Appendix A

물리를 위한 수학 도구

물리 법칙은 수학의 언어로 쓰여 있다. 이 부록은 본문에서 쓰는 수학 — 삼각함수, 벡터, 미분과 적분, 근사, 미분 방정식 — 을 증명보다 그림과 감각으로 복습한다. 처음부터 읽어도 좋고, 본문을 읽다가 막히는 곳만 찾아와도 좋다.

좌우로 끌어 보세요 · 원을 도는 점의 그림자가 사인 곡선이다

각과 삼각함수

물리에서 각은 주로 라디안으로 잰다. 반지름 $r$인 원에서 각 $\theta$가 잘라 내는 호의 길이가 $s$이면 $\theta = s/r$이다. 한 바퀴는 $2\pi$ rad = 360°, 1 rad ≈ 57.3°. 라디안을 쓰면 $s = r\theta$, $v = r\omega$(9장)처럼 식이 깔끔해진다.

삼각비. "θ에 붙은 변(이웃변)은 cos, 마주 보는 변(맞변)은 sin"이라고 기억하자.

MINI LAB단위원 위의 점(흰 원)을 끌어 보라. 점의 x좌표가 cos θ, y좌표가 sin θ다. 오른쪽 그래프는 θ에 따른 sin(주황)과 cos(파랑). 90°를 넘으면 cos가 음수가 된다 — 2사분면의 벡터는 x성분이 음수다.

작은 각 근사

각이 작으면(라디안으로) $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$, $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$이다. 진자의 단진동(14장), 이중 슬릿의 무늬 위치(31장)가 모두 이 근사에서 나온다.

각 10 = rad에서 $\sin\theta =$ 이므로, $\sin\theta \approx \theta$의 오차는 다.

벡터

크기와 방향을 함께 가진 양이 벡터(vector)다(1장). 계산은 거의 언제나 성분으로 한다: $\vec A = A_x\hat\imath + A_y\hat\jmath + A_z\hat k$.

$$\vec A + \vec B = (A_x + B_x,\ A_y + B_y), \qquad \vec A\cdot\vec B = AB\cos\theta = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z, \qquad |\vec A\times\vec B| = AB\sin\theta$$

내적은 스칼라 — 한 벡터의 다른 벡터 방향 성분과의 곱(일 $W = \vec F\cdot\vec d$). 외적은 두 벡터에 수직인 벡터, 방향은 오른손 법칙(돌림힘 $\vec\tau = \vec r\times\vec F$, 자기력 $q\vec v\times\vec B$). $(\vec A\times\vec B)_z = A_xB_y - A_yB_x$.

그림으로는 첫 벡터의 머리에 둘째 벡터의 꼬리를 잇는다.
계산으로는 각 벡터를 $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$로 나눈다.
성분끼리 더한 뒤 크기 $\sqrt{R_x^2 + R_y^2}$와 방향 $\tan^{-1}(R_y/R_x)$로 되돌린다. $R_x < 0$이면 각에 180°를 더해야 한다.

벡터의 덧셈. 크기끼리 더하면 안 된다(4.72 + 2.66 ≠ 7.35).

SIMULATOR

벡터 계산기

두 벡터의 머리(흰 원)를 끈다

보기

0.5 눈금에 맞추기

A (성분 · 크기 · 각)—

B (성분 · 크기 · 각)—

결과—

내적 보기에서는 B를 A 방향으로 내린 그림자(투영)가 표시된다: $\vec A\cdot\vec B = A \times (B\cos\theta)$. 외적 보기에서는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이가 $|\vec A\times\vec B|$이고, 부호(+는 화면 밖으로 ⊙, −는 화면 안으로 ⊗)가 방향이다. 해볼 것: 두 벡터를 수직으로 놓으면 내적이 0, 나란히 놓으면 외적이 0.

크기 20, 방향 +x축에서 150인 벡터의 성분은 $A_x =$ , $A_y =$ 이다.

미분: 순간의 변화율

위치 $x(t)$의 그래프에서 두 점을 잇는 직선(할선)의 기울기가 평균 속도다. 두 점을 한없이 가깝게 하면 할선이 한 점의 접선이 되고, 그 기울기가 순간 속도 — 도함수(derivative)다(2장).

$$\frac{dx}{dt} = \lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}, \qquad \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1},\quad \frac{d}{dx}\sin x = \cos x,\quad \frac{d}{dx}e^{x} = e^{x},\quad \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g)\,g'(x)$$

물리의 예: $v = dx/dt$, $a = dv/dt$, $F = -dU/dx$(7장), $I = dq/dt$, $\mathcal E = -d\Phi_B/dt$. 마지막 식은 연쇄 법칙: $\tfrac{d}{dt}\sin(\omega t) = \omega\cos(\omega t)$.

SIMULATOR

할선에서 접선으로

곡선 위의 점(흰 원)을 끈다

함수 f(x)

간격 Δx 도함수 f′(x) 그리기

점 x · f(x)—

할선의 기울기—

접선의 기울기 f′(x)—

Δx 슬라이더를 0으로 줄여 할선(주황)이 접선(검정 점선)에 다가가는 것을 보라. 아래 그래프(초록)가 접선의 기울기를 모은 도함수다. 해볼 것: ① x³ − 3x에서 꼭대기와 바닥의 기울기는 0이다 — 퍼텐셜 에너지의 극값이 평형점인 이유(7장). ② eˣ는 도함수가 자기 자신이다.

적분: 작은 조각의 합

속도가 일정하면 거리 = 속도 × 시간, 곧 $v$–$t$ 그래프 아래의 넓이다. 속도가 변하면 시간을 잘게 나누어 조각마다 거의 일정하다고 보고 더한다. 조각을 한없이 잘게 하면 정적분(definite integral)이 된다. 적분은 미분의 역연산이다(미적분의 기본 정리).

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N} f(x_i)\,\Delta x = F(b) - F(a)\quad(F' = f), \qquad \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n \ne -1),\quad \int\frac{dx}x = \ln x$$

물리의 예: 변위 $\int v\,dt$, 일 $\int F\,dx$(6장), 충격량 $\int F\,dt$, 관성 모멘트 $\int r^2\,dm$, 전위 $-\int\vec E\cdot d\vec l$, 등온 팽창의 일 $nRT\ln(V_2/V_1)$.

SIMULATOR

리만 합에서 적분으로

아래 두 경계(흰 원)를 끈다

함수

조각 수 N

높이 고르기

구간 [a, b]—

리만 합—

정확한 적분—

오차—

x축 아래의 넓이는 음수로 센다(빨강). 해볼 것: ① N을 2배로 하면 왼쪽 끝 방법은 오차가 약 1/2, 가운데 방법은 약 1/4로 준다. ② sin x를 0에서 π까지 적분하면 정확히 2. ③ 1/x를 1에서 e(≈ 2.718)까지 적분하면 1 — 자연로그의 정의.

테일러 근사

매끄러운 함수는 한 점 근처에서 다항식으로 근사할 수 있다. 물리학자는 거의 언제나 처음 한두 항만 쓴다 — 그것이 "작은 진동", "작은 각", "느린 속력"에서 법칙이 단순해지는 이유다.

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots, \qquad (1 + x)^n \approx 1 + nx\ (|x| \ll 1)$$

$\sin x \approx x - x^3/6$, $\cos x \approx 1 - x^2/2$, $e^x \approx 1 + x + x^2/2$, $\gamma = (1 - \beta^2)^{-1/2} \approx 1 + \tfrac12\beta^2$ → $(\gamma - 1)mc^2 \approx \tfrac12mv^2$(32장). 지표 근처의 중력 $GMm/(R + h)^2 \approx (GMm/R^2)(1 - 2h/R)$(13장).

차수

MINI LAB파란 곡선이 원래 함수, 주황이 근사 다항식이다. x축의 흰 원을 끌어 그 점의 오차를 보라. 차수를 올릴수록 근사가 맞는 범위가 넓어진다. √(1 + x)와 1/√(1 − x²)는 |x| < 1 밖에서는 차수를 올려도 맞지 않는다(수렴 반지름).

$(1 + x)^n$에서 $x =$ 0.05, $n =$ -2이면 정확한 값은 , 근사 $1 + nx$는 로 오차 다.

미분 방정식

물리 법칙의 상당수는 "변화율이 지금 상태에 따라 정해진다"는 꼴이다. 뉴턴 제2법칙 $m\,d^2x/dt^2 = F(x, v)$가 대표적이다. 이런 식을 미분 방정식(differential equation)이라 하고, 처음 상태(초기 조건)가 주어지면 앞으로의 운동이 정해진다.

방정식	해	본문의 예
$dy/dt = -ky$	$y = y_0e^{-kt}$	RC 방전(24장), RL 회로(27장), 방사성 붕괴, 뉴턴 냉각
$d^2x/dt^2 = -\omega^2x$	$x = A\cos(\omega t + \phi)$	용수철(14장), 진자, LC 회로(27장)
$d^2x/dt^2 = -\omega^2x - \gamma\,dx/dt$	감쇠 진동 $Ae^{-\gamma t/2}\cos\omega' t$	감쇠 진동자, RLC 회로(28장)
$dv/dt = g - (k/m)v$	$v = v_t(1 - e^{-t/\tau})$	공기 저항이 있는 낙하(5장)

해를 식으로 쓸 수 없을 때는 컴퓨터로 한 걸음씩 푼다. 가장 단순한 오일러 방법은 "지금의 변화율로 $\Delta t$만큼 나아간다"이고, 이 책의 시뮬레이터 대부분은 더 정확한 RK4(룽게–쿠타 4차) 방법을 쓴다.

$$\text{오일러: } y_{n+1} = y_n + f(t_n, y_n)\,\Delta t, \qquad \text{RK4: 한 걸음 안에서 기울기를 네 번 재어 가중 평균}$$

오일러 방법의 오차는 $\Delta t$에 비례하고, RK4는 $\Delta t^4$에 비례한다. 진동을 오일러 방법으로 풀면 에너지가 조금씩 불어나 진폭이 커진다.

SIMULATOR

오일러 대 RK4

처음 값(흰 원)을 위아래로 끈다

방정식

시간 간격 Δt

마지막 값: 정확—

오일러 (오차)—

RK4 (오차)—

검정 = 정확한 해, 빨강 = 오일러, 파랑 = RK4(점은 계산한 걸음). 해볼 것: ① 진동에서 Δt = 0.3이면 오일러 해가 점점 커진다(에너지가 늘어난다). ② Δt를 절반으로 하면 오일러 오차는 약 절반, RK4 오차는 약 1/16. ③ 감쇠에서 Δt > 2이면 오일러 해가 진동하며 터진다(수치 불안정) — 여기서는 1까지만.

핵심 정리

각은 라디안 $\theta = s/r$. 작은 각에서 $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$, $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$.
벡터는 성분으로 더한다. 내적 $AB\cos\theta$(스칼라), 외적 $AB\sin\theta$(수직 벡터, 오른손 법칙).
도함수 = 접선의 기울기 = 순간 변화율. $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(e^x)' = e^x$, 연쇄 법칙.
정적분 = 그래프 아래 넓이 = 작은 조각의 합의 극한 = $F(b) - F(a)$.
테일러·이항 근사 $(1 + x)^n \approx 1 + nx$: 작은 양에 대해 첫 항만 남긴다.
미분 방정식은 초기 조건과 함께 운동을 정한다. 지수 감쇠와 단진동이 가장 흔하다. 수치 풀이는 RK4가 오일러보다 훨씬 정확하다.

개념 확인 퀴즈

방향이 +x축에서 120°인 크기 10의 벡터의 x성분은?

$10\cos120° = -5$. 2사분면이라 x성분이 음수.

두 벡터의 내적이 0이면?

$\cos90° = 0$. 원운동에서 구심력이 일을 하지 않는 이유.

$x(t) = 3t^2$일 때 $t = 2$에서의 속도는?

$dx/dt = 6t = 12$.

$v$–$t$ 그래프 아래의 넓이는?

$\Delta x = \int v\,dt$.

방정식	해	본문의 예
\(dy/dt = -ky\)	\(y = y_0e^{-kt}\)	RC 방전(24장), RL 회로(27장), 방사성 붕괴, 뉴턴 냉각
\(d^2x/dt^2 = -\omega^2x\)	\(x = A\cos(\omega t + \phi)\)	용수철(14장), 진자, LC 회로(27장)
\(d^2x/dt^2 = -\omega^2x - \gamma\,dx/dt\)	감쇠 진동 \(Ae^{-\gamma t/2}\cos\omega' t\)	감쇠 진동자, RLC 회로(28장)
\(dv/dt = g - (k/m)v\)	\(v = v_t(1 - e^{-t/\tau})\)	공기 저항이 있는 낙하(5장)