Chapter 23

축전기와 유전체

카메라 플래시는 건전지로 몇 초 동안 에너지를 모았다가 1000분의 1초 만에 터뜨린다. 심장 제세동기, 컴퓨터 메모리, 스마트폰의 터치스크린, 전기차의 회생 제동 — 모두 전하와 에너지를 잠시 담아 두는 축전기를 쓴다. 이 장에서는 축전기가 전하를 얼마나 담는지(전기 용량), 여러 개를 이으면 어떻게 되는지, 에너지가 어디에 저장되는지(전기장 속!), 그리고 판 사이에 절연체를 넣으면 왜 용량이 커지는지 알아본다.

위 판을 위아래로 끌어 간격을 바꿔 보세요 · 전지 기호를 누르면 연결/분리

전기 용량 $C = Q/V$를 정의하고 평행판·구·원통 축전기의 용량을 구한다.
직렬·병렬 연결의 등가 용량을 계산하고, 각 축전기의 전하와 전압을 구한다.
축전기의 저장 에너지 $U = \tfrac12CV^2$와 전기장의 에너지 밀도 $u = \tfrac12\epsilon_0E^2$를 쓴다.
유전 상수 $K$로 유전체가 용량·전압·장·에너지에 주는 영향을 설명하고, 분극과 유도 전하로 그 원인을 해석한다.

축전기와 전기 용량

절연된 두 도체에 크기가 같고 부호가 반대인 전하 $\pm Q$를 주면 그 사이에 전위차 $V$가 생긴다. 이런 장치가 축전기(capacitor)다. 전하를 2배로 하면 장이 2배, 전위차도 2배가 되므로 $Q$와 $V$는 비례하고, 그 비례 상수가 전기 용량(capacitance)이다.

$$C = \frac{Q}{V}, \qquad C_\text{평행판} = \frac{\epsilon_0A}{d}$$

단위 패럿 F = C/V. 실제 축전기는 pF(10⁻¹²)–μF(10⁻⁶) 정도. 용량은 도체의 모양과 배치(와 사이의 물질)만으로 정해지고, $Q$나 $V$에는 의존하지 않는다. 평행판: 넓이 $A$, 간격 $d$, 판 사이 장 $E = \sigma/\epsilon_0 = Q/\epsilon_0A$, $V = Ed$ → $C = \epsilon_0A/d$. 이제 $\epsilon_0$의 단위를 F/m로 쓸 수 있다.

여러 모양의 축전기. 어느 것이든 21장의 가우스 법칙으로 장을, 22장의 적분으로 전위차를 구한 뒤 $C = Q/V$를 계산한다.

충전된 평행판 축전기를 전지에서 떼어 낸 뒤 판 간격을 2배로 벌린다. 판 사이의 전위차는?

떼어 내면 전하 $Q$가 고정된다. $C = \epsilon_0A/d$가 1/2이 되므로 $V = Q/C$는 2배. 장 $E = \sigma/\epsilon_0$은 그대로이고, 간격이 2배라 $V = Ed$도 2배다. 전지에 연결된 채라면 $V$가 고정되고 $Q$가 절반이 된다.

SIMULATOR

평행판 축전기 실험대

위 판의 흰 원을 위아래로 끌어 간격을 바꾼다

판 넓이 A 전지 전압 전지 연결 (끄면 전하 고정)

C = ε₀A/d—

전하 Q—

전위차 V—

판 사이 E—

저장 에너지 U—

간격 0.5–5 mm, 넓이는 cm² 단위(그림의 판 폭에 비례). 전기력선의 수는 판의 전하에 비례한다. 해볼 것: ① 전지를 연결한 채 간격을 2배로: Q, E, U가 모두 절반. ② 전지를 끊고 간격을 2배로: V와 U가 2배, E는 그대로 — 판을 벌리는 데 한 일이 에너지로 저장된다. ③ 넓이를 2배로 하면 용량이 2배.

간격 2.00인 평행판 축전기의 용량을 0 (10의 지수) F, 곧 로 만들려면 판 넓이가 (한 변 인 정사각형)여야 한다.

MINI LAB컴퓨터 키보드의 정전 용량식 스위치. 키(흰 원)를 눌러 보라. 키 밑의 금속판(넓이 50 mm²)이 고정판에 가까워지면 용량이 커지고, 회로가 그 변화(0.25 pF 이상)를 감지해 입력으로 처리한다. 스마트폰 화면은 손가락이 만드는 용량 변화를 읽는다.

간격 2.00 mm인 평행판 축전기의 용량이 1.00 F이 되려면 판 넓이가 얼마여야 하는가?

풀이 보기

풀이 $A = Cd/\epsilon_0 = (1.00)(2.00\times10^{-3})/(8.854\times10^{-12}) = 2.26\times10^8$ m².

A ≈ 2.3 × 10⁸ m² (한 변 약 15 km)

검토 1 F은 엄청난 용량이다. 수 F짜리 "슈퍼커패시터"는 다공성 탄소의 엄청난 표면적과 분자 한두 개 두께의 간격으로 이를 해낸다.

넓이 2.00 m², 간격 5.00 mm인 평행판 축전기를 10.0 kV로 충전했다. 용량, 전하, 판 사이의 장은?

풀이 보기

풀이 $C = \epsilon_0A/d = 3.54\times10^{-9}$ F, $Q = CV = 3.54\times10^{-5}$ C, $E = V/d = 2.00\times10^6$ V/m.

C = 3.54 nF, Q = 35.4 μC, E = 2.0 × 10⁶ V/m

검토 E가 공기의 절연 파괴 세기(3 × 10⁶ V/m)에 가깝다. 실제 고전압 축전기는 판 사이에 유전체를 넣는다(4절).

반지름 0.100 m인 도체 구와 안지름 0.150 m인 동심 도체 껍질로 만든 구형 축전기의 용량은?

풀이 보기

풀이 두 도체 사이 $E = kQ/r^2$ → $V = kQ(1/r_a - 1/r_b)$ → $C = \dfrac{r_ar_b}{k(r_b - r_a)} = \dfrac{(0.100)(0.150)}{(8.988\times10^9)(0.050)} = 3.34\times10^{-11}$ F.

C ≈ 33 pF

검토 $r_b \to \infty$이면 고립된 구의 용량 $4\pi\epsilon_0r_a = 11$ pF이 된다. 지구 전체의 용량도 0.7 mF에 불과하다.

축전기의 직렬과 병렬 연결

회로에서는 축전기 여러 개를 이어 쓴다. 이어진 묶음 전체와 똑같이 행동하는 축전기 하나의 용량을 등가 용량(equivalent capacitance)이라 한다.

직렬: 한 줄로 잇는다. 전지가 왼쪽 판에 $+Q$를 주면 유도로 모든 판에 $\pm Q$가 생긴다. 두 축전기 사이의 도체 조각은 고립되어 알짜 전하가 0이다.
직렬은 전하가 같고 전압이 나뉜다: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$. 등가 용량은 가장 작은 것보다도 작다(간격이 늘어난 셈).
병렬: 각 축전기의 두 판이 같은 두 도선에 이어진다.
병렬은 전압이 같고 전하가 더해진다: $C = C_1 + C_2$(넓이가 늘어난 셈).

직렬과 병렬. 24장의 저항과는 공식이 서로 뒤바뀌어 있으니 주의하라.

$$\frac{1}{C_\text{직렬}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots, \qquad C_\text{병렬} = C_1 + C_2 + \cdots$$

SIMULATOR

도전: 회로를 짜서 목표 등가 용량을 만들어라

연결 방식

C₁ C₂ C₃

등가 용량—

목표—

전지에서 나간 전하 (12 V)—

판정 · 성공—

축전기 용량은 1–12 μF의 정수, 전지는 12 V. 회로 그림의 각 축전기 옆에 그 축전기의 전하(μC)와 전압(V)이 표시된다. 목표 등가 용량을 ±0.01 μF 안에 맞히면 성공(답은 여러 가지일 수 있다). 해볼 것: ① 직렬에서 각 축전기의 전하가 같은지, 병렬에서 전압이 같은지 확인하라. ② 직렬에서 용량이 가장 작은 축전기에 가장 큰 전압이 걸린다.

$C_1 = 12$ μF과 $C_2 = 6$ μF을 직렬로 잇고, 이 묶음과 $C_3 = 3$ μF을 병렬로 이어 18 V 전지에 연결했다. 등가 용량과 각 축전기의 전하·전압은?

풀이 보기

전략 안쪽부터 묶는다: 직렬 묶음 → 병렬.

풀이 $C_{12} = (1/12 + 1/6)^{-1} = 4$ μF. $C = 4 + 3 = 7$ μF. 병렬이므로 묶음과 $C_3$ 모두 18 V: $Q_3 = (3)(18) = 54$ μC, $Q_1 = Q_2 = (4)(18) = 72$ μC. $V_1 = 72/12 = 6$ V, $V_2 = 72/6 = 12$ V.

C = 7 μF · Q₁ = Q₂ = 72 μC (V₁ = 6 V, V₂ = 12 V) · Q₃ = 54 μC (18 V)

검토 $V_1 + V_2 = 18$ V ✓, 전체 전하 $72 + 54 = 126$ μC $= (7)(18)$ ✓. 시뮬레이터의 "(1–2 직렬) ∥ 3"에서 C₁ = 12, C₂ = 6, C₃ = 3으로 확인하라(전지는 12 V).

축전기에 저장된 에너지

축전기를 충전하는 것은 전하를 한 판에서 다른 판으로 조금씩 옮기는 일이다. 이미 $q$만큼 옮겨 전위차가 $v = q/C$일 때, $dq$를 더 옮기려면 일 $v\,dq$가 든다. 처음에는 전위차가 0이라 쉽고, 점점 어려워진다.

충전. 전지의 화학 에너지가 축전기 판 사이 전기장의 에너지로 바뀐다. 축전기 전체의 알짜 전하는 늘 0이다 — "충전"은 전하를 갈라놓는 것이다.

$$U = \int_0^Q\frac{q}{C}\,dq = \frac{Q^2}{2C} = \frac12CV^2 = \frac12QV$$

$V$–$q$ 그래프 아래 삼각형의 넓이. $QV$가 아니라 $\tfrac12QV$인 이유는 평균 전위차가 $V/2$이기 때문이다.

용량 C

MINI LAB충전 과정의 $v$–$q$ 그래프. 흰 원을 끌어 옮긴 전하 $q$를 늘리면, 색칠한 삼각형(지금까지 한 일 = 저장 에너지)과 다음 전하 조각을 옮기는 데 드는 일(띠)이 커진다. 용량이 크면 같은 전하에서 전위차가 낮아 에너지가 적다.

에너지는 어디에 있을까? 평행판의 경우 $U = \tfrac12CV^2 = \tfrac12(\epsilon_0A/d)(Ed)^2 = \tfrac12\epsilon_0E^2(Ad)$이고 $Ad$는 장이 있는 부피다. 그러므로 에너지는 전기장 자체에 저장되어 있다고 볼 수 있다. 이 결론은 평행판이 아닌 어떤 장에도 성립하며, 29장에서 빛(전자기파)이 에너지를 나르는 근거가 된다.

$$u = \frac{U}{\text{부피}} = \frac12\epsilon_0E^2$$

$u$: 에너지 밀도(energy density), J/m³.

카메라 플래시의 축전기 150를 300로 충전하면 에너지 가 저장된다. 이를 1.0 동안 방출하면 평균 일률은 이다. 같은 에너지를 1.5 V 건전지로 채우는 데 전하 가 지나가야 한다(전지가 더 높은 전압을 만들어 주는 회로를 거쳐).

(a) 150 μF 축전기를 300 V로 충전하면 저장 에너지는? 1.0 ms에 방출하면 평균 일률은? (b) 공기 중에서 가능한 가장 큰 장($3.0\times10^6$ V/m)의 에너지 밀도는?

풀이 보기

풀이 (a) $U = \tfrac12(150\times10^{-6})(300)^2 = 6.75$ J, $P = 6.75/1.0\times10^{-3} = 6.75$ kW. (b) $u = \tfrac12(8.854\times10^{-12})(3.0\times10^6)^2 = 39.8$ J/m³.

(a) 6.75 J, 6.75 kW (b) 약 40 J/m³

검토 건전지로는 낼 수 없는 일률이다. 축전기는 에너지를 "모아서 한 번에" 쓰는 장치다. (b)는 휘발유(약 3 × 10¹⁰ J/m³)보다 10억 배 작다 — 축전기의 에너지 밀도 한계는 유전체의 절연 내력이 정한다.

전하 나누기: 사라지는 에너지

충전된 축전기를 충전되지 않은 축전기에 이으면 전하가 흘러 두 축전기의 전압이 같아진다. 전하는 보존되지만 에너지는 그렇지 않다!

$V_0$으로 충전된 축전기를 같은 용량의 빈 축전기에 이었다. 연결 후 두 축전기에 저장된 에너지의 합은 처음 에너지의 몇 배일까?

전하 $Q_0$이 반씩 나뉘어 전압이 $V_0/2$. 에너지는 $2\times\tfrac12C(V_0/2)^2 = \tfrac14CV_0^2$, 처음의 절반이다. 나머지 절반은 도선의 저항에서 열로, 일부는 전자기파로 나간다 — 저항이 아무리 작아도 정확히 절반이다.

120 V로 충전한 8.0 μF 축전기를 충전되지 않은 4.0 μF 축전기에 이었다. 나중 전압, 처음과 나중 에너지는?

풀이 보기

풀이 $Q_0 = (8.0)(120) = 960$ μC. 병렬이 되므로 $V = Q_0/(C_1 + C_2) = 960/12 = 80$ V. $U_0 = \tfrac12(8.0\times10^{-6})(120)^2 = 5.76\times10^{-2}$ J, $U = \tfrac12(12\times10^{-6})(80)^2 = 3.84\times10^{-2}$ J.

V = 80 V, U₀ = 57.6 mJ → U = 38.4 mJ (1/3이 사라진다)

검토 잃은 비율 $C_2/(C_1 + C_2) = 4/12 = 1/3$ ✓. 물이 든 통과 빈 통을 관으로 이을 때 수위가 같아지며 퍼텐셜 에너지가 줄어드는 것과 같다(14장).

유전체

실제 축전기는 판 사이에 종이·플라스틱·세라믹 같은 절연체를 넣는다. 이렇게 하면 (1) 얇은 간격을 기계적으로 유지할 수 있고, (2) 공기보다 높은 전압을 견디며, (3) 용량이 커진다. 판 사이를 채우는 절연체를 유전체(dielectric)라 하고, 용량이 커지는 배율을 유전 상수(dielectric constant) $K$라 한다.

$$C = KC_0, \qquad \epsilon = K\epsilon_0, \qquad C_\text{평행판} = \frac{K\epsilon_0A}{d} = \frac{\epsilon A}{d}$$

$\epsilon$: 물질의 유전율(permittivity). 전지에서 떼어 낸(Q 고정) 축전기에 유전체를 넣으면 $V = V_0/K$, $E = E_0/K$, $U = U_0/K$. 전지에 연결된(V 고정) 상태라면 $Q = KQ_0$, $U = KU_0$.

물질 (20 °C)	유전 상수 K	절연 내력 (V/m)
진공	1 (정의)	—
공기 (1 atm)	1.00059	3 × 10⁶
테플론	2.1	6 × 10⁷
폴리프로필렌	2.2	7 × 10⁷
폴리스타이렌	2.6	2 × 10⁷
종이	3.7	1.6 × 10⁷
파이렉스 유리	4.7	1 × 10⁷
물	80	—
티탄산 스트론튬	310	8 × 10⁶

장이 너무 세면 유전체의 분자에서 전자가 뜯겨 나가 갑자기 전류가 흐른다 — 절연 파괴(dielectric breakdown). 그 직전의 최대 장이 절연 내력(dielectric strength)이고, 축전기의 최대 전압은 (절연 내력) × (두께)다.

유전체 속에서 무슨 일이 일어나나

빈 축전기: 판의 자유 전하 $\pm\sigma$가 장 $E_0 = \sigma/\epsilon_0$을 만든다.
유전체를 넣는다. 장이 없으면 분자 쌍극자(물 같은 극성 분자, 또는 장이 유도한 쌍극자)는 방향이 제멋대로다.
장이 분자들을 정렬시킨다(분극). 내부에서는 이웃한 +와 −가 상쇄되지만, 판에 닿은 두 표면에는 판과 반대 부호의 유도 전하(induced charge) $\mp\sigma_i$가 남는다.
유도 전하의 장이 원래 장을 일부 상쇄해 유전체 속 장이 $E_0/K$로 약해진다. 전하는 그대로인데 전압이 줄었으니 용량이 커진다.

분극. 유도 전하는 분자에 묶여 있어 도체처럼 자유롭게 흐르지 않는다(도체라면 장을 완전히 없앤다 = $K \to \infty$).

바깥 장 E₀

MINI LAB극성 분자 모형. 장이 셀수록 쌍극자가 더 잘 정렬하지만, 열운동이 계속 흔들어 완전히 정렬하지는 못한다(22장 예제). 위·아래 표면에 남는 유도 전하가 정렬의 정도에 비례한다.

전지에서 떼어 낸 충전된 축전기에 유전체(K = 3)를 끝까지 밀어 넣는다. 판 사이 전위차와 저장 에너지는?

Q가 고정이고 C가 3배이므로 $V = Q/C$와 $U = Q^2/2C$가 모두 1/3. 줄어든 에너지는 유전체를 판 사이로 끌어당기는 일로 쓰였다(가장자리의 불균일한 장 때문). 아래에서 전지 연결을 끄고 확인하라.

SIMULATOR

유전체 판 밀어 넣기

유전체 판의 흰 원을 좌우로 끈다

유전체

전지 연결 (100 V)

용량 C—

자유 전하 Q—

전위차 V—

저장 에너지 U—

C₀ = 100 pF인 평행판 축전기. 유전체가 일부만 들어가면 두 축전기의 병렬 연결과 같다: $C = C_0[(1 - f) + Kf]$(f: 들어간 비율). 판 사이 장은 두 영역이 같고($E = V/d$), 유전체 위의 판에 자유 전하가 K배 빽빽하게 모인다. 해볼 것: ① 전지를 끊고 밀어 넣으면 V와 U가 줄어든다. ② 전지를 이은 채 밀어 넣으면 Q와 U가 늘어난다 — 전지가 일을 한다. ③ 어느 경우든 판은 유전체를 끌어당긴다.

두께 0.10인 폴리프로필렌(물질 1: 0 공기, 1 폴리프로필렌, 2 종이, 3 유리, 4 티탄산 스트론튬) 층을 넣은 축전기는 최대 까지 견디고, 넓이 1 cm²당 용량은 , 최대 에너지 밀도는 이다.

넓이 0.200 m², 간격 1.00 cm인 평행판 축전기를 3000 V로 충전하고 전지를 떼어 냈다. 유전체로 판 사이를 채웠더니 전압이 1000 V로 떨어졌다. 처음 용량, 유전 상수, 나중 용량, 처음과 나중 에너지, 유전체 속의 장은?

풀이 보기

풀이 $C_0 = \epsilon_0A/d = 1.77\times10^{-10}$ F, $Q = C_0V_0 = 5.31\times10^{-7}$ C. $K = V_0/V = 3.00$, $C = 5.31\times10^{-10}$ F. $U_0 = \tfrac12QV_0 = 7.97\times10^{-4}$ J, $U = \tfrac12QV = 2.66\times10^{-4}$ J. $E = V/d = 1.00\times10^5$ V/m(처음의 1/3).

C₀ = 177 pF, K = 3.00, C = 531 pF, U: 0.797 mJ → 0.266 mJ, E = 1.0 × 10⁵ V/m

검토 유도 전하 $Q_i = Q(1 - 1/K) = 3.54\times10^{-7}$ C. 사라진 에너지 0.53 mJ는 유전체를 끌어당기는 일이 되었다.

핵심 정리

전기 용량 $C = Q/V$(F). 기하로만 정해진다. 평행판 $\epsilon_0A/d$, 구형 $4\pi\epsilon_0r_ar_b/(r_b - r_a)$, 원통형 $2\pi\epsilon_0L/\ln(r_b/r_a)$.
직렬: 같은 Q, $1/C = \sum1/C_i$. 병렬: 같은 V, $C = \sum C_i$. 복잡한 회로는 안쪽부터 묶는다.
저장 에너지 $U = Q^2/2C = \tfrac12CV^2 = \tfrac12QV$. 에너지는 장에 있다: $u = \tfrac12\epsilon_0E^2$.
충전된 축전기를 빈 축전기와 이으면 전하는 보존되지만 에너지의 $C_2/(C_1 + C_2)$가 열·복사로 나간다.
유전체: $C = KC_0$, $\epsilon = K\epsilon_0$. Q 고정이면 $V, E, U$가 1/K, V 고정이면 $Q, U$가 K배. 분극으로 생긴 유도 전하 $\sigma_i = \sigma(1 - 1/K)$가 장을 약하게 한다. 최대 전압 = 절연 내력 × 두께.

연습문제

특별한 말이 없으면 $\epsilon_0 = 8.854\times10^{-12}$ F/m, $k = 8.988\times10^9$ N·m²/C²를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

12 V에 연결한 축전기에 6.0 μC이 충전되었다. 용량은?

$C = Q/V = 6.0/12 = 0.50$ μF.

넓이 0.050 m², 간격 1.5 mm인 평행판 축전기의 용량은?

$C = \epsilon_0A/d = (8.854\times10^{-12})(0.050)/(1.5\times10^{-3}) = 2.95\times10^{-10}$ F.

앞 문제의 축전기를 9.0 V 전지에 연결했다. 전하와 판 사이의 장은?

$Q = CV = 2.66\times10^{-9}$ C, $E = V/d = 9.0/0.0015 = 6.0\times10^3$ V/m.

4.0 μF(C₁)과 12.0 μF(C₂)을 직렬로 24 V에 연결했다. 등가 용량, 각 축전기의 전하, C₁의 전압은?

$C = (1/4 + 1/12)^{-1} = 3.0$ μF, $Q = (3.0)(24) = 72$ μC, $V_1 = 72/4.0 = 18$ V ($V_2 = 6$ V).

2.0, 3.0, 5.0 μF 축전기를 병렬로 10 V에 연결했다. 등가 용량과 전지에서 나간 전체 전하는?

$C = 10$ μF, $Q = 100$ μC.

4.0 μF 두 개를 직렬로 잇고, 이 묶음과 6.0 μF을 병렬로 이은 뒤, 그 전체를 8.0 μF과 직렬로 이었다. 등가 용량은?

직렬 2.0 → 병렬 2.0 + 6.0 = 8.0 → 8.0과 8.0 직렬 = 4.0 μF.

50 μF 축전기를 200 V로 충전했다. 저장 에너지는?

$U = \tfrac12CV^2 = \tfrac12(50\times10^{-6})(200)^2 = 1.0$ J.

세기 $5.0\times10^4$ V/m인 전기장의 에너지 밀도는?

$u = \tfrac12\epsilon_0E^2 = 1.11\times10^{-2}$ J/m³.

100 V로 충전한 2.0 μF 축전기를 똑같은 빈 축전기에 이었다. 나중 전압과 잃은 에너지는?

$V = 50$ V. $U_0 = \tfrac12(2\times10^{-6})(100)^2 = 0.010$ J, $U = 2\times\tfrac12(2\times10^{-6})(50)^2 = 0.0050$ J → 잃은 에너지 $5.0\times10^{-3}$ J(절반).

12 V 전지에 연결된 5.0 nF 축전기에 유전 상수 2.5인 유전체를 채웠다. 나중 용량과 전하는?

$C = KC_0 = 12.5$ nF, $Q = CV = 1.5\times10^{-7}$ C(처음의 2.5배).

2.0 mJ를 저장한 축전기를 전지에서 떼어 낸 뒤 유전 상수 4.0인 유전체를 채웠다. 나중 에너지와, 판이 유전체를 끌어당기며 한 일은?

$U = U_0/K = 0.50$ mJ. 줄어든 1.5 mJ가 유전체에 한 일이다.

두께 0.10 mm인 폴리스타이렌(절연 내력 $2\times10^7$ V/m) 층을 넣은 축전기의 최대 전압은?

$V_\text{max} = (2\times10^7)(1.0\times10^{-4}) = 2.0\times10^3$ V.

반지름 5.0 cm인 도체 구와 안지름 5.5 cm인 동심 도체 껍질로 된 구형 축전기의 용량은? 같은 넓이·간격의 평행판 근사와 비교하라.

$C = \dfrac{r_ar_b}{k(r_b - r_a)} = \dfrac{(0.050)(0.055)}{(8.988\times10^9)(0.005)} = 6.12\times10^{-11}$ F. 평행판 근사 $\epsilon_0(4\pi r_a^2)/d = 5.56\times10^{-11}$ F — 간격이 반지름보다 훨씬 작으면 두 값이 가까워진다.

전지에서 떼어 낸 충전된 평행판 축전기의 판을 더 벌렸다. 변하지 않는 것은?

Q가 고정이므로 $\sigma$와 $E = \sigma/\epsilon_0$가 그대로다. V = Ed와 U는 늘고 C는 준다.

유전체를 넣으면 같은 전하에서 판 사이 장이 약해지는 이유는?

유도 전하 $\mp\sigma_i$가 자유 전하 $\pm\sigma$의 장을 일부 상쇄한다: $E = (\sigma - \sigma_i)/\epsilon_0$.

개념 확인 퀴즈

평행판 축전기의 간격을 절반으로, 넓이를 2배로 하면 용량은?

$C = \epsilon_0A/d$: 2 × 2 = 4.

서로 다른 축전기 두 개를 직렬로 이었다. 옳은 것은?

$V_i = Q/C_i$.

축전기의 전압을 2배로 하면 저장 에너지는?

$U = \tfrac12CV^2$.

축전기의 에너지는 어디에 저장되어 있다고 보는가?

$u = \tfrac12\epsilon_0E^2$를 장이 있는 부피에 대해 적분하면 $\tfrac12CV^2$이다.

전지에 연결된 축전기에 유전체를 넣으면?

V가 고정이라 E = V/d도 그대로다. 전지가 전하를 더 보내 Q = KQ₀.

축전기와 전기 용량

평행판 축전기 실험대

축전기의 직렬과 병렬 연결

도전: 회로를 짜서 목표 등가 용량을 만들어라

축전기에 저장된 에너지

전하 나누기: 사라지는 에너지

두 축전기 잇기: 전하는 보존, 에너지는?

유전체

유전체 속에서 무슨 일이 일어나나

유전체 판 밀어 넣기

핵심 정리

연습문제

개념 확인 퀴즈