6.37\times10^6$ m)

풀이 보기

풀이 지구 중심을 원점으로 $x_\text{cm} = \dfrac{(7.35\times10^{22})(3.84\times10^8)}{5.97\times10^{24} + 7.35\times10^{22}} = 4.67\times10^6$ m.

4.67 × 10⁶ m — 지구 표면 아래 약 1700 km

검토 지구와 달은 이 점을 중심으로 한 달에 한 바퀴씩 돈다. 지구가 이 점 주위로 흔들리는 것이 조석 현상의 한 원인이다.

심화: 적분으로 구하는 질량 중심

길이 $L$인 막대의 선밀도가 $\lambda(x) = \lambda_0 x/L$이면 $M = \int_0^L\lambda_0\frac{x}{L}dx = \tfrac12\lambda_0L$, $\int x\,dm = \int_0^L\lambda_0\frac{x^2}{L}dx = \tfrac13\lambda_0L^2$이므로 $x_\text{cm} = 2L/3$. 2차원·3차원에서는 성분마다 같은 적분을 한다. 대칭축이 있으면 질량 중심은 반드시 그 축 위에 있다.

로켓 추진

우주에는 밀어낼 땅도 공기도 없다. 로켓은 자기 질량의 일부(연료)를 뒤로 빠르게 내던지고 그 반동으로 앞으로 간다 — 소총의 반동을 연속으로 하는 셈이다. 질량이 계속 변하므로 운동량 보존을 아주 짧은 시간 $dt$에 적용한다.

시각 $t$에 로켓(연료 포함)의 질량은 $m$, 속도는 $v$이다. 외력(중력)은 잠시 무시한다.
$dt$ 동안 연료 $dm$을 로켓에 대해 $v_\text{ex}$의 속력으로 뒤로 뿜는다. 로켓은 $m - dm$이 되고 속도는 $v + dv$로 늘어난다.
운동량 보존을 전개하고 2차 미소량 $dm\,dv$를 버리면 $m\,dv = v_\text{ex}\,dm_\text{연료}$ — 로켓 질량의 감소 $-dm_\text{로켓}$을 쓰면 $dv = -v_\text{ex}\,dm/m$.

로켓 방정식의 유도. 적분하면 질량이 $m_0$에서 $m$으로 줄 때 속도 증가가 나온다.

$$\Delta v = v - v_0 = v_\text{ex}\ln\frac{m_0}{m}, \qquad F_\text{추력} = v_\text{ex}\left|\frac{dm}{dt}\right|$$

$v_\text{ex}$: 배기 속력(exhaust speed)(로켓에 대한 연료의 속력), $m_0/m$: 질량비. 중력이 있으면 연소 시간 $t$ 동안 $-gt$가 더해진다. 추력(thrust)이 무게보다 커야 발사대를 떠난다.

배기 속력이 2.5인 엔진으로, 발사 질량의 80가 연료인 로켓을 우주에서 다 태우면 질량비는 , 속도 증가는 이다.

SIMULATOR

로켓 발사: 질량이 줄면 가속도가 커진다

배기 속력 v_ex 연료 비율 연소 시간 중력 (g = 9.80 m/s², 일정)

추력/처음 무게—

처음 가속도—

현재 v—

연소 종료 v—

발사 질량 60 t, 일정한 비율로 연료를 태운다. $dv/dt = v_\text{ex}|\dot m|/m - g$를 RK4로 적분하며, 점선은 공식 $v_\text{ex}\ln(m_0/m) - gt$이다. 해볼 것: ① 연소 시간을 줄이면(빨리 태우면) 중력 손실 $gt$이 줄어 최종 속도가 커진다. ② 연소 시간 300 s, 연료 30%이면 추력이 무게보다 작아 떠오르지 못한다. ③ 중력을 끄면 v–t 곡선이 연소 끝으로 갈수록 가팔라진다(질량이 줄기 때문).

발사 질량 $6.00\times10^4$ kg인 로켓이 배기 속력 2500 m/s로 매초 300 kg의 연료를 태운다. (a) 추력, (b) 발사 직후 가속도, (c) 질량이 1/4로 줄 때까지 중력이 없다면 얻는 속도 증가는?

풀이 보기

풀이 (a) $F = v_\text{ex}|dm/dt| = (2500)(300) = 7.50\times10^5$ N. (b) $a = F/m - g = 7.50\times10^5/6.00\times10^4 - 9.80 = 12.5 - 9.80 = 2.70$ m/s². (c) $\Delta v = 2500\ln4 = 3.47\times10^3$ m/s.

(a) 7.50 × 10⁵ N (b) 2.70 m/s² (c) 3.47 km/s

검토 추력은 일정해도 질량이 줄어 가속도는 점점 커진다. 연료가 90%여도 $\ln10 = 2.30$배밖에 안 되므로 궤도 속력(약 7.9 km/s)에는 다단 로켓이 필요하다.

핵심 정리

운동량 $\vec p = m\vec v$, 뉴턴 제2법칙 $\sum\vec F = d\vec p/dt$. 충격량 $\vec J = \int\vec F\,dt = \Delta\vec p$는 F–t 그래프의 넓이다.
같은 $\Delta p$라도 충돌 시간을 늘리면 평균·최대 힘이 줄어든다(에어백, 쿠션).
알짜 외력이 0이면 계의 전체 운동량은 보존된다. 내력은 운동량을 계 안에서 옮길 뿐이다.
모든 충돌에서 운동량은 보존되지만 운동 에너지는 탄성 충돌($e = 1$)에서만 보존된다. 완전 비탄성($e = 0$)에서 가장 많이 잃는다.
1차원 탄성 충돌(B 정지): $v_{A2} = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B}v_{A1}$, $v_{B2} = \frac{2m_A}{m_A + m_B}v_{A1}$. 질량 중심 틀에서는 속도가 뒤집힐 뿐이다.
2차원 충돌은 성분별 운동량 보존. 같은 질량의 탄성 충돌(한쪽 정지)은 90°로 갈라진다.
$\vec r_\text{cm} = \sum m_i\vec r_i/M$, $\vec P = M\vec v_\text{cm}$, $\sum\vec F_\text{ext} = M\vec a_\text{cm}$. 로켓: $\Delta v = v_\text{ex}\ln(m_0/m)$, 추력 $v_\text{ex}|dm/dt|$.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s²를 쓰고 공기 저항과 마찰은 무시한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다. 방향이 있는 답은 처음 운동 방향을 +로 한다.

45.0 g 골프공이 70.0 m/s로 날아간다. 운동량의 크기는?

$p = mv = (0.0450)(70.0) = 3.15$ kg·m/s.

정지한 57.0 g 테니스공을 라켓이 친다. 힘은 0에서 2.00 ms에 최대 2400 N까지 일정하게 늘었다가 4.00 ms에 0으로 일정하게 줄었다(삼각형). 충격량과 공의 나중 속력은?

삼각형 넓이 = ½ × 밑변 × 높이.

$J = \tfrac12(4.00\times10^{-3})(2400) = 4.80$ N·s, $v = J/m = 4.80/0.0570 = 84.2$ m/s.

0.400 kg 축구공이 12.0 m/s로 벽에 수직으로 부딪쳐 8.00 m/s로 되튀었다. 접촉 시간이 0.0250 s일 때 벽이 공에 준 평균 힘의 크기는?

$\Delta p = 0.400[8.00 - (-12.0)] = 8.00$ kg·m/s, $F_\text{av} = 8.00/0.0250 = 320$ N.

60.0 g 달걀이 1.50 m 높이에서 쿠션 위로 떨어져 0.0400 s 만에 멈췄다. 이 동안 쿠션이 달걀에 작용한 평균 힘은? (무게를 무시하지 말 것)

충격량–운동량 정리의 힘은 알짜힘이다: $F_\text{쿠션} - mg = \Delta p/\Delta t$.

$v = \sqrt{2(9.80)(1.50)} = 5.42$ m/s. 알짜힘 $= (0.0600)(5.42)/0.0400 = 8.13$ N(위). $F_\text{쿠션} = 8.13 + (0.0600)(9.80) = 8.72$ N.

우주 공간에 정지해 있던 80.0 kg 우주인이 2.00 kg 공구를 5.00 m/s로 던졌다. 우주인의 반동 속력은?

$0 = (2.00)(5.00) + (80.0)V$ → $|V| = 0.125$ m/s.

1200 kg 자동차가 25.0 m/s로 신호 대기 중인 1800 kg 자동차를 들이받아 엉겨 붙었다. 충돌 직후 속력과 잃은 운동 에너지의 백분율은?

$v = (1200)(25.0)/3000 = 10.0$ m/s. 남은 비율 $= m_A/(m_A + m_B) = 0.400$ → 60.0%를 잃는다.

8.00 g 총알이 400 m/s로 길이 1.20 m 줄에 매달린 1.50 kg 나무토막에 박혔다. 줄이 연직선과 이루는 최대 각은?

$V = mv/(m+M)$, $h = V^2/2g$, $\cos\theta = 1 - h/L$.

$V = (0.00800)(400)/1.508 = 2.12$ m/s, $h = 2.122^2/19.6 = 0.230$ m, $\cos\theta = 1 - 0.230/1.20 = 0.809$ → $\theta = 36.0^\circ$.

0.150 kg 공이 4.00 m/s로 정지한 0.450 kg 공과 정면 탄성 충돌한다. 충돌 후 두 공의 속도는?

$v_{A2} = \frac{0.150 - 0.450}{0.600}(4.00) = -2.00$ m/s(되튐), $v_{B2} = \frac{2(0.150)}{0.600}(4.00) = 2.00$ m/s.

2.00 kg 수레가 +3.00 m/s로, 1.00 kg 수레가 −2.00 m/s로 마주 와서 탄성 충돌한다. 충돌 후 두 수레의 속도는?

운동량 보존과 $v_{A1} - v_{B1} = -(v_{A2} - v_{B2})$를 연립하거나, 질량 중심 틀($v_\text{cm} = 4/3$ m/s)에서 뒤집는다.

$v_\text{cm} = (6.00 - 2.00)/3.00 = 1.333$ m/s. CM 틀에서 $u_A = 1.667$, $u_B = -3.333$ → 뒤집으면 $-1.667$, $+3.333$. 실험실: $v_{A2} = -0.333$ m/s, $v_{B2} = 4.67$ m/s.

2.00 MeV 중성자가 정지한 탄소-12 핵과 계속 정면 탄성 충돌한다(핵 질량 = 중성자의 12배). 에너지가 0.0250 eV 이하로 떨어지려면 최소 몇 번 충돌해야 하는가?

한 번에 남는 비율 $r = (11/13)^2$. $2.00\times10^6\,r^n \le 0.0250$.

$r = 0.7160$. $n \ge \ln(8.00\times10^7)/\ln(1/0.7160) = 18.20/0.3341 = 54.5$ → 55번. (실제로는 비스듬한 충돌이 섞여 평균 약 115번이 걸린다.)

얼음 위에서 0.300 kg 퍽 A가 동쪽으로 4.00 m/s, 0.200 kg 퍽 B가 북쪽으로 5.00 m/s로 움직이다 충돌해 붙었다. 붙은 퍽의 속력과 방향(동쪽에서 북쪽으로 잰 각)은?

$P_x = 1.20$, $P_y = 1.00$ kg·m/s → $v = \sqrt{1.20^2 + 1.00^2}/0.500 = 3.12$ m/s, $\theta = \arctan(1.00/1.20) = 39.8^\circ$.

3.00 m/s로 가던 당구공이 정지한 같은 질량의 공을 맞혀, 맞은 공이 처음 방향과 37.0°를 이루며 나갔다(탄성). 두 공의 나중 속력은?

사이각 90° → $v_{B2} = 3.00\cos37.0^\circ = 2.40$ m/s, $v_{A2} = 3.00\sin37.0^\circ = 1.81$ m/s (A는 반대쪽 53.0°).

2.00 kg이 (0, 0), 3.00 kg이 (4.00 m, 0), 5.00 kg이 (0, 3.00 m)에 있다. 질량 중심의 좌표는?

$x_\text{cm} = (3.00)(4.00)/10.0 = 1.20$ m, $y_\text{cm} = (5.00)(3.00)/10.0 = 1.50$ m. 시뮬레이터 배치 모드로 확인할 수 있다.

길이 0.900 m인 막대의 선밀도가 $\lambda(x) = \lambda_0(1 + x/L)$이다($x$는 한쪽 끝에서 잰 거리). 질량 중심의 위치 $x_\text{cm}$은?

$\int_0^L(1 + x/L)\,dx = 3L/2$, $\int_0^L x(1 + x/L)\,dx = 5L^2/6$.

$x_\text{cm} = (5L^2/6)/(3L/2) = 5L/9 = 5(0.900)/9 = 0.500$ m.

잔잔한 물 위에 정지한 120 kg 보트에서 60.0 kg 사람이 보트에 대해 4.00 m를 걸었다. 보트는 물에 대해 얼마나 움직이는가? (물의 저항 무시)

질량 중심 고정: $\Delta x_\text{보트} = m\,d/(m+M) = (60.0)(4.00)/180 = 1.33$ m(사람과 반대 방향).

배기 속력 2.50 km/s인 로켓이 우주에서 속도를 4.00 km/s 늘리려 한다. 필요한 질량비와, 처음 질량 중 연료의 비율은?

$m_0/m = e^{4.00/2.50} = e^{1.60} = 4.95$. 연료 비율 $= 1 - 1/4.95 = 0.798$ → 79.8%.

같은 공을 같은 속력으로 벽에 던진다. 공이 벽에 붙어 멈추는 경우(점토)와 같은 속력으로 되튀는 경우(고무공), 벽이 공에 주는 충격량의 크기는?

점토: $\Delta p = mv$. 고무공: $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$. 되튀는 쪽이 운동량 변화가 두 배다.

정지한 수류탄이 마찰 없는 수평 얼음 위에서 세 조각으로 터졌다. 터진 직후 조각들의 질량 중심에 대해 옳은 것은?

수평 외력이 없고 처음 $\vec P = 0$이므로 $\vec v_\text{cm} = 0$이 유지된다.

개념 확인 퀴즈

운동 에너지가 같은 트럭과 자전거 중 운동량이 큰 쪽은?

$p = \sqrt{2mK}$. K가 같으면 질량이 큰 쪽의 운동량이 크다.

공중에서 수평으로 날던 포탄이 두 조각으로 터졌다. 폭발 직전과 직후에 대해 옳은 것은?

폭발력은 내력이라 운동량은 보존된다. 화학 에너지가 운동 에너지로 바뀌므로 K는 늘어난다.

볼링공이 정지한 탁구공과 정면 탄성 충돌하면 탁구공의 속력은 볼링공 처음 속력의 약 몇 배인가?

$v_{B2} = 2m_A v_{A1}/(m_A + m_B) \to 2v_{A1}$ ($m_A \gg m_B$). 무거운 공의 틀에서 보면 탁구공이 $v$로 다가와 $v$로 되튀므로 땅에서는 $2v$.

로켓이 같은 연료를 더 빠른 배기 속력의 엔진으로 태우면?

$\Delta v = v_\text{ex}\ln(m_0/m)$. 질량비가 같으면 $\Delta v$는 $v_\text{ex}$에 비례한다.

공중에서 회전하며 날아가는 렌치에서 포물선을 그리는 점은?

외력은 중력뿐이므로 $\vec a_\text{cm} = \vec g$. 질량 중심은 무거운 머리 쪽으로 치우쳐 있어 기하학적 중앙과 다르다.