Chapter 19

핵화학

지금까지의 모든 화학 반응에서 원자핵은 구경꾼이었다. 전자가 재배치될 뿐 원소는 바뀌지 않았다. 이 장에서는 핵 자체가 변하는 반응을 다룬다. 핵반응은 원소를 다른 원소로 바꾸고, 화학 반응보다 백만 배나 큰 에너지를 내며, 그 속도는 온도·압력·화학적 환경과 거의 무관하다. 방사성 붕괴의 규칙, 붕괴 속도로 시간을 재는 법, \(E = mc^2\)로 핵에너지를 계산하는 법을 차례로 익힌다.

방사능과 핵반응식

1896년 베크렐은 우라늄 광석이 빛을 쬐지 않아도 감광판을 검게 만든다는 것을 발견했고, 마리 퀴리와 피에르 퀴리는 이 현상을 방사능(radioactivity)이라 이름 붙여 폴로늄과 라듐을 분리했다. 방사능은 불안정한 핵이 스스로 입자나 에너지를 내놓고 더 안정한 핵으로 바뀌는 현상이다.

핵을 이야기할 때는 원소 기호에 두 숫자를 붙인 핵종(nuclide) 기호를 쓴다. 왼쪽 위는 질량수 \(A\)(양성자 + 중성자 = 핵자 수), 왼쪽 아래는 원자 번호 \(Z\)(양성자 수)이다. 중성자 수는 \(N = A - Z\)이다.

$$\ce{^{A}_{Z}X} \qquad \text{예: } \ce{^{238}_{92}U}\ (Z = 92,\ N = 146), \qquad \ce{^{14}_{6}C}\ (Z = 6,\ N = 8)$$

붕괴의 종류

붕괴방출 입자기호ΔAΔZ핵 속에서 일어나는 일
α 붕괴헬륨 핵\(\ce{^{4}_{2}He}\) 또는 \(\alpha\)−4−2양성자 2, 중성자 2가 한 덩어리로 나간다(무거운 핵)
β⁻ 붕괴전자\(\ce{^{0}_{-1}e}\) 또는 \(\beta^-\)0+1\(\ce{^{1}_{0}n -> ^{1}_{1}p + ^{0}_{-1}e}\) (중성자 과잉 핵)
β⁺ 붕괴(양전자 방출)양전자\(\ce{^{0}_{+1}e}\) 또는 \(\beta^+\)0−1\(\ce{^{1}_{1}p -> ^{1}_{0}n + ^{0}_{+1}e}\) (양성자 과잉 핵)
전자 포획(EC)(X선 방출)반응물 쪽에 \(\ce{^{0}_{-1}e}\)0−1안쪽 껍질 전자를 핵이 붙잡는다: \(\ce{^{1}_{1}p + ^{0}_{-1}e -> ^{1}_{0}n}\)
γ 방출고에너지 광자\(\ce{^{0}_{0}\gamma}\)00들뜬 핵이 바닥 상태로 내려간다(다른 붕괴에 뒤따름)

β 붕괴에는 실제로 중성미자(ν)나 반중성미자도 함께 나오지만, 질량과 전하가 사실상 0이어서 일반화학의 반응식에서는 생략한다.

방사성시료 종이 알루미늄 수 mm 납 수 cm α (⁴₂He²⁺) β (전자) γ (광자) 약해져일부 통과 투과력: α ≪ β ≪ γ · 이온화 능력: α ≫ β ≫ γ
세 가지 방사선의 투과력. 무겁고 전하가 큰 α 입자는 종이 한 장(피부 바깥층)에서 멈추지만, 지나가는 길에 가장 많은 이온을 만든다. 그래서 α 방출체는 몸 밖에서는 덜 위험하고 몸 안에 들어가면(흡입·섭취) 가장 위험하다.

핵반응식 맞추기

화학 반응식은 원자의 종류와 수를 맞췄다. 핵반응식에서는 원소가 바뀌므로 대신 다음 두 가지를 맞춘다.

핵반응식의 보존 규칙

① 양변의 질량수 합(위 첨자 합)이 같다. ② 양변의 원자 번호 합(아래 첨자 합, 곧 전하)이 같다. 모르는 핵종의 \(Z\)를 구한 뒤 주기율표에서 원소 기호를 찾는다.

$$\ce{^{238}_{92}U -> ^{234}_{90}Th + ^{4}_{2}He} \qquad \ce{^{14}_{6}C -> ^{14}_{7}N + ^{0}_{-1}e} \qquad \ce{^{11}_{6}C -> ^{11}_{5}B + ^{0}_{+1}e} \qquad \ce{^{7}_{4}Be + ^{0}_{-1}e -> ^{7}_{3}Li}$$

다음 핵반응식을 완성하라. (가) \(\ce{^{222}_{86}Rn -> ? + ^{4}_{2}He}\)   (나) \(\ce{^{131}_{53}I -> ^{131}_{54}Xe + ?}\)   (다) \(\ce{^{40}_{19}K + ^{0}_{-1}e -> ?}\)

풀이 보기
전략 위 첨자 합과 아래 첨자 합이 각각 같아지도록 빠진 \(A\)와 \(Z\)를 구하고, \(Z\)로 원소를 정한다.
풀이 (가) \(A = 222 - 4 = 218\), \(Z = 86 - 2 = 84\) → 폴로늄 \(\ce{^{218}_{84}Po}\). (나) \(A = 131 - 131 = 0\), \(Z = 53 - 54 = -1\) → 전자 \(\ce{^{0}_{-1}e}\)(β⁻ 붕괴). (다) \(A = 40 + 0 = 40\), \(Z = 19 - 1 = 18\) → 아르곤 \(\ce{^{40}_{18}Ar}\)(전자 포획).
(가) ²¹⁸₈₄Po   (나) ⁰₋₁e (β⁻)   (다) ⁴⁰₁₈Ar
검토 α 붕괴는 A를 4, Z를 2 줄이고, β⁻는 Z만 1 늘리며, 전자 포획은 Z만 1 줄인다 — 표의 ΔA, ΔZ와 일치한다. (다)의 반응은 뒤에서 볼 K–Ar 연대 측정의 바탕이다.

핵 안정성과 핵변환

핵 속의 양성자들은 전기적으로 서로 밀어낸다. 그런데도 핵이 뭉쳐 있는 것은 약 1 fm(10⁻¹⁵ m) 거리에서만 작용하는 훨씬 강한 강한 핵력(strong nuclear force)이 모든 핵자 사이에 작용하기 때문이다. 중성자는 전기적 반발 없이 핵력만 보태므로 일종의 "접착제" 역할을 한다. 양성자가 많아질수록 반발을 이기기 위해 중성자가 상대적으로 더 많이 필요하다.

안정 핵종을 \(N\)–\(Z\) 평면에 찍으면 좁은 띠를 이룬다. 이것이 안정성의 띠(belt of stability)다. 띠에서 벗어난 핵은 띠 쪽으로 돌아가는 방향으로 붕괴한다.

띠 위쪽(중성자 과잉)

\(N/Z\)가 너무 크다 → β⁻ 붕괴로 중성자를 양성자로 바꾼다(\(N\) −1, \(Z\) +1). 예: \(\ce{^{14}C}\), \(\ce{^{90}Sr}\), \(\ce{^{131}I}\).

띠 아래쪽(양성자 과잉)

\(N/Z\)가 너무 작다 → β⁺ 붕괴 또는 전자 포획으로 양성자를 중성자로(\(Z\) −1, \(N\) +1). 가벼운 핵은 β⁺, 무거운 핵은 EC가 흔하다. 예: \(\ce{^{11}C}\), \(\ce{^{18}F}\), \(\ce{^{7}Be}\).

Z > 83 (너무 무거움)

α 붕괴로 핵자를 한꺼번에 4개 덜어 낸다. \(Z\)와 \(N\)이 2씩 줄어 \(N/Z\)는 오히려 약간 커지므로 뒤이어 β⁻ 붕괴가 섞인다.

안정 핵종 약 250종 가운데 양성자·중성자가 모두 짝수인 것이 약 150종이고, 둘 다 홀수인 것은 ²H, ⁶Li, ¹⁰B, ¹⁴N 넷뿐이다. 또 양성자나 중성자 수가 마법수(magic numbers) 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 중 하나이면 특히 안정하다. 전자가 닫힌 껍질을 이룰 때 비활성 기체가 안정한 것처럼, 핵자도 껍질을 채운다. 둘 다 마법수인 "이중 마법수" 핵 ⁴He, ¹⁶O, ⁴⁰Ca, ²⁰⁸Pb는 유난히 안정하다.

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핵종 도표: 안정성의 띠와 붕괴 방식 예측

보기 범위
핵종—
N/Z—
예상 붕괴 방식—
실제(알려진 경우)—
진한 칸은 안정 핵종(지구에 남아 있는 아주 긴 수명의 핵 ⁴⁰K, ²³²Th, ²³⁵U, ²³⁸U 포함), 점선은 \(N = Z\), 굵은 곡선은 반경험적 질량 공식이 주는 띠의 중심이다. 도표를 누르거나 슬라이더로 핵종을 고른다. 해볼 것: ① 탄소(Z = 6)에서 N을 5부터 10까지 바꾸며 예상 방식이 β⁺ → 안정 → β⁻로 바뀌는 것을 확인하라. ② ‘전체’ 보기에서 띠가 \(N = Z\) 선에서 점점 위로 휘는 것을 보라. ③ Z = 43(테크네튬)과 61(프로메튬)에는 안정 핵종이 하나도 없다.

다음 핵종이 어떤 방식으로 붕괴할지 예측하라. (가) \(\ce{^{20}_{9}F}\)   (나) \(\ce{^{17}_{9}F}\)   (다) \(\ce{^{241}_{95}Am}\)

풀이 보기
전략 유일한 안정 플루오린 핵종은 ¹⁹F(N = 10)이다. N이 그보다 많으면 중성자 과잉, 적으면 양성자 과잉. Z > 83이면 α 붕괴.
풀이 (가) N = 11 > 10 → 중성자 과잉 → β⁻: \(\ce{^{20}_{9}F -> ^{20}_{10}Ne + ^{0}_{-1}e}\). (나) N = 8 < 10 → 양성자 과잉, 가벼운 핵 → β⁺: \(\ce{^{17}_{9}F -> ^{17}_{8}O + ^{0}_{+1}e}\). (다) Z = 95 → α: \(\ce{^{241}_{95}Am -> ^{237}_{93}Np + ^{4}_{2}He}\).
(가) β⁻   (나) β⁺   (다) α
검토 세 붕괴 모두 산물(²⁰Ne, ¹⁷O, ²³⁷Np)이 원래 핵보다 띠에 가깝다. ²⁴¹Am은 가정용 연기 감지기에 들어 있는 α 방출체다.

방사성 붕괴 계열

²³⁸U의 α 붕괴로 생긴 ²³⁴Th도 불안정하다. 이렇게 붕괴가 이어지다 안정 핵에 이를 때까지의 연쇄를 방사성 붕괴 계열(radioactive decay series)이라 한다. 자연에는 ²³⁸U → ²⁰⁶Pb, ²³⁵U → ²⁰⁷Pb, ²³²Th → ²⁰⁸Pb의 세 계열이 있다. α 붕괴만 질량수를 바꾸므로(4씩), 한 계열 안의 핵종은 질량수를 4로 나눈 나머지가 모두 같다.

중성자 수 N 원자 번호 Z 124128132136140144 828486889092 α (×8) β⁻ (×6)
²³⁸U 붕괴 계열. α 붕괴(초록 화살표)는 왼쪽 아래로 두 칸씩(N −2, Z −2), β⁻ 붕괴(보라 화살표)는 왼쪽 위로 한 칸(N −1, Z +1) 움직인다. 14단계를 거쳐 안정한 ²⁰⁶Pb에 이른다. 중간의 ²²⁶Ra와 기체인 ²²²Rn은 실내 라돈 문제의 원인이다.

²³⁸U가 ²⁰⁶Pb가 될 때까지 α 입자와 β⁻ 입자는 각각 몇 개 나오는가?

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전략 질량수는 α 붕괴로만 변한다 → α 횟수부터. 그다음 원자 번호를 맞추는 데 필요한 β⁻ 횟수를 구한다.
풀이 α 수 \(= (238 - 206)/4 = 8\). α 8번이면 Z가 \(92 - 16 = 76\)이 되어야 하지만 실제는 82 → β⁻(Z +1)가 \(82 - 76 = 6\)번. 전체 식: \(\ce{^{238}_{92}U -> ^{206}_{82}Pb + 8 ^{4}_{2}He + 6 ^{0}_{-1}e}\).
α 8개, β⁻ 6개
검토 질량수 \(206 + 32 = 238\), 원자 번호 \(82 + 16 - 6 = 92\). 위 그림의 화살표 수와 같다.

핵변환과 입자 가속기

핵을 다른 입자로 때려 새로운 핵을 만드는 것을 핵변환(nuclear transmutation)이라 한다. 1919년 러더퍼드는 질소에 α 입자를 쏘아 처음으로 한 원소를 다른 원소로 바꿨다.

$$\ce{^{14}_{7}N + ^{4}_{2}He -> ^{17}_{8}O + ^{1}_{1}H} \qquad \text{줄여서 } \ce{^{14}N}(\alpha, p)\ce{^{17}O}$$

괄호 표기는 (들어간 입자, 나온 입자)를 뜻한다. 양전하를 띤 입자는 핵의 전기적 반발을 넘어야 하므로 입자 가속기(사이클로트론, 선형 가속기)로 큰 운동 에너지를 준다. 중성자는 전하가 없어 반발이 없으므로 원자로에서 나오는 느린 중성자로도 쉽게 핵에 흡수된다.

방사성 붕괴 속도

어떤 핵이 언제 붕괴할지는 원리적으로 알 수 없다. 각 핵은 단위 시간마다 같은 확률로 붕괴할 뿐, 나이를 먹지 않는다. 그래서 많은 핵의 집단에서 단위 시간에 붕괴하는 수는 남아 있는 핵의 수에 비례한다 — 13장의 1차 반응과 똑같다.

$$A = -\frac{dN}{dt} = \lambda N \quad\Longrightarrow\quad N_t = N_0\, e^{-\lambda t}, \qquad \ln\frac{N_t}{N_0} = -\lambda t$$
\(N\): 남은 핵의 수(또는 질량·몰수·방사능에 비례하는 양), \(\lambda\): 붕괴 상수(s⁻¹, y⁻¹), \(A\): 방사능(단위 시간당 붕괴 수).

1차 반응의 반감기는 처음 양과 무관하다. 반감기가 \(n\)번 지나면 \((1/2)^n\)만 남는다.

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{\lambda}, \qquad \frac{N_t}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$$
핵종붕괴반감기쓰임·특징
²³⁸Uα4.47 × 10⁹ y암석 연대(지구의 나이)
¹⁴Cβ⁻5730 y유기물 연대 측정
²²⁶Raα1600 y퀴리(Ci) 단위의 기준
¹³⁷Csβ⁻30.1 y원전 사고의 주요 오염 핵종
⁶⁰Coβ⁻, γ5.27 y방사선 치료·멸균
¹³¹Iβ⁻8.02 d갑상샘 치료
⁹⁹ᵐTcγ6.01 h핵의학 영상의 80%
¹⁸Fβ⁺110 minPET 영상
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붕괴 확률 격자: 무작위 붕괴가 만드는 지수 곡선

처음 핵 수 N₀
경과 시간 t—
남은 핵 N—
이론값 N₀(½)^(t/t½)—
처음 N₀/2에 이른 시각—
각 핵은 매 순간 \(\lambda\,\Delta t\)의 확률로 붕괴한다(방금 붕괴한 핵은 밝게 깜빡인다). 해볼 것: ① N₀ = 100으로 여러 번 돌려 보라 — 반이 남는 시각이 매번 다르다. 1600이면 이론 곡선(점선)에 거의 붙는다. 통계적 법칙은 수가 많을 때 정확해진다. ② 로그 축을 켜면 직선이 되고 기울기는 \(-\lambda\)다. ③ 반감기마다 남은 수가 정확히 반으로 줄어드는지(400 → 200 → 100 → 50) 세로 점선에서 확인하라.

방사능의 단위

시료의 방사능(activity) \(A = \lambda N\)은 초당 붕괴 수다. SI 단위는 베크렐(Bq, 1 Bq = 1 붕괴/s)이고, 전통 단위 퀴리(Ci)는 라듐 1 g의 방사능에서 나왔다: \(1\,\text{Ci} = 3.7\times10^{10}\,\text{Bq}\). 방사능은 \(N\)에 비례하므로 같은 식 \(A_t = A_0 e^{-\lambda t}\)로 줄어든다. 계수기의 계수율(cpm)도 방사능에 비례하므로 그대로 쓸 수 있다.

λ의 단위를 맞출 것

방사능을 Bq로 구하려면 \(\lambda\)는 반드시 s⁻¹이어야 한다. 반감기가 년 단위로 주어지면 \(1\,\text{y} = 3.156\times10^{7}\,\text{s}\)로 바꾼다. 반면 "남은 비율"만 구할 때는 \(t\)와 \(t_{1/2}\)의 단위만 같으면 된다.

갑상샘 치료용 ¹³¹I(t½ = 8.02일) 25.0 mg이 병원에 배달되었다. 30.0일 뒤 남는 ¹³¹I는 몇 mg인가?

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전략 1차 붕괴: \(m_t = m_0 (1/2)^{t/t_{1/2}}\). 시간 단위(일)가 같으므로 바로 넣는다.
풀이 \(t/t_{1/2} = 30.0/8.02 = 3.741\). $$m_t = 25.0\,\text{mg}\times(0.5)^{3.741} = 25.0\times0.0748 = 1.87\,\text{mg}$$
약 1.87 mg
검토 반감기 3번(24일)이면 25/8 = 3.1 mg, 4번(32일)이면 1.6 mg. 30일은 그 사이이므로 타당하다.

⁶⁰Co(원자 질량 59.934 u, t½ = 5.27 y) 1.00 g의 방사능을 Bq와 Ci로 구하라.

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전략 \(A = \lambda N\). \(\lambda\)는 s⁻¹로, \(N\)은 원자 수로 바꾼다.
풀이 \(t_{1/2} = 5.27\times3.156\times10^7 = 1.663\times10^8\) s, \(\lambda = 0.6931/1.663\times10^8 = 4.17\times10^{-9}\,\text{s}^{-1}\).
\(N = (1.00/59.934)\times6.022\times10^{23} = 1.005\times10^{22}\).
$$A = (4.17\times10^{-9})(1.005\times10^{22}) = 4.19\times10^{13}\,\text{Bq} = \frac{4.19\times10^{13}}{3.7\times10^{10}} = 1.13\times10^{3}\,\text{Ci}$$
A ≈ 4.19 × 10¹³ Bq ≈ 1130 Ci
검토 반감기가 라듐(1600 y)의 약 1/300이므로 같은 질량(원자 수 차이 약 3.8배)에서 1 Ci보다 훨씬 큰 값이 맞다. 반감기가 짧을수록 같은 양의 방사능은 크다.

방사성 연대 측정

붕괴 속도가 온도나 화학적 상태에 영향을 받지 않으므로, 방사성 핵종은 아주 정확한 시계가 된다. 처음 양 \(N_0\)를 알 수 있으면 지금 남은 양 \(N_t\)에서 경과 시간을 구할 수 있다.

$$t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{N_0}{N_t} = \frac{t_{1/2}}{0.693}\ln\frac{N_0}{N_t}$$

탄소-14 연대 측정

대기 상층에서 우주선이 만든 중성자가 질소를 때려 ¹⁴C가 끊임없이 생긴다: \(\ce{^{14}_{7}N + ^{1}_{0}n -> ^{14}_{6}C + ^{1}_{1}H}\). ¹⁴C는 CO₂가 되어 광합성으로 생물에 들어가므로, 살아 있는 생물의 탄소는 대기와 같은 ¹⁴C 비율을 유지한다(탄소 1 g당 약 15.3 붕괴/분 = 0.255 Bq). 생물이 죽으면 ¹⁴C 공급이 끊기고 반감기 5730년으로 줄어든다. 측정 한계는 약 5만 년(반감기 9번 정도)이다.

우라늄–납 연대 측정

지질학적 시간에는 반감기가 긴 핵종을 쓴다. 광물이 굳을 때 납이 없었다면, 지금 있는 ²⁰⁶Pb는 모두 ²³⁸U가 붕괴한 것이다(중간 핵종들은 반감기가 상대적으로 짧아 무시한다). 그러면 \(N_0 = N_\text{U} + N_\text{Pb}\)이므로

$$t = \frac{t_{1/2}}{0.693}\ln\left(1 + \frac{N_{\ce{^{206}Pb}}}{N_{\ce{^{238}U}}}\right), \qquad t_{1/2}(\ce{^{238}U}) = 4.468\times10^{9}\,\text{y}$$
원자 수(몰) 비를 쓴다. 질량비가 주어지면 각각의 몰 질량(206, 238)으로 나눠 몰수 비로 바꾼다. 비슷하게 ⁴⁰K → ⁴⁰Ar(t½ = 1.25 × 10⁹ y)도 화산암 연대에 쓴다.

가장 오래된 운석의 U–Pb 연대는 45.7억 년이며, 이것이 태양계와 지구의 나이다.

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방사성 연대 계산기

방법
남은 비율 N/N₀—
지난 반감기 수—
추정 나이—
곡선은 남은 비율 \((1/2)^{t/t_{1/2}}\), 점은 현재 시료다. 해볼 것: ① 비방사능을 15.3의 절반(7.65 dpm/g)으로 맞추면 정확히 5730년이 나온다. ② 알프스 빙하에서 발견된 미라 ‘외치’는 ¹⁴C가 약 53% 남아 약 5300년 전 사람으로 밝혀졌다. 비율을 맞춰 확인해 보라. ③ U–Pb에서 비를 1로 놓으면 반감기 1번(44.7억 년)이다. 비가 커질수록 나이는 로그로만 늘어난다.

고대 유적에서 나온 숯의 ¹⁴C 비방사능이 탄소 1 g당 9.8 dpm(분당 붕괴 수)이었다. 살아 있는 나무는 15.3 dpm/g이다. 이 숯은 몇 년 전 것인가? (t½ = 5730 y)

풀이 보기
전략 방사능은 ¹⁴C 원자 수에 비례하므로 \(A_0/A_t = N_0/N_t\). \(t = (t_{1/2}/\ln 2)\ln(A_0/A_t)\).
풀이 \(\lambda = 0.6931/5730 = 1.210\times10^{-4}\,\text{y}^{-1}\). $$t = \frac{1}{1.210\times10^{-4}}\ln\frac{15.3}{9.8} = \frac{0.4455}{1.210\times10^{-4}} = 3.7\times10^{3}\,\text{y}$$
약 3700년 전(유효숫자 2자리: 3.7 × 10³ y)
검토 64%가 남았으므로 반감기 한 번(50%)이 안 지났다. 5730년보다 작은 것이 맞다.

질량–에너지 변환과 핵결합 에너지

헬륨-4 핵은 양성자 2개와 중성자 2개로 되어 있다. 그런데 헬륨-4 원자의 질량은 수소 원자 2개와 중성자 2개 질량의 합보다 작다. 이 차이를 질량 결손(mass defect)이라 한다. 사라진 질량은 핵자가 뭉칠 때 에너지로 빠져나간 것이다. 아인슈타인의 관계식이 둘을 잇는다.

$$\Delta E = \Delta m\, c^2, \qquad 1\,\text{u} \;\leftrightarrow\; 931.494\,\text{MeV}$$
\(c = 2.998\times10^8\) m/s. \(\Delta m\)을 kg으로 넣으면 J이 나온다. 1 u = 1.66054 × 10⁻²⁷ kg, 1 MeV = 1.60218 × 10⁻¹³ J.

핵을 낱낱의 핵자로 떼어 놓는 데 필요한 에너지를 핵결합 에너지(nuclear binding energy)라 한다. 원자 질량표의 값을 쓸 때는 양성자 대신 ¹H 원자(1.007825 u)를 쓰면 전자 질량이 양쪽에서 저절로 상쇄된다.

$$\Delta m = Z\,m(\ce{^{1}H}) + N\,m_n - m(\text{원자}), \qquad E_b = \Delta m \times 931.494\,\text{MeV/u}$$
\(m(\ce{^1H}) = 1.007825\) u, \(m_n = 1.008665\) u.
pp nn 2 ¹H + 2 n : 4.032980 u ⁴He 원자 : 4.002602 u Δm = 0.030378 u Eb = 28.30 MeV (7.07 MeV/핵자) = 2.73 × 10⁹ kJ/mol
⁴He의 질량 결손. 떨어져 있는 핵자 넷의 질량이 핵보다 0.030 u(0.75%) 크다. 핵이 만들어질 때 이만큼의 질량이 에너지로 방출되고, 거꾸로 핵을 쪼개려면 같은 에너지를 넣어야 한다. 화학 결합 에너지(수백 kJ/mol)의 약 천만 배다.

서로 다른 핵의 안정성을 비교하려면 결합 에너지를 핵자 수로 나눈 핵자당 결합 에너지 \(E_b/A\)를 쓴다. 이 값을 질량수에 대해 그리면 핵에너지의 지도가 된다.

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핵자당 결합 에너지 곡선

원자 질량—
질량 결손 Δm—
결합 에너지 Eb—
Eb/A—
점은 원자 질량 실측값(AME)에서 계산한 값, 곡선은 \(E_b = a_VA - a_SA^{2/3} - a_C\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} - a_A\frac{(A-2Z)^2}{A} \pm \delta\)(각 A에서 가장 안정한 Z 사용)이다. 해볼 것: ① 최댓값 근처의 ⁵⁶Fe와 ⁶²Ni를 비교하라(⁶²Ni가 아주 조금 더 크다). ② ⁴He, ¹²C, ¹⁶O가 곡선보다 위로 튀어나온 것을 보라 — α 입자 덩어리 구조로 특히 안정하다. ③ ²³⁵U(7.59)에서 분열 산물(약 8.5)로 가면 핵자당 약 0.9 MeV, 핵자 236개면 약 200 MeV가 나온다.

곡선은 \(A \approx 56\)–62 근처에서 가장 높다(약 8.8 MeV). 그래서

⁵⁶Fe의 원자 질량은 55.934936 u이다. 질량 결손, 핵결합 에너지(MeV), 핵자당 결합 에너지를 구하라.

풀이 보기
전략 Z = 26, N = 30. ¹H 원자 질량과 중성자 질량의 합에서 원자 질량을 뺀다.
풀이 \(26(1.007825) + 30(1.008665) = 26.20345 + 30.25995 = 56.46340\) u.
\(\Delta m = 56.46340 - 55.934936 = 0.52846\) u.
\(E_b = 0.52846\times931.494 = 492.3\) MeV, \(\;E_b/A = 492.3/56 = 8.790\) MeV/핵자.
Δm = 0.5285 u, Eb ≈ 492 MeV, Eb/A ≈ 8.79 MeV
검토 질량 결손은 전체 질량의 약 0.94%로 ⁴He(0.75%)보다 크다. 위 곡선의 최댓값 부근(약 8.8 MeV)과 일치한다.

핵분열과 핵융합

핵분열과 연쇄 반응

1938년 한과 슈트라스만은 우라늄에 중성자를 쏘면 바륨처럼 훨씬 가벼운 원소가 생긴다는 것을 발견했고, 마이트너와 프리슈가 이것이 핵이 둘로 쪼개지는 핵분열(nuclear fission)임을 밝혔다. ²³⁵U가 느린 중성자를 흡수하면 들뜬 ²³⁶U가 되어 질량이 비슷하지 않은 두 조각과 중성자 2–3개로 쪼개진다. 쪼개지는 방식은 수백 가지다.

$$\ce{^{1}_{0}n + ^{235}_{92}U -> ^{141}_{56}Ba + ^{92}_{36}Kr + 3^{1}_{0}n}$$
● 중성자 ● ²³⁵U ● 분열 조각 세대마다 중성자 수 ×(2–3) → 임계 이상이면 기하급수적 증가
연쇄 반응. 한 번의 분열에서 나온 중성자가 다른 ²³⁵U 핵을 분열시킨다. 중성자 하나당 다음 분열이 평균 1번 일어나면 임계(원자로의 정상 운전), 1번보다 많으면 초임계(폭주)다.

연쇄 반응이 스스로 유지되려면 중성자가 시료 밖으로 새어 나가기 전에 다른 핵에 잡혀야 한다. 그러기 위한 최소 질량을 임계 질량(critical mass)이라 한다. 천연 우라늄에는 분열성 ²³⁵U가 0.72%뿐이므로, 경수로 연료는 3–5%로 농축한다(핵무기는 90% 이상).

원자로의 구성

연료봉(UO₂ 펠릿) · 감속재(물·흑연: 빠른 중성자를 느리게 해 ²³⁵U에 잘 흡수되게) · 제어봉(카드뮴·붕소: 중성자를 흡수해 반응 속도 조절) · 냉각재(열을 증기 발생기로 옮겨 터빈을 돌림).

문제점

분열 산물(⁹⁰Sr, ¹³⁷Cs 등)은 강한 방사성 폐기물이다. 원자로가 꺼진 뒤에도 붕괴열이 나오므로 냉각을 계속해야 한다 — 냉각 실패가 2011년 후쿠시마 사고의 원인이었다.

위 반응식의 질량은 ²³⁵U 235.043930 u, ¹⁴¹Ba 140.914403 u, ⁹²Kr 91.926173 u, n 1.008665 u이다. 분열 1번에 나오는 에너지(MeV)와 ²³⁵U 1 mol이 이 방식으로 분열할 때의 에너지(kJ)를 구하라.

풀이 보기
전략 \(\Delta m = \sum m(\text{반응물}) - \sum m(\text{생성물})\), 양의 값이면 에너지 방출. 중성자 1개는 양쪽에서 상쇄된다.
풀이 \(\Delta m = 235.043930 - (140.914403 + 91.926173 + 2\times1.008665) = 0.186024\) u.
\(E = 0.186024\times931.494 = 173.3\) MeV.
1 mol: \(173.3\,\text{MeV}\times1.602\times10^{-13}\,\text{J/MeV}\times6.022\times10^{23} = 1.67\times10^{13}\) J = \(1.67\times10^{10}\) kJ.
분열 1번 ≈ 173 MeV, 1 mol(235 g)당 ≈ 1.67 × 10¹⁰ kJ
검토 메테인 1 mol의 연소열(890 kJ)의 약 2천만 배다. 분열 조각들이 이어서 β 붕괴하며 내는 에너지까지 합치면 분열 1번당 약 200 MeV가 된다.

핵융합

가벼운 핵을 합치는 핵융합(nuclear fusion)은 태양과 별의 에너지원이다. 태양 중심에서는 수소 4개가 여러 단계를 거쳐 헬륨 하나가 된다(양성자–양성자 연쇄, 약 26.7 MeV). 지상에서 가장 쉬운 융합은 중수소–삼중수소 반응이다.

$$\ce{^{2}_{1}H + ^{3}_{1}H -> ^{4}_{2}He + ^{1}_{0}n} \qquad (17.6\ \text{MeV})$$

두 핵의 전기적 반발을 넘으려면 핵이 엄청난 속도로 부딪혀야 하므로 약 10⁸ K의 플라스마가 필요하다(열핵 반응). 어떤 물질 용기도 이 온도를 견디지 못하므로, 토카막은 강한 자기장으로 플라스마를 띄워 가둔다. 한국의 KSTAR와 국제 공동 ITER가 대표적이다. 연료(바닷물의 중수소)가 풍부하고 장수명 고준위 폐기물이 거의 없다는 것이 장점이다.

방사선의 생물학적 영향과 이용

α, β, γ선과 X선, 중성자는 물질을 지나며 전자를 떼어 내 이온을 만드는 이온화 방사선(ionizing radiation)이다. 몸속에서는 주로 물이 이온화되어 \(\ce{H2O+}\)와 반응성이 큰 하이드록실 라디칼 \(\ce{\cdot OH}\)를 만들고, 이것이 DNA와 단백질을 손상시킨다. 빠르게 분열하는 세포(골수, 소화관 상피, 생식 세포, 암세포)가 가장 민감하다.

선량의 단위

흡수 선량: 조직 1 kg이 흡수한 에너지. 그레이 \(1\,\text{Gy} = 1\,\text{J/kg}\) (옛 단위 1 rad = 0.01 Gy).
등가 선량: 흡수 선량에 방사선 가중 인자 \(w_R\)를 곱해 생물학적 효과를 반영한 값. 시버트 \(H(\text{Sv}) = w_R \times D(\text{Gy})\) (옛 단위 1 rem = 0.01 Sv).

방사선가중 인자 wR까닭
X선, γ선, β선1이온화 밀도가 낮다
양성자2
중성자2.5–20에너지에 따라 다르다
α 입자20짧은 경로에 이온을 촘촘히 만든다
상황대략의 선량
흉부 X선 촬영 1회≈ 0.02 mSv
자연 방사선(세계 평균, 1년; 절반가량이 라돈)≈ 2.4 mSv
복부 CT 1회≈ 10 mSv
일반인 연간 선량 한도(의료 제외)1 mSv
급성 방사선 증후군이 나타나기 시작≈ 1 Sv
치료하지 않으면 절반이 사망(LD₅₀)≈ 4–5 Sv

70.0 kg인 작업자의 몸 전체가 α 입자로부터 0.140 J을 흡수했다. 흡수 선량(mGy)과 등가 선량(mSv)은?

풀이 보기
전략 \(D = E/m\), \(H = w_R D\), α 입자의 \(w_R = 20\).
풀이 \(D = 0.140\,\text{J}/70.0\,\text{kg} = 2.00\times10^{-3}\,\text{Gy} = 2.00\,\text{mGy}\). \(H = 20\times2.00 = 40.0\,\text{mSv}\).
2.00 mGy, 40.0 mSv
검토 흡수한 에너지는 체온을 고작 \(5\times10^{-7}\) °C 올리는 양이지만, 등가 선량은 1년 자연 방사선의 약 17배다. 방사선의 위험은 총 에너지가 아니라 이온화가 일으키는 분자 손상에서 온다.

방사성 동위원소의 이용

핵심 정리

  1. 핵반응식은 질량수 합과 원자 번호 합을 보존한다. α: A −4, Z −2 · β⁻: Z +1 · β⁺와 전자 포획: Z −1 · γ: 변화 없음.
  2. 안정 핵은 N/Z ≈ 1(가벼운 핵)에서 약 1.5(Pb)까지의 띠에 놓인다. 띠 위쪽은 β⁻, 아래쪽은 β⁺/EC, Z > 83은 α 붕괴. 마법수와 짝수–짝수 핵이 특히 안정하다.
  3. 방사성 붕괴는 1차 반응: \(N_t = N_0e^{-\lambda t}\), \(t_{1/2} = 0.693/\lambda\). 방사능 \(A = \lambda N\), 1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq.
  4. 연대 측정: \(t = (t_{1/2}/0.693)\ln(N_0/N_t)\). ¹⁴C(5730 y)는 5만 년까지의 유기물, ²³⁸U/²⁰⁶Pb는 지질 시대에 쓴다.
  5. 질량 결손 \(\Delta m\)과 \(E = \Delta mc^2\)(1 u = 931.494 MeV)로 결합 에너지를 구한다. 핵자당 결합 에너지는 A ≈ 56–62에서 최대(≈ 8.8 MeV)다.
  6. 무거운 핵의 분열과 가벼운 핵의 융합이 모두 에너지를 낸다. 연쇄 반응은 감속재와 제어봉으로 임계 상태를 유지한다.
  7. 흡수 선량 Gy(J/kg) × 가중 인자 = 등가 선량 Sv. α선은 wR = 20으로 몸 안에서 가장 해롭다.

연습문제

답은 유효숫자 3자리 정도로 입력한다. ±1% 이내면 정답으로 처리한다. 지수는 2.5e-3 또는 2.5×10^-3 형식으로 쓴다. 필요하면 \(m(\ce{^1H}) = 1.007825\) u, \(m_n = 1.008665\) u, 1 u = 931.494 MeV, \(N_A = 6.022\times10^{23}\), 1 y = 3.156 × 10⁷ s를 쓴다.

²³⁹₉₄Pu가 α 붕괴할 때 생기는 딸핵의 질량수 A와 원자 번호 Z는?

α 입자는 ⁴₂He이다.

\(\ce{^{239}_{94}Pu -> ^{235}_{92}U + ^{4}_{2}He}\). A = 235, Z = 92(우라늄).

⁹⁰₃₈Sr이 β⁻ 붕괴할 때 생기는 딸핵의 A와 Z는?

\(\ce{^{90}_{38}Sr -> ^{90}_{39}Y + ^{0}_{-1}e}\). A = 90, Z = 39(이트륨).

핵의 중성자–양성자 비(N/Z)를 증가시키는 붕괴는?

β⁺는 양성자를 중성자로 바꾼다(Z −1, N +1) → N/Z 증가. 그래서 띠 아래쪽(양성자 과잉) 핵이 β⁺ 붕괴를 한다. β⁻는 반대로 N/Z를 줄이고, γ는 변화가 없다.

토륨 계열은 ²³²₉₀Th에서 시작해 ²⁰⁸₈₂Pb에서 끝난다. α 붕괴와 β⁻ 붕괴는 각각 몇 번 일어나는가?

질량수는 α 붕괴로만 줄어든다.

α: \((232-208)/4 = 6\). α 6번이면 Z = 90 − 12 = 78인데 실제 82 → β⁻ 4번.

⁹⁹ᵐTc(t½ = 6.01 h)를 주사한 지 24.0시간 뒤 몸속에 남은 비율은? (배설은 무시)

\((1/2)^{24.0/6.01} = (1/2)^{3.993} = 0.0628\), 약 6.3%.

⁹⁰Sr(몰 질량 89.91 g/mol, t½ = 28.8 y) 1.00 μg의 방사능은 몇 Bq인가?

λ는 s⁻¹로: \(t_{1/2} = 28.8\times3.156\times10^7\) s.

\(\lambda = 0.6931/(9.089\times10^{8}\,\text{s}) = 7.63\times10^{-10}\,\text{s}^{-1}\). \(N = (1.00\times10^{-6}/89.91)(6.022\times10^{23}) = 6.70\times10^{15}\). \(A = \lambda N = 5.11\times10^{6}\) Bq (= 1.38 × 10⁻⁴ Ci).

어떤 방사성 시료의 계수율이 1250 cpm에서 12.0시간 뒤 380 cpm으로 줄었다. 반감기는?

\(\lambda = \ln(1250/380)/12.0 = 1.1907/12.0 = 0.09922\,\text{h}^{-1}\), \(t_{1/2} = 0.6931/0.09922 = 6.99\) h.

동굴에서 발견된 뼈의 ¹⁴C 방사능이 현재 살아 있는 생물의 26.0%였다. 뼈의 나이는? (t½ = 5730 y)

\(t = (5730/0.6931)\ln(1/0.260) = 8267\times1.347 = 1.11\times10^{4}\) y.

어떤 암석에서 ²⁰⁶Pb와 ²³⁸U의 원자 수 비가 0.460이었다. 처음에 납이 없었다고 할 때 암석의 나이는? (²³⁸U의 t½ = 4.468 × 10⁹ y)

처음 우라늄 원자 수 = 지금 우라늄 + 지금 ²⁰⁶Pb.

\(N_0/N_t = 1 + 0.460 = 1.460\). \(t = (4.468\times10^9/0.6931)\ln1.460 = 6.446\times10^9\times0.3784 = 2.44\times10^{9}\) y.

¹⁶O의 원자 질량은 15.994915 u이다. 핵자당 결합 에너지는?

\(\Delta m = 8(1.007825) + 8(1.008665) - 15.994915 = 0.137005\) u. \(E_b = 0.137005\times931.494 = 127.6\) MeV, \(E_b/A = 127.6/16 = 7.98\) MeV.

\(\ce{^{2}_{1}H + ^{3}_{1}H -> ^{4}_{2}He + ^{1}_{0}n}\) 반응에서 나오는 에너지는? 원자 질량: ²H 2.014102 u, ³H 3.016049 u, ⁴He 4.002602 u, n 1.008665 u.

\(\Delta m = (2.014102 + 3.016049) - (4.002602 + 1.008665) = 0.018884\) u. \(Q = 0.018884\times931.494 = 17.6\) MeV.

열출력 1000 MW로 운전하는 원자로에서 ²³⁵U 분열 1번당 200 MeV가 나온다면 하루에 소비되는 ²³⁵U는 몇 g인가? (²³⁵U 몰 질량 235.04 g/mol)

하루의 에너지 \(= 1.000\times10^9\,\text{J/s}\times86400\,\text{s}\). 1 MeV = 1.602 × 10⁻¹³ J.

\(E = 8.64\times10^{13}\) J. 분열 1번 \(= 200\times1.602\times10^{-13} = 3.204\times10^{-11}\) J → 분열 수 \(2.697\times10^{24}\) = 4.478 mol → \(4.478\times235.04 = 1.05\times10^{3}\) g. 하루 약 1 kg — 같은 열출력을 석탄으로 얻으려면 하루 약 3천 톤을 태워야 한다.

어떤 조직이 α 입자에 의해 2.00 mGy의 흡수 선량을 받았다. 등가 선량은 몇 mSv인가? (α의 wR = 20)

\(H = 20\times2.00 = 40.0\) mSv. 같은 흡수 선량의 γ선이라면 2.00 mSv다.

다음 중 가장 안정할 것으로 예상되는 핵종은?

²⁰⁸Pb는 Z = 82, N = 126으로 양성자·중성자가 모두 마법수인 이중 마법수 핵이며 짝수–짝수다. 나머지는 Z > 83(방사성)이거나 홀수 Z다(²⁰⁹Bi는 반감기 약 2 × 10¹⁹년으로 사실상 안정하지만 엄밀히는 α 방출체다).

개념 확인 퀴즈

방사성 시료를 100 °C로 가열하거나 화합물의 형태를 바꾸면 반감기는?

핵 붕괴는 핵 내부의 에너지(MeV)에 좌우되므로 화학적 환경(eV)이나 온도에 거의 영향을 받지 않는다. 이 덕분에 연대 측정의 시계로 쓸 수 있다. 1차 반응의 반감기는 처음 양과도 무관하다.

¹⁴C 연대 측정으로 공룡 화석(약 6600만 년)의 나이를 잴 수 없는 가장 큰 이유는?

6600만 년은 ¹⁴C 반감기의 약 11 500배다. \((1/2)^{11500}\)은 0과 구별할 수 없다. 이런 시료는 화산재 층의 K–Ar이나 U–Pb 연대를 쓴다.

핵분열과 핵융합이 모두 에너지를 내는 이유로 옳은 것은?

핵자당 결합 에너지 곡선은 A ≈ 60 근처에서 최대다. 무거운 핵이 쪼개지거나 가벼운 핵이 합쳐지면 둘 다 그 최대점에 가까워지며, 늘어난 결합 에너지만큼 질량이 줄고 에너지가 나온다. 질량수 합은 보존된다.

같은 흡수 선량(1 mGy)이라도 인체에 가장 큰 등가 선량을 주는 것은?

α 입자의 가중 인자는 20으로 γ·X·β선(1)의 20배다. 짧은 거리에 이온을 매우 촘촘히 만들어 DNA를 복구하기 어렵게 손상시킨다.

탄소-11(Z = 6, N = 5)의 붕괴 방식으로 가장 알맞은 것은?

안정한 탄소는 N = 6, 7이다. N = 5는 양성자 과잉이므로 양성자를 중성자로 바꾸는 β⁺ 붕괴를 한다: ¹¹C → ¹¹B + e⁺ (PET에 쓰는 핵종).