유체 정역학
댐의 수문은 수천 톤의 힘을 견디고, 강철 바지선은 물 위에 뜨며, 돌아가는 원심 분리기 속 액면은 포물면이 된다. 모두 흐르지 않는(또는 통째로 움직이는) 유체의 이야기다. 정지 유체에는 전단 응력이 없으므로 유체가 벽에 주는 힘은 오직 압력뿐이고, 그 압력은 중력 방향의 깊이만으로 정해진다. 아래 탐침을 끌어 모양이 제각각인 용기 속을 돌아다녀 보라 — 같은 깊이라면 압력계 바늘은 똑같은 값을 가리킨다.
- 한 점의 압력이 방향과 무관함(파스칼)을 보이고, 정수압 기본 방정식 \(dp/dz = -\rho g\)를 유도해 절대·계기·진공 압력을 구별한다.
- 기압계와 압축성 대기(등온·표준 대기)로 고도에 따른 대기압을 계산한다.
- U자관·차압·경사·다중 유체 마노미터를 "내려가면 더하고 올라가면 뺀다"는 규칙으로 해석한다.
- 잠긴 평면에 작용하는 정수력 \(F = p_c A\)와 압력 중심 \(y_R = y_c + I_{xc}/(y_c A)\)를 구하고, 곡면 힘을 수평·수직 성분으로 분해한다.
- 아르키메데스 원리와 메타센터 높이 \(\overline{GM}\)로 부양체의 안정성을 판단하고, 직선 가속·회전하는 용기 속 유체의 압력장과 자유 표면을 구한다.
한 점의 압력과 정수압 분포
1장에서 유체를 "아무리 작은 전단 응력에도 계속 변형하는 물질"로 정의했다. 거꾸로 말하면 정지해 있는 유체 속에는 전단 응력이 없다. 그러면 유체 요소의 어느 면에 작용하는 응력도 그 면에 수직인 성분만 남고, 이를 압력(pressure)이라 한다: \(p = \lim_{\delta A\to 0} \delta F_n/\delta A\). 단위는 Pa(= N/m²)이며 공학에서는 kPa, MPa, bar(= 100 kPa), atm(= 101.325 kPa)도 흔히 쓴다.
파스칼 원리: 한 점의 압력은 방향이 없다
압력이 "면에 수직인 힘"이라면 면의 방향에 따라 값이 달라지지 않을까? 아래처럼 단위 폭의 아주 작은 쐐기 요소를 잘라 힘의 평형을 쓰면 답이 나온다.
- 정지 유체 속에서 폭(종이에 수직) δy인 쐐기 요소를 생각한다. 빗면은 수평과 각 θ를 이룬다.
- 각 면에는 그 면에 수직인 압력 힘만 작용한다(전단 없음). 요소의 무게는 부피 ½δx δy δz에 비례한다.
- 두 방향의 평형식을 쓰고 요소를 한 점으로 줄이면(δz → 0) 무게 항이 사라져 pₓ = p_z = pₙ: 압력은 방향과 무관한 스칼라다.
정지 유체 속 한 점의 압력은 모든 방향으로 같다. 또한 밀폐된 정지 유체의 한 곳에 더한 압력 변화는 유체의 모든 점에 그대로 전달된다(유압 잭·브레이크의 원리).
정수압 기본 방정식
압력이 한 점에서는 방향이 없지만, 점에서 점으로는 변할 수 있다. 직육면체 요소에 작용하는 압력 힘과 무게의 평형을 쓰면 압력이 공간에서 어떻게 변하는지 알 수 있다.
- 정지 유체 속 크기 δx × δy × δz 직육면체 요소. 중심의 압력을 p라 한다.
- 압력이 위치에 따라 변하므로 윗면과 아랫면의 압력은 테일러 전개로 p ± (∂p/∂z)δz/2이다. 옆면 압력은 서로 같은 크기로 맞선다.
- 수직 방향 평형: 아랫면이 받는 위쪽 힘이 윗면보다 무게만큼 크다 → ∂p/∂z = −ρg. 수평 방향에는 체적력이 없으므로 압력이 변하지 않는다.
- 압력은 z만의 함수다. 비압축 유체라면 적분해서 p = p₀ + ρgh. 같은 유체 안에서 같은 높이의 점들(등압면)은 수평면을 이룬다.
비중 1.03인 액체(ρ = ) 속 깊이 10에서 계기 압력은 \(\rho g h\) = 이다. 대기압이 101.5이면 절대 압력은 — 이는 물기둥 , 수은 기둥 의 압력과 같다.
절대 압력, 계기 압력, 진공 압력
압력을 재는 기준이 둘 있다. 완전 진공(압력 0)을 기준으로 잰 값이 절대 압력(absolute pressure)이고, 대부분의 압력계는 주위 대기압을 0으로 보고 그 차이를 가리키는데 이를 계기 압력(gage pressure)이라 한다. 대기압보다 낮은 압력은 대기압과의 차이를 양수로 나타내 진공 압력(vacuum pressure)이라 부른다.
바닷물(ρ = 1025 kg/m³) 속 25.0 m 깊이에서 일하는 잠수부의 몸이 받는 계기 압력과 절대 압력을 구하라. 해면의 대기압은 101.325 kPa이다. 같은 계기 압력을 담수(1000 kg/m³)에서 얻으려면 몇 m 내려가야 하는가?
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정수압 역설
\(p = p_0 + \rho g h\)에는 용기의 모양이 들어 있지 않다. 그렇다면 바닥 넓이가 같고 물의 깊이가 같은 세 용기 — 위로 벌어진 것, 곧은 것, 위가 좁은 것 — 의 바닥은 같은 힘을 받을까? 물의 무게는 분명 다른데 말이다.
바닥 넓이와 물의 깊이가 같은 세 용기가 있다. 물이 바닥에 작용하는 힘은?
정수압 역설: 모양이 다른 세 용기
"같은 높이 = 같은 압력"은 같은 정지 유체로 이어져 있을 때만 성립한다. 마노미터에서 수은 위쪽 한쪽에는 물, 다른 쪽에는 기름이 있다면 같은 높이라도 압력이 다르다. 또 유체가 흐르거나 가속하면(7절) 등압면이 수평이 아니다.
대기압과 압축성 대기
우리를 둘러싼 공기도 정지 유체이므로, 해수면의 대기압은 그 위 공기 기둥 전체의 무게다. 1643년 토리첼리는 수은을 채운 유리관을 접시에 거꾸로 세워 이 압력을 쟀다. 관 위쪽에는 수은 증기만 남고(압력 \(p_v\) ≈ 0), 관 속 수은 기둥의 무게가 대기압과 평형을 이룬다. 이것이 기압계(barometer)다.
고도에 따른 대기압
공기의 밀도는 압력에 따라 변하므로 \(dp/dz = -\rho g\)를 적분할 때 \(\rho\)를 상수로 둘 수 없다. 이상 기체 \(\rho = p/(RT)\)를 넣으면
등온 대기 \(T = T_0\)
$$p = p_0\exp\!\left(-\frac{g z}{R T_0}\right)$$ \(H = RT_0/g\) ≈ 8.4 km(288 K)를 척도 높이(scale height)라 한다. 성층권 하부(11–20 km, 216.65 K)는 실제로 거의 등온이다.
표준 대기(대류권, 0–11 km)
$$T = T_0 - \beta z,\quad p = p_0\left(1 - \frac{\beta z}{T_0}\right)^{g/(R\beta)}$$ \(T_0\) = 288.15 K, \(\beta\) = 0.0065 K/m, \(g/(R\beta)\) ≈ 5.26. 항공기 고도계와 성능 계산의 기준인 ISA다.
고도 3에서 대기압은 비압축(밀도 1.225 kg/m³ 일정) 가정이면 , 등온(288 K) 가정이면 , 표준 대기로는 (기온 )이다.
에베레스트 정상(8849 m)의 대기압을 (a) 공기 밀도가 해수면 값 1.225 kg/m³로 일정할 때, (b) 288.15 K 등온 대기일 때, (c) 표준 대기로 각각 구하라. 해수면 압력 101.325 kPa, R = 287 J/(kg·K).
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마노미터
정수압 방정식은 압력 측정 장치를 바로 만들어 준다. 관 속 액주의 높이로 압력을 읽는 장치를 마노미터(manometer)라 한다. 가장 단순한 피에조미터(piezometer)는 용기에 세운 열린 관으로, 액면 높이 \(h\)가 곧 계기 압력 \(\rho g h\)다. 그러나 기체나 높은 압력에는 쓸 수 없어 무거운 액체를 담은 U자관을 쓴다.
압력을 아는 점에서 출발해 관을 따라 걸어간다. 같은 유체 안에서 아래로 \(h\)만큼 내려가면 \(+\rho g h\), 위로 올라가면 \(-\rho g h\). 수평으로 가는 것은 (같은 유체라면) 아무 변화가 없다. 압력을 알고 싶은 점에 도착할 때까지 더하고 뺀다.
- 공기 탱크에 물·기름·수은이 차례로 담긴 다중 유체 마노미터. 탱크 속 공기의 압력은 높이에 따라 거의 변하지 않는다(기체의 ρ가 작다).
- ①에서 물을 따라 h₁ 내려가면 압력이 ρ_w g h₁ 늘어난다.
- 물–기름 경계 ②에서 기름을 따라 다시 h₂ 내려가 기름–수은 경계 ③에 닿는다.
- 수은을 따라 U자 바닥을 지나 오른쪽 액면 ④까지 h₃ 올라가면 그만큼 뺀다. ④는 대기에 열려 있다.
위 그림에서 \(h_1\) = 0.15 m(물, 1000 kg/m³), \(h_2\) = 0.25 m(기름, 비중 0.88), \(h_3\) = 0.40 m(수은, 비중 13.6)이고 대기압은 100 kPa이다. 탱크 속 공기의 계기 압력과 절대 압력을 구하라.
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차압 마노미터
관로 두 점의 압력 차(예: 벤투리관·오리피스 유량계)를 잴 때는 U자관 양 끝을 두 점에 잇는다. 관 속 유체(밀도 \(\rho\))보다 무거운 마노미터 유체(\(\rho_m\))의 액면 차가 \(h\)이고, 점 B가 점 A보다 \(\Delta z\) 높으면 걸어가기 규칙으로
U자관 마노미터에 일정한 압력 차를 걸었다. 관의 지름을 2배로 바꾸면 액면 차 h는?
U자관 차압 마노미터
경사 마노미터
아주 작은 압력 차(환기 덕트, 풍동)는 액주 높이가 작아 읽기 어렵다. 관을 수평과 각 \(\theta\)로 눕히면 같은 높이 변화 \(h\)가 관을 따라 \(L = h/\sin\theta\)만큼 늘어나 눈금을 크게 읽을 수 있다.
잠긴 평면에 작용하는 정수력
댐의 수문, 수조의 벽, 선박의 수밀 격벽을 설계하려면 두 가지가 필요하다: 정수압이 만드는 합력의 크기와 그 작용점. 평면 위의 모든 점에서 압력은 면에 수직이므로 합력도 면에 수직이고, 크기와 위치는 압력 분포를 적분해 얻는다.
대기압은 평판의 양면에 똑같이 작용해 상쇄되므로 계기 압력 \(p = \rho g h = \rho g y\sin\theta\)만 적분한다.
합력: \(F_R = \int_A p\,dA = \rho g\sin\theta\int_A y\,dA = \rho g\sin\theta\,y_c A = \rho g h_c A\). 여기서 \(\int y\,dA = y_c A\)는 도심의 정의다.
작용점: \(F_R\)의 \(x\)축에 대한 모멘트가 분포 압력의 모멘트와 같아야 한다. \(y_R F_R = \int_A y\,p\,dA = \rho g\sin\theta\int_A y^2\,dA = \rho g\sin\theta\,I_x\). 평행축 정리 \(I_x = I_{xc} + A y_c^2\)를 쓰면 \(y_R = y_c + I_{xc}/(y_c A)\). 같은 방법으로 \(x_R = x_c + I_{xyc}/(y_c A)\)(대칭 평판은 \(I_{xyc} = 0\)).
| 도형 | 넓이 A | 도심 위치 | Ixc (도심 수평축) |
|---|---|---|---|
| 직사각형 (폭 b, 경사 방향 길이 a) | \(ab\) | 중앙 | \(ba^3/12\) |
| 원 (반지름 R) | \(\pi R^2\) | 중심 | \(\pi R^4/4\) |
| 반원 (지름이 위쪽 수평) | \(\pi R^2/2\) | 지름에서 \(4R/3\pi\) | \(0.1098R^4\) |
| 삼각형 (밑변 b, 높이 a) | \(ab/2\) | 밑변에서 \(a/3\) | \(ba^3/36\) |
| 사분원 (반지름 R) | \(\pi R^2/4\) | 두 직선 변에서 \(4R/3\pi\) | \(0.05488R^4\) |
| 타원 (경사 방향 반축 a, 폭 방향 반축 b) | \(\pi ab\) | 중심 | \(\pi b a^3/4\) |
폭이 일정한 직사각형 평판이라면 압력 분포를 평판 위에 쌓아 올린 입체(압력 프리즘)의 부피가 곧 합력이고, 합력은 그 도심을 지난다. 윗변이 수면에 닿은 수직 직사각형은 삼각형 프리즘이 되어 \(F = \tfrac12\rho g a^2 b\), 작용점은 수면에서 \(2a/3\) 깊이다. 윗변이 잠겨 있으면 사다리꼴 = 직사각형 + 삼각형으로 나눠 모멘트를 합한다.
폭 2, 경사 방향 길이 3인 직사각형 수문이 수평과 90 기울어 있고, 윗변이 수면 아래 1에 있다. 도심 깊이 , 정수력 , 압력 중심은 도심보다 경사면을 따라 아래(윗변에서 )다.
경사 수문: 압력 분포, 압력 중심, 힌지 모멘트
폭 1.5 m, 길이 2.0 m인 직사각형 수문이 수평과 60°를 이루고, 윗변 A가 수면 아래 1.0 m 깊이에서 힌지로 지지된다(위 시뮬레이터의 기본 상태). 물(1000 kg/m³)이 주는 정수력, 힌지에서 압력 중심까지 거리, 그리고 아래 끝 B에서 수문에 수직으로 가해 수문을 닫아 둘 최소 힘 P를 구하라.
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밀폐 탱크처럼 액면 위 압력이 대기압이 아니라 \(p_0\)(gage)이면 평판의 한쪽에만 추가 압력이 걸린다. 이때는 액면을 \(h_\text{eq} = p_0/(\rho g)\)만큼 높인 가상의 자유 표면을 기준으로 \(y\)를 재고 위 공식을 그대로 쓴다. 평판 양쪽에 같은 대기압이 걸려야만 계기 압력만 적분해도 된다.
곡면에 작용하는 정수력
곡면에서는 각 점의 압력 힘 방향이 모두 다르므로 직접 적분하기 번거롭다. 대신 곡면 바로 위(또는 옆)의 유체 덩어리를 자유 물체로 떼어 내 평형을 쓰면 두 성분을 간단히 얻는다.
반지름 2, 폭 3인 1/4 원통 수문의 윗끝이 수면 아래 1에 있다. \(F_H\) = , \(F_V\) = , 합력 은 수평 아래 방향으로 원의 중심을 지난다.
1/4 원통 수문에서 물을 볼록한 쪽(위)에서 오목한 쪽(아래)으로 옮겼다. 수면 깊이·반지름이 같다면 수직 성분 \(F_V\)는?
1/4 원통 곡면 수문의 힘 성분
반지름 2.0 m, 폭 3.0 m인 1/4 원통 수문 위에 물이 있다(시뮬레이터 기본 상태: 물이 볼록한 쪽). 수문 윗끝은 수면 아래 1.0 m다. 정수력의 수평·수직 성분, 합력의 크기와 방향, \(F_H\)의 작용 깊이를 구하라.
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부력과 부양체의 안정성
유체에 잠긴 물체의 표면에도 깊이에 비례하는 압력이 작용한다. 아랫면이 윗면보다 깊으므로 위로 미는 힘이 더 크고, 그 차이가 부력(buoyant force)이다. 물체를 수직 기둥들로 잘게 나누면 각 기둥의 아랫면과 윗면 압력 차가 \(\rho g\,\delta z\)이므로, 모두 더하면 곡면 힘의 수직 성분처럼 물체가 밀어낸 유체의 무게가 된다.
유체 속 물체가 받는 부력은 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같고, 밀어낸 부피의 도심 — 부심(center of buoyancy) B — 을 지나 위로 작용한다: \(F_B = \rho_f g V_\text{sub}\). 물체 자체의 밀도와는 무관하다.
떠 있는 물체는 \(F_B = W\)이므로 잠긴 부피 비율은 \(V_\text{sub}/V = \rho_\text{body}/\rho_f\)이다(얼음 917 kg/m³는 바닷물 1025 kg/m³ 위에서 약 89%가 잠긴다). 줄에 매단 물체를 물에 넣으면 저울 눈금은 부력만큼 준다 — 이것이 겉보기 무게 \(W_\text{app} = W - F_B\)이고, 고대 아르키메데스가 왕관의 밀도를 잰 방법이다.
안정성: 무게 중심, 부심, 메타센터
떠 있는 물체가 평형이라는 것만으로는 부족하다. 살짝 기울었을 때 되돌아오는가(안정), 더 기우는가(불안정)? 무게 \(W\)는 무게 중심 G에, 부력은 부심 B에 작용한다.
- 완전히 잠긴 물체(잠수함, 풍선): 기울어도 잠긴 부피 모양이 그대로라 B가 물체에 고정된다. G가 B보다 아래에 있어야 안정하다.
- 떠 있는 물체(배): 기울면 물에 잠기는 쪽이 늘어 B가 그쪽으로 옮겨 간다(B′). B′을 지나는 부력선이 원래 대칭축과 만나는 점이 메타센터(metacenter) M이다. G가 B보다 위에 있어도 M이 G보다 위에 있으면 복원 모멘트가 생겨 안정하다.
작은 기울기 \(\phi\)에서 부심의 이동은 수선면(물에 잘린 단면)의 2차 모멘트로 정해진다. 용골(바닥) K에서 잰 높이로 쓰면
측면이 수직인 선체(벽면형)는 갑판 끝이 잠기거나 바닥이 드러나기 전까지 \(\overline{GZ} = \sin\phi\,(\overline{GM} + \tfrac12\overline{BM}\tan^2\phi)\)이다. \(\overline{GM} < 0\)이어도 \(\tan\phi = \sqrt{-2\overline{GM}/\overline{BM}}\)에서 다시 평형이 되어, 배가 한쪽으로 기운 채 떠 있는 롤(loll) 상태가 된다. 작은 기울기 진동의 주기는 \(T \approx 2\pi k/\sqrt{g\,\overline{GM}}\)(k: 회전 반지름) — \(\overline{GM}\)이 크면 복원은 확실하지만 흔들림이 빨라 승선감이 나빠진다.
폭 6, 길이 20 m인 상자형 바지선이 바닷물(1025 kg/m³)에서 흘수 2로 떠 있고 무게 중심이 바닥 위 2.2에 있다. 배수량 , \(\overline{KB}\) = , \(\overline{BM}\) = , \(\overline{GM}\) = →
떠 있는 상자의 무게 중심 G가 부심 B보다 위에 있다. 이 상자는?
부양체 상자의 안정성과 복원 팔 곡선
폭 6.0 m, 길이 15 m인 상자형 바지선의 전체 질량이 180 t이고 무게 중심이 바닥 위 2.0 m에 있다. 바닷물(1025 kg/m³)에서 흘수, 메타센터 높이 \(\overline{GM}\), 5° 기울었을 때의 복원 모멘트를 구하라. 또 G를 바닥 위 몇 m까지 올려도 안정한가?
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강체 운동하는 유체
용기 전체가 일정하게 가속하거나 일정한 각속도로 돌면, 충분한 시간 뒤 유체 입자들은 서로에 대해 움직이지 않는다(강체 운동(rigid-body motion)). 상대 운동이 없으니 여전히 전단 응력이 없고, 유체 요소에 대한 뉴턴 제2법칙은 압력 기울기와 중력만으로 쓰인다.
직선 가속
수평 가속도 \(a_x\), 수직 가속도 \(a_z\)로 움직이는 용기에서 \(\partial p/\partial x = -\rho a_x\), \(\partial p/\partial z = -\rho(g + a_z)\)이다. 등압면을 따라 \(dp = 0\)이므로
물을 반쯤 채운 탱크 트럭이 앞(오른쪽)으로 일정하게 가속하고 있다. 탱크 바닥의 압력은?
가속하는 탱크: 기울어진 수면과 등압선
길이 6.0 m, 높이 2.0 m인 열린 직육면체 탱크에 물이 1.6 m 깊이로 실려 있다. 물이 넘치지 않는 최대 수평 가속도는? 그때 뒤쪽과 앞쪽 바닥의 계기 압력은?
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회전하는 용기
수직축으로 각속도 \(\omega\)로 도는 용기에서 유체 입자는 중심을 향한 구심 가속도 \(-r\omega^2\hat e_r\)를 갖는다. 원통 좌표로 \(\partial p/\partial r = \rho r\omega^2\), \(\partial p/\partial z = -\rho g\)이고, 이를 적분하면
지름 40인 원통 용기가 100으로 돌면 ω = , 벽과 중심의 수면 높이 차 \(\omega^2R^2/2g\) = 이다. 벽 쪽 수면은 처음보다 올라가고 중심은 그만큼 내려간다. 벽에서 속력은 ωR = .
회전하는 원통: 포물면 수면 — 넘치기 직전을 맞혀라
지름 0.40 m, 높이 0.60 m인 원통 용기에 물이 0.45 m 깊이로 담겨 있다. 용기를 축 둘레로 돌릴 때 물이 넘치기 시작하는 회전수(rpm)와 그때 중심의 수면 높이, 벽 쪽 바닥의 계기 압력을 구하라.
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회전 포물면은 거대 망원경의 수은 거울(액체 거울 망원경), 원심 주조, 원심 분리기, 회전 점도계의 기초다. 강체 회전(속도 ∝ r)은 9장·6장에서 만날 자유 와류(속도 ∝ 1/r)와 정반대다.
핵심 정리
- 정지 유체에는 전단 응력이 없고, 한 점의 압력은 모든 방향으로 같다(파스칼). 압력은 \(\nabla p = \rho\vec g\), 즉 \(dp/dz = -\rho g\)로 깊이에 따라서만 증가하며, 비압축 유체에서 \(p = p_0 + \rho g h\)이다. 용기 모양과 무관하다.
- \(p_\text{gage} = p_\text{abs} - p_\text{atm}\), \(p_\text{vac} = p_\text{atm} - p_\text{abs}\). 대기는 압축성이라 등온 \(p = p_0e^{-gz/RT_0}\) 또는 표준 대기 \(p = p_0(1-\beta z/T_0)^{g/R\beta}\)로 계산한다.
- 마노미터: 아는 점에서 출발해 같은 유체 안에서 내려가면 \(+\rho g h\), 올라가면 \(-\rho g h\). 차압 마노미터 \(p_A - p_B = (\rho_m-\rho)gh + \rho g\Delta z\), 경사 마노미터는 \(1/\sin\theta\)만큼 확대한다.
- 잠긴 평면: \(F_R = \rho g h_c A\), 작용점 \(y_R = y_c + I_{xc}/(y_cA)\) — 압력 중심은 도심보다 아래에 있고 깊을수록 도심에 가까워진다.
- 곡면: \(F_H\) = 연직 투영면의 힘, \(F_V\) = 곡면 위(실제 또는 가상) 유체의 무게. 원호면의 합력은 원의 중심을 지난다.
- 부력 \(F_B = \rho_f g V_\text{sub}\)는 부심 B에 작용한다. 떠 있는 물체는 \(\overline{GM} = \overline{KB} + \overline{BM} - \overline{KG} > 0\)(\(\overline{BM} = I_o/V_\text{sub}\))이면 안정하고, 복원 모멘트는 \(W\overline{GM}\sin\phi\)이다.
- 강체 운동: \(\nabla p = \rho(\vec g - \vec a)\). 직선 가속에서 수면 기울기 \(\tan\theta = a_x/(g+a_z)\), 회전에서는 포물면 \(z_s = h_0 - \omega^2(R^2-2r^2)/4g\), 높이 차 \(\omega^2R^2/2g\).
연습문제
특별한 말이 없으면 \(g = 9.81\) m/s², 물의 밀도 1000 kg/m³, 계기 압력으로 답한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.
비중 0.85인 기름 탱크의 액면 아래 3.0 m 깊이의 계기 압력은?
\(p = \rho g h = (850)(9.81)(3.0) = 2.50\times10^4\) Pa = 25.0 kPa.
수은(13 550 kg/m³) 기압계의 기둥 높이가 740 mm다. 수은 증기압을 무시할 때 대기압은?
\(p = \rho g h = (13\,550)(9.81)(0.740) = 9.84\times10^4\) Pa = 98.4 kPa.
대기를 288.15 K의 등온 이상 기체(R = 287 J/(kg·K))로 볼 때, 해수면 101.325 kPa에서 고도 3000 m의 압력은?
\(p = p_0\exp[-gz/(RT)] = 101.325\exp[-(9.81)(3000)/((287)(288.15))] = 101.325e^{-0.3559} = 71.0\) kPa. (표준 대기로는 70.1 kPa.)
물이 흐르는 두 관 A, B를 수은(비중 13.6) U자관으로 연결했다. 관 B의 중심이 관 A보다 0.40 m 높고, 수은 액면 차는 0.15 m(A 쪽 액면이 낮다)이다. \(p_A - p_B\)는?
\(p_A - p_B = (\rho_m - \rho)gh + \rho g\Delta z = (12\,600)(9.81)(0.15) + (1000)(9.81)(0.40) = 18.54 + 3.92 = 22.5\) kPa.
비중 0.80인 액체를 쓴 경사 마노미터의 관이 수평과 20°를 이루며, 관을 따라 읽은 액주 길이가 120 mm다. 저장조 액면 변화를 무시할 때 압력 차는?
\(\Delta p = \rho g L\sin\theta = (800)(9.81)(0.120)\sin20^\circ = 322\) Pa.
폭 2.0 m, 높이 3.0 m인 직사각형 수문이 수직으로 서 있고 윗변이 수면 아래 1.0 m에 있다. 정수력과 압력 중심의 깊이는?
\(h_c = 2.5\) m, \(F = \rho g h_c A = (9810)(2.5)(6.0) = 147\) kN. \(y_R = 2.5 + (2\cdot3^3/12)/(2.5\times6.0) = 2.5 + 0.30 = 2.80\) m.
지름 1.2 m인 원형 수문이 수직 벽에 있고 그 중심이 수면 아래 4.0 m다. 정수력과, 압력 중심이 도심보다 얼마나 아래에 있는지 구하라.
\(A = \pi(0.6)^2 = 1.131\) m², \(F = (9810)(4.0)(1.131) = 44.4\) kN. \(y_R - y_c = I_{xc}/(y_cA) = (\pi R^4/4)/(y_c\pi R^2) = R^2/(4y_c) = 0.36/16 = 0.0225\) m = 22.5 mm.
폭 2.0 m, 길이 3.0 m인 직사각형 수문이 수평과 45°로 기울어 있고, 윗변이 수면 아래 2.0 m에서 힌지로 지지된다. 물이 주는 정수력과, 아랫변에서 수문에 수직으로 가해 수문을 닫아 둘 최소 힘 P를 구하라.
\(h_c = 2.0 + 1.5\sin45^\circ = 3.061\) m, \(F = (9810)(3.061)(6.0) = 180\) kN. 힌지 모멘트 \(M = \rho g b(sL^2/2 + L^3\sin\theta/3) = (9810)(2.0)(9.0 + 6.364) = 301.4\) kN·m, \(P = M/L = 100\) kN. (압력 중심은 힌지에서 1.67 m.)
반지름 1.5 m, 폭 4.0 m인 1/4 원통 수문의 오목한 쪽(아래)에 물이 있고, 수문 윗끝이 수면 아래 1.0 m다. 정수력의 수평 성분과 수직 성분(위쪽)은?
\(F_H = \rho g(H + R/2)(Rb) = (9810)(1.75)(6.0) = 103\) kN. \(F_V\) = 곡면 위 가상의 물 무게 \(= \rho g b[R(H+R) - \pi R^2/4] = (9810)(4.0)(3.75 - 1.767) = 77.8\) kN(위쪽).
부피 0.020 m³인 알루미늄(2700 kg/m³) 덩어리를 줄에 매달아 물에 완전히 잠기게 했다. 줄의 장력은?
\(T = (\rho_\text{Al} - \rho_w)gV = (1700)(9.81)(0.020) = 334\) N (공기 중 무게 530 N).
어떤 돌이 공기 중에서 150 N, 물속에서 100 N으로 측정된다. 돌의 부피와 밀도는?
부력 = 50 N = \(\rho_w g V\) → \(V = 50/9810 = 5.10\times10^{-3}\) m³. \(\rho = W/(gV) = 150/(9.81\times5.10\times10^{-3}) = 3000\) kg/m³.
폭 8.0 m, 길이 20 m인 상자형 바지선의 질량이 400 t, 무게 중심이 바닥 위 3.2 m다. 바닷물(1025 kg/m³)에서 메타센터 높이 \(\overline{GM}\)은?
\(d = 400\,000/(1025\times20\times8.0) = 2.439\) m. \(\overline{KB} = 1.220\), \(\overline{BM} = 64/(12\times2.439) = 2.187\) m. \(\overline{GM} = 1.220 + 2.187 - 3.2 = 0.206\) m (안정).
길이 4.0 m, 높이 2.0 m인 열린 탱크에 물이 1.5 m 깊이로 있다. 물이 넘치지 않는 최대 수평 가속도는?
뒤쪽 상승 \((L/2)\tan\theta = 0.5\) → \(\tan\theta = 0.25\), \(a = g\tan\theta = 2.45\) m/s².
지름 0.40 m, 높이 0.50 m인 원통에 물이 0.30 m 깊이로 있다. 물이 막 넘치기 시작하는 회전수와 그때 중심의 수면 높이(바닥 기준)는?
\(\omega = \sqrt{4(9.81)(0.20)}/0.20 = 14.0\) rad/s → \(N = 134\) rpm. 중심 \(= 0.30 - 0.20 = 0.100\) m > 0이므로 바닥은 드러나지 않는다.
다음 중 같은 높이의 두 점의 압력이 같다고 말할 수 없는 경우는?
등압면 규칙은 같은 정지 유체로 이어진 점들에만 적용된다. 물과 기름은 서로 다른 유체이므로 같은 높이라도 압력이 다르다.
비중 0.6인 균질한 나무 정육면체(한 변 a)를 한 면이 수평이 되게 물에 띄웠다. 이 자세는?
흘수 \(d = 0.6a\), \(\overline{KB} = 0.3a\), \(\overline{BM} = a^2/(12\times0.6a) = 0.139a\), \(\overline{KG} = 0.5a\) → \(\overline{GM} = -0.031a < 0\). 비중이 약 0.21–0.79인 정육면체는 똑바로 서지 못하고 모서리로 기운다. 마지막 보기는 틀린 추론이다(G가 B 위여도 안정할 수 있다).
개념 확인 퀴즈
정지한 물속 한 점에 작은 압력 센서를 위·아래·옆으로 돌려 대면 측정값은?
크기가 일정한 수직 수문을 물속 더 깊은 곳으로 옮기면 압력 중심과 도심 사이 거리는?
배의 창고에 있던 무거운 화물을 갑판 위로 옮겼다. 흘수가 변하지 않는다면 \(\overline{GM}\)은?
물컵에 얼음이 떠 있다. 얼음이 모두 녹으면 수면 높이는?
같은 원통 용기에 물 대신 수은을 같은 깊이로 담아 같은 rpm으로 돌리면 벽과 중심의 수면 높이 차는?