Chapter 10

개수로 유동

강, 운하, 하수관, 빗물이 흐르는 도로 옆 배수로 — 물이 대기에 닿은 자유 표면을 가진 채 중력으로 흐르면 관 유동과 전혀 다른 일이 벌어진다. 수심 자체가 미지수가 되고, 물결이 거슬러 올라갈 수 있느냐 없느냐(프루드 수)에 따라 흐름의 성격이 바뀌며, 빠른 흐름이 갑자기 느려질 때는 수력 도약이라는 거친 물기둥이 선다. 아래 수로에서 하류 수심을 끌어 도약을 움직여 보면서 시작하자.

오른쪽 흰 원(하류 수심)을 위아래로 끌어 보세요

개수로 흐름을 등류·점변류·급변류로 분류하고, 수력 반경 $R_h = A_c/p$와 수력 수심을 구한다.
얕은 물의 표면파 속도 $c_0 = \sqrt{gy}$를 유도하고, 프루드 수로 아임계·임계·초임계 흐름을 판정한다.
비에너지 선도로 교대 수심, 임계 수심 $y_c = (q^2/g)^{1/3}$, $E_\text{min} = 1.5y_c$를 구하고 바닥 융기·폭 변화 위의 수면 변화와 초크를 예측한다.
셰지·매닝 식으로 등류의 유량과 등류 수심을 계산하고, 최적 수리 단면을 설계한다.
점변류 식 $dy/dx = (S_0 - S_f)/(1 - \mathrm{Fr}^2)$로 수면 곡선(M1–S3)의 모양을 판정한다.
운동량 방정식으로 수력 도약의 공액 수심과 에너지 손실을 구하고, 위어·수문으로 유량을 측정한다.

개수로 유동의 분류와 수력 반경

개수로 유동(open-channel flow)은 액체가 대기와 맞닿은 자유 표면(free surface)을 가진 채 흐르는 유동이다. 자유 표면의 압력은 대기압이므로 관 유동처럼 압력 차가 물을 밀어 주지 못한다. 흐름을 일으키는 것은 중력(바닥 경사)이고, 흐름을 막는 것은 바닥과 벽의 마찰이다. 물이 가득 차지 않은 하수관도 개수로다.

관 유동에서는 단면이 정해져 있지만, 개수로에서는 수심 $y$가 흐름에 따라 스스로 정해지는 미지수다. 그래서 같은 유량이라도 수심과 속도의 조합이 여럿 가능하고, 이것이 이 장의 거의 모든 현상의 뿌리다.

개수로의 기본 양. 정수압 분포에서는 단면의 어느 점에서나 $z + p/\rho g$가 수면 높이 $z + y$와 같으므로, 수면선이 곧 수력 구배선이다. 에너지선은 그보다 $V^2/2g$ 위에 있고 마찰 때문에 $S_f$의 기울기로 내려간다.

흐름의 분류

흐름이 시간에 따라 변하지 않으면 정상 흐름(steady flow)이다. 정상 흐름은 다시 흐름 방향으로 수심이 변하는지에 따라 나뉜다.

등류 (uniform flow)

수심과 평균 속도가 일정하다. 바닥 경사가 주는 중력과 마찰이 정확히 균형을 이뤄 $S_f = S_w = S_0$. 이때의 수심이 등류 수심(normal depth) $y_n$이다.

점변류 (gradually varied flow)

수심이 먼 거리에 걸쳐 천천히 변한다. 댐 뒤의 배수, 경사가 바뀌는 곳 등. 단면마다 정수압 분포가 유지된다.

급변류 (rapidly varied flow)

수심이 수심 정도의 짧은 거리에서 급변한다. 수력 도약, 위어 위의 흐름, 수문 아래, 자유 낙하. 유선 곡률이 커서 정수압 가정이 깨진다.

저수지 → 수문 → 빠르고 얕은 흐름 → 수력 도약 → 느리고 깊은 흐름 → 자유 낙하. 한 수로 안에 여러 흐름이 섞여 있다.
등류: 수심이 변하지 않는 구간. 중력과 마찰이 균형을 이룬다.
점변류: 수문 뒤에서 마찰로 서서히 두꺼워지는 구간, 낙하 지점을 향해 서서히 얇아지는 구간.
급변류: 수문 바로 아래, 도약, 낙하 지점. 짧은 거리에서 수심이 크게 변한다.

한 수로 안의 등류·점변류·급변류. 급변류 구간을 검사 체적으로 감싸 운동량·에너지로 풀고, 점변류는 미분 방정식으로 적분한다.

수력 반경과 레이놀즈 수

원형이 아닌 단면의 크기를 하나의 길이로 대표하기 위해 수력 반경(hydraulic radius)을 쓴다. 젖은 단면적 $A_c$를 물이 벽에 닿는 길이인 윤변(wetted perimeter) $p$로 나눈 것이다. 자유 표면은 마찰이 거의 없으므로 윤변에 넣지 않는다.

$$R_h = \frac{A_c}{p}, \qquad y_h = \frac{A_c}{T}, \qquad \mathrm{Re} = \frac{\rho V R_h}{\mu} = \frac{V R_h}{\nu}$$

$T$: 수면 폭, $y_h$: 수력 수심(hydraulic depth)(비직사각형 단면의 프루드 수에 쓴다). 직사각형 단면 $b\times y$에서 $R_h = by/(b+2y)$이고, 폭이 넓은 수로($b \gg y$)에서는 $R_h \approx y$이다. 원형관의 $D_h = 4R_h$와 혼동하지 말 것(만관 원형관에서 $R_h = D/4$).

개수로는 보통 $\mathrm{Re} < 500$이면 층류, $\mathrm{Re} > 2500$이면 난류로 본다($R_h$ 기준). 강과 수로는 거의 언제나 완전 난류이므로, 마찰은 레이놀즈 수보다 거칠기에 좌우된다 — 매닝 식이 레이놀즈 수를 포함하지 않는 이유다.

단면

MINI LAB수면의 흰 원을 위아래로 끌어 수심을 바꿔라. 굵은 주황 선이 윤변이다. 오른쪽 그래프의 점이 $R_h$를 따라 움직인다. 원형관에서는 $R_h$가 만관($y = D$)이 아니라 $y \approx 0.81D$에서 가장 크다 — 꼭대기 가까이에서는 윤변만 늘고 면적은 거의 늘지 않기 때문이다.

바닥 폭 3.0 m, 측면 경사 1:2(연직 1에 수평 2)인 사다리꼴 수로에 물이 1.2 m 깊이로 흐른다. 단면적, 윤변, 수력 반경, 수력 수심을 구하고, 평균 속도가 1.5 m/s일 때 흐름이 층류인지 난류인지 판정하라($\nu = 1.0\times10^{-6}$ m²/s).

풀이 보기

전략 측면 경사 $z = 2$인 사다리꼴: $A_c = (b + zy)y$, $p = b + 2y\sqrt{1+z^2}$, $T = b + 2zy$.

풀이 $A_c = (3.0 + 2.4)(1.2) = 6.48$ m², $p = 3.0 + 2(1.2)\sqrt5 = 8.37$ m, $R_h = 6.48/8.37 = 0.775$ m, $T = 3.0 + 4.8 = 7.8$ m, $y_h = 6.48/7.8 = 0.831$ m. $\mathrm{Re} = VR_h/\nu = (1.5)(0.775)/10^{-6} = 1.16\times10^6$.

$A_c$ = 6.48 m², $p$ = 8.37 m, $R_h$ = 0.775 m, $y_h$ = 0.831 m, Re ≈ 1.2×10⁶ (완전 난류)

검토 $R_h$는 수심보다 작다(벽의 영향). 난류 기준 2500보다 수백 배 크다 — 실제 수로는 사실상 언제나 난류다.

표면파 속도와 프루드 수

잔잔한 연못에 돌을 던지면 원형 물결이 퍼진다. 이 물결의 속도가 개수로의 "음속"이다. 흐름이 물결보다 느리면 하류의 교란(댐, 수문)이 물결을 타고 상류로 전해져 상류 수심을 바꾼다. 흐름이 물결보다 빠르면 하류 소식은 상류로 결코 올라가지 못한다. 압축성 유동의 마하 수와 똑같은 구조다(11장).

얕은 물의 파속

높이 $\delta y$인 작은 파가 수심 $y$인 정지한 물로 $c$의 속도로 들어간다.
파와 같이 움직이는 관찰자에게는 정상 흐름이다. 연속 방정식(단위 폭)에서 $\delta V \approx c\,\delta y/y$.
수평 운동량: 정수압 힘의 차 = 운동량 유출입 차. 두 식을 합치면 $c^2 = gy$.

얕은 물의 파속 유도. 미소량의 곱($\delta y^2$, $\delta y\,\delta V$)은 버렸다. 진폭이 크면 $c^2 = gy(1+\delta y/y)(1+\delta y/2y)$로 더 빨라진다 — 큰 파일수록 빨리 가서 앞이 가팔라진다.

$$c_0 = \sqrt{gy} \qquad (\text{얕은 물, } y \ll \lambda)$$

파장 $\lambda$를 고려한 일반식은 $c^2 = \dfrac{g\lambda}{2\pi}\tanh\dfrac{2\pi y}{\lambda}$이다. $y < \lambda/20$ 정도면 $\tanh x \approx x$라서 $\sqrt{gy}$, 깊은 물($y > \lambda/2$)에서는 $\sqrt{g\lambda/2\pi}$로 수심과 무관해진다. 표면 장력은 파장 수 cm 이하의 잔물결에서만 중요하다.

쓰나미는 얕은 물의 파다

대양의 깊이 4000 m는 쓰나미 파장(수백 km)에 비하면 아주 얕다. 그래서 $c = \sqrt{9.81\times4000} = 198$ m/s ≈ 710 km/h — 제트기만큼 빠르다. 해안에 다가오며 수심이 줄면 느려지고, 뒤따르는 물이 쌓여 파고가 높아진다.

프루드 수

흐름 속도와 파속의 비가 프루드 수(Froude number)다(7장의 무차원 수 Fr). 비직사각형 단면에서는 $y$ 대신 수력 수심 $y_h = A_c/T$를 쓴다.

$$\mathrm{Fr} = \frac{V}{\sqrt{g\,y_h}}\qquad\begin{cases}\mathrm{Fr} < 1 & \text{아임계 흐름(subcritical): 느리고 깊다, 파가 상류로 간다}\\ \mathrm{Fr} = 1 & \text{임계 흐름(critical)}\\ \mathrm{Fr} > 1 & \text{초임계 흐름(supercritical): 빠르고 얕다, 파가 상류로 못 간다}\end{cases}$$

흐르는 물 위에서 파는 상류로 $c_0 - V$, 하류로 $c_0 + V$의 속도로 간다(땅 기준). $\mathrm{Fr} > 1$이면 상류 쪽 속도가 음수 — 모든 교란이 하류로 휩쓸려 가고, 점 교란은 반각 $\mu = \sin^{-1}(1/\mathrm{Fr})$인 쐐기 모양 물결을 남긴다(마하 원뿔과 같다).

수심 2.0인 수로에 물이 1.2로 흐른다. 파속은 $c_0 = \sqrt{gy}$ = , 프루드 수는 로 .

$\mathrm{Fr} = 2$로 빠르게 흐르는 물에 돌을 던졌다. 돌이 떨어진 지점보다 상류에 물결이 닿을까?

물결의 상류쪽 끝은 $c_0 - V = c_0(1-\mathrm{Fr}) < 0$으로 움직인다 — 하류로 간다. 아래에서 유속을 바꿔 가며 확인하고, 연속 교란(막대)을 켜서 쐐기가 생기는 것을 보라.

SIMULATOR

흐르는 물에 돌 던지기 (위에서 본 수로)

수면을 누르면 돌이 떨어진다 · 막대(흰 원)는 끌어 옮긴다

유속 V 수심 y 막대 꽂기(연속 교란, 0.3 s마다 물결) 이론 쐐기선 $\sin\mu = 1/\mathrm{Fr}$

파속 c₀ = √(gy)—

Fr = V/c₀—

상류쪽 파 속도 c₀ − V—

쐐기 반각 μ—

작은 점은 물과 함께 떠내려가는 부유물이다. 해볼 것: ① V = 0에서 동심원, V를 키우면 원의 중심이 하류로 흘러가며 상류쪽 간격이 좁아진다. ② Fr = 1(예: y = 1 m에서 V ≈ 3.1 m/s)에서 물결의 상류 끝이 돌이 떨어진 자리에 멈춘다. ③ 막대를 켜고 Fr = 2로 맞추면 반각 30°인 쐐기가 생긴다. 수심을 줄이면 같은 V에서도 Fr이 커져 쐐기가 좁아진다.

수심 2.0 m인 넓은 강이 1.2 m/s로 흐른다. (a) 얕은 물 파속과 프루드 수, (b) 상류·하류로 가는 파의 속도(땅 기준), (c) 100 m 하류에서 생긴 교란이 상류 관측점에 닿는 시간을 구하라.

풀이 보기

전략 $c_0 = \sqrt{gy}$, 흐르는 물 위의 파는 $c_0 \mp V$.

풀이 (a) $c_0 = \sqrt{(9.81)(2.0)} = 4.43$ m/s, $\mathrm{Fr} = 1.2/4.43 = 0.271$. (b) 상류로 $4.43 - 1.2 = 3.23$ m/s, 하류로 $4.43 + 1.2 = 5.63$ m/s. (c) $t = 100/3.23 = 31.0$ s.

(a) 4.43 m/s, Fr = 0.271 (아임계) (b) 3.23 m/s, 5.63 m/s (c) 31.0 s

검토 아임계이므로 하류 교란이 상류로 전해진다. 하천에 보를 세우면 상류 수위가 오르는 것(배수 효과)도 이 때문이다.

비에너지와 임계 수심

수로 바닥에서 잰 단위 무게당 에너지를 비에너지(specific energy)라 한다. 전수두 $H = z + y + V^2/2g$에서 바닥 높이 $z$를 뺀 것이다. 폭 $b$인 직사각형 수로에서 단위 폭 유량 $q = Q/b = Vy$를 쓰면

$$E_s = y + \frac{V^2}{2g} = y + \frac{q^2}{2g\,y^2}$$

$q$가 정해지면 $E_s$는 수심 $y$만의 함수다. $y \to 0$이면 속도 수두가 무한대로, $y \to \infty$이면 $E_s \to y$(45° 선)로 다가간다.

비에너지 선도. 하나의 $E_s > E_\text{min}$에 두 수심 — 교대 수심(alternate depths) — 이 대응한다. 곡선의 코(최소점)가 임계 상태이고, 유량이 클수록 곡선이 오른쪽으로 밀려난다.

임계 수심

$dE_s/dy = 1 - q^2/(gy^3) = 0$에서 비에너지가 최소가 된다. 이 수심이 임계 수심(critical depth)이다.

$$y_c = \left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}, \qquad V_c = \sqrt{g\,y_c}\;(\mathrm{Fr} = 1), \qquad E_\text{min} = y_c + \frac{y_c}{2} = \frac32\,y_c$$

임계 상태에서는 속도 수두가 수심의 정확히 절반이다. 일반 단면에서는 $dE_s/dy = 1 - Q^2T/(gA_c^3) = 0$, 즉 $Q^2 T_c/(g A_c^3) = 1$이 임계 조건이고 이는 $\mathrm{Fr} = V/\sqrt{gA_c/T} = 1$과 같다.

$dE_s/dy = 1 - \mathrm{Fr}^2$이므로 윗가지($dE_s/dy > 0$)는 아임계, 아랫가지($dE_s/dy < 0$)는 초임계다. 임계점 근처에서는 $E_s$가 조금만 변해도 수심이 크게 출렁인다 — 임계 수심 부근의 흐름이 불안정하고 물결이 이는 이유다.

폭 4.0인 직사각형 수로에 12.0가 흐르면 $q$ = , 임계 수심 $y_c$ = , 임계 속도 , $E_\text{min}$ = 이다. 실제 수심이 0.50이면 Fr = ()이고, 같은 비에너지 $E_s$ = 를 갖는 교대 수심은 이다.

폭 4.0 m인 직사각형 수로에 12 m³/s가 수심 0.50 m로 흐른다. 흐름의 상태, 비에너지, 임계 수심과 최소 비에너지, 그리고 교대 수심을 구하라.

풀이 보기

전략 $q = Q/b$로 $E_s$와 $y_c$를 구한 뒤, 같은 $E_s$를 주는 다른 근을 3차 방정식 $y^3 - E_s y^2 + q^2/2g = 0$에서 찾는다(반복법).

풀이 $q = 3.0$ m²/s, $V = 6.0$ m/s, $\mathrm{Fr} = 6.0/\sqrt{(9.81)(0.50)} = 2.71$ → 초임계. $E_s = 0.50 + 6.0^2/19.62 = 2.33$ m. $y_c = (9/9.81)^{1/3} = 0.972$ m, $E_\text{min} = 1.46$ m. 교대 수심: $y = 2.335 - 0.4587/y^2$를 $y = 2.3$에서 시작해 반복하면 $y \to 2.24$ m.

초임계(Fr = 2.71), $E_s$ = 2.33 m, $y_c$ = 0.972 m, $E_\text{min}$ = 1.46 m, 교대 수심 2.24 m (Fr = 0.285)

검토 교대 수심은 $y_c$를 사이에 두고 한쪽은 얕고 한쪽은 깊다. 에너지는 같지만 2.24 m 쪽은 속도 수두가 0.09 m에 불과하다. 이 둘이 수력 도약의 공액 수심과는 다르다는 점에 주의(10.6절).

바닥 융기 위의 흐름과 초크

마찰을 무시하면 전수두가 보존되므로, 높이 $\Delta z$인 바닥 융기 위에서는 비에너지가 그만큼 줄어든다: $E_{s2} = E_{s1} - \Delta z$. 비에너지 선도에서 점이 같은 가지를 따라 왼쪽으로 $\Delta z$만큼 이동한다. 이를 미분형으로 쓰면

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1-\mathrm{Fr}^2}\,\frac{dz}{dx}, \qquad \frac{d(y+z)}{dx} = -\frac{\mathrm{Fr}^2}{1-\mathrm{Fr}^2}\,\frac{dz}{dx}$$

아임계($\mathrm{Fr}<1$): 융기 위에서 수심도, 수면도 내려간다. 초임계($\mathrm{Fr}>1$): 수심도 수면도 올라간다. $\mathrm{Fr} = 1$에서 식이 발산 — 임계 상태는 융기의 꼭대기($dz/dx = 0$)에서만 가능하다.

융기가 너무 높아 $E_{s1} - \Delta z < E_\text{min}$이 되면 주어진 유량이 그 위를 넘어갈 수 없다. 이를 초크(choking)라 한다. 그러면 상류 수심이 올라가 에너지를 더 갖추고($E_{s1}' = E_\text{min} + \Delta z$), 꼭대기에서 정확히 임계 수심이 되어 넘어간 뒤 하류에서는 초임계로 흘러내린다. 따라서 초크 없이 넘을 수 있는 최대 융기는 $\Delta z_\text{max} = E_{s1} - \tfrac32 y_c$이다.

느리게(아임계로) 흐르는 수로 바닥에 낮은 둔덕이 있다. 둔덕 위의 수면은 상류보다?

아임계에서 $E_s$가 줄면 윗가지를 따라 수심이 $\Delta z$보다 더 많이 준다. 그래서 바닥이 올라가도 수면은 내려간다. 아래에서 융기를 끌어 올리며 왼쪽 수면과 오른쪽 선도의 두 점을 함께 보라. 초임계로 바꾸면 반대가 된다.

SIMULATOR

비에너지 선도와 바닥 융기 (도전: 초크 직전까지)

융기 꼭대기 · 점 ①을 끈다

단위 폭 유량 q 융기 높이 Δz

상류 흐름

상류 y₁, Fr₁—

E₁ / E_min—

꼭대기 y₂, Fr₂—

수면 변화 Δ(y+z)—

Δz_max (초크 한계)—

왼쪽 점선은 에너지선이다(마찰 없음 → 수평). 해볼 것: ① 아임계에서 융기를 높이면 수면이 내려가고, 오른쪽 점 ②가 윗가지를 따라 코 쪽으로 간다. ② 초임계로 바꾸면 수면이 올라간다. ③ 점 ②가 코를 넘어가면 초크 — 상류 수심이 높아지고(①′) 꼭대기에서 임계 수심, 하류는 초임계가 된다. 도전: 숫자가 가려진 상태에서 선도만 보고 초크가 일어나지 않는 가장 높은 융기를 맞혀라(97% 이상이면 완벽).

넓은 직사각형 수로에 $q = 2.0$ m²/s가 수심 1.50 m로 흐른다. 바닥에 높이 0.15 m인 매끈한 둔덕이 있다. 마찰을 무시할 때 (a) 둔덕 꼭대기의 수심과 수면 변화, (b) 초크가 일어나지 않는 최대 둔덕 높이를 구하라.

풀이 보기

전략 $\mathrm{Fr}_1$로 가지를 정하고, $E_{s2} = E_{s1} - \Delta z$를 만족하는 같은 가지의 근을 찾는다.

풀이 $V_1 = 1.333$ m/s, $\mathrm{Fr}_1 = 1.333/\sqrt{(9.81)(1.50)} = 0.348$ → 아임계. $E_{s1} = 1.50 + 1.333^2/19.62 = 1.591$ m, $E_{s2} = 1.441$ m. $y = 1.441 - 0.2039/y^2$를 반복하면 $y_2 = 1.324$ m. 수면 변화 $= (y_2 + \Delta z) - y_1 = 1.474 - 1.500 = -0.026$ m. (b) $y_c = (4/9.81)^{1/3} = 0.742$ m, $E_\text{min} = 1.112$ m, $\Delta z_\text{max} = 1.591 - 1.112 = 0.478$ m.

(a) $y_2$ = 1.32 m, 수면이 약 2.6 cm 내려간다 (b) $\Delta z_\text{max}$ = 0.478 m

검토 시뮬레이터에서 q = 2.0, 아임계 y₁ = 1.50 m로 맞추면 같은 값이 나온다. 수면 강하가 작은 것은 Fr이 작아 $\mathrm{Fr}^2/(1-\mathrm{Fr}^2) = 0.14$이기 때문이다.

수로 폭의 변화

바닥은 그대로 두고 폭을 $b_1$에서 $b_2$로 좁히면 비에너지는 같고 단위 폭 유량이 $q_2 = Q/b_2$로 커진다. 비에너지 선도에서는 점이 더 큰 $q$의 곡선으로 옮겨 간다. 같은 $E_s$에서 $q$가 커지면 아임계는 수심이 줄고, 초임계는 수심이 는다 — 융기와 같은 경향이다. 너무 좁히면 $E_s < \tfrac32 y_{c2}$가 되어 초크가 생긴다. 초크 없이 흘릴 수 있는 최대 단위 폭 유량은 $q_\text{max} = \sqrt{g\,(2E_s/3)^3}$이다.

폭 비 b₂/b₁

상류

MINI LAB폭 3 m 수로에 Q = 6 m³/s. 위는 평면도, 아래는 옆에서 본 수면이다. 폭 비를 줄이며 아임계에서는 수면이 가라앉고 초임계에서는 솟는 것, 그리고 어느 폭 이하에서 초크가 생기는지 찾아라.

등류: 셰지 식과 매닝 식

긴 수로에서 경사와 거칠기, 단면이 일정하면 흐름은 결국 수심이 변하지 않는 등류에 이른다. 길이 $L$인 검사 체적을 생각하자. 수심이 같으므로 양 끝의 정수압 힘은 상쇄되고, 운동량도 변하지 않는다. 남는 것은 물 무게의 경사 방향 성분과 벽 마찰뿐이다.

$$\rho g A_c L\sin\theta = \tau_w\,p\,L \quad\Rightarrow\quad \tau_w = \rho g R_h S_0 \qquad (S_0 = \tan\theta \approx \sin\theta)$$

벽 전단 응력을 관 유동처럼 $\tau_w = (f/8)\rho V^2$으로 쓰면 아래 셰지 식이 나온다. 이 결과는 에너지 방정식의 수두 손실 $h_L = S_0 L$과 같은 말이다.

$$V_0 = C\sqrt{R_h S_0}, \quad C = \sqrt{8g/f}\ (\text{셰지 계수}) \qquad\qquad V_0 = \frac{a}{n}R_h^{2/3}S_0^{1/2}, \quad \dot V = \frac{a}{n}A_c R_h^{2/3}S_0^{1/2}$$

왼쪽: 셰지 식(Chézy equation, 1769). 오른쪽: 매닝 식(Manning equation, 1889) — 실험으로 $C = (a/n)R_h^{1/6}$임을 얻은 것. $n$은 매닝 계수(Manning coefficient)이고, $a = 1$ m$^{1/3}$/s(SI) 또는 1.486 ft$^{1/3}$/s(영국 단위)이다. 이 책에서는 SI만 쓰며 $a$를 생략한다.

수로 표면	매닝 n	수로 표면	매닝 n
유리	0.010	굴착 흙 수로(깨끗함)	0.022
마감 콘크리트	0.012	굴착 흙 수로(자갈 섞임)	0.025
주철	0.013	굴착 흙 수로(잡초)	0.030
미마감 콘크리트	0.014	자연 하천(깨끗하고 곧음)	0.030
벽돌	0.015	자연 하천(완만, 깊은 웅덩이)	0.040
아스팔트	0.016	범람원(관목)	0.050
파형 금속관	0.022	범람원(나무)	0.15

매닝 식은 SI 단위에서만 맞는 차원이 있는 경험식이다($n$에 단위 s/m$^{1/3}$을 붙이기도 한다). 완전 난류를 전제로 하므로 Re가 아주 작은 얇은 흐름에는 맞지 않는다.

매닝 계수 0.012, 수력 반경 0.62, 바닥 경사 0.0010인 등류의 평균 속도는 이다(셰지 계수 C = , 마찰 계수로 환산하면 f = ). 벽 전단 응력은 $\tau_w = \rho g R_h S_0$ = .

바닥 폭 2.0 m, 측면 경사 45°(1:1)인 마감 콘크리트($n = 0.012$) 사다리꼴 수로가 경사 0.001로 놓여 있다. 등류 수심이 1.0 m일 때 유량과 프루드 수를 구하라.

풀이 보기

전략 단면 기하 → $R_h$ → 매닝 식. 프루드 수는 수력 수심 $y_h = A_c/T$로.

풀이 $A_c = (2.0 + 1.0)(1.0) = 3.0$ m², $p = 2.0 + 2\sqrt2 = 4.83$ m, $R_h = 0.621$ m. $V = (1/0.012)(0.621)^{2/3}(0.001)^{1/2} = 1.92$ m/s, $\dot V = (3.0)(1.92) = 5.76$ m³/s. $T = 4.0$ m, $y_h = 0.75$ m, $\mathrm{Fr} = 1.92/\sqrt{(9.81)(0.75)} = 0.707$.

$\dot V$ ≈ 5.76 m³/s, V = 1.92 m/s, Fr = 0.71 (아임계)

검토 아래 수로 설계기에서 같은 조건(사다리꼴 1:1, b = 2, y = 1, S₀ = 0.001, n = 0.012)을 넣어 확인하라.

등류 수심과 최적 수리 단면

유량을 주고 수심 $y_n$을 구하는 문제는 $A_c R_h^{2/3}$가 $y$의 복잡한 함수라서 반복법(또는 근 찾기)으로 푼다. 반대로 같은 유량을 가장 작은 단면적으로 흘리려면 같은 면적에서 윤변이 가장 짧아야 한다($\dot V \propto A_c^{5/3}/p^{2/3}$). 이런 단면을 최적 수리 단면(best hydraulic cross section)이라 한다.

직사각형과 사다리꼴의 최적 단면

직사각형: $A_c = by$ 고정에서 $p = A_c/y + 2y$. $dp/dy = -A_c/y^2 + 2 = 0$ → $A_c = 2y^2$, 즉 $b = 2y$, $R_h = y/2$. 사다리꼴(측면이 수평과 $\theta$): $A_c = (b + y\cot\theta)y$, $p = b + 2y/\sin\theta$. $b$를 소거하고 $y$와 $\theta$에 대해 $p$를 최소화하면 $\theta = 60°$, $b = 2y/\sqrt3$ — 정육각형의 절반이다. 이때도 $R_h = y/2$. 모든 단면 중 최적은 반원이다.

측면

b/y

MINI LAB단면적을 4 m²로 고정하고 바닥 폭과 수심의 비만 바꾼다. 오른쪽 그래프의 점이 윤변 $p$를 따라 움직인다. 최소점이 직사각형에서 b/y = 2, 60° 사다리꼴에서 b/y = 1.15임을 확인하고, 같은 경사·n에서 흘릴 수 있는 유량(최적 대비 %)을 보라.

SIMULATOR

매닝 수로 설계기 (도전: 목표 유량을 가장 작은 단면으로)

흰 원: 수면(수심)과 바닥 모서리(폭)를 끈다

단면

바닥 경사 S₀ 표면

A_c, p—

R_h—

평균 속도 V—

유량 Q—

Fr—

단면 색은 벽에서 멀수록 빠르다는 난류 속도 분포의 근사다(최대 속도는 수면 가까운 가운데). 위 띠의 점은 V로 흘러가는 부유물이다. 해볼 것: ① 경사를 4배로 하면 Q가 2배($S_0^{1/2}$). ② 수심을 2배로 하면 Q는 2배보다 훨씬 커진다. ③ 같은 단면에서 콘크리트 → 잡초 수로로 바꾸면 Q가 절반 이하. 도전: 목표 Q ±3% 안에 들면서 단면적이 가장 작게 — 최적 수리 단면(점선)을 찾아라.

폭 3.0 m인 벽돌($n = 0.015$) 직사각형 수로가 경사 0.0016으로 6.0 m³/s를 흘린다. (a) 등류 수심과 흐름 상태를 구하라. (b) 같은 유량·경사·재료에서 최적 수리 단면(직사각형)의 폭과 수심, 단면적은?

풀이 보기

전략 (a) $6.0 = (1/0.015)(3y)\left(\dfrac{3y}{3+2y}\right)^{2/3}(0.04)$를 $y$에 대해 푼다. (b) $b = 2y$, $A_c = 2y^2$, $R_h = y/2$를 대입하면 $y$만의 식.

풀이 (a) 시행: $y = 1.0$ → $\dot V = 5.67$, $y = 1.05$ → 6.04, 보간·반복으로 $y_n = 1.039$ m. $V = 1.93$ m/s, $\mathrm{Fr} = 1.93/\sqrt{9.81\times1.039} = 0.603$; $y_c = (2^2/9.81)^{1/3} = 0.742$ m $< y_n$ → 아임계(완경사). (b) $6.0 = (1/0.015)(2y^2)(y/2)^{2/3}(0.04)$ → $y^{8/3} = 1.786$ → $y = 1.243$ m, $b = 2.486$ m, $A_c = 3.09$ m².

(a) $y_n$ = 1.04 m (Fr = 0.60, 아임계) (b) b = 2.49 m, y = 1.24 m, $A_c$ = 3.09 m² (원래 3.12 m²)

검토 원래 단면(b/y = 2.89)도 최적(b/y = 2)에 가까워 면적 차이는 1%뿐이다 — 최적점 근처에서 $p$의 곡선이 평평하기 때문이다(위 미니 실험). 실제 설계는 굴착·여유고·용지 비용까지 따진다.

점변류와 수면 곡선

댐 뒤, 경사가 바뀌는 곳, 수문 아래처럼 등류가 깨진 곳에서는 수심이 먼 거리에 걸쳐 천천히 변한다. 각 단면에서 정수압 분포와 등류의 마찰 법칙(매닝 식)이 그 자리의 수심으로 성립한다고 가정하고, 전수두 $H = z + y + V^2/2g$를 $x$로 미분하자. $dz/dx = -S_0$, $dH/dx = -S_f$이고, 직사각형 수로에서 $\dfrac{d}{dx}\dfrac{V^2}{2g} = -\dfrac{q^2}{gy^3}\dfrac{dy}{dx} = -\mathrm{Fr}^2\dfrac{dy}{dx}$이므로

$$\frac{dy}{dx} = \frac{S_0 - S_f}{1 - \mathrm{Fr}^2}, \qquad S_f = \frac{n^2V^2}{R_h^{4/3}}$$

$S_f$: 에너지선 경사(마찰 경사). $y > y_n$이면 $S_f < S_0$, $y > y_c$이면 $\mathrm{Fr} < 1$. 분자와 분모의 부호만으로 수면이 올라가는지 내려가는지 알 수 있다.

바닥 경사는 등류 수심과 임계 수심의 대소로 나눈다: 완경사(Mild, $y_n > y_c$), 급경사(Steep, $y_n < y_c$), 임계 경사(C), 수평(H, $S_0 = 0$), 역경사(A, $S_0 < 0$). 실제 수심이 두 기준 수심보다 모두 크면 영역 1, 사이면 2, 모두 작으면 3이다. 이 조합이 수면 곡선의 이름이다.

곡선	수심 범위	dy/dx	대표적인 곳
M1	$y > y_n > y_c$	+ (하류로 깊어짐)	완경사 하천의 댐·보 뒤 (배수 곡선)
M2	$y_n > y > y_c$	− (얕아짐)	자유 낙하·급경사로 바뀌는 곳의 상류 (저하 곡선)
M3	$y_n > y_c > y$	+	완경사 수로의 수문 아래 → 도약으로 끝남
S1	$y > y_c > y_n$	+	급경사 수로 끝의 댐 앞 (도약 뒤)
S2	$y_c > y > y_n$	−	완경사 → 급경사로 바뀐 직후
S3	$y_c > y_n > y$	+	급경사 수로의 수문 아래
H2, A2 / H3, A3	$y > y_c$ / $y < y_c$	− / +	수평·역경사 수로의 낙하 상류 / 수문 아래

규칙은 둘이다. ① 수면은 $y \to y_n$에서 등류 수심선에 점근적으로 다가간다(분자 → 0). ② $y \to y_c$에서 $dy/dx \to \infty$ — 수면이 연직이 되려 하므로 점변류 가정이 깨지고, 수력 도약(초임계 → 아임계)이나 자유 낙하(아임계 → 임계)가 일어난다. 아임계 흐름은 하류의 조건이, 초임계 흐름은 상류의 조건이 지배한다(파가 가는 방향).

완경사 수로에서 $y_n$과 $y_c$ 두 선이 공간을 세 영역으로 나눈다.
하류에 댐: 수심이 $y_n$보다 커진다(영역 1). 상류로 가며 $y_n$에 점근 — M1.
하류 끝이 자유 낙하: 수심이 $y_n$과 $y_c$ 사이(영역 2), 끝에서 $y_c$ 부근 — M2.
수문 아래 초임계 흐름(영역 3): 마찰로 두꺼워지다 $y_c$에 닿기 전 도약 — M3.

완경사 수로의 세 가지 수면 곡선. 급경사 수로에서는 $y_c$선이 $y_n$선 위로 올라가 S1–S3가 된다.

완경사의 긴 하천 하류 끝에 보를 세워 수심을 등류 수심보다 높였다. 보에서 상류로 갈수록 수심은?

M1 곡선이다. 분자 $S_0 - S_f$가 $y \to y_n$에서 0으로 가므로 점근적으로 다가가고, 경사가 작을수록 그 거리가 길다. 아래에서 길이 축(km)을 확인하라.

SIMULATOR

수면 곡선 적분기 (M · S · H · A 곡선)

제어 수심(흰 원)을 위아래로 끈다

바닥 경사

제어 위치

기울기 부호 화살표

S₀—

y_n / y_c—

곡선—

특징 거리—

넓은 직사각형 수로, q = 2 m²/s, n = 0.02 (y_c = 0.742 m). 그림은 바닥을 수평으로 펴고 수심만 그렸으며 세로를 크게 과장했다. 해볼 것: ① 완경사·하류 제어에서 제어 수심을 y_n 위/아래로 옮겨 M1·M2를 만들고, 상류에서 y_n에 점근하는 것을 보라. ② 상류 제어로 바꿔 M3 → 도약. ③ 급경사에서 하류 제어 수심을 높이면 S1과 그 앞의 도약, 상류 제어로 S2·S3. ④ 수평·역경사에는 y_n이 없다(H, A 곡선).

수력 도약

초임계 흐름이 아임계 흐름으로 바뀌어야 할 때, 수면은 매끄럽게 임계 수심을 지나갈 수 없다(점변류 식이 발산). 대신 짧은 거리에서 수심이 급격히 뛰어오르며 거센 소용돌이(롤러)가 생긴다. 이것이 수력 도약(hydraulic jump)이다. 내부의 난류 손실을 모르므로 에너지 방정식은 쓸 수 없지만, 도약을 감싼 검사 체적에 운동량 방정식을 쓰면 하류 수심이 정해진다.

얕고 빠른 흐름($\mathrm{Fr}_1 > 1$)이 깊고 느린 흐름으로 바뀐다. 롤러에서 에너지가 열로 흩어진다.
도약 전후를 감싸는 검사 체적. 수평 힘은 양 끝의 정수압 힘 $\tfrac12\rho g y^2 b$뿐이다(바닥 마찰 무시).
운동량 방정식과 연속 방정식에서 공액 수심비를, 에너지 방정식에서 손실 수두를 얻는다.

수력 도약의 검사 체적 해석(5장). 운동량은 보존 법칙을 그대로 쓰고, 에너지는 손실 항으로 결과를 "측정"한다.

공액 수심 식의 유도

운동량: $\tfrac12 g(y_1^2 - y_2^2) = q(V_2 - V_1) = q^2\left(\dfrac1{y_2} - \dfrac1{y_1}\right)$. 좌변을 $\tfrac12g(y_1-y_2)(y_1+y_2)$, 우변을 $q^2(y_1 - y_2)/(y_1y_2)$로 묶어 $y_1 \ne y_2$로 나누면 $\tfrac12 g\,y_1y_2(y_1+y_2) = q^2$. 양변을 $g y_1^3$으로 나누면 $\eta^2 + \eta - 2\mathrm{Fr}_1^2 = 0$ ($\eta = y_2/y_1$), 양의 근이 아래 식이다. 이 식은 $y_1, y_2$에 대해 대칭이라 $y_1 = \tfrac12 y_2(-1+\sqrt{1+8\mathrm{Fr}_2^2})$로도 쓸 수 있다. 같은 결론: 비력(specific force) $M = q^2/(gy) + y^2/2$가 도약 전후에 같다.

$$\frac{y_2}{y_1} = \frac12\left(-1 + \sqrt{1 + 8\mathrm{Fr}_1^2}\right), \qquad h_L = E_{s1} - E_{s2} = \frac{(y_2 - y_1)^3}{4y_1y_2}$$

$y_1, y_2$: 공액 수심(conjugate/sequent depths). $h_L > 0$이려면 $y_2 > y_1$ — 도약은 언제나 초임계에서 아임계로만 일어나고, 반대 방향의 "역도약"은 열역학 제2법칙에 어긋난다. 도약 뒤 $\mathrm{Fr}_2 < 1$. 도약 길이는 대략 $L_j \approx 6y_2$($4.5 < \mathrm{Fr}_1 < 13$).

Fr₁	이름	y₂/y₁	에너지 소산	모습
< 1	도약 불가	—	—	이미 아임계
1 – 1.7	파상 도약 (undular)	1 – 2	< 5%	물결이 줄지어 서고 롤러가 없다
1.7 – 2.5	약한 도약 (weak)	2 – 3.1	5 – 15%	작은 롤러, 매끄러운 수면
2.5 – 4.5	진동 도약 (oscillating)	3.1 – 5.9	15 – 45%	분류가 불규칙하게 흔들려 하류에 큰 파를 보낸다 — 피해야 할 범위
4.5 – 9	정상 도약 (steady)	5.9 – 12	45 – 70%	안정, 위치가 하류 수심에 둔감 — 정수지 설계 범위
> 9	강한 도약 (strong)	> 12	70 – 85%	거칠고 격렬함

수심 0.30, 속도 8.0로 흐르던 물은 Fr₁ = 이다.

상류 수심 $y_1$은 그대로 두고 속도 $V_1$을 두 배로 했다(Fr₁ = 4 → 8). 도약 뒤 수심 $y_2$는 대략?

$\mathrm{Fr}_1$이 크면 $y_2/y_1 \approx \sqrt2\,\mathrm{Fr}_1$이라 $y_2$는 $V_1$에 거의 비례한다(정확히는 5.18 → 10.8, 2.09배). 손실 수두는 $(y_2-y_1)^3$에 비례해 훨씬 빨리 는다.

SIMULATOR

수력 도약 계산기

상류 수면의 흰 원(수심)과 속도 화살표 끝을 끈다

상류 수심 y₁ 상류 속도 V₁ 비력 곡선 M(y)도 그리기

Fr₁—

y₂, V₂—

Fr₂—

h_L (h_L/E₁)—

소산 동력 (단위 폭)—

오른쪽은 같은 q의 비에너지 곡선이다. 점 ①(초임계)에서 ②(아임계)로 수평으로 $h_L$만큼 왼쪽에 떨어진다 — 교대 수심(점선 원)보다 덜 깊다. 해볼 것: ① Fr₁을 1.5 부근으로 줄이면 파상 도약, 3–4에서 진동 도약, 6 이상에서 정상 도약. ② 손실 비 h_L/E₁이 Fr₁과 함께 어떻게 커지는지 보라. ③ 비력 곡선을 켜면 ①과 ②가 같은 M 값(수직선) 위에 있다.

여수로 끝에서 물이 수심 0.30 m, 속도 8.0 m/s로 수평 정수지에 들어가 도약한다. 도약 뒤 수심과 속도, 프루드 수, 손실 수두와 소산 비율, 단위 폭당 소산 동력, 도약 유형을 구하라($\rho = 1000$ kg/m³).

풀이 보기

전략 $\mathrm{Fr}_1$ → 공액 수심 식 → 연속 → 손실 수두. 동력은 $\dot W = \rho g q h_L$.

풀이 $\mathrm{Fr}_1 = 8.0/\sqrt{9.81\times0.30} = 4.66$. $y_2 = 0.15(-1 + \sqrt{1 + 8(4.66)^2}) = 1.83$ m, $V_2 = (0.30)(8.0)/1.834 = 1.31$ m/s, $\mathrm{Fr}_2 = 0.308$. $h_L = (1.834 - 0.30)^3/(4\times0.30\times1.834) = 1.64$ m. $E_{s1} = 0.30 + 64/19.62 = 3.56$ m → 소산 비율 46%. $\dot W = (1000)(9.81)(2.4)(1.64) = 38.6$ kW/m.

$y_2$ = 1.83 m, $V_2$ = 1.31 m/s, Fr₂ = 0.31, $h_L$ = 1.64 m (46%), 38.6 kW/m, 정상 도약(Fr₁ = 4.7)

검토 $E_{s2} = 1.834 + 1.31^2/19.62 = 1.92$ m이고 $E_{s1} - E_{s2} = 1.64$ m로 공식과 일치한다. 폭 20 m 정수지라면 약 0.8 MW가 물을 데우는 데 쓰인다.

유량 측정: 위어와 수문

수로를 가로막는 구조물 위나 아래로 물을 흘리면 상류 수위 하나만 재어 유량을 알 수 있다. 구조물이 흐름을 임계 상태나 자유 분류로 만들어 하류의 영향을 끊기 때문이다(아임계 흐름을 지배하는 "제어 단면"이다).

위어 수두 $H$는 위어 마루에서 상류 수면까지의 높이로, 수면 강하가 없는 상류(대략 $4H$ 이상 떨어진 곳)에서 잰다.

예연 위어

예연 위어(sharp-crested weir) 위의 흐름을 이상화해, 마루 위 수면에서 깊이 $h$인 곳의 속도를 $\sqrt{2gh}$로 보고 수맥 단면을 적분한다. 실제로는 수면 강하와 수맥 수축이 있으므로 위어 유량 계수(weir discharge coefficient) $C_{wd}$를 곱한다.

$$\text{직사각형: }\dot V = C_{wd}\,\frac23\,b\sqrt{2g}\,H^{3/2}, \quad C_{wd} \approx 0.598 + 0.0897\frac{H}{P_w}\qquad \text{삼각(V 노치): }\dot V = C_{wd}\,\frac{8}{15}\tan\frac\theta2\sqrt{2g}\,H^{5/2},\quad C_{wd}\approx 0.58\text{–}0.62$$

직사각형 계수식은 $H/P_w < 2$에서 쓰는 레보크(Rehbock)형 실험식이다. V 노치는 $\dot V \propto H^{5/2}$라서 유량이 작을 때도 수두가 커서 정밀하게 잴 수 있다(실험실 수로에 많이 쓴다).

위어

MINI LAB상류 수면의 흰 원을 끌어 위어 수두 $H$를 바꿔라($P_w$ = 0.6 m). 오른쪽 작은 그림은 하류에서 본 노치 단면이다. $H$를 2배로 하면 직사각형은 $2^{1.5} = 2.8$배, V 노치는 $2^{2.5} = 5.7$배가 된다.

광정 위어

광정 위어(broad-crested weir)는 마루가 길어서 그 위의 흐름이 수평한 평행류가 되고, 하류가 낮으면 마루 위에서 임계 상태가 된다. 비에너지 $E_s \approx H$(접근 속도 무시)이고 마루 위 수심이 $y_c = \tfrac23 H$이므로 단위 폭 유량은 $q = \sqrt{g y_c^3}$이다.

$$\dot V = C_{wd}\,b\sqrt g\left(\frac23\right)^{3/2}H^{3/2}, \qquad C_{wd} \approx \frac{0.65}{\sqrt{1 + H/P_w}}$$

위어 높이 P_w

MINI LAB상류 수면을 끌어 $H$를 바꿔라. 마루 위의 점선이 임계 수심 $\tfrac23H$이다. 물이 마루 위에서 임계 상태가 되므로 하류 수위가 마루보다 낮은 한 유량은 $H$만으로 정해진다.

수문 아래 흐름

수문(sluice gate) 아래로 나간 분류는 수문 개도 $a$보다 얇게 수축해(수축 계수 $C_c \approx 0.61$) $y_2 = C_c a$인 초임계 흐름이 된다. 상류 1과 수축부 2 사이에 베르누이 식(손실 무시)과 연속을 쓰면

$$y_1 + \frac{V_1^2}{2g} = y_2 + \frac{V_2^2}{2g},\quad y_1V_1 = y_2V_2 \;\Rightarrow\; V_2 = \sqrt{\frac{2g(y_1 - y_2)}{1 - (y_2/y_1)^2}},\qquad \dot V = C_d\,b\,a\sqrt{2g\,y_1}$$

$C_d$: 수문 유량 계수. 자유 유출에서 $C_d = C_c/\sqrt{1 + C_c a/y_1}$ ≈ 0.55–0.60. 하류 수심이 $y_2$의 공액 수심보다 깊으면 도약이 수문까지 밀려와 분류를 덮는 잠긴 유출(drowned outflow)이 되고, 같은 $y_1$에서 유량이 줄어든다.

상류 수심을 그대로 두고 수문 개도 $a$를 두 배로 열었다(자유 유출). 유량은?

$\dot V = C_d b a\sqrt{2gy_1}$에서 $a$에 비례하지만, $a/y_1$이 커지면 $C_d$가 조금 줄어든다($y_1$ = 2.5 m에서 a = 0.3 → 0.6 m면 1.94배). 아래에서 수문 아래쪽 흰 원을 끌어 확인하라.

SIMULATOR

수문 아래 흐름: 자유 유출과 잠긴 유출

상류 수면 · 수문 아래 끝 · 하류 수면의 흰 원을 끈다

상류 수심 y₁ 수문 개도 a 하류 수심 y₃ 에너지선

q (단위 폭)—

C_d—

수축부 y₂, V₂—

Fr₂—

y₂의 공액 수심—

$C_c$ = 0.61. 잠긴 유출은 수축부와 하류 사이 운동량, 상류와 수축부 사이 에너지를 함께 풀어 계산한다. 해볼 것: ① 개도를 2배로 해 유량 비를 보라. ② 하류 수심 y₃를 올리면 도약이 수문 쪽으로 다가온다. ③ y₃가 공액 수심을 넘으면 잠긴 유출 — 같은 y₁, a에서 q가 얼마나 줄어드는지 보라.

(a) 폭 2.0 m, 높이 $P_w$ = 0.60 m인 직사각형 예연 위어의 수두가 0.30 m이다. 유량은? (b) 같은 수로(폭 2.0 m)에서 상류 수심 2.0 m, 개도 0.25 m인 수문이 자유 유출할 때 유량은($C_c$ = 0.61)?

풀이 보기

풀이 (a) $C_{wd} = 0.598 + 0.0897(0.30/0.60) = 0.643$. $\dot V = 0.643\times\tfrac23\times2.0\times\sqrt{19.62}\times0.30^{1.5} = 0.624$ m³/s.

풀이 (b) $y_2 = 0.61\times0.25 = 0.1525$ m. $V_2 = \sqrt{2(9.81)(2.0 - 0.1525)/(1 - 0.07625^2)} = 6.04$ m/s. $\dot V = 2.0\times0.1525\times6.04 = 1.84$ m³/s, $C_d = 1.84/(2.0\times0.25\times\sqrt{19.62\times2.0}) = 0.588$.

(a) 0.624 m³/s (b) 1.84 m³/s ($C_d$ ≈ 0.59)

검토 (b)의 $\mathrm{Fr}_2 = 6.04/\sqrt{9.81\times0.1525} = 4.9$ — 수문 아래는 강한 초임계이고, 하류 수심이 충분하면 도약으로 아임계에 돌아온다(장 머리 애니메이션).

핵심 정리

개수로 흐름은 중력이 몰고 마찰이 막는다. 수심이 미지수이며, 등류·점변류·급변류로 나눈다. 단면 크기는 수력 반경 $R_h = A_c/p$로 대표한다(넓은 수로 $R_h \approx y$).
얕은 물의 파속은 $c_0 = \sqrt{gy}$. $\mathrm{Fr} = V/\sqrt{gy_h}$가 1보다 작으면 아임계(하류 조건이 지배), 크면 초임계(상류 조건이 지배)다.
비에너지 $E_s = y + q^2/2gy^2$는 임계 수심 $y_c = (q^2/g)^{1/3}$에서 최소 $E_\text{min} = 1.5y_c$. 같은 $E_s$에 아임계·초임계 교대 수심이 있다.
바닥 융기·폭 축소에서 아임계는 수심(과 수면)이 내려가고 초임계는 올라간다. $E_s$가 $E_\text{min}$보다 작아지면 초크 — 상류 수심이 바뀐다.
등류: $\tau_w = \rho gR_hS_0$, 매닝 식 $V = (1/n)R_h^{2/3}S_0^{1/2}$(SI). 최적 수리 단면은 $R_h = y/2$(직사각형 b = 2y, 사다리꼴은 60° 반육각형).
점변류 $dy/dx = (S_0 - S_f)/(1-\mathrm{Fr}^2)$: 수면은 $y_n$에 점근하고 $y_c$에서 연직이 되려 한다. 완경사 M1–M3, 급경사 S1–S3.
수력 도약: $y_2/y_1 = \tfrac12(-1+\sqrt{1+8\mathrm{Fr}_1^2})$, $h_L = (y_2-y_1)^3/4y_1y_2$. 위어 $\dot V \propto H^{3/2}$(직사각형·광정), $H^{5/2}$(V 노치), 수문 $\dot V = C_dba\sqrt{2gy_1}$.

연습문제

$g$ = 9.81 m/s², 물 $\rho$ = 1000 kg/m³를 쓴다. 매닝 식은 SI 단위. 특별한 말이 없으면 마찰과 접근 속도는 문제에 주어진 대로만 고려한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

폭 4.0 m인 직사각형 수로에 물이 1.5 m 깊이로 흐른다. 수력 반경은?

$A_c = 6.0$ m², $p = 4.0 + 2(1.5) = 7.0$ m, $R_h = 6.0/7.0 = 0.857$ m.

넓은 수로에서 수심 0.40 m, 평균 속도 3.0 m/s로 흐른다. 프루드 수는? (흐름의 상태도 생각해 보라.)

$\mathrm{Fr} = 3.0/\sqrt{9.81\times0.40} = 3.0/1.981 = 1.51$ → 초임계.

넓은 직사각형 수로의 단위 폭 유량이 5.0 m²/s이다. 임계 수심과 최소 비에너지는?

$y_c = (25/9.81)^{1/3} = 1.366$ m, $E_\text{min} = 1.5y_c = 2.05$ m.

$q = 2.0$ m²/s가 수심 0.40 m로 흐른다. 비에너지와, 같은 비에너지를 갖는 교대 수심을 구하라.

$y = E_s - q^2/(2gy^2)$를 $y \approx E_s$에서 시작해 반복한다.

$E_s = 0.40 + 4/(19.62\times0.16) = 1.674$ m. $y = 1.674 - 0.2039/y^2$: 1.674 → 1.601 → 1.594 → 1.594 m.

넓은 수로에서 물이 수심 2.0 m, 속도 1.0 m/s로 흐른다. 마찰을 무시할 때, 상류 수심을 바꾸지 않고 넘을 수 있는 바닥 융기의 최대 높이는?

$q = 2.0$ m²/s, $E_{s1} = 2.0 + 1/19.62 = 2.051$ m, $y_c = (4/9.81)^{1/3} = 0.7415$ m, $E_\text{min} = 1.112$ m. $\Delta z_\text{max} = 2.051 - 1.112 = 0.939$ m.

폭 3.0 m인 직사각형 수로에 6.0 m³/s가 수심 1.50 m로 흐르다가 폭 2.0 m로 매끄럽게 좁아진다(바닥 높이 같음, 손실 무시). 좁은 곳의 수심은?

$E_s$는 같고 $q_2 = 3.0$ m²/s. 아임계 가지의 근을 찾는다. 먼저 초크 여부를 확인하라.

$E_s = 1.50 + 2^2/(19.62\times2.25) = 1.591$ m. $q_2 = 3.0$: $y_{c2} = 0.972$ m, $E_\text{min} = 1.458$ m $< 1.591$ → 초크 없음. $y = 1.591 - 0.4587/y^2$ 반복 → $y_2 = 1.33$ m (수면이 0.17 m 내려간다).

폭 5.0 m인 직사각형 흙 수로($n = 0.022$)가 경사 0.0005로 수심 1.2 m의 등류를 흘린다. 유량은?

$A_c = 6.0$ m², $p = 7.4$ m, $R_h = 0.811$ m. $V = (1/0.022)(0.811)^{2/3}(0.0005)^{1/2} = 0.884$ m/s. $\dot V = 5.30$ m³/s.

넓은 수로($R_h \approx y$)에서 $q = 3.0$ m²/s, $n = 0.030$, $S_0 = 0.002$이다. 등류 수심을 구하라. 이 경사는 완경사인가 급경사인가?

$q = (1/n)y^{5/3}S_0^{1/2}$ → $y_n = (qn/\sqrt{S_0})^{3/5} = (0.09/0.04472)^{0.6} = 1.52$ m. $y_c = (9/9.81)^{1/3} = 0.972$ m $< y_n$ → 완경사.

수심 0.20 m, $\mathrm{Fr}_1 = 5.0$인 흐름에서 수력 도약이 일어난다. 도약 뒤 수심과 손실 수두는?

$y_2 = 0.10(-1 + \sqrt{201}) = 1.318$ m. $h_L = (1.118)^3/(4\times0.20\times1.318) = 1.32$ m.

수평 수로의 도약 하류 수심이 1.80 m, 단위 폭 유량이 4.0 m²/s이다. 도약 전 수심과 단위 폭당 소산 동력을 구하라.

공액 수심 식은 대칭이다: $y_1 = \tfrac12y_2(-1+\sqrt{1+8\mathrm{Fr}_2^2})$.

$V_2 = 2.222$ m/s, $\mathrm{Fr}_2 = 2.222/\sqrt{9.81\times1.80} = 0.529$. $y_1 = 0.90(-1+\sqrt{1+8(0.529)^2}) = 0.719$ m. $h_L = (1.081)^3/(4\times0.719\times1.80) = 0.244$ m. $\dot W = \rho gqh_L = 1000\times9.81\times4.0\times0.244 = 9.56$ kW/m. (확인: $\mathrm{Fr}_1 = 2.09$, 약한 도약)

90° V 노치 위어의 수두가 0.25 m이고 $C_{wd} = 0.58$이다. 유량은?

$\dot V = 0.58\times\tfrac{8}{15}\times\tan45°\times\sqrt{19.62}\times0.25^{2.5} = 0.58\times0.5333\times4.429\times0.03125 = 0.0428$ m³/s (42.8 L/s).

폭 3.0 m 수로의 수문 상류 수심이 2.5 m, 개도가 0.40 m이다($C_c$ = 0.61, 손실 무시, 자유 유출). 유량과, 수축부 흐름이 도약할 때 도약 뒤 수심을 구하라.

$y_2 = 0.244$ m, $V_2 = \sqrt{2(9.81)(2.256)/(1-0.0976^2)} = 6.68$ m/s, $\dot V = 3.0\times0.244\times6.68 = 4.89$ m³/s. $\mathrm{Fr}_2 = 4.32$, $y_3 = 0.122(-1+\sqrt{1+8(4.32)^2}) = 1.37$ m.

마감 콘크리트($n = 0.013$) 사다리꼴 수로를 최적 수리 단면(측면 60°)으로 설계해 경사 0.001에서 10 m³/s를 흘리려 한다. 수심과 바닥 폭은?

최적 사다리꼴: $b = 2y/\sqrt3$, $A_c = \sqrt3\,y^2$, $R_h = y/2$.

$10 = (1/0.013)\sqrt3\,y^2(y/2)^{2/3}(0.001)^{1/2}$ → $y^{8/3} = 10\times0.013\times2^{2/3}/(\sqrt3\times0.03162) = 3.77$ → $y = 1.64$ m, $b = 2(1.644)/\sqrt3 = 1.90$ m.

폭 4.0 m, 높이 $P_w$ = 1.0 m인 광정 위어의 수두가 0.50 m이다. $C_{wd} = 0.65/\sqrt{1+H/P_w}$를 써서 유량을 구하라.

$C_{wd} = 0.65/\sqrt{1.5} = 0.531$. $\dot V = 0.531\times4.0\times\sqrt{9.81}\times(2/3)^{1.5}\times0.50^{1.5} = 1.28$ m³/s.

Fr = 2인 수로에 돌을 던졌다. 옳은 것은?

상류쪽 파속 $c_0 - V = -c_0 < 0$이므로 상류로 못 간다. 쐐기 반각 $\sin^{-1}(1/2) = 30°$.

완경사의 긴 수로가 끝에서 자유 낙하한다. 낙하 지점 상류의 수면 곡선과 낙하 지점 부근 수심은?

낙하가 하류 제어로 $y_c$ 부근의 수심을 만들고, 상류로 가며 $y_n$에 점근한다: $y_n > y > y_c$인 M2 저하 곡선.

개념 확인 퀴즈

임계 흐름에 대해 옳지 않은 것은?

주어진 비에너지에서 임계 상태는 유량이 최대다($q_\text{max} = \sqrt{g(2E_s/3)^3}$). 그래서 광정 위어처럼 임계 단면이 유량을 "제어"한다.

아임계 흐름이 매끄러운 바닥 둔덕 위를 지날 때(초크 없음) 둔덕 위에서는?

$d(y+z)/dx = -\mathrm{Fr}^2/(1-\mathrm{Fr}^2)\cdot dz/dx < 0$ (Fr < 1, dz/dx > 0 구간).

매닝 식에서 바닥 경사를 4배로 하면 같은 단면·수심의 유량은?

$\dot V \propto S_0^{1/2}$ → $\sqrt4 = 2$배.

수력 도약에 대해 옳은 것은?

운동량 보존으로 공액 수심이 정해지고, 에너지는 $h_L$만큼 잃는다. 그래서 공액 수심은 교대 수심보다 얕다.

단면적이 같은 직사각형 수로 중 같은 경사·재료에서 가장 많은 유량을 흘리는 것은?

같은 면적에서 윤변이 최소일 때 $R_h$가 최대(= y/2)이고 유량도 최대다.

곡선	수심 범위	dy/dx	대표적인 곳
M1	\(y > y_n > y_c\)	+ (하류로 깊어짐)	완경사 하천의 댐·보 뒤 (배수 곡선)
M2	\(y_n > y > y_c\)	− (얕아짐)	자유 낙하·급경사로 바뀌는 곳의 상류 (저하 곡선)
M3	\(y_n > y_c > y\)	+	완경사 수로의 수문 아래 → 도약으로 끝남
S1	\(y > y_c > y_n\)	+	급경사 수로 끝의 댐 앞 (도약 뒤)
S2	\(y_c > y > y_n\)	−	완경사 → 급경사로 바뀐 직후
S3	\(y_c > y_n > y\)	+	급경사 수로의 수문 아래
H2, A2 / H3, A3	\(y > y_c\) / \(y < y_c\)	− / +	수평·역경사 수로의 낙하 상류 / 수문 아래