Chapter 09

외부 유동: 경계층, 항력, 양력

비행기 날개, 달리는 자동차, 바람 맞는 굴뚝, 가라앉는 모래알 — 유체가 물체를 바깥에서 감싸고 흐를 때, 물체가 받는 힘은 벽에 붙은 아주 얇은 층에서 결정된다. 1904년 프란틀이 찾아낸 이 경계층이 마찰 항력을 정하고, 경계층이 벽에서 떨어져 나가는 박리가 압력 항력과 실속을 정한다. 아래 평판 위의 흐름에서 경계층이 자라고, 어느 지점에서 갑자기 두꺼워지며 난류가 되는 모습을 보자.

화면을 좌우로 끌면 자유류 속력이 바뀐다

외부 유동과 경계층의 개념

물체 주위를 감싸며 흐르는 유동을 외부 유동(external flow)이라 한다. 관 유동(8장)과 달리 경계층이 아무리 자라도 유동 전체를 채우지 못하고, 멀리 떨어진 곳에는 언제나 교란되지 않은 자유류(free stream) 속도 \(U\)가 있다. 공학의 관심은 물체가 받는 힘, 즉 흐름 방향의 항력(drag) \(F_D\)와 그에 수직한 양력(lift) \(F_L\)이다.

레이놀즈 수가 큰 흐름(공기 중의 자동차는 \(Re \sim 10^6\))에서 관성력은 점성력보다 압도적으로 크다. 그런데도 점성을 버린 퍼텐셜 유동(6장)은 "물체가 받는 항력은 0"이라는 달랑베르의 역설에 빠진다. 프란틀은 이렇게 풀었다. 벽에서는 점착 조건(no-slip condition) 때문에 속도가 0이어야 하므로, 벽 근처의 얇은 층에서는 속도가 0에서 \(U\)까지 급하게 변하고 점성 전단이 중요하다. 이 층이 경계층(boundary layer)이다. 그 바깥은 비점성 유동으로 다뤄도 된다.

자유류 U 앞전 x = 0 벽에서 u = 0 층류 경계층 δ ∝ √x 천이 Re ≈ 5×10⁵ 난류 경계층 점성 저층(벽 바로 위)
  1. 균일한 자유류 \(U\)가 얇은 평판의 앞전에 닿는다. 판이 없다면 흐름은 그대로 지나갔을 것이다.
  2. 점착 조건 때문에 판 표면의 유체는 정지한다. 속도가 0에서 \(U\)로 바뀌는 얇은 층이 생긴다.
  3. 하류로 갈수록 점성 확산이 더 깊이 퍼져 경계층이 두꺼워진다. 층류에서는 \(\delta \propto \sqrt{x}\)이다.
  4. \(Re_x\)가 약 \(5\times10^5\)을 넘으면 교란이 자라 천이가 일어나고, 섞임이 활발한 난류 경계층이 훨씬 빠르게(\(\delta\propto x^{4/5}\)) 두꺼워진다. 분포는 더 꽉 찬 모양이 된다.
평판 경계층의 발달(세로 방향은 크게 과장). 실제로 1 m 판 끝의 경계층은 수 mm–수 cm에 불과하다.

평판을 따라 잰 거리 \(x\)를 길이로 쓴 국소 레이놀즈 수(local Reynolds number)

$$Re_x = \frac{\rho U x}{\mu} = \frac{U x}{\nu}$$
가 경계층의 상태를 정한다. 매끈한 평판에서 공학적 천이(transition) 기준은 \(Re_{x,\text{cr}} \approx 5\times10^5\)이다. 자유류 교란·표면 거칠기에 따라 실제로는 \(10^5\)–\(3\times10^6\) 범위에서 천이한다.
경계층은 왜 \(\sqrt{x}\)로 자라나

점성은 운동량을 확산 계수 \(\nu\)로 퍼뜨린다. 시간 \(t\) 동안 확산 거리는 \(\sqrt{\nu t}\) 정도다. 유체 입자가 앞전에서 \(x\)까지 오는 데 걸리는 시간은 \(t \sim x/U\)이므로 \(\delta \sim \sqrt{\nu x/U}\), 즉 \(\delta/x \sim 1/\sqrt{Re_x}\)이다. \(Re\)가 클수록 경계층은 얇다 — 이것이 경계층 근사(\(\delta \ll x\))가 성립하는 이유다.

경계층의 세 가지 두께

속도는 경계층 가장자리에서 \(U\)에 점근적으로 다가가므로 "끝"이 모호하다. 그래서 세 가지 두께를 쓴다.

경계층 두께 δ, 배제 두께 δ*, 운동량 두께 θ

δ (또는 δ₉₉): \(u = 0.99U\)가 되는 높이. 직관적이지만 기준(0.99)이 임의적이다.

배제 두께(displacement thickness): 경계층 때문에 줄어든 유량을 자유류 속도로 메우려면 벽을 얼마나 밀어내야 하는가.

운동량 두께(momentum thickness): 경계층 때문에 잃은 운동량 유량을 \(\rho U^2\)로 나눈 두께. 항력과 직접 연결된다.

$$\delta^* = \int_0^\infty\left(1 - \frac{u}{U}\right)dy, \qquad \theta = \int_0^\infty \frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy, \qquad H = \frac{\delta^*}{\theta}$$
\(H\): 형상 계수(shape factor). 층류 블라시우스 분포 \(H = 2.59\), 난류 \(H \approx 1.3\)–1.4. \(H\)가 클수록 벽 근처가 느리고 박리하기 쉽다.
분포
MINI LAB파란 빗금은 경계층 때문에 "모자라는" 유량 \(\int(U-u)\,dy\)이다. 주황 띠(높이 δ*)는 같은 넓이의 직사각형 — 바깥 흐름에게는 벽이 δ*만큼 두꺼워진 것처럼 보인다. 오른쪽 유선이 하류로 갈수록 δ*만큼 위로 밀려나는 것을 보라.

20 °C 공기(\(\nu = 1.51\times10^{-5}\) m²/s)가 매끈한 평판 위를 10로 흐르면 \(Re_x = 5\times10^5\)이 되는 천이 위치는 앞전에서 이고, 거기서 층류 경계층 두께는 이다. 같은 속력의 물(\(\nu = 1.00\times10^{-6}\) m²/s)이라면 천이 위치는 로 훨씬 앞당겨진다.

20 °C 공기(\(\rho = 1.204\) kg/m³, \(\nu = 1.516\times10^{-5}\) m²/s)가 5.00 m/s로 매끈한 평판 위를 흐른다. (a) 천이가 시작되는 위치 \(x_\text{cr}\), (b) 그 위치에서 \(\delta\), \(\delta^*\), \(\theta\), (c) 벽 전단 응력 \(\tau_w\)를 구하라.

풀이 보기
전략 \(Re_x = 5\times10^5\)에서 \(x\)를 구하고, 블라시우스 결과(다음 절) \(\delta = 4.91x/\sqrt{Re_x}\), \(\delta^* = 1.72x/\sqrt{Re_x}\), \(\theta = 0.664x/\sqrt{Re_x}\), \(c_{f,x} = 0.664/\sqrt{Re_x}\)를 쓴다.
풀이 (a) \(x_\text{cr} = (5\times10^5)(1.516\times10^{-5})/5.00 = 1.52\) m. (b) \(\sqrt{Re_x} = 707.1\) → \(\delta = 4.91(1.516)/707.1 = 1.05\times10^{-2}\) m, \(\delta^* = 3.69\) mm, \(\theta = 1.42\) mm. (c) \(c_{f,x} = 0.664/707.1 = 9.39\times10^{-4}\), \(\tau_w = c_{f,x}\cdot\tfrac12\rho U^2 = (9.39\times10^{-4})(0.5)(1.204)(5.00)^2 = 0.0141\) Pa.
xcr = 1.52 m; δ = 10.5 mm, δ* = 3.69 mm, θ = 1.42 mm; τw = 0.0141 Pa
검토 1.5 m를 흐른 뒤에도 경계층은 1 cm 남짓 — \(\delta/x = 0.007\)로 정말 얇다. \(\delta^*/\theta = 2.59\)는 층류 형상 계수와 일치한다.

평판 층류 경계층: 블라시우스 해와 운동량 적분

경계층이 얇다(\(\delta \ll x\))는 사실을 나비에–스토크스 방정식에 넣고 크기를 비교하면, 흐름 방향 확산 \(\partial^2u/\partial x^2\)은 버려지고 경계층을 가로지르는 압력은 일정해진다(\(\partial p/\partial y \approx 0\)). 이것이 프란틀의 경계층 방정식(boundary-layer equations)이다.

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0, \qquad u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx} + \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$
압력 \(p(x)\)는 바깥 비점성 유동이 정해 준다(베르누이: \(dp/dx = -\rho U\,dU/dx\)). 평판에서는 \(U\)가 일정하므로 \(dp/dx = 0\).

블라시우스(1908)는 모든 위치의 속도 분포가 \(\delta(x)\)로 늘리기만 하면 같은 모양이라는 상사해(similarity solution)를 찾았다. 상사 변수 \(\eta = y\sqrt{U/(\nu x)}\)와 \(u/U = f'(\eta)\)를 넣으면 편미분 방정식이 상미분 방정식 하나로 줄어든다.

$$f''' + \tfrac12 f f'' = 0, \qquad f(0) = f'(0) = 0,\quad f'(\infty) = 1 \quad\Rightarrow\quad f''(0) = 0.332$$

수치로 풀면 \(u = 0.99U\)가 \(\eta = 4.91\)에서 일어나고, 벽 기울기 \(f''(0) = 0.332\)에서 벽 전단 응력이 나온다. 결과를 정리하면 다음과 같다.

양층류 평판(블라시우스)뜻
경계층 두께\(\delta/x = 4.91/\sqrt{Re_x}\)\(u = 0.99U\)인 높이
배제 두께\(\delta^*/x = 1.72/\sqrt{Re_x}\)\(\delta^* \approx \delta/3\)
운동량 두께\(\theta/x = 0.664/\sqrt{Re_x}\)\(H = 2.59\)
국소 마찰 계수\(c_{f,x} = \dfrac{\tau_w}{\frac12\rho U^2} = \dfrac{0.664}{\sqrt{Re_x}}\)\(\tau_w \propto x^{-1/2}\): 앞전에서 가장 크다
평균 마찰(항력) 계수\(C_D = \dfrac{1}{L}\displaystyle\int_0^L c_{f,x}\,dx = \dfrac{1.328}{\sqrt{Re_L}}\)\(Re_L < 5\times10^5\)

판 한 면의 마찰 항력은 \(F_D = C_D\cdot\tfrac12\rho U^2\,(bL)\)이다(\(b\): 폭). 평균 계수가 끝단 국소 계수의 정확히 2배(\(C_D = 2c_{f,L}\))인 것은 \(c_{f,x} \propto x^{-1/2}\)을 적분했기 때문이다.

층류 평판에서 같은 위치 \(x\)를 유지한 채 자유류 속력 \(U\)를 4배로 높이면 경계층 두께 \(\delta\)는?

\(\delta = 4.91x/\sqrt{Ux/\nu} = 4.91\sqrt{\nu x/U}\)이므로 \(U\)가 4배면 \(\delta\)는 1/2이다. 빠를수록 점성이 확산할 시간이 짧다. 아래 시뮬레이터에서 U를 바꿔 확인하라 — 단, 너무 빠르면 그 위치가 난류가 된다!
SIMULATOR

경계층 탐침: 평판 위 어디서든 속도 분포를 재라

흰 원(탐침)을 판을 따라 끈다
유체 (20 °C)
Rex—
상태—
δ—
δ* / θ—
cf,x—
τw—
판 길이 2 m, 세로 방향은 자동 확대. 해볼 것: ① 공기 8 m/s에서 탐침을 앞전에서 끝으로 옮기며 \(\delta\)가 \(\sqrt x\)로, \(\tau_w\)가 \(1/\sqrt x\)로 변하는 것을 확인하라. ② 탐침을 천이 지점 바로 앞뒤로 옮기면 δ가 몇 배 뛰고 \(c_f\)가 커진다 — 난류 분포(오른쪽)는 벽 기울기가 훨씬 가파르다. ③ 물로 바꾸면 \(\nu\)가 15배 작아 같은 속력에서 천이가 15배 앞당겨진다.

길이 0.500 m, 폭 0.300 m인 얇은 평판이 20 °C 물(\(\rho = 998\) kg/m³, \(\nu = 1.004\times10^{-6}\) m²/s) 속에서 흐름과 나란히 0.500 m/s로 끌려간다. 양면의 마찰 항력과 뒷전의 경계층 두께를 구하라.

풀이 보기
전략 \(Re_L\)로 층류인지 확인하고 \(C_D = 1.328/\sqrt{Re_L}\)을 쓴다. 양면이므로 넓이는 \(2bL\).
풀이 \(Re_L = (0.500)(0.500)/(1.004\times10^{-6}) = 2.49\times10^5 < 5\times10^5\) → 판 전체가 층류. \(C_D = 1.328/\sqrt{2.49\times10^5} = 2.66\times10^{-3}\). 한 면: \(F = (2.66\times10^{-3})(\tfrac12)(998)(0.500)^2(0.300\times0.500) = 0.0498\) N. 양면 \(F_D = 0.0996\) N. \(\delta_L = 4.91(0.500)/\sqrt{2.49\times10^5} = 4.92\) mm.
FD ≈ 0.0996 N (양면), δL = 4.92 mm
검토 0.1 N은 아주 작다. 층류 마찰은 \(U^{1.5}\)에 비례(\(F \propto U^2/\sqrt{U}\))하므로 속력을 2배로 하면 항력은 \(2^{1.5} = 2.8\)배다.

폰 카르만 운동량 적분식

블라시우스 해는 평판에서만 깔끔하다. 더 일반적이고 손으로 풀 수 있는 방법은 경계층 전체에 운동량 보존을 적용하는 것이다(5장의 검사 체적 해석). 정확한 분포를 몰라도, 그럴듯한 분포를 가정하면 \(\delta(x)\)와 \(\tau_w\)를 놀랄 만큼 정확하게 얻는다.

δ(x) 검사 체적 (높이 h > δ) h x = 0x ρUhb 유입 ρb∫u dy 유출 윗면 유출 ρb∫(U−u)dy, 속도 U τw: 판이 유체를 뒤로 끈다 (−FD)
  1. 앞전에서 \(x\)까지, 높이 \(h\,(>\delta)\), 폭 \(b\)인 검사 체적. 윗면은 경계층 밖이라 전단이 없고, 평판이므로 압력은 어디서나 같다.
  2. 질량: 왼쪽으로 \(\rho Uhb\)가 들어오고 오른쪽으로 \(\rho b\int_0^h u\,dy\)가 나간다. 오른쪽이 적으므로 그 차이 \(\rho b\int_0^h(U-u)\,dy = \rho bU\delta^*\)는 윗면으로 빠져나간다(경계층이 유선을 밀어낸다).
  3. \(x\) 운동량: 윗면 유출은 속도 \(U\)를 갖고 나간다. 운동량 유출 − 유입 \(= \rho b\left[\int u^2dy - U^2h + U\int(U-u)\,dy\right] = -\rho b\int_0^h u(U-u)\,dy = -\rho bU^2\theta\).
  4. 유체에 작용한 힘은 판이 끄는 \(-F_D\)뿐이므로 \(F_D(x) = \rho bU^2\theta(x)\). 판의 항력은 잃어버린 운동량이다! 미분하면 \(dF_D = \tau_w b\,dx\)에서 운동량 적분식 \(\tau_w = \rho U^2\,d\theta/dx\).
폰 카르만 운동량 적분식의 유도(평판, \(dp/dx = 0\)).
$$\tau_w = \rho U^2\frac{d\theta}{dx} \qquad\text{(평판)}, \qquad \frac{\tau_w}{\rho} = \frac{d}{dx}\left(U^2\theta\right) + \delta^* U\frac{dU}{dx} \qquad\text{(일반: 압력 구배 포함)}$$
포물선 분포로 풀어 보기

\(u/U = 2\eta - \eta^2\) (\(\eta = y/\delta\))를 가정하자. 이 분포는 벽에서 \(u = 0\), 가장자리에서 \(u = U\), \(\partial u/\partial y = 0\)을 만족한다. 적분하면 \(\theta = \int_0^\delta (2\eta-\eta^2)(1-2\eta+\eta^2)\,dy = \tfrac{2}{15}\delta\), 벽 전단은 \(\tau_w = \mu(\partial u/\partial y)_0 = 2\mu U/\delta\). 운동량 적분식에 넣으면

$$\frac{2\mu U}{\delta} = \rho U^2\,\frac{2}{15}\frac{d\delta}{dx} \;\Rightarrow\; \delta\,d\delta = \frac{15\nu}{U}dx \;\Rightarrow\; \frac{\delta}{x} = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{Re_x}} = \frac{5.48}{\sqrt{Re_x}}$$

그리고 \(c_{f,x} = 2\tau_w/(\rho U^2) = 4\nu/(U\delta) = 0.730/\sqrt{Re_x}\). 정확해 0.664와 10% 차이다. \(\delta\) 계수는 "분포가 끝나는 높이"라서 δ₉₉의 4.91과 직접 비교하기보다 \(\delta^*\)(근사 1.83 대 정확 1.72)를 비교하는 편이 공정하다.

가정한 분포
MINI LAB회색 점선이 블라시우스 정확해(\(\delta^*\)가 같아지도록 늘인 것), 색 곡선이 가정한 분포다. 분포를 바꾸면 운동량 적분식이 주는 \(c_f\sqrt{Re_x}\)와 \(\delta^*\sqrt{Re_x}/x\)가 바뀐다. 아주 거친 선형 분포도 오차가 13% 남짓이고, 3차·사인 분포는 3% 안이다.

층류 평판 경계층의 속도 분포를 \(u/U = y/\delta\) (\(0 \le y \le \delta\))로 가정하고 운동량 적분식으로 \(\delta(x)\)와 \(c_{f,x}\)를 구하라. 블라시우스 해와 \(c_{f,x}\)의 오차는?

풀이 보기
전략 \(\theta\)와 \(\tau_w\)를 \(\delta\)로 쓰고 \(\tau_w = \rho U^2 d\theta/dx\)를 적분한다.
풀이 \(\theta = \delta\int_0^1 \eta(1-\eta)\,d\eta = \delta/6\), \(\tau_w = \mu U/\delta\). → \(\mu U/\delta = \rho U^2 (1/6)\,d\delta/dx\) → \(\delta\,d\delta = 6\nu\,dx/U\) → \(\delta^2 = 12\nu x/U\) → \(\delta/x = \sqrt{12}/\sqrt{Re_x} = 3.46/\sqrt{Re_x}\). \(c_{f,x} = 2\nu/(U\delta) = 2/(3.46\sqrt{Re_x}) = 0.577/\sqrt{Re_x}\).
δ/x = 3.46/√Rex, cf,x = 0.577/√Rex (블라시우스 0.664보다 13% 작음)
검토 지수 \(-1/2\)는 분포와 상관없이 맞게 나온다. 차원 해석이 정한 것은 지수, 분포가 정하는 것은 계수뿐이다. 위 미니 실험의 ‘선형’과 같은 값이다.

천이와 난류 경계층

층류 경계층 안의 작은 교란(톨미엔–슐리히팅 파)은 \(Re_x\)가 커지면 증폭되고, 군데군데 난류 반점이 생겼다가 합쳐져 경계층 전체가 난류가 된다. 난류 경계층에서는 소용돌이가 빠른 바깥 유체를 벽 쪽으로 끌어내리고 느린 유체를 위로 퍼 올린다. 그래서 평균 분포는 훨씬 꽉 차고, 벽 기울기(=벽 전단)가 크며, 경계층이 빨리 두꺼워진다. 벽 바로 위에는 점성이 지배하는 아주 얇은 점성 저층(viscous sublayer)이 남는다.

MINI LAB같은 두께 δ로 맞춘 층류(파랑)와 난류 평균(주황) 분포. 난류의 순간 분포(가는 선)는 끊임없이 흔들리지만 평균하면 \((y/\delta)^{1/7}\)이다. 벽 근처 접선(점선)의 기울기가 벽 전단 응력이다 — 난류가 몇 배 가파르다.

8장 관 유동의 1/7 멱법칙과 블라시우스 관 마찰 상관식을 운동량 적분식에 넣으면, 앞전부터 난류라고 가정한 평판에 대해 다음 결과를 얻는다(\(5\times10^5 \lesssim Re_x \lesssim 10^7\)).

$$\frac{u}{U} \approx \left(\frac{y}{\delta}\right)^{1/7}, \qquad \frac{\delta}{x} \approx \frac{0.38}{Re_x^{1/5}}, \qquad c_{f,x} \approx \frac{0.059}{Re_x^{1/5}}, \qquad C_D \approx \frac{0.074}{Re_L^{1/5}}$$
1/7 분포에서 \(\delta^* = \delta/8\), \(\theta = 7\delta/72\), \(H = 1.29\). 난류에서는 \(\delta \propto x^{4/5}\), \(\tau_w \propto U^{1.8}\)로 층류(\(\delta\propto x^{1/2}\), \(\tau_w\propto U^{1.5}\))보다 훨씬 빠르게 커진다. \(Re_L > 10^7\)에서는 슐리히팅 식 \(C_D = 0.455/(\log Re_L)^{2.58}\)을 쓴다.

혼합 경계층

실제 평판은 앞부분 \(0 < x < x_\text{cr}\)이 층류, 뒷부분이 난류다. 난류 식이 판 전체가 난류라고 가정한 것이므로, 층류 구간의 몫을 바로잡는다.

$$C_D = \frac{0.074}{Re_L^{1/5}} - \frac{1742}{Re_L} \qquad (5\times10^5 < Re_L < 10^7,\; Re_{x,\text{cr}} = 5\times10^5)$$
1742 \(= 0.074(5\times10^5)^{4/5} - 1.328(5\times10^5)^{1/2}\): 층류 구간을 난류로 잘못 셈한 몫을 빼고 층류 몫을 더한 것.
로그–로그 눈금
MINI LAB20 °C 물에서 끄는 평판(폭 1 m, 한 면). 점이 층류(파랑)·완전 난류(주황)·혼합(초록) 곡선 중 어디에 있는지 보라. \(Re_L\)이 \(5\times10^5\)을 막 넘은 곳에서는 혼합 곡선이 층류 쪽에 붙어 있다가, \(Re_L\)이 커질수록 층류 구간의 비중이 줄어 난류 곡선에 붙는다.

길이 3.00 m, 폭 1.00 m인 평판을 20 °C 물(\(\rho = 998\) kg/m³, \(\nu = 1.004\times10^{-6}\) m²/s) 속에서 2.00 m/s로 끈다. 한 면의 마찰 항력을 (a) 혼합 경계층으로, (b) 앞전부터 난류라고 가정하고 구하라. 천이 위치와 뒷전의 δ도 구하라.

풀이 보기
전략 \(Re_L\)을 구해 혼합 식과 완전 난류 식을 비교한다.
풀이 \(Re_L = (2.00)(3.00)/(1.004\times10^{-6}) = 5.98\times10^6\). \(Re_L^{1/5} = 22.66\). (a) \(C_D = 0.074/22.66 - 1742/(5.98\times10^6) = 3.265\times10^{-3} - 0.291\times10^{-3} = 2.97\times10^{-3}\), \(F_D = C_D\tfrac12\rho U^2 bL = (2.97\times10^{-3})(0.5)(998)(4.00)(3.00) = 17.8\) N. (b) \(C_D = 3.27\times10^{-3}\) → \(F_D = 19.6\) N. \(x_\text{cr} = (5\times10^5)(1.004\times10^{-6})/2.00 = 0.251\) m, \(\delta_L = 0.38(3.00)/22.66 = 0.0503\) m.
(a) 17.8 N (b) 19.6 N; xcr = 0.251 m, δL ≈ 50 mm
검토 층류 구간이 판의 8%뿐이라 차이는 10% 정도다. 같은 판이 전부 층류였다면 \(1.328/\sqrt{Re_L} = 5.4\times10^{-4}\) — 난류 마찰은 층류의 약 5.5배다.
평균 계수에는 평균 계수를

항력을 구할 때 국소 계수 \(c_{f,x}\)를 쓰면 틀린다. 판 전체의 힘은 평균 계수 \(C_D\)(층류 1.328, 난류 0.074)로, 한 점의 벽 전단 응력은 국소 계수(층류 0.664, 난류 0.059)로 구한다. 또 \(Re\)는 항상 앞전에서 잰 거리로 만든다.

압력 구배와 박리

평판이 아닌 곡면 위에서는 바깥 유동의 속도 \(U(x)\)가 변하고, 베르누이 식에 따라 압력도 변한다: \(dp/dx = -\rho U\,dU/dx\). 흐름이 빨라지는 곳은 \(dp/dx < 0\)인 순압력 구배(favorable pressure gradient), 느려지는 곳은 \(dp/dx > 0\)인 역압력 구배(adverse pressure gradient)다.

경계층 방정식을 벽(\(u = v = 0\))에서 계산하면 왼쪽 관성 항이 사라진다.

$$\mu\left(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)_{y=0} = \frac{dp}{dx}$$
역압력 구배(\(dp/dx>0\))에서는 벽의 곡률이 양수가 된다. 가장자리에서 곡률은 음수이므로 분포 안에 변곡점이 생긴다. 벽 근처의 느린 유체는 높아지는 압력을 이길 운동량이 없어 점점 더 느려진다.
dp/dx < 0 (가속)dp/dx = 0dp/dx > 0 (감속) → 꽉 찬 분포 변곡점 박리점: (∂u/∂y)ᵥᵥ = 0 역류 · 후류
  1. 곡면 앞쪽(가속, \(dp/dx<0\))에서 분포는 꽉 차 있다. 꼭대기(\(dp/dx = 0\))에서는 평판과 같다.
  2. 꼭대기를 지나 흐름이 감속하면(\(dp/dx>0\)) 벽 근처가 먼저 느려지고 분포에 변곡점이 생긴다.
  3. 벽 기울기가 0이 되는 곳 — \(\tau_w = 0\) — 이 박리점이다. 경계층이 벽에서 떨어져 나간다.
  4. 박리점 뒤에는 벽 근처에 역류가 생기고, 떨어져 나간 전단층이 말려 큰 소용돌이 후류를 만든다. 후류의 압력은 낮게 유지되어 압력 항력이 생긴다.
역압력 구배에서 박리가 일어나는 과정. 분포는 폴하우젠 4차 분포족으로 그렸다.
박리

박리(flow separation)는 역압력 구배 속에서 경계층의 벽 근처 유체가 정지해(\(\partial u/\partial y|_w = 0\)) 경계층이 표면을 떠나는 현상이다. 박리 뒤에는 넓고 압력이 낮은 후류가 생긴다. 층류 경계층은 벽 근처 운동량이 작아 쉽게 박리하고, 난류 경계층은 섞임으로 벽에 운동량을 공급받아 훨씬 오래 붙어 있다.

원주 주위를 보자. 퍼텐셜 유동에서 표면 압력 계수는 \(C_p = 1 - 4\sin^2\theta\)로 앞뒤가 완전히 대칭이라 항력이 0이다. 실제로는 꼭대기(\(\theta = 90^\circ\)) 뒤의 역압력 구배에서 경계층이 박리한다. 층류 경계층이면 약 \(80^\circ\)에서 일찍 떨어져 넓은 후류가 생기고, 뒤쪽 압력이 회복되지 못해 \(C_D \approx 1.2\)이다. 경계층이 난류이면 약 \(120^\circ\)까지 버텨 후류가 좁아지고 \(C_D \approx 0.3\)으로 뚝 떨어진다.

원주 앞쪽에 가는 철사를 붙여 경계층을 일부러 난류로 만들었다. 표면 마찰은 늘어나는데, 전체 항력은 어떻게 될까?

무딘 물체의 항력은 거의 전부 압력 항력이다. 난류 경계층은 박리점을 뒤로 밀어 후류를 좁히고 뒤쪽 압력을 회복시킨다. 마찰 증가분은 압력 항력 감소분에 비해 아주 작다. 아래에서 ‘층류’와 ‘난류’를 바꿔 \(C_{D,p}\)를 비교하라.
SIMULATOR

원주 주위 박리: 표면 압력을 탐침으로 재라

표면의 흰 원을 끌어 돌린다
경계층
탐침 위치 θ—
Cp (실제 / 퍼텐셜)—
박리 각 θs—
압력 항력 CD,p—
θ는 앞 정체점에서 잰 각이다. 압력 화살표는 \(C_p>0\)이면 표면을 누르고(안쪽), \(C_p<0\)이면 표면을 빨아낸다(바깥쪽). 해볼 것: ① 퍼텐셜에서는 화살표가 앞뒤 대칭이라 \(C_{D,p} = 0\)(달랑베르의 역설). ② 층류 박리에서 탐침을 뒤쪽(θ > 90°)으로 옮기면 \(C_p\)가 −1.2 근처에 머문다 — 뒤가 앞을 끌어당기지 못한다. ③ 난류로 바꾸면 박리점이 120°로 밀리고 후류가 좁아져 \(C_{D,p}\)가 1/4로 준다. 이것이 항력 위기다.
박리를 늦추는 공학

디퓨저는 확대각이 크면(약 7° 이상) 박리해 압력 회복이 망가진다. 날개의 와류 발생기, 골프공의 딤플, 테니스공의 털, 자동차 뒤쪽을 완만하게 줄이는 형상은 모두 경계층에 운동량을 공급하거나 역압력 구배를 줄여 박리를 늦추려는 장치다. 반대로 날개가 받음각을 너무 크게 하면 윗면에서 박리해 실속한다(7절).

항력과 항력 계수

유체가 물체 표면에 작용하는 힘은 수직 방향의 압력 \(p\)과 접선 방향의 벽 전단 응력 \(\tau_w\) 두 가지뿐이다. 이것을 흐름 방향으로 적분한 것이 항력이다.

$$F_D = \underbrace{\int_A \tau_w \sin\phi\,dA}_{\text{마찰 항력}} + \underbrace{\int_A (-p\cos\phi)\,dA}_{\text{압력(형상) 항력}}, \qquad C_D = \frac{F_D}{\tfrac12\rho V^2 A}$$
\(\phi\): 표면 법선이 흐름 방향과 이루는 각. \(A\)는 기준 면적: 무딘 물체는 정면 면적(흐름 방향으로 투영), 날개·평판은 평면 면적(위에서 본 면적), 배는 젖음 면적. 표의 \(C_D\)를 쓸 때는 어떤 면적 기준인지 꼭 확인한다.
평판 (흐름과 나란히)τw 평판 (흐름에 수직)앞: 고압 · 뒤: 저압 후류 원주·구 (무딘 물체) 유선형 물체 마찰 ≈ 100% 압력 ≈ 100% 압력 ≈ 97% 마찰 ≈ 85%
항력의 두 성분. 파랑 막대는 마찰 항력, 주황 막대는 압력 항력의 몫이다. 무딘 물체는 박리 때문에 압력 항력이 지배하고, 유선형으로 다듬으면 압력 항력이 거의 사라져 전체 항력이 수십 분의 1이 된다.

유선형(streamlining)은 뒤쪽을 완만하게 줄여 역압력 구배를 약하게 하고 박리를 막는 설계다. 젖음 면적이 늘어 마찰 항력은 커지지만 압력 항력이 훨씬 크게 준다. 대표 형상의 항력 계수는 다음과 같다(\(Re \sim 10^4\)–\(10^5\), 정면 면적 기준).

형상\(C_D\)비고
원판(흐름에 수직)1.1–1.2날카로운 모서리: 박리점 고정, \(Re\) 무관
반구 컵(오목면이 앞) / 낙하산1.3–1.4컵 풍속계, 원형 낙하산
정육면체(면이 앞)1.05
원주(축이 흐름에 수직, 단위 길이)1.2\(A = DL\), 항력 위기 뒤 약 0.3
매끈한 구0.47\(10^3 < Re < 2\times10^5\), 위기 뒤 약 0.1–0.2
골프공(딤플)0.25\(Re \approx 10^5\)
승용차 / 대형 트럭0.25–0.35 / 0.6–0.9
자전거 선수(경주 자세)0.9\(A \approx 0.36\) m²
유선형 물체(길이/두께 ≈ 4)0.04대부분 마찰 항력
MINI LAB정면 면적이 모두 0.0100 m²(지름 113 mm)로 같은 물체를 공기 중에 둔다. 막대 길이가 항력이다. 원판과 유선형의 항력 비는 속력과 상관없이 약 30배 — 유선형 물체의 크기를 늘려도 같은 정면 면적의 원판보다 항력이 작다. 유선형 물체 뒤에 거의 후류가 없는 것도 보라.

항력 계수와 레이놀즈 수: 항력 위기

차원 해석(7장)에 따르면 매끈한 구의 \(C_D\)는 \(Re = \rho VD/\mu\)만의 함수다. 그 곡선에는 몇 가지 뚜렷한 영역이 있다.

\(Re < 1\): 크리핑 유동

점성이 지배. 구는 \(C_D = 24/Re\)(스토크스 법칙), 즉 항력이 속력에 비례한다. 박리가 없다.

\(10^3 < Re < 2\times10^5\): 층류 박리

경계층은 층류, 약 80°에서 박리, 넓은 후류. \(C_D\)가 거의 일정(구 0.4–0.5, 원주 1.0–1.2) → 항력 ∝ \(V^2\).

\(Re \approx 3\times10^5\): 항력 위기

박리 전에 경계층이 난류로 천이 → 박리점이 뒤로, 후류가 좁아져 \(C_D\)가 1/4–1/5로 급락. 거친 표면은 이 위기를 낮은 \(Re\)로 당긴다.

골프공의 딤플(표면의 작은 홈)은 드라이버 샷 속력(약 70 m/s, \(Re \approx 2\times10^5\))에서 항력을 어떻게 바꿀까?

딤플이 경계층을 일찍 난류로 만들어 항력 위기를 \(Re \approx 5\times10^4\)로 당긴다. 매끈한 공(0.45–0.5)보다 \(C_D\)가 약 0.25로 낮아져 거의 두 배 멀리 난다. 아래 그래프에서 ‘거친 표면’을 켜 보라.
SIMULATOR

CD–Re 곡선 탐험: 점을 끌어 레이놀즈 수를 바꿔라

곡선 위의 점을 좌우로 끈다
물체
표면
Re—
CD—
유동 영역—
골프공 속력—
항력—
곡선은 매끈한 구(화이트 근사식)·원주 상관식에 항력 위기 구간의 실험값을 이은 근사다. 해볼 것: ① 구에서 점을 \(10^3\)–\(2\times10^5\)으로 옮기면 \(C_D\)가 거의 일정하다 — 오른쪽 그림은 넓은 후류. ② \(3\times10^5\) 근처를 지나면 \(C_D\)가 0.4에서 0.08로 떨어지고 후류가 좁아진다. 이때 실제 항력(아래)도 속력이 커지는데 줄어든다. ③ 거친 표면을 켜고 골프공 속력 30–70 m/s를 찾아 매끈한 공과 항력을 비교하라.

승용차(\(C_D\) = 0.30, 정면 면적 2.2 m², \(\rho\) = 1.20 kg/m³)가 100로 달리면 공기 항력은 , 이를 이기는 일률은 다. 같은 차가 80 km/h로 달릴 때보다 일률이 배다. 경주 자세의 자전거 선수(\(C_DA\) = 0.32 m²)가 40로 달리려면 공기 항력만으로 를 내야 한다.

항력이 \(F_D \propto V^2\)이면 항력을 이기는 일률은 \(P = F_DV = \tfrac12\rho C_DAV^3\) — 속력의 세제곱이다. 고속도로에서 속력을 10% 높이면 공기 저항 일률은 33% 는다.

지름 0.100 m, 높이 10.0 m인 원통형 깃대에 20 °C 공기(\(\rho = 1.204\) kg/m³, \(\nu = 1.516\times10^{-5}\) m²/s)가 15.0 m/s로 분다. 깃대 전체에 작용하는 항력과 밑동의 굽힘 모멘트를 구하라(깃발은 무시, \(C_D = 1.2\)).

풀이 보기
전략 \(Re\)로 \(C_D\) 표가 맞는 영역인지 확인하고, 정면 면적 \(A = DL\)을 쓴다. 균일한 하중이므로 합력은 높이 중간에 작용한다.
풀이 \(Re = (15.0)(0.100)/(1.516\times10^{-5}) = 9.89\times10^4\) — 층류 박리 영역(위기 전)이라 \(C_D \approx 1.2\)가 맞다. \(F_D = (1.2)(\tfrac12)(1.204)(15.0)^2(0.100\times10.0) = 163\) N. \(M = F_D(L/2) = 163\times5.00 = 813\) N·m.
FD ≈ 163 N, M ≈ 813 N·m
검토 실제 바람은 높이에 따라 세지므로 모멘트는 더 크다. 풍속이 2배인 태풍(30 m/s, \(Re \approx 2\times10^5\))이면 항력은 4배인 650 N — 아직 위기 직전이라 \(C_D\)는 거의 그대로다.

\(C_D = 0.30\), 정면 면적 2.20 m²인 승용차가 100 km/h로 달린다(\(\rho = 1.20\) kg/m³). 공기 항력과 이를 이기는 데 필요한 일률을 구하라. 120 km/h에서는?

풀이 보기
풀이 \(V = 27.8\) m/s. \(F_D = (0.30)(\tfrac12)(1.20)(27.8)^2(2.20) = 306\) N, \(P = F_DV = 8.49\) kW. 120 km/h(33.3 m/s): \(P = \tfrac12(1.20)(0.30)(2.20)(33.3)^3 = 14.7\) kW.
FD = 306 N, P = 8.49 kW; 120 km/h에서 14.7 kW
검토 속력 비 1.2의 세제곱 = 1.73배. 위 드래그 문단에서 \(C_D\)를 0.25로 낮추면 같은 속력에서 일률이 17% 준다 — 자동차 회사가 \(C_D\) 0.01에 매달리는 이유다.

종단 속도와 스토크스 항력

유체 속에서 떨어지는 물체는 속력이 커질수록 항력이 커지다가, 무게 \(W\)가 항력 \(F_D\)와 부력 \(F_B\)의 합과 같아지면 더 이상 가속하지 않는다. 이 속력이 종단 속도(terminal velocity)다.

$$W = F_D + F_B \;\Rightarrow\; V_t = \sqrt{\frac{2(W - F_B)}{\rho\,C_D A}}, \qquad \text{구:}\quad V_t = \sqrt{\frac{4gD}{3C_D}\left(\frac{\rho_s}{\rho} - 1\right)}$$
\(\rho_s\): 물체 밀도, \(\rho\): 유체 밀도. \(C_D\)가 \(Re\)에 따라 변하므로, 일반적으로는 \(C_D\)를 가정 → \(V_t\) → \(Re\) → \(C_D\) 확인을 되풀이한다.

질량 80인 스카이다이버가 0.70의 \(C_DA\)(팔다리를 편 자세 ≈ 0.7, 머리부터 떨어지는 자세 ≈ 0.2)로 해발 3000를 떨어지면 공기 밀도는 , 종단 속도는 다.

스토크스 법칙

아주 작은 입자나 아주 끈끈한 유체(\(Re = \rho VD/\mu < 1\))에서는 관성을 무시한 크리핑 유동 해가 있다. 스토크스(1851)가 구한 구의 항력은

$$F_D = 3\pi\mu V D \quad\left(C_D = \frac{24}{Re}\right), \qquad V_t = \frac{(\rho_s - \rho)\,g D^2}{18\mu}$$
항력의 1/3은 압력, 2/3는 마찰이다. 항력이 속력의 1제곱에 비례하므로 \(V_t \propto D^2\). 미세먼지·안개 방울·침전지의 모래·낙구식 점도계가 모두 이 영역이다. \(Re\)가 1을 넘으면 실제 항력이 스토크스 값보다 커진다.

공기 중에서 지름 10 mm 쇠구슬의 종단 속도가 약 43 m/s이다. 같은 재질로 지름 20 mm 구슬을 만들면 종단 속도는?

\(Re \sim 10^4\)–\(10^5\)에서 \(C_D\)가 거의 일정하면 \(V_t \propto \sqrt{D}\) → √2배(61 m/s). 반면 스토크스 영역(아주 작은 입자, 끈끈한 유체)이면 \(V_t \propto D^2\)으로 4배가 된다. 아래에서 두 영역을 모두 확인하라.
SIMULATOR

떨어지는 구: 종단 속도와 CD–Re 위의 점

누르면 다시 떨어뜨린다
유체 (20 °C)
구의 재질
종단 속도 Vt—
Ret—
CD—
영역—
스토크스 예측—
운동 방정식 \((m + \tfrac12 m_f)\,dV/dt = (m - m_f)g - \tfrac12\rho V^2 A C_D(Re)\)를 실시간으로 푼다(\(m_f\): 밀어낸 유체 질량, ½\(m_f\)는 부가 질량). 화면 시간은 자동으로 늘이거나 줄인다. 해볼 것: ① 글리세린 속 1 mm 유리구슬: \(Re \ll 1\)이라 스토크스 예측과 거의 같다. 지름을 2배로 하면 \(V_t\)가 4배. ② 공기 중 쇠구슬은 \(C_D \approx 0.4\)–0.5 영역이라 지름 2배에 √2배. ③ 물속 구슬에서 지름을 키우며 스토크스 예측이 얼마나 과대평가하는지 보라.
시료
MINI LAB낙구식 점도계: 두 눈금(100 mm 간격) 사이를 지나는 시간을 재면 \(\mu = (\rho_s-\rho)gD^2/(18V)\)로 점성 계수가 나온다. 지름을 키워 \(Re\)가 1에 가까워지면 측정값이 실제보다 커진다(스토크스 법칙이 깨짐) — 그래서 작은 공을 쓴다.

지름 2.00 mm 강철 구슬(\(\rho_s = 7850\) kg/m³)을 20 °C 글리세린(\(\rho = 1260\) kg/m³, \(\mu = 1.41\) Pa·s) 속에 떨어뜨린다. 종단 속도를 구하고 스토크스 법칙이 맞는지 확인하라.

풀이 보기
전략 스토크스 영역을 가정해 \(V_t\)를 구한 뒤 \(Re < 1\)인지 확인한다.
풀이 \(V_t = (7850-1260)(9.81)(0.00200)^2/(18\times1.41) = 1.02\times10^{-2}\) m/s. \(Re = (1260)(0.0102)(0.00200)/1.41 = 0.0182\).
Vt = 10.2 mm/s, Re = 0.018 ≪ 1 (스토크스 법칙 적용 가능)
검토 항력 \(3\pi\mu VD = 2.71\times10^{-4}\) N은 무게 − 부력 \((\rho_s-\rho)g\pi D^3/6 = 2.71\times10^{-4}\) N과 같다. 같은 구슬이 공기 중에서는 약 19 m/s로 떨어진다.
SIMULATOR

도전: 낙하산을 설계해 5 m/s 이하로 착지하라

캐노피 오른쪽 끝(흰 원)을 끌어 지름을 정한다
착지 장소
캐노피 지름 D—
예상 종단 속도—
착지 속력—
최대 감속—
판정—
원형 낙하산 \(C_D = 1.3\)(공칭 면적 \(\pi D^2/4\) 기준), 사람의 항력은 무시. 50 m/s로 자유 낙하하다 300 m 높이(지면 기준)에서 펼치며, 캐노피는 2.5 s 동안 부푼다. 화면은 6배속. 해볼 것: ① 착지 속력 5 m/s 이하를 만드는 가장 작은 지름을 찾아라(★★★: 최소 지름의 110% 이내). ② 질량을 2배로 하면 필요한 지름은 √2배다. ③ 고원(공기 밀도 약 0.96 kg/m³)에서는 같은 낙하산으로 더 빨리 내려온다 — 지름을 얼마나 키워야 하나?

양력과 에어포일

에어포일(airfoil)은 양력을 크게, 항력을 작게 만들도록 다듬은 날개 단면이다. 둥근 앞전(leading edge)과 뾰족한 뒷전(trailing edge)을 잇는 직선이 시위(chord) \(c\), 위·아래 면의 가운데를 잇는 곡선이 캠버선(camber line), 시위와 자유류가 이루는 각이 받음각(angle of attack) \(\alpha\)이다.

최대 두께 t 시위 c 캠버선 자유류 V α 앞전뒷전 양력 L ⊥ V 항력 D ∥ V
에어포일 용어(NACA 2412 단면). 양력은 자유류에 수직, 항력은 자유류에 나란한 성분으로 정의한다. 날개 전체에서는 날개 길이(스팬) \(b\), 평면 면적 \(A \approx bc\), 종횡비 \(AR = b^2/A\)가 중요하다.
$$C_L = \frac{F_L}{\tfrac12\rho V^2 A}, \qquad C_D = \frac{F_D}{\tfrac12\rho V^2 A} \qquad (A = \text{날개 평면 면적})$$

양력의 근원은 날개 주위의 순환(circulation) \(\Gamma\)이다(6장의 회전하는 원주와 같다). 뾰족한 뒷전에서 흐름이 매끄럽게 떠나야 한다는 쿠타 조건(Kutta condition)이 \(\Gamma\)의 크기를 정하고, 단위 스팬당 양력은 쿠타–주코프스키 정리 \(L' = \rho V\Gamma\)로 주어진다. 얇은 에어포일 이론의 결과는 놀랄 만큼 간단하다.

$$C_L \approx 2\pi\left(\alpha - \alpha_{L=0}\right) \qquad (\alpha \text{는 라디안}), \qquad \frac{dC_L}{d\alpha} = 2\pi\ \text{rad}^{-1} = 0.110\ \text{deg}^{-1}$$
대칭 에어포일은 \(\alpha_{L=0} = 0\). 캠버가 있으면 \(\alpha_{L=0} < 0\)이라 받음각 0에서도 양력이 생긴다(NACA 2412: 약 −2°). 이 직선 관계는 박리가 없는 범위(대략 \(|\alpha| < 10^\circ\))에서 실험과 잘 맞는다.

받음각을 더 키우면 윗면 뒤쪽의 역압력 구배가 너무 강해져 박리가 뒷전에서 앞쪽으로 번진다. 어느 각도(보통 12°–16°)에서 양력이 최대 \(C_{L,\max}\)가 된 뒤 급격히 떨어지고 항력이 치솟는다. 이것이 실속(stall)이다. 플랩과 슬랫은 캠버와 면적을 늘리고 경계층 박리를 늦춰 \(C_{L,\max}\)를 2–3까지 높인다.

비행기가 받음각을 5°에서 25°로 계속 높이면 양력은 어떻게 될까?

박리가 없으면 \(C_L \approx 2\pi\alpha\)로 커지지만, 실속각을 넘으면 윗면에서 박리가 번져 양력이 떨어지고 항력은 크게 는다. 아래에서 뒷전을 끌어 받음각을 키워 보라.
SIMULATOR

에어포일 풍동: 받음각을 끌어 실속을 찾아라

뒷전의 흰 원을 위아래로 끈다
단면
받음각 α—
CL (실험 / 2π(α−α₀))—
단면 cd—
양항비 L/D—
양력 (시위 1.5 m, 스팬 1 m당)—
유선은 주코프스키 변환으로 얻은 실제 퍼텐셜 유동(쿠타 조건)이다. 실속 뒤에는 순환을 실험 \(C_L\)에 맞게 줄이고 윗면 박리 영역을 빗금으로 표시했다. 양력·항력 화살표 크기는 \(C_L\), \(5c_d\)에 비례. 해볼 것: ① 5°에서 \(C_L\)이 2π(α−α₀) 직선과 거의 같은지 확인하라. ② 실속각과 \(C_{L,\max}\)를 찾아라. 그 직후 L/D가 어떻게 무너지는가? ③ 캠버 단면은 α = 0에서도 양력이 있고 \(C_{L,\max}\)가 더 크다.

유한 날개와 유도 항력

실제 날개는 끝이 있다. 아랫면의 높은 압력이 날개 끝을 돌아 윗면으로 새어 나가며 강한 날개 끝 와류(wingtip vortex)를 만든다. 이 와류가 날개 뒤에 아래로 향하는 내리흐름을 만들어 날개가 실제로 느끼는 흐름을 아래로 기울이고, 양력 벡터를 뒤로 기울인다. 그 뒤쪽 성분이 유도 항력(induced drag)이다.

$$C_D = C_{D,0} + C_{D,i} = C_{D,0} + \frac{C_L^2}{\pi\,e\,AR}, \qquad AR = \frac{b^2}{A}$$
\(C_{D,0}\): 양력과 무관한 항력(마찰·형상), \(e\): 스팬 효율(타원 날개 1, 보통 0.7–0.9). 양항비가 최대가 되는 것은 \(C_{D,i} = C_{D,0}\)일 때: \(C_L^* = \sqrt{\pi e AR\,C_{D,0}}\), \((L/D)_{\max} = \tfrac12\sqrt{\pi e AR/C_{D,0}}\). 글라이더와 여객기의 날개가 가늘고 긴(AR 큰) 이유다.
MINI LAB위: 같은 면적의 날개 평면형과 날개 끝 와류. 아래: 항력 극선(\(C_{D,0} = 0.025\), \(e = 0.85\)). 원점에서 그은 접선이 닿는 점이 최대 양항비다. AR을 키우면 극선이 왼쪽으로 붙고 \((L/D)_{\max}\)가 \(\sqrt{AR}\)에 비례해 커진다.

비행 성능: 최소 속도와 이륙

수평 등속 비행에서는 양력이 무게와 같다: \(W = C_L\tfrac12\rho V^2A\). 속력이 느릴수록 큰 \(C_L\)이 필요하고, \(C_L\)은 \(C_{L,\max}\)를 넘을 수 없으므로 최소 비행 속도(실속 속도)가 정해진다.

$$V_\text{min} = \sqrt{\frac{2W}{\rho\,A\,C_{L,\max}}}, \qquad V_\text{이륙} \approx 1.2\,V_\text{min}$$
무거울수록, 공기가 희박할수록(고지대·더운 날) \(V_\text{min}\)이 커지고 활주 거리가 길어진다. 이착륙 때 플랩을 펴는 것은 \(C_{L,\max}\)를 키워 \(V_\text{min}\)을 낮추기 위해서다.

질량 1200, 날개 면적 16인 비행기가 \(C_{L,\max}\) = 1.6(플랩)으로 해발 0 공항에서 뜨려면 공기 밀도 에서 실속 속도는 , 이륙 속도(1.2배)는 이다. 날개 하중 \(W/A\)는 .

질량 1200 kg, 날개 면적 16.0 m², 종횡비 7.5, 스팬 효율 \(e = 0.80\)인 경비행기가 있다(\(\rho = 1.225\) kg/m³). (a) 플랩을 편 \(C_{L,\max} = 1.6\)일 때 실속 속도와 이륙 속도(1.2배), (b) 60.0 m/s 순항 시 필요한 \(C_L\)과 유도 항력을 구하라.

풀이 보기
전략 (a) \(V_\text{min} = \sqrt{2W/(\rho AC_{L,\max})}\). (b) \(L = W\)에서 \(C_L\), 그다음 \(C_{D,i} = C_L^2/(\pi e AR)\).
풀이 \(W = 1200(9.81) = 1.18\times10^4\) N. (a) \(V_\text{min} = \sqrt{2(11772)/(1.225\times16.0\times1.6)} = 27.4\) m/s (98.6 km/h), \(V_\text{이륙} = 32.9\) m/s. (b) \(q = \tfrac12(1.225)(60.0)^2 = 2205\) Pa, \(C_L = 11772/(2205\times16.0) = 0.334\), \(C_{D,i} = 0.334^2/(\pi\times0.80\times7.5) = 5.91\times10^{-3}\), \(D_i = C_{D,i}qA = 208\) N.
(a) Vmin = 27.4 m/s, V이륙 ≈ 32.9 m/s (b) CL = 0.334, Di ≈ 208 N
검토 순항 \(C_L = 0.334\)는 얇은 에어포일 이론으로 받음각 약 3°에 해당한다. 유도 항력은 \(1/V^2\)에 비례하므로 느리게 날수록 커진다 — 이착륙 때 유도 항력이 전체 항력의 대부분이다.
SIMULATOR

도전: 짧은 활주로에서 이륙하라

플랩
공항
공기 밀도—
실속 / 이륙 속도—
활주 거리—
판정 (활주로 400 m)—
최대 성공 질량—
경비행기(날개 16.2 m², AR 7.3) 모형: \(m\,dV/dt = T - D - \mu_r(W - L)\), 프로펠러 추력은 속력과 공기 밀도에 따라 줄고(\(T \propto \rho\)), 이륙은 \(1.2V_\text{min}\)에서 한다. 플랩은 \(C_{L,\max}\)를 1.4 → 1.7 → 2.1로 키우지만 항력도 키운다. 해볼 것: ① 해수면에서는 쉽게 뜬다. ② 고지대·고온 공항에서 같은 질량이 몇 m 더 달려야 하는가? ③ 고지대에서 400 m 안에 뜰 수 있는 최대 질량과 최적의 플랩을 찾아라.

핵심 정리

  1. 높은 \(Re\)의 외부 유동에서 점성은 얇은 경계층에만 중요하다. 두께는 δ(99%), 배제 두께 \(\delta^* = \int(1-u/U)dy\), 운동량 두께 \(\theta = \int (u/U)(1-u/U)dy\)로 나타낸다.
  2. 층류 평판(블라시우스): \(\delta/x = 4.91/\sqrt{Re_x}\), \(\delta^*/x = 1.72/\sqrt{Re_x}\), \(\theta/x = 0.664/\sqrt{Re_x}\), \(c_{f,x} = 0.664/\sqrt{Re_x}\), \(C_D = 1.328/\sqrt{Re_L}\).
  3. 운동량 적분식 \(\tau_w = \rho U^2 d\theta/dx\): 분포를 가정하면 δ와 \(c_f\)를 손으로 구할 수 있고(포물선: 5.48, 0.730), 판의 항력은 \(F_D = \rho bU^2\theta(L)\)이다.
  4. \(Re_x \approx 5\times10^5\)에서 천이. 난류(1/7 멱): \(\delta/x = 0.38/Re_x^{1/5}\), \(c_{f,x} = 0.059/Re_x^{1/5}\), \(C_D = 0.074/Re_L^{1/5}\); 혼합 경계층은 \(-1742/Re_L\)을 더한다.
  5. 역압력 구배에서 벽 근처 유체가 멈추면(\(\tau_w = 0\)) 박리한다. 무딘 물체의 항력은 대부분 박리 후류의 압력 항력이며, 난류 경계층은 박리를 늦춰 항력 위기(\(C_D\) 급락)를 만든다.
  6. \(F_D = C_D\tfrac12\rho V^2A\), 일률 \(\propto V^3\). 종단 속도는 \(W = F_D + F_B\)에서; \(Re<1\)이면 스토크스 \(F_D = 3\pi\mu VD\), \(V_t = (\rho_s-\rho)gD^2/18\mu\).
  7. \(F_L = C_L\tfrac12\rho V^2A\), 얇은 에어포일 \(C_L \approx 2\pi(\alpha-\alpha_{L=0})\), 실속각 12°–16°. 유도 항력 \(C_{D,i} = C_L^2/(\pi eAR)\), 최소 속도 \(V_\text{min} = \sqrt{2W/(\rho AC_{L,\max})}\).

연습문제

특별한 말이 없으면 \(g = 9.81\) m/s², 20 °C 공기 \(\rho = 1.204\) kg/m³, \(\nu = 1.516\times10^{-5}\) m²/s, 20 °C 물 \(\rho = 998\) kg/m³, \(\mu = 1.002\times10^{-3}\) Pa·s, \(\nu = 1.004\times10^{-6}\) m²/s, \(Re_{x,\text{cr}} = 5\times10^5\)을 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

20 °C 물이 1.50 m/s로 매끈한 평판 위를 흐른다. 앞전에서 천이가 시작되는 위치는?

\(x_\text{cr} = Re_\text{cr}\nu/U = (5\times10^5)(1.004\times10^{-6})/1.50 = 0.335\) m.

20 °C 공기가 3.00 m/s로 평판 위를 흐른다. 앞전에서 0.500 m 떨어진 곳의 경계층 두께는?

\(Re_x = (3.00)(0.500)/(1.516\times10^{-5}) = 9.89\times10^4\) (층류). \(\delta = 4.91(0.500)/\sqrt{9.89\times10^4} = 7.80\) mm.

앞 문제와 같은 위치에서 벽 전단 응력은?

\(c_{f,x} = 0.664/\sqrt{9.89\times10^4} = 2.11\times10^{-3}\), \(\tau_w = c_{f,x}\tfrac12\rho U^2 = (2.11\times10^{-3})(0.5)(1.204)(9.00) = 0.0114\) Pa.

길이 1.20 m, 폭 0.500 m인 평판이 SAE 30 엔진 오일(\(\rho = 891\) kg/m³, \(\mu = 0.290\) Pa·s) 속에서 흐름과 나란히 3.00 m/s로 움직인다. 양면에 작용하는 마찰 항력은?

\(Re_L\)을 먼저 구해 층류인지 확인한다. 양면이므로 넓이는 \(2bL\).

\(Re_L = (891)(3.00)(1.20)/0.290 = 1.11\times10^4\) (층류). \(C_D = 1.328/\sqrt{1.106\times10^4} = 0.01263\). \(F_D = C_D\tfrac12\rho U^2(2bL) = (0.01263)(0.5)(891)(9.00)(1.20) = 60.8\) N.

경계층 분포를 \(u/U = 2(y/\delta) - (y/\delta)^2\)으로 가정할 때 형상 계수 \(H = \delta^*/\theta\)는?

\(\eta = y/\delta\)로 놓고 \(\delta^* = \delta\int_0^1(1-2\eta+\eta^2)d\eta\), \(\theta = \delta\int_0^1(2\eta-\eta^2)(1-\eta)^2d\eta\).

\(\delta^* = \delta\int_0^1(1-\eta)^2d\eta = \delta/3\), \(\theta = 2\delta/15\). \(H = (1/3)/(2/15) = 2.50\) (블라시우스 2.59와 비슷).

20 °C 공기가 20.0 m/s로 평판 위를 흐른다. 앞전부터 난류라고 가정하고(1/7 멱법칙) \(x = 2.00\) m에서 경계층 두께와 배제 두께를 구하라.

\(Re_x = (20.0)(2.00)/(1.516\times10^{-5}) = 2.64\times10^6\), \(Re_x^{1/5} = 19.24\). \(\delta = 0.38(2.00)/19.24 = 39.5\) mm, \(\delta^* = \delta/8 = 4.94\) mm. (같은 곳이 층류였다면 \(\delta\)는 6.0 mm에 불과하다.)

예인 수조에서 길이 2.00 m인 배 모형을 1.50 m/s로 끈다. 젖음 면적은 1.20 m²이고 선체를 같은 길이의 평판으로 근사한다. 마찰 항력은(혼합 경계층)?

\(Re_L = (1.50)(2.00)/(1.004\times10^{-6}) = 2.99\times10^6\). \(C_D = 0.074/Re_L^{0.2} - 1742/Re_L = 3.75\times10^{-3} - 0.58\times10^{-3} = 3.17\times10^{-3}\). \(F_D = (3.17\times10^{-3})(0.5)(998)(1.50)^2(1.20) = 4.27\) N.

한 변 0.300 m인 정사각형 단면의 저속 풍동 시험부(길이 1.00 m)에 20 °C 공기가 4.00 m/s로 들어온다. 네 벽의 경계층은 층류다. (a) 시험부 끝에서 벽 경계층의 배제 두께는? (b) 벽을 넓히지 않으면 시험부 끝의 핵심부(경계층 밖) 속력은 입구보다 몇 % 빨라지는가?

유효 단면은 각 벽에서 \(\delta^*\)씩 줄어든 \((0.300 - 2\delta^*)^2\). 질량 보존으로 \(U_\text{core}/U = A/A_\text{eff}\).

(a) \(Re_L = (4.00)(1.00)/(1.516\times10^{-5}) = 2.64\times10^5\), \(\delta^* = 1.72(1.00)/\sqrt{2.64\times10^5} = 3.35\) mm. (b) \(U_\text{core}/U = 0.300^2/(0.300 - 0.00670)^2 = 1.0462\) → 4.62% 증가. 그래서 풍동은 하류로 갈수록 벽을 \(\delta^*\)만큼 벌린다.

지름 0.300 m인 풍선이 8.00 m/s의 바람을 받는다(\(C_D = 0.47\)). 항력은?

\(A = \pi(0.150)^2 = 0.0707\) m². \(F_D = (0.47)(0.5)(1.204)(8.00)^2(0.0707) = 1.28\) N.

지름 0.100 mm의 모래 알갱이(\(\rho_s = 2650\) kg/m³)가 20 °C 물속에서 가라앉는 종단 속도는? (스토크스 법칙을 쓰고 \(Re\)를 확인하라.)

\(V_t = (2650-998)(9.81)(1.00\times10^{-4})^2/(18\times1.002\times10^{-3}) = 8.99\times10^{-3}\) m/s. \(Re = (998)(0.00899)(10^{-4})/(1.002\times10^{-3}) = 0.895\) — 1보다 약간 작아 스토크스 법칙이 그럭저럭 맞는다(실제는 수 % 느리다).

지름 2.00 cm의 우박(얼음, \(\rho_s = 917\) kg/m³)이 공기(\(\rho = 1.20\) kg/m³) 중에서 떨어진다. \(C_D = 0.50\)으로 보고 부력을 무시할 때 종단 속도는?

\(V_t = \sqrt{4gD\rho_s/(3C_D\rho)} = \sqrt{4(9.81)(0.0200)(917)/(3\times0.50\times1.20)} = 20.0\) m/s. 확인: \(Re = (1.20)(20.0)(0.0200)/(1.81\times10^{-5}) \approx 2.7\times10^4\) — \(C_D \approx 0.5\) 영역이 맞다.

자전거 선수(\(C_D = 0.90\), 정면 면적 0.360 m²)가 바람 없는 날 40.0 km/h로 달린다(\(\rho = 1.20\) kg/m³). 공기 항력을 이기는 데 필요한 일률은?

\(V = 11.11\) m/s, \(P = \tfrac12\rho C_DAV^3 = 0.5(1.20)(0.90)(0.360)(11.11)^3 = 267\) W. 50 km/h이면 \((1.25)^3\)배인 521 W.

질량 400 kg인 글라이더의 날개 면적은 15.0 m², \(C_{L,\max} = 1.40\)이다. 해수면(\(\rho = 1.225\) kg/m³)과 고도 3000 m(\(\rho = 0.909\) kg/m³)에서의 실속 속도는?

\(W = 3924\) N. \(V_\text{min} = \sqrt{2W/(\rho AC_{L,\max})}\): 해수면 \(\sqrt{7848/(1.225\times15.0\times1.40)} = 17.5\) m/s, 3000 m \(\sqrt{7848/(0.909\times15.0\times1.40)} = 20.3\) m/s. (\(V_\text{min}\propto 1/\sqrt\rho\))

어떤 비행기의 항력 극선이 \(C_D = 0.025 + C_L^2/(\pi eAR)\), \(AR = 8.0\), \(e = 0.85\)이다. (a) \(C_L = 0.50\)일 때의 양항비, (b) 최대 양항비를 구하라.

최대 양항비는 \(C_{D,i} = C_{D,0}\)일 때 \((L/D)_{\max} = \tfrac12\sqrt{\pi eAR/C_{D,0}}\).

\(\pi eAR = 21.36\). (a) \(C_{D,i} = 0.25/21.36 = 0.0117\), \(C_D = 0.0367\), \(L/D = 0.50/0.0367 = 13.6\). (b) \((L/D)_{\max} = 0.5\sqrt{21.36/0.025} = 14.6\) (\(C_L^* = 0.731\)에서).

경계층 박리가 일어나기 쉬운 조건은?

박리에는 감속하는 바깥 흐름, 즉 역압력 구배가 필요하다. 벽 근처 운동량이 작은 층류 경계층이 난류보다 훨씬 쉽게 박리한다. 평판(\(dp/dx = 0\))에서는 박리가 일어나지 않는다.

매끈한 구의 \(C_D\)가 \(Re \approx 3\times10^5\) 부근에서 0.4에서 약 0.1로 급락하는 이유는?

난류 경계층은 벽 근처 운동량이 커서 역압력 구배를 더 오래 견딘다. 박리각이 약 80°에서 120°로 밀려 후류가 좁아지고 뒤쪽 압력이 회복되어 압력 항력이 크게 준다. 마찰 항력은 오히려 조금 는다.

개념 확인 퀴즈

층류 평판 경계층에서 앞전으로부터의 거리 \(x\)가 4배가 되면 경계층 두께와 국소 벽 전단 응력은?

\(\delta \propto \sqrt{x}\), \(\tau_w \propto 1/\sqrt{x}\). 경계층이 두꺼워질수록 벽의 속도 기울기가 완만해진다.

판의 마찰 항력이 운동량 두께 \(\theta\)와 \(F_D = \rho bU^2\theta(L)\)로 연결되는 까닭은?

검사 체적의 운동량 보존(운동량 적분식 유도)에서 바로 나온다. 층류·난류 모두에 성립한다.

흐름에 수직인 원판과 같은 정면 면적의 유선형 물체가 있다. 항력에 대해 옳은 것은?

원판(\(C_D \approx 1.2\))은 모서리에서 박리해 큰 후류를 만든다. 유선형(\(C_D \approx 0.04\))은 박리를 막아 압력 항력을 없앤다. 날카로운 모서리는 박리점을 고정하므로 원판의 \(C_D\)는 \(Re\)에 거의 무관하다.

스토크스 영역(\(Re < 1\))에서 구의 종단 속도는 지름 \(D\)에 어떻게 의존하는가?

무게 − 부력 \(\propto D^3\), 항력 \(3\pi\mu VD \propto VD\) → \(V_t \propto D^2\). 뉴턴 영역(\(C_D\) 일정)에서는 \(V_t\propto\sqrt D\)이다.

같은 무게의 비행기가 더 느리게 수평 비행하면 유도 항력은?

느릴수록 필요한 \(C_L = 2W/(\rho V^2A)\)가 커지고, \(D_i = C_L^2/(\pi eAR)\cdot\tfrac12\rho V^2A \propto 1/V^2\)이다. 반면 형상·마찰 항력은 \(V^2\)에 비례해 줄어든다.