Chapter 15

역학적 파동

경기장의 파도타기 응원에서 사람들은 제자리에서 일어났다 앉을 뿐인데, '파도'는 경기장을 한 바퀴 돈다. 파동은 물질이 아니라 교란(모양)과 에너지가 전달되는 현상이다. 13장의 진동이 공간으로 퍼져 나가면 파동이 된다. 아래 줄의 왼쪽 끝을 잡고 흔들어 파동을 만들어 보자.

화면을 누른 채 위아래로 흔들어 보세요

횡파와 종파를 구별하고, 파동이 전달하는 것이 매질이 아니라 교란과 에너지임을 설명한다.
주기적 파동의 진폭·파장·진동수·주기·파수·각진동수 사이의 관계 $v = f\lambda = \omega/k$를 쓰고, 파동 함수 $y(x,t) = A\cos(kx - \omega t)$를 해석한다.
뉴턴 법칙으로 줄의 파동 속력 $v = \sqrt{F/\mu}$와 파동 방정식을 유도한다.
사인파가 나르는 평균 일률 $P_\text{av} = \tfrac12\sqrt{\mu F}\,\omega^2A^2$을 계산한다.
중첩 원리로 간섭을 설명하고, 고정단·자유단·밀도가 다른 줄과의 경계에서 반사·투과를 예측한다.
양 끝이 고정된 줄의 정상파와 고유 진동수 $f_n = n\,v/2L$을 구하고 마디·배의 위치를 찾는다.

파동의 종류

줄, 용수철, 물, 공기처럼 파동을 전달하는 물질을 매질(medium)이라 하고, 매질의 변형이 전달되는 파동을 역학적 파동(mechanical wave)이라 한다(빛 같은 전자기파는 매질이 필요 없다, 29장). 매질의 각 부분은 평형 위치 근처에서 진동할 뿐 파동과 함께 멀리 가지 않는다. 파동이 진행하는 속력 $v$를 파동 속력(wave speed)이라 한다.

횡파와 종파

매질의 변위가 파동의 진행 방향에 수직이면 횡파(transverse wave), 나란하면 종파(longitudinal wave)다. 줄의 파동은 횡파, 용수철을 앞뒤로 밀고 당겨 만든 파동과 음파(16장)는 종파다. 물결파는 두 성분이 함께 있어 수면의 입자가 원(타원)을 그린다.

횡파에서는 매질이 진행 방향에 수직으로, 종파에서는 나란하게 진동한다. 종파에는 촘촘한 곳(밀(compression))과 성긴 곳(소(rarefaction))이 번갈아 생긴다.

오른쪽으로 진행하는 줄의 횡파에서, 줄 위에 칠한 빨간 점 하나는 어떻게 움직일까?

줄의 각 부분은 평형 위치에서 위아래로 단순 조화 운동을 할 뿐이다. 오른쪽으로 가는 것은 '모양'이다. 아래 실험에서 빨간 입자와 점선(평형 위치)을 보라.

SIMULATOR

횡파 · 종파 · 물결파: 입자는 어떻게 움직이나

입자를 누르면 그 입자를 추적한다

진동수 f 진폭 A 물결파(원운동) 줄 추가

파장 λ—

파동 속력 v = fλ—

입자 최대 속력 Aω—

해볼 것: ① 빨간 입자는 진폭이 커져도 평형 위치(점선)를 떠나지 않는다. ② 입자의 속력 $A\omega$와 파동의 속력 $v = f\lambda$는 전혀 다른 양이다 — 진폭만 바꿔 보라. ③ 종파의 '밀'은 오른쪽으로 진행하지만 각 입자는 좌우로만 흔들린다. 물결파의 입자는 원을 그린다.

주기적 파동과 파동 함수

줄의 끝을 단순 조화 운동으로 계속 흔들면 줄의 모든 부분이 같은 진동수로 진동하는 주기적 파동(periodic wave)이 생긴다. 특히 사인 모양의 파동을 사인파(sinusoidal wave)라 한다.

사인파의 해부도. 한 주기 $T$ 동안 파동은 한 파장 $\lambda$만큼 나아가므로 $v = \lambda/T = f\lambda$.

$$v = f\lambda = \frac{\omega}{k}, \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

$k$: 파수(wave number)(rad/m), $\omega$: 각진동수(rad/s). 파동 속력은 매질이 정하고(다음 절), 진동수는 파원이 정한다. 파장은 그 결과다.

파동을 수식으로 쓰려면 위치 $x$에 있는 매질 입자의 시각 $t$에서의 변위 $y(x,t)$ — 파동 함수(wave function) — 가 필요하다. 모양이 바뀌지 않고 속력 $v$로 진행하는 파동은 간단한 성질을 가진다.

시각 0에 줄의 모양(펄스)이 y = f(x)이다.
시각 t에는 모양 전체가 vt만큼 옮겨 가 있다. 위치 x의 변위는 원래 x − vt에 있던 변위와 같다.
따라서 +x로 가는 파동은 y = f(x − vt), −x로 가는 파동은 f(x + vt). 사인 모양이면 $kv = \omega$를 써서 A cos(kx − ωt).

진행파의 파동 함수. 변수 $x$와 $t$가 $x - vt$ 조합으로만 나타난다.

$$y(x,t) = A\cos(kx - \omega t) \quad(+x\text{ 방향}), \qquad y(x,t) = A\cos(kx + \omega t) \quad(-x\text{ 방향})$$

위상 $kx - \omega t$가 일정한 점(예: 마루)은 $dx/dt = \omega/k = v$로 움직인다. 매질 입자의 가로 속도와 가속도는 $v_y = \partial y/\partial t = \omega A\sin(kx - \omega t)$, $a_y = \partial^2y/\partial t^2 = -\omega^2 y$ — 각 입자는 단순 조화 운동을 한다.

진폭 2, 파장 1.5, 진동수 4인 사인파는 속력 로 진행한다. 주기 , 파수 , 각진동수 이고 입자의 최대 가로 속력은 다. 파동 함수:

SIMULATOR

파동 함수 탐색기: 스냅숏 y(x)와 한 점의 기록 y(t)

관찰점 P를 좌우로 끈다

진폭 A 파장 λ 진동수 f

진행 방향

v = fλ—

P의 변위 y—

P의 가로 속도 ∂y/∂t—

시각 t—

왼쪽은 한 순간 줄 전체의 모양($t$ 고정), 오른쪽은 한 점 P가 시간에 따라 움직인 기록($x$ 고정)이다. 둘 다 사인 곡선이지만 가로축의 주기가 각각 $\lambda$와 $T$다. 해볼 것: ① P를 한 파장 옮겨도 오른쪽 그래프는 같다. ② 마루 바로 앞의 점은 올라가고 있다(+x 진행) — 방향을 바꾸면 반대. ③ P의 화살표(가로 속도)는 y = 0에서 가장 크고 마루에서 0이다.

줄을 따라 +x 방향으로 진행하는 사인파의 진폭이 2.50 cm, 파장 0.800 m, 진동수 5.00 Hz이다. 파동 속력, $k$, $\omega$를 구하고 파동 함수를 써라($x = 0, t = 0$에서 $y = A$). 줄 한 점의 최대 가로 속력과 최대 가로 가속도는?

풀이 보기

전략 $v = f\lambda$, $k = 2\pi/\lambda$, $\omega = 2\pi f$. 입자의 최대 속력 $\omega A$, 최대 가속도 $\omega^2A$.

풀이 $v = (5.00)(0.800) = 4.00$ m/s, $k = 2\pi/0.800 = 7.85$ rad/m, $\omega = 31.4$ rad/s. $y = (0.0250\text{ m})\cos(7.85x - 31.4t)$. $v_{y,\max} = (31.4)(0.0250) = 0.785$ m/s, $a_{y,\max} = (31.4)^2(0.0250) = 24.7$ m/s².

v = 4.00 m/s, y = 0.0250 cos(7.85x − 31.4t) (SI), v_y,max = 0.785 m/s, a_y,max = 24.7 m/s²

검토 입자의 최대 속력(0.785 m/s)은 파동 속력(4.00 m/s)과 아무 관계가 없다. 진폭을 키우면 입자만 빨라진다. 위 탐색기에서 확인해 보라.

심화: 파동 방정식

$y = f(x - vt)$를 두 번 미분하면 $\partial^2y/\partial x^2 = f''$, $\partial^2y/\partial t^2 = v^2f''$이므로 모든 진행파는 파동 방정식(wave equation) $$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$을 만족한다. 이 방정식은 선형이므로 해 두 개의 합도 해다 — 중첩 원리의 수학적 근거다. 다음 절에서 줄에 뉴턴 제2법칙을 적용하면 이 방정식이 $v^2 = F/\mu$와 함께 나온다. 장 머리의 줄은 이 방정식을 유한 차분으로 직접 적분한 것이다.

줄의 파동 속력

팽팽한 기타 줄을 튕기면 파동은 매우 빠르게, 느슨하고 무거운 밧줄에서는 느리게 퍼진다. 줄을 원래 위치로 되돌리는 것은 장력 $F$이고, 그에 저항하는 관성은 단위 길이당 질량, 곧 선밀도(linear mass density) $\mu = m/L$이다.

속력 v로 오른쪽으로 가는 펄스.
펄스와 함께 움직이는 관성 기준틀에서는 펄스 모양이 멈춰 있고 줄의 물질이 왼쪽으로 속력 v로 흘러간다.
펄스 꼭대기의 작은 조각은 반지름 R인 원호를 따라 움직인다. 양 끝의 장력 F가 만드는 알짜힘은 중심을 향하고 크기는 FΔl/R이다.
이 힘이 구심력(질량 × v²/R)이다. Δl과 R이 약분되어 펄스 모양과 무관한 결과가 나온다.

줄의 파동 속력 유도(작은 진폭 근사). 펄스의 모양·크기와 무관하게 $F$와 $\mu$만으로 속력이 정해진다.

$$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$

$F$: 장력(N), $\mu$: 선밀도(kg/m). 일반적으로 파동 속력 = $\sqrt{\text{복원력 요소}/\text{관성 요소}}$이다(음파는 16장에서 $\sqrt{B/\rho}$).

선밀도 10인 줄을 도르래에 걸고 질량 2.0인 추를 매달면 장력은 이고 파동 속력은 다. 펄스가 3.00 m를 가는 데 가 걸린다. 속력을 2배로 하려면 추를 으로 바꿔야 한다.

줄 B 장력 F_B/F_A 줄 B 선밀도 μ_B/μ_A

MINI LAB길이 4.00 m인 두 줄에 동시에 펄스를 보낸다. 줄 A는 $F = 20.0$ N, $\mu = 20.0$ g/m($v = 31.6$ m/s). 장력을 4배로 하거나 선밀도를 1/4로 해야 속력이 2배가 된다. 펄스의 높이나 폭은 도착 시간에 영향이 없다(느린 화면 1/40).

선밀도 15.0 g/m인 줄의 한쪽 끝을 벽에 묶고 다른 쪽을 도르래에 걸어 2.00 kg 추를 매달았다. 벽과 도르래 사이는 2.00 m이다. 파동 속력과, 펄스가 벽에서 도르래까지 가는 시간은?

풀이 보기

전략 추가 정지해 있으므로 장력 $F = mg$. 그다음 $v = \sqrt{F/\mu}$.

풀이 $F = (2.00)(9.80) = 19.6$ N, $v = \sqrt{19.6/0.0150} = 36.1$ m/s, $t = 2.00/36.1 = 0.0553$ s.

v = 36.1 m/s, t = 0.0553 s

검토 추를 4배(8.00 kg)로 하면 속력은 2배다. 줄의 질량(30 g)이 추보다 훨씬 작으므로 장력이 줄 전체에서 같다고 본 근사는 타당하다.

파동의 에너지

파동은 물질은 나르지 않지만 에너지는 나른다. 줄의 왼쪽 끝을 흔드는 손은 줄에 일을 하고, 그 에너지가 줄을 따라 흘러간다. 위치 $x$에서 왼쪽 부분이 오른쪽 부분에 가하는 가로 방향 힘은 $-F\,\partial y/\partial x$이므로, 그 점을 지나는 순간 일률은

$$P(x,t) = -F\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t} = \sqrt{\mu F}\,\omega^2A^2\sin^2(kx - \omega t), \qquad P_\text{av} = \tfrac12\sqrt{\mu F}\,\omega^2A^2$$

사인파의 평균 일률은 진폭의 제곱과 진동수의 제곱에 비례한다. 이 결과는 13장 진동의 에너지 $\tfrac12kA^2$가 진폭의 제곱에 비례한 것과 같은 이유다.

진폭 A 진동수 f

MINI LAB위: 줄의 모양($\mu = 5.00$ g/m, $F = 40.0$ N). 아래: 단위 길이당 운동 에너지(파랑)와 퍼텐셜 에너지(주황). 진행파에서 두 에너지는 같은 곳에서 함께 최대가 된다 — 줄이 가장 빠르고 가장 많이 늘어난 평형 위치(y = 0)에서다. 마루에서는 둘 다 0이다. A나 f를 2배로 하면 일률은 4배.

선밀도 5, 장력 40인 줄에 진폭 4, 진동수 100의 사인파를 보내려면 평균 의 일률이 필요하다. 파동 속력은 .

선밀도 5.00 g/m, 장력 40.0 N인 줄에 진폭 4.00 mm, 진동수 100 Hz의 사인파를 계속 보낸다. 필요한 평균 일률은? 진폭을 그대로 두고 진동수만 절반으로 하면?

풀이 보기

풀이 $\sqrt{\mu F} = \sqrt{(0.00500)(40.0)} = 0.447$ kg/s, $\omega = 628$ rad/s. $P_\text{av} = \tfrac12(0.447)(628)^2(0.00400)^2 = 1.41$ W. 진동수 절반 → $\omega^2$이 1/4 → 0.353 W.

1.41 W; 진동수를 절반으로 하면 0.353 W

검토 위 드래그 숫자 문단의 기본값이 이 예제다. $\sqrt{\mu F}$는 줄의 '임피던스'라 부르며 경계에서의 반사(다음 절)도 이 값이 정한다.

심화: 세기와 역제곱 법칙

3차원으로 퍼지는 파동은 단위 넓이당 일률, 곧 세기(intensity) $I$(W/m²)로 기술한다. 점 파원이 모든 방향으로 고르게 일률 $P$를 내면 반지름 $r$인 구면을 같은 에너지가 지나므로 $I = P/4\pi r^2$: 거리가 2배면 세기는 1/4이다. 에너지가 넓게 퍼질 뿐 사라지지 않는다.

경계에서의 반사와 중첩 원리

두 파동이 같은 곳을 지나면 어떻게 될까? 줄의 파동 방정식은 선형이므로 답은 간단하다.

중첩 원리

두 파동이 겹치면 각 점의 실제 변위는 각 파동이 따로 있을 때의 변위의 합이다: $y(x,t) = y_1(x,t) + y_2(x,t)$ (중첩 원리(principle of superposition)). 겹친 뒤에도 각 파동은 원래 모양 그대로 지나간다.

SIMULATOR

두 펄스의 중첩: 펄스 모양을 끌어 만들어라

흰 점: 위아래 = 높이, 좌우 = 폭

시각 t 각 펄스를 점선으로

펄스 1 높이 · 폭—

펄스 2 높이 · 폭—

합의 최대 변위—

두 펄스는 같은 속력(1 m/s)으로 마주 달린다. 해볼 것: ① ‘같은 쪽’에서 t = 0일 때 높이가 두 배가 되는 보강 간섭(constructive interference)을 보라. ② ‘반대쪽’에서는 t = 0에 줄이 순간적으로 완전히 평평해진다(상쇄 간섭(destructive interference)). 에너지는 사라지지 않고 그 순간 모두 운동 에너지로 있다. ③ 폭이 다른 펄스를 만들어도 겹친 뒤 각자 원래 모양으로 나온다.

경계에서의 반사

파동이 줄의 끝이나 다른 매질과의 경계에 닿으면 일부 또는 전부가 반사된다. 끝이 벽에 묶인 고정단(fixed end)에서는 줄이 벽을 위로 당기고, 벽은 반작용으로 줄을 아래로 당긴다. 그 결과 반사된 펄스는 뒤집힌다. 고리에 걸려 자유롭게 미끄러지는 자유단(free end)에서는 끝이 펄스 높이의 두 배까지 튀어 올랐다가 같은 쪽 펄스를 돌려보낸다.

위로 볼록한 펄스가 벽에 단단히 묶인 줄 끝(고정단)에 도착했다. 반사되어 돌아오는 펄스는?

고정단은 변위가 늘 0이어야 한다. 이 조건은 '뒤집힌 가상의 펄스가 벽 반대편에서 다가와 겹치는 것'과 같다. 아래 실험에서 경계를 바꿔 가며 확인하라.

SIMULATOR

경계에서의 반사와 투과

왼쪽 끝 흰 점을 위아래로 끌어 직접 펄스를 만든다

오른쪽 경계

반사 계수 (이론)—

투과 계수 (이론)—

줄 2의 속력—

줄은 파동 방정식을 유한 차분으로 직접 풀어 움직인다. 이어진 줄 두 개의 경우 반사 계수 $R = (Z_1 - Z_2)/(Z_1 + Z_2)$, 투과 계수 $T = 2Z_1/(Z_1 + Z_2)$, $Z = \sqrt{\mu F}$. 해볼 것: ① 무거운 줄(μ 4배, 느림)과의 경계에서는 반사파가 뒤집히고(고정단과 비슷), 가벼운 줄(μ 1/4배, 빠름)과의 경계에서는 뒤집히지 않는다(자유단과 비슷). ② 투과파는 언제나 뒤집히지 않는다. ③ 무거운 줄에서는 투과 펄스가 짧아진다 — 속력이 느려 파장이 줄기 때문이다.

사인파의 간섭

같은 방향으로 진행하는 진동수가 같은 두 사인파 $y_1 = A\cos(kx - \omega t)$, $y_2 = A\cos(kx - \omega t + \phi)$를 더하면 삼각함수 합 공식으로

$$y = \left[2A\cos\frac{\phi}{2}\right]\cos\!\left(kx - \omega t + \frac{\phi}{2}\right)$$

합도 같은 진동수의 사인파이며 진폭은 위상차 $\phi$에 따라 0($\phi = \pi$)에서 $2A$($\phi = 0$)까지 변한다.

위상차 φ A₂ / A₁

MINI LAB점선은 두 파동, 굵은 선은 합이다. 합의 진폭은 $\sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\phi}$이다. φ = 180°이고 진폭이 같으면 완전히 상쇄된다 — 소음 제거 헤드폰의 원리.

진폭이 3.00 mm로 같고 진동수·파장이 같은 두 사인파가 같은 방향으로 진행한다. 위상차가 $\pi/3$일 때 합성파의 진폭은? 진폭이 3.00 mm가 되려면 위상차는?

풀이 보기

풀이 $2A\cos(\phi/2) = 2(3.00)\cos30^\circ = 5.20$ mm. $2A\cos(\phi/2) = A$ → $\cos(\phi/2) = 1/2$ → $\phi = 2\pi/3$ (120°).

5.20 mm; φ = 2π/3 = 120°

검토 위 미니 실험에서 φ = 60°와 120°로 확인하라. 위상차 120°에서는 두 파동을 더해도 하나와 같은 진폭이다.

정상파와 줄의 고유 진동

양 끝이 고정된 줄에 사인파를 보내면 끝에서 반사된 파동과 원래 파동이 반대 방향으로 진행하며 겹친다. 진폭이 같고 반대로 가는 두 사인파의 합은 더 이상 진행하지 않는 정상파(standing wave)가 된다.

오른쪽으로 진행하는 사인파 하나.
반사되어 왼쪽으로 진행하는 같은 진폭의 사인파를 더한다(굵은 선이 합).
시간이 지나도 합의 마루는 옆으로 가지 않는다. 각 점은 자리마다 다른 진폭으로 위아래로만 진동한다.
늘 정지한 점이 마디(N), 가장 크게 진동하는 점이 배(A)다. 마디 사이 간격은 반 파장이다.

정상파의 형성. 여기서는 줄의 길이 L이 두 파장(n = 4)이다.

$$y = y_1 + y_2 = -A\cos(kx + \omega t) + A\cos(kx - \omega t) = (2A\sin kx)\sin\omega t$$

$x = 0$의 고정단에서 뒤집혀 반사된 파동 $y_1$과 원래 파동 $y_2$의 합은 $x = 0$에서 늘 0이다. 위치마다 진폭 $2A|\sin kx|$가 다른 단순 조화 운동이다. 마디(node)는 $x = 0, \lambda/2, \lambda, \ldots$, 배(antinode)는 $x = \lambda/4, 3\lambda/4, \ldots$.

양 끝($x = 0, L$)이 모두 마디여야 하므로 줄의 길이는 반 파장의 정수배여야 한다: $L = n\lambda/2$. 줄은 아무 진동수로나 정상파를 만들지 못하고, 다음 진동수에서만 크게 울린다.

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = n\frac{v}{2L} = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}} \qquad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

$f_1$: 기본 진동수(fundamental frequency). $f_n = nf_1$을 배음(harmonics)이라 하고, 이 진동 양식들을 줄의 정규 모드(normal modes)라 한다.

양 끝이 고정된 줄의 처음 네 모드. 모드 $n$에는 배가 $n$개, (양 끝을 포함한) 마디가 $n+1$개 있다. 빨간 점은 양 끝을 뺀 마디.

줄을 기본 진동수의 정확히 3배로 흔들면 줄은 어떤 모양으로 진동할까?

$f_3 = 3f_1$은 세 번째 정규 모드이므로 $L = 3\lambda/2$: 배 3개. 아래 실험실에서 진동수를 훑어 공명을 찾아보라.

SIMULATOR

정상파 실험실: 진동수를 훑어 공명을 찾아라

오른쪽 공명 곡선 위를 끌어 진동수를 고른다

구동 진동수 f 장력 F 마디·배 표시

기본 진동수 f₁ = v/2L—

f / f₁—

파장 λ = v/f—

상태—

길이 1.00 m, 선밀도 5.00 g/m인 줄의 왼쪽 끝을 진폭 1 mm로 흔든다(약한 감쇠 포함, 그림은 느린 화면). 오른쪽은 진동수에 따른 줄의 최대 진폭(공명 곡선)이다. 해볼 것: ① ‘진동수 훑기’로 $f_1, 2f_1, 3f_1, \ldots$에서 진폭이 치솟는 것을 보라. ② 공명에서 마디 사이 거리가 $\lambda/2$인지 확인하라. ③ 장력을 4배로 하면 모든 공명 진동수가 2배가 된다.

길이 0.65, 선밀도 0.4인 기타 줄을 장력 74으로 감으면 파동 속력 , 기본 진동수 로 울린다. 가장 가까운 음은 이다.

기타의 1번 줄(E4, 330 Hz)은 진동하는 부분의 길이가 0.650 m이고 선밀도는 0.400 g/m이다. 줄의 파동 속력과 장력을 구하라. 둘째, 셋째 배음의 진동수는?

풀이 보기

전략 기본 모드에서 $\lambda_1 = 2L$이므로 $v = f_1\lambda_1 = 2Lf_1$. 그다음 $F = \mu v^2$.

풀이 $v = 2(0.650)(330) = 429$ m/s, $F = (4.00\times10^{-4})(429)^2 = 73.6$ N. $f_2 = 660$ Hz, $f_3 = 990$ Hz.

v = 429 m/s, F = 73.6 N; f₂ = 660 Hz, f₃ = 990 Hz

검토 줄 하나가 약 7.5 kg의 무게에 해당하는 장력을 견딘다. 기타 줄 여섯 개의 장력을 합치면 400 N이 넘어 넥이 휘지 않도록 쇠막대(트러스 로드)가 들어 있다. 프렛을 눌러 길이를 줄이면 $f \propto 1/L$로 음이 높아진다.

CHALLENGE

고유 진동수 맞히기

아래 눈금의 흰 점을 끌어 진동수를 정한다

예측 진동수 (Hz)

문제—

결과—

점수—

무작위로 주어진 줄(길이·장력·선밀도)을 지정된 모드 n으로 울리는 진동수를 계산해 입력하거나 눈금에서 끈 뒤 ‘울려 보기’를 누른다. 오차 2% 이내면 줄이 그 모드로 크게 울리며 명중이다. 계산 순서: $v = \sqrt{F/\mu}$ → $f_n = nv/2L$.

핵심 정리

역학적 파동은 매질을 통해 교란과 에너지를 전달한다. 매질의 운동이 진행 방향에 수직이면 횡파, 나란하면 종파.
주기적 파동: $v = f\lambda = \omega/k$, $k = 2\pi/\lambda$, $\omega = 2\pi f$. +x로 진행하는 사인파 $y = A\cos(kx - \omega t)$; 일반적으로 $y = f(x \mp vt)$이며 파동 방정식 $\partial^2y/\partial x^2 = (1/v^2)\partial^2y/\partial t^2$을 만족한다.
줄의 파동 속력 $v = \sqrt{F/\mu}$ — 매질(장력·선밀도)이 정하고, 진폭·진동수와 무관하다. 매질 입자의 최대 속력 $\omega A$와 혼동하지 않는다.
사인파의 평균 일률 $P_\text{av} = \tfrac12\sqrt{\mu F}\,\omega^2A^2$ — 진폭과 진동수의 제곱에 비례한다. 점 파원의 세기는 $1/r^2$로 준다.
중첩 원리: 변위는 더해진다. 고정단에서 반사파는 뒤집히고 자유단에서는 그대로다. 임피던스가 큰(무거운) 줄과의 경계에서 반사파가 뒤집힌다. 같은 방향 두 사인파의 합성 진폭은 $2A\cos(\phi/2)$.
양 끝 고정 줄의 정상파 $y = (2A\sin kx)\sin\omega t$: $L = n\lambda/2$, $f_n = nv/2L = nf_1$. 마디 간격 $\lambda/2$, 모드 n에는 배가 n개.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s²를 쓰고, 줄의 장력은 줄 전체에서 같다고 본다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

진동수 256 Hz인 소리굽쇠가 공기 중에 파장 1.34 m인 음파를 만든다. 음파의 속력은?

$v = f\lambda = (256)(1.34) = 343$ m/s.

줄의 파동이 $y = (0.0400\text{ m})\sin(5.00x - 20.0t)$(SI 단위)로 주어진다. 파동의 속력은? 진행 방향은?

$v = \omega/k = 20.0/5.00 = 4.00$ m/s, $kx - \omega t$ 꼴이므로 +x 방향.

위 문제의 파동의 파장과 진동수는?

$\lambda = 2\pi/k = 2\pi/5.00 = 1.26$ m, $f = \omega/2\pi = 20.0/2\pi = 3.18$ Hz. 확인: $f\lambda = 4.00$ m/s.

위 파동에서 줄 한 점의 최대 가로 속력과 최대 가로 가속도는?

$\partial y/\partial t$와 $\partial^2y/\partial t^2$의 진폭: $\omega A$, $\omega^2A$.

$\omega A = (20.0)(0.0400) = 0.800$ m/s, $\omega^2A = (400)(0.0400) = 16.0$ m/s².

장력 50.0 N, 선밀도 0.0200 kg/m인 줄에서 파동 속력은?

$v = \sqrt{50.0/0.0200} = 50.0$ m/s.

길이 5.00 m, 질량 0.400 kg인 밧줄을 80.0 N으로 당겨 놓았다. 한쪽 끝에서 만든 펄스가 다른 끝까지 가는 시간은?

$\mu = 0.400/5.00 = 0.0800$ kg/m, $v = \sqrt{80.0/0.0800} = 31.6$ m/s, $t = 5.00/31.6 = 0.158$ s.

장력 60.0 N에서 파동 속력이 30.0 m/s인 줄이 있다. 속력을 45.0 m/s로 높이려면 장력을 얼마로 해야 하는가?

$F \propto v^2$ → $F = 60.0\times(45.0/30.0)^2 = 135$ N.

선밀도 0.0300 kg/m, 장력 27.0 N인 줄에 진폭 5.00 mm, 진동수 60.0 Hz의 사인파를 보낸다. 평균 일률은?

$\sqrt{\mu F} = 0.900$ kg/s, $\omega = 377$ rad/s, $P = \tfrac12(0.900)(377)^2(0.00500)^2 = 1.60$ W.

같은 줄에서 진폭을 2배로, 진동수를 절반으로 바꾸면 평균 일률은?

$P \propto \omega^2A^2$ → $(1/2)^2\times2^2 = 1$. 그대로다.

양 끝이 고정된 길이 0.800 m인 줄에서 파동 속력이 240 m/s이다. 기본 진동수는?

$f_1 = v/2L = 240/1.60 = 150$ Hz.

양 끝이 고정된 길이 1.20 m인 줄이 120 Hz에서 배가 4개인 정상파로 진동한다. 파동 속력과 파장은?

$n = 4$ → $\lambda = 2L/4 = 0.600$ m, $v = f\lambda = 72.0$ m/s.

기타 줄(진동 길이 0.640 m, 선밀도 1.20 g/m)을 G3(196 Hz)에 맞추려면 장력이 얼마여야 하는가?

$v = 2Lf_1 = 2(0.640)(196) = 251$ m/s, $F = \mu v^2 = (1.20\times10^{-3})(250.9)^2 = 75.5$ N.

양 끝이 고정된 길이 0.900 m인 줄의 연속한 두 공명 진동수가 420 Hz와 525 Hz이다. 기본 진동수와 파동 속력은?

이웃한 배음의 차가 기본 진동수다: $f_{n+1} - f_n = f_1$.

$f_1 = 525 - 420 = 105$ Hz(420 Hz는 4번째, 525 Hz는 5번째 배음). $v = 2Lf_1 = 2(0.900)(105) = 189$ m/s.

진폭이 각각 4.00 mm이고 진동수·파장이 같은 두 사인파가 같은 방향으로 진행하며 위상차가 90°이다. 합성파의 진폭은?

$2A\cos(\phi/2) = 8.00\cos45^\circ = 5.66$ mm.

가벼운 줄이 무거운 줄에 이어져 있다. 가벼운 줄에서 위로 볼록한 펄스가 경계에 도착하면 반사된 펄스와 투과된 펄스는?

무거운 줄(임피던스가 큼)은 고정단처럼 작용해 반사파가 뒤집힌다($R < 0$). 투과파는 항상 같은 쪽이다($T > 0$). 반사 시뮬레이터에서 확인하라.

개념 확인 퀴즈

줄 끝을 흔드는 진동수를 2배로 하면(장력·선밀도는 그대로) 무엇이 바뀌는가?

속력은 매질이 정한다($\sqrt{F/\mu}$). $v = f\lambda$가 일정하므로 파장이 절반.

횡파에서 줄의 한 점이 가장 빠르게 움직이는 순간은?

각 점은 단순 조화 운동을 하므로 평형 위치에서 가장 빠르고 마루·골에서 순간 정지한다.

두 펄스가 상쇄 간섭으로 줄이 순간적으로 완전히 평평해졌다. 그 순간 에너지는?

줄은 평평하지만(늘어남 없음 → 퍼텐셜 0) 겹친 부분이 빠르게 움직이고 있다. 그래서 다음 순간 두 펄스가 다시 나타난다.

기타 줄의 장력을 4배로 하면 기본 진동수는?

$f_1 = \sqrt{F/\mu}/2L \propto \sqrt F$. 한 옥타브(2배) 올라간다.

양 끝이 고정된 줄의 세 번째 배음(n = 3)에서 양 끝을 뺀 마디의 수는?

마디는 양 끝 포함 n + 1 = 4개, 양 끝을 빼면 2개. 배는 3개다.