Chapter 07

퍼텐셜 에너지와 에너지 보존

하프파이프의 스케이트보더는 내려가며 빨라지고 올라가며 느려진다. 속력이 줄어든 만큼의 에너지는 사라진 것이 아니라 높이라는 형태로 저장되었다가 다시 돌아온다. 이 저장된 에너지가 퍼텐셜 에너지다. 아래 트랙의 흰 점을 끌어 모양을 바꿔 보라 — 모양이 어떻든 운동 에너지 K, 퍼텐셜 에너지 U, 마찰로 생긴 열의 합은 일정하다.

흰 점을 끌어 트랙을 바꾸고, 빈 곳을 누르면 그 위치에서 출발

중력 퍼텐셜 에너지 $U = mgy$와 탄성 퍼텐셜 에너지 $U = \tfrac12kx^2$를 정의하고, 기준점 선택이 $\Delta U$에 영향을 주지 않음을 설명한다.
역학적 에너지 보존 $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$와 비보존력이 있을 때의 $K_1 + U_1 + W_\text{other} = K_2 + U_2$를 적용한다.
보존력과 비보존력을 경로 의존성과 닫힌 경로의 일로 구별한다.
힘과 퍼텐셜 에너지의 관계 $F_x = -dU/dx$(3차원: $\vec F = -\nabla U$)를 쓴다.
에너지 도표에서 허용 영역, 전환점, 안정·불안정 평형을 읽는다.

중력 퍼텐셜 에너지와 역학적 에너지 보존

질량 $m$인 물체가 높이 $y_1$에서 $y_2$로 움직이면 중력 $-mg\hat\jmath$이 한 일은 경로와 상관없이 $W_\text{grav} = -mg(y_2 - y_1)$이다(수평으로 움직인 부분은 중력에 수직이라 일을 하지 않는다). 이 일을 어떤 양의 감소로 쓸 수 있다.

중력 퍼텐셜 에너지

지표 근처에서 중력 퍼텐셜 에너지(gravitational potential energy)는 $U_\text{grav} = mgy$이다. 중력이 한 일은 퍼텐셜 에너지 변화의 음수다: $W_\text{grav} = U_1 - U_2 = -\Delta U$. 기준점($y = 0$)은 마음대로 정할 수 있으며, 물리적으로 의미 있는 것은 차이 $\Delta U$뿐이다.

MINI LAB점선(기준 높이 y = 0)을 위아래로 끌어 보라. 선반 위와 바닥에서의 $U$ 값은 바뀌고 음수도 되지만, 떨어지는 동안의 변화 $\Delta U = -58.8$ J은 그대로다.

구불구불한 경로 A → B.
계단으로 근사: 수평 조각은 일 0.
수직 조각들의 일을 더하면 올라간 만큼 상쇄되어 $mg(y_A - y_B) = mgh$만 남는다.
어떤 경로든 같은 값 — 그래서 중력의 일을 퍼텐셜 에너지로 쓸 수 있다.

중력이 한 일이 경로와 무관한 이유. 계단을 아무리 잘게 해도 결론은 같다.

중력만 일을 하면 일–에너지 정리 $W_\text{tot} = \Delta K$에 $W_\text{grav} = -\Delta U$를 넣어 $\Delta K + \Delta U = 0$을 얻는다. 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합을 역학적 에너지(mechanical energy)라 한다.

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2 \quad\Longleftrightarrow\quad \tfrac12mv_1^2 + mgy_1 = \tfrac12mv_2^2 + mgy_2$$

중력(과 다음 절의 용수철 힘)만 일을 할 때 성립한다. 경로 모양, 속도의 방향, 시간은 필요 없다 — 처음과 나중의 높이와 속력만 있으면 된다.

높이 5.0의 미끄럼틀 꼭대기에서 0.0로 출발하면, 모양이 어떻든 마찰이 없을 때 바닥 속력은 $v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh}$ = ()이다. 같은 속력으로 위로 쏘아 올리면 까지 올라간다.

마찰 없는 롤러코스터 트랙에서 공을 높이 4 m에서 가만히 놓았다. 공이 넘을 수 있는 언덕의 최대 높이는?

$K + U$가 일정하고 $K \ge 0$이므로 공은 출발 높이 $y_1$보다 높이 갈 수 없다. 출발 높이보다 낮은 언덕은 모양과 상관없이 넘는다. 아래에서 제어점을 끌어 확인하라.

CHALLENGE

트랙 설계: 공을 깃발까지 보내라

흰 점(제어점)을 위아래로 끈다

마찰 계수 μ_k

도달 가능 높이 선(E/mg)

출발 높이—

속력—

K + U + 열—

결과 · 최저 기록—

공(1.00 kg)은 레일에 고정되어 있어 떨어지지 않는다(롤러코스터). 오른쪽 끝 깃발까지 가면 성공. 도전: 출발점을 가능한 한 낮춰서 성공하라 — 마찰이 있으면 기록이 어떻게 달라지는가? 해볼 것: ① μ = 0에서 점선(도달 가능 높이)보다 높은 언덕은 붉게 표시되며 절대 넘지 못한다. ② 마찰이 있으면 점선이 내려가며 열 막대가 자란다. 막대 합계는 그대로다.

마찰 없는 구불구불한 미끄럼틀의 꼭대기가 바닥보다 5.00 m 높다. 아이가 꼭대기에서 정지 상태로 출발하면 바닥에서의 속력은?

풀이 보기

전략 수직 항력은 운동 방향에 수직이라 일을 하지 않는다. 중력만 일을 하므로 역학적 에너지 보존. 바닥을 $y = 0$으로.

풀이 $0 + mg(5.00) = \tfrac12mv_2^2 + 0$ → $v_2 = \sqrt{2(9.80)(5.00)} = 9.90$ m/s.

9.90 m/s

검토 뉴턴 법칙으로 풀려면 매 지점의 기울기를 알아야 하지만 에너지로는 높이차만 필요하다. 도착 시간은 모양에 따라 다르다.

높이 20.0 m인 건물 옥상에서 공을 15.0 m/s로 던졌다. (a) 수평으로, (b) 위 45°로, (c) 아래 30°로 던질 때 땅에 닿는 속력을 각각 구하라. (공기 저항 무시)

풀이 보기

전략 에너지는 스칼라이므로 던진 방향은 상관없다.

풀이 $\tfrac12v_1^2 + gy_1 = \tfrac12v_2^2$ → $v_2 = \sqrt{(15.0)^2 + 2(9.80)(20.0)} = \sqrt{617} = 24.8$ m/s. 세 경우 모두 같다.

(a), (b), (c) 모두 24.8 m/s

검토 방향에 따라 달라지는 것은 비행 시간과 착지 각도다. 3장의 포물선 운동 방법으로 풀어도 같은 속력이 나온다.

진자의 에너지 분배

진자의 줄 장력은 언제나 추의 속도에 수직이므로 일을 하지 않는다. 그래서 진자도 $K + U$가 일정하다. 길이 $L$인 진자를 각 $\theta_0$에서 놓으면 최저점 속력은 $v = \sqrt{2gL(1-\cos\theta_0)}$이다.

MINI LAB추(흰 원)를 끌어 놓을 각도를 정한다. 오른쪽 막대에서 $U$(파랑)와 $K$(초록)가 서로 주고받으며 합은 일정하다. 큰 각도(80°)에서도 보존되지만, 주기는 작은 각도 공식보다 길어진다.

길이 1.50 m인 줄에 매달린 0.500 kg 추를 연직에서 40.0° 당겼다 놓았다. 최저점에서의 속력과 줄의 장력은?

풀이 보기

전략 속력은 에너지 보존, 장력은 최저점에서 원운동의 뉴턴 제2법칙 $T - mg = mv^2/L$.

풀이 높이차 $L(1-\cos40.0^\circ) = 0.351$ m → $v = \sqrt{2(9.80)(0.351)} = 2.62$ m/s. $T = mg + mv^2/L = 4.90 + 0.500(6.878)/1.50 = 7.19$ N.

v = 2.62 m/s, T = 7.19 N (무게의 1.47배)

검토 에너지 보존만으로는 힘(장력)을 알 수 없다. 속력을 에너지로 구하고 힘은 뉴턴 법칙으로 — 이 조합이 다음 루프 문제의 열쇠다.

루프-더-루프

반지름 $R$인 원형 루프의 꼭대기를 지나려면 수직 항력이 0 이상이어야 한다: $n + mg = mv_\text{top}^2/R \ge mg$이므로 $v_\text{top}^2 \ge gR$. 출발 높이 $h$에서 꼭대기(높이 $2R$)까지 에너지 보존을 쓰면 $\tfrac12v_\text{top}^2 = g(h - 2R)$. 두 식을 합치면 마찰 없이 미끄러지는 물체의 최소 출발 높이는 $h_\text{min} = \tfrac52R$이다.

반지름 1 m인 루프를 마찰 없이 한 바퀴 돌려면, 높이 2 m(루프 꼭대기 높이)보다 얼마나 높은 곳에서 출발해야 할까?

꼭대기에서 속력이 0이면 원을 그리지 못하고 떨어진다. 꼭대기에서 최소 $\sqrt{gR}$가 필요하므로 여분의 높이 $R/2$가 더 있어야 한다. 아래에서 출발 높이를 끌어 정확히 찾아보라.

CHALLENGE

루프 도전: 가장 낮은 출발 높이를 찾아라

경사면 위의 공(흰 원)을 끌어 높이를 정한다

루프 반지름 R 이론값 h = 2.5R 선 보기

h, h/R—

수직 항력(지금)—

결과—

성공 최저 h/R—

공은 구르지 않고 마찰 없이 미끄러진다. 수직 항력이 0이 되는 순간 트랙을 떠나 포물선을 그리며 떨어진다. 해볼 것: ① h = 2.0R, 2.4R, 2.5R, 2.6R을 시험하라. ② h < R이면 루프 아래쪽 반에서 되돌아온다(떨어지지 않는다). ③ R < h < 2.5R이면 꼭대기에 이르기 전에 떨어진다. 수직 항력 표시가 0을 지나는 곳을 보라.

반지름 0.400 m인 루프를 최소 높이에서 출발해 막 돌 수 있는 물체가 있다. 최소 출발 높이와, 루프 최저점에서 수직 항력이 무게의 몇 배인지 구하라.

풀이 보기

풀이 $h = 2.5R = 1.00$ m. 최저점: $v^2 = 2gh = 5gR$ → $n - mg = mv^2/R = 5mg$ → $n = 6mg$.

h = 1.00 m, n = 6mg

검토 최저점과 꼭대기의 수직 항력 차이는 $R$과 $h$에 상관없이 언제나 $6mg$이다. 롤러코스터가 원 대신 위가 좁은 물방울 모양 루프를 쓰는 이유다.

탄성 퍼텐셜 에너지

6장에서 용수철이 한 일은 $W_\text{el} = \tfrac12kx_1^2 - \tfrac12kx_2^2$로 처음과 나중 위치에만 의존했다. 중력과 똑같이 이것을 퍼텐셜 에너지의 감소로 쓸 수 있다.

탄성 퍼텐셜 에너지

자연 길이에서 $x$만큼 변형된 용수철에 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지(elastic potential energy)는 $U_\text{el} = \tfrac12kx^2$이다. 늘이든 압축하든 양수이며, 기준점은 자연 길이($x = 0$)로 정하는 것이 보통이다.

$$K_1 + U_{\text{grav},1} + U_{\text{el},1} = K_2 + U_{\text{grav},2} + U_{\text{el},2}$$

중력과 용수철 힘만 일을 할 때. 퍼텐셜 에너지는 종류별로 더한다.

MINI LAB마찰 없는 바닥 위의 0.500 kg 물체가 $k = 20.0$ N/m 용수철에 매달려 진동한다. 물체(흰 원)를 끌어 놓으면, 아래 그래프에서 $K$와 $U_\text{el}$이 한 주기에 두 번씩 주고받는 것과 합이 $\tfrac12kA^2$로 일정한 것을 볼 수 있다.

연직 용수철 발사기를 압축해 공을 쏘았다. 압축 거리만 2배로 늘리면, 놓은 점부터 잰 공의 최고 높이는?

$\tfrac12kx^2 = mgh$이므로 놓은 점부터의 높이 $h$는 $x^2$에 비례한다. 아래에서 압축 거리를 바꾸며 확인하고, 선반 높이 맞히기에 도전하라.

CHALLENGE

용수철 발사기: 공을 선반 높이에 딱 맞춰라

용수철 상수 k 공의 질량 m

압축 x—

½kx²—

예상 최고 높이—

결과 · 점수—

왼쪽은 용수철 부분을 확대한 그림이다. 공(흰 원)을 아래로 끌어 압축한다. 높이는 자연 길이 끝(y = 0)에서 잰다. 선반 높이 ±5 cm 안에서 공이 멈추면 명중. 에너지 보존: $\tfrac12kx^2 = mg(x + h)$. 처음에는 ‘예상 최고 높이’를 가리고 계산으로 도전해 보라.

용수철 상수 500인 장난감 총의 용수철을 10.0 압축하고 50 다트를 연직 위로 쏘면, 저장된 에너지 가 다트를 놓은 점에서 위까지 올린다. 수평으로 쏘면 발사 속력은 이다.

용수철 상수 500 N/m인 장난감 총의 용수철을 10.0 cm 압축하고 50.0 g 다트를 연직 위로 쏜다. 마찰을 무시할 때 다트는 놓은 점에서 얼마나 높이 올라가는가?

풀이 보기

전략 처음: 정지, 용수철 압축. 나중: 최고점에서 정지. 놓은 점을 $y = 0$으로 하면 $\tfrac12kx^2 = mgh$.

풀이 $h = \dfrac{kx^2}{2mg} = \dfrac{(500)(0.100)^2}{2(0.0500)(9.80)} = 5.10$ m.

5.10 m (저장 에너지 2.50 J)

검토 다트가 용수철을 떠나는 순간(자연 길이)에는 이미 0.100 m 올라가 있고 속력이 최대보다 약간 작다. 최대 속력은 $kx = mg$인 곳, 즉 용수철 힘과 중력이 같아지는 곳에서 나온다.

보존력과 비보존력

중력과 용수철 힘은 공통점이 있다. 두 점 사이에서 한 일이 경로와 무관하고, 되돌릴 수 있다. 공을 던져 올리면 올라가며 잃은 운동 에너지를 내려오며 고스란히 되찾는다. 이런 힘을 보존력(conservative force)이라 한다. 반면 운동 마찰력은 미끄러지는 거리에 비례해 언제나 음의 일을 하고, 되돌아와도 에너지를 돌려주지 않는다 — 비보존력(nonconservative force)이다.

보존력의 조건 (서로 동치)

① 두 점 사이에서 한 일이 경로와 무관하다. ② 닫힌 경로를 한 바퀴 돌 때 한 일이 0이다: $\oint\vec F\cdot d\vec l = 0$. ③ 일을 퍼텐셜 에너지의 차이 $W = U_1 - U_2$로 쓸 수 있다. 비보존력에 대해서는 퍼텐셜 에너지를 정의할 수 없다.

$$K_1 + U_1 + W_\text{other} = K_2 + U_2, \qquad W_\text{other} = -\Delta U_\text{int}\ (\text{운동 마찰일 때})$$

$W_\text{other}$: 보존력이 아닌 힘(마찰, 사람의 손, 엔진)이 한 일. 마찰이 빼앗은 역학적 에너지는 물체와 바닥의 내부 에너지(internal energy)로 바뀐다(온도 상승). 이를 포함하면 전체 에너지는 언제나 보존된다.

에너지 막대 도표. 처음 에너지(K₁ + U₁)에 다른 힘의 일을 더하면 나중 에너지(K₂ + U₂)가 된다. 마찰이 빼앗은 20 J은 열이 되었다.

SIMULATOR

경로 의존 실험: 용수철의 일 vs 마찰의 일

경로 2의 꺾이는 점(흰 원)을 끈다

운동 마찰 계수 μ_k

이번 이동: 용수철의 일—

이번 이동: 마찰의 일—

−ΔU_el (A → B)—

이동 거리—

위에서 내려다본 수평 바닥이다. 2.00 kg 상자가 기둥 O에 용수철($k = 8.00$ N/m, 자연 길이 1.50 m)로 묶여 있고, 상자를 천천히 밀어 A에서 B로 옮긴다. 막대는 경로를 따라 수치 적분한 $\int\vec F\cdot d\vec l$이다. 해볼 것: ① 꺾이는 점을 어디로 옮겨도 용수철의 일은 같다(= −ΔU). ② 마찰의 일은 경로가 길수록 더 음수다. ③ 닫힌 경로를 돌면 용수철의 일은 0, 마찰의 일은 음수.

연직면 안의 세 경로. 중력의 일은 높이차만으로 정해지지만, 마찰력이 하는 일은 지나간 길이에 따라 달라진다(곡면에서는 수직 항력도 달라져 더 복잡해진다).

상자가 길이 6.00 m, 높이 3.00 m인 경사면(30.0°) 꼭대기에서 정지 상태로 미끄러져 내려온다. 운동 마찰 계수가 0.250이면 바닥에서의 속력은?

풀이 보기

전략 $K_1 + U_1 + W_f = K_2 + U_2$. 경사면에서 수직 항력 $n = mg\cos30.0^\circ$이므로 $W_f = -\mu_kmg\cos30.0^\circ\,(6.00)$.

풀이 $mg(3.00) - \mu_kmg\cos30.0^\circ(6.00) = \tfrac12mv^2$ → $v^2 = 2(9.80)(3.00 - 1.299) = 33.3$ → $v = 5.77$ m/s.

5.77 m/s (마찰이 없으면 7.67 m/s)

검토 질량이 약분되었다. 처음 퍼텐셜 에너지의 43%가 열로 바뀌었다: $1.299/3.00 = 0.433$.

힘과 퍼텐셜 에너지

지금까지는 힘을 알고 퍼텐셜 에너지를 구했다: $U(x) = -\int F_x\,dx$. 거꾸로 $U(x)$를 알면 힘을 구할 수 있다. 작은 변위 $\Delta x$ 동안 보존력이 한 일은 $F_x\Delta x = -\Delta U$이므로

$$F_x(x) = -\frac{dU(x)}{dx}, \qquad \vec F = -\left(\frac{\partial U}{\partial x}\hat\imath + \frac{\partial U}{\partial y}\hat\jmath + \frac{\partial U}{\partial z}\hat k\right) = -\nabla U$$

힘은 퍼텐셜 에너지가 가장 빨리 줄어드는 방향을 향한다. 확인: $U = \tfrac12kx^2$ → $F_x = -kx$ (훅 법칙), $U = mgy$ → $F_y = -mg$.

왼쪽 비탈: 기울기가 음수이므로 $F_x = -dU/dx > 0$. 힘이 골짜기 쪽(오른쪽)으로 민다.
골짜기 바닥: 기울기 0, 힘 0. 평형점이다.
오른쪽 비탈: 기울기가 양수이므로 $F_x < 0$. 역시 골짜기 쪽(왼쪽)으로 민다.

U(x) 그래프를 언덕의 단면처럼 읽으면 된다. 공은 언제나 "내리막" 쪽으로 힘을 받는다.

MINI LAB위 그래프의 점(흰 원)을 좌우로 끌어라. 점선은 접선, 주황 화살표는 힘 $F_x = -dU/dx$이다. 아래 그래프는 같은 위치의 $F_x(x)$다 — U의 극소·극대에서 F가 0을 지나는 것을 확인하라.

퍼텐셜 에너지가 $U(x) = Ax^2 - Bx^3$이고 $A =$ 3.0, $B =$ 1.0일 때, $x =$ 1.0에서 $U =$ , $F_x = -2Ax + 3Bx^2 =$ 이다. 평형점은 $x = 0$과 $x = 2A/3B =$ 이며, 원점에 갇힌 입자가 넘어야 할 언덕의 높이는 이다.

에너지 도표: 평형과 전환점

보존력만 받는 1차원 운동에서는 $U(x)$ 그래프 위에 역학적 에너지 $E$를 수평선으로 그리면 운동의 모든 것을 읽을 수 있다. 이것을 에너지 도표(energy diagram)라 한다. 각 위치에서 $K = E - U(x)$이고 $K \ge 0$이어야 하므로, 입자는 $U(x) \le E$인 곳에만 있을 수 있다.

전환점과 평형

전환점(turning point): $U(x) = E$인 점. 속력이 0이 되고 운동 방향이 바뀐다. 안정 평형(stable equilibrium): $U$의 극소($dU/dx = 0$, $d^2U/dx^2 > 0$) — 조금 밀면 되돌아오는 힘. 불안정 평형(unstable equilibrium): $U$의 극대 — 조금만 밀어도 멀어진다.

세 가지 평형. 퍼텐셜 에너지 곡선을 실제 언덕의 모양으로 생각하면 직관적이다(단, U(x)는 위치 x의 함수일 뿐 실제 높이가 아니다).

SIMULATOR

U(x) 곡선 위의 입자: 에너지 선을 끌어라

공과 오른쪽 E 손잡이를 끈다

퍼텐셜

힘 화살표 F = −dU/dx 평형점 표시

E—

x, K—

전환점—

E 보존 오차—

입자 질량 1.00 kg. 초록 구간이 허용 영역, 초록 막대 높이가 그 위치의 K = E − U이다. 해볼 것: ① 이중 우물에서 E를 언덕(4 J)보다 낮추면 한쪽 우물에 갇히고, 높이면 두 우물을 오간다. ② 공을 언덕 꼭대기(x = 0)에 놓으면 불안정 평형 — 조금만 옆에 놓아도 굴러간다. ③ 분자 퍼텐셜에서 E > 0이면 입자가 무한히 멀어진다(해리).

입자의 퍼텐셜 에너지가 $U(x) = (3.00\ \text{J/m}^2)x^2 - (1.00\ \text{J/m}^3)x^3$이다. (a) 평형점과 그 종류, (b) $x = 0$ 근처에 갇혀 있으려면 역학적 에너지가 얼마 미만이어야 하는가?

풀이 보기

전략 $F_x = -dU/dx = 0$에서 평형점, $d^2U/dx^2$의 부호로 종류.

풀이 (a) $dU/dx = 6.00x - 3.00x^2 = 3.00x(2.00 - x) = 0$ → $x = 0, 2.00$ m. $d^2U/dx^2 = 6.00 - 6.00x$: $x = 0$에서 +6.00(안정), $x = 2.00$에서 −6.00(불안정). (b) 언덕 꼭대기 $U(2.00) = 12.0 - 8.00 = 4.00$ J.

(a) x = 0 (안정), x = 2.00 m (불안정) (b) E < 4.00 J

검토 위의 드래그 숫자 문단에 같은 함수가 있다. E가 4 J보다 크면 입자는 언덕을 넘어 +x 방향으로 무한히 멀어진다(U → −∞).

에너지 도표 읽는 요령

① E 선과 U 곡선의 교점이 전환점. ② E − U의 높이가 운동 에너지, 즉 그곳에서의 속력을 말해 준다. ③ U의 기울기가 힘(부호 반대). ④ 골짜기는 진동, 넘을 수 없는 언덕은 벽이다. 원자 사이의 결합, 행성의 궤도(12장), 진동(13장)이 모두 이 그림으로 설명된다.

핵심 정리

중력 퍼텐셜 에너지 $U = mgy$, 탄성 퍼텐셜 에너지 $U = \tfrac12kx^2$. 보존력이 한 일은 $W = -\Delta U$이며, 기준점은 임의이고 $\Delta U$만 의미가 있다.
보존력만 일을 하면 역학적 에너지가 보존된다: $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$. 경로 모양과 속도의 방향은 필요 없다.
다른 힘이 있으면 $K_1 + U_1 + W_\text{other} = K_2 + U_2$. 마찰이 빼앗은 에너지는 내부 에너지(열)가 된다.
보존력: 일이 경로와 무관 ⇔ 닫힌 경로의 일 0 ⇔ 퍼텐셜 에너지가 존재. 마찰은 비보존력이다.
$F_x = -dU/dx$, $\vec F = -\nabla U$. 힘은 U가 줄어드는 쪽을 향한다.
에너지 도표: 입자는 $U \le E$인 곳에만 있고, $U = E$인 곳이 전환점이다. U의 극소는 안정 평형, 극대는 불안정 평형.
루프의 최소 출발 높이 $\tfrac52R$처럼, 속력은 에너지로 구하고 힘은 뉴턴 법칙으로 구한다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s²를 쓰고 공기 저항은 무시한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

2.50 kg 책을 바닥에서 0.800 m 높이의 책상에서 2.00 m 높이의 선반으로 옮겼다. 중력 퍼텐셜 에너지의 변화는?

$\Delta U = mg\Delta y = (2.50)(9.80)(1.20) = 29.4$ J. 바닥을 기준으로 하든 책상을 기준으로 하든 같다.

12.0 m 높이에서 공을 가만히 놓았다. 바닥에 닿는 순간의 속력은?

$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(9.80)(12.0)} = 15.3$ m/s.

공을 연직 위로 18.0 m/s로 던졌다. 던진 점에서 최고점까지의 높이는?

$h = v^2/2g = 324/19.6 = 16.5$ m.

길이 2.00 m인 진자를 연직에서 30.0° 당겼다 놓았다. 최저점에서 추의 속력은?

$v = \sqrt{2gL(1-\cos30.0^\circ)} = \sqrt{2(9.80)(2.00)(0.1340)} = 2.29$ m/s.

용수철 상수 1200 N/m인 용수철을 5.00 cm 압축했다. 저장된 탄성 퍼텐셜 에너지는?

$U = \tfrac12(1200)(0.0500)^2 = 1.50$ J.

용수철 상수 350 N/m인 용수철을 8.00 cm 압축해 마찰 없는 수평면에서 40.0 g 공을 쏜다. 공의 발사 속력은?

$\tfrac12kx^2 = \tfrac12mv^2$ → $v = x\sqrt{k/m} = 0.0800\sqrt{350/0.0400} = 7.48$ m/s.

2.00 kg 블록을 연직 용수철($k = 1960$ N/m)의 윗끝에서 0.400 m 위에서 가만히 놓았다. 용수철의 최대 압축량은?

블록은 모두 $0.400 + d$만큼 내려간다: $mg(0.400 + d) = \tfrac12kd^2$.

$980d^2 - 19.6d - 7.84 = 0$ → $d = \dfrac{19.6 + \sqrt{384.2 + 30733}}{1960} = 0.100$ m.

30.0 kg 썰매가 높이 8.00 m 언덕 꼭대기에서 정지 상태로 출발해 바닥에 10.0 m/s로 도착했다. 마찰로 내부 에너지가 된 양은?

$\Delta U_\text{int} = mgh - \tfrac12mv^2 = 2352 - 1500 = 852$ J.

퍼텐셜 에너지가 $U(x) = (4.00\ \text{J/m}^3)x^3 - (6.00\ \text{J/m})x$이다. $x = 2.00$ m에서 힘 $F_x$는?

$F_x = -dU/dx = -(12.0x^2 - 6.00) = -(48.0 - 6.00) = -42.0$ N.

입자의 퍼텐셜 에너지가 $U(x) = (1.00\ \text{J/m}^4)x^4 - (8.00\ \text{J/m}^2)x^2$이다. 입자가 $x = 2.00$ m 우물 바닥에 있을 때, $x = -2.00$ m 우물로 넘어가려면 최소 운동 에너지가 얼마여야 하는가?

평형점: $dU/dx = 4x^3 - 16x = 0$. 언덕은 $x = 0$이다.

$U(\pm2.00) = 16.0 - 32.0 = -16.0$ J, $U(0) = 0$. 필요한 K = 0 − (−16.0) = 16.0 J.

반지름 0.250 m인 루프를 마찰 없이 미끄러져 한 바퀴 돌려면 최소 몇 m 높이에서 출발해야 하는가?

$h = \tfrac52R = 0.625$ m.

0.100 kg 물체가 높이 $3R$에서 출발해 반지름 $R$인 마찰 없는 루프를 돈다. 루프 꼭대기에서 수직 항력의 크기는?

꼭대기: $v^2 = 2g(3R - 2R) = 2gR$. $n + mg = mv^2/R = 2mg$ → $n = mg = 0.980$ N.

$k = 50.0$ N/m 용수철에 매달린 물체의 역학적 에너지가 4.00 J이다(마찰 없음). 양의 전환점의 위치는?

$\tfrac12kx^2 = E$ → $x = \sqrt{2(4.00)/50.0} = 0.400$ m.

다음 중 보존력이 아닌 것은?

운동 마찰력이 한 일은 지나간 거리에 비례해 경로에 의존하고, 닫힌 경로에서도 0이 아니다.

높이가 같은 마찰 없는 두 미끄럼틀이 있다. A는 곧은 경사, B는 처음에 급하게 떨어지는 곡선이다. 꼭대기에서 동시에 정지 상태로 출발한 두 아이에 대해 옳은 것은?

속력은 높이차만으로 $\sqrt{2gh}$. B는 처음에 빨리 속력을 얻어 평균 속력이 크므로 먼저 도착한다(경로 길이가 크게 다르지 않을 때).

개념 확인 퀴즈

공이 떨어지는 동안 퍼텐셜 에너지 기준점을 바닥에서 천장으로 바꾸면 무엇이 바뀌는가?

기준점은 U에 상수를 더할 뿐이다. 물리적 결과는 차이 ΔU에만 의존한다.

상자를 바닥에서 A에서 B로 직선으로 밀 때와 빙 돌아서 밀 때, 마찰력이 한 일은?

$W_f = -\mu_kmg\times$(경로 길이). 마찰은 비보존력이다.

U(x)가 극소인 점에서 입자에 작용하는 힘은?

$F_x = -dU/dx$이고 극소에서 기울기가 0이다. 안정 평형점이다.

에너지 도표에서 $U(x) > E$인 영역에 대해 옳은 것은?

그 영역에서는 $K = E - U < 0$이 되어야 하는데 운동 에너지는 음수가 될 수 없다. (양자 역학에서는 터널링이 가능하다.)

진자가 흔들릴 때 추의 속력이 가장 큰 곳은?

U가 가장 작은 곳에서 K가 가장 크다.