Chapter 26

자기장의 원천

1820년 외르스테드는 강의 도중 전류가 흐르는 도선 옆의 나침반 바늘이 돌아가는 것을 보았다. 전기와 자기가 처음으로 이어진 순간이다. 25장에서는 자기장이 전류에 주는 힘을 보았고, 이 장에서는 반대로 전류가 자기장을 만든다는 것을 다룬다. 전류 조각 하나가 만드는 장(비오–사바르 법칙)에서 출발해, 대칭이 있을 때 쓰는 지름길(앙페르 법칙), 그리고 전자석·MRI의 심장인 솔레노이드와 철이 자석이 되는 원리까지 간다.

도선(가운데)을 누르면 전류가 켜지고 방향이 바뀐다 · 끌어서 옮길 수도 있다

비오–사바르 법칙 $d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2}$로 직선 도선과 원형 고리의 자기장을 구한다.
오른손 규칙으로 전류가 만드는 자기장의 방향을 찾고, 여러 도선의 장을 중첩한다.
평행 도선 사이의 힘 $F/L = \mu_0I_1I_2/2\pi d$를 구하고 암페어의 정의와 연결한다.
앙페르 법칙 $\oint\vec B\cdot d\vec l = \mu_0I_\text{안}$으로 굵은 도선·솔레노이드·토로이드의 장을 구한다.
상자성·반자성·강자성을 원자의 자기 모멘트로 설명하고 히스테리시스를 해석한다.

비오–사바르 법칙

전하가 전기장을 만들듯 움직이는 전하는 자기장을 만든다. 속도 $\vec v$로 움직이는 점전하 $q$가 위치 $\vec r$인 점에 만드는 자기장, 그리고 전류 $I$가 흐르는 짧은 도선 조각 $d\vec l$이 만드는 자기장은 다음과 같다.

$$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec v\times\hat r}{r^2}, \qquad d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2}$$

$\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ T·m/A(≈ 1.257 × 10⁻⁶): 진공의 투자율(permeability of free space). 둘째 식이 비오–사바르 법칙(Biot–Savart law)이다. 쿨롱 법칙처럼 역제곱이지만, 방향이 $d\vec l$과 $\hat r$에 모두 수직이고 $\sin\theta$가 붙는다. 조각의 연장선 위($\theta = 0$)에는 장이 없다.

MINI LAB가운데 화살표는 오른쪽으로 전류가 흐르는 도선 조각이다. 점 P(흰 원)를 끌어 옮기면 그 점의 $dB$ 크기(배경의 밝기, $\propto\sin\theta/r^2$)와 방향(⊙ 위쪽, ⊗ 아래쪽)이 바뀐다. 조각의 연장선 위에서는 0이다.

무한히 긴 직선 도선은 모든 조각의 $d\vec B$가 같은 방향(도선을 감싸는 원의 접선)이라 크기만 적분하면 된다.

도선 조각 $dl$에서 P까지 거리 $r$, 각 $\theta$. $d\vec l\times\hat r$은 지면 속(⊗)을 향한다.
도선 위 어느 조각이든 $d\vec B$의 방향이 같다. 위아래 조각이 대칭으로 같은 크기를 기여한다.
$x = -a\cot\theta$로 바꿔 적분하면 $B = \mu_0I/2\pi a$. 장은 도선을 중심으로 하는 원을 따라 돈다.

직선 도선의 자기장. 거리에 반비례하고($1/r$), 전기장의 무한 선전하($\lambda/2\pi\epsilon_0r$)와 꼴이 같다.

전류 10.0인 긴 도선에서 5.0 떨어진 곳의 자기장은 $B = \mu_0I/2\pi r =$ , 지구 자기장(5 × 10⁻⁵ T)의 배다.

직선 도선과 원형 고리의 자기장

$$B_\text{직선} = \frac{\mu_0I}{2\pi r}, \qquad B_\text{고리 중심} = \frac{\mu_0NI}{2R}, \qquad B_\text{고리 축} = \frac{\mu_0NIR^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$$

고리 축 위 장은 20장의 대전 고리처럼 $d\vec B$의 수직 성분이 상쇄되고 축 성분만 남는다. 멀리서($x \gg R$)는 $\mu_0\mu/2\pi x^3$($\mu = NI\pi R^2$) — 막대자석과 같은 자기 쌍극자 장이다.

오른손 감아쥐기 규칙. 엄지를 전류 방향으로 하고 도선을 쥐면 네 손가락이 감는 방향이 자기장이다. 고리에서는 반대로 네 손가락을 전류 방향으로 감으면 엄지가 고리 중심의 B를 가리킨다.

MINI LAB원형 고리(반지름 R)의 축 위 자기장. 점 P를 축을 따라 끌어 보라. 중심에서 가장 세고, 멀어지면 $1/x^3$로 빠르게 준다(점선: 쌍극자 근사). 반대편으로 가도 방향은 같다 — 고리를 지나는 자기력선이 같은 방향으로 꿰뚫기 때문이다.

10 A가 흐르는 긴 도선에서 5.0 cm 떨어진 곳의 자기장은? 지구 자기장과 비교하라.

풀이 보기

풀이 $B = \mu_0I/2\pi r = (2\times10^{-7})(10)/0.050 = 4.0\times10^{-5}$ T.

B = 4.0 × 10⁻⁵ T (지구 자기장과 비슷)

검토 외르스테드의 나침반이 크게 돌아간 이유다. 가정용 전선은 왕복 두 가닥에 반대 전류가 흘러 장이 거의 상쇄된다.

반지름 5.0 cm, 50회 감은 원형 코일에 2.0 A가 흐른다. 중심과, 축 위 10 cm 떨어진 곳의 자기장은?

풀이 보기

풀이 중심: $B = \mu_0NI/2R = (4\pi\times10^{-7})(50)(2.0)/(0.10) = 1.26\times10^{-3}$ T. 축: $B = \dfrac{\mu_0NIR^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}} = 1.12\times10^{-4}$ T.

1.3 mT, 0.11 mT

검토 반지름의 2배 거리에서 이미 1/11이다. 헬름홀츠 코일은 같은 코일 두 개를 반지름만큼 떨어뜨려 그 사이에 균일한 장을 만든다.

평행 도선 사이의 힘

도선 1이 만든 장 $B_1 = \mu_0I_1/2\pi d$ 속에 도선 2가 있으면 25장의 $F = I_2LB_1$을 받는다. 오른손 규칙을 따라가 보면 같은 방향의 전류는 끌어당기고, 반대 방향은 밀어낸다 — 전하와 반대다.

$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}$$

1 m 떨어진 평행 도선에 각각 1 A가 흐를 때 1 m당 $2\times10^{-7}$ N의 힘이 작용한다. 2019년 이전에는 이것이 암페어(ampere)의 정의였다(지금은 기본 전하 $e$의 값으로 정의).

나란한 두 도선에 같은 방향으로 전류가 흐른다. 두 도선은?

도선 1의 장은 도선 2 위치에서 지면 방향(예: ⊗)이고, $I_2\vec L\times\vec B$는 도선 1 쪽을 향한다. 번개의 전류나 플라스마 기둥이 스스로 조여지는 "핀치 효과"가 이것이다.

SIMULATOR

도선 배치와 자기장: 장이 0인 점을 찾아라

도선과 측정점(흰 원)을 끈다 · 도선을 두 번 누르면 전류 방향이 바뀐다

배치

자기력선 도선이 받는 힘

측정점의 |B|—

도선 1이 받는 힘 (1 m당)—

판정 · 성공—

⊙는 지면에서 나오는 전류, ⊗는 들어가는 전류. 각 도선 5 A(배치 "2 A와 6 A" 제외), 그림 가로 40 cm. 측정점의 |B|가 각 도선이 따로 만드는 장의 합의 2% 아래면 성공. 해볼 것: ① 같은 방향 두 도선 사이 한가운데는 장이 0이다. ② 반대 방향이면 사이에서 오히려 장이 두 배가 되고, 장이 0인 점이 없다. ③ 힘 화살표: 같은 방향은 당기고 반대 방향은 민다.

전류 15와 -15가 흐르는 평행 도선이 4.5 떨어져 있으면 1 m당 의 힘으로 .

4.5 mm 떨어진 전기 코드의 두 가닥에 15 A가 서로 반대 방향으로 흐른다. 1 m당 힘은?

풀이 보기

풀이 $F/L = (2\times10^{-7})(15)(15)/(4.5\times10^{-3}) = 0.010$ N/m, 서로 밀어낸다.

0.010 N/m (반발)

검토 작은 힘이지만, 단락 사고로 수천 A가 흐르면 10⁴배가 되어 변압기 권선이 찌그러지기도 한다.

앙페르 법칙

직선 도선을 감싸는 반지름 $r$인 원을 따라 $\vec B\cdot d\vec l$을 한 바퀴 더하면 $B(2\pi r) = \mu_0I$ — 반지름이 사라진다. 가우스 법칙의 자기 버전처럼, 이것은 어떤 모양의 닫힌 경로에도 성립한다.

앙페르 법칙

닫힌 경로(앙페르 고리(Amperian loop))를 따라 자기장의 접선 성분을 적분한 값은 그 경로가 둘러싼 면을 꿰뚫는 알짜 전류의 $\mu_0$배다. 전류의 부호는 오른손 규칙으로 정한다(네 손가락을 경로 방향으로 감을 때 엄지 방향이 +) — 앙페르 법칙(Ampère's law).

$$\oint\vec B\cdot d\vec l = \mu_0I_\text{안}$$

정상 전류에서 성립한다. 변하는 전기장이 있으면 맥스웰이 덧붙인 변위 전류 항이 필요하다(29장).

도선을 둘러싸지 않는 닫힌 경로를 따라 $\oint\vec B\cdot d\vec l$을 계산하면? (도선의 장은 경로 위 어디에서나 0이 아니다.)

경로의 한쪽에서는 장이 경로 방향, 반대쪽에서는 거꾸로라 상쇄된다. 아래에서 고리를 도선 밖으로 옮겨 확인하라.

SIMULATOR

앙페르 고리: ∮B·dl을 수치 적분으로 재기

도선, 고리의 가운데(+), 고리 크기(흰 원)를 끈다

고리 모양

도선

수치 적분 ∮B·dl—

둘러싼 전류 I_안—

μ₀I_안—

경로 방향은 반시계(⊙ 전류가 +). 고리를 1440조각으로 나눠 $\vec B\cdot d\vec l$을 더한다. 경로의 색: 빨강 = B가 경로 방향, 파랑 = 반대. 해볼 것: ① 고리 크기와 모양을 바꿔도 값이 같다. ② 도선을 고리 밖으로 끌어내면 값이 그 도선의 몫만큼 줄어든다. ③ 경로 위의 장은 바깥 도선 때문에 달라지지만 적분은 그대로다.

도선 밖: 원형 앙페르 고리 위에서 장의 크기가 같고 고리 방향이다. 전체 전류를 둘러싸므로 가는 도선과 같은 $\mu_0I/2\pi r$.
도선 안: 고리가 둘러싼 넓이의 비율만큼의 전류 $I(r/R)^2$만 기여한다.
$B$는 안에서 직선으로 커지다 표면에서 최대, 밖에서 $1/r$로 준다 — 21장 균일하게 대전된 구의 E(r)와 닮았다.

굵은 도선. 대칭으로 장의 크기가 경로 위에서 일정해야 앙페르 법칙으로 장을 구할 수 있다.

도체

MINI LAB5.0 A가 흐르는 반지름 2.0 mm 도체의 B(r). 흰 원을 끌어 앙페르 고리의 반지름을 바꾸면 둘러싼 전류와 B가 표시된다. 관 속은 B = 0이고, 동축 케이블(안쪽 +5 A, 바깥 껍질 −5 A) 밖도 B = 0이다.

반지름 2.0 mm인 구리 도선에 50 A가 고르게 흐른다. 중심에서 1.0 mm인 곳과 표면의 자기장은?

풀이 보기

풀이 안: $B = \mu_0Ir/2\pi R^2 = (2\times10^{-7})(50)(0.0010)/(2.0\times10^{-3})^2 = 2.5\times10^{-3}$ T. 표면: $\mu_0I/2\pi R = 5.0\times10^{-3}$ T.

2.5 mT, 5.0 mT

검토 반지름의 절반에서 표면 값의 절반 — 선형 관계 ✓.

솔레노이드와 토로이드

도선을 원통 모양으로 촘촘히 감은 것이 솔레노이드(solenoid)다. 고리들의 장이 안에서는 더해지고 밖에서는 거의 상쇄되어, 길고 촘촘한 솔레노이드 안은 균일한 장, 밖은 거의 0이 된다. 안팎을 잇는 직사각형 앙페르 고리를 쓰면

$$B_\text{솔레노이드} = \mu_0nI, \qquad B_\text{토로이드} = \frac{\mu_0NI}{2\pi r}$$

$n = N/L$: 단위 길이당 감은 수. 반지름과 무관하다. 도넛 모양으로 감은 토로이드(toroid)는 안의 장이 $1/r$로 조금 변하고, 도넛 밖은 정확히 0이다(앙페르 고리가 알짜 전류 0을 둘러싼다).

길고 촘촘한 솔레노이드의 바깥(옆) 자기장은?

안에서 나온 자기력선은 바깥의 넓은 공간으로 퍼져 돌아오므로 그 밀도(장의 세기)가 아주 작다. 무한히 긴 솔레노이드라면 정확히 0이다. 아래에서 감은 수를 늘리고 길이를 늘려 보라.

SIMULATOR

솔레노이드 단면의 자기장

측정점(흰 원)을 끈다

감은 수 N 길이 L 전류 I 자기력선

가운데 B—

μ₀nI (무한 솔레노이드)—

측정점 B—

위쪽 줄의 도선 단면은 전류가 나오고(⊙), 아래쪽 줄은 들어간다(⊗) — 솔레노이드를 세로로 자른 단면이다. 지름 6 cm. (이 2차원 모형은 각 감은 고리를 아주 긴 도선 쌍으로 근사한다.) 해볼 것: ① 감은 수가 적으면 안의 장이 울퉁불퉁하다. ② 길이에 비해 지름이 작을수록 가운데 B가 μ₀nI에 가까워지고 바깥이 0에 가까워진다. ③ 끝 부분의 장은 가운데의 약 절반이다.

토로이드. 도넛 속을 따라 도는 앙페르 고리는 감은 도선 N가닥을 모두 같은 방향으로 꿰뚫는다.

MRI용 초전도 솔레노이드로 1.5의 장을 만들려 한다. 전류 300를 흘린다면 1 m당 을 감아야 하고, 길이 1.5짜리 자석의 총 감은 수는 이다. 장의 에너지 밀도 $B^2/2\mu_0 =$ .

(a) 길이 0.40 m에 800회 감은 솔레노이드에 3.0 A가 흐른다. 안의 장은? (b) 1000회 감은 토로이드에 0.50 A가 흐를 때 중심에서 10 cm인 곳(도넛 속)의 장은?

풀이 보기

풀이 (a) $n = 2000$ m⁻¹, $B = \mu_0nI = 7.5\times10^{-3}$ T. (b) $B = \mu_0NI/2\pi r = (2\times10^{-7})(1000)(0.50)/0.10 = 1.0\times10^{-3}$ T.

(a) 7.5 mT (b) 1.0 mT

검토 철심을 넣으면 같은 전류로 수백–수천 배 센 장을 얻는다(다음 절) — 전자석의 원리다.

물질의 자성

원자 속 전자는 핵 주위를 돌고(궤도 운동) 스스로 돌며(스핀) 아주 작은 자기 쌍극자 모멘트를 가진다. 그 크기의 단위는 보어 마그네톤(Bohr magneton) $\mu_B = e\hbar/2m_e = 9.274\times10^{-24}$ A·m²이다. 물질이 바깥 장에 어떻게 반응하는지에 따라 세 가지로 나뉜다. 물질 속 장은 $B = K_mB_0$, $K_m = 1 + \chi_m$($K_m$: 비투자율, $\chi_m$: 자기 감수율(magnetic susceptibility))로 쓴다.

세 종류의 자성. 상자성·반자성은 아주 약해서 강한 자석이 아니면 느껴지지 않는다(그래도 강한 장 속에서 개구리를 띄울 수 있다 — 물의 반자성).

강자성(ferromagnetism) 물질에서는 이웃 원자의 모멘트를 나란히 세우는 양자역학적 상호 작용이 있어, 수천억 개의 원자가 한 방향으로 정렬한 자기 구역(magnetic domain)을 이룬다. 바깥 장을 걸면 장 방향의 구역이 커지고 다른 구역이 줄어든다. 장을 없애도 정렬이 일부 남는 성질 — 히스테리시스(hysteresis) — 덕분에 영구 자석과 하드 디스크가 가능하다. 퀴리 온도(철 770 °C) 위에서는 열운동이 정렬을 깨뜨려 상자성이 된다.

SIMULATOR

자화 곡선과 히스테리시스

오른쪽 그래프 아래의 흰 원을 좌우로 끌어 바깥 장 H를 바꾼다

물질

온도 T / T_퀴리

바깥 장 H (상대)—

자화 M / M_포화—

잔류 자화—

왼쪽: 자기 구역 모형(빨강 = 위, 파랑 = 아래). 오른쪽: M–H 곡선(평균장 모형). 해볼 것: ① 강자성에서 H를 + 끝까지 올렸다가 0으로 되돌리면 M이 남는다(잔류 자화 — 영구 자석). ② 반대로 끌어야 M이 뒤집힌다(보자력). ③ 온도를 퀴리 온도 위로 올리면 고리가 닫혀 상자성처럼 된다. ④ 반자성은 M이 H와 반대이고 아주 작다(그래프는 1000배 확대).

핵심 정리

비오–사바르: $d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2}$, $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ T·m/A. 움직이는 전하가 자기장을 만든다.
직선 도선 $\mu_0I/2\pi r$(감아쥐기 오른손 규칙), 고리 중심 $\mu_0NI/2R$, 고리 축 $\mu_0NIR^2/2(x^2 + R^2)^{3/2}$.
평행 도선: $F/L = \mu_0I_1I_2/2\pi d$. 같은 방향 전류는 당기고 반대 방향은 민다.
앙페르 법칙 $\oint\vec B\cdot d\vec l = \mu_0I_\text{안}$. 굵은 도선 안 $\mu_0Ir/2\pi R^2$, 동축 케이블 밖 0.
솔레노이드 $B = \mu_0nI$(안 균일, 밖 ≈ 0), 토로이드 $\mu_0NI/2\pi r$.
자성: 상자성(약하게 정렬), 반자성(약하게 반대), 강자성(자기 구역, 히스테리시스, 퀴리 온도). $B = K_mB_0$.

연습문제

특별한 말이 없으면 $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ T·m/A ($\mu_0/2\pi = 2\times10^{-7}$)를 쓴다. 부호가 있는 답은 부호까지 입력한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

25 A가 흐르는 긴 도선에서 0.10 m 떨어진 곳의 자기장은?

$B = (2\times10^{-7})(25)/0.10 = 5.0\times10^{-5}$ T.

50 A가 흐르는 도선 주위에서 자기장이 $1.0\times10^{-4}$ T인 거리는?

$r = \mu_0I/2\pi B = 0.10$ m.

반지름 0.12 m인 원형 도선 한 바퀴에 4.0 A가 흐른다. 중심의 자기장은?

$B = \mu_0I/2R = 2.09\times10^{-5}$ T.

0.10 m 떨어진 평행 도선에 3.0 A와 5.0 A가 같은 방향으로 흐른다. 두 도선 한가운데의 자기장 크기는?

같은 방향이면 가운데에서 두 장이 반대: $(2\times10^{-7})(5.0 - 3.0)/0.050 = 8.0\times10^{-6}$ T.

4.0 cm 떨어진 평행 도선에 8.0 A와 12 A가 흐른다. 1 m당 힘의 크기는?

$F/L = (2\times10^{-7})(8.0)(12)/0.040 = 4.8\times10^{-4}$ N/m.

0.20 m 떨어진 평행 도선에 2.0 A와 6.0 A가 같은 방향으로 흐른다. 자기장이 0인 점은 2.0 A 도선에서 얼마나 떨어져 있는가?

사이에서 $2.0/x = 6.0/(0.20 - x)$ → $x = 0.050$ m. 시뮬레이터의 "2 A와 6 A"로 확인하라.

닫힌 경로가 +5.0 A와 −3.0 A인 도선을 둘러싸고, 경로 밖에 10 A인 도선이 있다. $\oint\vec B\cdot d\vec l$은?

$\mu_0(5.0 - 3.0) = 2.51\times10^{-6}$ T·m. 바깥 도선은 무관.

동축 케이블의 안쪽 도선에 2.0 A, 바깥 껍질에 반대 방향으로 2.0 A가 흐른다. 축에서 3.0 mm(두 도체 사이)인 곳의 장은? (케이블 밖은?)

$B = \mu_0(2.0)/2\pi(0.0030) = 1.33\times10^{-4}$ T. 밖은 $I_\text{안} = 0$이라 0.

길이 0.30 m에 600회 감은 솔레노이드에 2.5 A가 흐른다. 안의 자기장은?

$n = 2000$ m⁻¹, $B = \mu_0nI = 6.28\times10^{-3}$ T.

1 m당 $4.0\times10^4$회 감은 초전도 솔레노이드로 1.5 T를 만들려면 전류가 얼마여야 하는가?

$I = B/\mu_0n = 29.8$ A.

안지름 0.10 m, 바깥지름 0.14 m(반지름 기준)인 토로이드에 500회 감고 1.0 A를 흘린다. 반지름 0.12 m인 곳의 장은?

$B = \mu_0NI/2\pi r = (2\times10^{-7})(500)(1.0)/0.12 = 8.33\times10^{-4}$ T.

반지름 0.10 m인 원형 도선(1회)에 5.0 A가 흐른다. 축 위 0.10 m인 곳의 장은?

$B = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}} = \dfrac{(4\pi\times10^{-7})(5.0)(0.010)}{2(0.020)^{3/2}} = 1.11\times10^{-5}$ T.

나란한 두 도선에 반대 방향으로 전류가 흐르면?

같은 방향은 당기고 반대 방향은 민다(전하와 반대).

철 막대를 솔레노이드 속에 넣으면 장이 수백 배 세지는 이유는?

강자성체의 원자 모멘트 정렬이 $K_m$ 수백–수천 배의 장을 만든다.

개념 확인 퀴즈

긴 직선 도선에서 거리를 2배로 하면 자기장은?

$B \propto 1/r$ (점전하의 전기장 $1/r^2$과 다르다).

전류 조각의 연장선 위의 점에서 그 조각이 만드는 자기장은?

$d\vec l\times\hat r = 0$ (θ = 0).

앙페르 고리를 따라 $\oint\vec B\cdot d\vec l = 0$이다. 반드시 참인 것은?

가우스 법칙의 경우와 똑같은 논리다.

솔레노이드의 감은 수는 그대로 두고 길이를 2배로 늘리면 안의 장은?

$n = N/L$이 절반.

영구 자석을 만들 수 있는 물질의 성질은?

바깥 장을 없애도 큰 잔류 자화가 남아야 한다(네오디뮴 자석 등).