Appendix A

유체 물성과 자료

본문의 예제와 연습문제에 필요한 수치를 한곳에 모았다. 표는 그대로 찾아 쓰고, 표 사이 값은 각 절의 계산기에서 바로 읽는다. 특별한 말이 없으면 $g = 9.81\ \text{m/s}^2$, 공기 $R = 287\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, $k = 1.4$, 표준 대기압 $p_{\text{atm}} = 101.325\ \text{kPa}$를 쓴다.

물의 성질 (1 atm, 0–100 °C)

물의 밀도는 0–100 °C에서 4%밖에 변하지 않지만, 점성 계수(dynamic viscosity) $\mu$는 6배 넘게 줄어든다. 그래서 같은 관과 같은 유속이라도 뜨거운 물의 레이놀즈 수가 훨씬 크다. 동점성 계수(kinematic viscosity)는 $\nu = \mu/\rho$, 비중량은 $\gamma = \rho g$이다. 증기압 $p_v$는 공동 현상(1장, 12장), 표면 장력 $\sigma$는 모세관 현상(1장)에 쓴다.

T (°C)	ρ (kg/m³)	γ (kN/m³)	μ (10⁻³ Pa·s)	ν (10⁻⁶ m²/s)	p_v (kPa)	σ (N/m)
0	999.8	9.808	1.792	1.792	0.6113	0.0757
10	999.7	9.807	1.307	1.307	1.228	0.0742
20	998.2	9.792	1.002	1.004	2.339	0.0728
30	995.7	9.768	0.798	0.801	4.246	0.0712
40	992.2	9.733	0.653	0.658	7.384	0.0696
50	988.0	9.692	0.547	0.554	12.35	0.0679
60	983.2	9.645	0.467	0.475	19.94	0.0662
70	977.8	9.592	0.404	0.413	31.19	0.0644
80	971.8	9.533	0.355	0.365	47.39	0.0626
90	965.3	9.470	0.315	0.326	70.14	0.0608
100	958.4	9.402	0.282	0.294	101.3	0.0589

0 °C의 증기압은 삼중점(0.01 °C) 값. 표면 장력은 공기와 접할 때. 체적 탄성 계수 $E_v \approx 2.2\ \text{GPa}$(20 °C), 정압 비열 4.18 kJ/(kg·K), 4 °C에서 밀도 최대 1000.0 kg/m³. 값은 Çengel·White 교재의 물 성질 표와 소수 셋째 자리 안에서 일치한다.

TOOL

물의 물성 계산기

좌우로 끌기

온도 T

그래프

밀도 ρ—

비중량 γ—

점성 계수 μ—

동점성 계수 ν—

증기압 p_v—

표면 장력 σ—

주황 점이 표의 값, 선이 보간 곡선이다. 밀도·표면 장력은 직선 보간, 점성 계수와 증기압은 로그 보간($\ln\mu$, $\ln p_v$를 직선 보간)한다. 해볼 것: ① 20 °C → 80 °C에서 μ가 몇 분의 1이 되는지 읽어 보라(약 1/2.8). ② p_v 그래프는 세로축이 로그다 — 거의 직선이므로 로그 보간이 맞다. ③ 100 °C에서 p_v = 101.3 kPa = 1 atm: 끓는점의 정의.

T = 25의 증기압을 이웃한 두 표 값으로 직선 보간하면 , 로그 보간하면 이다. 안토인 식의 값 과 비교하면

공기의 성질 (1 atm)

공기는 이상 기체로 다룬다. 밀도는 압력에 비례하고 절대 온도에 반비례한다. 기체의 점성 계수는 액체와 반대로 온도가 오르면 커진다(분자 운동량 교환이 활발해진다). 압력에는 거의 무관하므로, 동점성 계수 $\nu = \mu/\rho$는 압력에 반비례한다. 아래 표와 계산기는 서덜랜드 식을 쓴다.

$$\rho = \frac{p}{RT},\qquad \mu = \mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0 + S}{T + S},\qquad c = \sqrt{kRT}$$

$\mu_0 = 1.716\times10^{-5}\ \text{Pa}\cdot\text{s}$, $T_0 = 273.15\ \text{K}$, $S = 110.4\ \text{K}$, $R = 287\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$, $k = 1.4$. T는 절대 온도(K).

T (°C)	ρ (kg/m³)	μ (10⁻⁵ Pa·s)	ν (10⁻⁵ m²/s)	c (m/s)
-40	1.514	1.511	0.998	306.1
-20	1.395	1.615	1.158	318.9
0	1.293	1.716	1.328	331.3
10	1.247	1.765	1.416	337.3
20	1.204	1.813	1.506	343.2
30	1.165	1.861	1.598	349.0
40	1.127	1.907	1.692	354.7
50	1.093	1.953	1.788	360.3
60	1.060	1.999	1.886	365.9
80	1.000	2.087	2.088	376.7
100	0.946	2.173	2.297	387.2
150	0.834	2.379	2.851	412.3
200	0.746	2.571	3.446	436.0

서덜랜드 식은 측정값과 1% 이내로 맞는다(예: 20 °C에서 1.81 × 10⁻⁵ Pa·s, 교재 표 1.82 × 10⁻⁵). 다른 압력에서는 ρ와 ν만 압력비로 바꾼다. 정압 비열 $c_p \approx 1005\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$.

TOOL

공기의 물성 계산기

좌우로 끌기

온도 T 압력 p (kPa, 절대)

그래프

밀도 ρ—

점성 계수 μ—

동점성 계수 ν—

음속 c—

해볼 것: ① 압력을 1013.25(10 atm)로 바꾸면 ρ는 10배, ν는 1/10이 되지만 μ와 c는 그대로다. ② 20 °C에서 공기의 ν는 물의 약 15배 — 공기가 "더 끈적하게" 흐른다는 뜻이다(같은 V, D에서 Re가 1/15). ③ 음속은 $\sqrt T$에 비례한다: −50 °C와 200 °C를 비교해 보라.

기타 액체와 기체

비중 $SG = \rho/\rho_{\text{물, 4 °C}}$(1000 kg/m³ 기준). 마노미터 계산(2장)에는 수은 $SG = 13.6$을 자주 쓴다.

액체 (20 °C, 1 atm)	ρ (kg/m³)	SG	μ (Pa·s)	ν (m²/s)	σ (N/m)
물	998	0.998	1.00 × 10⁻³	1.00 × 10⁻⁶	0.0728
바닷물	1025	1.025	1.07 × 10⁻³	1.04 × 10⁻⁶	0.0735
수은	13550	13.550	1.53 × 10⁻³	1.13 × 10⁻⁷	0.4840
글리세린	1260	1.260	1.410	1.12 × 10⁻³	0.0634
엔진 오일(SAE 30)	891	0.891	0.290	3.25 × 10⁻⁴	0.0350
휘발유	680	0.680	2.90 × 10⁻⁴	4.26 × 10⁻⁷	0.0216
에탄올	789	0.789	1.20 × 10⁻³	1.52 × 10⁻⁶	0.0223
등유	804	0.804	1.92 × 10⁻³	2.39 × 10⁻⁶	0.0280
SAE 10W 오일	870	0.870	0.104	1.20 × 10⁻⁴	0.0360

기체 (20 °C, 1 atm)	R (J/(kg·K))	k	ρ (kg/m³)	μ (10⁻⁵ Pa·s)	ν (10⁻⁵ m²/s)
공기	287.0	1.40	1.204	1.800	1.49
질소 N₂	296.8	1.40	1.165	1.760	1.51
산소 O₂	259.8	1.40	1.330	2.000	1.50
이산화탄소 CO₂	188.9	1.30	1.830	1.480	0.81
메테인 CH₄	518.3	1.32	0.667	1.340	2.01
헬륨 He	2077.0	1.66	0.166	1.970	11.84
수소 H₂	4124.0	1.41	0.0838	0.905	10.80
수증기 H₂O (100 °C)	461.5	1.33	0.588	1.200	2.04

기체 밀도는 $\rho = p/RT$로 계산한 값. 수증기는 100 °C, 1 atm. 수은의 표면 장력은 수은–공기 경계. 오일과 글리세린의 점성은 온도에 매우 민감하다(10 °C 오르면 대략 절반).

지름 D = 5인 관에서 평균 속도 V = 1이면 레이놀즈 수 $Re = VD/\nu$는 물 , 공기 , 엔진 오일 , 글리세린 이다. (2300보다 작으면 층류)

표준 대기 (ISA, 0–20 km)

국제 표준 대기는 해면에서 $T_0 = 288.15\ \text{K}$, $p_0 = 101.325\ \text{kPa}$, $\rho_0 = 1.225\ \text{kg/m}^3$로 시작한다. 대류권(0–11 km)에서는 온도가 일정한 비율 $B = 0.0065\ \text{K/m}$로 떨어지고, 11–20 km(성층권 하부)에서는 216.65 K로 일정하다. 정수압 식 $dp/dz = -\rho g$에 이상 기체 식을 넣어 적분한 결과다(2장).

$$0\le z\le 11\ \text{km}:\ T = T_0 - Bz,\ \ p = p_0\left(1 - \frac{Bz}{T_0}\right)^{g/RB};\qquad 11\text{–}20\ \text{km}:\ p = p_{11}\,e^{-g(z - 11\,\text{km})/RT_{11}}$$

$g/RB = 5.256$, $p_{11} = 22.63\ \text{kPa}$, $T_{11} = 216.65\ \text{K}$. 표준 대기 정의는 $g = 9.80665$, $R = 287.05$를 쓴다.

z (km)	T (K)	T (°C)	p (kPa)	p/p₀	ρ (kg/m³)	ρ/ρ₀	c (m/s)	μ (10⁻⁵ Pa·s)
0	288.15	15.00	101.33	1.0000	1.2250	1.0000	340.3	1.789
0.5	284.90	11.75	95.46	0.9421	1.1673	0.9529	338.3	1.774
1	281.65	8.50	89.87	0.8870	1.1117	0.9075	336.4	1.758
1.5	278.40	5.25	84.56	0.8345	1.0581	0.8637	334.5	1.742
2	275.15	2.00	79.50	0.7846	1.0065	0.8216	332.5	1.726
3	268.65	-4.50	70.11	0.6919	0.9091	0.7421	328.5	1.694
4	262.15	-11.00	61.64	0.6083	0.8191	0.6687	324.5	1.661
5	255.65	-17.50	54.02	0.5331	0.7361	0.6009	320.5	1.628
6	249.15	-24.00	47.18	0.4656	0.6597	0.5385	316.4	1.595
7	242.65	-30.50	41.06	0.4052	0.5895	0.4812	312.2	1.561
8	236.15	-37.00	35.60	0.3513	0.5252	0.4287	308.0	1.527
9	229.65	-43.50	30.74	0.3034	0.4663	0.3807	303.8	1.492
10	223.15	-50.00	26.44	0.2609	0.4127	0.3369	299.4	1.457
11	216.65	-56.50	22.63	0.2234	0.3639	0.2971	295.0	1.422
12	216.65	-56.50	19.33	0.1908	0.3108	0.2537	295.0	1.422
13	216.65	-56.50	16.51	0.1629	0.2655	0.2167	295.0	1.422
14	216.65	-56.50	14.10	0.1392	0.2268	0.1851	295.0	1.422
15	216.65	-56.50	12.04	0.1189	0.1937	0.1581	295.0	1.422
16	216.65	-56.50	10.29	0.1015	0.1654	0.1350	295.0	1.422
18	216.65	-56.50	7.505	0.0741	0.1207	0.0985	295.0	1.422
20	216.65	-56.50	5.475	0.0540	0.0880	0.0719	295.0	1.422

TOOL

고도를 끌어 대기 상태 읽기

위아래로 끌기

고도 z 비행 속도 V

온도 T—

압력 p—

밀도 ρ—

음속 c—

마하 수 V/c—

동압 ½ρV²—

해볼 것: ① 여객기 순항 고도 11 km에서 밀도는 해면의 약 30% — 같은 양력을 얻으려면 더 빨리 날아야 한다. ② 같은 V = 250 m/s라도 고도가 높을수록 음속이 낮아 마하 수가 커진다. ③ 11 km 위에서는 온도가 일정해 p와 ρ가 같은 비율로 지수 감소한다(두 곡선이 나란해진다).

단위 환산

유체역학에서는 압력을 수두(m H₂O, mmHg)로, 점성을 푸아즈(P)·센티푸아즈(cP)로, 동점성을 스토크스(St)·센티스토크스(cSt)로 쓰는 일이 많다. 1 cP = 1 mPa·s(20 °C 물 ≈ 1 cP), 1 cSt = 1 mm²/s(20 °C 물 ≈ 1 cSt).

TOOL

단위 환산기

물리량 값 단위 바꿀 단위

—

물리량	자주 쓰는 환산
압력	1 atm = 101.325 kPa = 1.01325 bar = 760 mmHg = 10.33 m H₂O = 14.696 psi
점성 계수 μ	1 Pa·s = 1 N·s/m² = 1 kg/(m·s) = 10 P = 1000 cP; 1 lbf·s/ft² = 47.88 Pa·s
동점성 계수 ν	1 m²/s = 10⁴ St = 10⁶ cSt; 1 ft²/s = 0.09290 m²/s
유량 Q	1 m³/s = 1000 L/s = 3600 m³/h = 15 850 gal/min(US) = 35.31 ft³/s
동력	1 hp = 745.7 W; 1 PS(미터 마력) = 735.5 W; 수동력 $\dot W = \rho g Q H$
수두 ↔ 압력	$\Delta p = \rho g h$: 물(1000 kg/m³) 1 m = 9.81 kPa, 수은 1 mm = 133.3 Pa
온도	T(K) = T(°C) + 273.15; T(°R) = 1.8 T(K); T(°F) = 1.8 T(°C) + 32

압력차 Δp = 100는 물(998 kg/m³) 기둥 , 바닷물(1025) , 수은(13 550) , 엔진 오일(891) 의 높이에 해당한다($h = \Delta p/\rho g$). 이는 이다.

관 마찰과 부차 손실 자료

다르시–바이스바흐 식 $h_L = f\,(L/D)\,V^2/2g$의 마찰 계수 $f$는 레이놀즈 수와 상대 거칠기 $\varepsilon/D$로 정해진다(8장). 층류(Re < 2300)는 $f = 64/Re$, 난류는 콜브룩 식이나 그 근사식을 쓴다.

$$\text{콜브룩: }\ \frac{1}{\sqrt f} = -2.0\log\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re\sqrt f}\right)$$$$\text{해일란드: }\ \frac{1}{\sqrt f} \approx -1.8\log\left[\frac{6.9}{Re} + \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}\right)^{1.11}\right],\qquad \text{스와미–제인: }\ f \approx \frac{0.25}{\left[\log\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right)\right]^2}$$

콜브룩 식은 $f$에 대해 음함수라 반복해 푼다. 두 근사식은 $4000 < Re < 10^8$에서 콜브룩 식과 약 2% 이내로 맞는다.

관 재질 (새 관)	ε 대표값 (mm)	범위 (mm)
유리, 플라스틱(PVC)	0 (매끈)	≈ 0–0.0015
인발관(구리·황동)	0.0015	—
상용 강관(연강)	0.045	0.02–0.07
아스팔트 코팅 주철관	0.12	—
아연 도금 철관	0.15	0.05–0.25
주철관	0.26	0.13–0.5
목재 판자관	0.5	0.18–0.9
콘크리트관	1.0	0.3–3.0
리벳 강관	3.0	0.9–9.0

부차 손실 요소 ($h_L = K\,V^2/2g$)	K
관 입구: 날카로운 모서리 / 돌출(재돌입) / 잘 둥근 입구	0.5 / 0.8 / 0.03
관 출구(탱크로 방출, 속도 수두 전부 손실)	1.0
급확대 $d \to D$ (작은 관 속도 기준)	$(1 - d^2/D^2)^2$
급축소 $D \to d$ (작은 관 속도 기준, 근사)	$0.42(1 - d^2/D^2)$
90° 엘보: 플랜지(매끈한 굽힘) / 나사	0.3 / 0.9
45° 엘보: 플랜지 / 나사	0.2 / 0.4
180° 리턴 벤드: 플랜지 / 나사	0.2 / 1.5
티: 직진 흐름 / 분기 흐름 (플랜지)	0.2 / 1.0
게이트 밸브: 완전 열림 / ½ 닫힘 / ¾ 닫힘	0.15 / 2.1 / 17
글로브 밸브(완전 열림) / 앵글 밸브(완전 열림)	10 / 5
볼 밸브: 완전 열림 / ½ 열림	0.05 / 5.5
스윙 체크 밸브(정방향)	2

부차 손실 계수는 제조사·크기에 따라 ±50%까지 달라지는 대표값이다. 실제 설계에는 제조사 자료를 쓴다.

TOOL

인터랙티브 무디 선도

점을 끈다

레이놀즈 수 Re 관 재질 관 지름 D

Re · ε/D—

유동 영역—

f (콜브룩)—

해일란드 (차이)—

스와미–제인 (차이)—

완전 거친 극한 f∞—

점을 끌면 가로 위치로 Re가, 세로 위치로 그 점을 지나는 ε/D 곡선이 정해진다. 재질이나 지름을 바꾸면 ε/D가 다시 계산된다. 굵은 선이 지금의 ε/D 곡선, 점선은 완전 거친 영역의 경계($Re\sqrt f\,\varepsilon/D = 200$), 회색 띠는 2300–4000의 천이 구간이다. 해볼 것: ① ε/D = 0.01에서 Re를 10⁶에서 10⁸로 키워도 f가 거의 그대로다(완전 거친 영역). ② 매끈한 관에서는 Re가 클수록 f가 계속 줄어든다. ③ 근사식의 차이가 가장 커지는 곳(Re ≈ 4000 근처)을 찾아보라.

등엔트로피 유동과 수직 충격파 표 (k = 1.4)

정체 상태(0)와 국소 상태의 비, 그리고 목(*)에 대한 면적비는 마하 수만의 함수다(11장).

$$\frac{T_0}{T} = 1 + \frac{k - 1}{2}M^2,\qquad \frac{p_0}{p} = \left(\frac{T_0}{T}\right)^{k/(k-1)},\qquad \frac{\rho_0}{\rho} = \left(\frac{T_0}{T}\right)^{1/(k-1)},\qquad \frac{A}{A^*} = \frac1M\left[\frac{2}{k + 1}\left(1 + \frac{k - 1}{2}M^2\right)\right]^{\frac{k + 1}{2(k - 1)}}$$

마하 각 $\mu = \sin^{-1}(1/M)$(M ≥ 1). M = 1에서 임계비: $T^*/T_0 = 0.8333$, $p^*/p_0 = 0.5283$, $\rho^*/\rho_0 = 0.6339$.

M	p/p₀	T/T₀	ρ/ρ₀	A/A*	마하 각 μ (°)
0.00	1.0000	1.0000	1.0000	∞	—
0.10	0.9930	0.9980	0.9950	5.8218	—
0.20	0.9725	0.9921	0.9803	2.9635	—
0.30	0.9395	0.9823	0.9564	2.0351	—
0.40	0.8956	0.9690	0.9243	1.5901	—
0.50	0.8430	0.9524	0.8852	1.3398	—
0.60	0.7840	0.9328	0.8405	1.1882	—
0.70	0.7209	0.9107	0.7916	1.0944	—
0.80	0.6560	0.8865	0.7400	1.0382	—
0.90	0.5913	0.8606	0.6870	1.0089	—
1.00	0.5283	0.8333	0.6339	1.0000	90.00
1.10	0.4684	0.8052	0.5817	1.0079	65.38
1.20	0.4124	0.7764	0.5311	1.0304	56.44
1.30	0.3609	0.7474	0.4829	1.0663	50.28
1.40	0.3142	0.7184	0.4374	1.1149	45.58
1.50	0.2724	0.6897	0.3950	1.1762	41.81
1.60	0.2353	0.6614	0.3557	1.2502	38.68
1.80	0.1740	0.6068	0.2868	1.4390	33.75
2.00	0.1278	0.5556	0.2300	1.6875	30.00
2.20	0.0935	0.5081	0.1841	2.0050	27.04
2.50	0.0585	0.4444	0.1317	2.6367	23.58
3.00	0.0272	0.3571	0.0762	4.2346	19.47
3.50	0.0131	0.2899	0.0452	6.7896	16.60
4.00	0.00659	0.2381	0.0277	10.7188	14.48
5.00	0.00189	0.1667	0.0113	25.0000	11.54

$$M_2^2 = \frac{M_1^2 + \frac{2}{k - 1}}{\frac{2k}{k - 1}M_1^2 - 1},\qquad \frac{p_2}{p_1} = 1 + \frac{2k}{k + 1}(M_1^2 - 1),\qquad \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(k + 1)M_1^2}{(k - 1)M_1^2 + 2},\qquad \frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2/p_1}{\rho_2/\rho_1}$$

충격파를 지나면 정체 온도 $T_0$는 그대로지만 정체 압력 $p_0$는 줄어든다(엔트로피 증가: $\Delta s/R = -\ln(p_{02}/p_{01})$).

M₁	M₂	p₂/p₁	ρ₂/ρ₁	T₂/T₁	p₀₂/p₀₁
1.00	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
1.10	0.9118	1.2450	1.1691	1.0649	0.9989
1.20	0.8422	1.5133	1.3416	1.1280	0.9928
1.30	0.7860	1.8050	1.5157	1.1909	0.9794
1.40	0.7397	2.1200	1.6897	1.2547	0.9582
1.50	0.7011	2.4583	1.8621	1.3202	0.9298
1.60	0.6684	2.8200	2.0317	1.3880	0.8952
1.70	0.6405	3.2050	2.1977	1.4583	0.8557
1.80	0.6165	3.6133	2.3592	1.5316	0.8127
2.00	0.5774	4.5000	2.6667	1.6875	0.7209
2.20	0.5471	5.4800	2.9512	1.8569	0.6281
2.50	0.5130	7.1250	3.3333	2.1375	0.4990
3.00	0.4752	10.3333	3.8571	2.6790	0.3283
3.50	0.4512	14.1250	4.2609	3.3151	0.2129
4.00	0.4350	18.5000	4.5714	4.0469	0.1388
5.00	0.4152	29.0000	5.0000	5.8000	0.0617

TOOL

등엔트로피 · 수직 충격파 계산기

좌우로 끌기

표

비열비 k

마하 수 M (M₁) A/A* → M 역산

세로축은 로그 눈금이다. 해볼 것: ① 등엔트로피에서 A/A*는 M = 1에서 최소(= 1) — 목에서만 음속이 될 수 있다. ② A/A* 역산 칸에 2를 넣으면 아음속 해 0.306과 초음속 해 2.197이 나온다. ③ 충격파 표에서 M₁ = 1.2이면 p₀₂/p₀₁ = 0.993 — 약한 충격파는 거의 등엔트로피다. M₁ = 3이면 정체 압력의 2/3가 사라진다.

도심과 면적 2차 모멘트

잠긴 평면에 작용하는 힘은 $F_R = \rho g h_c A$, 작용점(압력 중심)은 도심보다 $y_R - y_c = I_{xc}/(y_c A)$만큼 아래에 있다(2장). 여기서 $I_{xc}$는 도심을 지나는 수평축에 대한 면적 2차 모멘트, $y_c$는 자유 표면에서 판을 따라 잰 도심까지의 거리(연직 판이면 $y_c = h_c$)다.

점선이 도심을 지나는 수평축 $x_c$, 주황 점이 도심이다. 삼각형과 반원의 도심은 넓은 쪽(위)으로 치우쳐 있다.

도형	넓이 A	도심 위치	$I_{xc}$ (도심 수평축)
직사각형 (폭 b, 높이 h)	$bh$	위 변에서 $h/2$	$bh^3/12$
원 (반지름 R)	$\pi R^2$	중심	$\pi R^4/4$
삼각형 (밑변 b, 높이 h)	$bh/2$	밑변에서 $h/3$	$bh^3/36$
반원 (반지름 R)	$\pi R^2/2$	지름에서 $4R/3\pi$	$0.1098\,R^4$
사분원 (반지름 R)	$\pi R^2/4$	각 직선 변에서 $4R/3\pi$	$0.05488\,R^4$
타원 (반축 a 가로, b 세로)	$\pi ab$	중심	$\pi ab^3/4$

평행축 정리: 임의의 평행한 축에 대해 $I_x = I_{xc} + A d^2$. 반원의 $I_{xc} = (\pi/8 - 8/9\pi)R^4$.

판을 위아래로 끈다

MINI LAB물(1000 kg/m³)을 막고 있는 연직 벽의 판을 정면에서 본 그림이다. 직사각형 1.2 m × 2 m, 원 R = 1 m, 삼각형 b = 2 m, h = 2 m, 반원 R = 1.2 m. 판을 깊이 내릴수록 힘은 $h_c$에 비례해 커지고, 압력 중심(빨강)은 도심(주황)에 다가간다 — $I_{xc}/(h_cA)$가 $1/h_c$로 줄기 때문이다.

주요 무차원 수

각 무차원 수는 두 힘(또는 두 시간 척도)의 비다. 모형 실험에서 맞춰야 할 수를 고를 때 이 표를 쓴다(7장). L은 대표 길이, V는 대표 속도.

이름	정의	물리적 의미	대표 쓰임 · 기준값
레이놀즈 수 Re	$\rho VL/\mu = VL/\nu$	관성력 / 점성력	관 유동 천이 ≈ 2300(8장), 평판 천이 ≈ 5 × 10⁵(9장)
프루드 수 Fr	$V/\sqrt{gL}$	관성력 / 중력	개수로 Fr = 1이 임계(10장), 선박 조파 저항
마하 수 Ma	$V/c$	관성력 / 압축성(탄성력)	Ma < 0.3이면 비압축성 근사(11장)
웨버 수 We	$\rho V^2L/\sigma$	관성력 / 표면 장력	액적·분무·기포, 얇은 액막
오일러 수 Eu	$\Delta p/\rho V^2$	압력 / 관성력	압력 강하, 압력 계수 $C_p = (p - p_\infty)/\tfrac12\rho V^2$
공동 수 Ca	$(p - p_v)/\tfrac12\rho V^2$	(압력 − 증기압) / 동압	펌프·프로펠러의 공동 현상(12장)
스트로할 수 St	$fL/V$	진동 주기 대 흐름 시간	원주 뒤 와류 방출 St ≈ 0.21(9장)
크누센 수 Kn	$\lambda/L$	분자 평균 자유 행로 / 길이	Kn ≪ 1이면 연속체 가정 성립(1장)
항력·양력 계수 C_D, C_L	$F/\tfrac12\rho V^2A$	힘 / (동압 × 면적)	구 C_D ≈ 0.47(9장)
마찰 계수 f	$h_L\big/\left(\frac LD\frac{V^2}{2g}\right)$	벽 마찰 / 동압	무디 선도(8장)
펌프 계수 C_H, C_Q, C_P	$gH/\omega^2D^2,\ Q/\omega D^3,\ \dot W/\rho\omega^3D^5$	수두·유량·동력의 무차원화	펌프 상사 법칙(12장)

표 읽기 확인 문제

이 부록의 표와 계산기만으로 풀 수 있다. g = 9.81 m/s².

40 °C 물의 동점성 계수를 표의 ρ와 μ로 계산하라.

$\nu = \mu/\rho$. 표에서 μ = 0.653 × 10⁻³ Pa·s, ρ = 992.2 kg/m³.

$\nu = 0.653\times10^{-3}/992.2 = 6.58\times10^{-7}\ \text{m}^2/\text{s}$. 20 °C(1.00 × 10⁻⁶)의 약 2/3이다.

50 °C, 1 atm 공기의 밀도는?

$\rho = p/RT = 101\,325/(287\times323.15) = 1.09\ \text{kg/m}^3$. 공기 표의 50 °C 행과 같다.

엔진 오일(SAE 30, 20 °C)의 μ = 0.29 Pa·s, ρ = 891 kg/m³이다. 점성 계수를 cP로, 동점성 계수를 cSt로 나타내라.

1 cP = 10⁻³ Pa·s, 1 cSt = 10⁻⁶ m²/s.

$\mu = 0.29/10^{-3} = 290\ \text{cP}$. $\nu = 0.29/891 = 3.25\times10^{-4}\ \text{m}^2/\text{s} = 325\ \text{cSt}$.

게이지 압력 250 kPa를 물(998 kg/m³) 기둥과 수은(13 550 kg/m³) 기둥의 높이로 나타내라.

$h = p/\rho g$: 물 $250\,000/(998\times9.81) = 25.5\ \text{m}$, 수은 $250\,000/(13\,550\times9.81) = 1.88\ \text{m}$.

표준 대기에서 고도 8 km의 압력과 밀도는?

$T = 288.15 - 0.0065\times8000 = 236.15\ \text{K}$, $p = 101.325\,(236.15/288.15)^{5.256} = 35.6\ \text{kPa}$, $\rho = p/RT = 35\,600/(287.05\times236.15) = 0.525\ \text{kg/m}^3$.

Re = 10⁵, ε/D = 0.001인 관의 마찰 계수를 콜브룩 식(또는 무디 선도)으로 구하라.

해일란드 식으로 시작값 $1/\sqrt f = -1.8\log[6.9/10^5 + (0.001/3.7)^{1.11}]$을 구한 뒤 콜브룩 식에 한두 번 대입한다.

해일란드: $f_0 = 0.0220$. 콜브룩 반복: $1/\sqrt f = -2\log(0.001/3.7 + 2.51\times6.74/10^5) = 6.716$ → $f = 0.0222$. 무디 시뮬레이터에서 점을 (10⁵, 0.001)에 놓아 확인하라.

공기(k = 1.4)가 M = 2로 등엔트로피 유동할 때 p/p₀와 A/A*는?

$T_0/T = 1 + 0.2\times4 = 1.8$, $p/p_0 = 1.8^{-3.5} = 0.128$, $A/A^* = \tfrac12(1.8/1.2)^{3} = 1.69$.

M₁ = 2, p₁ = 50 kPa, T₁ = 250 K인 공기 흐름에 수직 충격파가 선다. 충격파 뒤의 마하 수, 압력, 온도는?

표의 M₁ = 2 행: M₂ = 0.5774, p₂/p₁ = 4.5, T₂/T₁ = 1.6875. 따라서 p₂ = 225 kPa, T₂ = 250 × 1.6875 = 422 K.

반지름 0.5 m인 원형 수문이 연직 벽에 있고, 도심이 수면 아래 3 m에 있다(물 1000 kg/m³). 수문에 작용하는 힘과, 압력 중심이 도심보다 얼마나 아래에 있는지 구하라.

$A = \pi(0.5)^2 = 0.785\ \text{m}^2$, $F = \rho g h_c A = 1000\times9.81\times3\times0.785 = 23.1\ \text{kN}$. $I_{xc} = \pi R^4/4 = 0.0491\ \text{m}^4$, $y_R - y_c = 0.0491/(3\times0.785) = 0.0208\ \text{m}$.

배의 조파 저항(파도를 만드는 데 드는 저항)을 축소 모형으로 시험할 때 모형과 원형에서 같게 맞춰야 하는 무차원 수는?

자유 표면파는 중력과 관성의 균형으로 생기므로 프루드 수 $V/\sqrt{gL}$를 맞춘다(7장, 10장).

도형	넓이 A	도심 위치	\(I_{xc}\) (도심 수평축)
직사각형 (폭 b, 높이 h)	\(bh\)	위 변에서 \(h/2\)	\(bh^3/12\)
원 (반지름 R)	\(\pi R^2\)	중심	\(\pi R^4/4\)
삼각형 (밑변 b, 높이 h)	\(bh/2\)	밑변에서 \(h/3\)	\(bh^3/36\)
반원 (반지름 R)	\(\pi R^2/2\)	지름에서 \(4R/3\pi\)	\(0.1098\,R^4\)
사분원 (반지름 R)	\(\pi R^2/4\)	각 직선 변에서 \(4R/3\pi\)	\(0.05488\,R^4\)
타원 (반축 a 가로, b 세로)	\(\pi ab\)	중심	\(\pi ab^3/4\)

이름	정의	물리적 의미	대표 쓰임 · 기준값
레이놀즈 수 Re	\(\rho VL/\mu = VL/\nu\)	관성력 / 점성력	관 유동 천이 ≈ 2300(8장), 평판 천이 ≈ 5 × 10⁵(9장)
프루드 수 Fr	\(V/\sqrt{gL}\)	관성력 / 중력	개수로 Fr = 1이 임계(10장), 선박 조파 저항
마하 수 Ma	\(V/c\)	관성력 / 압축성(탄성력)	Ma < 0.3이면 비압축성 근사(11장)
웨버 수 We	\(\rho V^2L/\sigma\)	관성력 / 표면 장력	액적·분무·기포, 얇은 액막
오일러 수 Eu	\(\Delta p/\rho V^2\)	압력 / 관성력	압력 강하, 압력 계수 \(C_p = (p - p_\infty)/\tfrac12\rho V^2\)
공동 수 Ca	\((p - p_v)/\tfrac12\rho V^2\)	(압력 − 증기압) / 동압	펌프·프로펠러의 공동 현상(12장)
스트로할 수 St	\(fL/V\)	진동 주기 대 흐름 시간	원주 뒤 와류 방출 St ≈ 0.21(9장)
크누센 수 Kn	\(\lambda/L\)	분자 평균 자유 행로 / 길이	Kn ≪ 1이면 연속체 가정 성립(1장)
항력·양력 계수 C_D, C_L	\(F/\tfrac12\rho V^2A\)	힘 / (동압 × 면적)	구 C_D ≈ 0.47(9장)
마찰 계수 f	\(h_L\big/\left(\frac LD\frac{V^2}{2g}\right)\)	벽 마찰 / 동압	무디 선도(8장)
펌프 계수 C_H, C_Q, C_P	\(gH/\omega^2D^2,\ Q/\omega D^3,\ \dot W/\rho\omega^3D^5\)	수두·유량·동력의 무차원화	펌프 상사 법칙(12장)