Chapter 28

교류 회로

콘센트의 전기는 1초에 60번(나라에 따라 50번) 방향을 바꾸는 교류다. 왜 직류가 아니라 교류일까? 교류는 변압기로 전압을 쉽게 바꿀 수 있어, 높은 전압으로 멀리 보내고 낮은 전압으로 안전하게 쓸 수 있기 때문이다. 이 장에서는 교류를 회전하는 화살표(페이저)로 다루는 법, 축전기와 인덕터가 교류에서 보이는 "주파수에 따른 저항"(리액턴스), 라디오가 방송국 하나만 골라 듣는 원리(공명), 그리고 변압기와 송전을 배운다.

아래 막대의 흰 원을 끌어 주파수를 바꿔 보세요 · 공명에서 전류(주황)가 가장 크고 전압과 위상이 같다

교류 전압·전류의 진폭과 실횻값 $V_\text{rms} = V/\sqrt2$를 구하고, 페이저로 나타낸다.
저항·인덕터·축전기의 리액턴스 $X_L = \omega L$, $X_C = 1/\omega C$와 위상 관계를 설명한다.
RLC 직렬 회로의 임피던스 $Z$와 위상각을 페이저 합으로 구하고, 공명 진동수와 Q를 다룬다.
교류 전력 $P = V_\text{rms}I_\text{rms}\cos\phi$와 역률을 계산한다.
변압기의 전압·전류 비와 고전압 송전이 손실을 줄이는 이유를 설명한다.

교류와 페이저

27장의 발전기가 만드는 기전력은 사인 함수다. 회로의 전압과 전류도 같은 진동수로 진동한다.

$$v = V\cos\omega t, \qquad i = I\cos(\omega t - \phi), \qquad V_\text{rms} = \frac{V}{\sqrt2},\ I_\text{rms} = \frac{I}{\sqrt2}$$

$V$, $I$: 진폭(최댓값). $\omega = 2\pi f$. 실횻값(root-mean-square value)은 같은 저항에서 같은 평균 전력을 내는 직류의 값이다($\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$). "220 V"는 실횻값이고 최댓값은 311 V다. 교류 계기는 실횻값을 읽는다.

가정용 교류. 순간 전압은 −311 V와 +311 V 사이를 오가지만, 저항을 데우는 효과는 220 V 직류와 같다.

실횻값 220인 교류의 최댓값은 이다. 여기에 1500짜리 전기 주전자를 꽂으면 실효 전류 (최대 )가 흐르고, 주전자의 저항은 이다.

사인 함수를 다룰 때는 길이가 진폭이고 각속도 $\omega$로 반시계 방향으로 도는 화살표, 곧 페이저(phasor)를 쓰면 편하다. 페이저의 가로축 투영이 그 순간의 값이다. 같은 진동수의 진동을 더하는 것은 페이저를 벡터처럼 더하는 것과 같다.

SIMULATOR

페이저와 위상: R, L, C 하나씩

페이저 끝(흰 원)을 끌어 돌릴 수 있다

소자

진동수 f

리액턴스 / 저항—

전류 진폭 (V = 10 V)—

위상 (전류 − 전압)—

파랑 = 전압 페이저와 파형, 주황 = 전류(눈에 보이도록 크기를 맞췄다). 페이저는 실제보다 아주 느리게 돈다. 해볼 것: ① 인덕터에서 전류는 전압보다 90° 늦고, 축전기에서는 90° 앞선다("ELI the ICE man": L에서는 E가 I보다 먼저, C에서는 I가 E보다 먼저). ② 진동수를 올리면 인덕터의 전류는 줄고 축전기의 전류는 는다.

저항, 인덕터, 축전기의 교류 성질

교류 전류 $i = I\cos\omega t$가 흐를 때 각 소자의 전압을 보자. 저항은 $v_R = iR$로 위상이 같다. 인덕터는 $v_L = L\,di/dt = -\omega LI\sin\omega t = \omega LI\cos(\omega t + 90°)$: 전압이 전류보다 90° 앞선다. 축전기는 $v_C = q/C$, $q = \int i\,dt = (I/\omega)\sin\omega t$: 전압이 전류보다 90° 늦다.

저항: 전압 페이저와 전류 페이저가 같은 방향이다.
인덕터: 전압 페이저가 전류보다 90° 앞서(반시계 쪽) 있다. 전류가 가장 빨리 변하는 순간(0을 지날 때) 역기전력이 최대다.
축전기: 전압이 전류보다 90° 늦다. 전류가 흘러 들어가야 전하가 쌓이고 전압이 오르기 때문이다.

세 소자의 위상. 페이저는 모두 반시계로 돌고, 가로축 투영이 순간값이다.

$$X_L = \omega L, \qquad X_C = \frac{1}{\omega C}, \qquad V_L = IX_L,\ V_C = IX_C$$

$X_L$: 유도 리액턴스(reactance), $X_C$: 용량 리액턴스, 단위 Ω. 저항처럼 전류를 제한하지만 에너지를 소모하지 않는다(에너지를 받았다 돌려준다). 인덕터는 높은 진동수를 막고, 축전기는 낮은 진동수(직류)를 막는다.

MINI LAB0.50 H 인덕터와 10 μF 축전기의 리액턴스(로그–로그 축, 100 Ω 저항은 수평선). 흰 원을 끌어 진동수를 바꾸면, 두 리액턴스가 같아지는 진동수(약 71 Hz)에서 교차한다 — 다음 절의 공명 진동수다.

0.50 H 인덕터와 10 μF 축전기의 60 Hz와 1.0 kHz에서의 리액턴스는?

풀이 보기

풀이 60 Hz: $X_L = 2\pi(60)(0.50) = 188$ Ω, $X_C = 1/[2\pi(60)(10\times10^{-6})] = 265$ Ω. 1.0 kHz: $X_L = 3.14$ kΩ, $X_C = 15.9$ Ω.

60 Hz: X_L = 188 Ω, X_C = 265 Ω · 1 kHz: X_L = 3.1 kΩ, X_C = 16 Ω

검토 진동수가 17배가 되면 $X_L$은 17배, $X_C$는 1/17. 스피커의 크로스오버 회로는 이 성질로 고음은 트위터로, 저음은 우퍼로 보낸다.

RLC 직렬 회로와 임피던스

R, L, C를 직렬로 이으면 전류가 같고, 각 소자의 전압 페이저는 전류에 대해 0°, +90°, −90°의 방향을 가리킨다. 전원 전압은 세 페이저의 벡터 합이다.

공통인 전류 방향을 가로축에 둔다. $V_R$은 전류와 같은 방향, $V_L$은 90° 위, $V_C$는 90° 아래.
$V_L$과 $V_C$는 정반대라 빼면 된다: $V_L - V_C$.
전원 전압 $V$는 직각삼각형의 빗변이다. 전원 전압이 전류보다 $\phi$만큼 앞선다($X_L > X_C$일 때).

RLC 직렬 회로의 페이저 합(본문 예제의 값).

$$V = IZ, \qquad Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}, \qquad \tan\phi = \frac{X_L - X_C}{R}$$

$Z$: 임피던스(impedance)(Ω). $\phi > 0$이면 유도성(전압이 앞섬), $\phi < 0$이면 용량성.

$X_L = X_C$인 진동수에서는 리액턴스가 상쇄되어 $Z = R$로 최소, 전류가 최대가 된다. 이것이 공명(resonance)이다(13장 강제 진동).

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad I_\text{max} = \frac{V}{R}, \qquad Q = \frac{\omega_0L}{R} = \frac{\omega_0}{\Delta\omega}$$

$Q$: 공명의 날카로움(품질 인자). 공명에서 인덕터·축전기의 전압은 전원의 $Q$배가 될 수 있다(서로 상쇄되어 밖에서는 보이지 않는다). $\Delta\omega$: 전력이 절반이 되는 두 진동수의 차(대역폭).

RLC 직렬 회로를 공명 진동수로 구동한다. 인덕터 양 끝의 전압은 전원 전압과 비교해 어떨 수 있나?

공명에서 $V_L = IX_L = (V/R)\omega_0L = QV$. R이 작으면 Q가 커서 수십 배가 된다. 같은 크기의 $V_C$가 반대 위상이라 합이 0이다.

SIMULATOR

도전: 라디오 주파수 맞추기 (RLC 공명)

공명 곡선의 흰 원을 끌어 구동 진동수를 바꾼다

R L C (가변 축전기) 방송국 맞추기 도전

공명 f₀—

Z · φ—

V_R · V_L · V_C (V = 1 V)—

Q · 수신 감도—

전원 진폭 1 V, L은 mH, C는 nF. 왼쪽: 전압 페이저(전류 기준). 오른쪽: 전류 진폭–진동수(로그 축). "방송국 맞추기"를 켜면 구동 진동수가 방송국 주파수로 고정된다 — 가변 축전기 C만 돌려 수신 감도(최대 전류 대비)를 95% 이상으로 만들어라. 해볼 것: R을 줄이면 곡선이 뾰족해져(Q 증가) 옆 방송국과 섞이지 않지만 맞추기가 까다로워진다.

인덕턴스 1.0인 코일로 주파수 100.0의 방송을 들으려면 축전기를 로 맞춰야 한다.

R = 300 Ω, L = 60 mH, C = 0.50 μF를 직렬로 잇고 진폭 50 V, ω = 10 000 rad/s로 구동한다. 리액턴스, 임피던스, 전류 진폭, 위상각, 각 소자의 전압 진폭은?

풀이 보기

풀이 $X_L = 600$ Ω, $X_C = 200$ Ω, $Z = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500$ Ω, $I = 0.10$ A, $\phi = \arctan(400/300) = 53°$. $V_R = 30$ V, $V_L = 60$ V, $V_C = 20$ V.

Z = 500 Ω, I = 0.10 A, φ = 53°, V_R = 30, V_L = 60, V_C = 20 V

검토 $30 + 60 + 20 = 110 \ne 50$ — 크기는 그냥 더하지 않는다. $\sqrt{30^2 + (60 - 20)^2} = 50$ ✓.

앞 예제의 회로의 공명 각진동수와, 그때의 전류와 인덕터 전압은?

풀이 보기

풀이 $\omega_0 = 1/\sqrt{(0.060)(0.50\times10^{-6})} = 5.77\times10^3$ rad/s(919 Hz). $I = V/R = 0.167$ A, $V_L = I\omega_0L = 57.7$ V.

ω₀ ≈ 5.8 × 10³ rad/s, I ≈ 0.17 A, V_L ≈ 58 V

검토 전원(50 V)보다 인덕터의 전압이 크다. $Q = \omega_0L/R = 1.15$로 낮은 편이다.

필터

저항과 축전기만으로도 진동수를 고를 수 있다. 축전기 양 끝에서 출력을 꺼내면 높은 진동수는 축전기가 단락시켜 걸러지고(저역 통과), 저항 양 끝에서 꺼내면 낮은 진동수가 걸러진다(고역 통과). 경계는 $X_C = R$, 곧 $f_c = 1/2\pi RC$다.

SIMULATOR

RC 필터: 섞인 소리에서 하나만 남겨라

오른쪽 그래프의 흰 원을 끌어 차단 진동수를 바꾼다

종류

차단 진동수 f_c—

200 Hz 통과율—

5 kHz 통과율—

입력은 200 Hz 저음(진폭 1)과 5 kHz 고음(진폭 0.5)의 합. 왼쪽 위: 입력, 아래: 출력. 오른쪽: 출력/입력 진폭비(로그 축, 두 음의 자리 표시). 해볼 것: ① 저역 통과로 f_c ≈ 1 kHz이면 고음이 거의 사라진다(고음 잡음 제거). ② 고역 통과로 바꾸면 저음 "웅" 소리가 사라진다. ③ f_c에서 통과율은 1/√2 = 0.707.

교류 회로의 전력

순간 전력 $p = vi$는 시간에 따라 변한다. 저항에서는 늘 양수지만, 인덕터와 축전기는 반 주기 동안 에너지를 받았다가 다음 반 주기에 돌려준다(평균 0). 그래서 평균 전력은 저항에서만 소모되고, 전압과 전류의 위상차에 따라 달라진다.

$$P_\text{평균} = \frac12VI\cos\phi = V_\text{rms}I_\text{rms}\cos\phi = I_\text{rms}^2R$$

$\cos\phi$: 역률(power factor). 전동기처럼 인덕턴스가 큰 부하는 역률이 낮아, 같은 일을 하는 데 더 큰 전류가 필요하고 송전선 손실이 커진다. 공장은 축전기를 병렬로 달아 역률을 1에 가깝게 맞춘다.

MINI LAB전압(파랑)과 전류(주황), 그 곱인 순간 전력(초록, 색칠). 흰 원을 끌어 위상차 φ를 바꿔 보라. φ = 0이면 전력이 늘 양수, φ = 90°이면 양과 음이 같아 평균 0 — 에너지가 오가기만 한다.

앞 절 RLC 예제(V = 50 V, I = 0.10 A, φ = 53.1°)에서 전원이 공급하는 평균 전력은? 저항에서 소모되는 전력과 같은가?

풀이 보기

풀이 $P = \tfrac12VI\cos\phi = \tfrac12(50)(0.10)(0.60) = 1.5$ W. 저항: $\tfrac12I^2R = \tfrac12(0.010)(300) = 1.5$ W.

1.5 W (같다)

검토 역률 0.60. 겉보기 전력 $V_\text{rms}I_\text{rms} = 2.5$ VA 중 60%만 실제로 쓰인다.

변압기와 송전

철심에 두 코일을 감고 1차 코일에 교류를 흘리면, 철심 속 선속이 변해 2차 코일에 기전력이 유도된다(27장 상호 유도). 두 코일을 같은 선속이 지나므로 감은 수당 전압이 같다. 이상적인 변압기(transformer)는 에너지를 잃지 않으므로 전력도 같다.

변압기. 철심은 선속을 가두고, 얇은 판을 쌓아 맴돌이 전류를 줄인다. 실제 대형 변압기의 효율은 99%를 넘는다.

$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}, \qquad V_1I_1 = V_2I_2 \;\Rightarrow\; \frac{I_2}{I_1} = \frac{N_1}{N_2}$$

전압을 높이면(승압) 전류가 줄고, 낮추면(강압) 전류가 는다. 직류는 선속이 변하지 않아 변압기가 작동하지 않는다 — 교류가 이긴 이유다.

발전소에서 도시까지 전선의 저항 $R$에서 잃는 전력은 $I^2R$이다. 같은 전력 $P = VI$를 보낼 때 전압을 100배 높이면 전류가 1/100, 손실이 1/10 000이 된다. 그래서 수십만 볼트로 송전하고, 변전소와 전봇대의 변압기로 낮춰 쓴다.

송전망. 우리나라의 주요 송전 전압은 154 kV, 345 kV, 765 kV다.

같은 전력을 같은 전선으로 보낼 때 송전 전압을 10배 높이면 전선에서 잃는 전력은?

$I = P/V$가 1/10, 손실 $I^2R$이 1/100.

SIMULATOR

도전: 손실 1% 이하로 도시에 전기를 보내라

승압비 N₂/N₁ 도시의 수요 전력 송전선 저항 (왕복)

송전 전압—

송전 전류—

송전선 손실—

판정—

발전기 전압 20 kV(실횻값). 변압기는 이상적이라고 본다. 송전선의 색과 굵기는 손실 전력을 나타낸다. 해볼 것: ① 승압비를 2배로 하면 손실이 1/4. ② 수요가 2배로 늘면 손실은 4배. ③ 실제로는 전압이 너무 높으면 전선 주위 공기가 이온화되는 코로나 손실과 절연 비용이 커져, 765 kV 정도가 한계다.

전력 10를 저항 5.0인 송전선으로 10에서 보내면 전류 , 손실 ()이다.

(a) 220 V를 11 V로 낮추는 변압기의 1차 코일이 500회면 2차 코일은? 2차에 60 W 부하를 걸면 두 코일의 전류는? (b) 10 MW를 저항 5.0 Ω인 전선으로 10 kV와 500 kV로 보낼 때 손실은?

풀이 보기

풀이 (a) $N_2 = 500(11/220) = 25$회. $I_2 = 60/11 = 5.45$ A, $I_1 = 60/220 = 0.273$ A. (b) 10 kV: $I = 1000$ A, 손실 $= (1000)^2(5.0) = 5$ MW(절반!). 500 kV: $I = 20$ A, 손실 2.0 kW(0.02%).

(a) 25회, I₂ ≈ 5.5 A, I₁ ≈ 0.27 A (b) 5 MW vs 2 kW

검토 전압 50배 → 손실 1/2500. 에디슨의 직류 송전이 테슬라·웨스팅하우스의 교류에 진 "전류 전쟁"의 핵심이다(오늘날 아주 먼 거리에는 고압 직류 송전도 쓴다).

핵심 정리

교류 $v = V\cos\omega t$, 실횻값 $V_\text{rms} = V/\sqrt2$. 페이저: 진폭 길이로 도는 화살표, 가로 투영이 순간값.
저항: 같은 위상. 인덕터: $X_L = \omega L$, 전압이 90° 앞섬. 축전기: $X_C = 1/\omega C$, 전압이 90° 늦음.
RLC 직렬: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$, $\tan\phi = (X_L - X_C)/R$, $V = IZ$. 전압 페이저를 벡터로 더한다.
공명 $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$: $Z = R$, 전류 최대, $V_L = V_C = QV$. RC 필터의 차단 진동수 $1/2\pi RC$.
평균 전력 $V_\text{rms}I_\text{rms}\cos\phi$. 리액턴스는 에너지를 소모하지 않는다.
변압기 $V_2/V_1 = N_2/N_1$, $I_2/I_1 = N_1/N_2$. 고전압 송전은 손실 $I^2R$을 줄인다.

연습문제

답이 ±1% 이내면 정답이다. 각도는 도(°)로 입력한다.

실횻값 120 V인 교류 전압의 최댓값은?

$V = \sqrt2(120) = 170$ V.

25 mH 인덕터의 1.0 kHz에서의 리액턴스는?

$X_L = 2\pi fL = 157$ Ω.

4.7 μF 축전기의 50 Hz에서의 리액턴스는?

$X_C = 1/2\pi fC = 677$ Ω.

2.0 μF 축전기를 120 V(실횻값), 60 Hz 콘센트에 연결했다. 실효 전류는?

$X_C = 1326$ Ω, $I = 120/1326 = 0.0905$ A.

어떤 진동수에서 RLC 직렬 회로의 R = 200 Ω, X_L = 400 Ω, X_C = 250 Ω이다. 임피던스와 위상각은?

$Z = \sqrt{200^2 + 150^2} = 250$ Ω, $\phi = \arctan(150/200) = 36.9°$(유도성).

앞 문제의 회로를 진폭 100 V로 구동하면 전류 진폭은?

$I = V/Z = 0.40$ A.

L = 2.0 mH, C = 5.0 nF인 LC 회로의 공명 진동수는?

$f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 50.3$ kHz.

앞 문제의 L, C에 R = 10 Ω을 직렬로 잇고 진폭 1.0 V로 공명 진동수에서 구동한다. 인덕터 전압의 진폭은?

$I = 0.10$ A, $X_L = \omega_0L = 632$ Ω → $V_L = 63.2$ V(Q = 63).

220 V(실효), 5.0 A(실효)를 받는 전동기의 역률이 0.80이다. 평균 전력은?

$P = (220)(5.0)(0.80) = 880$ W.

1.0 μH 코일로 100 MHz FM 방송을 맞추려면 축전기는?

$C = 1/(4\pi^2f^2L) = 2.53\times10^{-12}$ F(2.5 pF).

1차 500회, 2차 25회인 변압기의 1차에 220 V를 걸면 2차 전압은?

$V_2 = 220(25/500) = 11$ V.

220 V → 12 V 변압기의 2차에 60 W 전구를 달았다. 2차와 1차 전류는? (이상적)

$I_2 = 60/12 = 5.0$ A, $I_1 = 60/220 = 0.273$ A.

2.0 MW를 20 kV로 저항 8.0 Ω인 송전선을 통해 보낸다. 손실 전력과 그 비율은?

$I = 100$ A, 손실 $= (100)^2(8.0) = 8.0\times10^4$ W = 4.0%.

교류 회로의 축전기에서 전류와 전압의 위상 관계는?

전하가 쌓여야 전압이 오르므로 전류가 먼저다.

RLC 직렬 회로가 공명할 때 임피던스는?

$X_L = X_C$로 상쇄되어 $Z = R$.

개념 확인 퀴즈

인덕터에 걸린 교류의 진동수를 2배로 하면 전류는? (전압 진폭 일정)

$X_L = \omega L$이 2배.

교류 회로에서 축전기가 소모하는 평균 전력은?

$\cos90° = 0$. 에너지를 받았다 돌려준다.

RLC 직렬 회로에서 진동수가 공명보다 낮으면 회로는?

낮은 진동수에서 $X_C > X_L$.

변압기가 직류에서 작동하지 않는 이유는?

패러데이 법칙은 선속의 변화를 요구한다.

송전 전압을 높이는 주된 이유는?

손실은 전류의 제곱에 비례한다.