Chapter 31

간섭과 회절

기하 광학은 빛이 곧게 간다고 보았다. 그러나 틈이나 장애물이 파장에 견줄 만큼 작아지면 빛은 그림자 속으로 휘어 들어가고(회절), 두 갈래로 나뉜 빛이 다시 만나면 밝고 어두운 무늬를 만든다(간섭). 1801년 토머스 영의 이중 슬릿 실험은 빛이 파동이라는 결정적 증거였다. 이 장에서는 비눗방울의 무지갯빛, 안경의 반사 방지막, CD의 무늬, 분광기, 그리고 망원경이 볼 수 있는 한계를 모두 "경로차"라는 한 가지 생각으로 설명한다.

두 파원(흰 원)을 끌어 보세요 · 어두운 줄 = 상쇄 간섭

결맞음을 설명하고 경로차·위상차로 보강·상쇄 간섭의 조건을 쓴다.
이중 슬릿의 밝은 무늬 조건 $d\sin\theta = m\lambda$와 무늬 간격 $\Delta y = \lambda L/d$를 계산한다.
반사할 때의 위상 반전을 고려해 박막 간섭을 분석한다.
단일 슬릿 회절의 어두운 무늬 $a\sin\theta = m\lambda$를 유도하고 적용한다.
회절 격자로 파장을 재고, 원형 구멍의 레일리 분해능 $\theta_R = 1.22\lambda/D$를 계산한다.

결맞음과 경로차

두 파동이 한 점에서 만나면 변위가 더해진다(중첩, 15장). 두 파동이 마루와 마루로 만나면 진폭이 커지는 보강 간섭(constructive interference), 마루와 골로 만나면 지워지는 상쇄 간섭(destructive interference)이다. 같은 위상으로 출발한 두 파동은 지나온 길이의 차, 곧 경로차가 위상차를 결정한다.

$$\phi = 2\pi\frac{\Delta r}{\lambda}, \qquad \text{보강: } \Delta r = m\lambda, \qquad \text{상쇄: } \Delta r = \big(m + \tfrac12\big)\lambda, \qquad I = 4I_1\cos^2\frac\phi2$$

$m = 0, \pm1, \pm2, \dots$. 세기 $I_1$인 두 파동이 보강되면 $4I_1$(진폭 2배), 상쇄되면 0. 평균은 $2I_1$ — 에너지는 사라지지 않고 다시 배치될 뿐이다.

MINI LAB둘째 파동의 출발점(흰 원)을 좌우로 끌어 경로차를 만들어 보라. 위의 두 파동(주황, 파랑)을 더한 것이 아래의 합성파(검정)다. 경로차가 λ의 정수배면 2배, 반정수배면 0이 된다.

무늬가 보이려면 두 파동의 위상차가 시간에 따라 변하지 않아야 한다 — 결맞음(coherence). 전구 두 개는 원자들이 제멋대로 빛을 내 위상차가 10⁻⁸ s 남짓마다 바뀌므로 무늬가 평균되어 사라진다. 그래서 간섭 실험은 한 광원의 빛을 둘로 나누어(슬릿, 반투명 거울, 박막의 두 면) 만나게 하거나, 위상이 고른 레이저를 쓴다.

결맞음. 전등 두 개를 켜면 방이 두 배 밝아질 뿐 줄무늬는 생기지 않는다.

영의 이중 슬릿

한 광원의 빛이 간격 $d$인 두 슬릿을 지나 멀리($L \gg d$) 있는 스크린에 닿는다. 각 $\theta$ 방향으로 가는 두 광선은 거의 나란하고, 경로차는 $d\sin\theta$다.

멀리 떨어진 스크린의 한 점으로 가는 두 광선은 거의 나란하므로, 아래 슬릿의 광선이 $d\sin\theta$만큼 더 간다(빨간 선분).

$$\text{밝은 무늬: } d\sin\theta = m\lambda, \qquad \text{어두운 무늬: } d\sin\theta = \big(m + \tfrac12\big)\lambda, \qquad y_m \approx \frac{m\lambda L}d,\quad \Delta y = \frac{\lambda L}d$$

작은 각 근사($\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$). 무늬 간격은 파장에 비례하고 슬릿 간격에 반비례한다 — 눈에 보이는 무늬로 0.5 μm의 파장을 잴 수 있다.

파장 633의 빛을 간격 0.25인 이중 슬릿에 비추고 1.5 떨어진 스크린에서 보면 무늬 간격은 , 첫째 밝은 무늬의 각은 이다.

두 슬릿 사이의 간격 $d$를 두 배로 넓히면 스크린의 무늬는?

$\Delta y = \lambda L/d$. 슬릿이 멀어지면 같은 각에서 경로차가 더 빨리 커져, 무늬가 촘촘해진다.

SIMULATOR

이중 슬릿 실험

검출기(흰 원)를 위아래로

파장 λ 슬릿 간격 d 스크린 거리 L 슬릿 폭의 회절 포함 (a = d/4) 슬릿 하나 막기

검출기 위치 y—

경로차 / λ—

세기 I/I_max—

무늬 간격 λL/d—

왼쪽: 슬릿과 검출기로 가는 두 경로(축척 무시). 가운데: 스크린에 보이는 무늬. 오른쪽: 세기 그래프. 해볼 것: ① 빨간빛과 파란빛의 무늬 간격을 비교하라. ② 슬릿 하나를 막으면 줄무늬가 사라지고 넓은 회절 무늬만 남는다 — 무늬는 두 길의 간섭이다. ③ 포락선(단일 슬릿 회절)이 0인 곳에서는 간섭 무늬도 빠진다(4번째 무늬).

He–Ne 레이저(633 nm)를 간격 0.25 mm인 이중 슬릿에 비추고 1.5 m 떨어진 벽에서 본다. 무늬 간격은?

풀이 보기

풀이 $\Delta y = \lambda L/d = (633\times10^{-9})(1.5)/(0.25\times10^{-3}) = 3.8\times10^{-3}$ m.

약 3.8 mm

검토 각으로는 $\lambda/d = 2.5\times10^{-3}$ rad. 작은 각 근사가 아주 잘 맞는다.

간격 0.30 mm인 이중 슬릿에서 1.0 m 떨어진 스크린에, 밝은 무늬 11개(간격 10개)가 18 mm에 걸쳐 있다. 빛의 파장은?

풀이 보기

풀이 $\Delta y = 1.8$ mm, $\lambda = d\Delta y/L = (0.30\times10^{-3})(1.8\times10^{-3})/1.0 = 5.4\times10^{-7}$ m.

540 nm (초록)

검토 여러 간격을 한꺼번에 재면 오차가 줄어든다. 영은 이런 방법으로 처음 빛의 파장을 쟀다.

박막 간섭

비눗막이나 물 위의 기름막은 두께가 빛의 파장 정도라, 윗면과 아랫면에서 반사된 두 빛이 간섭한다. 아랫면에서 반사된 빛은 막 속을 왕복한 $2t$만큼 더 가고, 막 속에서는 파장이 $\lambda/n$이다. 여기에 한 가지가 더 있다: 반사할 때 위상이 뒤집히기도 한다.

굴절률이 작은 쪽에서 큰 쪽의 경계로 반사하면 위상이 $\pi$(반 파장) 뒤집힌다.
큰 쪽에서 작은 쪽으로 반사하면 뒤집히지 않는다. 투과하는 빛은 어느 경우에도 뒤집히지 않는다.
공기 속 비눗막에서는 한 번만 뒤집힌다. 그래서 보강·상쇄 조건이 경로차만 볼 때와 반대가 된다. 두 면 모두에서 뒤집히는 경우(유리 위의 반사 방지막)는 원래 조건으로 돌아간다.

박막 간섭의 두 요소: 막 속 왕복 경로 $2nt$(광학 경로)와 반사의 위상 반전 횟수.

$$\text{반전 1번: } 2nt = \big(m + \tfrac12\big)\lambda\ (\text{밝음}),\quad 2nt = m\lambda\ (\text{어두움}); \qquad \text{반전 0 또는 2번: 조건이 서로 바뀐다}$$

$\lambda$는 진공(공기) 속 파장. 두께가 위치마다 다르면 색마다 보강되는 곳이 달라 무지갯빛 띠가 생긴다.

세워 둔 비눗막은 물이 아래로 흘러내려 위쪽이 점점 얇아진다. 터지기 직전 가장 얇은 맨 위는 어떻게 보일까?

두께가 0에 가까우면 경로차는 0이지만 반사의 위상 반전이 한 번 있어 두 반사광이 상쇄된다 — 모든 색이 다 지워진다.

SIMULATOR

비눗막과 반사 방지막의 색

탐침(흰 원)을 위아래로

종류

흘러내리며 얇아지기

두께 t—

가장 강하게 반사되는 파장—

550 nm 반사율—

왼쪽: 두께가 위에서 아래로 0 → 1200 nm(비눗막) 또는 0 → 600 nm(MgF₂)로 커지는 막을 흰빛으로 비춘 색. 오른쪽: 탐침 위치의 반사 스펙트럼. 해볼 것: ① 비눗막 맨 위가 검은 이유를 확인하라. ② 두꺼워질수록 색이 옅어진다 — 여러 파장이 동시에 보강되어 섞이기 때문. ③ MgF₂ 막을 약 100 nm로 하면 초록 근처의 반사가 거의 0이 된다 — 안경·카메라 렌즈가 보랏빛을 띠는 이유.

굴절률 1.33인 막이 공기 속에 있을 때(반전 1번), 파장 550의 반사가 가장 센 최소 두께는 $\lambda/4n =$ , 반사가 사라지는 최소 두께(0 제외)는 $\lambda/2n =$ 이다.

굴절률 1.33인 비눗막에서 550 nm 빛의 반사가 가장 센 최소 두께는?

풀이 보기

풀이 반전 1번이므로 $2nt = \tfrac12\lambda$ → $t = \lambda/4n = 103$ nm.

약 103 nm

검토 다음은 $3\lambda/4n = 310$ nm. 시뮬레이터에서 탐침을 103 nm에 두고 스펙트럼의 꼭대기를 보라.

유리(n = 1.50) 렌즈에 MgF₂(n = 1.38)를 입혀 550 nm의 반사를 없애려 한다. 최소 두께는?

풀이 보기

풀이 공기→MgF₂, MgF₂→유리 모두 작은 n → 큰 n이라 두 번 반전 — 서로 상쇄된다. 그러므로 상쇄 조건은 $2nt = \tfrac12\lambda$ → $t = \lambda/4n = 99.6$ nm.

약 100 nm (사분의 일 파장 막)

검토 반사되지 않은 에너지는 투과된다 — 렌즈가 더 밝아진다. 가운데 초록에 맞추면 양 끝의 빨강·파랑은 조금 반사되어 보랏빛이 돈다.

단일 슬릿 회절

슬릿 하나만 있어도 무늬가 생긴다. 하위헌스 원리에 따르면 슬릿 안의 모든 점이 새 파원이고, 그 파들이 서로 간섭한다. 가운데는 모든 파가 같은 위상으로 만나 가장 밝고, 어떤 각에서는 완전히 지워진다.

슬릿을 위 절반과 아래 절반으로 나눈다.
위 절반의 각 점에 아래 절반에서 $a/2$ 떨어진 짝을 정한다. 각 $\theta$ 방향으로 두 점의 경로차는 $(a/2)\sin\theta$다.
그 경로차가 $\lambda/2$이면 모든 짝이 서로 지운다. 슬릿을 4, 6, … 등분하면 다음 어두운 무늬들이 나온다.

단일 슬릿의 어두운 무늬. 이중 슬릿의 "밝은" 무늬 식과 꼴이 같지만 뜻은 "어두운" 무늬다 — 혼동하지 말자.

$$\text{어두운 무늬: } a\sin\theta = m\lambda\ (m = \pm1, \pm2, \dots), \qquad \text{가운데 밝은 무늬의 폭} \approx \frac{2\lambda L}{a}, \qquad I = I_0\Big(\frac{\sin\beta}{\beta}\Big)^2,\ \beta = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$

슬릿이 좁을수록 빛이 넓게 퍼진다. $a \gg \lambda$이면 퍼짐이 사라지고 기하 광학으로 돌아간다.

MINI LAB슬릿의 위 날(흰 원)을 끌어 폭 a를 바꿔 보라(λ = 550 nm, L = 1 m). 폭을 좁히면 가운데 무늬가 넓어진다 — 빛을 좁은 곳에 가두려 할수록 더 퍼진다. 32장 불확정성 원리의 씨앗이다.

폭 0.10 mm인 슬릿에 600 nm 빛을 비춘다. 2.0 m 떨어진 스크린의 가운데 밝은 무늬 폭은?

풀이 보기

풀이 첫째 어두운 무늬 $y_1 = \lambda L/a = 12$ mm, 폭 $2y_1 = 24$ mm.

약 24 mm

검토 이중 슬릿 무늬 간격의 식 $\lambda L/d$와 꼴이 같다 — 실제 이중 슬릿 무늬는 단일 슬릿 무늬(포락선) 안에 들어 있다.

회절 격자와 분해능

슬릿을 두 개에서 $N$개로 늘리면 밝은 무늬의 위치($d\sin\theta = m\lambda$)는 그대로지만 무늬가 훨씬 가늘고 밝아진다. 모든 슬릿의 빛이 정확히 같은 위상일 때만 보강되기 때문이다. 1 mm에 수백 줄을 새긴 회절 격자(diffraction grating)는 색마다 아주 다른 각으로 빛을 보내 파장을 정밀하게 잰다.

슬릿 수 N

MINI LAB슬릿 수를 늘려 보라. 주 극대의 위치는 같지만 폭이 $1/N$로 좁아지고 꼭대기 세기는 $N^2$배가 된다(그래프는 꼭대기를 1로 맞췄다). 주 극대 사이에 $N - 2$개의 작은 극대가 생긴다.

$$d\sin\theta = m\lambda, \qquad d = \frac{1}{\text{단위 길이당 줄 수}}, \qquad m_\text{max} < \frac d\lambda$$

CD의 트랙 간격은 1.6 μm로 반사형 회절 격자다. 무지갯빛이 도는 이유.

CHALLENGE

분광기로 미지의 파장을 재라

망원경 팔(흰 원)을 돌려 밝은 선을 찾는다

격자

내가 잰 파장 (nm)

망원경 각 θ—

접안 시야—

결과 · 맞힌 수—

위에서 내려다본 분광기. 광원의 빛이 격자(가운데)를 지나 여러 차수의 각으로 갈라진다. 망원경 팔을 돌려 선이 십자선에 오면 각을 읽고, $\lambda = d\sin\theta/m$로 파장을 계산해 넣어라(±2 nm 안이면 정답). 0차(θ = 0)는 모든 색이 겹친 흰빛이다. 팁: 양쪽 1차의 각을 평균하면 격자를 조금 비뚤게 놓은 오차가 줄어든다.

원형 구멍과 레일리 분해능

망원경이나 눈의 동공 같은 원형 구멍(지름 $D$)도 빛을 회절시킨다. 점 광원의 상은 점이 아니라 가운데 밝은 원반(에어리 원반)과 흐린 고리들이다. 두 점 광원의 원반이 너무 겹치면 하나로 보인다. 한쪽 원반의 중심이 다른 쪽의 첫째 어두운 고리에 오는 각을 구별의 한계로 삼는다 — 레일리 기준(Rayleigh criterion).

$$\theta_R = 1.22\,\frac{\lambda}{D}$$

1.22는 원형 구멍의 계산에서 나오는 수(긴 슬릿이면 1). 구멍이 크고 파장이 짧을수록 더 가까운 두 점을 구별한다 — 큰 망원경, 짧은 파장의 전자 현미경.

레일리 기준. 아무리 배율을 높여도 이 한계 아래의 세부는 볼 수 없다 — 회절 한계.

SIMULATOR

두 별을 구별하라

둘째 별(흰 원)을 끈다

구경 D 파장 λ

두 별의 각 간격—

레일리 한계 1.22λ/D—

판정—

위: 망원경 초점면의 상(밝기를 강조해 고리도 보이게 했다). 아래: 두 별을 잇는 선을 따라 잰 세기(주황·파랑 = 각 별, 검정 = 합). 각은 각초(″ = 1/3600°). 해볼 것: ① 구경을 2배로 하면 한계가 절반이 된다. ② 같은 간격에서 파란빛이 빨간빛보다 잘 구별된다. ③ 맨눈(동공 0.5 cm)은 약 28″, 지름 2.4 m 허블 망원경은 0.06″.

지름 0.5인 구멍으로 550 nm 빛을 보면 분해능은 이다. 이 각으로 0(0 1 km 앞, 1 서울에서 본 부산 325 km, 2 달 38만 km, 3 화성 7800만 km)에서 구별할 수 있는 가장 작은 간격은 이다.

1 mm에 600줄인 격자에 나트륨 빛(589 nm)을 비춘다. 1차 밝은 선의 각은? 몇 차까지 볼 수 있는가?

풀이 보기

풀이 $d = 1.667$ μm. $\sin\theta_1 = 0.589/1.667 = 0.353$ → $\theta_1 = 20.7°$. $m\lambda/d < 1$ → $m < 2.83$, 2차까지.

20.7°, 2차까지 (양쪽으로)

검토 2차는 45.0°. 나트륨의 노란 쌍선(589.0, 589.6 nm)도 이 격자의 2차에서 0.04° 떨어져 나뉜다.

동공 지름 3.0 mm, 파장 550 nm일 때 눈의 분해능 한계는? 1 km 떨어진 곳에서 구별할 수 있는 두 점의 간격은?

풀이 보기

풀이 $\theta_R = 1.22(550\times10^{-9})/(3.0\times10^{-3}) = 2.2\times10^{-4}$ rad. 1 km에서 $0.22$ m.

2.2 × 10⁻⁴ rad (약 46″), 약 22 cm

검토 실제 시력은 망막 세포 간격 때문에 이 한계의 1–2배다. 쇠라의 점묘화를 멀리서 보면 점이 섞여 보이는 것도 이 한계 때문이다.

핵심 정리

결맞은 두 파동의 경로차 $\Delta r$: $m\lambda$이면 보강, $(m + \tfrac12)\lambda$이면 상쇄. 세기 $I = 4I_1\cos^2(\phi/2)$.
이중 슬릿: 밝은 무늬 $d\sin\theta = m\lambda$, 무늬 간격 $\Delta y = \lambda L/d$.
박막: 왕복 광학 경로 $2nt$와 반사의 위상 반전(작은 n → 큰 n)을 함께 센다. 반전 1번이면 $2nt = (m + \tfrac12)\lambda$가 밝음.
단일 슬릿: 어두운 무늬 $a\sin\theta = m\lambda$, 가운데 무늬 폭 $2\lambda L/a$. 좁을수록 넓게 퍼진다.
회절 격자: $d\sin\theta = m\lambda$, 슬릿이 많을수록 선이 가늘고 밝다 → 분광.
원형 구멍의 분해능: $\theta_R = 1.22\lambda/D$ (레일리 기준).

연습문제

답이 ±1% 이내면 정답이다.

간격 0.20 mm인 이중 슬릿에 500 nm 빛을 비추고 2.0 m 떨어진 스크린에서 본다. 무늬 간격은?

$\lambda L/d = 5.0$ mm.

간격 0.050 mm인 이중 슬릿에 600 nm 빛을 비출 때 셋째(m = 3) 밝은 무늬의 각은?

$\sin\theta = 3(600\times10^{-9})/(5.0\times10^{-5}) = 0.036$ → 2.06°.

간격 0.40 mm인 이중 슬릿, 파장 480 nm, 스크린 거리 1.2 m. 가운데에서 첫째 어두운 무늬까지의 거리는?

$y = \tfrac12\lambda L/d = 0.72$ mm.

물(n = 1.33) 위에 두께 280 nm의 기름막(n = 1.45)이 떠 있다. 위에서 볼 때 가장 강하게 반사되는 가시광의 파장은?

공기→기름은 반전, 기름→물(큰 n → 작은 n)은 반전 없음: 반전 1번. $2nt = (m + \tfrac12)\lambda$ → $\lambda = 812/(m + \tfrac12)$ nm = 1624, 541, 325, … 가시광은 541 nm.

유리 위 MgF₂(n = 1.38) 막으로 500 nm의 반사를 없애려면 최소 두께는?

반전 2번 → $2nt = \lambda/2$, $t = \lambda/4n = 90.6$ nm.

공기 속 비눗막(n = 1.33)이 600 nm 빛을 가장 강하게 반사한다. 가능한 최소 두께는?

$t = \lambda/4n = 113$ nm.

폭 0.050 mm인 슬릿에 550 nm 빛을 비출 때 첫째 어두운 무늬의 각은?

$\sin\theta = \lambda/a = 0.011$ → 0.630°.

폭 0.20 mm인 슬릿에 633 nm 레이저를 비춘다. 1.5 m 떨어진 스크린의 가운데 밝은 무늬 폭은?

$2\lambda L/a = 9.50$ mm.

1 mm에 500줄인 격자에서 450 nm 빛의 2차 밝은 선의 각은?

$d = 2.0$ μm, $\sin\theta = 2(0.45)/2.0 = 0.45$ → 26.7°.

1 mm에 1200줄인 격자에 650 nm 빛을 비추면 몇 차까지 볼 수 있는가?

$d/\lambda = 833/650 = 1.28$ → 1차까지.

1 mm에 300줄인 격자에서 어떤 빛의 1차 선이 10.0°에 나타났다. 파장은?

$\lambda = d\sin\theta = (3.333\ \mu\text{m})(0.1736) = 579$ nm (수은의 노란 선).

구경 10 cm인 망원경의 550 nm에서의 분해능은?

$1.22\lambda/D = 6.71\times10^{-6}$ rad (1.4″).

자동차 전조등 두 개가 1.4 m 떨어져 있다. 동공 지름 5.0 mm, 파장 550 nm라면 얼마나 먼 곳에서부터 두 개로 구별할 수 없는가?

$\theta_R = 1.342\times10^{-4}$ rad, 거리 $= 1.4/\theta_R = 10.4$ km.

손전등 두 개로 한 벽을 비추면 간섭 무늬가 보이지 않는 이유는?

독립된 두 광원은 결맞지 않는다.

이중 슬릿 장치 전체를 물(n = 1.33) 속에 넣으면 무늬 간격은?

물속 파장이 $\lambda/n$이므로 $\Delta y = (\lambda/n)L/d$.

개념 확인 퀴즈

이중 슬릿 무늬에서 빨간빛과 파란빛 중 무늬 간격이 넓은 것은?

$\Delta y \propto \lambda$. 흰빛을 쓰면 가운데는 흰색이고 바깥 무늬는 안쪽이 파랗고 바깥이 붉은 색 띠가 된다.

상쇄 간섭이 일어난 곳의 에너지는?

무늬 전체의 평균 세기는 두 세기의 합과 같다.

단일 슬릿의 폭을 줄이면 가운데 밝은 무늬는?

$\sin\theta_1 = \lambda/a$.

회절 격자의 줄 수(같은 간격)를 늘리면?

위치는 $d$와 $\lambda$로만 정해진다. 선폭 ∝ 1/N.

망원경의 분해능을 높이는 방법은?

$\theta_R = 1.22\lambda/D$. 배율만 높이면 흐린 원반이 커질 뿐이다.