Chapter 05

뉴턴 법칙의 응용

4장의 세 법칙만으로 다리의 케이블, 도르래, 미끄러지는 상자, 낙하산, 고속도로 커브, 롤러코스터를 모두 설명할 수 있다. 방법은 언제나 같다 — 자유 물체도를 그리고, 축을 잡고, 성분마다 $\sum F = ma$. 새로 등장하는 것은 마찰력과 공기 저항이라는 두 가지 힘, 그리고 원운동에서의 "알짜힘 = 구심력"이라는 관점이다. 아래 경사면을 끌어 기울여 보자. 상자는 언제 미끄러지기 시작할까?

경사면 꼭대기의 흰 원을 위아래로 끌어 기울인다

평형 조건 $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$으로 매달린 물체의 장력을 구한다.
경사면·애트우드 기계·연결된 물체의 가속도와 장력을 기울어진 좌표축과 연립 방정식으로 구한다.
정지 마찰과 운동 마찰을 구별하고, $f_s \le \mu_s n$, $f_k = \mu_k n$과 마찰각 $\tan\theta_c = \mu_s$를 쓴다.
공기 저항의 선형·이차 모형에서 종단 속도를 구하고, 속도가 종단 속도에 다가가는 방식을 설명한다.
원운동에서 알짜힘의 지름 성분이 $mv^2/R$임을 써서 평평한·경사진 커브, 원뿔 진자, 수직 원운동을 분석한다.

평형 문제: 장력과 매달린 물체

물체가 정지해 있거나 등속으로 움직이면 알짜힘이 0이다(제1법칙). 이런 문제에서는 가속도를 구할 필요 없이 힘들의 균형만 맞추면 된다. 줄이 물체를 당기는 힘을 장력(tension)이라 한다. 질량을 무시할 수 있는 줄에서는 장력의 크기가 줄 어디서나 같고, 방향은 언제나 줄을 따라 물체에서 멀어지는 쪽(당기는 쪽)이다.

입자의 평형 조건

$\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$ — 두 성분 방정식이 동시에 성립해야 한다. 미지수가 둘이면 두 식으로 풀 수 있다.

무게 122 N 신호등이 수평에서 37°, 53° 기운 두 케이블에 매달려 있다.
세 줄이 만나는 매듭을 물체로 고른다. 매듭에는 T₁, T₂, 그리고 아래 줄이 당기는 w가 작용한다.
각 장력을 수평·수직 성분으로 나눈다.
성분마다 합이 0 → 연립해 두 장력을 구한다.

평형 문제 풀이 절차. 미지수가 있는 줄들이 모두 만나는 점(매듭)을 자유 물체로 고르는 것이 요령이다.

질량 2.0인 액자를 철사로 걸었더니 양쪽 철사가 수평에서 15 기울었다. 대칭이므로 $2T\sin\theta = mg$, 각 철사의 장력은 — 무게의 배다.

SIMULATOR

매달린 신호등: 매듭을 끌어 장력을 바꿔라

매듭(흰 원)을 끌어 케이블 각도를 바꾼다

신호등 질량 m 장력의 성분 도전: 케이블 한계 1.2w, 표시선 위에

θ₁, θ₂—

T₁ (왼쪽)—

T₂ (오른쪽)—

무게 w—

두 기둥 사이 거리 10 m. 해볼 것: ① 매듭을 위로 올려 케이블을 팽팽하게(수평에 가깝게) 하면 장력이 무게보다 훨씬 커진다 — 빨랫줄을 완전히 수평으로 당길 수 없는 이유. ② 매듭을 한쪽 기둥 쪽으로 옮기면 가파른 쪽 케이블이 무게를 더 많이 떠맡는다. ③ 도전: 두 장력이 모두 1.2w 이하이면서 신호등을 점선보다 높이 매달아라(케이블이 빨갛게 되면 한계 초과).

무게 122 N인 신호등이 수평과 37.0°, 53.0°를 이루는 두 케이블에 매달려 있다(위 단계별 그림). 두 케이블의 장력은?

풀이 보기

전략 매듭의 평형. 아래 줄의 장력은 신호등의 평형에서 $w = 122$ N이다.

풀이 $x$: $T_1\cos37.0^\circ = T_2\cos53.0^\circ$ → $T_2 = 1.327T_1$. $y$: $T_1\sin37.0^\circ + T_2\sin53.0^\circ = 122$ → $T_1(0.602 + 1.327\times0.799) = 122$ → $T_1 = 73.4$ N, $T_2 = 97.4$ N.

T₁ = 73.4 N, T₂ = 97.4 N

검토 두 각의 합이 90°이므로 $T_1 = w\cos53^\circ$, $T_2 = w\cos37^\circ$로도 바로 나온다. 둘의 합(171 N)이 무게보다 크다 — 수평 성분이 서로 상쇄하는 데 "낭비"되기 때문이다.

가속 운동 문제: 경사면과 연결된 물체

알짜힘이 0이 아니면 $\sum\vec F = m\vec a$를 쓴다. 풀이 절차는 평형 문제와 같고, 한 가지 요령이 더해진다. 가속도 방향을 한 축으로 잡아라. 경사면에서는 축을 경사면에 나란하게($x$)·수직하게($y$) 기울이면 가속도가 $x$ 성분 하나뿐이 된다.

마찰 없는 30° 경사면 위의 상자.
자유 물체도: 무게 mg(연직 아래), 수직항력 n(면에 수직).
축을 경사면을 따라 기울인다. 가속도는 +x 방향뿐이다.
무게만 분해하면 된다: 경사면 방향 mg sinθ, 수직 방향 mg cosθ. 경사면과 무게의 각은 θ와 같다.

기울어진 좌표축. 수직항력과 가속도가 축에 나란해져, 분해할 힘이 무게 하나로 줄어든다.

경사각 θ

MINI LAB마찰 없는 경사면. 무게의 경사면 성분 $mg\sin\theta$(초록)만이 상자를 가속시킨다. θ = 0이면 가속도 0, θ = 90°이면 자유 낙하 $g$ — 갈릴레이는 경사면으로 낙하를 "느리게" 해 측정했다.

연결된 물체: 애트우드 기계와 도르래

줄로 연결된 물체들은 같은 크기의 가속도로 움직인다(줄이 늘어나지 않는다면). 각 물체마다 자유 물체도를 따로 그리고, 각자의 "운동 방향"을 양의 방향으로 잡으면 모든 식에서 같은 $a$가 된다. 질량 없는 줄과 마찰 없는 도르래에서는 장력이 줄 전체에서 같다.

$$\text{애트우드 기계:}\quad a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,g, \qquad T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}\,g$$

$m_2 > m_1$. $m_2$: $m_2g - T = m_2a$, $m_1$: $T - m_1g = m_1a$. 두 식을 더하면 $T$가 사라진다. 장력은 $m_1g$보다 크고 $m_2g$보다 작다.

도르래 양쪽에 2.0 kg과 3.0 kg 추를 매달아 놓았다. 손을 놓아 추가 움직이는 동안 줄의 장력은?

무거운 추는 아래로 가속하므로 장력이 무게보다 작아야 하고, 가벼운 추는 위로 가속하므로 장력이 무게보다 커야 한다. 계산하면 23.5 N이다.

SIMULATOR

애트우드 기계와 연결된 물체

장치

m₁ (왼쪽) m₂ (매단 추)

가속도 a—

장력 T—

m₁g, m₂g—

속력 v—

섬광 점은 0.2 s 간격이다. 해볼 것: ① 두 질량을 같게 하면 a = 0 — 밀어 주면 등속으로 움직인다. ② m₂를 아주 크게 하면 a → g, T → 2m₁g에 다가간다. ③ ‘테이블 + 매단 추’: 마찰이 m₂g보다 크면(μ_km₁ ≥ m₂) 움직이지 않는다(정지 마찰도 μ_k와 같다고 가정). 장력은 언제나 매단 추의 무게보다 작다.

질량 없는 줄이 마찰 없는 도르래에 걸려 양 끝에 2.00 kg과 3.00 kg 추가 매달려 있다. 가속도와 줄의 장력은?

풀이 보기

전략 각 추마다 운동 방향을 +로: 3.00 kg은 아래, 2.00 kg은 위.

풀이 $m_2g - T = m_2a$, $T - m_1g = m_1a$. 더하면 $a = \dfrac{(3.00 - 2.00)(9.80)}{5.00} = 1.96$ m/s². $T = m_1(g + a) = 2.00(11.76) = 23.5$ N.

a = 1.96 m/s², T = 23.5 N

검토 19.6 N < T < 29.4 N ✓. 알짜 "구동력" $(m_2 - m_1)g$가 전체 질량 $m_1 + m_2$를 가속시킨다고 보아도 같은 a가 나온다.

테이블 위 5.00 kg 상자(운동 마찰 계수 0.200)가 테이블 끝 도르래를 지나는 줄로 3.00 kg 추와 연결되어 있다. 손을 놓으면 가속도와 장력은?

풀이 보기

전략 상자: $T - \mu_k m_1 g = m_1a$. 추: $m_2g - T = m_2a$.

풀이 더하면 $a = \dfrac{m_2g - \mu_k m_1g}{m_1 + m_2} = \dfrac{29.4 - 9.80}{8.00} = 2.45$ m/s². $T = m_2(g - a) = 3.00(7.35) = 22.1$ N.

a = 2.45 m/s², T = 22.1 N

검토 위 시뮬레이터의 ‘테이블 + 매단 추’에서 m₁ = 5, m₂ = 3, μ_k = 0.2로 확인하라.

마찰력

두 면이 맞닿아 있을 때 면을 따라 작용하는 접촉력이 마찰력(friction force)이다. 아무리 매끈해 보이는 면도 확대하면 울퉁불퉁하고, 실제로 닿는 곳은 겉넓이의 극히 일부다. 그 접점에서 원자들이 서로 달라붙어 미끄러짐을 방해한다. 면을 세게 누를수록(수직항력이 클수록) 실제 접촉 넓이가 늘어 마찰도 커진다.

마찰의 미시적 기원. 실제 접촉 넓이는 수직항력에 비례하므로 마찰력도 수직항력에 비례한다(근사적 경험 법칙).

정지 마찰과 운동 마찰

정지 마찰력(static friction)은 면이 서로 미끄러지지 않을 때 작용하며, 미끄러짐을 막는 데 필요한 만큼만 생긴다: $f_s \le \mu_s n$. 운동 마찰력(kinetic friction)은 미끄러지는 동안 작용하며 크기가 거의 일정하다: $f_k = \mu_k n$. 방향은 언제나 면을 따라, 상대적인 미끄러짐(또는 그 경향)의 반대쪽이다.

$$f_s \le \mu_s n, \qquad f_k = \mu_k n, \qquad \text{보통 } \mu_k < \mu_s$$

$\mu_s$: 정지 마찰 계수, $\mu_k$: 운동 마찰 계수(차원 없음). $f_s = \mu_s n$은 최대 정지 마찰력일 뿐, 정지 마찰력이 늘 그 값인 것은 아니다.

두 면	μ_s	μ_k
고무 – 마른 콘크리트	1.0	0.8
고무 – 젖은 콘크리트	0.30	0.25
나무 – 나무	0.50	0.30
강철 – 강철 (마른)	0.74	0.57
유리 – 유리	0.94	0.40
테플론 – 테플론	0.04	0.04
얼음 – 얼음 (0 °C)	0.1	0.03

바닥의 무거운 상자를 미는 힘을 0에서부터 서서히 키운다. 상자가 받는 마찰력은 어떻게 변할까?

정지 마찰은 "필요한 만큼만" 생긴다. 한계 $\mu_s n$을 넘는 순간 상자가 미끄러지고, 마찰은 그보다 작은 $\mu_k n$이 된다. 그래서 일단 움직이기 시작한 상자는 밀기가 쉬워진다.

SIMULATOR

마찰력 – 미는 힘 그래프

상자 질량 m μ_s μ_k

미는 힘 F—

마찰력 f—

상태—

속력 v—

왼쪽 미는 힘 화살표 끝을 끌거나 ‘서서히 밀기’를 누르면 오른쪽 그래프에 (F, f) 자취가 그려진다. 해볼 것: ① 정지한 동안 f = F(기울기 1인 직선)이다. ② F가 μ_smg에 닿는 순간 f가 μ_kmg로 뚝 떨어지며 상자가 가속한다. ③ 상자가 움직이는 동안 힘을 μ_kmg까지 줄이면 등속, 그보다 줄이면 감속해 멈춘다.

경사면의 마찰과 마찰각

경사면 위에 정지한 상자에서 정지 마찰은 무게의 경사면 성분을 정확히 상쇄한다: $f_s = mg\sin\theta$, $n = mg\cos\theta$. 경사를 키우면 $f_s$가 커지다가 한계 $\mu_s n$에 닿는 각 $\theta_c$에서 미끄러지기 시작한다.

$$mg\sin\theta_c = \mu_s mg\cos\theta_c \quad\Longrightarrow\quad \tan\theta_c = \mu_s, \qquad a_\text{미끄럼} = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$$

$\theta_c$를 마찰각(angle of repose)이라 한다. 질량과 무관하므로 각도만 재면 $\mu_s$를 측정할 수 있다. 모래 더미의 경사도 이 각을 넘지 못한다.

정지 마찰 계수가 0.50인 면에서는 경사각이 를 넘으면 미끄러지기 시작한다. 그 순간 운동 마찰 계수가 0.40이면 가속도는 이다.

SIMULATOR

경사면 실험실: 미끄러지기 시작하는 각을 찾아라

경사면 끝의 흰 원을 끌어 기울인다

경사각 θ μ_s μ_k 무게의 성분

상태—

마찰력 f / 한계 μ_sn—

가속도—

도전—

오른쪽 위는 실시간 자유 물체도(상자 m = 2.0 kg)다. 해볼 것: ① θ를 천천히 키워 상자가 미끄러지기 시작하는 각을 찾고 tan θ_c = μ_s를 확인하라. ② 미끄러진 뒤 θ를 조금 줄여도 계속 미끄러질 수 있다(μ_k < μ_s). tan θ < μ_k가 되면 감속해 멈춘다. ③ 도전: μ_s가 숨겨진 면에서 상자가 미끄러지기 시작하는 각만으로 μ_s를 알아내라(±0.03).

50.0 kg 나무 상자가 바닥에 놓여 있다. $\mu_s = 0.400$, $\mu_k = 0.300$. (a) 상자를 움직이기 시작하려면 수평으로 최소 얼마의 힘이 필요한가? (b) 움직이는 상자를 등속으로 밀려면? (c) 움직이는 중에 160 N으로 밀면 가속도는?

풀이 보기

전략 수평 바닥에서 $n = mg = 490$ N. 시작은 정지 마찰의 한계, 그 뒤는 운동 마찰.

풀이 (a) $F = \mu_s n = (0.400)(490) = 196$ N. (b) $F = \mu_k n = 147$ N. (c) $a = (160 - 147)/50.0 = 0.260$ m/s².

(a) 196 N (b) 147 N (c) 0.260 m/s²

검토 196 N 미만으로 밀면 정지 마찰이 미는 힘과 같은 크기로 생겨 상자는 꿈쩍하지 않는다. 마찰력 그래프 시뮬레이터에서 m = 50, μ_s = 0.4, μ_k = 0.3으로 확인하라.

상자가 30.0° 경사면을 미끄러져 내려간다. $\mu_k = 0.200$이면 가속도는?

풀이 보기

풀이 $x$(경사면 아래): $mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta = ma$ → $a = 9.80(0.500 - 0.200\times0.866) = 3.20$ m/s².

3.20 m/s² (경사면 아래쪽)

검토 마찰이 없을 때(4.90 m/s²)보다 작다. 질량이 약분되어 사라진다 — 무거운 상자나 가벼운 상자나 같은 가속도다.

공기 저항과 종단 속도

유체(공기·물) 속을 움직이는 물체는 속도 반대 방향의 저항력(drag force)을 받는다. 마찰력과 달리 저항력은 속력에 따라 커진다. 아주 느린 작은 물체(기름 속 구슬, 꽃가루)는 $D = bv$(선형), 보통 크기의 물체가 공기 중에서 빠르게 움직일 때는 $D = \tfrac12 C\rho A v^2$(이차)가 잘 맞는다.

$$D = bv \;(\text{느릴 때}), \qquad D = \tfrac12 C\rho A v^2 \;(\text{빠를 때})$$

$\rho$: 유체 밀도(해수면 공기 1.20 kg/m³), $A$: 운동 방향에서 본 단면적, $C$: 저항 계수(구 약 0.5, 엎드린 사람 약 1.0, 낙하산 약 1.4).

떨어지는 물체는 빨라질수록 저항이 커져 알짜힘 $mg - D$가 줄어든다. 결국 $D = mg$가 되면 가속도가 0 — 더 이상 빨라지지 않는다. 이 속력이 종단 속도(terminal speed)다.

$$v_t = \frac{mg}{b} \;(\text{선형}), \qquad v_t = \sqrt{\frac{2mg}{C\rho A}} \;(\text{이차})$$

낙하하는 물체의 자유 물체도. 무게는 그대로이고 저항력만 자란다. 알짜힘이 0이 되는 순간부터 등속 낙하한다.

질량 80인 스카이다이버가 단면적 0.7, 저항 계수 1.0로 떨어지면 종단 속도는 ()다.

SIMULATOR

낙하산: 언제 펼칠 것인가

질량 m

자세

재생 속도

고도—

속력 v—

저항 D / mg—

결과—

1500 m 상공에서 뛰어내린다. 이차 저항 $D = \tfrac12C\rho Av^2$(ρ = 1.20 kg/m³)를 RK4로 적분한다. 낙하산은 펴는 데 3 s가 걸리고 C = 1.4, A = 30 m²가 된다. 해볼 것: ① v–t 그래프가 종단 속도(점선)에 점점 다가가는 모양을 보라 — 결코 넘지 않는다. ② ‘머리부터’ 자세는 종단 속도가 두 배쯤 된다. ③ 도전: 착지 속력 7 m/s 이하로 안전하게 내리면서 낙하산을 가장 낮은 고도에서 펴라. 너무 늦으면…

겹친 필터 수 n

MINI LAB커피 필터(1.0 g, 반지름 6 cm)를 겹치면 질량은 n배지만 단면적은 그대로다. 이차 저항이면 $v_t \propto \sqrt{m}$이므로 4장 겹친 필터는 종단 속도가 2배다. 2.0 m 높이에서 함께 떨어뜨려 비교하라.

심화: 선형 저항의 해

$D = bv$이면 아래쪽을 +로 $m\,dv/dt = mg - bv$이다. 변수 분리해 적분하면 $\displaystyle\int_0^v\frac{dv'}{v_t - v'} = \int_0^t\frac{b}{m}dt'$ → $v(t) = v_t\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$, $\tau = m/b$, $v_t = mg/b$. 시간 $\tau$마다 종단 속도와의 차가 $1/e$로 줄어든다: $t = \tau$에서 63%, $3\tau$에서 95%. 이차 저항의 해는 $v(t) = v_t\tanh(gt/v_t)$이다.

80.0 kg 스카이다이버가 엎드린 자세($C = 1.0$, $A = 0.70$ m²)로 떨어진다. 공기 밀도 1.20 kg/m³. (a) 종단 속도는? (b) 낙하산($C = 1.4$, $A = 30$ m²)을 편 뒤의 종단 속도는?

풀이 보기

전략 $D = mg$에서 $v_t = \sqrt{2mg/(C\rho A)}$.

풀이 (a) $v_t = \sqrt{\dfrac{2(80.0)(9.80)}{(1.0)(1.20)(0.70)}} = \sqrt{1867} = 43.2$ m/s. (b) $v_t = \sqrt{\dfrac{1568}{(1.4)(1.20)(30)}} = 5.58$ m/s.

(a) 43.2 m/s (약 156 km/h) (b) 5.58 m/s

검토 5.6 m/s는 약 1.6 m 높이에서 뛰어내리는 착지 속력과 같다. 단면적이 약 43배이므로 종단 속도는 $\sqrt{43\times1.4} \approx 7.7$배 작아진다.

원운동의 동역학

3장에서 등속 원운동의 가속도는 중심을 향하고 크기가 $v^2/R$임을 보았다. 제2법칙에 따르면 이 가속도를 만드는 알짜힘이 있어야 한다. 그 알짜힘의 지름(중심 방향) 성분을 흔히 "구심력"이라 부르지만, 구심력은 새로운 종류의 힘이 아니다 — 장력·마찰력·수직항력·중력 같은 실제 힘들의 합이 중심을 향하는 것일 뿐이다. 자유 물체도에 "구심력"을 따로 그리지 않는다.

$$\sum F_\text{rad} = m\frac{v^2}{R} = m\frac{4\pi^2R}{T^2} \qquad (\text{중심 방향을 +})$$

원운동 문제에서는 축 하나를 원의 중심 방향으로 잡는다. 나머지 축(대개 연직)은 평형 $\sum F_y = 0$이다.

"원심력"이라는 함정 (다시)

커브에서 몸이 바깥으로 쏠리는 느낌은 관성 때문이다. 관성 기준틀(땅)에서는 바깥으로 미는 힘이 없다. 자동차의 문이나 좌석이 몸을 안쪽으로 밀어 원운동을 시킬 뿐이다. 4장의 자유 물체도 도전에서 원심력이 오답이었던 이유다.

평평한 커브와 경사진 커브

평평한 도로에서 자동차를 원운동시키는 힘은 타이어와 노면 사이의 정지 마찰력(타이어가 옆으로 미끄러지지 않으므로)뿐이다. $f_s = mv^2/R \le \mu_s mg$이므로 최대 속력은 $v_\text{max} = \sqrt{\mu_s gR}$이다. 도로를 안쪽으로 기울이면(경사진 커브(banked curve)) 수직항력의 수평 성분이 중심을 향해 마찰 없이도 돌 수 있다.

마찰 없는 경사진 커브. 수직항력이 기울어져 그 수평 성분이 원운동에 필요한 알짜힘이 된다. 이보다 빠르면 바깥으로, 느리면 안쪽으로 미끄러지려 하므로 마찰이 그만큼 보충한다.

반지름 60인 평평한 커브에서 마찰 계수가 0.80이면 미끄러지지 않는 최대 속력은 다. 같은 속력으로 마찰 없이 돌려면 도로를 기울여야 한다.

SIMULATOR

경사진 커브 설계하기

도로 끝의 흰 원을 끌어 경사각을 바꾼다

속력 v 반지름 R 경사각 β

노면

설계 속력 (f = 0)—

필요한 마찰 f / μ_sn—

상태—

도전—

왼쪽은 도로 단면과 자동차의 자유 물체도(마찰력 f는 경사면을 따라 필요한 만큼), 아래 막대는 이 경사와 노면에서 안전한 속력 범위다. 해볼 것: ① 마찰 화살표가 사라지는 경사각을 찾아라 — 그것이 tanβ = v²/(gR). ② 빙판에서 속력을 바꾸면 너무 빨라도(바깥으로) 너무 느려도(안쪽으로) 미끄러진다. ③ 설계 도전: 주어진 반지름과 노면에서 제시된 속력 범위 전체가 안전하도록 경사각을 정하라.

반지름 100 m인 고속도로 커브를 72.0 km/h(20.0 m/s)에서 마찰 없이도 돌 수 있도록 설계하려면 경사각을 얼마로 해야 하는가?

풀이 보기

풀이 $\tan\beta = \dfrac{v^2}{gR} = \dfrac{(20.0)^2}{(9.80)(100)} = 0.408$ → $\beta = 22.2^\circ$.

β = 22.2°

검토 질량이 없다 — 트럭과 승용차에 같은 설계 속력이 적용된다. 위 시뮬레이터에서 v = 72 km/h, R = 100 m로 놓고 마찰 화살표가 사라지는 각을 찾아보라.

원뿔 진자

길이 $L$인 줄에 매단 추가 수평 원을 그리며 돌면 줄은 원뿔 면을 쓸고 지나간다. 장력의 연직 성분이 무게를, 수평 성분이 원운동을 맡는다: $T\cos\theta = mg$, $T\sin\theta = mv^2/R$, $R = L\sin\theta$.

$$\tan\theta = \frac{v^2}{gR}, \qquad T_\text{주기} = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}$$

줄 길이 L

MINI LAB추(흰 원)를 바깥으로 끌어 각 θ를 바꿔 보라. 각이 커질수록 빨리 돌아야 하고 장력도 커진다. 그러나 θ → 0이어도 주기는 $2\pi\sqrt{L/g}$보다 길어지지 않는다 — 13장의 단진자 주기와 같다.

수직 원운동

롤러코스터 루프나 줄에 매달아 연직으로 돌리는 양동이에서는 속력이 위치에 따라 바뀐다. 꼭대기에서 수직항력(또는 장력)과 중력이 모두 아래(중심)를 향하므로 $n + mg = mv^2/R$. $n \ge 0$이어야 궤도에 붙어 있으므로 꼭대기에서 최소 속력은 $v_\text{min} = \sqrt{gR}$이다. 바닥에서는 $n - mg = mv^2/R$ — 탑승자는 몸무게의 몇 배를 느낀다.

마찰 없는 롤러코스터가 반지름 R인 루프를 한 바퀴 돌려면 출발 높이는 최소 얼마여야 할까? (속력은 에너지 보존 $v^2 = 2g(h - y)$로 정해진다.)

꼭대기(높이 2R)에서 $v^2 \ge gR$이어야 하므로 $2g(h - 2R) \ge gR$ → $h \ge 2.5R$. 2R에서 출발하면 꼭대기에 닿기 훨씬 전에 궤도에서 떨어진다!

SIMULATOR

수직 루프 롤러코스터

출발점(흰 원)을 경사로를 따라 끌어 높이를 정한다

루프 반지름 R 출발 높이 h

h / R—

꼭대기 속력 (최소 √gR)—

수직항력 n / mg (지금)—

결과—

마찰 없는 궤도, 차를 질점으로 본다. 화살표는 궤도가 차를 미는 수직항력(파랑)과 무게(주황)다. 해볼 것: ① h = 2.5R에서 꼭대기의 수직항력이 정확히 0이다. ② h를 그보다 조금 낮추면 차가 꼭대기 전에 궤도를 떠나 포물선을 그린다 — 떨어지는 지점에서 n = 0. ③ 바닥에서 n/mg를 보라: h = 2.5R이면 6g! 도전: ‘완벽’ 판정(h ≤ 2.6R로 통과)을 받아라.

500 kg 롤러코스터 차가 반지름 12.0 m 루프의 꼭대기를 15.0 m/s로 지난다. (a) 궤도가 차에 가하는 수직항력은? (b) 꼭대기를 통과할 수 있는 최소 속력은?

풀이 보기

전략 꼭대기에서 중심은 아래쪽. 아래를 +로: $n + mg = mv^2/R$.

풀이 (a) $n = m(v^2/R - g) = 500(18.75 - 9.80) = 4.48\times10^3$ N (아래 방향). (b) $n = 0$에서 $v_\text{min} = \sqrt{gR} = \sqrt{(9.80)(12.0)} = 10.8$ m/s.

(a) 4.48 × 10³ N (아래쪽) (b) 10.8 m/s

검토 꼭대기에서 탑승자의 겉보기 무게는 $n/mg = 0.91$ — 거꾸로 매달려 있지만 의자에 눌려 있다.

핵심 정리

평형: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$. 줄들이 만나는 매듭을 자유 물체로 고른다. 줄이 수평에 가까울수록 장력이 커진다.
가속 운동: 가속도 방향을 축으로. 마찰 없는 경사면에서 $a = g\sin\theta$, $n = mg\cos\theta$. 연결된 물체는 물체마다 식을 쓰고 같은 $a$로 연립한다.
마찰력: $f_s \le \mu_s n$(필요한 만큼), $f_k = \mu_k n$. 마찰각 $\tan\theta_c = \mu_s$. 미끄러지는 경사면 $a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$.
저항력은 속력에 따라 커진다($bv$ 또는 $\tfrac12C\rho Av^2$). 저항이 무게와 같아지면 종단 속도 $v_t = mg/b$ 또는 $\sqrt{2mg/(C\rho A)}$.
원운동: 실제 힘들의 지름 성분 합 $= mv^2/R$. 평평한 커브 $v_\text{max} = \sqrt{\mu_s gR}$, 경사진 커브 설계 속력 $\tan\beta = v^2/(gR)$, 원뿔 진자 $\tan\theta = v^2/(gR)$.
수직 원운동의 꼭대기: $n + mg = mv^2/R$, 최소 속력 $\sqrt{gR}$. 마찰 없는 루프의 최소 출발 높이는 2.5R.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.80$ m/s², 공기 밀도 1.20 kg/m³, 줄과 도르래의 질량은 무시한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

25.0 kg 물체가 줄 하나에 매달려 정지해 있다. 줄의 장력은?

$T - mg = 0$ → $T = (25.0)(9.80) = 245$ N.

마찰 없는 20.0° 경사면을 미끄러져 내려가는 상자의 가속도는?

$a = g\sin20.0^\circ = 9.80\times0.342 = 3.35$ m/s².

반지름 50.0 m인 평평한 커브에서 타이어와 노면의 $\mu_s = 0.800$이다. 미끄러지지 않는 최대 속력은?

$v_\text{max} = \sqrt{\mu_s gR} = \sqrt{0.800\times9.80\times50.0} = 19.8$ m/s(71 km/h).

2.00 kg 액자를 걸었더니 양쪽 철사가 수평에서 각각 15.0° 기울었다. 철사 한쪽의 장력은?

$2T\sin15.0^\circ = mg$ → $T = 19.6/(2\times0.2588) = 37.9$ N — 무게의 거의 2배.

애트우드 기계의 양쪽에 4.00 kg과 6.00 kg 추가 매달려 있다. 가속도와 장력은?

$a = (6.00 - 4.00)(9.80)/10.0 = 1.96$ m/s², $T = 2(4.00)(6.00)(9.80)/10.0 = 47.0$ N.

상자가 35.0° 경사면 위에 정지해 있다. 정지 마찰 계수는 최소 얼마여야 하는가?

$\mu_s \ge \tan35.0^\circ = 0.700$.

상자를 30.0° 경사면 위쪽으로 5.00 m/s로 밀어 올렸다. $\mu_k = 0.250$이면 올라가는 동안 감속도의 크기와 멈출 때까지 올라간 거리는?

올라갈 때는 마찰력도 경사면 아래쪽을 향한다.

$a = g(\sin30^\circ + \mu_k\cos30^\circ) = 9.80(0.500 + 0.217) = 7.02$ m/s². $d = v_0^2/(2a) = 25.0/14.04 = 1.78$ m.

마찰 없는 테이블 위 2.00 kg 상자가 테이블 끝 도르래를 지나는 줄로 1.00 kg 매단 추와 연결되어 있다. 가속도와 장력은?

$a = m_2g/(m_1 + m_2) = 9.80/3.00 = 3.27$ m/s², $T = m_1a = 6.53$ N.

탁구공(질량 2.70 g, 반지름 2.00 cm, $C = 0.50$)의 공기 중 종단 속도는?

$A = \pi(0.0200)^2 = 1.257\times10^{-3}$ m². $v_t = \sqrt{2mg/(C\rho A)} = \sqrt{0.05292/(7.54\times10^{-4})} = 8.38$ m/s.

2.00 g 구슬이 기름 속에서 $D = bv$, $b = 0.0500$ kg/s의 저항을 받으며 가라앉는다(부력 무시). 종단 속도와 시간 상수 $\tau$는?

$v_t = mg/b = (0.00200)(9.80)/0.0500 = 0.392$ m/s, $\tau = m/b = 0.0400$ s. 0.12 s면 종단 속도의 95%.

반지름 150 m, 경사각 12.0°인 커브의 설계 속력(마찰이 필요 없는 속력)은?

$v = \sqrt{gR\tan\beta} = \sqrt{9.80\times150\times0.2126} = 17.7$ m/s(63.6 km/h).

반지름 80.0 m, 경사각 15.0°인 커브에서 $\mu_s = 0.400$이다. 바깥으로 미끄러지지 않는 최대 속력은?

최대 속력에서 마찰력은 경사면 아래(안쪽)로 $\mu_s n$. 중심 방향: $n\sin\beta + \mu_s n\cos\beta = mv^2/R$, 연직: $n\cos\beta - \mu_s n\sin\beta = mg$.

두 식을 나누면 $v^2 = gR\dfrac{\sin\beta + \mu_s\cos\beta}{\cos\beta - \mu_s\sin\beta} = 784\times\dfrac{0.2588 + 0.3864}{0.9659 - 0.1035} = 586.4$ → $v = 24.2$ m/s.

물이 든 2.00 kg 양동이를 0.800 m 줄에 매달아 연직 원으로 돌린다. (a) 꼭대기에서 물이 쏟아지지 않는 최소 속력은? (b) 바닥을 5.00 m/s로 지날 때 줄의 장력은?

(a) $v_\text{min} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.80\times0.800} = 2.80$ m/s. (b) $T - mg = mv^2/R$ → $T = 2.00(9.80 + 25.0/0.800) = 82.1$ N.

질량 m인 상자가 θ 경사면 위에 정지해 있다($\mu_s$ 주어짐). 상자에 작용하는 마찰력의 크기는?

정지 마찰은 평형에 필요한 만큼만: $f_s = mg\sin\theta$. $\mu_s mg\cos\theta$는 그 최댓값이다.

줄에 매단 공을 마찰 없는 수평 테이블 위에서 원으로 돌리다 줄이 끊어졌다. 위에서 보면 공은?

알짜힘이 0이 되므로 제1법칙에 따라 그 순간의 속도(접선 방향)로 등속 직선 운동한다. 바깥으로 미는 "원심력"은 없다.

개념 확인 퀴즈

빨랫줄을 완전히 수평으로 팽팽하게 하고 가운데에 셔츠를 걸 수 없는 이유는?

$2T\sin\theta = mg$에서 $\theta \to 0$이면 $T \to \infty$.

같은 재질의 무거운 상자와 가벼운 상자를 같은 경사면에서 동시에 놓았다(둘 다 미끄러짐). 어느 쪽이 먼저 바닥에 닿는가?

$a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$에 질량이 없다.

종단 속도로 떨어지는 스카이다이버에게 작용하는 알짜힘은?

속도가 일정하므로 가속도 0, 알짜힘 0. 저항력이 무게와 정확히 같다.

경사진 커브를 설계 속력보다 느리게 돌면, 필요한 마찰력의 방향은?

느리면 수직항력의 수평 성분이 필요한 구심력보다 크므로 차가 안쪽(아래)으로 미끄러지려 한다. 마찰은 그 반대, 경사면 위쪽이다.

롤러코스터가 루프 바닥을 지날 때 탑승자가 느끼는 겉보기 무게는?

바닥에서 중심은 위쪽이므로 $n - mg = mv^2/R > 0$, 즉 $n > mg$.