Chapter 12

중력

사과를 떨어뜨리는 힘과 달을 붙잡아 두는 힘은 같은 힘이다 — 뉴턴은 높은 산 위의 대포를 상상했다. 포탄을 점점 빠르게 쏘면 더 멀리 떨어지고, 어느 속력에서는 지구가 둥글게 휘어 내려가는 만큼 포탄도 떨어져 영원히 떨어지면서도 땅에 닿지 않는다. 그것이 궤도다. 아래에서 발사 속도를 끌어 직접 쏘아 보자.

대포 위의 흰 원을 위로 끌어 속도를 정하고 놓으면 발사

만유인력 법칙 $F = Gm_1m_2/r^2$과 중첩 원리로 여러 물체가 주는 중력과 중력장을 구한다.
고도와 지구 내부에서 중력 가속도가 어떻게 달라지는지 설명하고 계산한다.
중력 퍼텐셜 에너지 $U = -GMm/r$를 일의 적분으로 유도하고, 탈출 속도와 최고 고도를 구한다.
원 궤도의 속력·주기·에너지를 구하고 정지 궤도의 높이를 계산한다.
케플러의 세 법칙을 각운동량 보존과 $T^2 \propto a^3$으로 설명하고, 궤도 자료로 중심 천체의 질량을 구한다.
구 껍질 정리를 써서 구 바깥·안쪽의 중력을 구하고, 슈바르츠실트 반지름으로 블랙홀을 이해한다.

뉴턴의 만유인력 법칙

질량을 가진 모든 물체는 서로를 끌어당긴다. 뉴턴은 달의 구심 가속도($2.7\times10^{-3}$ m/s²)가 지표의 $g$보다 약 $3600 = 60^2$배 작고, 달까지의 거리가 지구 반지름의 약 60배라는 데서 힘이 거리의 제곱에 반비례한다고 결론지었다.

만유인력 법칙

질량 $m_1$, $m_2$인 두 입자가 거리 $r$만큼 떨어져 있으면, 서로를 잇는 직선을 따라 크기가 같고 방향이 반대인 인력을 주고받는다. 이것이 뉴턴의 만유인력 법칙(law of universal gravitation)이다.

$$F_g = \frac{G m_1 m_2}{r^2}, \qquad \vec F_{2\,\text{on}\,1} = \frac{G m_1 m_2}{r^2}\,\hat r_{1\to2}$$

$G = 6.674\times10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$: 중력 상수(gravitational constant). 두 힘은 작용–반작용 쌍이다(4장). 크기가 있는 구형 물체는 중심 사이 거리 $r$을 쓴다(구 껍질 정리, 12.6절).

역제곱 법칙의 기하학. 거리가 2배, 3배가 되면 같은 입체각이 4배, 9배 넓이를 덮는다(그림은 단면). 빛의 밝기·전기력도 같은 꼴이다.

오른쪽 구를 좌우로 끈다

m₁ m₂

MINI LAB두 납공이 서로에게 주는 힘. 화살표 두 개는 질량이 아무리 달라도 항상 같은 길이다(작용–반작용). 거리를 절반으로 줄이면 아래 그래프의 점이 4배 높이로 올라간다.

질량 70인 사람과 60인 사람이 1.0 떨어져 서 있으면 서로 의 힘으로 끌어당긴다. 이는 첫 번째 사람의 무게의 에 불과하다 — 일상에서 사람끼리의 중력을 느끼지 못하는 이유다.

캐번디시 실험과 G

$G$는 1798년 캐번디시가 비틀림 저울(torsion balance)로 처음 측정했다. 가는 줄에 매단 막대 양끝의 작은 납공 옆에 큰 납공을 가져오면 중력이 막대를 아주 조금 돌린다. 줄의 비틀림 상수를 알면 회전각으로 힘을 구할 수 있다. $G$를 알면 $g = GM_E/R_E^2$에서 지구의 질량을 계산할 수 있으므로 이 실험은 "지구의 무게를 단" 실험으로도 불린다.

캐번디시 실험(위에서 본 모습을 비스듬히 그림). 오늘날 값은 $G = 6.67430(15)\times10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$으로, 기본 상수 중 가장 덜 정밀하게 알려진 값이다.

중첩 원리와 중력장

여러 물체가 함께 끌어당기면 알짜 중력은 각 물체가 주는 힘의 벡터 합이다(중첩 원리(superposition principle)). 시험 질량 $m$이 받는 힘을 $m$으로 나눈 양 $\vec g = \vec F/m$을 그 점의 중력장(gravitational field)이라 한다. 단위는 N/kg = m/s²이고, 지표에서는 바로 중력 가속도 $g$다.

$$\vec g(\vec r) = \sum_i \frac{G m_i}{|\vec r - \vec r_i|^2}\,\widehat{(\vec r_i - \vec r)}$$

질량 하나만 있을 때, 시험 질량을 처음 거리의 3배 되는 곳으로 옮기면 중력장의 세기는 몇 배가 될까?

$g \propto 1/r^2$이므로 $(1/3)^2 = 1/9$. 아래 시뮬레이터에서 질량 개수를 1로 두고 시험 질량(흰 원)을 끌어 거리와 |g|를 읽어 보라.

SIMULATOR

중력장 지도: 질량과 시험 질량을 끌어 보라

큰 원(질량)과 흰 원(시험 질량)을 모두 끌 수 있다

질량 개수

m₁ m₂ m₃ 중력장 화살표 격자 각 질량의 기여(점선)

시험 위치의 |g|—

m₁까지 거리—

도전: g = 0인 점—

해볼 것: ① 질량 1개에서 거리를 1 m → 3 m로 바꿔 |g|가 1/9이 됨을 확인하라. ② 도전: 질량 2개일 때 중력장이 0이 되는 점을 찾아라. m₁ = 4m₂이면 그 점은 두 질량 사이 어디에 있는가? (답: m₂ 쪽에서 전체 거리의 1/3) ③ 질량 3개에서 g = 0인 점은 몇 개일까?

지구($5.97\times10^{24}$ kg)와 달($7.35\times10^{22}$ kg)의 중심 사이 거리는 $3.84\times10^8$ m이다. 두 천체가 주고받는 중력의 크기와 달의 가속도를 구하라.

풀이 보기

전략 구형 천체는 중심에 모든 질량이 있는 점처럼 다룬다. 달의 가속도는 $F/m_\text{달}$.

풀이 $F = \dfrac{(6.674\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(7.35\times10^{22})}{(3.84\times10^8)^2} = 1.99\times10^{20}$ N. $a = F/m_\text{달} = 2.70\times10^{-3}$ m/s².

F = 1.99 × 10²⁰ N, a = 2.70 × 10⁻³ m/s²

검토 원운동으로 확인: 공전 주기 27.3일이면 $4\pi^2 r/T^2 = 2.72\times10^{-3}$ m/s² — 뉴턴의 "달 시험"이 바로 이것이다. 지구도 같은 크기의 힘을 받지만 질량이 81배라 가속도는 1/81이다.

원점의 1.00 kg 공 옆에 2.00 kg 공이 (0.500 m, 0)에, 3.00 kg 공이 (0, 0.400 m)에 있다. 1.00 kg 공이 받는 알짜 중력의 크기와 방향은?

풀이 보기

전략 각 힘을 따로 구해 성분으로 더한다. 각 힘은 상대 공을 향한다.

풀이 $F_x = \dfrac{G(1.00)(2.00)}{0.500^2} = 5.34\times10^{-10}$ N, $F_y = \dfrac{G(1.00)(3.00)}{0.400^2} = 1.25\times10^{-9}$ N. $F = \sqrt{F_x^2+F_y^2} = 1.36\times10^{-9}$ N, $\theta = \arctan(F_y/F_x) = 66.9^\circ$ (+x축에서).

1.36 × 10⁻⁹ N, +x축에서 66.9°

검토 더 무겁고 더 가까운 3.00 kg 공 쪽(+y)으로 더 기울었다. 위 시뮬레이터에서 세 질량을 비슷하게 배치해 방향을 확인할 수 있다.

무게와 중력 가속도

지표에 있는 질량 $m$인 물체의 무게(weight)는 지구가 주는 중력이다. 지구를 반지름 $R_E$, 질량 $M_E$인 구로 보면 $mg = GM_Em/R_E^2$이므로

$$g = \frac{GM_E}{R_E^2} \qquad\Rightarrow\qquad g(h) = \frac{GM_E}{(R_E + h)^2} = g\left(\frac{R_E}{R_E+h}\right)^2$$

$M_E = 5.97\times10^{24}$ kg, $R_E = 6.37\times10^6$ m이면 $g = 9.82$ m/s². 실제 값(9.78–9.83 m/s²)은 지구 자전과 납작한 모양 때문에 위도에 따라 조금 다르다.

지표에서 고도 400 올라가면 중력 가속도는 , 지표 값의 이다.

"우주 정거장은 무중력이라서"?

국제 우주 정거장(고도 약 400 km)에서 중력 가속도는 지표의 약 89%나 된다. 우주인이 떠 있는 것은 중력이 없어서가 아니라 정거장과 우주인이 함께 자유 낙하하고 있기 때문이다(12.4절). 그래서 "무중량 상태"라고 부르는 것이 정확하다.

지구 내부의 중력

지구 속으로 들어가면 어떻게 될까? 12.6절의 구 껍질 정리에 따르면 반지름 $r$보다 바깥에 있는 껍질들은 알짜 힘을 주지 않고, 안쪽 질량 $M(r)$만 중심에 모인 점처럼 작용한다. 밀도가 균일하다면 $M(r) = M_E r^3/R_E^3$이므로

$$g(r) = \frac{GM(r)}{r^2} = \frac{GM_E}{R_E^3}\,r \quad (r \le R_E), \qquad g(r) = \frac{GM_E}{r^2}\quad (r \ge R_E)$$

안쪽에서는 중심으로부터의 거리에 비례(중심에서 0), 바깥에서는 역제곱. 실제 지구는 중심핵이 무거워 맨틀 속에서는 g가 오히려 조금 커지다가(핵 경계에서 약 10.7 m/s²) 핵 안에서 0으로 줄어든다.

축 위의 흰 원을 끌어 탐침을 옮긴다

탐침 질량 실제 지구(밀도 증가) 근사 곡선

MINI LAB위는 지구 단면(위쪽 절반), 아래는 같은 가로축 위의 $g(r)$이다. 탐침을 중심에서 바깥으로 끌면 g가 직선으로 늘다가 지표(r = R)에서 최대가 되고, 그 뒤에는 $1/r^2$로 줄어든다.

고도 400 km에서 중력 가속도는 얼마이며, 지표 값의 몇 %인가? ($M_E = 5.97\times10^{24}$ kg, $R_E = 6.37\times10^6$ m)

풀이 보기

풀이 $g = \dfrac{(6.674\times10^{-11})(5.97\times10^{24})}{(6.77\times10^6)^2} = 8.69$ m/s². 비율 $(6.37/6.77)^2 = 0.885$.

8.69 m/s² (지표의 88.5%)

검토 고도 400 km는 지구 반지름의 6%뿐이라 g가 크게 줄지 않는다. 위의 드래그 숫자에서 고도를 $R_E$(6370 km)로 하면 정확히 1/4이 된다.

화성의 질량은 $6.42\times10^{23}$ kg, 반지름은 $3.39\times10^6$ m이다. 화성 표면의 중력 가속도와, 지구에서 무게가 686 N인 사람의 화성에서의 무게를 구하라.

풀이 보기

풀이 $g_M = GM/R^2 = (6.674\times10^{-11})(6.42\times10^{23})/(3.39\times10^6)^2 = 3.73$ m/s². 질량 $686/9.80 = 70.0$ kg → 무게 $70.0\times3.73 = 261$ N.

g = 3.73 m/s², 무게 261 N

검토 질량은 어디서나 같고 무게만 바뀐다. 화성은 지구 질량의 0.11배지만 반지름도 0.53배라 g는 0.38배다.

중력 퍼텐셜 에너지와 탈출 속도

7장의 $U = mgy$는 $g$가 일정한 지표 근처에서만 맞다. 높이 올라갈수록 중력이 약해지므로, 멀리 가는 로켓이나 위성에는 정확한 퍼텐셜 에너지가 필요하다. 중력은 보존력이므로 $U$는 중력이 하는 일로 정의된다: $W_\text{grav} = U_1 - U_2$.

중력의 크기는 $1/r^2$로 줄어든다. 일정한 $mg$가 아니다.
물체가 $r_1$에서 $r_2$로 멀어질 때 중력이 하는 일의 크기는 F–r 그래프 아래 넓이다(중력은 안쪽 방향이므로 일은 음수).
적분하면 $W = GMm(1/r_2 - 1/r_1)$. 이것이 $U_1 - U_2$와 같아야 한다.
무한히 먼 곳을 기준(U = 0)으로 잡으면 $U(r) = -GMm/r$. 끝없이 펼쳐진 넓이도 유한하다!

일의 적분으로 구하는 중력 퍼텐셜 에너지.

중력 퍼텐셜 에너지

질량 $M$인 구의 중심에서 $r$(구 바깥)만큼 떨어진 질량 $m$의 중력 퍼텐셜 에너지(gravitational potential energy)는 무한히 먼 곳을 0으로 할 때

$$U(r) = -\frac{GMm}{r}$$

언제나 음수이고, 멀어질수록 0에 가까워진다(커진다). 지표 근처에서 $r = R_E + y$로 두고 $y \ll R_E$를 쓰면 $U \approx -GMm/R_E + mgy$ — 7장의 식은 이 근사다.

심화: 힘과 퍼텐셜의 관계

$F_r = -\dfrac{dU}{dr} = -\dfrac{d}{dr}\left(-\dfrac{GMm}{r}\right) = -\dfrac{GMm}{r^2}$. 음의 부호는 힘이 $U$가 줄어드는 방향(안쪽)임을 뜻한다. 퍼텐셜 곡선의 기울기가 힘이다 — 아래 우물 그래프는 바깥으로 갈수록 완만해진다.

탈출 속도

지표에서 위로 쏜 물체가 다시 돌아오지 않으려면, 무한히 먼 곳($U = 0$)에 속력 0 이상으로 도착해야 한다. 즉 총에너지 $E = K + U \ge 0$이어야 한다. $\tfrac12 mv^2 - GMm/R = 0$에서 탈출 속도(escape speed)는

$$v_\text{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$$

물체의 질량과 무관하고, 발사 방향과도 무관하다(행성에 부딪히지만 않으면). 지구는 11.2 km/s, 달은 2.37 km/s.

지표에서 물체를 탈출 속도의 $1/\sqrt2$배(약 71%)로 똑바로 위로 쏘았다. 공기 저항이 없다면 지표에서 얼마나 높이 올라갈까?

$E = \tfrac12 m\cdot\tfrac{GM}{R} - \tfrac{GMm}{R} = -\tfrac{GMm}{2R}$. 이 에너지 선이 $U = -GMm/r$과 만나는 곳은 $r = 2R$, 즉 고도 $R$이다. $mgh$로 계산하면 $R/2$가 나와 절반이나 틀린다 — 우물 그래프의 점선(mgh 근사)과 비교해 보라.

SIMULATOR

퍼텐셜 우물: 총에너지 선을 끌어 올려 탈출시켜라

왼쪽 흰 원을 위아래로 끌어 총에너지 E를 정한다

천체

발사 속력 v₀ / v_esc mgh 근사(점선) 함께 보기

발사 속력 v₀—

최고 고도 (정확)—

mgh로 계산한 고도—

비행 중 시각—

가로축은 중심에서의 거리 r(행성 반지름 단위), 세로축은 단위 질량당 에너지(GM/R 단위)다. 공 아래 녹색 막대가 운동 에너지 K = E − U이다. 해볼 것: ① E가 음수면 공은 E 선과 U 곡선이 만나는 되돌이점에서 멈췄다 떨어진다. ② E = 0(v₀ = v_esc)이 되는 순간 되돌이점이 무한대로 사라진다. ③ 느린 발사에서는 점선(mgh)과 실선이 거의 같지만, 빠를수록 mgh가 고도를 크게 과소평가한다.

질량이 지구의 1.00, 반지름이 지구의 1.00인 천체의 탈출 속도는 이고 표면 중력은 이다.

지구($M = 5.97\times10^{24}$ kg, $R = 6.37\times10^6$ m)와 달($M = 7.35\times10^{22}$ kg, $R = 1.74\times10^6$ m)의 탈출 속도를 구하라.

풀이 보기

풀이 지구: $\sqrt{2(6.674\times10^{-11})(5.97\times10^{24})/(6.37\times10^6)} = 1.12\times10^4$ m/s. 달: $\sqrt{2(6.674\times10^{-11})(7.35\times10^{22})/(1.74\times10^6)} = 2.37\times10^3$ m/s.

지구 11.2 km/s, 달 2.37 km/s

검토 기체 분자의 열운동 속력(수백 m/s)이 탈출 속도의 일부에 이르면 오랜 세월 동안 대기가 빠져나간다. 달에 대기가 거의 없는 이유 중 하나다.

엔진이 꺼진 순간 지표 근처에서 로켓이 5.00 km/s로 똑바로 위로 움직인다. 공기 저항을 무시할 때 최고 고도는? $mgh$로 계산한 값과 비교하라.

풀이 보기

전략 에너지 보존 $\tfrac12 mv_0^2 - GMm/R = -GMm/r_\text{max}$. $m$이 소거된다.

풀이 $\dfrac{1}{r_\text{max}} = \dfrac1R - \dfrac{v_0^2}{2GM} = \dfrac{1}{6.37\times10^6} - \dfrac{(5.00\times10^3)^2}{2(3.984\times10^{14})}$ → $r_\text{max} = 7.96\times10^6$ m, 고도 $h = r_\text{max} - R = 1.59\times10^6$ m. $mgh$로는 $v_0^2/2g = 1.28\times10^6$ m.

h = 1.59 × 10⁶ m ≈ 1590 km (mgh 근사는 1280 km)

검토 높이 올라갈수록 g가 작아져 더 높이 간다. 위 우물에서 v₀/v_esc = 5.00/11.2 = 0.447로 맞춰 확인해 보라.

위성의 운동

장 머리의 뉴턴 대포를 떠올리자. 수평으로 쏜 포탄은 1초에 약 4.9 m 떨어진다. 지구 표면은 약 7.9 km마다 4.9 m씩 "아래로 휘어" 있으므로, 포탄이 7.9 km/s로 날면 떨어지는 만큼 지면도 멀어져 높이가 변하지 않는다. 이것이 원 궤도(circular orbit)다. 위성은 끊임없이 자유 낙하하고 있다.

반지름 $r$인 원 궤도에서 중력이 구심력 역할을 한다: $GMm/r^2 = mv^2/r$.

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r^{3/2}}{\sqrt{GM}}$$

위성의 질량과 무관하다. 궤도가 높을수록(r이 클수록) 느리게 돌고 주기가 길다.

원 궤도의 에너지도 깔끔하다. $K = \tfrac12 mv^2 = \dfrac{GMm}{2r} = -\tfrac12 U$이므로

$$E = K + U = -\frac{GMm}{2r}$$

총에너지가 음수 = 묶여 있다(속박 상태). 더 높은 궤도로 가려면 E를 높여야(덜 음수로) 하지만, 그 궤도에서 속력은 오히려 느리다.

원 궤도의 퍼텐셜 에너지는 음수다.
운동 에너지는 퍼텐셜 에너지 크기의 정확히 절반이다(비리얼 정리).
그래서 총에너지는 음수이고 크기는 K와 같다. 공기 저항으로 E를 잃으면 위성은 낮아지면서 빨라진다.

원 궤도의 에너지 막대. K : U : E = 1 : −2 : −1.

SIMULATOR

궤도 실험실: 위성과 속도 벡터를 끌어 궤도를 만든다

위성(흰 원)과 속도 화살표 끝을 끌 수 있다

시간 배속 보기 범위 계산한 궤도(원뿔 곡선) 점선 가속도 벡터

고도 / 속력—

E/m (보존)—

L/m (보존)—

이심률 e, 주기 T—

수치 오차 |ΔE/E|—

RK4 적분으로 $\vec a = -GM\hat r/r^2$을 푼다. 거리 단위는 지구 반지름이다. 해볼 것: ① 속도를 반지름에 수직으로 두고 크기만 바꾸면 원(e = 0) → 타원 → 포물선(E = 0) → 쌍곡선. ② 속도 방향만 기울이면 E는 그대로인데 e만 커진다 — 궤도의 크기(긴반지름)는 에너지만으로 정해진다. ③ 실행 중 E/m와 L/m가 변하지 않음(오차 10⁻⁶ 수준)을 확인하라.

주기 23.9로 지구를 도는 원 궤도의 반지름은 , 고도는 , 궤도 속력은 이다.

지구 자전 주기(항성일 23.93 h)와 같은 주기로 적도 위를 같은 방향으로 도는 위성은 지상에서 보면 한 점에 멈춰 있다. 이 정지 궤도(geostationary orbit)는 고도 약 35 790 km로, 방송·기상 위성이 쓴다.

고도 400 km 원 궤도의 속력과 주기를 구하라. ($GM_E = 3.98\times10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$, $R_E = 6.37\times10^6$ m)

풀이 보기

풀이 $r = 6.77\times10^6$ m. $v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{3.984\times10^{14}/6.77\times10^6} = 7.67\times10^3$ m/s. $T = 2\pi r/v = 5.54\times10^3$ s = 92.4 min.

v = 7.67 km/s, T = 92.4 min

검토 하루에 약 15.6바퀴 돈다. 궤도 실험실에서 고도 400 km(r = 1.063)에 원 궤도 속력을 주고 주기를 읽어 확인하라.

주기 $T = 8.616\times10^4$ s(항성일)인 원 궤도의 반지름과 고도를 구하라.

풀이 보기

전략 $T = 2\pi r^{3/2}/\sqrt{GM}$을 r에 대해 푼다: $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3}$.

풀이 $r = \left[\dfrac{(3.984\times10^{14})(8.616\times10^4)^2}{4\pi^2}\right]^{1/3} = 4.22\times10^7$ m. 고도 $= 4.22\times10^7 - 6.37\times10^6 = 3.58\times10^7$ m.

r = 4.22 × 10⁷ m (지구 반지름의 6.6배), 고도 ≈ 35 800 km

검토 속력 $2\pi r/T = 3.07$ km/s로 우주 정거장보다 훨씬 느리다. 높은 궤도일수록 느리다.

랑데부 도전

궤도 위의 한 점에서 위성의 속도 벡터 하나가 궤도 전체를 결정한다. 속력은 에너지($E = \tfrac12v^2 - GM/r = -GM/2a$, 이른바 활력 방정식(vis-viva equation))를 통해 긴반지름 $a$를, 방향은 각운동량을 통해 이심률과 궤도 방향을 정한다.

$$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)$$

CHALLENGE

랑데부: 속도 벡터를 끌어 목표 궤도에 올라타라

우주선의 속도 화살표 끝(흰 원)을 끈다

힌트: 필요한 속력의 원 (활력 방정식)

파란 점선이 목표 궤도, 주황 실선이 지금 속도로 생길 궤도다. 두 곡선을 겹친 뒤 점화하라.

목표 a, e—

내 궤도 a, e—

결과—

성공0

판정: 긴반지름 오차 4% 이내, 이심률 차이 0.04 이내, (타원이면) 근지점 방향 8° 이내. 요령: 먼저 힌트 원으로 속력(→ a)을 맞추고, 그 원을 따라 방향을 돌려 e와 근지점 방향을 맞춘다.

케플러 법칙

뉴턴보다 70년 앞서 케플러는 튀코 브라헤의 정밀한 화성 관측 자료에서 세 가지 경험 법칙을 찾아냈다. 뉴턴은 이 셋이 모두 역제곱 중력에서 수학적으로 나온다는 것을 보였다.

케플러 법칙

제1법칙(궤도): 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다. 제2법칙(넓이): 태양과 행성을 잇는 선분은 같은 시간 동안 같은 넓이를 쓸고 지나간다. 제3법칙(주기): 공전 주기의 제곱은 긴반지름의 세제곱에 비례한다.

타원의 기하. 이심률 $e = c/a$($0 \le e < 1$), $b = a\sqrt{1-e^2}$. 지구 궤도는 e = 0.017로 거의 원이고, 핼리 혜성은 e = 0.967이다.

제2법칙 = 각운동량 보존

짧은 시간 $dt$ 동안 행성이 쓸고 지나가는 부채꼴의 넓이는 $dA = \tfrac12 r^2\,d\theta$이다. 중력은 태양을 향하는 중심력(central force)이라 태양에 대한 토크가 0이고, 각운동량 $L = mr^2\,d\theta/dt$가 보존된다(10장).

$$\frac{dA}{dt} = \frac12 r^2\frac{d\theta}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{일정}$$

가까울 때(작은 r) 빨리, 멀 때 천천히 돈다. 근일점과 원일점에서 $r_p v_p = r_a v_a$.

이심률이 큰 타원 궤도에서 행성이 가장 빠르게 움직이는 곳은?

같은 시간에 같은 넓이를 쓸려면 r이 작을 때 더 긴 호를 지나야 한다. 에너지로 보아도 U가 가장 낮은 근일점에서 K가 가장 크다.

SIMULATOR

넓이 속도 일정: 같은 시간, 같은 넓이

행성을 궤도 위에서 끌어 옮길 수 있다

이심률 e 한 바퀴를 나눌 구간 수 속도 벡터

구간 하나의 넓이—

지금 거리 r—

지금 속력—

v_근 / v_원—

긴반지름 a = 1 AU, 주기 1년인 궤도. 색칠된 부채꼴은 모두 같은 시간(T/구간 수) 동안 쓸린 넓이다. 해볼 것: ① e를 0.85까지 키우면 부채꼴 모양은 길쭉하거나 뭉툭해지지만 넓이는 그대로다. ② 근일점·원일점 속력비는 $(1+e)/(1-e)$이다. ③ e = 0이면 등속 원운동이다.

제3법칙과 중심 천체의 질량

원 궤도에서 $T = 2\pi r^{3/2}/\sqrt{GM}$을 보았다. 타원에서는 $r$ 자리에 긴반지름 $a$가 들어간다.

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,a^3$$

비례 상수가 중심 천체의 질량에만 달려 있다. 같은 별을 도는 모든 행성은 $T^2/a^3$이 같다. 양변에 로그를 취하면 $\log T = \tfrac32\log a + \text{상수}$ — 로그–로그 그래프에서 기울기 3/2인 직선이다.

SIMULATOR

로그–로그 그래프에 행성 점 찍기

세로선 위의 흰 원을 위아래로 끌어 주기를 어림한다

—

목성의 위성들(이오·유로파·가니메데·칼리스토) 확정한 점들의 맞춤 직선

내 어림—

실제 주기 / 오차—

맞춤 기울기—

점수—

처음 두세 행성은 어림으로 찍어 보라. 점이 몇 개 모이면 직선이 보이고, 나머지 행성의 주기는 예측할 수 있다. 오차 10% 이내면 명중. 목성의 위성들은 기울기는 같지만 아래쪽의 다른 직선 위에 있다 — 중심 질량이 태양의 약 1/1000이기 때문이다($T \propto 1/\sqrt{M}$).

화성 궤도의 긴반지름은 1.52 AU이다. 화성의 공전 주기는 몇 년인가?

풀이 보기

전략 같은 태양을 도는 지구(a = 1 AU, T = 1년)와 비교하면 상수가 소거된다: $T/T_E = (a/a_E)^{3/2}$.

풀이 $T = (1.52)^{3/2} = 1.87$ 년.

T = 1.87 년

검토 실제 값 1.881년과 잘 맞는다. 위 그래프에서 화성 점을 찍어 보라.

지구는 반지름 $1.496\times10^{11}$ m의 거의 원 궤도를 365.25일에 돈다. 태양의 질량은?

풀이 보기

풀이 $T = 3.156\times10^7$ s. $M = \dfrac{4\pi^2 a^3}{GT^2} = \dfrac{4\pi^2(1.496\times10^{11})^3}{(6.674\times10^{-11})(3.156\times10^7)^2} = 1.99\times10^{30}$ kg.

M = 1.99 × 10³⁰ kg

검토 위성의 궤도만 알면 중심 천체의 질량을 잴 수 있다. 은하 중심 블랙홀의 질량(약 430만 태양 질량)도 주변 별의 궤도에서 이렇게 구했다.

구 껍질 정리와 블랙홀

지금까지 지구나 태양을 "중심에 모든 질량이 있는 점"으로 다뤘다. 이것이 정당하다는 것을 뉴턴은 미적분을 발명해 증명했다. 결과는 놀랍도록 간단하다.

구 껍질 정리

질량이 고르게 분포한 얇은 구 껍질(질량 $M$)에 대해 (1) 껍질 바깥의 질점은 모든 질량이 중심에 모인 점처럼 $GMm/r^2$의 힘을 받는다. (2) 껍질 안의 질점은 어디에 있든 알짜 중력을 받지 않는다. 이를 구 껍질 정리(shell theorem)라 한다.

껍질 안의 점 P에서 서로 반대 방향으로 같은 꼭지각의 가는 원뿔 두 개를 그린다.
원뿔이 껍질을 자르는 조각의 넓이는 거리의 제곱에 비례한다. 먼 쪽 조각이 더 무겁다.
중력은 $m/r^2$에 비례하므로 두 조각의 힘은 정확히 같고 방향은 반대다. 역제곱 법칙이라서 가능한 상쇄다.

껍질 안에서 중력이 0인 이유(뉴턴의 기하학적 증명).

점 P를 껍질 안팎으로 끈다

원뿔 쌍 회전

MINI LABP를 껍질 안 어디에 두든 마주 보는 조각 쌍의 힘 화살표는 길이가 같다. 가까운 조각은 작고(가볍고) 먼 조각은 크다(무겁다). P를 껍질 밖으로 끌어내면 알짜힘이 중심을 향하는 $GM/r^2$이 된다(오른쪽 아래 그래프).

속이 찬 구는 얇은 껍질을 양파처럼 겹친 것이므로, 구 바깥에서는 점질량과 같고, 구 안 반지름 $r$인 곳에서는 $r$보다 안쪽 질량만 작용한다 — 12.2절의 $g(r) \propto r$이 이렇게 나온다.

지구를 관통하는 터널

밀도가 균일한 지구에 중심을 지나는 터널을 뚫고 공을 떨어뜨리면, 공이 받는 힘은 $F = -(GM_Em/R_E^3)\,x$ — 변위에 비례하는 복원력이다. 13장에서 배울 단순 조화 운동이며, 주기는

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{R_E^3}{GM_E}} = 2\pi\sqrt{\frac{R_E}{g}} \approx 84.3\ \text{min}$$

지표를 스치며 도는 위성의 주기와 정확히 같다! 중심을 지나지 않는 곧은 터널(현)이라도 주기는 같다.

터널이 중심에서 벗어난 거리 지표를 스치는 위성 함께

MINI LAB현실의 1초 = 터널 안 10분. 터널을 중심에서 비켜 뚫어도(공이 덜 빨라지지만 거리도 짧다) 반대편까지 걸리는 시간은 늘 42분이다. 중심 터널에서는 공이 위성의 그림자와 정확히 함께 움직인다.

균일한 지구($R_E = 6.37\times10^6$ m, $M_E = 5.97\times10^{24}$ kg)의 중심을 지나는 터널에서 정지 상태로 놓은 공이 반대편에 도착하는 시간과 중심을 지날 때의 속력을 구하라.

풀이 보기

전략 복원력 상수 $k_\text{eff} = GM_Em/R_E^3$ → $\omega = \sqrt{GM_E/R_E^3}$. 반대편까지는 반 주기, 최대 속력은 $\omega A$(진폭 $A = R_E$).

풀이 $\omega = \sqrt{3.984\times10^{14}/(6.37\times10^6)^3} = 1.242\times10^{-3}$ s⁻¹. $T/2 = \pi/\omega = 2.53\times10^3$ s = 42.2 min. $v_\text{max} = \omega R_E = 7.91$ km/s.

42.2 min, 7.91 km/s

검토 중심에서의 속력이 지표 원 궤도 속력과 같다. 위성의 수평 그림자가 바로 이 운동이다(13장의 "원운동의 투영").

블랙홀 입문

질량은 그대로 두고 반지름을 줄이면 탈출 속도 $\sqrt{2GM/R}$가 커진다. 탈출 속도가 빛의 속력 $c$에 이르는 반지름보다 작게 압축된 천체에서는 빛조차 빠져나올 수 없다. 이것이 블랙홀(black hole)이다. 뉴턴 역학으로 어림한 경계 반지름은 일반 상대성 이론의 정확한 결과와 우연히 같다.

$$R_S = \frac{2GM}{c^2}$$

슈바르츠실트 반지름(Schwarzschild radius). 이 반지름의 구면을 사건의 지평선(event horizon)이라 한다. 지평선 바깥 멀리서는 같은 질량의 별과 똑같은 중력(구 껍질 정리)을 느낀다 — 블랙홀이 주변을 "빨아들이지" 않는다.

질량이 태양의 1인 천체가 블랙홀이 되려면 반지름 안으로 압축되어야 한다. 그때 평균 밀도는 이다.

태양($1.99\times10^{30}$ kg)이 블랙홀이 되려면 반지름이 얼마 이하여야 하는가? ($c = 3.00\times10^8$ m/s)

풀이 보기

풀이 $R_S = 2(6.674\times10^{-11})(1.99\times10^{30})/(3.00\times10^8)^2 = 2.95\times10^3$ m.

약 2.95 km

검토 지금 태양 반지름(6.96 × 10⁵ km)의 24만분의 1이다. 태양은 질량이 작아 블랙홀이 되지 않는다(백색 왜성으로 끝난다). 지구라면 9 mm, 구슬 크기다.

핵심 정리

만유인력: $F = Gm_1m_2/r^2$, $G = 6.674\times10^{-11}$ N·m²/kg². 여러 물체의 중력은 벡터로 더한다(중첩). 중력장 $\vec g = \vec F/m$.
표면 중력 $g = GM/R^2$. 고도 h에서 $g(R/(R+h))^2$, 균일한 구 안에서는 $g\,r/R$(중심에서 0).
중력 퍼텐셜 에너지 $U = -GMm/r$(무한대에서 0). 탈출 속도 $v_\text{esc} = \sqrt{2GM/R}$, 조건은 $E \ge 0$.
원 궤도: $v = \sqrt{GM/r}$, $T = 2\pi r^{3/2}/\sqrt{GM}$, $E = -GMm/2r = -K = U/2$. 정지 궤도는 고도 약 35 800 km.
케플러: 타원 궤도(태양은 초점), 넓이 속도 일정(= 각운동량 보존), $T^2 = 4\pi^2a^3/GM$. 궤도 자료로 중심 질량을 잰다.
구 껍질 정리: 껍질 밖에서는 점질량, 안에서는 0. 균일한 지구 관통 터널은 주기 84 분의 단순 조화 운동.
블랙홀: 탈출 속도가 c가 되는 슈바르츠실트 반지름 $R_S = 2GM/c^2$ 안으로 압축된 천체.

연습문제

특별한 말이 없으면 $G = 6.674\times10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_E = 5.97\times10^{24}$ kg, $R_E = 6.37\times10^6$ m, $M_\odot = 1.99\times10^{30}$ kg, $c = 3.00\times10^8$ m/s를 쓴다(부록 B). 답이 ±1% 이내면 정답이다.

질량 70.0 kg인 두 사람이 1.00 m 떨어져 있다. 서로 끌어당기는 중력의 크기는?

$F = (6.674\times10^{-11})(70.0)^2/(1.00)^2 = 3.27\times10^{-7}$ N. 모기 한 마리 무게(약 $2\times10^{-5}$ N)보다도 훨씬 작다.

지구와 달($7.35\times10^{22}$ kg)의 중심 사이 거리는 $3.84\times10^8$ m이다. 두 천체의 중력이 상쇄되는 점은 지구 중심에서 얼마나 떨어져 있는가?

$GM_E/r^2 = GM_M/(D-r)^2$ → $(D-r)/r = \sqrt{M_M/M_E}$.

$\sqrt{M_M/M_E} = 0.1110$. $r = D/(1+0.1110) = 3.46\times10^8$ m — 달까지 거리의 90%. 중력장 시뮬레이터의 도전 과제와 같은 원리다.

지표에서 $g = 9.80$ m/s²이다. 지표에서 고도 $3R_E$인 곳의 중력 가속도는?

중심에서 $4R_E$이므로 $g/16 = 9.80/16 = 0.613$ m/s².

질량이 지구의 3.00배, 반지름이 지구의 1.50배인 행성의 표면 중력 가속도는? (지구 $g = 9.80$ m/s²)

$g \propto M/R^2$: $9.80\times3.00/1.50^2 = 13.1$ m/s².

목성(질량 $1.90\times10^{27}$ kg, 반지름 $6.99\times10^7$ m)의 탈출 속도는?

$v = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2(6.674\times10^{-11})(1.90\times10^{27})/6.99\times10^7} = 6.02\times10^4$ m/s = 60.2 km/s.

질량 1000 kg인 위성을 지표에서 정지 상태로부터 고도 400 km 원 궤도에 올리는 데 필요한 최소 에너지는? (지구 자전과 공기 저항은 무시)

$W = E_\text{궤도} - U_\text{지표} = -\dfrac{GMm}{2r} + \dfrac{GMm}{R_E}$.

$GMm = 3.984\times10^{17}$. $-3.984\times10^{17}/(2\times6.77\times10^6) + 3.984\times10^{17}/6.37\times10^6 = -2.943\times10^{10} + 6.255\times10^{10} = 3.31\times10^{10}$ J. 이 중 높이 올리는 데 드는 것은 약 12%뿐이고 대부분은 운동 에너지다.

고도 2000 km 원 궤도 위성의 속력과 주기는?

$r = 8.37\times10^6$ m. $v = \sqrt{GM/r} = 6.90$ km/s, $T = 2\pi r/v = 7.62\times10^3$ s = 127 min.

주기 23.93 h인 원 궤도의 고도(지표에서의 높이)를 km로 구하라.

$T = 8.615\times10^4$ s. $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = 4.216\times10^7$ m → $h = r - R_E = 3.58\times10^7$ m = $3.58\times10^4$ km.

핼리 혜성의 공전 주기는 75.3년, 근일점 거리는 0.586 AU이다. 원일점 거리는?

태양계에서 $T[\text{년}]^2 = a[\text{AU}]^3$. 근일점 + 원일점 = 2a.

$a = 75.3^{2/3} = 17.83$ AU. $r_a = 2a - r_p = 35.67 - 0.586 = 35.1$ AU(해왕성 궤도 너머).

핼리 혜성은 근일점(0.586 AU)에서 54.6 km/s로 움직인다. 원일점(35.1 AU)에서의 속력은?

근일점·원일점에서 속도는 반지름에 수직이므로 각운동량 보존 $r_pv_p = r_av_a$: $v_a = 54.6\times0.586/35.1 = 0.912$ km/s.

목성의 위성 이오는 반지름 $4.22\times10^8$ m의 원 궤도를 1.769일에 한 바퀴 돈다. 목성의 질량은?

$T = 1.528\times10^5$ s. $M = 4\pi^2a^3/GT^2 = 4\pi^2(4.22\times10^8)^3/[(6.674\times10^{-11})(1.528\times10^5)^2] = 1.90\times10^{27}$ kg.

밀도가 균일한 지구를 가정하자(지표 $g = 9.80$ m/s²). 지표에서 $R_E/2$ 깊이의 중력 가속도는?

구 껍질 정리로 $g(r) = g\,r/R_E$. $r = R_E/2$ → 4.90 m/s².

지구 전체를 블랙홀로 만들려면 반지름을 몇 mm 이하로 압축해야 하는가?

$R_S = 2GM/c^2 = 2(6.674\times10^{-11})(5.97\times10^{24})/(3.00\times10^8)^2 = 8.85\times10^{-3}$ m = 8.85 mm.

같은 행성을 도는 두 위성 중 B의 원 궤도 반지름이 A의 4배이다. B의 주기는 A의 몇 배인가?

$T \propto r^{3/2}$: $4^{3/2} = 8$.

속이 빈 균일한 구 껍질 안, 중심에서 벗어난 곳에 작은 공을 가만히 놓았다. 공은 어떻게 되는가?

껍질 안에서는 모든 방향의 중력이 상쇄되어 알짜힘이 0이다(구 껍질 미니 실험).

개념 확인 퀴즈

우주 정거장 안에서 우주인이 둥둥 떠 있는 가장 정확한 이유는?

고도 400 km의 g는 지표의 89%다. 모든 것이 같은 가속도로 떨어지므로 서로에 대해 무게가 없는 것처럼 보인다.

더 낮은 원 궤도로 옮긴 위성에 대해 옳은 것은?

$v = \sqrt{GM/r}$은 r이 작을수록 크고, $E = -GMm/2r$은 더 음수가 된다. 공기 저항을 받는 위성이 점점 빨라지는 역설이다.

같은 원 궤도에서 앞서가는 정거장을 따라잡으려고 우주선이 진행 방향으로 잠깐 엔진을 켰다. 어떻게 될까?

속력을 높이면 E가 커져 긴반지름이 커지고 $T \propto a^{3/2}$도 길어진다. 따라잡으려면 오히려 역추진해 낮은(빠른) 궤도로 내려가야 한다. 랑데부 도전에서 확인해 보라.

밀도가 균일한 지구의 중심에서 중력 가속도는?

$g(r) = g\,r/R$ → r = 0에서 0. 모든 방향의 질량이 똑같이 당긴다.

태양이 갑자기 같은 질량의 블랙홀로 바뀐다면 지구의 궤도는?

구 껍질 정리에 따라 바깥의 중력은 질량만으로 정해진다. 질량이 같으면 $GM/r^2$도 같다.