Chapter 01

물질과 측정

화학은 물질이 무엇으로 이루어졌고 어떻게 변하는지를 다루는 과학이다. 그런데 "얼마나"라는 질문에 답하지 못하면 화학은 요리책 수준에 머문다. 이 장에서는 물질을 분류하는 말과, 측정값을 정직하게 쓰고 계산하는 규칙 — SI 단위, 유효숫자, 차원 분석 — 을 익힌다. 앞으로 모든 장의 계산이 이 위에 서 있다. 먼저 아래 화면 왼쪽의 온도계 손잡이를 끌어 물 분자 60개를 얼리고, 녹이고, 끓여 보자.

온도계를 끌거나 상자를 눌러 보라

과학적 방법에서 관찰·가설·법칙·이론의 차이를 설명한다.
물질을 순물질(원소·화합물)과 혼합물(균일·불균일)로 분류하고, 물리 변화와 화학 변화를 구별한다.
SI 기본 단위와 접두사를 쓰고, 켈빈·섭씨·화씨 온도를 서로 바꾼다.
정확도와 정밀도를 구별하고, 측정값의 유효숫자를 세며 계산 결과를 올바르게 반올림한다.
환산 인자를 사슬처럼 곱하는 차원 분석으로 단위를 바꾼다.
밀도를 정의하고 질량·부피 계산과 뜨고 가라앉는 현상에 적용한다.

화학이란 무엇인가

화학(chemistry)은 물질의 조성·구조·성질과 그 변화를 연구하는 학문이다. 생물학의 DNA 복제, 지구과학의 암석 풍화, 공학의 배터리와 반도체가 모두 원자와 분자 수준의 화학 변화로 설명된다. 그래서 화학을 흔히 "중심 과학"이라 부른다.

화학자는 세 수준을 오가며 생각한다. 눈에 보이는 거시적(macroscopic) 세계(물이 끓는다), 보이지 않는 입자 수준(submicroscopic)의 세계(물 분자들이 서로 떨어져 날아간다), 그리고 그 둘을 잇는 기호의 세계($\ce{H2O(l) -> H2O(g)}$)다. 좋은 화학적 설명은 이 셋을 모두 일치시킨다.

관찰: 자연을 보고 잰다. 정성적 관찰(색이 변했다)보다 정량적 측정(질량이 0.32 g 늘었다)이 힘이 세다.
가설: 관찰을 설명하는 잠정적인 생각. 반드시 검증할 수 있는 예측을 낳아야 한다.
실험: 예측이 맞는지 시험한다. 틀리면 가설로 돌아간다 — 이 고리가 과학의 엔진이다.
살아남은 결과가 법칙(무엇)과 이론(왜)이 된다. 이론도 새 실험 앞에서는 언제든 수정된다.

과학적 방법. 반복되는 관찰을 간결하게 요약한 것이 법칙(예: 질량 보존 법칙)이고, 그 까닭을 설명하는 검증된 모형이 이론(예: 원자설)이다. 이론은 새 실험으로 언제든 수정될 수 있다.

법칙 (law)

관찰된 규칙성의 서술. 흔히 수식 하나로 쓴다. "닫힌 계에서 반응 전후 질량의 합은 같다."

이론 (theory)

법칙들을 설명하는 메커니즘. "물질은 원자로 되어 있고, 반응은 원자의 재배열일 뿐이므로 질량이 보존된다."

과학적 방법의 출발점은 언제나 측정이다. 측정값에는 숫자, 단위, 그리고 불확도가 함께 들어 있어야 한다. 이 장의 후반부 절반이 바로 이 세 요소를 다룬다.

MINI LAB거시·입자·기호의 세 수준. 왼쪽 비커 위의 돋보기(흰 원)를 끌어 물속·수면 위·거품 속을 들여다보라. 오른쪽 원은 그 자리의 입자 수준 그림이고, 아래 줄은 같은 장면의 기호 표현이다. 가열을 켜면 거품 속이 H₂O(g)로 차는 것을 확인하라.

물질의 분류와 변화

물질(matter)은 질량을 가지고 공간을 차지하는 모든 것이다. 물질을 정리하는 가장 기본적인 질문은 두 가지다. "물리적 방법으로 더 나눌 수 있는가?" 그리고 "화학적 방법으로 더 단순한 물질로 나눌 수 있는가?"

물질의 분류. 순물질은 원소와 화합물로, 혼합물은 균일(용액)과 불균일로 나뉜다. 화합물은 물리적 방법으로는 나눌 수 없고, 화학 반응을 거쳐야 원소로 분해된다.

원소(element): 화학적 방법으로 더 단순한 물질로 나눌 수 없는 물질. 한 종류의 원자로만 되어 있다. 현재 118종이 알려져 있다.
화합물(compound): 두 가지 이상의 원소가 일정한 질량비로 결합한 물질. 물은 어디서 얻든 질량으로 수소 11.19%, 산소 88.81%이다(일정 성분비 법칙, 2장).
혼합물(mixture): 두 가지 이상의 물질이 화학 결합 없이 섞인 것. 성분이 각자의 성질을 유지하고 조성이 변할 수 있다. 균일 혼합물(용액)은 어디를 떠도 조성이 같고, 불균일 혼합물은 부분마다 다르다.

이 상자 속 물질은?

CHALLENGE입자 그림 분류 도전: 공 하나가 원자 하나, 붙어 있는 공들이 분자 하나다. 한 종류의 원자만 있으면 원소(O₂처럼 분자여도), 한 종류의 분자가 두 가지 이상의 원소로 되어 있으면 화합물, 두 종류 이상의 입자가 섞여 있으면 혼합물이다. 5개 연속으로 맞혀 보라.

물질의 세 가지 상태

같은 물질이라도 온도와 압력에 따라 고체·액체·기체로 존재한다. 상태의 차이는 입자 사이의 거리와 운동의 자유도에서 온다.

세 가지 상태의 입자 모형. 고체에서는 입자가 촘촘히 규칙적으로 배열해 제자리에서 진동하고, 액체에서는 서로 닿은 채 미끄러지며, 기체에서는 멀리 떨어져 빠르게 날아다닌다. 그래서 기체만 쉽게 압축된다(5장).

얼음에 열을 계속 넣으면 어떻게 될까? 입자 그림으로는 진동이 커지다가 격자가 무너지고(녹음), 다시 입자들이 서로를 완전히 떠난다(끓음). 그런데 온도계는 이 과정을 고르게 따라가지 않는다.

−20 °C 얼음을 일정한 세기로 계속 가열한다. 얼음이 녹고 있는 동안 온도계 눈금은 어떻게 될까?

녹는 동안 들어간 열은 입자 사이 인력을 끊는 데 쓰이고, 입자의 평균 운동 에너지(온도)를 올리지 않는다. 아래 가열 곡선에서 평평한 두 구간을 찾아보라 — 끓는 구간이 훨씬 길다.

SIMULATOR

가열 곡선: 열을 넣으며 입자 들여다보기

물의 질량 m 가열 세기

온도—

상태—

넣은 열 q—

이 구간의 식—

왼쪽 곡선 위의 흰 점을 끌어 넣은 열을 직접 정할 수도 있다. 비열: 얼음 2.09, 물 4.184, 수증기 2.01 J/(g·°C). 녹음열 334 J/g, 기화열 2257 J/g(100 °C). 해볼 것: ① 가열 시작을 누르고 오른쪽 입자 그림이 언제 바뀌는지 곡선 위 점과 비교하라. ② 평평한 구간에서 점을 끌면 온도는 그대로인데 고체/액체(또는 액체/기체) 입자의 비율만 바뀐다. ③ 끓는 구간이 녹는 구간보다 약 6.8배 긴 까닭은? 입자를 완전히 떼어 놓는 데 훨씬 많은 에너지가 든다(11장). 열과 비열의 정량적 계산은 6장에서 다룬다.

물리적 성질과 화학적 성질, 물리 변화와 화학 변화

물리 변화 (physical change)

물질의 정체가 그대로인 변화. 상태 변화(얼음 → 물), 용해, 분쇄. 물리적 성질: 색, 녹는점, 끓는점, 밀도, 경도.

화학 변화 (chemical change)

새로운 물질이 생기는 변화(= 화학 반응). 연소, 녹슮, 산과 금속의 반응, 요리. 화학적 성질: 가연성, 산과의 반응성, 부식성.

성질은 또한 양에 따라 크기 성질(extensive)(질량, 부피, 열량처럼 양에 비례)과 세기 성질(intensive)(온도, 밀도, 끓는점처럼 양과 무관)으로 나뉜다. 물질을 확인할 때는 세기 성질이 쓸모 있다 — 물 한 방울과 한 양동이는 끓는점이 같다.

혼합물의 분리

거름은 고체와 액체를, 증류는 끓는점이 다른 액체를, 크로마토그래피는 고정상에 대한 붙는 정도가 다른 성분을 나눈다. 모두 물리적 성질의 차이를 이용하며 성분 물질은 변하지 않는다.

소금물은 물 분자와 Na⁺·Cl⁻ 이온이 고르게 섞인 균일 혼합물이다.
가열하면 끓는점이 낮은 물만 기체가 되어 올라간다. 이온은 액체에 남아 점점 진해진다.
찬물이 흐르는 냉각기에서 수증기가 열을 잃고 다시 액체가 된다(응축).
받는 그릇에는 순수한 물이, 플라스크에는 소금이 남는다. 두 성분 모두 화학적으로 변하지 않았다.

증류. 끓는점(물리적 성질)의 차이로 균일 혼합물을 순물질로 나눈다. 원유의 분별 증류, 술의 증류도 같은 원리다.

다음을 분류하라. (a) 공기 (b) 다이아몬드 (c) 설탕(자당) (d) 우유 (e) 철못이 녹스는 것 (f) 드라이아이스가 승화하는 것

풀이 보기

전략 물리적으로 나뉘는가(혼합물?) → 화학적으로 분해되는가(화합물?) → 변화 후 새 물질이 생기는가(화학 변화?)를 차례로 묻는다.

풀이 (a) N₂·O₂·Ar 등이 고르게 섞인 균일 혼합물. (b) 탄소 원자만으로 된 원소. (c) C₁₂H₂₂O₁₁, 가열하면 탄소와 물로 분해되는 화합물. (d) 지방 방울이 떠 있는 불균일 혼합물(현미경으로 보면 고르지 않다). (e) Fe가 O₂·H₂O와 반응해 산화 철 수화물이 되는 화학 변화. (f) CO₂(s) → CO₂(g), 물질은 그대로인 물리 변화.

(a) 균일 혼합물 (b) 원소 (c) 화합물 (d) 불균일 혼합물 (e) 화학 변화 (f) 물리 변화

검토 맨눈으로 균일해 보여도(우유) 미세하게 불균일할 수 있다. 상태 변화는 아무리 극적이어도 물리 변화다.

SI 단위와 온도

측정값은 숫자 × 단위다. "길이가 3"은 의미가 없고 "3.00 m"여야 한다. 과학에서는 국제단위계 SI(Système International d'Unités)를 쓴다. 2019년부터 일곱 개의 기본 단위가 모두 기본 상수(빛의 속력, 플랑크 상수, 아보가드로 수 등)의 고정값으로 정의된다.

물리량	단위 이름	기호	화학에서의 쓰임
질량	킬로그램	kg	시료의 양(실험실에서는 g)
길이	미터	m	결합 길이(pm, Å)
시간	초	s	반응 속도(13장)
온도	켈빈	K	기체 법칙, 열역학
물질의 양	몰	mol	입자 수 세기(3장)
전류	암페어	A	전기 분해(18장)
광도	칸델라	cd	(화학에서는 드묾)

아주 크거나 작은 양은 10의 거듭제곱을 뜻하는 접두사(prefix)를 붙인다. 1 μg은 $10^{-6}$ g, 1 nm은 $10^{-9}$ m이다.

접두사	기호	배수	예
기가 (giga)	G	10⁹	1 GHz = 10⁹ s⁻¹
메가 (mega)	M	10⁶	1 MJ = 10⁶ J
킬로 (kilo)	k	10³	1 kg = 10³ g
데시 (deci)	d	10⁻¹	1 dm³ = 1 L
센티 (centi)	c	10⁻²	1 cm³ = 1 mL
밀리 (milli)	m	10⁻³	1 mmol = 10⁻³ mol
마이크로 (micro)	μ	10⁻⁶	1 μm = 10⁻⁶ m
나노 (nano)	n	10⁻⁹	가시광선 400–700 nm
피코 (pico)	p	10⁻¹²	C–C 결합 154 pm
펨토 (femto)	f	10⁻¹⁵	원자핵 지름 수 fm

가운데 원의 지름

MINI LAB10의 거듭제곱 여행(슬라이더 대신 그림을 좌우로 끌어도 된다). 한 칸 오른쪽으로 갈 때마다 10배 커진다. 원자(0.1 nm)에서 머리카락(80 μm)까지 거의 6자리, 원자핵(fm)에서 원자까지 다시 5자리다. 접두사 하나(k, m, μ, n, p, f)가 정확히 세 자리씩 건너뛴다는 것을 확인하라.

기본 단위를 조합한 것이 유도 단위(derived unit)다. 부피의 SI 단위는 m³이지만 실험실에서는 리터(L = dm³)와 밀리리터(mL = cm³)를 쓴다. 속력은 m/s, 밀도는 kg/m³(보통 g/cm³), 에너지는 J = kg·m²/s²이다.

질량과 무게

질량(kg)은 물질의 양이고, 무게(N)는 그 질량에 작용하는 중력이다. 달에서 무게는 1/6로 줄지만 질량은 그대로다. 실험실의 "무게를 단다"는 사실 질량을 잰다는 뜻이다.

온도 눈금

온도는 물체가 얼마나 뜨거운지, 곧 입자의 평균 운동 에너지의 척도다. 열은 항상 높은 온도에서 낮은 온도로 흐른다. 세 가지 눈금이 쓰인다.

세 온도 눈금. 켈빈과 섭씨는 눈금 크기가 같고 영점만 273.15만큼 다르다. 화씨는 물의 어는점과 끓는점 사이를 180칸으로 나누어 한 칸이 섭씨의 5/9이다. 켈빈에는 음수가 없다.

$$T(\text{K}) = t(^\circ\text{C}) + 273.15 \qquad\quad t(^\circ\text{F}) = \tfrac{9}{5}\,t(^\circ\text{C}) + 32$$

켈빈은 "도(°)" 없이 K로 쓴다. 온도 차이 10 °C는 10 K와 같고 18 °F와 같다.

섭씨 25는 켈빈으로 , 화씨로 이다.

사람의 정상 체온 98.6 °F를 섭씨와 켈빈으로 나타내라. 또 액체 질소의 끓는점 −196 °C는 화씨로 몇 도인가?

풀이 보기

전략 화씨 → 섭씨는 32를 먼저 빼고 5/9를 곱한다(순서를 바꾸면 틀린다). 섭씨 → 켈빈은 273.15를 더한다.

풀이 $t = \tfrac59(98.6 - 32) = \tfrac59(66.6) = 37.0\,{}^\circ\text{C}$, $T = 37.0 + 273.15 = 310.2\,\text{K}$.
$t_F = \tfrac95(-196) + 32 = -352.8 + 32 = -321\,{}^\circ\text{F}$.

98.6 °F = 37.0 °C = 310.2 K, −196 °C = −321 °F

검토 37.0 °C는 잘 알려진 체온이다. 덧셈의 결과는 소수 자릿수가 가장 적은 항(37.0, 소수 첫째 자리)에 맞춘다 — 다음 절의 규칙이다.

측정의 불확도와 유효숫자

세는 수(달걀 12개, 반응식의 계수 2)나 정의값(1 in = 2.54 cm)은 정확한 수(exact number)다. 그러나 측정한 수에는 반드시 불확도가 있다. 눈금이 0.1 mL인 뷰렛으로 읽은 22.37 mL에서 마지막 7은 눈금 사이를 눈대중한 추정값이다.

정확도와 정밀도

정확도 (accuracy)

측정값(의 평균)이 참값에 얼마나 가까운가. 한쪽으로 일정하게 치우치게 하는 계통 오차(systematic error) — 영점이 안 맞은 저울, 잘못 보정된 피펫 — 가 정확도를 떨어뜨린다. 반복해도 줄지 않는다.

정밀도 (precision)

반복 측정값끼리 얼마나 가까운가. 무작위로 흔들리는 우연 오차(random error) — 눈금 읽기, 온도 요동 — 가 정밀도를 떨어뜨린다. 표준편차로 나타내며 측정을 여러 번 해 평균하면 줄어든다.

정확도와 정밀도의 네 조합. 과녁 중심이 참값, 빨간 점이 반복 측정값이다. 두 번째 과녁처럼 점들이 촘촘히 모여 있어도 중심에서 벗어나 있으면 계통 오차가 있는 것이다.

$$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i \qquad\qquad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N-1}}$$

$\bar x$: 평균, $s$: 표본 표준편차. 정확도는 $|\bar x - x_\text{참}|$로, 정밀도는 $s$로 판단한다.

영점이 0.15 g 어긋난 저울(계통 오차)로 같은 추를 잰다. 측정 횟수를 10번에서 60번으로 늘리면 평균값의 오차는 어떻게 될까?

평균을 많이 내면 우연 오차는 상쇄되지만, 모든 측정을 같은 방향으로 미는 계통 오차는 그대로 남는다. 아래 다트판에서 N을 늘려 보라.

SIMULATOR

다트판으로 보는 정확도와 정밀도

흰 원을 끌어 치우침과 흩어짐을 바꾼다

계통 오차 (치우침) 우연 오차 σ 측정 횟수 N 평균점과 ±s 표시

평균 x̄ (참값 10.00 g)—

표준편차 s—

오차 x̄ − 참값—

판정—

다트판 위의 흰 손잡이 두 개로도 조작할 수 있다: 가운데 손잡이는 겨냥점(계통 오차), 점선 원의 손잡이는 흩어짐(σ)이다. 다트 하나가 측정 하나다. 가로 위치를 저울 눈금으로 읽어 아래 수직선에 옮겼다(판 반지름 = 0.50 g). 해볼 것: ① 계통 오차를 0.3에 두고 N을 60까지 늘려 보라 — 평균은 참값으로 다가가지 않는다. ② 계통 오차를 0으로, σ를 0.3으로 두고 N을 늘리면 흩어짐은 그대로지만 평균은 점점 중심에 가까워진다. ③ "정밀하지만 부정확한" 상태(작은 σ, 큰 치우침)를 만들어 보라. 이것이 가장 위험한 측정이다 — 결과가 그럴듯하게 모여 있어 틀린 줄 모른다.

유효숫자

측정값의 유효숫자(significant figures)는 확실한 숫자 전부에 불확실한 마지막 한 자리를 더한 것이다. 2.50 g은 "2.4와 2.6 사이가 아니라 2.49와 2.51 사이"라는 주장이고, 2.5 g보다 10배 더 정밀하다.

막대 끝의 흰 원을 끌어 보라

자의 눈금

MINI LAB측정 도구의 눈금 읽기. 돋보기 속에서 막대 끝이 두 눈금 사이 어디쯤인지 눈대중으로 한 자리 더 읽는다. 1 mm 자로는 소수 둘째 자리(0.01 cm)까지, 1 cm 자로는 첫째 자리(0.1 cm)까지 쓴다. 같은 막대라도 도구가 정밀할수록 유효숫자가 늘어난다.

유효숫자 세는 규칙

0이 아닌 숫자는 모두 유효하다. (457 → 3개)
0이 아닌 숫자 사이의 0은 유효하다. (1005 → 4개)
앞에 오는 0은 자리만 잡을 뿐 유효하지 않다. (0.0025 → 2개)
소수점이 있는 수의 끝 0은 유효하다. (2.500 → 4개, 100. → 3개)
소수점이 없는 수의 끝 0은 모호하다. 1200은 2–4개일 수 있으므로 지수 표기 $1.20\times10^3$(3개)로 분명히 쓴다.

다음 값의 유효숫자는 몇 개인가? (a) 0.004050 g (b) 5.300 × 10³ m (c) 100.0 mL (d) 1200 kg (e) 시험관 20개

풀이 보기

전략 맨 왼쪽의 0이 아닌 숫자부터 세기 시작한다. 끝 0은 소수점 유무로 판단한다.

풀이 (a) 앞의 0.00은 자리 표시, 4050에서 끝 0은 소수점 뒤이므로 유효 → 4개. (b) 가수 5.300 → 4개. (c) 소수점 뒤 끝 0 포함 → 4개. (d) 모호하다: 최소 2개, 지수 표기 없이는 알 수 없다. (e) 센 수는 정확한 수 → 무한개.

(a) 4 (b) 4 (c) 4 (d) 2–4(모호) (e) 무한(정확한 수)

검토 지수 표기에서는 가수의 자릿수가 곧 유효숫자 개수다. 그래서 과학에서는 지수 표기를 즐겨 쓴다.

계산 결과의 유효숫자

계산은 측정보다 정밀해질 수 없다. 계산기가 내놓는 긴 숫자를 그대로 쓰면, 측정하지도 않은 정밀도를 주장하는 셈이다.

곱셈·나눗셈

결과의 유효숫자 개수는 가장 적은 것에 맞춘다. $3.24 \times 2.1 = 6.804 \to 6.8$ (2개)

덧셈·뺄셈

결과의 소수 자리(마지막 자리 위치)를 가장 높은 것에 맞춘다. $12.11 + 18.0 + 1.013 = 31.123 \to 31.1$ (소수 첫째 자리)

반올림

버릴 첫 숫자가 5 이상이면 올리고 5 미만이면 버린다. 여러 단계 계산에서는 중간값을 반올림하지 말고 한두 자리 더 들고 가다가 마지막에 한 번만 반올림한다.

1 mm 자로 잰 가로 12.34, 1 cm 자로 잰 세로 3.2인 종이의 넓이를 계산기로 구하면 이지만, 보고할 값은 이다.

SIMULATOR

유효숫자 계산기: 자릿수로 보는 반올림 규칙

측정값 A

연산

측정값 B B는 정확한 수(센 수·정의값)

예시 불러오기

A의 유효숫자—

B의 유효숫자—

계산기 값—

보고할 값—

해볼 것: ① 덧셈 예시에서 12.11을 12.1로 바꾸면 결과의 마지막 자리가 어떻게 바뀌는가? ② ‘뺄셈 손실’: 24.5 − 23.86처럼 비슷한 두 수를 빼면 유효숫자가 크게 줄어든다. ③ 곱셈에서 B를 ‘정확한 수’로 체크하면(예: ×2) 결과의 유효숫자는 A만으로 정해진다. 색 숫자는 유효숫자, 흐린 숫자는 자리만 잡는 0이나 버려질 숫자다.

(a) 3.24 m × 2.1 m (b) 12.11 g + 18.0 g + 1.013 g (c) (24.5 − 23.86) ÷ 0.0328 을 올바른 유효숫자로 계산하라.

풀이 보기

전략 곱셈·나눗셈은 개수, 덧셈·뺄셈은 자리. (c)처럼 섞여 있으면 단계별로 규칙을 적용하되 중간값은 반올림하지 않고 "유효한 자리 수"만 기억해 둔다.

풀이 (a) 6.804 → 유효숫자 2개(2.1) → 6.8 m². (b) 31.123 → 소수 첫째 자리(18.0) → 31.1 g. (c) 24.5 − 23.86 = 0.64인데 24.5가 소수 첫째 자리까지이므로 유효한 것은 0.6, 즉 유효숫자 1개. $0.64/0.0328 = 19.5$ → 1개로 반올림하면 $2\times10^1$.

(a) 6.8 m² (b) 31.1 g (c) 2 × 10¹

검토 (c)에서 세 자리짜리 측정값들을 썼지만 뺄셈이 유효숫자를 거의 다 지워 버렸다. 차이가 작은 두 측정값의 뺄셈은 실험 설계에서 피해야 할 함정이다.

차원 분석

단위는 숫자와 똑같이 곱하고 나누고 약분할 수 있다. 이 성질을 이용해 단위를 바꾸는 방법이 차원 분석(dimensional analysis)이다. 같은 양을 두 단위로 쓴 등식, 예컨대 1 in = 2.54 cm에서 두 가지 환산 인자(conversion factor)를 만들 수 있다.

$$\frac{2.54\,\text{cm}}{1\,\text{in}} = 1 \qquad\text{또는}\qquad \frac{1\,\text{in}}{2.54\,\text{cm}} = 1$$

값이 1이므로 어떤 양에 곱해도 양 자체는 바뀌지 않고 단위만 바뀐다. 없애고 싶은 단위가 분모에 오도록 고른다.

바꿀 양을 분수 꼴로 쓴다. 없애야 할 단위는 분자의 mi와 분모의 h다.
mi를 없애려면 mi가 분모에 있는 환산 인자 1609.344 m / 1 mi를 곱한다.
mi가 약분되었다. 이제 분모의 h를 없애려면 h가 분자에 있는 1 h / 3600 s를 곱한다.
h도 약분되어 m/s만 남는다. 숫자를 계산하면 65 × 1609.344 / 3600 = 29.06 → 29 m/s.

환산 사슬. 원하는 단위만 남도록 환산 인자를 이어 곱한다. 단위가 맞게 약분되지 않으면 인자를 뒤집어야 한다는 뜻이다. 정의에 의한 환산 인자(1 mi = 1609.344 m, 1 h = 3600 s)는 정확한 수라서 유효숫자를 제한하지 않는다.

사슬 속 분수를 누르면 위아래가 뒤집힌다

환산 인자 고르기 (누르면 사슬 끝에 붙는다)

CHALLENGE환산 사슬 퍼즐. 인자를 골라 붙이고, 방향이 틀렸으면 사슬 속 분수를 눌러 뒤집어라. 목표 단위만 남으면 성공이다. 쓸모없는 인자도 섞여 있고, 같은 인자를 여러 번 써야 하는 문제(세제곱)도 있다.

양	환산 관계	비고
길이	1 in = 2.54 cm, 1 mi = 1.609344 km, 1 Å = 10⁻¹⁰ m	모두 정의값(정확)
질량	1 lb = 453.59237 g, 1 oz = 28.35 g	lb는 정의값
부피	1 L = 1 dm³ = 1000 cm³, 1 gal(US) = 3.785 L	1 mL = 1 cm³
에너지	1 cal = 4.184 J	열화학 칼로리(정의값)

고속도로 제한 속력 65 mi/h는 몇 m/s인가? km/h로는 얼마인가?

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전략 mi → m(분자), h → s(분모)를 한 줄에 쓴다. 65는 유효숫자 2개, 환산 인자는 정확.

풀이 $$65\,\frac{\text{mi}}{\text{h}}\times\frac{1609.344\,\text{m}}{1\,\text{mi}}\times\frac{1\,\text{h}}{3600\,\text{s}} = 29.06\,\text{m/s} \to 29\,\text{m/s}$$ $65 \times 1.609344 = 104.6$ → $1.0\times10^2$ km/h.

29 m/s ≈ 1.0 × 10² km/h

검토 1 m/s = 3.6 km/h이므로 29 × 3.6 ≈ 104. 두 결과가 일관된다.

거듭제곱 단위의 환산

넓이·부피처럼 단위가 제곱·세제곱이면 환산 인자도 제곱·세제곱해야 한다. 1 m = 100 cm이지만 1 m³ = (100 cm)³ = 10⁶ cm³이다. 가장 흔한 실수 가운데 하나다.

실험실 냉장고의 내부 부피는 0.255 m³이다. 몇 L이고, 몇 ft³인가? (1 ft = 0.3048 m, 정확)

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전략 1 L = 1 dm³ = (0.1 m)³ = 10⁻³ m³. ft³는 (1 ft/0.3048 m)³를 곱한다.

풀이 $0.255\,\text{m}^3\times\dfrac{1\,\text{L}}{10^{-3}\,\text{m}^3} = 255\,\text{L}$. $$0.255\,\text{m}^3\times\left(\frac{1\,\text{ft}}{0.3048\,\text{m}}\right)^3 = \frac{0.255}{0.028317}\,\text{ft}^3 = 9.01\,\text{ft}^3$$

255 L = 9.01 ft³

검토 1 ft³ ≈ 28.3 L이므로 255/28.3 ≈ 9. 인자를 세제곱하지 않았다면 0.837이라는 엉뚱한 값이 나온다.

밀도

같은 1 kg이라도 쇠는 주먹만 하고 스티로폼은 상자만 하다. 단위 부피당 질량, 곧 밀도(density)는 물질마다 다른 세기 성질이라 물질을 확인하는 지문 역할을 한다.

$$d = \frac{m}{V}$$

고체·액체는 g/cm³ = g/mL, 기체는 g/L로 쓴다. 대부분의 물질은 온도가 오르면 팽창해 밀도가 줄어든다. 물은 4 °C에서 최대(0.99997 g/mL), 25 °C에서 0.997 g/mL이다.

물질	밀도 (g/cm³, 25 °C)	물질	밀도 (g/cm³, 25 °C)
공기 (1 atm)	0.00118	알루미늄	2.70
에탄올	0.789	철	7.87
얼음 (0 °C)	0.917	구리	8.96
물	0.997	납	11.3
글리세롤	1.26	수은	13.5
염화 소듐(소금)	2.16	금	19.3

물체를 액체에 넣으면 밀어낸 액체의 무게만큼 위로 미는 힘(부력)을 받는다(아르키메데스 원리). 그래서 물체의 밀도가 액체보다 작으면 뜨고, 크면 가라앉는다. 뜨는 물체는 자기 질량과 같은 질량의 액체를 밀어낼 만큼만 잠기므로 잠긴 비율은 $d_\text{물체}/d_\text{액체}$이다. 빙산의 약 92%가 바닷물 아래에 있는 까닭이다.

물에 뜬 폴리에틸렌(0.95 g/cm³) 조각을 같은 재료로 부피만 8배 크게 만들었다. 물속에 잠기는 비율은 어떻게 될까?

잠긴 비율 = $d_\text{물체}/d_\text{액체}$이고 밀도는 크기와 무관한 세기 성질이다. 아래에서 부피 슬라이더를 끝까지 움직여 보라.

SIMULATOR

밀도 기둥과 부력

물체를 끌어 올렸다가 놓아 보라

물체의 재료 부피 V

용기

액체 (한 액체 모드)

질량 m = dV—

위치—

밀어낸 액체 질량—

도전—

밀도 기둥은 위에서부터 식용유(0.92), 물(0.997), 꿀(1.42)이다. 해볼 것: ① 부피를 바꿔도 뜨고 가라앉는 위치는 변하지 않는다 — 밀도는 세기 성질이다. ② 폴리에틸렌(0.95)은 기름에서는 가라앉고 물에서는 뜬다. 나일론(1.15)과 PVC(1.38)는 어느 경계에 머무는가? ③ ‘한 액체’로 바꾸어 수은을 고르면 철과 납까지 뜬다. 금은 어떤가? ④ 도전: 질량과 부피만 알려 준 미지 물체가 나온다. 밀도를 계산해 물체를 멈출 것 같은 깊이로 끌어다 놓아라. 실제 평형 위치와 0.5 cm 안이면 성공이다.

모양이 불규칙한 금속 조각의 질량이 52.7 g이다. 물 25.0 mL가 든 눈금실린더에 넣었더니 눈금이 31.7 mL가 되었다. 금속의 밀도는? 표의 어떤 금속일 가능성이 큰가?

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전략 잠긴 고체의 부피 = 늘어난 물의 부피. 뺄셈(자리 규칙) 후 나눗셈(개수 규칙)을 차례로 적용한다.

풀이 $V = 31.7 - 25.0 = 6.7$ mL (유효숫자 2개). $d = 52.7\,\text{g}/6.7\,\text{mL} = 7.87 \to 7.9$ g/mL.

d ≈ 7.9 g/cm³ — 철(7.87)일 가능성이 크다

검토 질량은 세 자리지만 부피 차가 두 자리라 결과도 두 자리다. 더 정밀하게 정하려면 더 큰 시료나 더 가는 눈금의 실린더가 필요하다.

질량 52.7인 조각을 물 25.0가 든 눈금실린더에 넣었더니 눈금이 31.7가 되었다. 부피는 , 밀도는 이고, 표에서 가장 가까운 물질은 이다.

에탄올(d = 0.789 g/mL) 250. mL의 질량은? 또 이 에탄올 100. g은 몇 mL인가?

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전략 밀도는 질량과 부피를 잇는 환산 인자다: $\dfrac{0.789\,\text{g}}{1\,\text{mL}}$ 또는 $\dfrac{1\,\text{mL}}{0.789\,\text{g}}$.

풀이 $250.\,\text{mL}\times\dfrac{0.789\,\text{g}}{1\,\text{mL}} = 197\,\text{g}$. $100.\,\text{g}\times\dfrac{1\,\text{mL}}{0.789\,\text{g}} = 127\,\text{mL}$.

197 g, 127 mL

검토 에탄올은 물보다 가벼우므로 같은 질량이면 부피가 더 크고(127 > 100), 같은 부피면 질량이 더 작다(197 < 250).

핵심 정리

법칙은 관찰의 요약(무엇), 이론은 검증된 설명(왜)이다. 과학적 방법은 관찰 → 가설 → 실험을 되풀이한다.
순물질(원소·화합물)은 조성이 일정하고, 혼합물(균일·불균일)은 물리적 방법으로 분리된다. 화학 변화는 새 물질을 만들고 물리 변화는 만들지 않는다.
SI 기본 단위 7개와 접두사(k, c, m, μ, n, p …)를 쓴다. $T(\text{K}) = t(^\circ\text{C}) + 273.15$, $t_F = \tfrac95 t_C + 32$.
정확도는 참값과의 가까움(계통 오차), 정밀도는 반복값끼리의 가까움(우연 오차, 표준편차)이다.
유효숫자: 곱셈·나눗셈은 가장 적은 개수, 덧셈·뺄셈은 가장 높은 마지막 자리에 맞춘다. 정확한 수는 제한하지 않고, 반올림은 마지막에 한 번만.
차원 분석: 없앨 단위가 분모에 오는 환산 인자를 이어 곱한다. 거듭제곱 단위는 인자도 거듭제곱한다.
밀도 $d = m/V$는 세기 성질이며, 액체보다 밀도가 작은 물체는 $d_\text{물체}/d_\text{액체}$만큼 잠긴 채 뜬다.

연습문제

특별한 말이 없으면 답은 유효숫자 3자리로 입력하며 ±1% 이내면 정답이다. "올바른 유효숫자로" 답하라는 문제는 반올림까지 정확해야 한다. 지수는 4.55e4 또는 4.55×10^4로 쓴다.

다음 중 화학 변화는?

녹슮은 Fe가 산소·물과 반응해 새 물질(산화 철 수화물)이 되는 화학 변화다. 나머지는 물질의 정체가 그대로인 물리 변화다(설탕물에서 물을 증발시키면 설탕이 그대로 돌아온다).

다음 중 유효숫자를 제한하지 않는 정확한 수는?

정의에 의한 관계(1 ft = 12 in)와 센 수는 불확도가 없는 정확한 수다. 측정값은 아무리 정밀해도 불확도가 있다.

0.020300 kg의 유효숫자는 몇 개인가?

앞의 0.0은 자리 표시다. 2부터 센다.

2, 0, 3, 0, 0 → 5개. 2와 3 사이의 0은 유효하고, 소수점이 있으므로 끝의 0 두 개도 유효하다.

0.0455 km는 몇 mm인가?

$0.0455\,\text{km}\times\dfrac{10^3\,\text{m}}{1\,\text{km}}\times\dfrac{10^3\,\text{mm}}{1\,\text{m}} = 4.55\times10^4$ mm.

25.0 °C를 화씨와 켈빈으로 나타내라.

$t_F = \tfrac95(25.0)+32 = 77.0$ °F. $T = 25.0 + 273.15 = 298.15 \to 298.2$ K(소수 첫째 자리).

6.022 × 2.5 를 계산해 올바른 유효숫자로 답하라.

계산기 값 15.055, 유효숫자는 2.5에 맞춰 2개 → 15.

102.3 g + 0.0457 g + 13 g 을 올바른 유효숫자로 계산하라.

마지막 자리가 가장 높은 항은 13 (일의 자리)이다.

합 115.3457. 13이 일의 자리까지만 알려져 있으므로 일의 자리에서 반올림 → 115 g.

$\dfrac{8.314 \times 298}{101.3 - 99.8}$ 을 올바른 유효숫자로 계산하라.

분모의 뺄셈 결과는 소수 첫째 자리까지만 유효하다. 몇 개의 유효숫자가 남는가?

분모 1.5(유효숫자 2개), 분자 2477.6(3개, 298에 맞춤). 2477.6/1.5 = 1651.7 → 2개 → $1.7\times10^3$.

빛의 속력 $2.998\times10^8$ m/s는 몇 mi/h인가? (1 mi = 1609.344 m)

$2.998\times10^8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\times\tfrac{3600\,\text{s}}{1\,\text{h}}\times\tfrac{1\,\text{mi}}{1609.344\,\text{m}} = 6.706\times10^8$ mi/h.

전용 면적 84.9 m²인 아파트는 몇 ft²인가? (1 ft = 0.3048 m)

환산 인자를 제곱해야 한다.

$84.9\,\text{m}^2\times\left(\dfrac{1\,\text{ft}}{0.3048\,\text{m}}\right)^2 = 84.9/0.092903 = 914$ ft².

납(d = 11.3 g/cm³) 5.00 kg 덩어리의 부피는?

$V = m/d = 5000\,\text{g}/11.3\,\text{g/cm}^3 = 442$ cm³.

한 변이 2.50 cm인 알루미늄(d = 2.70 g/cm³) 정육면체의 질량은?

$V = (2.50)^3 = 15.6$ cm³, $m = 15.625\times2.70 = 42.2$ g.

질량이 정확히 10.00 g인 표준 추를 한 저울로 다섯 번 쟀더니 10.12, 10.15, 10.09, 10.14, 10.10 g이었다. 평균과 표본 표준편차를 구하라. 이 저울은 정확한가, 정밀한가?

$s = \sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2/(N-1)}$, N − 1 = 4.

$\bar x = 50.60/5 = 10.12$ g. 편차 0, 0.03, −0.03, 0.02, −0.02 → 제곱합 0.0026 → $s = \sqrt{0.0026/4} = 0.0255$ g. 흩어짐(0.03 g)은 작지만 평균이 참값보다 0.12 g, 즉 $s$의 약 5배나 크다. 정밀하지만 정확하지 않다 — 영점 보정이 필요한 계통 오차다.

어린이 해열제의 권장량은 체중 1 kg당 10. mg이다. 체중 42 lb인 어린이에게 아세트아미노펜 160 mg/5.0 mL 시럽을 몇 mL 먹여야 하는가? (1 lb = 0.4536 kg)

$42\,\text{lb}\times\dfrac{0.4536\,\text{kg}}{1\,\text{lb}}\times\dfrac{10.\,\text{mg}}{1\,\text{kg}}\times\dfrac{5.0\,\text{mL}}{160\,\text{mg}} = 5.95$ mL → 유효숫자 2개로 약 6.0 mL. 의료 현장의 투약 계산이 바로 차원 분석이다.

섭씨 온도와 화씨 온도의 수치가 같아지는 온도는?

$t = \tfrac95 t + 32$ → $-\tfrac45 t = 32$ → $t = -40$. −40 °C = −40 °F.

가열 곡선에서 얼음이 녹는 동안(0 °C에서 온도가 일정한 구간) 넣어 준 열은 주로 어디에 쓰이는가?

상태 변화 동안에는 입자의 평균 운동 에너지(온도)가 그대로이고, 들어간 에너지는 입자 사이 인력을 이기는 데 쓰인다. 물 분자 자체는 변하지 않으므로 물리 변화다(가열 곡선 시뮬레이터).

눈금이 1 mm 간격인 자에서 막대 끝이 12.3 cm와 12.4 cm 눈금 사이, 12.3 쪽에서 약 1/3 되는 곳에 있다. 길이를 어떻게 기록해야 하며 유효숫자는 몇 개인가?

확실한 숫자(12.3)에 눈대중한 한 자리를 더한다.

확실한 부분 12.3 cm에 눈금 사이를 10등분해 어림한 3을 붙여 12.33 cm(유효숫자 4개). 마지막 3은 ±1 정도 불확실하다(12.32–12.34도 정답).

얼음(0.917 g/cm³)이 바닷물(1.025 g/cm³)에 떠 있다. 얼음 부피의 몇 %가 수면 아래에 있는가?

잠긴 비율 = $d_\text{얼음}/d_\text{바닷물} = 0.917/1.025 = 0.895$ → 89.5%. 빙산의 약 1/10만 보인다.

어떤 자동차의 연비가 12.5 km/L이다. 미국식 단위 mi/gal로 나타내라. (1 mi = 1.609344 km, 1 gal = 3.785 L)

$12.5\,\dfrac{\text{km}}{\text{L}}\times\dfrac{1\,\text{mi}}{1.609344\,\text{km}}\times\dfrac{3.785\,\text{L}}{1\,\text{gal}} = 29.4$ mi/gal. L은 분모에 있으므로 L이 분자에 오는 인자(3.785 L / 1 gal)를 곱한다.

개념 확인 퀴즈

다음 중 균일 혼합물은?

식초는 아세트산이 물에 고르게 녹은 용액(균일 혼합물)이다. CO₂는 화합물, 구리는 원소, 모래 섞인 물은 불균일 혼합물이다.

다섯 번 측정한 값이 서로 아주 가깝지만 참값과는 멀다. 이 측정은?

값끼리 가까움 = 정밀도, 참값과 가까움 = 정확도. 계통 오차가 있으면 이렇게 된다. 측정 횟수를 늘려도 고쳐지지 않는다.

$1.00\times10^3$ m의 유효숫자는 몇 개인가?

지수 표기에서 유효숫자는 가수(1.00)의 자릿수다.

1 m³는 몇 cm³인가?

(100 cm)³ = 10⁶ cm³. 환산 인자도 세제곱해야 한다. 1 m³ = 1000 L이기도 하다.

밀도가 0.90 g/cm³인 플라스틱 조각을 물(1.00 g/cm³)에 넣었다. 부피의 몇 %가 물속에 잠기는가?

뜨는 물체의 잠긴 비율 = $d_\text{물체}/d_\text{액체} = 0.90$. 크기와 무관하다(밀도는 세기 성질).