Chapter 01

유체의 성질

숟가락으로 꿀을 저으면 손이 무겁고, 물은 가볍다. 가는 유리관 속 물은 저절로 올라가고 수은은 내려간다. 높은 산에서는 라면 물이 90 °C도 안 되어 끓고, 배의 프로펠러는 물속에서 생긴 거품에 갉아먹힌다. 이 모든 현상은 몇 개의 물성 — 밀도, 점성, 압축성, 표면 장력, 증기압 — 으로 설명된다. 유체역학의 첫 장은 이 숫자들이 무엇을 뜻하고 어떻게 재는지를 다룬다. 아래 두 평판 사이의 유체층에서 윗판을 끌어 보면서 시작하자.

윗판을 좌우로 끌어 보세요

유체를 "전단 응력을 받으면 계속 변형하는 물질"로 정의하고, 연속체 가정이 성립하는 조건(크누센 수)을 판단한다.
밀도·비중량·비중·비체적을 구별하고, 이상 기체 상태 방정식으로 기체의 밀도를 구한다.
뉴턴 점성 법칙 $\tau = \mu\,du/dy$로 평판·베어링·점도계의 전단 응력, 힘, 토크, 동력을 계산하고, 점성의 온도 의존성을 설명한다.
멱법칙·빙엄 소성 모델로 비뉴턴 유체의 유변 곡선과 겉보기 점성을 해석한다.
체적 탄성 계수 $E_v$로 액체·기체의 압축량과 음속 $c = \sqrt{E_v/\rho}$를 구한다.
표면 장력으로 물방울·거품의 압력차와 모세관 상승 $h = 4\sigma\cos\phi/(\rho g D)$를 계산하고, 증기압으로 끓음과 공동 현상의 조건을 판단한다.

유체란 무엇인가: 정의, 연속체, 단위

고체와 유체를 가르는 기준은 단단함이 아니라 전단 응력에 대한 반응이다. 고무 블록의 윗면을 옆으로 밀면 블록은 일정한 각도까지 기울어진 뒤 멈추고, 힘을 빼면 돌아온다. 같은 일을 물이나 기름에 하면 아무리 작은 힘이라도 유체는 멈추지 않고 계속 변형한다. 이것이 정의다.

유체

유체(fluid)는 전단 응력이 작용하는 동안 그 크기가 아무리 작더라도 계속해서 변형하는 물질이다. 고체에서는 전단 응력이 변형량(전단 변형 $\gamma$)에 비례하지만($\tau = G\gamma$), 유체에서는 변형률(변형의 속도)에 관계한다. 정지한 유체에는 전단 응력이 없다 — 2장 유체 정역학의 출발점이다.

같은 크기의 전단력 F를 고체 블록의 윗면과 유체층의 윗판에 가한다. 유체에는 수직 염료 선을 그어 두었다.
고체는 전단 변형 γ = τ/G 만큼 기울고 멈춘다. 유체의 염료 선도 기울기 시작한다.
시간이 지나도 고체의 각도는 그대로지만, 유체의 염료 선은 계속 기운다.
유체에서는 변형량이 아니라 변형률(얼마나 빨리 기우는가)이 응력과 짝을 이룬다.

고체와 유체의 정의. 장 머리의 애니메이션에서 ‘고체로 바꾸기’를 눌러 같은 비교를 직접 해 볼 수 있다.

연속체 가정

유체는 분자로 이루어져 있고 분자 사이는 비어 있다. 그런데도 우리는 밀도·속도·압력을 공간의 모든 점에서 정의된 연속 함수로 다룬다. 이것이 연속체 가정(continuum hypothesis)이다. 한 점의 밀도는 그 점을 둘러싼 작은 부피 $\delta V$ 속 질량의 비로 정의하는데,

$$\rho = \lim_{\delta V \to \delta V^*} \frac{\delta m}{\delta V}$$

$\delta V^*$는 분자 수가 충분히 많아 통계적 요동이 사라질 만큼 크면서, 거시적 변화를 느끼지 않을 만큼 작은 부피다. 표준 상태 공기에서 $\delta V^* \approx 10^{-9}$ mm³ 정도에도 분자가 약 $3\times10^7$개 들어 있다.

아래 미니 실험에서 측정 상자를 작게 하면 분자 몇 개가 들락날락할 때마다 "밀도"가 크게 요동하고, 너무 크게 하면 왼쪽–오른쪽의 거시적 밀도 변화가 섞여 버린다. 그 사이의 평평한 구간이 연속체가 성립하는 구간이다.

상자를 끌어 옮긴다

측정 상자 크기 L

MINI LAB분자는 열운동으로 늘 흔들린다(오른쪽 절반은 밀도가 2배쯤 큰 다른 영역이다). 상자를 왼쪽 영역에 두고 크기를 0.01에서 0.7까지 바꾸며 오른쪽 그래프의 점이 어떻게 흩어지는지 보라. 점선은 상자 중심에서의 "참" 국소 밀도다.

연속체 가정이 맞는지는 분자의 평균 자유 행로(mean free path) $\lambda$와 물체의 대표 길이 $L$의 비, 크누센 수(Knudsen number) $\mathrm{Kn} = \lambda/L$로 판단한다. 기체 분자 운동론에 따르면 $\lambda \approx (\mu/p)\sqrt{\pi R T/2}$이다. $\mathrm{Kn} < 0.01$이면 연속체로 충분하고, 이 책의 모든 내용은 이 영역에 있다.

고도 0의 공기에서 평균 자유 행로는 $\lambda \approx$ 이다. 크기 -2인 물체라면 $\mathrm{Kn} =$ →

정상 대기 속의 비행기·자동차·배관은 $\mathrm{Kn}$이 $10^{-6}$ 이하라서 아무 걱정이 없다. 연속체가 깨지는 곳은 고도 100 km 이상의 재진입 우주선, 하드 디스크 헤드와 디스크 사이의 수십 nm 틈, MEMS 미세 유로 같은 특수한 경우다.

차원과 단위

유체역학의 모든 양은 네 가지 기본 차원(primary dimensions) — 질량 {M}, 길이 {L}, 시간 {T}, 온도 {Θ} — 로 표현된다. 힘은 뉴턴 제2법칙에서 {M L T⁻²}로 유도되는 차원이다. 이 책은 SI 단위계를 쓴다.

양	기호	차원	SI 단위	자주 보는 다른 단위
힘	$F$	M L T⁻²	N = kg·m/s²	1 lbf = 4.448 N
압력·응력	$p, \tau$	M L⁻¹ T⁻²	Pa = N/m²	1 atm = 101.325 kPa, 1 bar = 100 kPa, 1 psi = 6.895 kPa
밀도	$\rho$	M L⁻³	kg/m³	1 g/cm³ = 1000 kg/m³
비중량	$\gamma$	M L⁻² T⁻²	N/m³	—
점성 계수	$\mu$	M L⁻¹ T⁻¹	Pa·s = kg/(m·s)	1 P(푸아즈) = 0.1 Pa·s, 1 cP = 1 mPa·s
동점성 계수	$\nu$	L² T⁻¹	m²/s	1 St(스토크스) = 10⁻⁴ m²/s, 1 cSt = 10⁻⁶ m²/s
표면 장력	$\sigma$	M T⁻²	N/m = J/m²	1 dyn/cm = 10⁻³ N/m
체적 탄성 계수	$E_v$	M L⁻¹ T⁻²	Pa	GPa

물리 법칙을 나타내는 식은 차원 동차성(dimensional homogeneity)을 가져야 한다. 더하거나 빼는 모든 항, 등호의 양변은 같은 차원이어야 한다. 계산을 마친 뒤 단위를 끝까지 따라가 보는 습관은 실수를 가장 확실하게 잡아 준다(차원 해석은 7장에서 본격적으로 다룬다).

(a) 압력 $p$와 $\tfrac12\rho V^2$이 같은 차원임을 보여라. (b) 엔진 오일의 점성 계수가 290 cP, 밀도가 891 kg/m³이다. 점성 계수를 Pa·s로, 동점성 계수 $\nu = \mu/\rho$를 m²/s와 cSt로 나타내라.

풀이 보기

전략 각 양을 {M, L, T}로 바꾸고, 접두사 환산을 한 줄씩 적는다.

풀이 (a) $[p] = \text{N/m}^2 = \text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}^2) = \{\text{M L}^{-1}\text{T}^{-2}\}$, $[\rho V^2] = (\text{kg/m}^3)(\text{m/s})^2 = \text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}^2)$. 같다. (b) $\mu = 290\times10^{-3} = 0.290$ Pa·s, $\nu = 0.290/891 = 3.25\times10^{-4}$ m²/s $= 325$ cSt.

(a) 둘 다 {M L⁻¹ T⁻²} (b) μ = 0.290 Pa·s, ν = 3.25×10⁻⁴ m²/s = 325 cSt

검토 $\tfrac12\rho V^2$은 3장에서 ‘동압’이라는 이름으로 압력과 더해진다. 차원이 같지 않다면 더할 수 없었을 것이다.

밀도, 비중량, 비중

단위 부피당 질량이 밀도(density) $\rho$, 단위 부피당 무게가 비중량(specific weight) $\gamma$다. 기준 물질(보통 4 °C의 물, 1000 kg/m³)에 대한 밀도의 비가 비중(specific gravity) SG이며 단위가 없다. 밀도의 역수인 비체적(specific volume) $v = 1/\rho$는 열역학에서 많이 쓴다.

$$\rho = \frac{m}{V}, \qquad \gamma = \rho g, \qquad \mathrm{SG} = \frac{\rho}{\rho_{\text{H}_2\text{O},\,4^\circ\text{C}}}, \qquad v = \frac{1}{\rho}$$

물(20 °C): $\rho = 998$ kg/m³, $\gamma = 9.79$ kN/m³. 수은: SG = 13.6. 이 책 전체에서 $g = 9.81$ m/s².

액체의 밀도는 압력에 거의 무관하고 온도에도 조금만 변한다. 물은 특이하게 약 4 °C에서 밀도가 가장 크다 — 겨울 호수의 바닥 물이 얼지 않고 4 °C 근처에 머무는 이유다.

물의 온도 T 0–12 °C 확대

MINI LAB1 atm에서 물의 밀도. 0 °C에서 100 °C까지 밀도는 약 4% 줄어든다. ‘확대’를 켜면 4 °C의 최댓값이 보인다. 공학 계산에서 물을 1000 kg/m³로 두어도 오차가 0.2–4%에 그치는 이유다.

기체의 밀도는 압력과 온도에 크게 좌우된다. 대부분의 공학 조건에서 기체는 이상 기체 상태 방정식(ideal-gas equation of state)을 따른다.

$$p = \rho R T \quad\Longrightarrow\quad \rho = \frac{p}{RT}$$

$p$: 절대 압력(Pa), $T$: 절대 온도(K), $R$: 기체 상수 — 공기 $R = 287$ J/(kg·K). 계기압을 그대로 넣는 것이 가장 흔한 실수다.

절대 압력 101, 온도 20인 공기의 밀도는 $\rho = p/RT =$ , 비중량은 , 비체적은 이다. 같은 부피의 물이 이 공기보다 배 무겁다.

타이어의 계기압이 210 kPa, 온도가 25 °C, 내부 부피가 0.0250 m³이다(대기압 101.325 kPa). (a) 공기의 밀도와 질량을 구하라. (b) 주행 중 부피 변화 없이 온도가 50 °C로 오르면 계기압은 얼마인가?

풀이 보기

전략 절대 압력 = 계기압 + 대기압. 질량과 부피가 일정하면 밀도가 일정하므로 $p/T$가 일정하다.

풀이 (a) $p = 311.3$ kPa, $T = 298.15$ K → $\rho = \dfrac{311\,325}{287\times298.15} = 3.64$ kg/m³, $m = \rho V = 0.0910$ kg. (b) $p_2 = p_1\dfrac{T_2}{T_1} = 311.3\times\dfrac{323.15}{298.15} = 337.4$ kPa(절대) → 계기압 236 kPa.

(a) ρ = 3.64 kg/m³, m = 0.0910 kg (b) 계기압 236 kPa

검토 25 K 오르면 절대 압력은 8.4% 오르지만 계기압은 12% 오른다. 계기압으로 비례식을 세우면 틀린다. 위의 드래그 문단에 311 kPa, 25 °C를 넣어 (a)를 확인해 보라.

점성과 뉴턴 유체

두 평판 사이에 얇은 유체층을 두고 아래 판은 고정, 윗판을 일정한 속도 $U$로 끈다. 유체는 벽에 달라붙는다 — 벽과 닿은 유체의 속도는 벽의 속도와 같다(점착 조건(no-slip condition)). 그래서 아래 판 위의 유체는 정지해 있고 윗판 밑의 유체는 $U$로 움직이며, 그 사이의 속도는 직선으로 변한다: $u(y) = Uy/h$. 이 흐름을 쿠에트 유동(Couette flow)이라 한다.

점착 조건 때문에 속도는 아래 판에서 0, 윗판에서 U이고 그 사이에서 선형이다. 직사각형 유체 요소 ABCD를 표시했다.
짧은 시간 δt 뒤 윗변 DC는 δa = U δt 만큼 더 가고, 요소는 각도 δβ만큼 기운다. 고체라면 여기서 멈추지만 유체는 계속 기운다.
변형률 dβ/dt는 속도 기울기 du/dy와 같다. 뉴턴 유체에서 전단 응력은 이 변형률에 비례한다.

전단 변형률 = 속도 기울기. 유체의 "변형하는 빠르기"가 곧 $du/dy$다.

뉴턴 점성 법칙

전단 응력이 변형률(속도 기울기)에 정비례하는 유체를 뉴턴 유체(Newtonian fluid)라 하고, 비례 상수 $\mu$를 점성 계수(dynamic viscosity)라 한다. 물, 공기, 휘발유, 대부분의 기름이 뉴턴 유체다.

$$\tau = \mu\frac{du}{dy}, \qquad \nu = \frac{\mu}{\rho}$$

$\tau$: 전단 응력(Pa), $\mu$: 점성 계수(Pa·s), $\nu$: 동점성 계수(kinematic viscosity)(m²/s). 평판 사이 선형 분포에서는 $du/dy = U/h$이므로 윗판을 끄는 힘은 $F = \tau A = \mu U A/h$.

넓이 0.5인 판을 두께 1.0의 SAE 30 오일막($\mu = 0.29$ Pa·s) 위에서 1.0로 밀면, 속도 기울기는 , 전단 응력은 , 필요한 힘은 이고 오일막에서 가 열로 바뀐다.

막 두께를 절반으로 줄이면 힘은 두 배가 된다. 정밀 기계의 미끄럼 베어링이 아주 얇은 유막을 쓰면서도 점성 손실을 감수하는 이유, 그리고 유막이 끊어지지 않게 하는 윤활 설계가 중요한 이유가 이 식에 있다. 아래 시뮬레이터에서 직접 확인하자.

SIMULATOR

평판 사이 유체: 목표 전단 응력을 만들어라

U 화살표 끝과 윗판의 ↕ 손잡이를 끈다

유체 (20 °C)

간격 h 윗판 속도 U

du/dy = U/h—

전단 응력 τ—

힘 F (A = 0.20 m²)—

목표—

추적 입자는 높이에 비례하는 속도로 흐르고, 왼쪽 화살표 묶음이 속도 분포다. 해볼 것: ① U를 두 배로 하거나 h를 절반으로 하면 τ가 두 배가 되는지 확인하라. ② 같은 U와 h에서 공기와 글리세린의 τ는 약 8만 배 차이 난다. ③ ‘도전’을 눌러 목표 τ*를 ±3% 안에 맞혀라 — 큰 목표는 점성이 큰 유체가 아니면 만들 수 없다.

무게 50.0 N, 바닥 면적 0.200 m × 0.300 m인 블록이 20.0° 경사면을 두께 0.40 mm의 SAE 30 오일막($\mu = 0.29$ Pa·s) 위로 미끄러져 내려간다. 오일막 속 속도 분포를 선형으로 가정할 때 블록의 종단 속도는?

풀이 보기

전략 종단 속도에서는 가속도가 0이므로 경사면 방향 무게 성분 = 점성 마찰력 $\mu VA/h$.

풀이 $W\sin\theta = \mu\dfrac{V}{h}A$ → $V = \dfrac{W\sin\theta\,h}{\mu A} = \dfrac{(50.0)(\sin20.0^\circ)(4.0\times10^{-4})}{(0.29)(0.0600)} = 0.393$ m/s.

V ≈ 0.393 m/s

검토 쿨롱 마찰(속도와 무관)과 달리 점성 마찰은 속도에 비례하므로 언제나 종단 속도가 생긴다. 막 두께가 두 배면 종단 속도도 두 배다.

점성의 온도 의존성

점성의 원인은 액체와 기체에서 다르다. 액체에서는 분자 사이의 응집력이 층 사이의 미끄러짐을 방해하는데, 온도가 오르면 분자 운동이 활발해져 응집력의 구속을 쉽게 벗어나므로 점성이 급격히 감소한다. 기체에서는 분자가 층 사이를 오가며 운동량을 나르는 운동량 교환이 점성의 원인이므로, 온도가 오르면 분자가 더 빨리 더 많이 오가 점성이 증가한다.

$$\text{액체(안드라데 식):}\ \ \mu = D\,e^{B/T}, \qquad \text{기체(서덜랜드 식):}\ \ \mu = \frac{bT^{3/2}}{S + T}$$

$T$는 절대 온도. 공기: $b = 1.458\times10^{-6}$ kg/(m·s·K^1/2), $S = 110.4$ K. 압력의 영향은 두 경우 모두 작다(단, 기체의 $\nu = \mu/\rho$는 압력에 반비례한다).

엔진 오일과 공기를 20 °C에서 80 °C로 데우면 각각의 점성 계수는 어떻게 될까?

액체의 점성은 응집력, 기체의 점성은 분자 운동량 교환에서 온다. 아래 그래프에서 엔진 오일은 20→80 °C에서 약 26분의 1이 되고, 공기는 약 18% 커진다.

온도 T 동점성 계수 ν로 보기

MINI LAB세로축은 로그 눈금이다. 엔진 오일·물·공기의 점성 계수가 온도에 따라 어떻게 변하는지 비교하라. ν로 바꾸면 공기가 물보다 약 15배 "끈적하다" — 공기의 밀도가 매우 작기 때문이다.

유체 (20 °C, 1 atm)	ρ (kg/m³)	μ (Pa·s)	ν (m²/s)	σ (N/m, 공기와 접할 때)
공기	1.204	1.81×10⁻⁵	1.50×10⁻⁵	—
물	998	1.00×10⁻³	1.00×10⁻⁶	0.0728
바닷물	1025	1.07×10⁻³	1.04×10⁻⁶	0.0735
휘발유	680	2.9×10⁻⁴	4.3×10⁻⁷	0.0216
에탄올	789	1.2×10⁻³	1.5×10⁻⁶	0.0223
SAE 30 오일	891	0.29	3.3×10⁻⁴	0.035
글리세린	1260	1.41	1.12×10⁻³	0.0634
수은	13550	1.53×10⁻³	1.13×10⁻⁷	0.484

회전하는 축과 저널 베어링

반지름 $R$, 길이 $L$인 축이 각속도 $\omega$로 돌고, 축과 베어링 사이에 두께 $c$의 기름막이 있다. $c \ll R$이면 기름막을 펼친 평판 사이 유동으로 볼 수 있다: 축 표면 속도 $U = \omega R$, 전단 응력 $\tau = \mu\omega R/c$, 이 응력이 넓이 $2\pi RL$에 작용하고 팔 길이 $R$로 토크를 만든다.

$$T = \tau\,(2\pi R L)\,R = \frac{2\pi\mu R^3 \omega L}{c}, \qquad \dot W = T\omega = \frac{2\pi\mu R^3\omega^2 L}{c}$$

이 결과를 페트로프 식(Petroff's law)이라 한다. 토크를 재면 거꾸로 $\mu$를 구할 수 있다 — 동심 원통형 회전 점도계(rotational viscometer)의 원리다.

SIMULATOR

저널 베어링의 점성 토크

베어링 안쪽 벽의 손잡이를 끌어 틈 c를 바꾼다

윤활유

회전수 n 축 지름 D 베어링 길이 L 틈 c

표면 속도 ωR—

τ = μωR/c—

토크 T—

손실 동력 Tω—

틈은 실제보다 수백 배 과장해 그렸고, 오른쪽 아래 작은 상자가 틈 속 속도 분포이고, 오른쪽 그래프의 실선은 토크(∝ ω), 점선은 손실 동력(∝ ω², 상대값)이다. 해볼 것: ① 축 지름을 두 배로 하면 토크가 8배($R^3$)가 됨을 확인하라. ② 회전수를 두 배로 하면 토크는 2배, 손실 동력은 4배다. ③ 틈을 반으로 줄이면? 오른쪽 그래프의 점이 어디로 가는지 보라.

지름 50.0 mm, 길이 100 mm인 축이 1500 rpm으로 돈다. 반지름 방향 틈은 0.100 mm이고 SAE 30 오일($\mu = 0.29$ Pa·s)이 채워져 있다. 점성 토크와 손실 동력을 구하라.

풀이 보기

전략 틈이 반지름의 1/250이므로 선형 속도 분포 가정이 정확하다. 페트로프 식을 쓴다.

풀이 $\omega = 1500\times2\pi/60 = 157.1$ rad/s, $U = \omega R = 3.93$ m/s, $\tau = \mu U/c = (0.29)(3.93)/(1.0\times10^{-4}) = 1.14\times10^4$ Pa. $T = 2\pi\mu R^3\omega L/c = \dfrac{2\pi(0.29)(0.025)^3(157.1)(0.100)}{1.0\times10^{-4}} = 4.47$ N·m, $\dot W = T\omega = 702$ W.

T ≈ 4.47 N·m, 손실 동력 ≈ 702 W

검토 700 W가 기름막에서 열이 된다. 기름이 데워지면 점성이 급감해 토크도 줄지만 유막이 얇아질 위험이 있어, 실제 베어링은 오일을 순환시켜 식힌다. 위 시뮬레이터에 같은 값을 넣어 확인하라.

비뉴턴 유체

케첩, 페인트, 혈액, 치약, 고분자 용액, 진흙, 옥수수 전분 물 — 전단 응력과 변형률의 관계가 직선이 아닌 유체를 비뉴턴 유체(non-Newtonian fluid)라 한다. 이 관계를 그린 $\tau$–$du/dy$ 그래프가 유변 곡선(rheological curve)이고, 곡선 위 한 점에서 원점까지 그은 선의 기울기를 겉보기 점성(apparent viscosity) $\eta = \tau/(du/dy)$라 한다.

유변 곡선의 네 가지 기본형. 전단 박화 유체는 세게 휘저을수록 묽어지고, 전단 농화 유체는 되직해진다. 빙엄 소성 유체는 항복 응력 $\tau_y$ 아래에서는 고체처럼 버틴다.

가장 널리 쓰는 두 모델은 다음과 같다.

$$\text{멱법칙:}\ \ \tau = K\left(\frac{du}{dy}\right)^{n},\ \ \eta = K\left(\frac{du}{dy}\right)^{n-1} \qquad\qquad \text{빙엄 소성:}\ \ \tau = \tau_y + \mu_p\frac{du}{dy}\ \ (\tau > \tau_y)$$

$K$: 점조도 지수(Pa·sⁿ), $n$: 흐름 지수. $n<1$ 전단 박화(shear-thinning, pseudoplastic), $n=1$ 뉴턴 유체($K=\mu$), $n>1$ 전단 농화(shear-thickening, dilatant). 빙엄 소성(Bingham plastic) 유체는 $\tau<\tau_y$이면 흐르지 않는다. $\mu_p$는 소성 점성.

점조도 지수 $K =$ 10, 흐름 지수 $n =$ 0.5인 유체를 변형률 10로 전단하면 $\tau =$ , 겉보기 점성 $\eta =$ 이다.

그 밖에 시간에 따라 성질이 바뀌는 유체도 있다. 가만히 두면 굳고 휘저으면 시간이 지나며 묽어지는 틱소트로피(thixotropy) 유체(요구르트, 일부 페인트), 반대로 되직해지는 레오펙시 유체, 그리고 탄성과 점성을 함께 가져 막대를 돌리면 막대를 타고 오르는 점탄성 유체(고분자 용액)가 그 예다. 이 책의 나머지 장은 뉴턴 유체만 다룬다.

케첩 병을 세게 흔들거나 바닥을 치면 갑자기 잘 흘러나온다. 전단 변형률이 커질 때 케첩의 겉보기 점성은?

케첩은 항복 응력이 있는 전단 박화 유체다. 아래 측정기에서 ‘전단 박화’를 고르고 변형률을 키우면, 원점과 잇는 점선(기울기 = η)이 점점 누워 겉보기 점성이 줄어드는 것이 보인다.

SIMULATOR

유변 측정기: 미지 시료의 정체를 밝혀라

윗판의 속도 화살표 끝을 끈다

시료

변형률 du/dy 네 모델 곡선 함께 보기

판정 (미지 시료)

du/dy—

τ—

겉보기 점성 η—

판정—

간격 1 mm의 평판형 측정기다. 윗판 속도를 끌면 변형률이 바뀌고 측정점이 자동으로 찍힌다. 해볼 것: ① 네 시료 모두 du/dy = 100 s⁻¹에서 τ ≈ 100 Pa이 되게 맞춰 두었다. 낮은 변형률에서 누가 가장 끈적한가? ② 빙엄 유체는 du/dy → 0에서도 τ가 0이 아니다(항복 응력). ③ ‘미지 시료’를 받아 여러 변형률에서 점을 찍고 곡선의 휘는 방향으로 정체를 판정하라.

어떤 페인트가 $K = 12$ Pa·sⁿ, $n = 0.40$인 멱법칙을 따른다. 붓으로 칠할 때($du/dy = 100$ s⁻¹)와 벽에 칠해진 뒤 흘러내리는 동안($du/dy = 10$ s⁻¹)의 전단 응력과 겉보기 점성을 비교하라.

풀이 보기

전략 $\tau = K\dot\gamma^{\,n}$, $\eta = K\dot\gamma^{\,n-1}$에 각각 대입한다($\dot\gamma = du/dy$).

풀이 $\dot\gamma = 100$: $\tau = 12(100)^{0.40} = 75.7$ Pa, $\eta = 12(100)^{-0.60} = 0.757$ Pa·s. $\dot\gamma = 10$: $\tau = 12(10)^{0.40} = 30.1$ Pa, $\eta = 12(10)^{-0.60} = 3.01$ Pa·s.

칠할 때 η ≈ 0.757 Pa·s, 흘러내릴 때 η ≈ 3.01 Pa·s (4배 끈적)

검토 변형률이 10배일 때 η는 $10^{n-1} = 10^{-0.6} = 0.25$배가 된다. 붓질할 때는 잘 펴지고 칠한 뒤에는 흘러내리지 않는 것 — 페인트를 전단 박화로 만드는 이유다. 위 드래그 문단에서 K = 12, n = 0.4로 맞춰 확인하라.

압축성과 체적 탄성 계수

유체를 누르면 부피가 줄고 밀도가 커진다. 얼마나 쉽게 줄어드는지를 나타내는 양이 체적 탄성 계수(bulk modulus of elasticity) $E_v$다. 압력 변화를 부피 변화율로 나눈 값이므로 압력과 같은 단위를 가진다. 크면 클수록 압축하기 어렵다.

$$E_v = -\frac{dp}{dV/V} = \frac{dp}{d\rho/\rho} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\Delta V}{V} \approx -\frac{\Delta p}{E_v}$$

질량이 일정하면 $dV/V = -d\rho/\rho$. 역수 $\beta = 1/E_v$를 압축률(compressibility)이라 한다. 물(20 °C) $E_v \approx 2.20$ GPa, 수은 약 28.5 GPa, 강철의 체적 탄성 계수는 약 160 GPa.

물을 1% 압축하려면 22 MPa(약 220기압)이 필요하다. 그래서 대부분의 액체 유동은 비압축성(incompressible)으로 다룬다. 하지만 수압 장치의 응답, 수격 작용(밸브를 갑자기 닫을 때의 압력파), 수중 음향에서는 이 작은 압축성이 결정적이다.

기체에서는 $E_v$가 압축 과정에 따라 다르다. 이상 기체를 천천히 등온 압축하면 $pV = \text{const}$에서 $E_v = p$, 열 교환 없이 빠르게(등엔트로피로) 압축하면 $pV^k = \text{const}$에서 $E_v = kp$다(공기 $k = 1.4$). 대기압 공기의 $E_v$는 겨우 0.1–0.14 MPa로 물보다 2만 배 작다.

SIMULATOR

피스톤으로 눌러 보는 체적 탄성 계수

피스톤 손잡이를 위아래로 끈다

유체와 과정

부피 비 V/V₀

압력 p (절대)—

E_v = −V dp/dV—

밀도 ρ—

음속 √(E_v/ρ)—

처음 상태는 101.3 kPa, 20 °C. 오른쪽 그래프의 진한 실선이 현재 과정(흐린 선은 다른 과정)이고, 녹색 점선은 현재 점에서의 접선으로, 그 기울기에 −V를 곱한 것이 $E_v$다. 해볼 것: ① 공기를 절반 부피로 누르면 등온에서는 압력이 2배, 등엔트로피에서는 2.64배가 된다. ② 물은 부피를 겨우 1% 줄이는 데 22 MPa이 든다(피스톤 변위는 크게 과장해 그렸다). ③ 공기의 등엔트로피 음속(343 m/s)과 등온 음속(290 m/s)을 비교하라 — 실제 소리는 등엔트로피 과정이다.

음속과의 연결

작은 압력 교란은 유체 속을 음속(speed of sound) $c$로 전파한다. 11장에서 유도하겠지만, 음속은 체적 탄성 계수와 밀도로 정해진다.

$$c = \sqrt{\frac{E_v}{\rho}} = \sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial\rho}\right)_s} \qquad \text{이상 기체:}\ \ c = \sqrt{kRT}$$

물 $c \approx 1480$ m/s, 20 °C 공기 $c = 343$ m/s. 유속 $V$와 음속의 비 $\mathrm{Ma} = V/c$가 마하 수(Mach number)다. 밀도 변화는 대략 $\Delta\rho/\rho \sim \mathrm{Ma}^2/2$이므로 $\mathrm{Ma} < 0.3$이면 기체도 비압축성으로 다룰 수 있다(밀도 변화 5% 미만).

체적 탄성 계수 2.2인 액체(처음 밀도 998 kg/m³)에 압력을 20 더하면 부피가 줄어 밀도가 가 된다. 이 액체 속에서 소리는 $c = \sqrt{E_v/\rho} \approx$ 로 퍼지며, 1 km를 에 간다.

(a) 물의 부피를 1.00% 줄이는 데 필요한 압력 증가는? (b) 수심 4000 m의 바닷물에 작용하는 계기압을 $\rho g h$로 어림하고($\rho = 1025$ kg/m³), 이 압력에서 바닷물의 부피 감소율과 밀도를 구하라. 두 경우 모두 $E_v = 2.20$ GPa로 둔다. (c) 20 °C 물(998 kg/m³)의 음속은?

풀이 보기

전략 변화가 작으므로 $\Delta V/V \approx -\Delta p/E_v$, $\Delta\rho/\rho \approx \Delta p/E_v$를 쓴다.

풀이 (a) $\Delta p = E_v(0.0100) = 22.0$ MPa. (b) $\Delta p = (1025)(9.81)(4000) = 40.2$ MPa → $\Delta V/V = 40.2/2200 = 1.83\%$, $\rho \approx 1025(1.0183) = 1044$ kg/m³. (c) $c = \sqrt{2.20\times10^9/998} = 1485$ m/s.

(a) 22.0 MPa (b) 1.83%, ρ ≈ 1044 kg/m³ (c) c ≈ 1.48 km/s

검토 4 km 깊이에서도 밀도는 2% 남짓 커질 뿐이다. 해양 유동을 비압축성으로 다루는 근거다. 그러나 이 작은 압축성 덕분에 소리가 공기보다 4배 이상 빨리, 멀리 전파된다.

표면 장력과 모세관 현상

액체 내부의 분자는 사방에서 이웃에게 당겨져 힘이 상쇄되지만, 표면의 분자는 안쪽으로만 당겨진다. 그래서 표면은 넓이를 줄이려는 팽팽한 막처럼 행동한다. 표면 위에 그은 선의 단위 길이당 작용하는 이 당김이 표면 장력(surface tension) $\sigma$(N/m)이며, 표면을 단위 넓이만큼 늘리는 데 드는 일(J/m²)과 같다. 소금쟁이가 물에 뜨고, 작은 물방울이 둥글어지는 이유다.

물방울과 거품 속의 압력

반지름 $R$인 물방울을 반으로 잘라 반쪽의 힘 평형을 보자. 단면에 작용하는 압력차 $\Delta p\cdot\pi R^2$를 둘레에서 당기는 표면 장력 $\sigma\cdot2\pi R$가 버틴다. 비눗방울은 안쪽·바깥쪽 두 표면이 있으므로 두 배다.

$$\text{물방울:}\ \ \Delta p = p_\text{in} - p_\text{out} = \frac{2\sigma}{R}, \qquad \text{비눗방울:}\ \ \Delta p = \frac{4\sigma}{R}$$

곡률 반지름이 $R_1, R_2$인 일반 곡면에서는 영–라플라스 식(Young–Laplace equation) $\Delta p = \sigma(1/R_1 + 1/R_2)$이다. 구에서는 $R_1 = R_2 = R$.

방울 가장자리의 손잡이를 끈다

종류

반지름 R

MINI LAB물방울은 σ = 0.0728 N/m, 비눗방울은 σ = 0.025 N/m. 방울이 작을수록 속 압력이 커진다(오른쪽 로그–로그 그래프의 기울기 −1). 1 µm 물방울의 속 압력은 대기압보다 1.5기압이나 높다 — 작은 물방울이 큰 물방울보다 빨리 증발하는 이유다.

접촉각과 모세관 현상

액체가 고체 벽과 만나는 선에서 액체 표면이 벽과 이루는 각을 접촉각(contact angle) $\phi$라 한다. 액체–고체 인력(부착력)이 액체 분자끼리의 인력(응집력)보다 크면 $\phi < 90^\circ$로 벽을 적시고, 작으면 $\phi > 90^\circ$로 적시지 않는다. 깨끗한 유리와 물은 $\phi \approx 0^\circ$, 유리와 수은은 $\phi \approx 130^\circ$다.

접촉각은 액체·고체·기체 세 쌍의 조합으로 정해지는 성질이다. 같은 유리관에서도 물은 올라가고 수은은 내려간다.

가는 관을 액체에 세우면 적시는 액체는 관을 타고 올라간다. 관 둘레를 따라 표면 장력의 수직 성분이 액주를 끌어올리고, 들어 올린 액주의 무게가 이와 평형을 이룬다.

지름 D인 깨끗한 관을 세우면 물이 자유 수면보다 h만큼 올라가 멈춘다.
관 벽과 액면이 만나는 둘레 πD를 따라 표면 장력이 접촉각 φ 방향으로 당긴다. 수직 성분은 σ πD cos φ.
이 힘이 자유 수면 위로 들린 액주의 무게와 같아질 때 평형이다. 메니스커스의 작은 부피는 무시했다.

모세관 상승의 유도. 지름이 작을수록 둘레(∝D)에 비해 무게(∝D²)가 작아 더 높이 오른다.

$$h = \frac{2\sigma\cos\phi}{\rho g R} = \frac{4\sigma\cos\phi}{\rho g D}$$

$\phi > 90^\circ$이면 $\cos\phi < 0$이므로 $h < 0$ — 액면이 내려간다. 이 식은 관 지름이 모세관 길이(capillary length) $\sqrt{\sigma/\rho g}$(물 약 2.7 mm)보다 충분히 작을 때 잘 맞는다. 압력계의 유리관이 너무 가늘면 이 상승 때문에 읽기 오차가 생긴다.

깨끗한 유리관(지름 1 mm)을 수은 그릇에 세웠다. 관 속 수은의 높이는?

수은은 유리를 적시지 않는다(φ ≈ 130°). cos φ < 0이므로 h < 0이고, 메니스커스는 위로 볼록하다. 아래에서 ‘수은’을 골라 확인하라(1 mm 관에서 약 9.4 mm 하강).

SIMULATOR

모세관: 관 지름을 맞혀 목표 높이에 세워라

관 오른쪽 벽의 손잡이를 끌어 지름을 바꾼다

액체 (20 °C)

관 지름 D 접촉각 φ

h = 4σcosφ/(ρgD)—

메니스커스 압력차 4σcosφ/D—

목표—

관 지름은 보기 좋게 과장해 그렸고, 왼쪽 자의 눈금(mm)만 실제 높이다. 해볼 것: ① 지름을 절반으로 하면 높이가 두 배가 됨을 확인하라. ② 에탄올은 σ가 물의 1/3이라 같은 관에서 훨씬 덜 오른다. ③ 접촉각을 90°로 하면 상승이 사라지고, 90°를 넘기면 하강한다. ④ ‘도전’을 눌러 점선 높이에 액면을 맞혀라(±3%).

안지름 1.00 mm인 깨끗한 유리관을 20 °C 물($\sigma = 0.0728$ N/m, $\rho = 998$ kg/m³, $\phi = 0^\circ$)과 수은($\sigma = 0.484$ N/m, $\rho = 13\,550$ kg/m³, $\phi = 130^\circ$)에 각각 세웠다. 관 속 액면의 높이 변화는?

풀이 보기

전략 $h = 4\sigma\cos\phi/(\rho g D)$에 그대로 대입한다. 부호가 곧 상승·하강이다.

풀이 물: $h = \dfrac{4(0.0728)(1)}{(998)(9.81)(0.00100)} = 0.0297$ m. 수은: $h = \dfrac{4(0.484)\cos130^\circ}{(13\,550)(9.81)(0.00100)} = -0.00936$ m.

물 29.7 mm 상승, 수은 9.36 mm 하강

검토 수은의 σ는 물의 6.6배지만 밀도가 13.6배라 $|h|$는 더 작다. 수은 기압계의 관을 굵게(약 10 mm 이상) 만드는 이유가 이 오차를 줄이기 위해서다.

증기압과 공동 현상

밀폐 용기 속 액체 위의 공간에서는 증발하는 분자와 응축하는 분자가 평형을 이룬다. 이때 증기의 압력을 증기압(vapor pressure) $p_v$라 하고, 온도만의 함수다(순수 물질의 포화 압력 $p_\text{sat}$과 같다). 주위 압력이 증기압까지 떨어지면 액체 내부에서 증기 기포가 생긴다 — 이것이 끓음이다. 끓음은 온도를 올려 $p_v$를 주위 압력까지 끌어올려도, 주위 압력을 $p_v$까지 낮춰도 일어난다.

고도 z

MINI LAB파란 곡선은 물의 증기압 $p_v(T)$, 수평선은 그 고도의 표준 대기압이다. 두 선이 만나는 온도가 끓는점이다. 한라산(1950 m), 몽블랑(4808 m), 에베레스트(8849 m)로 올라가 보라.

흐르는 액체에서는 온도가 그대로여도 유속이 빨라지는 곳(펌프 입구, 프로펠러·수차 날개의 흡입면, 밸브와 관의 좁은 목)에서 압력이 국부적으로 $p_v$ 아래로 떨어질 수 있다(3장 베르누이 식). 그러면 그 자리에서 증기 기포가 생기고, 압력이 높은 하류로 휩쓸려 가 순식간에 붕괴한다. 이것이 공동 현상(cavitation)이다.

좁은 목에서 유속이 빨라지면 압력이 떨어진다. 압력이 증기압 아래로 내려간 구간에서 기포가 생기고, 압력이 회복되는 하류에서 붕괴한다.

기포가 붕괴할 때 생기는 미세한 고속 분류와 압력 펄스(수백 MPa에 이른다)가 금속 표면을 반복해 때려 침식을 일으키고, 소음·진동과 함께 펌프 효율을 크게 떨어뜨린다. 공동 현상의 여유는 무차원 공동 수(cavitation number) $\mathrm{Ca} = (p - p_v)/(\tfrac12\rho V^2)$로 나타내며, 펌프 설계에서는 12장의 NPSH(유효 흡입 수두)로 다룬다.

같은 펌프로 저수조의 물을 빨아올린다. 물의 온도가 20 °C에서 70 °C로 오르면 공동 현상 없이 펌프를 설치할 수 있는 최대 높이는?

70 °C 물의 증기압은 31.2 kPa로 20 °C(2.34 kPa)의 13배다. 흡입 쪽이 쓸 수 있는 압력 여유 $p_\text{atm} - p_v$가 줄어든다. 아래에서 온도를 올려 최대 높이가 약 10 m에서 7 m 아래로 떨어지는 것을 확인하라.

SIMULATOR

펌프 흡입부의 공동 현상

펌프를 위아래로 끌어 설치 높이를 바꾼다

펌프 높이 z 물 온도 T 설치 고도 흡입관 유속 V 흡입관 손실 계수 K

대기압—

펌프 입구 압력 (절대)—

증기압 p_v—

최대 설치 높이—

펌프 입구의 절대 압력은 $p_\text{in} = p_\text{atm} - \rho g z - (1+K)\tfrac12\rho V^2$으로 어림했다(유속 수두 + 손실). 관 색은 증기압에 얼마나 가까운지를 나타낸다(빨강일수록 위험). 해볼 것: ① 20 °C에서 펌프를 끌어올려 기포가 생기기 시작하는 높이를 찾아라. ② 물을 데우거나 고지대로 옮기면 그 높이가 어떻게 되나? ③ 유속을 줄이는 것(굵은 흡입관)도 해결책임을 확인하라.

60 °C 물($\rho = 983.2$ kg/m³, $p_v = 19.94$ kPa)을 대기에 열린 저수조(101.325 kPa)에서 펌프로 빨아올린다. 흡입관 속 유속은 3.00 m/s이고 손실은 무시한다. 펌프 입구에서 공동 현상이 생기지 않으려면 펌프를 저수조 수면 위 최대 몇 m에 둘 수 있는가?

풀이 보기

전략 펌프 입구 절대 압력 $p_\text{atm} - \rho g z - \tfrac12\rho V^2$이 $p_v$와 같아지는 $z$를 구한다.

풀이 $z_\text{max} = \dfrac{p_\text{atm} - p_v}{\rho g} - \dfrac{V^2}{2g} = \dfrac{101\,325 - 19\,940}{(983.2)(9.81)} - \dfrac{3.00^2}{2(9.81)} = 8.44 - 0.46 = 7.98$ m.

z_max ≈ 7.98 m (실제로는 손실과 안전 여유 때문에 이보다 훨씬 낮게 둔다)

검토 20 °C 물이었다면 $(101\,325 - 2339)/(998\times9.81) - 0.46 = 9.65$ m다. 아무리 강한 펌프도 대기압이 밀어 올릴 수 있는 약 10 m 이상으로는 물을 "빨아올릴" 수 없다. 시뮬레이터에서 K = 0, V = 3.0 m/s, T = 60 °C로 확인하라.

핵심 정리

유체는 전단 응력을 받는 동안 계속 변형하는 물질이다. 크누센 수 $\mathrm{Kn} = \lambda/L \ll 1$이면 연속체로 다룰 수 있다. 모든 식은 차원 동차성을 가져야 한다.
$\rho = m/V$, $\gamma = \rho g$, $\mathrm{SG} = \rho/\rho_\text{물}$. 기체는 $\rho = p/RT$(절대 압력·절대 온도).
뉴턴 유체: $\tau = \mu\,du/dy$, $\nu = \mu/\rho$. 평판 사이 $F = \mu UA/h$, 저널 베어링 $T = 2\pi\mu R^3\omega L/c$. 점성은 액체에서 온도와 함께 줄고, 기체에서 늘어난다.
비뉴턴 유체: 멱법칙 $\tau = K\dot\gamma^{\,n}$(n < 1 박화, n > 1 농화), 빙엄 소성 $\tau = \tau_y + \mu_p\dot\gamma$. 겉보기 점성 $\eta = \tau/\dot\gamma$는 변형률에 따라 변한다.
체적 탄성 계수 $E_v = -dp/(dV/V)$: 물 2.2 GPa. 이상 기체는 등온 $E_v = p$, 등엔트로피 $E_v = kp$. 음속 $c = \sqrt{E_v/\rho}$, Ma < 0.3이면 비압축성.
표면 장력: 물방울 $\Delta p = 2\sigma/R$, 비눗방울 $4\sigma/R$, 모세관 $h = 4\sigma\cos\phi/(\rho g D)$ — 적시면(φ < 90°) 상승, 적시지 않으면 하강.
국부 압력이 증기압 $p_v(T)$ 아래로 떨어지면 끓음·공동 현상이 생긴다. 흡입 높이의 한계는 $(p_\text{atm} - p_v)/\rho g$에서 속도 수두와 손실을 뺀 값이다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.81$ m/s², 대기압 101.325 kPa, 공기 $R = 287$ J/(kg·K), 물의 $E_v = 2.20$ GPa를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

부피 2.50 m³ 탱크에 비중 0.880인 기름이 가득 차 있다. 기름의 질량과 무게는?

$\rho = 0.880\times1000 = 880$ kg/m³, $m = \rho V = 2200$ kg, $W = mg = 2200\times9.81 = 21.6$ kN. 비중량은 $\gamma = 8.63$ kN/m³.

절대 압력 80.0 kPa, 온도 −10.0 °C인 공기의 밀도는?

온도를 켈빈으로: 263.15 K.

$\rho = p/RT = 80\,000/(287\times263.15) = 1.06$ kg/m³.

간격 2.00 mm인 두 평판 사이에 20 °C 물($\mu = 1.002\times10^{-3}$ Pa·s)이 있다. 윗판이 0.500 m/s로 움직일 때 벽 전단 응력은?

$\tau = \mu U/h = (1.002\times10^{-3})(0.500)/(0.00200) = 0.251$ Pa.

글리세린의 점성 계수는 1.41 Pa·s, 밀도는 1260 kg/m³이다. 동점성 계수는?

$\nu = \mu/\rho = 1.41/1260 = 1.12\times10^{-3}$ m²/s (= 1120 cSt). 물의 약 1100배다.

넓이 0.500 m²인 얇은 판을 두 고정벽 사이에서 1.00 m/s로 끈다. 판 위쪽 기름막의 두께는 2.00 mm, 아래쪽은 4.00 mm이고 기름의 점성 계수는 0.29 Pa·s다. 두 막 모두 속도 분포가 선형일 때 필요한 힘은?

위·아래 막의 전단력을 각각 구해 더한다.

$F = \mu UA\left(\dfrac{1}{h_1} + \dfrac{1}{h_2}\right) = (0.29)(1.00)(0.500)(500 + 250) = 109$ N. 얇은 쪽 막이 2/3를 부담한다.

동심 원통형 점도계의 안쪽 원통은 반지름 40.0 mm, 길이 150 mm이고, 바깥 원통과의 틈은 0.500 mm다. 안쪽 원통을 300 rpm으로 돌리는 데 0.650 N·m의 토크가 필요했다. 틈 속 유체의 점성 계수는? (끝면 효과는 무시)

$T = 2\pi\mu R^3\omega L/c$를 $\mu$에 대해 푼다. $\omega = 31.4$ rad/s.

$\mu = \dfrac{Tc}{2\pi R^3\omega L} = \dfrac{(0.650)(5.00\times10^{-4})}{2\pi(0.0400)^3(31.42)(0.150)} = 0.172$ Pa·s.

어떤 고분자 용액을 측정했더니 $du/dy = 10.0$ s⁻¹에서 $\tau = 15.0$ Pa, $du/dy = 100$ s⁻¹에서 $\tau = 42.0$ Pa이었다. 멱법칙 $\tau = K(du/dy)^n$의 $n$과 $K$는?

두 식의 비를 취하면 $10^n = 42.0/15.0$.

$n = \log(42.0/15.0)/\log10 = 0.447$, $K = 15.0/10^{0.447} = 5.36$ Pa·sⁿ. $n < 1$이므로 전단 박화 유체다.

항복 응력이 50 Pa인 치약(빙엄 소성 유체)에 튜브 벽을 따라 40 Pa의 전단 응력이 작용한다. 치약은?

빙엄 소성 유체는 $\tau < \tau_y$이면 변형률이 0이다. 튜브를 더 세게 짜서 벽 응력이 50 Pa을 넘어야 흘러나온다.

물의 부피를 0.500% 줄이려면 압력을 얼마나 높여야 하는가?

$\Delta p = E_v(\Delta V/V) = (2.20\times10^9)(0.00500) = 11.0$ MPa.

절대 압력 100 kPa, 온도 300 K인 공기를 등엔트로피 과정으로 약간 압축할 때의 체적 탄성 계수와, 이 공기의 음속은? ($k = 1.4$)

$E_v = kp = 1.4\times100 = 140$ kPa. $c = \sqrt{kRT} = \sqrt{1.4\times287\times300} = 347$ m/s. ($\rho = 1.161$ kg/m³이므로 $\sqrt{E_v/\rho}$로도 같다.)

(a) 지름 4.00 cm인 비눗방울($\sigma = 0.0250$ N/m)과 (b) 지름 0.200 mm인 물방울($\sigma = 0.0728$ N/m)의 속과 겉의 압력차는?

(a) $\Delta p = 4\sigma/R = 4(0.0250)/0.0200 = 5.00$ Pa. (b) $\Delta p = 2\sigma/R = 2(0.0728)/(1.00\times10^{-4}) = 1456$ Pa. 작은 물방울이 큰 거품보다 300배 가까이 "팽팽하다".

20 °C 물($\sigma = 0.0728$ N/m, $\rho = 998$ kg/m³)이 깨끗한 유리관에서 20.0 mm 올라가게 하려면 관의 안지름은?

$D = \dfrac{4\sigma\cos\phi}{\rho g h} = \dfrac{4(0.0728)}{(998)(9.81)(0.0200)} = 1.49\times10^{-3}$ m = 1.49 mm.

간격 $w = 0.500$ mm로 마주 세운 두 넓은 유리판을 20 °C 물에 담갔다. 판 사이로 물이 올라가는 높이를 유도하고 계산하라($\phi = 0^\circ$).

판의 폭 $b$에 대해: 표면 장력은 양쪽 판에서 $2\sigma b\cos\phi$, 무게는 $\rho g\,b\,w\,h$.

$2\sigma b\cos\phi = \rho g b w h$ → $h = \dfrac{2\sigma\cos\phi}{\rho g w} = \dfrac{2(0.0728)}{(998)(9.81)(5.00\times10^{-4})} = 0.0297$ m = 29.7 mm. 간격 w의 평행판은 지름 2w인 원관과 같은 높이를 준다.

60 °C 물($\rho = 983.2$ kg/m³, $p_v = 19.94$ kPa)을 열린 저수조 수면 위 6.00 m에 있는 펌프로 흡입한다. 흡입관 속 유속이 2.50 m/s이고 손실을 무시할 때, 펌프 입구의 절대 압력은? 공동 현상이 생기는가?

$p_\text{in} = p_\text{atm} - \rho g z - \tfrac12\rho V^2 = 101\,325 - (983.2)(9.81)(6.00) - \tfrac12(983.2)(2.50)^2 = 40.4$ kPa. $p_v = 19.9$ kPa보다 크므로 공동 현상은 생기지 않는다(여유 약 20 kPa).

반지름 $R = 0.100$ m인 원판이 고정된 평판 위 1.00 mm 간격의 기름막($\mu = 0.29$ Pa·s) 위에서 600 rpm으로 돈다. 기름막 속 속도 분포가 선형일 때 원판 한 면에 작용하는 점성 토크를 적분으로 구하라.

반지름 $r$에서 $\tau = \mu\omega r/h$. 고리 $dA = 2\pi r\,dr$의 토크 $dT = \tau\,r\,dA$를 0에서 R까지 적분한다.

$T = \displaystyle\int_0^R \frac{\mu\omega r}{h}\,r\,(2\pi r)\,dr = \frac{\pi\mu\omega R^4}{2h}$. $\omega = 62.83$ rad/s → $T = \dfrac{\pi(0.29)(62.83)(0.100)^4}{2(0.00100)} = 2.86$ N·m.

온도가 오를 때 점성 계수의 변화로 옳은 것은?

액체의 점성은 분자 응집력이 원인이라 온도가 오르면 줄고, 기체의 점성은 분자 운동량 교환이 원인이라 온도가 오르면 늘어난다. 엔진을 예열하는 이유와 고온 가스 터빈의 마찰이 커지는 이유가 같은 그래프에 있다.

개념 확인 퀴즈

고체와 유체를 구별하는 가장 정확한 기준은?

유체의 정의는 전단 응력에 대한 반응이다. 고체는 일정한 변형에서 멈추고, 유체는 응력이 있는 한 계속 변형한다(변형률이 응력과 짝).

평판 사이 쿠에트 유동에서 윗판 속도는 그대로 두고 간격만 두 배로 늘리면 윗판에 필요한 힘은?

$F = \mu UA/h$. 속도 기울기 $U/h$가 절반이 되므로 힘도 절반이다.

멱법칙 지수가 n = 0.3인 유체를 더 빠르게 휘저으면?

$\eta = K\dot\gamma^{\,n-1}$에서 $n-1 = -0.7 < 0$이므로 변형률이 커지면 η가 줄어든다. 전단 응력 자체는 여전히 증가한다($\dot\gamma^{0.3}$).

같은 유리관 실험에서 관 지름을 절반으로 줄이면 물의 모세관 상승 높이는?

$h \propto 1/D$. 끌어올리는 힘은 둘레(∝D), 무게는 단면적(∝D²)에 비례하기 때문이다.

상온의 물이 흐르는 관의 좁은 목에서 공동 현상이 생겼다. 그 직접적인 원인은?

공동 현상은 온도가 아니라 압력 쪽에서 오는 "끓음"이다. 압력이 $p_v(T)$ 아래로 내려가면 상온에서도 증기 기포가 생긴다.

양	기호	차원	SI 단위	자주 보는 다른 단위
힘	\(F\)	M L T⁻²	N = kg·m/s²	1 lbf = 4.448 N
압력·응력	\(p, \tau\)	M L⁻¹ T⁻²	Pa = N/m²	1 atm = 101.325 kPa, 1 bar = 100 kPa, 1 psi = 6.895 kPa
밀도	\(\rho\)	M L⁻³	kg/m³	1 g/cm³ = 1000 kg/m³
비중량	\(\gamma\)	M L⁻² T⁻²	N/m³	—
점성 계수	\(\mu\)	M L⁻¹ T⁻¹	Pa·s = kg/(m·s)	1 P(푸아즈) = 0.1 Pa·s, 1 cP = 1 mPa·s
동점성 계수	\(\nu\)	L² T⁻¹	m²/s	1 St(스토크스) = 10⁻⁴ m²/s, 1 cSt = 10⁻⁶ m²/s
표면 장력	\(\sigma\)	M T⁻²	N/m = J/m²	1 dyn/cm = 10⁻³ N/m
체적 탄성 계수	\(E_v\)	M L⁻¹ T⁻²	Pa	GPa