Chapter 24

전류와 직류 회로

스위치를 켜면 불이 거의 동시에 들어온다. 그런데 도선 속 전자는 1초에 0.1 mm도 움직이지 않는다. 어떻게 된 일일까? 지금까지는 멈춰 있는 전하(정전기)를 다뤘다. 이 장에서는 전하가 흐르는 전류를 다룬다. 전류를 방해하는 저항, 전류를 밀어 주는 기전력, 그리고 어떤 복잡한 회로든 풀 수 있게 해 주는 키르히호프 법칙을 익히고, 축전기를 저항으로 충전할 때 나타나는 시간 상수를 알아본다.

저항의 흰 원을 좌우로 끌어 저항을 바꿔 보세요 · 점은 전하의 흐름

전류 $I = dQ/dt$와 전류 밀도, 유동 속력 $I = nqv_dA$의 관계를 설명한다.
비저항으로 저항 $R = \rho L/A$를 구하고, 옴의 법칙 $V = IR$와 온도에 따른 변화를 다룬다.
기전력과 내부 저항이 있는 전원의 단자 전압과 회로의 전력, 최대 전력 전달 조건을 구한다.
저항의 직렬·병렬과 키르히호프의 분기점·고리 법칙으로 여러 고리 회로를 푼다.
RC 회로의 충전·방전 $q(t)$, $i(t)$와 시간 상수 $\tau = RC$를 쓴다.

전류

단면을 지나는 전하의 흐름률이 전류(electric current)다. 단위는 암페어(A = C/s). 관례상 전류의 방향은 양전하가 움직이는 방향으로 정한다. 금속에서 실제로 움직이는 것은 전자이므로 전자의 흐름은 전류와 반대 방향이다.

$$I = \frac{dQ}{dt}, \qquad I = nqv_dA, \qquad J = \frac{I}{A} = nqv_d$$

$n$: 단위 부피당 전하 운반자의 수(구리는 $8.5\times10^{28}$ m⁻³), $v_d$: 유동 속력(drift speed), $J$: 전류 밀도(current density)(A/m²).

도선 속 전자는 초속 10⁶ m 정도로 마구 움직이며 이온과 충돌하고, 전기장 때문에 아주 조금씩 한쪽으로 "흘러간다". 신호가 빠른 것은 전기장이 도선을 따라 빛에 가까운 속력으로 퍼지기 때문이다.

SIMULATOR

도선 속 전자의 유동

점선 단면을 좌우로 끌어 옮긴다

전기장 E (상대) 충돌 빈도(온도) 전자 하나 따라가기

평균 유동 속력 / 무작위 속력—

단면을 지난 알짜 전자 (초당)—

그림의 비율은 크게 과장했다(실제 유동 속력은 무작위 속력의 약 10⁻¹⁰배). 해볼 것: ① 장을 2배로 하면 유동 속력과 전류가 2배 — 옴의 법칙의 미시적 근원이다. ② 충돌이 잦으면(온도가 높으면) 유동 속력이 줄어 저항이 커진다. ③ 단면을 어디로 옮겨도 전류는 같다(전하 보존).

지름 1.02인 구리 도선에 전류 1.7가 흐르면 전자의 유동 속력은 이다. 전자가 1 m를 가는 데 걸린다. 그래도 전등은 스위치를 누르는 순간 켜진다.

지름 1.02 mm인 구리 도선에 1.67 A가 흐른다. 전류 밀도와 유동 속력은? ($n = 8.5\times10^{28}$ m⁻³)

풀이 보기

풀이 $A = \pi(0.51\times10^{-3})^2 = 8.17\times10^{-7}$ m², $J = I/A = 2.04\times10^6$ A/m². $v_d = J/ne = 1.50\times10^{-4}$ m/s.

J ≈ 2.0 × 10⁶ A/m², v_d ≈ 0.15 mm/s

검토 달팽이보다 느리다. 도선 전체에 전자가 이미 가득 차 있어서, 한쪽 끝에서 밀면 다른 쪽 끝의 전자가 곧바로 움직이기 시작한다 — 물이 가득 찬 호스와 같다.

저항과 옴의 법칙

많은 물질에서 전류 밀도는 전기장에 비례한다: $\vec J = \vec E/\rho$. 비례 상수 $\rho$가 비저항(resistivity)(Ω·m)이고, 그 역수가 전도도 $\sigma = 1/\rho$다. 길이 $L$, 단면적 $A$인 도선에 적용하면 $V = EL$, $I = JA$이므로

$$V = IR, \qquad R = \frac{\rho L}{A}, \qquad \rho(T) = \rho_0\big[1 + \alpha(T - T_0)\big]$$

$R$: 저항(resistance), 단위 옴(Ω = V/A). $V$와 $I$가 비례하는 것을 옴의 법칙(Ohm's law)이라 하지만, 이는 자연 법칙이 아니라 특정 물질(옴성 물질)의 성질이다. $\alpha$: 비저항의 온도 계수. 금속은 $\alpha > 0$(뜨거우면 저항 증가), 반도체는 $\alpha < 0$.

물질 (20 °C)	비저항 ρ (Ω·m)	온도 계수 α (K⁻¹)
은	1.47 × 10⁻⁸	0.0038
구리	1.72 × 10⁻⁸	0.00393
알루미늄	2.75 × 10⁻⁸	0.0039
텅스텐	5.25 × 10⁻⁸	0.0045
니크롬	1.00 × 10⁻⁶	0.0004
탄소(흑연)	3.5 × 10⁻⁵	−0.0005
순수 규소	2300	−0.07
유리	10¹⁰–10¹⁴	—

재료

MINI LAB도선의 끝(흰 원)을 끌어 길이를, 위쪽 흰 원으로 굵기를 바꾼다. 저항은 길이에 비례하고 단면적(지름의 제곱)에 반비례한다 — 좁고 긴 복도일수록 사람이 지나가기 어려운 것과 같다.

지름 1.02, 길이 50인 구리 도선의 저항은 20 °C에서 , 100에서는 이다. 1 A를 흘리면 도선 양 끝의 전압은 .

모든 소자가 옴성인 것은 아니다. 백열전구의 필라멘트는 뜨거워질수록 저항이 커지고, 다이오드는 한 방향으로만 전류를 잘 흘린다. 이런 소자에서도 $R = V/I$를 정의할 수는 있지만 일정한 값이 아니다.

소자

MINI LAB세 소자의 전류–전압 곡선. 가로축의 흰 원을 끌어 전압을 바꾸면 $R = V/I$(원점에서 그은 직선의 기울기의 역수)가 표시된다. 저항만 곡선이 직선이다. 다이오드는 거꾸로 걸면 거의 흐르지 않는다.

지름 1.02 mm, 길이 50.0 m인 구리 도선의 20 °C 저항은? 100 °C에서는?

풀이 보기

풀이 $R_0 = \rho L/A = (1.72\times10^{-8})(50.0)/(8.17\times10^{-7}) = 1.05$ Ω. $R = R_0[1 + \alpha(80)] = 1.05(1.314) = 1.38$ Ω.

1.05 Ω, 1.38 Ω

검토 80 K 올리면 저항이 31% 커진다. 백금 저항 온도계는 이 성질로 온도를 잰다.

기전력, 내부 저항, 전력

전류가 계속 흐르려면 회로가 닫혀 있고, 어딘가에서 전하를 낮은 전위에서 높은 전위로 "퍼 올려" 주어야 한다. 그 역할을 하는 장치(전지, 발전기, 태양 전지)의 단위 전하당 일을 기전력(electromotive force, emf) $\mathcal E$라 한다. 이름과 달리 힘이 아니라 전위차(V)다.

회로 기호. 전류계는 전류를 재려는 소자와 직렬로(저항이 아주 작다), 전압계는 병렬로(저항이 아주 크다) 연결한다.

실제 전원에는 내부 저항(internal resistance) $r$이 있어 전류가 흐르면 단자 전압이 떨어진다. 저항 $R$인 부하에 연결하면

$$V_\text{단자} = \mathcal E - Ir, \qquad I = \frac{\mathcal E}{R + r}, \qquad P = VI = I^2R = \frac{V^2}{R}$$

$P$: 소자가 받는 전력(W). 저항에서 전기 에너지는 열이 된다(줄 열). 전원이 내놓는 전력 $\mathcal EI$ 중 $I^2r$은 전원 자체를 데운다. 부하가 받는 전력은 $R = r$일 때 최대 $\mathcal E^2/4r$이다(최대 전력 전달).

기전력 12 V, 내부 저항 2 Ω인 전지의 두 단자를 굵은 도선(저항 ≈ 0)으로 바로 이으면 전류는?

$I = \mathcal E/r = 6$ A. 단자 전압은 0이 되고, 전지의 전력 72 W가 모두 전지 내부에서 열이 된다(단락). 아래에서 부하 저항을 가장 작게 끌어 보라.

SIMULATOR

도전: 부하에 최대 전력을 보내라

흰 원을 끌어 R을 바꾼다

기전력 ℰ 내부 저항 r

전류 I—

단자 전압—

부하 전력 · 내부 손실—

효율 · 판정—

왼쪽: 회로(점의 빠르기 ∝ 전류, 전지와 부하의 색 ∝ 발열). 오른쪽: 부하 전력 $P(R)$(로그 축). 부하 전력이 최대의 99% 이상이면 성공. 해볼 것: ① 최대는 늘 $R = r$에서 나온다. ② 그때 효율(부하 전력 / 전지 전력)은 50%뿐이다 — 송전처럼 효율이 중요하면 $R \gg r$로 쓴다. ③ R이 아주 작으면(단락) 전류는 크지만 부하 전력은 0에 가깝다.

기전력 12 V, 내부 저항 2.0 Ω인 전지에 4.0 Ω 저항을 연결했다. 전류, 단자 전압, 저항과 전지 내부에서 쓰이는 전력은? 저항을 바꿔 부하 전력을 최대로 하면 그 값은?

풀이 보기

풀이 $I = 12/6.0 = 2.0$ A, $V = 12 - (2.0)(2.0) = 8.0$ V, $P_R = I^2R = 16$ W, $P_r = I^2r = 8.0$ W(전지 전력 24 W). 최대: $R = r = 2.0$ Ω → $P = \mathcal E^2/4r = 18$ W.

I = 2.0 A, V = 8.0 V, P_R = 16 W, P_r = 8 W · 최대 18 W (R = 2.0 Ω)

검토 4 Ω일 때의 16 W와 최대 18 W는 별로 차이 나지 않는다 — 최대점 근처에서 곡선이 평평하다.

저항의 연결과 키르히호프 법칙

저항의 등가 공식은 축전기와 반대다. 직렬은 전류가 같고 전압이 더해지므로 저항이 더해지고, 병렬은 전압이 같고 전류가 더해지므로 역수가 더해진다.

$$R_\text{직렬} = R_1 + R_2 + \cdots, \qquad \frac{1}{R_\text{병렬}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots$$

병렬 등가 저항은 가장 작은 저항보다도 작다. 집의 콘센트는 모두 병렬이라 전기 기구를 켤수록 전체 저항이 줄고 전류가 커진다(그래서 차단기가 있다).

연결

전구 B 빼기

MINI LAB똑같은 전구(각 6 Ω)를 6 V 전지에 잇는다(내부 저항 무시). 밝기는 전구가 받는 전력이다. 직렬이면 전구마다 전력이 1/4로 어두워지고, 하나를 빼면 다 꺼진다. 병렬이면 각 전구가 혼자일 때와 똑같이 밝고, 하나를 빼도 다른 하나는 그대로다.

직렬·병렬로 줄일 수 없는 회로도 있다. 그럴 때는 두 개의 법칙만으로 모든 직류 회로를 풀 수 있다 — 독일의 키르히호프가 1845년에 정리했다.

키르히호프 법칙

분기점 법칙(junction rule): 분기점으로 들어오는 전류의 합 = 나가는 전류의 합 ($\sum I = 0$, 전하 보존). 고리 법칙(loop rule): 닫힌 고리를 한 바퀴 돌 때 전위 변화의 합은 0 ($\sum\Delta V = 0$, 정전기장이 보존장이므로).

한 점(전지의 − 단자)에서 출발하고 돌 방향을 정한다. 전류 방향은 모르면 아무렇게나 가정한다(답이 음수면 반대).
전지를 − → + 로 지나면 전위가 $\mathcal E$만큼 오른다.
저항을 전류 방향으로 지나면 $IR$만큼 내려간다(전류는 높은 전위에서 낮은 전위로 흐른다).
제자리로 오면 전위가 같으므로 합이 0: $\mathcal E - IR_1 - IR_2 = 0$ → $I = 2$ A.

고리 법칙. 산을 오르내리며 출발점으로 돌아오면 높이의 변화 합이 0인 것과 같다.

SIMULATOR

두 고리 회로: 키르히호프 법칙 실험대

ℰ₁ ℰ₂ R₁ R₂ R₃ (가운데)

I₁ (왼쪽, 위로 +)—

I₂ (오른쪽, 위로 +)—

I₃ (가운데, 아래로 +)—

분기점: I₁ + I₂ − I₃—

도선 색은 전위(아래쪽 도선 = 0 V 기준, 빨강일수록 높음), 점은 전류의 흐름(빠르기 ∝ |I|)이다. 두 전지 모두 위쪽이 + 단자(ℰ₂를 음수로 하면 뒤집힌다). 해볼 것: ① ℰ₂가 작으면 I₂가 음수 — ℰ₂ 전지가 충전된다(자동차 충전과 같다). ② 고리마다 전위 변화의 합이 0인지 숫자로 확인하라. ③ I₂ = 0이 되는 ℰ₂를 찾아라.

6.0 Ω과 3.0 Ω을 병렬로 잇고, 이 묶음과 4.0 Ω을 직렬로 18 V 전지(내부 저항 무시)에 연결했다. 등가 저항과 각 저항의 전류는?

풀이 보기

풀이 병렬 $R_p = (1/6 + 1/3)^{-1} = 2.0$ Ω, 전체 6.0 Ω, $I = 3.0$ A(4.0 Ω에 흐른다). 병렬부 전압 $(3.0)(2.0) = 6.0$ V → 6.0 Ω에 1.0 A, 3.0 Ω에 2.0 A.

R = 6.0 Ω · 4 Ω: 3.0 A, 6 Ω: 1.0 A, 3 Ω: 2.0 A

검토 분기점: 1.0 + 2.0 = 3.0 A ✓. 병렬에서는 저항이 작은 쪽으로 전류가 더 많이 흐른다.

시뮬레이터의 처음 값($\mathcal E_1 = 12$ V, $\mathcal E_2 = 6$ V, $R_1 = 4$ Ω, $R_2 = 2$ Ω, $R_3 = 6$ Ω)으로 세 전류를 구하라.

풀이 보기

전략 위쪽 분기점의 전위를 $V$(아래 = 0)로 두면 각 갈래의 전류를 $V$로 쓸 수 있다. 분기점 법칙 하나로 끝난다.

풀이 $I_1 = (12 - V)/4$, $I_2 = (6 - V)/2$, $I_3 = V/6$. $I_1 + I_2 = I_3$에 12를 곱하면 $3(12 - V) + 6(6 - V) = 2V$ → $V = 72/11 = 6.55$ V. $I_1 = 1.36$ A, $I_2 = -0.273$ A, $I_3 = 1.09$ A.

I₁ ≈ 1.36 A(위로), I₂ ≈ −0.27 A(오른쪽 전지로 거꾸로 들어간다), I₃ ≈ 1.09 A

검토 고리 법칙 확인(왼쪽 고리): $12 - (1.36)(4) - (1.09)(6) = 12 - 5.45 - 6.55 = 0$ ✓.

RC 회로

저항을 거쳐 축전기를 충전하면 전류는 처음에 $\mathcal E/R$로 컸다가 축전기 전압이 오를수록 줄어든다. 고리 법칙 $\mathcal E - iR - q/C = 0$과 $i = dq/dt$에서 미분 방정식 $dq/dt = (\mathcal EC - q)/RC$가 나오고, 그 해는 지수 함수다.

$$\text{충전: } q = C\mathcal E\left(1 - e^{-t/RC}\right),\ i = \frac{\mathcal E}{R}e^{-t/RC}, \qquad \text{방전: } q = Q_0e^{-t/RC},\ i = -\frac{Q_0}{RC}e^{-t/RC}$$

$\tau = RC$: 시간 상수(time constant)(Ω·F = s). $t = \tau$에서 충전은 63.2%, 방전은 36.8%가 남는다. 약 $5\tau$면 사실상 끝난다. 절반이 되는 시간은 $\tau\ln2 = 0.693\tau$.

빈 축전기를 저항을 거쳐 충전한다. 시간 상수 $\tau = RC$만큼 지났을 때 축전기의 전하는 최종 값의 몇 %일까?

$1 - e^{-1} = 0.632$. 처음 속도대로 계속 충전되었다면 정확히 $\tau$에 다 찼을 것이다 — 그래프의 처음 접선이 최종 값과 만나는 시각이 $\tau$다.

SIMULATOR

RC 회로의 충전과 방전

그래프를 눌러 끌면 그 시각의 값을 읽는다

R C

처음 접선과 τ 표시

τ = RC—

시각 t (t/τ)—

축전기 전압—

전류 i—

ℰ = 10 V, R은 kΩ, C는 μF 단위. 위 그래프: 축전기 전압 $q/C$, 아래: 전류. 해볼 것: ① R이나 C를 2배로 하면 그래프가 시간 축으로 2배 늘어난다. ② 방전 중 전류의 방향은 충전 때와 반대(음수)다. ③ 충전이 끝날 때까지 저항에서 열로 나간 에너지는 축전기에 저장된 에너지와 같다(R과 상관없이!).

저항 10.0와 축전기 100.00로 된 RC 회로의 시간 상수는 이다. 절반 충전까지 , 99% 충전까지 걸린다.

10 MΩ 저항과 1.0 μF 축전기를 12 V 전지에 직렬로 이었다. 시간 상수, 처음 전류, 10 s 뒤의 전하는?

풀이 보기

풀이 $\tau = (10\times10^6)(1.0\times10^{-6}) = 10$ s. $i_0 = \mathcal E/R = 1.2$ μA. $q(10\text{ s}) = C\mathcal E(1 - e^{-1}) = (12\text{ μC})(0.632) = 7.6$ μC.

τ = 10 s, i₀ = 1.2 μA, q ≈ 7.6 μC

검토 방전이라면 같은 시간 뒤 4.4 μC이 남는다. 이렇게 느린 RC 회로는 타이머로, 빠른 RC 회로는 신호 필터로 쓴다.

핵심 정리

전류 $I = dQ/dt$(A), 방향은 양전하의 흐름. $I = nqv_dA$. 금속 속 유동 속력은 mm/s 이하로 아주 느리다.
$R = \rho L/A$, $V = IR$(옴성 소자), $\rho = \rho_0[1 + \alpha\Delta T]$. 전구·다이오드는 비옴성이다.
실제 전원: $V = \mathcal E - Ir$. 전력 $P = VI = I^2R = V^2/R$. 부하 전력 최대는 $R = r$(효율 50%).
직렬 $R = \sum R_i$, 병렬 $1/R = \sum1/R_i$. 키르히호프: 분기점 $\sum I = 0$(전하 보존), 고리 $\sum\Delta V = 0$(에너지 보존).
RC 회로: 충전 $q = C\mathcal E(1 - e^{-t/RC})$, 방전 $q = Q_0e^{-t/RC}$, 시간 상수 $\tau = RC$(63%/37%).

연습문제

특별한 말이 없으면 $e = 1.602\times10^{-19}$ C, 구리의 $n = 8.5\times10^{28}$ m⁻³와 본문의 비저항 표를 쓴다. 부호가 있는 답은 부호까지 입력한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

3.6 A의 전류가 3.0분 동안 흘렀다. 지나간 전하와 전자의 수는?

$Q = It = (3.6)(180) = 648$ C, $N = Q/e = 4.04\times10^{21}$개.

지름 2.05 mm인 구리 도선에 20 A가 흐른다. 유동 속력은?

$A = 3.30\times10^{-6}$ m², $v_d = I/neA = 4.44\times10^{-4}$ m/s.

지름 0.50 mm, 길이 2.0 m인 니크롬선의 저항은?

$R = \rho L/A = (1.00\times10^{-6})(2.0)/[\pi(0.25\times10^{-3})^2] = 10.2$ Ω.

20 °C에서 35 Ω인 텅스텐 필라멘트($\alpha = 0.0045$ K⁻¹)가 2000 °C가 되면 저항은? (일차 근사)

$R = 35[1 + 0.0045(1980)] = 347$ Ω. 켜는 순간 전류가 정상일 때보다 10배쯤 커서 전구는 켤 때 잘 끊어진다.

450 Ω 저항에 9.0 V를 걸면 전류는?

$I = V/R = 0.020$ A = 20 mA.

기전력 9.0 V, 내부 저항 0.50 Ω인 전지에서 2.0 A가 흐른다. 단자 전압과 전지 내부에서 열로 나가는 전력은?

$V = 9.0 - (2.0)(0.50) = 8.0$ V, $P = I^2r = 2.0$ W.

기전력 6.0 V, 내부 저항 1.5 Ω인 전원에서 부하가 받는 전력을 최대로 하는 부하 저항과 그 전력은?

$R = r = 1.5$ Ω, $P = \mathcal E^2/4r = 36/6 = 6.0$ W.

120 V에서 60 W인 전구가 켜져 있을 때 저항과 전류는?

$R = V^2/P = 240$ Ω, $I = P/V = 0.50$ A.

12 Ω과 6 Ω을 병렬로 잇고, 이 묶음과 8 Ω을 직렬로 24 V에 연결했다. 등가 저항과 6 Ω 저항의 전류는?

$R_p = 4$ Ω, $R = 12$ Ω, $I = 2.0$ A, 병렬부 전압 8.0 V → $I_6 = 1.33$ A.

시뮬레이터와 같은 모양의 회로에서 $\mathcal E_1 = 10$ V, $\mathcal E_2 = 4$ V, $R_1 = R_2 = 2$ Ω, $R_3 = 4$ Ω이다. 가운데 전류 $I_3$(아래로 +)와 오른쪽 전류 $I_2$(위로 +)는?

위쪽 분기점 전위 V: $(10 - V)/2 + (4 - V)/2 = V/4$.

$28 = 5V$ → $V = 5.6$ V. $I_3 = 1.4$ A, $I_2 = (4 - 5.6)/2 = -0.80$ A, $I_1 = 2.2$ A.

2.0 kΩ과 50 μF을 9.0 V 전지에 직렬로 이었다. 시간 상수와, $t = 2\tau$에서의 전하는?

$\tau = 0.10$ s, $q = C\mathcal E(1 - e^{-2}) = (450\text{ μC})(0.865) = 3.89\times10^{-4}$ C.

220 μF 축전기가 4.7 kΩ 저항을 통해 방전한다. 전하가 처음의 10%가 되는 데 걸리는 시간은?

$e^{-t/\tau} = 0.10$ → $t = \tau\ln10 = (1.034)(2.303) = 2.38$ s.

빈 100 μF 축전기를 저항을 거쳐 12 V 전지로 완전히 충전했다. 저항에서 열로 나간 에너지는?

전지가 한 일은 $Q\mathcal E = C\mathcal E^2$, 축전기 에너지는 $\tfrac12C\mathcal E^2$.

$C\mathcal E^2 - \tfrac12C\mathcal E^2 = \tfrac12C\mathcal E^2 = 7.2\times10^{-3}$ J. 저항 값과 무관하다 — 23장 전하 나누기와 같은 이야기다.

같은 전구 두 개를 전지에 직렬로 이은 경우와 병렬로 이은 경우, 전구 하나의 밝기는? (내부 저항 무시)

직렬: 전구마다 $V/2$ → $P = V^2/4R$. 병렬: 전구마다 $V$ → $V^2/R$. 4배.

전압계를 실수로 회로에 직렬로 연결했다. 무슨 일이 일어나나?

전압계의 저항은 매우 크다. 직렬이면 회로 전체의 전류를 막는다. 반대로 전류계를 병렬로 이으면 단락되어 전류계가 망가질 수 있다.

개념 확인 퀴즈

같은 재료로 된 도선의 길이와 지름을 모두 2배로 하면 저항은?

$R \propto L/d^2$: 2/4 = 1/2.

건전지를 오래 쓰면 기전력은 거의 그대로인데 손전등이 어두워진다. 주된 이유는?

$V = \mathcal E - Ir$. 전자는 소모되지 않는다 — 화학 반응물이 소모된다.

병렬로 연결한 저항 중 하나를 더 추가하면 전체 저항은?

길이 하나가 더 생긴 것과 같다. $1/R$에 양수가 더해진다.

고리 법칙이 성립하는 근본 이유는?

분기점 법칙은 전하 보존, 고리 법칙은 에너지 보존(보존장)이다. 변하는 자기장이 있으면 고리 법칙이 수정된다(27장).

RC 회로의 저항을 2배로 하면?

최종 전하 $C\mathcal E$는 R과 무관. 처음 전류 $\mathcal E/R$는 절반.