Chapter 30

빛과 기하 광학

빛은 전자기파지만, 파장(0.5 μm 남짓)보다 훨씬 큰 물체를 다룰 때는 파동성을 잊고 빛을 곧게 나아가는 광선으로 보아도 된다. 이것이 기하 광학(geometric optics)이다. 반사와 굴절이라는 두 규칙만으로 무지개, 광섬유, 거울과 렌즈의 상, 안경과 망원경까지 설명할 수 있다.

물속 레이저(흰 원)를 끌어 보세요

반사 법칙과 스넬 법칙 $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$를 적용하고, 굴절률과 빛의 속력의 관계를 안다.
임계각과 전반사를 계산하고 광섬유·분산·무지개를 설명한다.
평면 거울과 구면 거울이 만드는 상을 작도하고 거울 방정식으로 계산한다.
얇은 렌즈의 주광선을 그리고 렌즈 방정식 $1/d_o + 1/d_i = 1/f$와 배율로 상의 위치·크기·종류를 구한다.
눈의 조절과 시력 교정, 확대경과 망원경의 배율을 계산한다.

반사와 굴절

빛이 두 매질의 경계에 닿으면 일부는 되돌아오고(반사) 일부는 꺾여 들어간다(굴절). 각은 모두 경계면의 법선에서 잰다. 반사각은 입사각과 같다. 굴절은 매질 속에서 빛이 느려지기 때문에 일어난다. 진공에서의 속력과 매질 속 속력의 비가 굴절률(index of refraction)이다.

$$\theta_r = \theta_1, \qquad n = \frac cv, \qquad n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \quad(\text{스넬 법칙})$$

공기 1.000 3, 물 1.33, 유리 1.5 안팎, 다이아몬드 2.42. 진동수는 매질이 바뀌어도 그대로이고 파장이 $\lambda/n$으로 짧아진다.

굴절의 원리. 행진하는 대열이 비스듬히 진흙밭에 들어서면 먼저 들어간 쪽이 느려져 대열이 돈다. 이 그림에서 $\sin\theta_1/\sin\theta_2 = v_1/v_2 = n_2/n_1$이 나온다.

공기에서 0(0 물 1.33, 1 유리 1.50, 2 다이아몬드 2.42)에 입사각 40로 들어가면 굴절각은 이다(). 거꾸로 그 매질에서 공기로 나갈 때의 임계각은 .

유리(n = 1.50) 안에서 공기 쪽으로 입사각 50°로 빛이 나간다. 어떻게 될까?

$\sin\theta_2 = 1.50\sin50° = 1.15 > 1$. 굴절각이 존재하지 않는다 — 전반사. 유리의 임계각은 41.8°다.

SIMULATOR

스넬 법칙과 반사

광원(흰 원)을 끌어 입사각을 바꾼다

위 매질 n₁

아래 매질 n₂

파면 보기

입사각 θ₁—

굴절각 θ₂—

임계각—

반사되는 비율 (편광 안 된 빛)—

광선의 굵기는 반사·투과되는 세기의 비율(프레넬 식)이다. 해볼 것: ① 공기 → 유리에서 수직으로 비추면 4%만 반사된다(유리창의 희미한 반사상). ② 비스듬할수록 반사가 강해진다(저녁 호수의 눈부심). ③ 유리 → 공기로 바꾸어 임계각을 넘겨 보라 — 반사가 100%로 뛴다.

겉보기 깊이

물속 물체에서 나온 빛은 수면에서 법선과 멀어지게 꺾여 눈에 들어온다. 눈은 빛이 곧게 왔다고 여기므로 물체를 실제보다 얕은 곳에서 본다. 바로 위에서 보면(작은 각) 겉보기 깊이는 $d' = d\,n_2/n_1 = d/1.33$이다.

MINI LAB동전(아래 흰 원)과 눈(위 흰 원)을 끌어 보라. 실제 광선(주황)과, 눈이 거꾸로 이어 본 직선(점선)이 만나는 곳이 동전의 상이다. 비스듬히 볼수록 동전이 더 떠올라 보인다 — 물가에서 연못이 얕아 보이는 이유.

공기에서 입사각 40°로 물(n = 1.33)에 들어간 빛의 굴절각은? 물속에서 빛의 속력은?

풀이 보기

풀이 $\sin\theta_2 = \sin40°/1.33 = 0.483$ → $\theta_2 = 28.9°$. $v = c/n = 2.26\times10^8$ m/s.

θ₂ ≈ 28.9°, v ≈ 2.26 × 10⁸ m/s

검토 느린 매질로 들어가면 법선 쪽으로 꺾인다($\theta_2 < \theta_1$).

깊이 2.0 m인 수영장 바닥을 바로 위에서 보면 몇 m 깊이로 보이는가?

풀이 보기

풀이 $d' = d/n = 2.0/1.33 = 1.50$ m.

약 1.5 m

검토 얕아 보이는 수영장이 실제로는 더 깊다 — 다이빙 사고의 원인 중 하나다.

전반사와 분산

빛이 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 나갈 때는 법선에서 멀어지게 꺾인다. 입사각을 키우면 굴절각이 먼저 90°에 닿는다. 그때의 입사각이 임계각(critical angle)이고, 그보다 크면 빛이 하나도 빠져나가지 못하고 전부 반사된다 — 전반사(total internal reflection).

$$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\quad(n_1 > n_2)$$

유리–공기 41.8°, 물–공기 48.8°, 다이아몬드–공기 24.4°. 다이아몬드가 반짝이는 것은 임계각이 작아 안으로 들어간 빛이 여러 번 전반사된 뒤 위로 나오기 때문이다.

임계각보다 작으면 굴절해 나가는 빛과 반사되는 빛으로 나뉜다.
임계각에서 굴절각이 90°가 되어, 나가는 빛이 경계면을 따라 스친다.
임계각을 넘으면 빛이 전부 안으로 반사된다. 거울보다 손실이 적다(은 거울은 몇 %를 흡수한다).

전반사. 광섬유는 굴절률이 큰 심(core)을 작은 껍질(cladding)이 감싸, 빛이 수천 km를 전반사로 튕기며 간다.

분산과 무지개

물질의 굴절률은 파장에 따라 조금씩 다르다. 대부분 파장이 짧을수록 굴절률이 커서, 보라색이 빨간색보다 더 많이 꺾인다. 이렇게 색에 따라 굴절이 달라 빛이 갈라지는 것이 분산(dispersion)이다.

MINI LAB흰빛 광원(흰 원)을 끌어 정삼각형 유리 프리즘에 비추는 각을 바꿔 보라. 굴절률은 400 nm에서 1.531, 700 nm에서 1.513으로 정했다(크라운 유리). 꺾이는 각(편향각)이 가장 작아지는 입사각이 있다 — 최소 편향. 입사각을 줄이면 둘째 면에서 전반사가 일어나 빛이 나오지 못한다.

무지개. 굴절 → 안쪽 반사 → 굴절. 빛이 가장 많이 몰리는 각(최소 편향과 같은 원리)이 색마다 조금 달라 색이 갈라진다. 두 번 반사하면 색 순서가 뒤집힌 더 흐린 쌍무지개(51°)가 생긴다.

유리(n = 1.50)와 물(n = 1.33)에서 공기로 나갈 때의 임계각은?

풀이 보기

풀이 $\theta_c = \sin^{-1}(1/1.50) = 41.8°$, $\sin^{-1}(1/1.33) = 48.8°$.

41.8°, 48.8°

검토 쌍안경의 프리즘은 45° 면에서 전반사를 이용한다 — 45° > 41.8°라 은도금 없이도 완벽한 거울이다. 물속에서 올려다보면 수면 위 세상이 반각 48.8°인 원(스넬의 창) 안에 모인다.

평면 거울과 구면 거울

물체의 한 점에서 나온 광선들이 반사·굴절된 뒤 다시 한 점에 모이거나, 한 점에서 나온 것처럼 퍼지면 그 점이 상(image)이다. 광선이 실제로 모이면 실상(스크린에 맺힌다), 거꾸로 연장한 선이 모이면 허상(스크린에 맺히지 않는다)이다.

평면 거울의 상은 거울 뒤 같은 거리에 같은 크기로 생기는 허상이고, 앞뒤가 뒤바뀐다. 발끝에서 나온 빛은 눈과 발 사이 높이의 절반에서 반사되어 눈에 오므로, 전신을 보려면 키의 절반 길이 거울이면 된다 — 거울까지의 거리와 상관없다.

구면 거울은 축에 나란한 광선을 한 점, 초점(focal point)에 모은다(오목 거울). 초점 거리는 곡률 반지름의 절반이다. 볼록 거울은 나란한 광선을 초점에서 나온 것처럼 퍼뜨린다($f < 0$).

$$f = \frac R2, \qquad \frac1{d_o} + \frac1{d_i} = \frac1f, \qquad m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}$$

부호 약속: 물체 거리 $d_o > 0$. 상이 거울 앞(실상)이면 $d_i > 0$, 뒤(허상)면 $d_i < 0$. 오목 $f > 0$, 볼록 $f < 0$. $m < 0$은 거꾸로 선 상. (이 근사는 축 가까운 광선에서만 성립한다.)

SIMULATOR

구면 거울의 상 작도

물체 끝(흰 원)과 초점 F(파란 원)를 끌어 보라

거울

여러 광선(축 근처) 보기

d_o · f—

상의 거리 d_i—

배율 m—

상의 종류—

세 주광선: ① 축에 나란히 → 반사 후 초점을 지난다. ② 초점을 지나 → 반사 후 축에 나란히. ③ 거울 꼭지점에 → 축에 대칭으로 반사. 실선이 실제 광선, 점선이 거울 뒤로 연장한 선. 해볼 것: ① 오목 거울에서 물체를 F 안쪽으로 옮기면 바로 선 확대 허상 — 화장용 거울. ② 볼록 거울은 늘 작고 바로 선 허상 — 넓게 보는 자동차 사이드미러("사물이 보이는 것보다 가까이 있음").

초점 거리 10 cm인 오목 거울 앞 30 cm에 물체가 있다. 상의 위치와 배율은?

풀이 보기

풀이 $1/d_i = 1/10 - 1/30 = 1/15$ → $d_i = 15$ cm(앞, 실상). $m = -15/30 = -0.5$.

거울 앞 15 cm, 거꾸로 선 절반 크기 실상

검토 물체가 $2f$보다 멀면 상은 $f$와 $2f$ 사이에 작게 맺힌다. 시뮬레이터에서 $d_o = 30, f = 10$으로 확인하라.

얇은 렌즈

렌즈는 두 면의 굴절로 빛을 모으거나(볼록 렌즈, 수렴 렌즈) 퍼뜨린다(오목 렌즈, 발산 렌즈). 두께가 초점 거리보다 훨씬 얇으면 거울과 같은 꼴의 식이 성립한다. 다만 렌즈는 빛이 통과하므로 실상이 반대쪽에 생긴다.

$$\frac1{d_o} + \frac1{d_i} = \frac1f, \qquad m = -\frac{d_i}{d_o}, \qquad \frac1f = (n-1)\Big(\frac1{R_1} - \frac1{R_2}\Big),\qquad P = \frac1f$$

렌즈 뒤(빛이 나가는 쪽) 실상 $d_i > 0$, 앞쪽 허상 $d_i < 0$. 수렴 $f > 0$, 발산 $f < 0$. 렌즈 제작자 공식에서 $R$은 빛이 들어오는 쪽에서 볼 때 볼록하면 +. 굴절력 $P$의 단위는 디옵터(D = 1/m).

축에 나란히 들어온 광선은 반대쪽 초점 F′를 지난다.
렌즈 중심을 지나는 광선은 꺾이지 않는다(얇은 렌즈의 중심은 평행한 유리판과 같다).
앞쪽 초점 F를 지나 들어온 광선은 축에 나란히 나간다. 세 광선이 만나는 점이 상이다(두 개면 충분하다). 이 그림은 $d_o = 2f$: 같은 크기의 거꾸로 선 상이 $2f$에 생긴다.

주광선 작도. 실제로는 물체 끝에서 나와 렌즈 어디를 지나든 모든 광선이 같은 상점에 모인다 — 주광선은 그리기 쉬운 셋일 뿐이다.

초점 거리 10인 렌즈 앞 30에 물체가 있으면, 상은 에 생기고 배율은 이다.

볼록 렌즈가 스크린에 촛불의 상을 맺고 있다. 렌즈의 위쪽 절반을 검은 종이로 가리면 스크린의 상은?

물체의 각 점에서 나온 빛은 렌즈 전체를 지나 한 점에 모인다. 렌즈 아래 절반만으로도 모든 점의 상이 생기고, 빛의 양만 절반이 된다. 시뮬레이터의 "렌즈 위쪽 가리기"로 확인하라.

SIMULATOR

도전: 스크린에 목표 배율의 선명한 상을 맺어라

물체 끝(흰 원)과 스크린(초록 막대 아래 원)을 끌어 옮긴다

초점 거리 f 렌즈 위쪽 가리기 주광선 보기

d_o → d_i—

배율 m · 상의 종류—

목표 배율—

스크린 · 성공—

물체 끝에서 나온 여러 광선(옅은 주황)이 렌즈를 지나 모인다. 스크린이 상의 위치에서 벗어나면 빛이 퍼진 흐린 반점이 된다. 스크린이 상에서 ±0.5 cm 안이고 배율이 목표의 ±5% 안이면 성공. 해볼 것: ① f를 음수로 하면 어디에 두어도 스크린에 상이 맺히지 않는다(허상). ② 물체를 F에 두면 광선이 나란히 나가 상이 무한히 멀어진다.

초점 거리 20 cm인 볼록 렌즈 앞 15 cm에 물체가 있다. 상은?

풀이 보기

풀이 $1/d_i = 1/20 - 1/15 = -1/60$ → $d_i = -60$ cm. $m = -(-60)/15 = +4$.

렌즈 앞쪽 60 cm, 4배 확대된 바로 선 허상

검토 물체가 초점 안쪽이면 볼록 렌즈는 돋보기가 된다. 스크린에는 맺히지 않지만 렌즈를 통해 눈으로 보면 보인다.

광학 기기: 눈, 확대경, 망원경

눈은 각막과 수정체가 만드는 렌즈(약 +60 D)가 망막에 실상을 맺는 카메라다. 수정체 둘레의 근육이 렌즈를 두껍게 해 가까운 물체에 초점을 맞춘다(조절(accommodation)). 선명하게 볼 수 있는 가장 먼 점이 원점, 가장 가까운 점이 근점이다. 정상 눈의 원점은 무한대, 근점은 약 25 cm다.

안경 굴절력

MINI LAB물체(흰 원)를 끌어 거리를 바꿔 보라(눈금은 로그). 눈은 조절 범위(4 D) 안에서 스스로 초점을 맞춘다. 근시 눈은 렌즈가 너무 강해 먼 물체의 상이 망막 앞에 맺힌다 — 오목 렌즈(−2 D)로 고친다. 원시 눈은 가까운 물체가 흐리다 — 볼록 렌즈로 돕는다.

$$M_\text{확대경} = \frac{25\text{ cm}}{f}\ (\text{상을 무한대에}), \qquad M_\text{망원경} = -\frac{f_o}{f_e}$$

각배율: 맨눈으로(확대경은 근점 25 cm에서, 망원경은 그대로) 볼 때보다 겉보기 각이 몇 배인가. 망원경 대물렌즈와 접안렌즈 사이의 거리는 $f_o + f_e$. 음수는 상이 뒤집힌다는 뜻.

초점 거리 5인 확대경의 각배율은 상을 무한대에 둘 때 , 근점(25 cm)에 둘 때 이다. 이 렌즈를 접안렌즈로, 초점 거리 100인 대물렌즈와 함께 쓰면 망원경의 배율은 , 경통 길이는 이다.

SIMULATOR

케플러 망원경

별빛의 방향(흰 원)을 끌어 기울인다

대물렌즈 f_o 접안렌즈 f_e 렌즈 간격을 f_o + f_e로 맞춤

들어오는 각 α—

나가는 각 α′—

α′/α (측정) · −f_o/f_e—

먼 별의 나란한 빛이 대물렌즈에서 초점면의 한 점(중간 상)에 모였다가, 접안렌즈를 지나 다시 나란히 나온다 — 더 큰 각으로. 세로 방향을 크게 늘려 그렸다(실제 각은 표시된 값). 해볼 것: ① "간격 맞춤"을 끄면 나가는 빛이 나란하지 않다(초점이 안 맞은 망원경). ② 나가는 광선 다발이 좁게 모이는 곳(사출 동공)이 눈을 대는 자리다.

원점이 50 cm인 근시 눈을 교정하려면 몇 디옵터의 안경(눈에 붙어 있다고 하자)이 필요한가?

풀이 보기

풀이 무한히 먼 물체의 허상을 원점 50 cm에 만들어야 한다: $1/\infty + 1/(-0.50) = 1/f$ → $f = -0.50$ m, $P = -2.0$ D.

−2.0 D (오목 렌즈)

검토 미니 랩에서 근시 눈에 −2 D를 끼우면 먼 물체가 선명해진다. 안경 처방전의 "−2.00"이 바로 이 값이다.

대물렌즈 초점 거리 1000 mm, 접안렌즈 25 mm인 굴절 망원경의 배율과 경통 길이는? 같은 접안렌즈를 확대경으로 쓰면 배율은?

풀이 보기

풀이 $M = -1000/25 = -40$, 길이 $1000 + 25 = 1025$ mm. 확대경: $250/25 = 10$배.

−40배, 약 1.03 m, 확대경 10배

검토 큰 망원경은 대물렌즈보다 오목 거울을 쓴다 — 큰 렌즈는 무겁고 처지며, 거울은 분산(색수차)이 없다.

핵심 정리

반사: $\theta_r = \theta_1$. 굴절: $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$, $n = c/v$. 진동수는 그대로, 파장은 $\lambda/n$.
전반사: $n_1 > n_2$이고 $\theta_1 > \theta_c = \sin^{-1}(n_2/n_1)$이면 빛이 모두 반사된다(광섬유, 프리즘, 다이아몬드).
분산: 굴절률이 파장에 따라 달라 흰빛이 갈라진다(프리즘, 무지개 42°).
평면 거울: 같은 거리·같은 크기의 허상. 구면 거울: $f = R/2$.
거울·얇은 렌즈: $1/d_o + 1/d_i = 1/f$, $m = -d_i/d_o$. 실상 $d_i > 0$, 허상 $d_i < 0$. 주광선 셋으로 작도.
눈: 조절로 초점을 맞춘다. 근시는 오목, 원시는 볼록 렌즈로 교정. $P = 1/f$(D).
확대경 $M = 25\text{ cm}/f$, 망원경 $M = -f_o/f_e$.

연습문제

특별한 말이 없으면 공기 n = 1.00, 물 1.33, 유리 1.50이다. 답이 ±1% 이내면 정답이다. 거리는 부호 약속에 따라 부호까지 답한다.

굴절률 1.50인 유리 속 빛의 속력은? (c = 3.00 × 10⁸ m/s)

$v = c/n = 2.00\times10^8$ m/s.

공기에서 입사각 30°로 유리에 들어간 빛의 굴절각은?

$\sin\theta_2 = \sin30°/1.50 = 0.333$ → 19.5°.

물속에서 입사각 35°로 수면에 닿은 빛이 공기로 나갈 때의 굴절각은?

$\sin\theta_2 = 1.33\sin35° = 0.763$ → 49.7°. (임계각 48.8°보다 작으므로 나갈 수 있다.)

다이아몬드(n = 2.42)에서 공기로 나갈 때의 임계각은?

$\sin^{-1}(1/2.42) = 24.4°$.

깊이 1.20 m에 있는 물고기를 바로 위에서 보면 몇 m 깊이로 보이는가?

$d' = 1.20/1.33 = 0.902$ m.

초점 거리 −15 cm인 볼록 거울 앞 30 cm에 물체가 있다. 상의 거리와 배율은?

$1/d_i = -1/15 - 1/30 = -1/10$ → $d_i = -10$ cm(거울 뒤 허상), $m = +0.333$.

초점 거리 12 cm인 오목 거울 앞 8.0 cm에 얼굴이 있다. 상의 거리와 배율은?

$1/d_i = 1/12 - 1/8 = -1/24$ → $d_i = -24$ cm, $m = +3.0$: 3배 확대된 바로 선 허상.

높이 2.0 cm인 물체가 초점 거리 10 cm인 볼록 렌즈 앞 25 cm에 있다. 상의 거리와 상의 높이(부호 포함)는?

$1/d_i = 1/10 - 1/25$ → $d_i = 16.7$ cm, $m = -0.667$, $h_i = -1.33$ cm(거꾸로).

초점 거리 −20 cm인 오목 렌즈 앞 30 cm에 물체가 있다. 상의 거리와 배율은?

$1/d_i = -1/20 - 1/30 = -1/12$ → $d_i = -12$ cm, $m = 0.40$.

근점이 75 cm인 원시 눈으로 25 cm 앞의 책을 보려면 몇 디옵터의 안경(눈에 붙어 있다고 하자)이 필요한가?

25 cm의 물체의 허상을 75 cm에 만든다: $P = 1/0.25 + 1/(-0.75) = 2.67$ D.

굴절률 1.50인 유리로, 두 면의 곡률 반지름이 모두 20 cm인 양볼록 렌즈($R_1 = +20$, $R_2 = -20$ cm)를 만들었다. 초점 거리는?

$1/f = 0.50(1/20 + 1/20) = 1/20$ → 20 cm.

대물렌즈 120 cm, 접안렌즈 2.0 cm인 망원경의 각배율은?

$M = -120/2.0 = -60$.

키 1.70 m인 사람이 자신의 전신을 평면 거울로 보려면 거울의 세로 길이가 최소 얼마여야 하는가?

키의 절반, 0.85 m. 거울까지의 거리와 무관하다.

볼록 렌즈의 초점 거리보다 먼 곳에 놓인 물체의 상은?

$d_o > f$이면 $d_i > 0$, $m < 0$. 카메라와 눈, 영사기의 원리.

프리즘에서 가장 많이 꺾이는 색은?

파장이 짧을수록 굴절률이 커서 더 많이 꺾인다.

개념 확인 퀴즈

빛이 공기에서 물로 들어갈 때 바뀌지 않는 것은?

경계의 양쪽에서 진동이 이어져야 하므로 진동수는 같다. 속력과 파장이 $1/n$로 줄어든다.

전반사가 일어날 수 있는 경우는?

굴절률이 큰 쪽에서 작은 쪽으로, 임계각보다 큰 각으로 갈 때만.

자동차 사이드미러로 볼록 거울을 쓰는 이유는?

볼록 거울의 상은 늘 축소된 바로 선 허상이라 시야가 넓다. 대신 실제보다 멀어 보인다.

근시인 사람의 안경 렌즈는?

근시 눈은 너무 강하게 모으므로 발산 렌즈로 약하게 한다.

망원경의 배율을 키우는 방법은?

$M = -f_o/f_e$.