Chapter 14

유체 역학

강철로 만든 배는 뜨는데 작은 쇠못은 가라앉는다. 손가락으로 호스 끝을 막으면 물줄기가 멀리 뻗고, 수천 톤의 비행기가 공기에 떠받쳐진다. 흐르는 물질 — 유체 — 의 이 모든 현상은 뉴턴 법칙과 에너지 보존을 압력과 밀도의 언어로 다시 쓴 것뿐이다. 아래 수조의 블록을 끌어 물에 넣어 보면서 시작하자.

블록을 끌어 물속에 넣거나 꺼내 보세요

밀도와 압력을 정의하고, 정지 유체에서 $p = p_0 + \rho g h$를 유도해 계기 압력·절대 압력·기압계를 다룬다.
파스칼 원리로 유압 장치의 힘 증폭 $F_2/F_1 = A_2/A_1$과 이동 거리의 대가를 설명한다.
아르키메데스 원리 $B = \rho_\text{유체} V_\text{잠김} g$로 뜨고 가라앉는 조건, 잠기는 비율, 겉보기 무게를 구한다.
이상 유체의 연속 방정식 $A_1v_1 = A_2v_2$와 베르누이 방정식을 일–에너지 정리로부터 유도하고 벤투리관·토리첼리 정리에 적용한다.
점성과 난류를 정성적으로 이해하고, 푸아죄유 법칙 $Q \propto R^4$과 레이놀즈 수로 실제 유체의 흐름을 판단한다.

밀도와 압력

고체와 달리 유체(fluid)는 모양을 유지하지 못하고 흐른다. 액체와 기체가 모두 유체다. 유체를 다룰 때는 물체 하나의 질량과 힘 대신, 단위 부피당 질량과 단위 넓이당 힘을 쓰는 것이 편하다.

밀도와 압력

균일한 물질의 밀도(density)는 $\rho = m/V$이다(단위 kg/m³). 유체가 넓이 $dA$인 면에 수직으로 힘 $dF_\perp$를 가할 때 압력(pressure)은 $p = dF_\perp/dA$이고, 단위는 파스칼(pascal) 1 Pa = 1 N/m²이다. 압력은 방향이 없는 스칼라다 — 유체 속의 한 점에서 모든 방향으로 같은 크기로 작용한다.

물의 밀도는 $1.00\times10^3$ kg/m³, 공기는 약 1.20 kg/m³(20 °C, 1 atm), 수은은 $13.6\times10^3$ kg/m³이다. 해수면의 대기압(atmospheric pressure)은 평균 $p_\text{atm} = 1.013\times10^5$ Pa = 1 atm이다 — 손바닥(약 0.01 m²) 위에 1000 N, 즉 100 kg짜리 물체가 얹힌 것과 같은 힘이다. 우리가 이 힘을 못 느끼는 것은 몸속의 유체가 같은 압력으로 밀어내기 때문이다.

깊이에 따른 압력

정지한 유체 속에서 넓이 $A$, 두께 $dy$인 얇은 판 모양의 유체 덩어리를 생각하자. 아랫면은 $pA$로 위로, 윗면은 $(p + dp)A$로 아래로 밀리고, 무게는 $dw = \rho g A\,dy$이다. 덩어리가 정지해 있으므로 힘의 합이 0이다.

왼쪽: 얇은 유체 판의 힘의 평형에서 $dp/dy = -\rho g$가 나온다. 오른쪽: 압력은 방향이 없다. 작은 정육면체 탐침을 어느 쪽으로 돌려도 같은 힘을 받는다.

$$\frac{dp}{dy} = -\rho g \quad\Longrightarrow\quad p = p_0 + \rho g h$$

$y$는 위쪽이 +. 밀도가 일정한 액체에서 수면(압력 $p_0$) 아래 깊이 $h$의 압력. 압력은 깊이에만 의존하고 그릇의 모양과는 무관하다.

압력계는 보통 주위 대기압과의 차이를 잰다. 이것을 계기 압력(gauge pressure) $p - p_\text{atm}$이라 하고, 진공을 기준으로 잰 $p$를 절대 압력(absolute pressure)이라 한다. 타이어 압력 "32 psi"는 계기 압력이다.

밀도 1000인 액체 속 깊이 10에서 계기 압력은 , 절대 압력은 이다. 이 액체에서는 내려갈 때마다 압력이 1 atm씩 늘어난다.

모양이 다른 세 그릇 — 위가 넓은 깔때기, 곧은 통, 위가 좁은 꽃병 — 에 같은 높이까지 물을 채웠다. 바닥의 압력은 어느 그릇이 가장 클까?

압력은 수면에서의 깊이 $h$로만 정해진다(정수압 역설(hydrostatic paradox)). 아래 실험실에서 그릇 모양을 바꿔 가며 같은 깊이의 압력을 비교해 보라.

SIMULATOR

수압 측정 탐침: 탐침을 끌어 깊이를 바꿔라

흰 탐침을 끌어 옮긴다

그릇 모양

액체

절대 압력으로 보기 (대기압 포함) 같은 깊이(등압선) 표시

깊이 h—

계기 압력 ρgh—

절대 압력—

해볼 것: ① 탐침을 같은 깊이에서 좌우로 옮겨도 압력이 변하지 않음을 확인하라. ② ‘연결관’에서 굵은 관·가는 관 바닥의 압력을 비교하라 — 수면 높이가 같기 때문에 연결된 그릇의 물은 모두 같은 높이에서 멈춘다. ③ 수은에서는 같은 깊이의 압력이 물의 13.6배다. 오른쪽 그래프의 기울기가 $\rho g$이다.

잠수부가 바닷물($\rho = 1.03\times10^3$ kg/m³) 속 25.0 m 깊이에 있다. 계기 압력과 절대 압력을 구하고, 절대 압력은 몇 atm인지 말하라.

풀이 보기

전략 밀도가 일정하다고 보고 $p = p_0 + \rho g h$를 쓴다. 수면의 압력은 대기압이다.

풀이 계기 압력 $\rho g h = (1.03\times10^3)(9.80)(25.0) = 2.52\times10^5$ Pa. 절대 압력 $p = 1.013\times10^5 + 2.52\times10^5 = 3.54\times10^5$ Pa $= 3.49$ atm.

계기 압력 2.52 × 10⁵ Pa, 절대 압력 3.54 × 10⁵ Pa ≈ 3.5 atm

검토 바닷물에서는 약 10 m마다 1 atm씩 늘어나므로 25 m에서 약 2.5 atm이 더해진다. 잠수부의 폐 속 공기도 이 압력이 되어야 숨을 쉴 수 있다 — 그래서 상승할 때 숨을 참으면 위험하다(보일 법칙, 18장).

기압계와 액주계

토리첼리는 한쪽이 막힌 유리관에 수은을 채워 수은 접시에 거꾸로 세웠다. 관 꼭대기에는 거의 진공($p \approx 0$)이 생기고, 수은 기둥은 접시 수면의 대기압과 균형을 이루는 높이에서 멈춘다: $p_\text{atm} = \rho_\text{Hg} g h$. 1 atm에서 $h = 760$ mm이므로 압력 단위 1 mmHg = 1 torr가 여기서 나왔다. 같은 장치를 물로 만들면 기둥 높이가 10.3 m나 된다.

수은 기압계(왼쪽)는 절대 압력을, 한쪽이 대기에 열린 U자관 액주계(manometer)(오른쪽)는 계기 압력을 기둥 높이 차로 잰다.

심화: 높이에 따른 대기압

공기는 압축되므로 $\rho$가 일정하지 않다. 온도가 일정한 이상 기체에서 $\rho = pM/RT$이므로 $dp/dy = -(Mg/RT)\,p$이고, 적분하면 $p(y) = p_0\,e^{-y/H}$, $H = RT/Mg \approx 8.6$ km(공기, 20 °C)이다. 에베레스트 정상(8.8 km)의 기압이 해수면의 약 1/3인 이유다(실제 대기는 위로 갈수록 차가워 조금 더 낮다).

파스칼 원리

식 $p = p_0 + \rho g h$에서 수면의 압력 $p_0$를 $\Delta p$만큼 올리면 유체 속 모든 점의 압력이 똑같이 $\Delta p$만큼 오른다. 치약 튜브 한쪽을 누르면 반대쪽 끝에서 치약이 나오는 것도 이 때문이다.

파스칼 원리

밀폐된 유체의 한 부분에 가한 압력 변화는 줄어들지 않고 유체의 모든 부분과 그릇의 벽에 그대로 전달된다(파스칼 원리(Pascal's principle)).

작은 피스톤(넓이 A₁)을 힘 F₁으로 누르면 그 아래 압력이 Δp = F₁/A₁만큼 오른다.
파스칼 원리: 압력 변화가 유체 전체에 그대로 전달된다.
큰 피스톤(넓이 A₂)은 같은 Δp로 밀려 F₂ = Δp·A₂ = (A₂/A₁)F₁의 힘을 받는다. 힘이 증폭된다.
대가: 유체는 압축되지 않으므로 큰 피스톤은 조금만 올라간다. 일 F₁d₁ = F₂d₂ — 에너지는 공짜로 생기지 않는다.

유압 장치의 원리. ▶를 눌러 한 단계씩 보라.

$$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \quad\Rightarrow\quad F_2 = \frac{A_2}{A_1}F_1, \qquad A_1 d_1 = A_2 d_2$$

두 피스톤의 높이 차에 의한 $\rho g h$와 피스톤 무게·마찰은 무시했다.

지름 2인 작은 피스톤을 100으로 누르면, 지름 20인 큰 피스톤은 의 힘으로 밀려 질량 을 받칠 수 있다. 대신 큰 피스톤을 1.0 cm 올리려면 작은 피스톤을 밀어야 한다.

SIMULATOR

유압 잭: 손잡이를 눌러 자동차를 들어 올려라

흰 손잡이를 아래위로 끈다

작은 피스톤 지름 d₁ 큰 피스톤 지름 d₂ 자동차 질량 사람 힘의 한계 300 N

필요한 힘 F₁—

유체 압력(계기)—

들린 높이 / 누른 횟수—

한 일 F₁Σd₁ vs mgΔy—

목표 (5 cm)—

목표: 사람 힘 300 N 이하로 1000 kg 자동차를 5 cm 들어 올려라. 처음 설정으로는 손잡이가 꿈쩍도 하지 않는다! 해볼 것: ① 지름비 $d_2/d_1$을 키워 필요한 힘을 300 N 아래로 내려라 — 힘은 지름비의 제곱으로 준다. ② 지름비가 클수록 한 번 누를 때 차가 조금만 올라간다(더 많이 펌프질해야 한다). ③ 손잡이를 올릴 때는 역지 밸브가 닫혀 차가 내려가지 않고, 저장통의 기름이 작은 실린더로 들어온다. 두 ‘한 일’이 항상 같은지 보라.

정비소 리프트의 큰 피스톤 지름은 30.0 cm, 작은 피스톤 지름은 2.00 cm이다. 1200 kg 자동차를 받치려면 작은 피스톤에 얼마의 힘이 필요한가? 차를 10.0 cm 올리려면 작은 피스톤은 모두 얼마나 움직여야 하는가?

풀이 보기

전략 같은 압력: $F_1 = F_2 (A_1/A_2) = F_2(d_1/d_2)^2$. 부피 보존: $d_\text{작은} = d_\text{큰}(A_2/A_1)$.

풀이 $F_2 = (1200)(9.80) = 1.176\times10^4$ N, $F_1 = (1.176\times10^4)(2.00/30.0)^2 = 52.3$ N. 이동 거리 $(0.100\text{ m})(30.0/2.00)^2 = 22.5$ m.

F₁ = 52.3 N, 작은 피스톤의 총 이동 거리 22.5 m

검토 225배의 힘을 얻는 대신 225배 먼 거리를 민다. 실제 잭은 역지 밸브로 짧은 왕복을 여러 번 반복해 이 거리를 채운다. $F_1 d_1 = (52.3)(22.5) = 1.18\times10^3$ J $= mg\Delta y$로 일이 같다.

부력과 아르키메데스 원리

물속에서는 무거운 돌도 가볍게 느껴진다. 유체 속 물체의 아랫면은 윗면보다 깊으므로 더 큰 압력으로 밀린다. 이 압력 차이의 합력이 위쪽을 향하는 부력(buoyant force)이다. 그 크기는 놀랍도록 간단하게 정해진다.

정지한 유체 속에서 임의의 모양으로 유체 한 덩어리를 상상한다.
주변 유체가 표면을 누르는 힘의 합력 B는 위쪽이다(아래가 더 깊다). 덩어리가 정지해 있으므로 B는 덩어리의 무게와 같다.
덩어리를 같은 모양의 물체로 바꿔도 주변 유체는 똑같이 누른다. 부력 = 밀려난 유체의 무게.
부력과 물체의 무게를 비교하면 뜰지 가라앉을지가 정해진다: 밀도 비교.

아르키메데스 원리의 유도. 물체의 재질은 부력에 아무 영향이 없다 — 오직 잠긴 부피만이 중요하다.

아르키메데스 원리

유체에 전부 또는 일부가 잠긴 물체는 밀려난 유체의 무게와 같은 크기의 위쪽 힘(부력)을 받는다(아르키메데스 원리(Archimedes' principle)).

$$B = \rho_\text{유체}\,V_\text{잠김}\,g, \qquad \text{떠 있을 때:}\ \ \frac{V_\text{잠김}}{V} = \frac{\rho_\text{물체}}{\rho_\text{유체}}$$

떠 있는 물체는 $B = W$이므로 $\rho_\text{유체}V_\text{잠김}g = \rho_\text{물체}Vg$. 완전히 잠긴 물체의 겉보기 무게(apparent weight)는 $W - B$이다.

추 재질 (부피 100 cm³)

MINI LAB용수철저울의 흰 고리를 끌어 내려 추를 물에 담가 보라. 저울 눈금은 $W - B$로 줄고, 비커 아래 저울의 눈금은 정확히 $B$만큼 늘어난다(뉴턴 제3법칙: 추가 물을 $B$로 누른다). 재질을 바꿔도 다 잠긴 뒤의 부력은 0.980 N으로 같다.

왕관의 무게가 공기 중에서 7.84 N, 물속에 완전히 담갔을 때 6.86 N이었다. 왕관의 부피와 평균 밀도를 구하라. 순금(19.3 × 10³ kg/m³)인가?

풀이 보기

전략 겉보기 무게의 감소 = 부력 = $\rho_\text{물}Vg$. 부피를 얻으면 $\rho = m/V$.

풀이 $B = 7.84 - 6.86 = 0.98$ N → $V = B/(\rho_\text{물}g) = 0.98/(1000\times9.80) = 1.0\times10^{-4}$ m³. $m = 7.84/9.80 = 0.800$ kg, $\rho = 0.800/1.0\times10^{-4} = 8.0\times10^3$ kg/m³.

V = 1.0 × 10⁻⁴ m³, ρ ≈ 8.0 × 10³ kg/m³ — 순금이 아니다

검토 밀도는 금보다 은(10.5 × 10³)이나 구리(8.9 × 10³)에 가깝다. 모양이 복잡해 부피를 재기 어려운 물체도 부력으로 부피를 정확히 잴 수 있다는 것이 아르키메데스의 통찰이었다. 두 무게의 차가 작으므로 유효숫자는 두 자리다.

철(밀도 7.87 × 10³ kg/m³)로 된 정육면체를 수은(13.6 × 10³ kg/m³)에 넣으면 어떻게 될까?

뜨고 가라앉는 것은 재질이 아니라 밀도 비 $\rho_\text{물체}/\rho_\text{유체}$로 정해진다. $7.87/13.6 = 0.579$. 아래 도전 실험에서 다른 조합도 예측해 보라.

CHALLENGE

뜰까 가라앉을까: 잠기는 비율을 예측하라

블록을 끌어 위아래로 누를 수도 있다

물체 (10 cm 정육면체)

액체

예측: 잠기는 비율

ρ물체 / ρ액체—

잠긴 비율—

부력 B / 무게 W—

손이 가할 힘—

결과 · 점수—

도전: 물체와 액체를 고르고(또는 ‘새 문제’), 계산으로 잠기는 비율을 예측해 슬라이더로 맞춘 뒤 ‘넣어 보기’를 누른다. 오차 3%p 이내면 명중이다(가라앉는 물체는 100%). 해볼 것: ① 얼음은 물에서 91.7%, 바닷물에서 89.0%가 잠긴다 — 빙산의 일각. ② 블록을 끌어 물속에 완전히 눌러 넣는 데 필요한 힘 $B - W$를 읽어라. ③ 수은에서는 금만 가라앉는다.

얼음(917 kg/m³)이 바닷물(1030 kg/m³)에 떠 있다. 부피의 몇 %가 수면 위로 나와 있는가?

풀이 보기

전략 떠 있으므로 $V_\text{잠김}/V = \rho_\text{얼음}/\rho_\text{바닷물}$.

풀이 $V_\text{잠김}/V = 917/1030 = 0.890$ → 수면 위 $1 - 0.890 = 0.110$.

약 11.0%

검토 물(민물)에서는 8.3%만 나온다. 바닷물이 더 무거우므로 덜 잠긴다. 위 도전 실험에서 확인해 보라.

흔한 실수: "무거운 물체가 부력을 더 받는다"

부력은 물체의 무게나 재질과 무관하고 잠긴 부피와 유체의 밀도로만 정해진다. 같은 부피의 철과 알루미늄을 완전히 담그면 부력은 같다. 철이 가라앉는 것은 부력이 작아서가 아니라 무게가 커서다. 또 가라앉은 물체가 바닥에 닿으면 바닥의 수직항력이 나머지를 떠받친다.

유체의 흐름과 연속 방정식

이제 유체를 움직여 보자. 실제 흐름은 매우 복잡하므로 먼저 이상 유체(ideal fluid) — 압축되지 않고(비압축성(incompressible)) 내부 마찰(점성)이 없는 유체 — 를 생각한다. 액체는 대부분 거의 비압축성이고, 기체도 음속보다 훨씬 느리게 흐를 때는 비압축성으로 다룰 수 있다.

각 점의 속도가 시간에 따라 변하지 않는 흐름을 정상 흐름(steady flow)이라 한다. 정상 흐름에서 유체 입자가 지나는 경로를 유선(streamline)이라 하며, 유선은 서로 교차하지 않는다. 유선이 둘러싼 관 모양의 영역(유관)으로는 유체가 옆으로 드나들지 않는다. 층이 미끄러지듯 매끈하게 흐르는 정상 흐름을 층류(laminar flow)라 한다.

같은 시간 $dt$ 동안 굵은 곳에서는 짧은 원기둥($A_1v_1dt$), 가는 곳에서는 긴 원기둥($A_2v_2dt$)이 지나간다. 비압축성 유체에서 두 부피는 같아야 한다. 유선이 빽빽한 곳일수록 빠르다.

$$A_1 v_1 = A_2 v_2 \qquad (\text{연속 방정식}), \qquad Q = \frac{dV}{dt} = Av$$

$Q$: 부피 흐름률(volume flow rate)(m³/s). 압축성 유체에서는 질량 흐름률 $\rho_1A_1v_1 = \rho_2A_2v_2$가 보존된다. 질량 보존의 유체 버전이다.

원형 관의 지름이 절반으로 좁아지는 곳에서 물의 속력은 몇 배가 될까?

넓이 $A = \pi d^2/4$는 지름의 제곱에 비례하므로 지름이 절반이면 넓이는 1/4, 속력은 4배다. 아래 관의 흰 점을 끌어 확인하라.

SIMULATOR

모양을 바꾸는 관: 단면을 끌어 흐름을 보라

관 벽의 흰 점 세 개를 위아래로 끈다

부피 흐름률 Q 같은 부피 표시선 속도 화살표

구간 ① 지름 · 속력—

구간 ② 지름 · 속력—

구간 ③ 지름 · 속력—

Av (모든 구간)—

화면은 실제의 1/10 속도로 느리게 재생된다. 세로 표시선 사이에는 언제나 같은 부피의 물이 들어 있다 — 좁은 곳에서 표시선 간격이 길어지는 것이 연속 방정식이다. 해볼 것: ① ‘가운데 지름을 절반으로’를 눌러 속력이 4배가 되는지 보라. ② 어떤 모양으로 바꿔도 맨 아래 $Av$는 모든 구간에서 같다. ③ 출구를 넓히면 물이 느려진다 — 강이 넓어지는 곳에서 물살이 느린 이유.

지름 2.0인 호스에서 물이 1.5로 흐른다. 끝을 손가락으로 막아 지름 0.5의 구멍만 남기면 물은 로 뿜어 나온다. 유량은 로 그대로이므로 10 L 양동이를 채우는 데 가 걸린다.

안지름 2.00 cm인 호스로 물이 1.50 m/s로 흐른다. 끝에 안지름 0.500 cm인 노즐을 끼우면 물의 속력은? 이 호스로 10.0 L 양동이를 채우는 데 걸리는 시간은?

풀이 보기

전략 연속 방정식 $v_2 = v_1(A_1/A_2) = v_1(d_1/d_2)^2$. 시간 = 부피 / $Q$.

풀이 $v_2 = 1.50\times(2.00/0.500)^2 = 24.0$ m/s. $Q = \pi(0.0100)^2(1.50) = 4.71\times10^{-4}$ m³/s $= 0.471$ L/s → $t = 10.0/0.471 = 21.2$ s.

v₂ = 24.0 m/s, t = 21.2 s

검토 노즐은 물줄기를 빠르게 할 뿐 양동이를 채우는 시간은 그대로다(공급 압력이 일정하다면 실제로는 노즐 때문에 $Q$가 약간 줄 수 있다). 수도꼭지에서 떨어지는 물줄기가 아래로 갈수록 가늘어지는 것도 빨라지기 때문이다.

베르누이 방정식

관이 좁아져 유체가 빨라졌다면 무언가가 유체를 앞으로 밀어 가속시킨 것이다. 그 힘은 압력 차에서 온다: 넓은 곳(느린 곳)의 압력이 좁은 곳(빠른 곳)보다 높아야 한다. 이 관계를 일–에너지 정리로 정확히 쓴 것이 베르누이 방정식(Bernoulli's equation)이다.

유관 속 a와 c 사이의 유체를 계로 잡는다. 뒤쪽 유체는 p₁A₁로 밀고, 앞쪽 유체는 p₂A₂로 되민다.
시간 dt 뒤 계는 b–d로 옮겨간다. 비압축성이므로 뒤쪽에서 빠진 조각과 앞쪽에 생긴 조각의 부피가 같다: dV.
주변 유체의 압력이 계에 한 알짜 일은 (p₁ − p₂)dV이다.
정상 흐름이므로 b–c 사이는 변하지 않는다. 일–에너지 정리 dW = dK + dU를 쓰고 dV로 나누면 베르누이 방정식이 된다.

베르누이 방정식의 유도. 압력은 단위 부피당 일(에너지 밀도)로 볼 수 있다: 1 Pa = 1 N/m² = 1 J/m³.

$$p_1 + \tfrac12\rho v_1^2 + \rho g y_1 = p_2 + \tfrac12\rho v_2^2 + \rho g y_2 \quad\Longleftrightarrow\quad p + \tfrac12\rho v^2 + \rho g y = \text{일정}$$

이상 유체의 정상 흐름에서 같은 유선을 따라 성립한다. $v = 0$이면 정지 유체의 $p = p_0 + \rho g h$로 돌아간다. 각 항을 $\rho g$로 나눈 $p/\rho g + v^2/2g + y$를 '수두(head)'라 부른다.

벤투리관

수평 관($y_1 = y_2$)에서는 $p_1 - p_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2)$: 빠른 곳의 압력이 낮다. 관의 넓은 곳과 좁은 목에 세운 관(피에조미터)의 물기둥 높이 차로 이 압력 차를 보이는 장치가 벤투리관(Venturi tube)이다. 높이 차 $h$를 재면 연속 방정식과 함께 유속을 알 수 있다.

$$v_1 = \sqrt{\frac{2gh}{(A_1/A_2)^2 - 1}}$$

$\rho g h = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2)$와 $v_2 = (A_1/A_2)v_1$에서. 벤투리 유량계의 원리.

SIMULATOR

벤투리관과 압력 기둥

목의 흰 점을 끌어 좁힌다

입구 속력 v₁ 속도 수두 v²/2g 표시

목의 속력 v₂—

넓이 비 A₁/A₂—

압력 차 p₁ − p₂—

기둥 높이 차 h—

세 기둥의 물 높이는 그 지점의 계기 압력 $p/\rho g$이고, 점선 위의 막대는 속도 수두 $v^2/2g$이다. 두 높이의 합(빨간 점선, 에너지선)이 어디서나 같다 — 이것이 베르누이 방정식이다. 해볼 것: ① 목을 좁히거나 v₁을 키우면 가운데 기둥이 내려간다. ② 출구 기둥은 입구와 같은 높이로 회복된다(이상 유체). ③ 목의 압력이 대기압보다 낮아지면 기둥이 관 속까지 내려가 바깥 공기를 빨아들인다 — 분무기와 흡입기의 원리.

안지름 2.50 cm인 수도관이 절대 압력 3.50 × 10⁵ Pa, 속력 1.20 m/s로 물을 집에 공급한다. 6.00 m 위의 2층 욕실 관은 안지름이 1.25 cm이다. 2층 관 속 물의 속력과 압력은? (점성 무시)

풀이 보기

전략 연속 방정식으로 $v_2$를, 베르누이 방정식으로 $p_2$를 구한다.

풀이 $v_2 = 1.20\times(2.50/1.25)^2 = 4.80$ m/s. $p_2 = p_1 - \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2) - \rho g(y_2 - y_1) = 3.50\times10^5 - \tfrac12(1000)(23.04 - 1.44) - (1000)(9.80)(6.00)$ $= 3.50\times10^5 - 1.08\times10^4 - 5.88\times10^4 = 2.80\times10^5$ Pa.

v₂ = 4.80 m/s, p₂ = 2.80 × 10⁵ Pa

검토 압력 감소의 대부분(5.88 × 10⁴ Pa)은 높이 때문이고, 속력 증가 때문은 1.08 × 10⁴ Pa이다. 고층 건물에 가압 펌프가 필요한 이유다.

토리첼리 정리

넓은 물통의 수면 아래 깊이 $h$에 작은 구멍을 뚫었다. 수면과 구멍은 모두 대기에 열려 있어 압력이 $p_\text{atm}$으로 같고, 통이 넓으면 수면의 속력은 거의 0이다. 베르누이 방정식은 $\rho g h = \tfrac12\rho v^2$만 남는다.

$$v = \sqrt{2gh} \qquad (\text{토리첼리 정리})$$

구멍에서 나오는 물의 속력은 높이 $h$에서 자유 낙하한 물체의 속력과 같다(토리첼리 정리(Torricelli's theorem)).

수면 아래 2.0 깊이에 뚫린 지름 2.0의 구멍에서 물은 로 뿜어 나오고, 유량은 이다. 깊이를 4배로 하면 속력은 2배가 된다.

물이 높이 H까지 찬 물통(바닥이 땅)의 옆면에 구멍을 하나 뚫는다. 물줄기가 땅에서 가장 멀리 닿게 하려면 구멍을 어디에 뚫어야 할까?

낮은 구멍은 빠르지만 떨어지는 시간이 짧고, 높은 구멍은 오래 날지만 느리다. 사거리 $x = v\,t = \sqrt{2g(H-y)}\sqrt{2y/g} = 2\sqrt{y(H-y)}$는 $y = H/2$에서 최대 $H$가 된다.

CHALLENGE

물통의 구멍: 물줄기로 컵을 맞혀라

통 옆면의 흰 구멍을 위아래로 끈다

물의 높이 H 구멍 셋(H/4, H/2, 3H/4) 비교 물이 빠지게 두기

구멍 높이 y · 깊이 H − y—

분출 속력 √(2g(H−y))—

사거리 x—

도전—

도전 ①: 구멍을 끌어 물줄기가 가장 멀리 가는 높이를 찾아라(사거리가 H와 1% 이내면 성공). 도전 ②: 구멍 높이만 바꿔 빨간 컵에 물을 넣어라 — 대개 답이 두 개다. 해볼 것: 구멍 셋을 켜면 H/4와 3H/4의 물줄기가 같은 곳에 떨어진다. 물이 빠지게 두면 수면이 내려가며 $v$가 줄어 물줄기가 점점 짧아진다.

바닥이 땅에 놓인 넓은 물통에 물이 3.00 m 높이까지 차 있다. 높이 1.00 m에 작은 구멍을 뚫었다. 물이 나오는 속력과, 물줄기가 땅에 닿는 곳까지의 수평 거리는? 사거리를 최대로 하려면 구멍을 어디에 뚫어야 하며 그때 사거리는?

풀이 보기

전략 토리첼리 정리로 속력, 그다음 수평으로 발사된 포물선 운동(3장).

풀이 깊이 $3.00 - 1.00 = 2.00$ m → $v = \sqrt{2(9.80)(2.00)} = 6.26$ m/s. 낙하 시간 $t = \sqrt{2(1.00)/9.80} = 0.452$ s → $x = (6.26)(0.452) = 2.83$ m. 최대는 $y = H/2 = 1.50$ m에서 $x = H = 3.00$ m.

v = 6.26 m/s, x = 2.83 m; 높이 1.50 m에서 최대 3.00 m

검토 $x = 2\sqrt{y(H-y)} = 2\sqrt{(1.00)(2.00)} = 2.83$ m로 같다. 높이 2.00 m 구멍도 같은 2.83 m에 떨어진다 — 위 시뮬레이터에서 확인하라.

심화: 물통이 비는 시간

단면적 $A$인 통의 바닥 근처 구멍(넓이 $a$)으로 물이 빠지면 연속 방정식에서 $A\,dH/dt = -a\sqrt{2gH}$이다. 변수 분리해 적분하면 $2\sqrt{H} = 2\sqrt{H_0} - (a/A)\sqrt{2g}\,t$, 따라서 다 비는 시간은 $T = (A/a)\sqrt{2H_0/g}$이다. 수면이 낮아질수록 천천히 빠진다 — 물시계를 일정한 속도로 만들려면 그릇 모양을 바꿔야 한다.

날개와 양력

날개(약간 앞쪽을 든 각도)를 지나는 공기의 유선.
날개 위쪽은 유선이 빽빽하다 — 연속 방정식에 따라 공기가 더 빠르다. 아래쪽은 느리다.
베르누이 방정식: 빠른 위쪽은 압력이 낮고, 느린 아래쪽은 압력이 높다.
압력 차의 합력이 양력이다. 같은 일을 운동량으로 보면, 날개는 공기를 아래로 휘게 하고(내리흐름) 그 반작용으로 위로 밀린다.

날개 위 공기 흐름. 베르누이(압력 차)와 뉴턴 제3법칙(내리흐름)은 같은 양력의 두 가지 설명이다.

흔한 오해: "위아래 공기가 동시에 뒤끝에 도착한다"

위쪽 공기가 먼 길을 돌아 아래쪽 공기와 뒤끝에서 동시에 만나야 하므로 빠르다는 설명은 틀렸다. 실제로 위쪽 공기는 그보다 훨씬 빨라 먼저 도착한다. 속력 차이는 날개 모양과 받음각이 흐름을 휘게 만든 결과이고, 정확한 양력은 압력 분포 전체를 적분해야 한다. 평평한 종이 날개나 뒤집혀 나는 곡예기도 받음각만 있으면 양력을 얻는다.

점성과 난류

꿀은 물보다 훨씬 천천히 흐른다. 실제 유체에는 이웃한 층 사이의 내부 마찰, 곧 점성(viscosity)이 있다. 두 평행판 사이의 유체에서 위판을 속력 $v$로 끌면 판에 붙은 유체는 판과 함께 움직이고(미끄럼 없음 조건) 아래판의 유체는 정지해 있어 층마다 속력이 다르다.

뉴턴 유체에서 판을 끄는 데 필요한 힘은 $F/A = \eta\,v/L$이다. 비례 상수 $\eta$가 점성 계수(단위 Pa·s). 20 °C에서 물 $1.0\times10^{-3}$, 혈액(37 °C) 약 $3\times10^{-3}$, 글리세린 1.4 Pa·s.

점성 때문에 관 속 흐름의 속력은 벽에서 0이고 가운데에서 가장 빠르며, 같은 유량을 유지하려면 관 양 끝에 압력 차가 필요하다. 반지름 $R$, 길이 $L$인 원형 관의 층류에서 속도 분포는 포물선 $v(r) = \dfrac{p_1 - p_2}{4\eta L}(R^2 - r^2)$이고, 이를 단면 전체에 대해 적분하면 푸아죄유 법칙(Poiseuille's law)을 얻는다.

$$Q = \frac{\pi R^4}{8\eta}\,\frac{p_1 - p_2}{L}$$

유량은 반지름의 네제곱에 비례한다. 반지름이 10% 줄면 같은 압력 차에서 유량은 $0.9^4 = 0.66$배, 즉 34% 준다.

유체

관 반지름 R 압력 기울기 Δp/L

MINI LAB관 속 입자는 벽에서 멈추고 가운데에서 가장 빠르다(포물선 분포). R을 2.0 mm에서 1.0 mm로 줄이면 가운데 속력은 1/4, 유량은 1/16이 된다. 글리세린은 같은 압력 기울기에서 물보다 약 1400배 느리게 흐른다.

동맥 일부의 안쪽 반지름이 콜레스테롤 침착으로 20% 줄었다. 같은 혈류량을 유지하려면 심장은 이 구간의 압력 차를 몇 배로 늘려야 하는가? (푸아죄유 법칙이 성립한다고 가정)

풀이 보기

전략 $Q \propto R^4\Delta p$에서 $Q$가 일정하면 $\Delta p \propto R^{-4}$.

풀이 $\Delta p_2/\Delta p_1 = (R_1/R_2)^4 = (1/0.80)^4 = 2.44$.

약 2.44배

검토 반지름이 조금만 줄어도 필요한 압력은 크게 는다. 몸은 혈관 지름을 조절해 혈류를 바꾸는데, 그 민감도가 바로 $R^4$ 의존성에서 나온다.

난류와 레이놀즈 수

흐름이 충분히 빨라지면 매끈한 층류가 깨져 불규칙하게 소용돌이치는 난류(turbulent flow)가 된다. 그 경계를 가늠하는 무차원 수가 레이놀즈 수(Reynolds number)이다.

$$Re = \frac{\rho v D}{\eta}$$

$D$: 관 지름, $v$: 평균 속력. 관 흐름은 대략 $Re \lesssim 2000$이면 층류, $Re \gtrsim 4000$이면 난류, 그 사이는 불안정한 전이 영역이다. 난류에서는 베르누이 방정식과 푸아죄유 법칙이 성립하지 않는다.

평균 속력 v 관 지름 D

MINI LAB레이놀즈의 염료 실험(1883)을 정성적으로 재현했다. 물(20 °C) 속에 가는 염료 줄기를 흘린다. $Re$가 2000을 넘기 시작하면 줄기가 간헐적으로 흔들리고, 4000을 넘으면 금세 흩어져 관 전체로 섞인다. 흐름의 모양은 속력·지름·점성의 조합 $Re$ 하나로 정해진다.

점성이 만드는 힘: 스토크스 법칙

점성 유체 속을 천천히($Re \ll 1$) 움직이는 반지름 $r$인 구는 끌림힘 $F = 6\pi\eta r v$를 받는다. 5장의 선형 공기 저항 $F = bv$가 바로 이것이다. 안개 물방울이 아주 작은 종단 속도로 떠다니는 이유이고, 밀리컨의 기름방울 실험도 이 법칙으로 방울의 크기를 쟀다.

핵심 정리

밀도 $\rho = m/V$, 압력 $p = dF_\perp/dA$(Pa). 정지 유체에서 $dp/dy = -\rho g$, 밀도가 일정하면 $p = p_0 + \rho g h$ — 그릇 모양과 무관하다. 계기 압력 = 절대 압력 − 대기압.
파스칼 원리: 밀폐 유체에 가한 압력 변화는 모든 곳에 전달된다. 유압 장치 $F_2 = (A_2/A_1)F_1$, 대신 $A_1d_1 = A_2d_2$로 일은 같다.
아르키메데스 원리: 부력 $B = \rho_\text{유체}V_\text{잠김}g$ = 밀려난 유체의 무게. 떠 있으면 $V_\text{잠김}/V = \rho_\text{물체}/\rho_\text{유체}$, 겉보기 무게는 $W - B$.
비압축성 유체의 연속 방정식 $A_1v_1 = A_2v_2$; 부피 흐름률 $Q = Av$. 좁은 곳에서 빠르다.
베르누이 방정식 $p + \tfrac12\rho v^2 + \rho g y = $일정(이상 유체, 정상 흐름, 같은 유선). 빠른 곳의 압력이 낮다 — 벤투리관, 양력, 분무기. 토리첼리 정리 $v = \sqrt{2gh}$.
점성 유체의 관 흐름: 포물선 속도 분포, 푸아죄유 법칙 $Q = \pi R^4\Delta p/(8\eta L)$. 레이놀즈 수 $Re = \rho vD/\eta$가 약 2000을 넘으면 난류로 바뀌기 시작한다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s², 물의 밀도 $1.00\times10^3$ kg/m³, 대기압 $1.013\times10^5$ Pa를 쓰고 유체는 이상 유체로 본다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

질량 0.540 kg인 금속 덩어리의 부피가 $2.00\times10^{-4}$ m³이다. 밀도는? (어떤 금속일까?)

$\rho = 0.540/2.00\times10^{-4} = 2.70\times10^3$ kg/m³ — 알루미늄.

깊이 3.00 m인 수영장 바닥의 계기 압력은?

$\rho g h = (1000)(9.80)(3.00) = 2.94\times10^4$ Pa (약 0.29 atm).

가로 1.20 m, 세로 0.800 m인 책상 윗면을 대기가 누르는 힘의 크기는? 책상이 부서지지 않는 이유는?

$F = pA$. 책상 아랫면은 어떤 힘을 받는가?

$F = (1.013\times10^5)(1.20\times0.800) = 9.72\times10^4$ N — 약 10 톤의 무게다. 아랫면에도 거의 같은 대기압이 위로 작용해 알짜힘은 0에 가깝다.

물이 든 U자관의 한쪽에 기름(밀도 850 kg/m³)을 부어 기름 기둥의 길이가 10.0 cm가 되었다. 기름 쪽 액면과 물 쪽 액면의 높이 차는?

기름–물 경계면과 같은 높이의 반대쪽 물속에서 압력이 같다.

$\rho_\text{기름}(10.0) = \rho_\text{물}h_\text{물}$ → $h_\text{물} = 8.50$ cm (경계면 위). 기름 쪽이 $10.0 - 8.50 = 1.50$ cm 더 높다.

유압 리프트의 작은 피스톤 지름이 4.00 cm, 큰 피스톤 지름이 40.0 cm이다. 작은 피스톤을 150 N으로 누르면 큰 피스톤이 받칠 수 있는 질량은?

$F_2 = 150\times(40.0/4.00)^2 = 1.50\times10^4$ N → $m = F_2/g = 1.53\times10^3$ kg.

한 변이 20.0 cm인 나무 정육면체(밀도 600 kg/m³)가 물에 떠 있다. 수면 아래 잠긴 깊이는?

잠긴 비율 = 600/1000 = 0.600 → 깊이 $0.600\times20.0 = 12.0$ cm.

질량 2.70 kg, 부피 $1.00\times10^{-3}$ m³인 알루미늄 덩어리를 줄에 매달아 물속에 완전히 담갔다. 줄의 장력은?

$T = mg - \rho_\text{물}Vg = 26.46 - 9.80 = 16.7$ N.

부피 4.00 m³인 헬륨 풍선이 있다. 공기 밀도 1.20 kg/m³, 헬륨 밀도 0.166 kg/m³일 때, 풍선이 띄울 수 있는 최대 질량(풍선 막과 짐 포함)은?

부력 = 헬륨 무게 + 막과 짐의 무게일 때 겨우 뜬다.

$m = V(\rho_\text{공기} - \rho_\text{He}) = 4.00\times(1.20 - 0.166) = 4.14$ kg.

안지름 6.00 cm인 관에서 물이 0.800 m/s로 흐르다가 안지름 3.00 cm인 관으로 이어진다. 가는 관에서의 속력과 부피 흐름률(L/s)은?

$v_2 = 0.800\times(6.00/3.00)^2 = 3.20$ m/s. $Q = \pi(0.0300)^2(0.800) = 2.26\times10^{-3}$ m³/s = 2.26 L/s.

물탱크의 수면보다 5.00 m 아래에 있는 작은 구멍에서 나오는 물의 속력은?

$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(9.80)(5.00)} = 9.90$ m/s.

수평으로 놓인 벤투리 유량계의 넓은 부분 안지름이 8.00 cm, 목의 안지름이 4.00 cm이다. 물이 흐를 때 두 곳의 압력 차가 $2.00\times10^4$ Pa였다. 넓은 부분의 속력과 부피 흐름률(L/s)은?

$v_2 = (A_1/A_2)v_1 = 4v_1$을 $\Delta p = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2)$에 넣는다.

$\Delta p = \tfrac12\rho v_1^2(16 - 1)$ → $v_1 = \sqrt{2(2.00\times10^4)/(1000\times15)} = 1.63$ m/s. $Q = \pi(0.0400)^2(1.63) = 8.21\times10^{-3}$ m³/s = 8.21 L/s.

단면적 0.500 m²인 원통형 물통에 물이 1.20 m 깊이로 차 있다. 바닥의 넓이 2.00 cm²인 구멍으로 물이 빠질 때, 다 비는 데 걸리는 시간은?

$A\,dH/dt = -a\sqrt{2gH}$를 적분하면 $T = (A/a)\sqrt{2H_0/g}$ (베르누이 절의 심화 상자).

$T = (0.500/2.00\times10^{-4})\sqrt{2(1.20)/9.80} = 2500\times0.495 = 1.24\times10^3$ s (약 20.6분).

주사기 바늘을 안쪽 반지름이 절반인 바늘로 바꿨다(길이는 같다). 같은 유량으로 약물을 넣으려면 바늘 양 끝의 압력 차를 몇 배로 해야 하는가?

$\Delta p \propto R^{-4}$ → $2^4 = 16$배.

물이 가득 찬 컵에 얼음 조각이 떠 있다. 얼음이 모두 녹으면 컵의 물은?

떠 있는 얼음은 자기 무게만큼의 물을 밀어낸다. 녹은 물의 무게도 그와 같으므로, 녹은 물은 정확히 밀려났던 부피를 채운다. (육지 위의 빙하가 녹으면 해수면이 오르지만, 바다에 떠 있는 빙산이 녹는 것은 거의 영향이 없다.)

종이 두 장을 나란히 늘어뜨리고 그 사이로 입김을 세게 불면?

종이 사이 공기가 빨라져 압력이 낮아지고, 바깥의 정지한 공기(대기압)가 종이를 안쪽으로 민다. 나란히 달리는 두 배가 서로 끌려가는 것도 같은 원리다.

개념 확인 퀴즈

같은 깊이 h의 물 아래, 넓은 호수의 바닥과 가는 관의 바닥에서 압력을 비교하면?

정지 유체의 압력은 깊이만으로 정해진다: $p = p_0 + \rho g h$.

배에 실려 있던 돌을 연못에 던져 넣었다. 연못의 수면은?

배 위의 돌은 자기 무게만큼의 물(돌보다 큰 부피)을 밀어낸다. 물속의 돌은 자기 부피만큼만 밀어낸다. 돌의 밀도가 물보다 크므로 밀려난 물이 줄어 수면이 내려간다.

지름이 3배인 관으로 이어진 곳에서 물의 속력은?

$A \propto d^2$이 9배이므로 $v$는 1/9배.

수평 관의 좁은 목에서 일어나는 일로 옳은 것은?

연속 방정식으로 빨라지고, 베르누이 방정식으로 그만큼 압력이 낮아진다. 넓은 곳에서 좁은 곳으로 유체를 가속하는 힘이 바로 이 압력 차다.

혈관의 반지름이 절반이 되면 같은 압력 차에서 혈류량은?

푸아죄유 법칙 $Q \propto R^4$.