전자기파
1865년 맥스웰은 전기와 자기의 법칙을 네 개의 방정식으로 정리하다가, 빠진 한 조각을 채우자 놀라운 결과가 나오는 것을 보았다. 전기장과 자기장이 서로를 만들어 내며 빈 공간을 퍼져 가는 파동 — 그 속력을 계산해 보니 이미 알려진 빛의 속력과 같았다. 빛은 전자기파였다. 이 장에서는 맥스웰 방정식에서 전자기파가 나오는 과정, 전자기파가 나르는 에너지와 운동량, 라디오에서 감마선까지의 스펙트럼, 그리고 빛의 편광을 다룬다.
- 변위 전류의 필요성을 설명하고 맥스웰 방정식 네 개의 의미를 말한다.
- 평면 전자기파에서 \(\vec E\), \(\vec B\), 진행 방향의 관계와 \(E = cB\), \(c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\)를 쓴다.
- 전자기파의 에너지 밀도, 포인팅 벡터, 세기 \(I = \tfrac12c\epsilon_0E_0^2\), 복사압을 계산한다.
- 전자기 스펙트럼의 영역과 파장·진동수·광자 에너지의 관계를 안다.
- 편광을 설명하고 말뤼스 법칙 \(I = I_0\cos^2\theta\)를 적용한다.
변위 전류와 맥스웰 방정식
충전 중인 축전기를 생각하자. 도선에는 전류 \(I\)가 흐르지만 판 사이에는 전하가 지나가지 않는다. 도선을 둘러싼 앙페르 고리에 평평한 면을 대면 \(I\)가 지나가고, 같은 고리에 판 사이로 부풀린 면을 대면 아무 전류도 지나가지 않는다. 같은 고리인데 \(\oint\vec B\cdot d\vec l\)이 두 값이라니 — 앙페르 법칙이 틀렸다. 맥스웰은 판 사이에서 변하는 전기 선속이 전류와 같은 역할을 한다고 보았다.
- 도선을 지나는 평평한 면을 쓰면 앙페르 법칙은 \(\mu_0I\)를 준다.
- 같은 고리로 판 사이를 지나가게 부풀린 면을 쓰면 꿰뚫는 전류가 없다 — 모순.
- 판 사이에서는 전기장이 커지고 있다. \(\epsilon_0\,d\Phi_E/dt\)를 계산하면 정확히 \(I\)와 같다. 이것을 변위 전류(displacement current)로 넣으면 두 면이 같은 답을 준다.
| 이름 | 식 (적분형, 진공) | 뜻 |
|---|---|---|
| 가우스 법칙 | \(\oint\vec E\cdot d\vec A = Q_\text{안}/\epsilon_0\) | 전하가 전기장을 만든다 (21장) |
| 자기 가우스 법칙 | \(\oint\vec B\cdot d\vec A = 0\) | 자기 홀극은 없다 (25장) |
| 패러데이 법칙 | \(\oint\vec E\cdot d\vec l = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}\) | 변하는 B가 E를 만든다 (27장) |
| 앙페르–맥스웰 법칙 | \(\oint\vec B\cdot d\vec l = \mu_0\Big(I + \epsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}\Big)\) | 전류와 변하는 E가 B를 만든다 |
이 네 식이 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)이고, 로런츠 힘 \(q(\vec E + \vec v\times\vec B)\)와 함께 모든 고전 전자기 현상을 설명한다. 셋째·넷째 식이 짝을 이루어, 전하나 전류가 없는 곳에서도 변하는 E가 B를, 변하는 B가 E를 만들며 퍼져 나갈 수 있다.
반지름 5.0 cm인 원판 축전기를 2.0 A로 충전한다. 판 사이 전기장의 변화율과, 축에서 3.0 cm인 곳(판 사이)의 자기장은?
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평면 전자기파와 빛의 속력
- 어느 곳의 전기장이 변하면 그 둘레에 자기장이 생긴다(변위 전류).
- 그 자기장이 변하면 다시 둘레에 전기장이 생긴다(패러데이 법칙).
- 이 과정이 이어져 장의 교란이 퍼져 나간다. 맥스웰 방정식에서 파동 방정식을 끌어내면 그 속력이 \(1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\)이다 — 실험실의 전기·자기 상수만으로 빛의 속력이 나온다.
진행하는 평면 전자기파에서 전기장이 최대인 지점의 자기장은?
평면 전자기파 (돌려 보기)
\(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\), \(\epsilon_0 = 8.854\times10^{-12}\)에서 \(1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0} =\) . 빛이 2(0 서울–부산 325 km, 1 지구 한 바퀴, 2 달, 3 해, 4 화성(가까울 때), 5 목성, 6 가장 가까운 별, 7 안드로메다)까지 가는 데 걸린다().
쌍극자 안테나의 복사
진폭 100 V/m인 전기장의 전자기파의 자기장 진폭은? 진동수 100 MHz(FM 방송)라면 파장은?
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전자기파의 에너지와 운동량
전자기파의 에너지 밀도는 전기장과 자기장의 몫이 같다: \(\tfrac12\epsilon_0E^2 = \tfrac12B^2/\mu_0\)(\(E = cB\)를 넣어 확인하라). 단위 시간에 단위 넓이를 지나는 에너지 흐름을 포인팅 벡터(Poynting vector)로 나타낸다.
태양에서 1.0 떨어진 곳의 햇빛 세기는 , 전기장 진폭은 , 자기장 진폭은 이다. 완전히 흡수하는 면이 받는 복사압은 .
전자기파는 운동량도 나른다. 에너지 \(U\)를 실은 빛은 운동량 \(U/c\)를 가진다. 빛이 면에 흡수되면 그 운동량을 넘겨주고, 반사되면 두 배를 넘겨준다 — 복사압(radiation pressure).
같은 크기의 돛을 검게 칠한 것(흡수)과 거울로 만든 것(반사) 중 햇빛에 더 세게 밀리는 것은?
도전: 태양 돛으로 화성 궤도에 닿아라
지구 대기 밖 햇빛의 세기는 1361 W/m²이다. 전기장과 자기장의 진폭, 그리고 완전히 흡수하는 면이 받는 복사압은?
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한 변 100 m인 정사각형 거울 돛(질량 포함 100 kg)이 1 AU에서 받는 힘과 가속도는?
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전자기 스펙트럼
전자기파는 파장에 따라 이름이 다르지만 모두 같은 물리다. 파장이 길면 진동수가 낮고, 빛 알갱이(광자, 32장) 하나의 에너지 \(E = hf\)가 작다. 우리 눈은 380–750 nm의 좁은 영역만 본다 — 태양 복사가 가장 센 영역이고(17장 빈 법칙), 물이 투명한 영역이다.
| 영역 | 파장 | 만드는 것 · 쓰임 |
|---|---|---|
| 전파 | 1 mm 이상 | 안테나의 전류 · 방송, 휴대 전화, 와이파이(12 cm), 전파 천문 |
| 마이크로파 | 1 mm – 30 cm | 마그네트론 · 전자레인지(12 cm), 레이더, 우주 배경 복사 |
| 적외선 | 750 nm – 1 mm | 뜨거운 물체 · 열화상, 리모컨, 광섬유 통신(1.55 μm) |
| 가시광 | 380 – 750 nm | 원자의 전자 · 시각, 광합성 |
| 자외선 | 10 – 380 nm | 태양, 형광등 · 살균, 비타민 D, 피부 화상 |
| X선 | 0.01 – 10 nm | 빠른 전자의 감속 · 의료 영상, 결정 구조 분석 |
| 감마선 | 0.01 nm 이하 | 원자핵 · 방사선 치료, 감마선 폭발 |
하늘은 왜 파란가
공기 분자처럼 파장보다 훨씬 작은 입자는 빛의 전기장에 흔들려 작은 안테나처럼 빛을 다시 내보낸다(산란). 그 세기는 \(1/\lambda^4\)에 비례한다(레일리 산란) — 파란빛(450 nm)이 빨간빛(680 nm)보다 약 5배 많이 흩어진다. 그래서 낮의 하늘은 사방에서 흩어진 파란빛으로 보이고, 노을은 파란빛이 다 흩어지고 남은 붉은빛이다.
와이파이(2.4 GHz)의 파장과, 초록빛(530 nm)의 진동수는?
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편광
전자기파는 횡파라서 전기장이 진행 방향에 수직인 여러 방향으로 진동할 수 있다. 전기장이 한 방향으로만 진동하는 빛이 선편광(linear polarization)이다. 햇빛이나 전등 빛은 수많은 원자가 제멋대로 낸 빛이 섞인 편광되지 않은 빛이다. 편광판(polarizer)은 특정 방향(투과축)의 전기장 성분만 통과시킨다.
편광된 빛이 투과축과 각 \(\theta\)를 이루는 편광판을 지나면 전기장의 투과축 성분 \(E\cos\theta\)만 남으므로, 세기는 \(\cos^2\theta\)배가 된다 — 말뤼스 법칙(Malus's law). 편광되지 않은 빛은 첫 편광판에서 세기가 절반이 된다(\(\langle\cos^2\rangle = \tfrac12\)).
편광되지 않은 세기 20의 빛이 편광판 두 장을 지난다. 두 투과축 사이의 각이 45이면 나오는 세기는 이다.
투과축이 서로 수직인 편광판 두 장을 겹치면 빛이 통과하지 못한다. 그 사이에 45° 기울인 편광판을 하나 더 끼우면?
도전: 편광판으로 목표 밝기를 만들어라
편광되지 않은 세기 \(I_0\)의 빛이 투과축 0°, 30°, 90°인 편광판 세 장을 차례로 지난다. 각 판을 지난 뒤의 세기는?
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핵심 정리
- 변위 전류 \(\epsilon_0\,d\Phi_E/dt\): 변하는 전기장도 자기장을 만든다. 맥스웰 방정식 네 개가 고전 전자기학 전체다.
- 전자기파: \(\vec E\perp\vec B\perp\vec v\), 진행 방향 \(\vec E\times\vec B\), \(E = cB\), 같은 위상. \(c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\), \(\lambda f = c\). 가속하는 전하가 복사한다(쌍극자 세기 ∝ sin²θ).
- 에너지 밀도 \(\epsilon_0E^2\), 포인팅 벡터 \(\vec S = \vec E\times\vec B/\mu_0\), 세기 \(I = \tfrac12c\epsilon_0E_0^2\).
- 운동량 \(U/c\). 복사압: 흡수 \(I/c\), 반사 \(2I/c\).
- 스펙트럼: 전파 – 마이크로파 – 적외선 – 가시광(380–750 nm) – 자외선 – X선 – 감마선. 작은 입자의 산란 ∝ 1/λ⁴(파란 하늘).
- 편광: 말뤼스 법칙 \(I = I_0\cos^2\theta\), 편광 안 된 빛은 첫 편광판에서 절반.
연습문제
특별한 말이 없으면 \(c = 3.00\times10^8\) m/s, \(\epsilon_0 = 8.854\times10^{-12}\) F/m를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.
98.1 MHz FM 방송의 파장은?
\(\lambda = c/f = 3.06\) m.
파장 650 nm인 빨간빛의 진동수는?
\(f = c/\lambda = 4.61\times10^{14}\) Hz.
전기장 진폭이 750 V/m인 전자기파의 자기장 진폭은?
\(B_0 = E_0/c = 2.50\times10^{-6}\) T.
전기장 진폭 50 V/m인 전자기파의 세기는?
\(I = \tfrac12c\epsilon_0E_0^2 = 3.32\) W/m².
세기 1.0 kW/m²인 빛의 전기장 진폭은?
\(E_0 = \sqrt{2I/c\epsilon_0} = 868\) V/m.
50 kW의 방송국이 사방으로 고르게 전파를 낸다고 하자. 10 km 떨어진 곳의 세기와 전기장 진폭은?
\(I = P/4\pi r^2 = 3.98\times10^{-5}\) W/m², \(E_0 = \sqrt{2I/c\epsilon_0} = 0.173\) V/m.
세기 1361 W/m²인 햇빛이 수직으로 비칠 때, 완전히 흡수하는 면과 완전히 반사하는 면이 받는 복사압은?
\(I/c = 4.54\times10^{-6}\) Pa, \(2I/c = 9.07\times10^{-6}\) Pa.
출력 5.0 mW인 레이저 지시기의 빛이 지름 2.0 mm의 원형으로 고르게 퍼진다. 세기와 전기장 진폭은?
\(I = P/\pi r^2 = 1.59\times10^3\) W/m²(햇빛보다 세다 — 눈에 비추면 안 된다), \(E_0 = 1.10\times10^3\) V/m.
넓이 0.020 m²인 평행판 축전기 사이의 전기장이 \(1.0\times10^{12}\) V/(m·s)로 변한다. 변위 전류는?
\(I_d = \epsilon_0A\,dE/dt = 0.177\) A.
세기 10 W/m²인 선편광된 빛이 편광 방향과 60°를 이루는 편광판을 지나면?
\(I = 10\cos^260° = 2.5\) W/m².
편광되지 않은 세기 20 W/m²인 빛이 투과축이 45° 어긋난 편광판 두 장을 지나면?
\(20 \times \tfrac12 \times \cos^245° = 5.0\) W/m².
편광되지 않은 세기 40 W/m²인 빛이 투과축 0°, 45°, 90°인 편광판을 차례로 지나면?
\(40 \times \tfrac12 \times \tfrac12 \times \tfrac12 = 5.0\) W/m².
태양에서 지구까지(1.496 × 10¹¹ m) 빛이 오는 데 걸리는 시간은?
\(t = d/c = 499\) s ≈ 8분 19초.
진공 속 평면 전자기파에서 옳은 것은?
횡파, 같은 위상, \(E = cB\).
전자기파와 소리의 차이로 옳은 것은?
전자기파는 장 자체의 진동이다. 그래서 별빛이 텅 빈 우주를 건너온다.
개념 확인 퀴즈
맥스웰이 앙페르 법칙에 변위 전류를 더한 이유는?
전자기파의 전기장 진폭을 3배로 하면 세기는?
수직으로 세운 쌍극자 안테나가 가장 약하게 복사하는 방향은?
빨간빛과 파란빛 중 진공에서 더 빠른 것은?
편광 선글라스가 수면의 눈부심을 잘 막는 이유는?