Chapter 07

차원 해석과 상사

공기 속의 쇠구슬, 물속의 축구공, 글리세린 속의 유리알 — 크기도 속도도 유체도 다른 구들의 항력을 재면 점들이 여섯 자릿수에 걸쳐 흩어진다. 그런데 항력을 $\tfrac12\rho V^2 A$로, 속도를 $\mu/\rho D$로 나누는 순간 모든 점이 하나의 곡선 위에 놓인다. 이 장의 주제는 그 "마법"의 원리다. 물리 법칙은 단위를 고르지 않으므로, 결과는 무차원 묶음들 사이의 관계로만 쓰일 수 있다. 아래 그래프를 눌러 직접 무차원화해 보자.

누르면 무차원화 · 좌우로 끌면 조금씩

물리량을 기본 차원 M·L·T·Θ로 나타내고, 차원의 동차성으로 식을 검사하며, 방정식을 무차원화해 지배 매개변수를 찾는다.
버킹엄 Π 정리 $k = n - j$를 쓰고, 차원 행렬의 계수(rank)로 $j$를 정한다.
반복 변수법 6단계로 관 압력 강하·항력·펌프·진자·수면파 문제의 Π 그룹을 만든다.
레이놀즈·프루드·마하·웨버·오일러·스트로할 수와 압력·항력 계수를 힘의 비로 해석하고 값을 계산한다.
기하·운동·동역학적 상사 조건에서 모형 속도와 원형 힘을 구하고, 풍동·수조 실험의 한계와 레이놀즈 독립을 설명한다.
배 모형에서 Fr와 Re를 동시에 맞출 수 없는 이유(불완전 상사)와 프루드의 저항 분리법을 설명하고, 무차원 변수로 데이터를 하나의 곡선으로 정리한다.

차원과 차원의 동차성

"길이 3"은 미터인지 피트인지 말하기 전까지 아무 뜻이 없지만, "길이"라는 차원(dimension)은 단위와 무관하다. 차원은 물리량의 종류이고 단위는 그 크기를 재는 자다. SI는 일곱 개의 기본 차원(primary dimensions) — 질량 M, 길이 L, 시간 T, 온도 Θ, 전류 I, 물질의 양 N, 광도 J — 을 쓰며, 유체역학은 대부분 앞의 넷(MLTΘ)이면 충분하다. 나머지 물리량은 모두 이들의 거듭제곱 곱인 유도 차원(derived dimensions)이다. 이 책에서는 물리량 $q$의 차원을 $[q]$로 쓴다.

물리량	기호	SI 단위	차원
속도 / 가속도	$V,\ a$	m/s, m/s²	$\mathsf{LT^{-1}}$, $\mathsf{LT^{-2}}$
힘	$F$	N = kg·m/s²	$\mathsf{MLT^{-2}}$
압력·응력	$p,\ \tau$	Pa = N/m²	$\mathsf{ML^{-1}T^{-2}}$
밀도	$\rho$	kg/m³	$\mathsf{ML^{-3}}$
점성 계수	$\mu$	Pa·s	$\mathsf{ML^{-1}T^{-1}}$
동점성 계수	$\nu = \mu/\rho$	m²/s	$\mathsf{L^{2}T^{-1}}$
표면 장력	$\sigma$	N/m	$\mathsf{MT^{-2}}$
체적 유량	$Q$	m³/s	$\mathsf{L^{3}T^{-1}}$
동력	$\dot W$	W = J/s	$\mathsf{ML^{2}T^{-3}}$
각속도·진동수	$\omega,\ f$	rad/s, Hz	$\mathsf{T^{-1}}$
비중량	$\gamma = \rho g$	N/m³	$\mathsf{ML^{-2}T^{-2}}$

차원의 동차성 법칙

물리적으로 옳은 식에서 더하거나 빼거나 등호로 잇는 모든 항은 같은 차원을 가진다. 지수·로그·삼각 함수의 인수는 무차원이어야 한다.

동차성은 식을 외우지 않아도 오류를 잡아 준다. 베르누이 식 $p + \tfrac12\rho V^2 + \rho g z = \text{일정}$의 세 항은 모두 압력 차원 $\mathsf{ML^{-1}T^{-2}}$이다. 반대로 $\tfrac12\rho V$처럼 V가 한 번만 들어가면 차원이 맞지 않아 곧바로 틀린 식임을 안다. 공학에는 차원이 맞지 않는 경험식도 있는데(예: 매닝 식), 이런 식은 상수에 차원이 숨어 있어 단위계를 바꾸면 상수도 바뀐다.

식 고르기

MINI LAB각 항의 M·L·T 지수를 막대로 그렸다. 모든 항의 막대 모양이 같아야 동차다. 매닝 식 $V = \tfrac1n R_h^{2/3}S^{1/2}$에서 $n$을 무차원으로 보면 차원이 맞지 않는다 — $n$이 $\mathsf{TL^{-1/3}}$ 차원을 떠안고 있다.

(a) 모세관 상승 높이 $h = \dfrac{2\sigma\cos\theta}{\rho g R}$가 차원적으로 동차인지 확인하라. (b) 매닝 식 $V = \dfrac1n R_h^{2/3} S^{1/2}$($S$는 무차원 기울기)이 성립하려면 $n$의 차원은 무엇이어야 하는가?

풀이 보기

전략 각 기호의 차원을 대입하고 지수를 비교한다. $\cos\theta$와 $S$는 무차원.

풀이 (a) $\left[\dfrac{\sigma}{\rho g R}\right] = \dfrac{\mathsf{MT^{-2}}}{(\mathsf{ML^{-3}})(\mathsf{LT^{-2}})(\mathsf{L})} = \dfrac{\mathsf{MT^{-2}}}{\mathsf{ML^{-1}T^{-2}}} = \mathsf{L}$ — 좌변 $h$와 같다. (b) $[n] = \dfrac{[R_h^{2/3}]}{[V]} = \dfrac{\mathsf{L^{2/3}}}{\mathsf{LT^{-1}}} = \mathsf{T\,L^{-1/3}}$.

(a) 동차(양변 모두 L) (b) $[n] = \mathsf{T\,L^{-1/3}}$ — 단위계를 바꾸면 $n$ 값이 바뀐다(영미 단위에서는 1.49를 곱하는 이유)

검토 10장의 매닝 식은 SI 단위 전용으로 표의 $n$ 값을 쓴다. 동차인 식은 어떤 단위계에서도 같은 꼴을 유지한다.

방정식의 무차원화

지배 방정식을 알고 있다면 차원 해석은 더 강력해진다. 변수마다 문제의 특성 척도(characteristic scale)로 나눠 무차원 변수로 바꾸면, 흩어져 있던 매개변수들이 몇 개의 무차원 묶음으로 합쳐진다. 가장 단순한 예는 높이 $z_0$에서 초기 속도 $w_0$로 위로 던진 물체(공기 저항 무시)다.

차원 있는 해: 세 번의 던지기(모두 $w_0 = \sqrt{g z_0}$)는 서로 다른 곡선이다. 결과는 매개변수 세 개($z_0, w_0, g$)에 따라 달라지는 것처럼 보인다.
높이는 처음 높이 $z_0$로, 시간은 $z_0/w_0$로 잰다. 이 척도로 나눈 $z^*, t^*$는 무차원이다.
$z = z_0 z^*$, $t = (z_0/w_0)t^*$를 운동 방정식에 넣으면 매개변수가 단 하나 $\mathrm{Fr} = w_0/\sqrt{gz_0}$로 합쳐진다.
세 던지기는 모두 Fr = 1이므로 무차원 평면에서 정확히 같은 곡선이다. 실험 세 번이 한 번의 정보였던 것이다.

방정식의 무차원화. 매개변수 세 개가 무차원 수 하나(프루드 수)로 줄어든다.

$$\frac{d^2z}{dt^2} = -g \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{d^2z^*}{dt^{*2}} = -\frac{1}{\mathrm{Fr}^2},\qquad z^*(0) = 1,\;\; \left.\frac{dz^*}{dt^*}\right|_0 = 1,\qquad \mathrm{Fr} = \frac{w_0}{\sqrt{g z_0}}$$

최고점 $z^*_{\max} = 1 + \mathrm{Fr}^2/2$($t^* = \mathrm{Fr}^2$에서). 같은 Fr라면 높이·속도·행성이 달라도 무차원 궤적은 하나다.

지구에서 $z_0 = 4$ m, $w_0 = 6$ m/s로 던진 공과 같은 무차원 곡선을 얻으려고 높이를 $z_0 = 16$ m로 4배 높였다. 초기 속도는 얼마로 해야 할까?

$\mathrm{Fr} = w_0/\sqrt{gz_0}$를 같게 하려면 $w_0 \propto \sqrt{z_0}$ — 높이 4배면 속도 2배. 아래에서 과녁 곡선을 여러 가지 높이로 맞혀 보라.

SIMULATOR

던지기의 무차원화: 서로 다른 던지기로 같은 곡선 만들기

공(높이)과 화살표 끝(속도)을 끈다

처음 높이 z₀ 초기 속도 w₀

중력

Fr = w₀/√(gz₀)—

과녁 Fr—

최고 높이 z_max—

비행 시간—

도전—

위 그래프는 차원 있는 $z(t)$, 아래 그래프는 무차원 $z^*(t^*)$다. 도전: 점선 과녁 곡선(목표 Fr)과 겹치는 던지기를 서로 다른 높이 세 가지로 기록하라. 해볼 것: ① 기록한 곡선들이 위 그래프에서는 제각각인데 아래에서는 하나로 겹친다. ② 달로 바꾸면 같은 $z_0, w_0$라도 Fr가 커진다 — g도 매개변수다. ③ $w_0 = 0$이면 Fr = 0이고 $t^*$ 척도가 무너진다. 이때는 시간 척도로 $\sqrt{z_0/g}$를 써야 한다.

같은 방법을 베르누이 식에 쓰면 압력을 동압 $\tfrac12\rho V_\infty^2$로, 속도를 $V_\infty$로 나눈 압력 계수(pressure coefficient)가 나온다.

$$p + \tfrac12\rho V^2 = p_\infty + \tfrac12\rho V_\infty^2 \;\;\Longrightarrow\;\; C_p \equiv \frac{p - p_\infty}{\tfrac12\rho V_\infty^2} = 1 - \left(\frac{V}{V_\infty}\right)^2$$

유선 모양(즉 $V/V_\infty$ 분포)이 같으면 $C_p$ 분포도 같다. 6장의 원주 표면 $C_p = 1 - 4\sin^2\theta$가 그 예다.

심화: 나비에–스토크스 식의 무차원화

길이 척도 $L$, 속도 척도 $V$, 진동수 $f$, 압력 척도 $p_0 - p_\infty$로 $t^* = ft$, $\vec x^* = \vec x/L$, $\vec V^* = \vec V/V$, $p^* = (p - p_\infty)/(p_0 - p_\infty)$, $\vec g^* = \vec g/g$라 두면 비압축성 나비에–스토크스 식은

$$\mathrm{St}\,\frac{\partial \vec V^*}{\partial t^*} + (\vec V^*\!\cdot\nabla^*)\vec V^* = -\mathrm{Eu}\,\nabla^* p^* + \frac{1}{\mathrm{Fr}^2}\,\vec g^* + \frac{1}{\mathrm{Re}}\,\nabla^{*2}\vec V^*$$

가 된다. 여기서 $\mathrm{St} = fL/V$, $\mathrm{Eu} = (p_0 - p_\infty)/\rho V^2$, $\mathrm{Fr} = V/\sqrt{gL}$, $\mathrm{Re} = \rho VL/\mu$. 두 유동이 기하학적으로 닮았고 이 네 수가 같으면 무차원 해 $\vec V^*(\vec x^*, t^*)$가 같다 — 모형 실험의 이론적 근거다. 자유 표면이 없으면 중력 항은 정수압에 흡수되어 Fr가 빠지고, Eu는 보통 다른 수의 결과(종속 Π)가 된다.

버킹엄 Π 정리와 차원 행렬

지배 방정식을 모를 때도 차원 해석은 쓸 수 있다. 어떤 물리 현상에 관계된 변수 $n$개를 모두 알고 있기만 하면 된다. 1914년 버킹엄(E. Buckingham)이 정리한 다음 정리가 모든 실험 계획의 출발점이다.

버킹엄 Π 정리

차원 있는 변수 $n$개 사이의 물리적 관계 $q_1 = f(q_2, q_3, \dots, q_n)$는 서로 독립인 무차원 묶음 $k = n - j$개 사이의 관계 $\Pi_1 = \phi(\Pi_2, \dots, \Pi_k)$로 바꿔 쓸 수 있다. 여기서 $j$는 차원 행렬(dimensional matrix)의 계수(rank)로, 보통 문제에 나타나는 기본 차원의 수와 같다.

차원 행렬은 변수마다 한 열, 기본 차원마다 한 행을 두고 지수를 적은 표다. 예를 들어 비누 방울 안팎의 압력 차 $\Delta p = f(R, \sigma)$에서

$$\begin{array}{c|ccc} & \Delta p & R & \sigma \\ \hline \mathsf M & 1 & 0 & 1 \\ \mathsf L & -1 & 1 & 0 \\ \mathsf T & -2 & 0 & -2 \end{array} \qquad \text{T 행} = -2\times(\text{M 행}) \;\Rightarrow\; j = \operatorname{rank} = 2,\;\; k = 3 - 2 = 1$$

기본 차원은 셋이지만 M과 T가 언제나 $\mathsf{MT^{-2}}$ 꼴로 함께 나오므로 독립인 것은 둘뿐이다. Π는 하나 $\Delta p\,R/\sigma$이고, Π가 하나면 그것은 상수다: $\Delta p = C\sigma/R$(실제 $C = 4$).

계수는 "기본 차원의 개수"가 아니라 "행렬의 독립인 행(=열)의 개수"다. 대부분은 둘이 같지만 비누 방울처럼 다를 때가 있으므로, 의심스러우면 계수를 직접 구한다. 아래 Π 정리 빌더는 이 과정 전체 — 변수 고르기, 차원 행렬, 계수, 반복 변수, 지수 연립방정식 — 를 자동으로 해 준다.

SIMULATOR

Π 정리 빌더: 변수를 고르면 Π 그룹이 만들어진다

예제 불러오기 종속 변수

① 관련 변수

② 반복 변수

변수 수 n—

계수 j = rank—

Π 개수 k = n − j—

해볼 것: ① ‘관 압력 강하’에서 반복 변수로 D와 L을 함께 고르면 경고가 뜬다 — 같은 차원 두 개는 독립이 아니다. ② ‘진자 주기’에서 질량 m은 M 차원을 가진 유일한 변수라 어떤 Π에도 들어갈 수 없다: 주기는 질량과 무관하다. ③ ‘비누 방울’은 기본 차원이 셋인데 계수가 2다. ④ 같은 문제에서 반복 변수를 ρ, V, D 대신 μ, V, D로 바꾸면 Π의 모양이 달라지지만 개수는 같다 — Π는 유일하지 않다.

Π 그룹은 유일하지 않다

Π 그룹은 역수로 바꾸거나($\Pi \to 1/\Pi$), 거듭제곱하거나($\Pi \to \Pi^2$), 다른 Π를 곱해($\Pi_1\Pi_2$) 새 Π로 바꿔도 된다. 개수 $k$만 유지되면 모두 같은 정보다. 그래서 관례적으로 잘 알려진 꼴(Re, Fr, $C_D$ …)이 되도록 다듬는다.

진자의 주기: 질량은 왜 빠지는가

단진자의 주기 $T$가 줄 길이 $L$, 추의 질량 $m$, 중력 가속도 $g$, 진폭 $\theta_0$에 따라 정해진다고 하자. $n = 5$, 기본 차원 M·L·T로 $j = 3$, 따라서 $k = 2$다. 그런데 M을 가진 변수는 $m$ 하나뿐이어서 어떤 무차원 묶음에도 $m$이 들어갈 수 없다(상쇄해 줄 짝이 없다). 남은 Π는

$$\Pi_1 = T\sqrt{\frac{g}{L}} = \phi(\theta_0) \qquad\Longrightarrow\qquad T = \phi(\theta_0)\sqrt{\frac{L}{g}}$$

차원 해석은 함수 $\phi$를 알려 주지 않는다. 작은 진폭에서 $\phi \to 2\pi$라는 것은 운동 방정식(또는 실험 한 번)이 알려 준다.

진자 추의 질량을 4배로 늘리면 주기는 어떻게 될까? (줄 길이와 진폭은 그대로)

$m$과 짝지을 M 차원 변수가 없으므로 $T$는 $m$에 의존할 수 없다. 아래에서 질량을 바꿔도 $\Pi_1$이 그대로임을 확인하라.

줄 길이 L 질량 m 진폭 θ₀

행성

MINI LAB진자는 비선형 운동 방정식 $\ddot\theta = -(g/L)\sin\theta$를 그대로 푼다. L·m·g를 아무리 바꿔도 $\Pi_1 = T\sqrt{g/L}$는 꿈쩍하지 않고, 오직 진폭 $\theta_0$(이미 무차원인 Π₂)만이 $\Pi_1$을 $2\pi = 6.283$에서 조금씩 키운다.

지구($g = 9.81$ m/s²)에서 길이 1.00 m인 진자를 작은 진폭으로 흔들었더니 주기가 2.006 s였다. 같은 진폭으로 달($g = 1.62$ m/s²)에서 길이 0.500 m 진자의 주기는?

풀이 보기

전략 진폭이 같으면 $\Pi_1 = T\sqrt{g/L}$이 같다. 지구 실험으로 $\Pi_1$을 구하고 달 조건에 쓴다.

풀이 $\Pi_1 = 2.006\sqrt{9.81/1.00} = 6.283$ ($\approx 2\pi$). 달: $T = \Pi_1\sqrt{L/g} = 6.283\sqrt{0.500/1.62} = 3.49$ s. 비례식으로 쓰면 $T_2 = T_1\sqrt{(L_2/L_1)(g_1/g_2)} = 2.006\sqrt{0.5\times 9.81/1.62}$.

T ≈ 3.49 s

검토 길이가 반이면 주기는 $1/\sqrt2$배, 중력이 1/6이면 $\sqrt6$배 — 합쳐서 $\sqrt3 = 1.74$배. 질량은 어디에도 필요 없었다.

반복 변수법

Π 그룹을 체계적으로 만드는 표준 절차가 반복 변수법(method of repeating variables)이다. $j$개의 반복 변수(repeating variables)를 골라 두고, 나머지 변수 하나씩에 반복 변수들의 거듭제곱을 곱해 무차원이 되도록 지수를 정한다. 반복 변수가 모든 Π에 "반복해서" 나타나므로 이런 이름이 붙었다.

현상에 관계된 변수를 빠짐없이(그러나 군더더기 없이) 나열한다. 종속 변수를 맨 앞에 둔다.
각 변수를 기본 차원으로 나타낸다.
$j$를 정한다(보통 나타난 기본 차원 수, 의심되면 차원 행렬의 계수). Π의 개수는 $k = n - j$.
반복 변수 $j$개를 고른다. 종속 변수·무차원 변수는 안 되고, 반복 변수끼리 무차원 묶음을 만들 수 없어야 하며, 모두 합쳐 $j$개 기본 차원을 다 포함해야 한다.
반복 변수가 아닌 변수 하나에 반복 변수의 미지 지수 곱을 붙이고, 차원별 지수 합 = 0인 연립방정식을 푼다. 변수마다 반복한다.
각 Π가 무차원인지 확인하고, 역수·거듭제곱으로 낯익은 꼴로 다듬어 $\Pi_1 = \phi(\Pi_2,\dots)$로 쓴다.

반복 변수법 여섯 단계를 관의 압력 강하에 적용한 예. ▶로 한 단계씩 넘겨 보라.

반복 변수 고르기에서 흔한 실수

① 종속 변수(구하려는 양)를 반복 변수로 쓰면 그것이 여러 Π에 흩어져 $\Pi_1 = \phi(\dots)$ 꼴로 풀 수 없다. ② D와 L처럼 같은 차원 둘, 또는 V·D·ω처럼 $\omega D/V$라는 무차원 묶음을 만드는 조합은 서로 독립이 아니다. ③ μ나 σ를 반복 변수로 써도 수학적으로는 되지만 결과가 낯선 꼴이 된다. 가능하면 밀도·속도(또는 회전수)·길이를 고른다.

매끈하지 않은 원관에서 길이 $L$ 구간의 압력 강하 $\Delta p$는 평균 속도 $V$, 지름 $D$, 거칠기 $\varepsilon$, 밀도 $\rho$, 점성 계수 $\mu$에 따라 정해진다. 반복 변수법으로 무차원 관계를 구하고, 완전 발달 유동에서 $\Delta p \propto L$이라는 사실을 쓰면 어떻게 단순해지는가?

풀이 보기

전략 위 단계별 그림 그대로: $n = 7$, $j = 3$, 반복 변수 $\rho, V, D$.

풀이 $\Pi_1 = \Delta p/\rho V^2$, $\Pi_2 = \mu/\rho VD = 1/\mathrm{Re}$, $\Pi_3 = L/D$, $\Pi_4 = \varepsilon/D$. 따라서 $\dfrac{\Delta p}{\rho V^2} = \phi\!\left(\mathrm{Re}, \dfrac{L}{D}, \dfrac{\varepsilon}{D}\right)$. 완전 발달 구간에서는 압력이 길이에 따라 일정하게 떨어지므로 $\phi$는 $L/D$에 정비례해야 한다: $\dfrac{\Delta p}{\rho V^2} = \dfrac{L}{D}\,\psi(\mathrm{Re}, \varepsilon/D)$.

$\Delta p = f\,\dfrac{L}{D}\,\dfrac{\rho V^2}{2}$, $\;f = 2\psi(\mathrm{Re}, \varepsilon/D)$ — 다르시 마찰 계수

검토 8장의 다르시–바이스바흐 식과 무디 선도가 바로 이 결과다. 차원 해석은 일곱 개 변수의 관계를 두 변수 함수 $f(\mathrm{Re}, \varepsilon/D)$ 하나로 줄여 주었고, 그 함수는 실험(니쿠라제, 무디)이 채웠다.

(a) 구의 항력 $F_D$가 $V, D, \rho, \mu$에 따라 정해질 때 무차원 관계를 구하라. (b) 지름 20.0 cm인 구가 20 °C 공기($\rho = 1.204$ kg/m³, $\nu = 1.516\times10^{-5}$ m²/s) 속을 3.00 m/s로 움직일 때의 항력을, 지름 5.00 cm 구를 20 °C 물($\rho = 998$ kg/m³, $\nu = 1.004\times10^{-6}$ m²/s)에서 시험해 예측하려 한다. 필요한 물의 속도는? 그 속도에서 모형 항력이 0.267 N이었다면 원형 항력은?

풀이 보기

전략 $n = 5$, $j = 3$, $k = 2$. 반복 변수 $\rho, V, D$. 두 Π가 같으면(동역학적 상사) 종속 Π도 같다.

풀이 (a) $\Pi_1 = F_D/\rho V^2 D^2$, $\Pi_2 = \rho VD/\mu = \mathrm{Re}$. 관례적으로 정면 면적 $A = \pi D^2/4$와 $\tfrac12$을 넣어 $C_D = \dfrac{F_D}{\tfrac12\rho V^2 A} = \phi(\mathrm{Re})$. (b) $\mathrm{Re}_p = (3.00)(0.200)/1.516\times10^{-5} = 3.96\times10^4$. $V_m = \mathrm{Re}_p\,\nu_m/D_m = (3.96\times10^4)(1.004\times10^{-6})/0.0500 = 0.795$ m/s. $\Pi_1$이 같으므로 $F_{D,p} = F_{D,m}\dfrac{\rho_p}{\rho_m}\left(\dfrac{V_p}{V_m}\right)^2\left(\dfrac{D_p}{D_m}\right)^2 = 0.267\cdot\dfrac{1.204}{998}\cdot\left(\dfrac{3.00}{0.795}\right)^2\cdot 4^2 = 0.0734$ N.

V_m = 0.795 m/s, F_D,p ≈ 0.0734 N

검토 이때 $C_D = 0.431$로 모형과 원형이 같다(구의 표준 곡선 값과 일치). 물은 공기보다 동점성 계수가 약 15배 작아서, 작은 모형으로도 느린 속도에서 큰 Re를 얻을 수 있다 — 수조 실험의 장점이다.

원심 펌프의 단위 질량당 에너지 $gH$는 유량 $Q$, 회전 날개 지름 $D$, 각속도 $\omega$, 밀도 $\rho$, 점성 계수 $\mu$에 따라 정해진다(동력 $\dot W$도 같은 변수들의 함수). (a) Π 그룹을 구하라. (b) $D = 0.200$ m, 1800 rpm인 모형 펌프가 $Q = 0.0500$ m³/s, $H = 20.0$ m, $\dot W = 12.0$ kW로 작동한다. 상사한 $D = 0.400$ m 펌프를 1200 rpm으로 돌릴 때 대응하는 작동점의 $Q, H, \dot W$는? (점성 효과는 무시)

풀이 보기

전략 회전 기계에서는 속도 대신 $\omega$를 반복 변수로 쓴다: $\rho, \omega, D$.

풀이 (a) $C_H = \dfrac{gH}{\omega^2D^2}$, $C_Q = \dfrac{Q}{\omega D^3}$, $C_P = \dfrac{\dot W}{\rho\omega^3D^5}$, $\mathrm{Re} = \dfrac{\rho\omega D^2}{\mu}$. $C_H = \phi_1(C_Q, \mathrm{Re})$, $C_P = \phi_2(C_Q, \mathrm{Re})$. (b) $C_Q, C_H, C_P$가 같으면 $Q_2 = Q_1\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\left(\dfrac{D_2}{D_1}\right)^3 = 0.0500\cdot\dfrac23\cdot8 = 0.267$ m³/s, $H_2 = H_1\left(\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\right)^2\left(\dfrac{D_2}{D_1}\right)^2 = 20.0\cdot\dfrac49\cdot4 = 35.6$ m, $\dot W_2 = \dot W_1\left(\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\right)^3\left(\dfrac{D_2}{D_1}\right)^5 = 12.0\cdot\dfrac{8}{27}\cdot32 = 114$ kW.

Q ≈ 0.267 m³/s, H ≈ 35.6 m, Ẇ ≈ 114 kW

검토 이것이 12장의 펌프 상사 법칙이다. 크기 2배는 유량 8배·양정 4배·동력 32배라는 강력한 효과를 낸다.

수면파의 속도

파장 $\lambda$인 수면파가 깊이 $h$인 물 위를 달리는 속도 $c$를 생각하자. 복원력은 중력이므로 $c = f(g, h, \lambda, \rho)$. $n = 5$, $j = 3$, $k = 2$이고 M을 가진 변수는 $\rho$뿐이라 $\rho$는 빠진다:

$$\frac{c}{\sqrt{gh}} = \phi\!\left(\frac{h}{\lambda}\right)\qquad\text{(선형 파 이론: } \phi = \sqrt{\tfrac{\tanh(2\pi h/\lambda)}{2\pi h/\lambda}}\text{)}$$

얕은 물($h \ll \lambda$)에서는 $\phi \to 1$, 즉 $c = \sqrt{gh}$. 깊은 물($h \gtrsim \lambda/2$)에서는 $h$가 빠져야 하므로 $c \propto \sqrt{g\lambda}$ — 차원 해석만으로도 두 극한의 꼴을 알 수 있다.

SIMULATOR

수면파 수조: 바닥과 파장을 끌어 보라

수심 h 파장 λ 물 입자 궤도

파속 c—

h/λ—

c/√(gh)—

영역—

아래 그래프는 $\Pi_1 = c/\sqrt{gh}$ 대 $\Pi_2 = h/\lambda$의 보편 곡선이다. 바닥의 빨간 핸들(수심)과 파장 자 끝(파장)을 끌 수 있다. 해볼 것: ① h와 λ를 같은 비율로 키우면(예: 1 m·10 m → 2 m·20 m) 점은 곡선 위 같은 자리에 머물고 c만 $\sqrt2$배가 된다. ② 얕은 물에서 물 입자 궤도는 납작한 타원, 깊은 물에서는 바닥까지 닿지 않는 원이다. ③ h/λ > 0.5에서는 수심을 바꿔도 c가 거의 변하지 않는다 — 깊은 물에서 파속은 파장만의 함수다.

쓰나미의 파장은 수백 km로 대양의 평균 수심 4000 m보다 훨씬 길다. 파속과, 6000 km를 건너는 데 걸리는 시간을 추정하라.

풀이 보기

전략 $h/\lambda \ll 1$이므로 얕은 물 극한 $\phi = 1$: $c = \sqrt{gh}$.

풀이 $c = \sqrt{(9.81)(4000)} = 198$ m/s $= 713$ km/h. $t = 6.00\times10^6/198 = 3.03\times10^4$ s $= 8.41$ h.

c ≈ 198 m/s (713 km/h), 약 8.4 시간

검토 제트 여객기에 맞먹는 속도다. 해안에 다가와 수심이 10 m로 줄면 $c$는 약 10 m/s로 느려지고 에너지가 쌓여 파고가 크게 높아진다.

주요 무차원 수와 힘의 비

유체역학의 이름 붙은 무차원 수들은 대부분 두 힘의 비로 읽힌다. 길이 척도 $L$, 속도 척도 $V$인 유동에서 유체 덩어리(부피 ~$L^3$)에 작용하는 힘의 크기를 어림하면: 관성력 ~ 질량 × 가속도 ~ $\rho L^3\cdot V^2/L = \rho V^2L^2$, 점성력 ~ 전단 응력 × 면적 ~ $\mu(V/L)L^2 = \mu VL$, 중력 ~ $\rho gL^3$, 표면 장력 ~ $\sigma L$, 압축성(탄성) 힘 ~ $E_v L^2 = \rho c^2L^2$, 압력 힘 ~ $\Delta p\,L^2$.

관성력과 다른 힘의 비가 무차원 수다. 수가 크면 관성이 그 힘을 압도하고, 작으면 그 힘이 유동을 지배한다(오일러·스트로할 수는 비의 방향이 반대).

이름	정의	힘의 비 / 의미	중요한 곳
레이놀즈 수(Reynolds number)	$\mathrm{Re} = \dfrac{\rho VL}{\mu} = \dfrac{VL}{\nu}$	관성력 / 점성력	거의 모든 유동, 층류·난류 천이
프루드 수(Froude number)	$\mathrm{Fr} = \dfrac{V}{\sqrt{gL}}$	(관성력 / 중력)^1/2	자유 표면: 배, 개수로, 여수로
마하 수(Mach number)	$\mathrm{Ma} = \dfrac{V}{c}$	(관성력 / 압축성 힘)^1/2	고속 기체 유동(Ma > 0.3)
웨버 수(Weber number)	$\mathrm{We} = \dfrac{\rho V^2L}{\sigma}$	관성력 / 표면 장력	액적·기포·분무, 얇은 액막
오일러 수(Euler number)	$\mathrm{Eu} = \dfrac{\Delta p}{\rho V^2}$	압력 힘 / 관성력	압력 강하, 공동 현상($\Delta p = p - p_v$)
스트로할 수(Strouhal number)	$\mathrm{St} = \dfrac{fL}{V}$	비정상 관성 / 대류 관성	와류 방출, 진동·맥동 유동
압력 계수	$C_p = \dfrac{p - p_\infty}{\tfrac12\rho V^2}$	압력 차 / 동압 ($= 2\,\mathrm{Eu}$)	물체 표면 압력 분포
항력·양력 계수	$C_D = \dfrac{F_D}{\tfrac12\rho V^2A}$, $C_L$	유체력 / (동압 × 면적)	외부 유동(9장)

숫자에 감을 잡아 보자. 밑줄 친 숫자를 좌우로 끌면 결과가 바로 바뀐다.

지름 5인 관에 20 물이 평균 0.50로 흐르면 $\nu$ = 이고 $\mathrm{Re} = VD/\nu$ = →

길이 100인 배가 20(1노트 = 0.5144 m/s)로 달리면 $\mathrm{Fr} = V/\sqrt{gL}$ = . 선체가 만드는 파의 파장 $\lambda = 2\pi V^2/g$ = 로 배 길이의 배다.

여객기가 고도 11(표준 대기 온도 )에서 250로 날면 음속 $c = \sqrt{kRT}$ = , $\mathrm{Ma}$ = →

지름 2.0인 빗방울이 공기($\rho = 1.20$ kg/m³)에 대해 6.5로 떨어질 때 공기력과 표면 장력(물, 0.0728 N/m)의 비 $\mathrm{We} = \rho_\text{air}V^2d/\sigma$ = .

스트로할 수는 주기적인 유동의 "박자"를 정한다. 원주 뒤에는 위아래로 번갈아 소용돌이가 떨어져 나가는 카르만 와류열(Kármán vortex street)이 생기는데, 넓은 Re 범위(약 300–2×10⁵)에서 $\mathrm{St} = fD/V \approx 0.2$로 거의 일정하다. 바람에 전선이 "윙" 우는 소리(에올리언 톤)의 높이가 바로 $f \approx 0.2V/D$다.

풍속 V 원주 지름 D

MINI LAB화면의 시간은 무차원 시간 $tV/D$로 흐른다. 그래서 V와 D를 바꿔도 와류열의 모양과 박자는 그대로이고(St 일정), 바뀌는 것은 실제 진동수 $f = \mathrm{St}\,V/D$뿐이다. 아래 띠는 하류 탐침이 느끼는 가로 속도 신호다.

상사와 모형 실험

비행기·댐·선박을 실물로 시험하기는 너무 비싸다. 그래서 축소한 모형(model)을 시험하고 그 결과를 실물인 원형(prototype)으로 옮긴다. 이것이 정당하려면 모형과 원형 사이에 상사(similarity, similitude)가 성립해야 한다. 상사에는 세 겹이 있다.

기하학적 상사는 축척 $\lambda = L_m/L_p$로 모든 치수를 줄인 것이다. 표면 거칠기까지 같은 비율이어야 엄밀하다.
운동학적 상사: 유동장의 대응점에서 속도의 방향이 같고 크기의 비가 일정하다. 유선 그림이 닮은꼴이 된다.
동역학적 상사: 대응점에서 모든 힘의 비가 같다. 이는 모든 독립 Π가 같다는 것과 같고, 그러면 종속 Π($C_D$ 등)도 같다.

세 가지 상사. 동역학적 상사가 성립하면 앞의 둘도 함께 성립한다(완전 상사).

모형 실험의 원리

$\Pi_1 = \phi(\Pi_2, \dots, \Pi_k)$에서 기하학적 상사가 성립하고 모형의 독립 Π들($\Pi_{2m} = \Pi_{2p}, \dots$)을 원형과 같게 맞추면, 함수 $\phi$가 같으므로 종속 Π도 같다: $\Pi_{1m} = \Pi_{1p}$. 이 등식으로 모형에서 잰 값을 원형으로 옮긴다.

$$\text{Re 상사: } \frac{V_m}{V_p} = \frac{\nu_m}{\nu_p}\,\frac{L_p}{L_m},\qquad \text{Fr 상사: } \frac{V_m}{V_p} = \sqrt{\frac{L_m}{L_p}},\qquad \frac{F_p}{F_m} = \frac{\rho_p}{\rho_m}\left(\frac{V_p}{V_m}\right)^2\left(\frac{L_p}{L_m}\right)^2$$

마지막 식은 $F/\rho V^2L^2$(힘 계수)가 같다는 조건이다. 같은 유체에서 Re를 맞추면 $V_mL_m = V_pL_p$이므로 $F_m = F_p$ — 모형이 작아도 힘은 같다!

길이 4.5 m 승용차를 1/5 축척 모형으로 같은 공기 풍동에서 시험한다. 레이놀즈 수를 원형(100 km/h)과 같게 하려면 풍동 풍속은?

$V_mL_m = V_pL_p$ → $V_m = 5V_p$ = 139 m/s. 이 속도면 Ma ≈ 0.4로 압축성이 끼어든다. 아래 설계기에서 시설 한계 안의 해를 찾아보라.

SIMULATOR

모형 실험 설계기: 시설 한계 안에서 Re를 맞춰라

원형

시험 시설

모형 축척 λ 모형 속도 V_m

Re_p (원형)—

Re_m / Re_p—

모형 Ma—

판정—

시험부의 모형 꼬리(주황 핸들)를 끌면 축척이, 풍속 화살표 끝을 끌면 모형 속도가 바뀐다. 도전: 각 원형마다 시설을 바꿔 가며 Re_m/Re_p = 1 ± 3%, 시설 최고 속도 이하, 모형 길이 한계 이하, (공기라면) Ma ≤ 0.3을 동시에 만족시켜라. 해볼 것: ① 승용차는 일반 풍동에서도 큰 모형이면 가능하다. ② 무인기 날개는 풍동에서 쉽지만 잠수함은 어떤 시설로도 불가능하다 — 이럴 때 공학자는 레이놀즈 독립(아래 미니 실험)에 기댄다. ③ 가압 풍동(10기압)은 밀도가 10배라 ν가 1/10이 된다. ④ 회류 수조의 물은 공기보다 ν가 약 15배 작다.

Re를 정확히 맞출 수 없을 때 쓰는 탈출구가 레이놀즈 독립(Reynolds number independence)이다. 모서리가 날카로운 뭉툭한 물체(트럭, 건물)는 박리점이 모서리에 고정되므로 Re가 충분히 크면 $C_D$가 더 이상 변하지 않는다. 풍동에서 속도를 바꿔 가며 $C_D$가 평평해지는지 확인한 뒤, 그 값을 원형에 쓴다.

풍동 풍속 V_m

MINI LAB1/16 트럭 모형(폭 0.156 m)의 가상 풍동 자료. 풍속을 올리며 측정점을 찍어 보라. Re_m ≳ 5×10⁵부터 $C_D$가 평평해져(초록 띠: 원형 값의 ±2%), 원형 Re(약 4×10⁶)에 닿지 못해도 그 값을 믿고 쓸 수 있다.

개방형 풍동. 시험부의 막힘 비(모형 정면 면적 / 시험부 단면적)는 보통 7.5% 이하로 두어 벽 효과를 줄인다. 같은 원리의 회류 수조, 배를 끌고 가는 예인 수조도 쓰인다.

길이 4.80 m, 정면 면적 2.20 m²인 승용차가 100 km/h로 달릴 때의 공기 항력을 1/4 축척 모형으로 같은 온도의 공기 풍동에서 구하려 한다($\rho = 1.204$ kg/m³, $c = 343$ m/s). (a) Re를 맞추는 데 필요한 풍속과 그때의 마하 수는? (b) 풍동 최고 풍속 70.0 m/s에서 측정한 모형 항력이 134 N이었고, 이 범위에서 $C_D$가 Re에 무관함이 확인되었다. 원형의 항력과 그 항력을 이기는 데 필요한 동력은?

풀이 보기

전략 (a) 같은 유체: $V_m = V_p(L_p/L_m)$. (b) 레이놀즈 독립을 가정하고 $C_D$를 그대로 옮긴다.

풀이 (a) $V_p = 27.8$ m/s → $V_m = 4\times27.8 = 111$ m/s, $\mathrm{Ma}_m = 111/343 = 0.324$ — 비압축성 가정(Ma < 0.3)을 넘는다. (b) $A_m = 2.20/16 = 0.1375$ m². $C_D = \dfrac{134}{\tfrac12(1.204)(70.0)^2(0.1375)} = 0.330$. $F_{D,p} = C_D\tfrac12\rho V_p^2A_p = 0.330\cdot\tfrac12(1.204)(27.8)^2(2.20) = 338$ N. 동력 $= F_DV_p = 338\times27.8 = 9.38$ kW.

(a) 111 m/s, Ma ≈ 0.32 (b) F_D ≈ 338 N, 약 9.4 kW

검토 70 m/s 시험의 Re는 원형의 63%에 불과하지만 자동차 같은 뭉툭한 물체는 이 범위에서 $C_D$가 거의 일정하다. $C_D = 0.33$은 실제 승용차 값과 맞는다.

불완전 상사: 배와 하천 모형

자유 표면이 있는 유동에서는 중력(Fr)과 점성(Re)이 모두 중요하다. 배의 저항 $F = f(V, L, \rho, \mu, g)$를 차원 해석하면 $\dfrac{F}{\rho V^2L^2} = \phi(\mathrm{Re}, \mathrm{Fr})$. 두 수를 동시에 맞추려면

$$\underbrace{\frac{V_m}{V_p} = \sqrt{\lambda}}_{\mathrm{Fr}_m = \mathrm{Fr}_p}\quad\text{그리고}\quad \underbrace{\frac{V_m}{V_p} = \frac{\nu_m}{\nu_p}\frac{1}{\lambda}}_{\mathrm{Re}_m = \mathrm{Re}_p}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\nu_m}{\nu_p} = \lambda^{3/2}$$

$\lambda = L_m/L_p$. 1/25 모형이면 물보다 동점성 계수가 125배 작은 액체가 필요한데, 그런 실용 액체는 없다(수은도 약 1/9). 한쪽만 맞출 수밖에 없는 이 상황을 불완전 상사(incomplete similarity)라 한다.

축척 1/25 모형 배를 프루드 상사로 시험하면 속도는 원형의 배, 시간은 배, 힘(같은 밀도)은 배가 된다. 이때 Re_m/Re_p = (같은 물)이고, 두 수를 함께 맞추려면 모형 유체의 동점성 계수가 물의 배여야 한다.

1868년 프루드(W. Froude)는 이 난제를 저항을 둘로 나누는 방법으로 풀었다. 배의 전체 저항 계수 $C_T = F/\tfrac12\rho V^2S$($S$: 젖은 면적)를 Re에만 의존하는 마찰 저항 $C_F$와 Fr에만 의존하는 잉여(조파) 저항 $C_R$의 합으로 본다.

$$C_T(\mathrm{Re}, \mathrm{Fr}) \approx C_F(\mathrm{Re}) + C_R(\mathrm{Fr}),\qquad C_F = \frac{0.075}{(\log_{10}\mathrm{Re} - 2)^2}\;\;\text{(ITTC-1957 모형–원형 상관선)}$$

① 모형을 Fr 상사 속도로 끌어 $C_{T,m}$을 잰다. ② $C_R = C_{T,m} - C_F(\mathrm{Re}_m)$. ③ 같은 Fr이므로 원형 $C_{T,p} = C_R + C_F(\mathrm{Re}_p)$.

프루드의 저항 분리법. 모형에서 잰 $C_T$에서 마찰선을 빼 잉여 저항 $C_R$을 얻고, 같은 $C_R$을 원형의 Re에서 마찰선 위에 얹는다. 원형은 Re가 크므로 $C_F$가 작아 $C_{T,p} < C_{T,m}$이다.

길이 100 m 배가 10 m/s로 달린다. 1/25 모형 배가 원형과 같은 모양의 파를 만들려면 예인 속도는?

파 모양은 Fr가 정한다. $V_m = V_p\sqrt{\lambda} = 10/5 = 2$ m/s. 아래 수조에서 모형 속도를 끌어 두 파형을 겹쳐 보라.

SIMULATOR

예인 수조: 모형 배의 파형을 원형과 똑같이

두 배의 속도 화살표 끝을 끈다

원형 속도 V_p (L_p = 100 m) 모형 축척 1/n 모형 속도 V_m 모형 쪽에 원형 파형(점선) 겹치기

Fr_p—

Fr_m—

Re_m / Re_p—

파형—

두 배는 화면에서 같은 길이로 그렸으므로(길이를 각자의 L로 무차원화) 파형이 겹친다는 것은 $\lambda/L = 2\pi\,\mathrm{Fr}^2$이 같다는 뜻이다. 도전: Fr를 ±2% 안으로 맞춰 "파형 일치"를 만들어라. 해볼 것: ① 일치했을 때 Re_m/Re_p를 보라 — 수백분의 일이다(불완전 상사). ② Fr ≈ 0.4 근처에서 선미파가 선수파와 겹쳐 파가 커진다(선체 속도). ③ 축척을 바꾸면 필요한 모형 속도는 $\sqrt{\lambda}$에 비례한다.

축척 λ = 1/n, n =

MINI LAB프루드 상사(같은 유체)에서 각 물리량의 모형/원형 비는 $\lambda$의 거듭제곱이다: 속도·시간 $\lambda^{1/2}$, 유량 $\lambda^{5/2}$, 힘 $\lambda^3$, 동력 $\lambda^{7/2}$. 레이놀즈 수 비 $\lambda^{3/2}$는 축척이 작을수록 급격히 벌어진다 — 모형의 경계층이 지나치게 층류가 되지 않도록 선수에 난류 촉진 장치를 붙이는 이유다.

길이 120 m 화물선(바닷물 $\rho = 1025$ kg/m³, $\nu = 1.044\times10^{-6}$ m²/s)이 10.0 m/s로 달린다. 1/30 모형(민물 $\rho = 998$ kg/m³, $\nu = 1.004\times10^{-6}$ m²/s, 젖은 면적 4.00 m²)을 프루드 상사 속도로 끌었더니 전체 저항이 40.0 N이었다. 원형의 저항을 ITTC 마찰선으로 예측하고, 모든 저항이 Fr로 확대된다고 본 단순 환산과 비교하라.

풀이 보기

전략 $V_m = V_p\sqrt{\lambda}$ → $C_{T,m}$ → $C_R$ → $C_{T,p}$ → $F_p$. 젖은 면적은 $\lambda^2$으로 확대.

풀이 $L_m = 4.00$ m, $V_m = 10.0/\sqrt{30} = 1.826$ m/s. $\mathrm{Re}_m = 1.826\times4.00/1.004\times10^{-6} = 7.27\times10^6$, $\mathrm{Re}_p = 10.0\times120/1.044\times10^{-6} = 1.15\times10^9$. $C_{T,m} = \dfrac{40.0}{\tfrac12(998)(1.826)^2(4.00)} = 6.01\times10^{-3}$. $C_{F,m} = 0.075/(6.862-2)^2 = 3.17\times10^{-3}$ → $C_R = 2.84\times10^{-3}$. $C_{F,p} = 0.075/(9.060-2)^2 = 1.50\times10^{-3}$ → $C_{T,p} = 4.34\times10^{-3}$. $S_p = 4.00\times30^2 = 3600$ m². $F_p = (4.34\times10^{-3})\tfrac12(1025)(10.0)^2(3600) = 8.01\times10^5$ N.

F_p ≈ 801 kN (유효 동력 약 8.0 MW). 단순 환산 $40.0\times(1025/998)\times30^3 = 1.11$ MN은 약 38% 과대.

검토 마찰 저항까지 Fr로 확대하면, 모형의 (작은 Re에서 큰) 마찰 계수를 원형에 그대로 옮기는 셈이라 저항을 과대평가한다. 실무에서는 여기에 거칠기 보정 등을 더한다.

하천·항만 모형과 왜곡 모형

하천 모형은 Fr 상사로 만들지만, 수평 축척 1/1000을 수직에도 쓰면 수심이 몇 mm가 되어 표면 장력(We)이 끼어들고 유동이 층류가 된다. 그래서 수직 축척을 크게(예: 1/100) 키운 왜곡 모형(distorted model)을 쓴다. 기하학적 상사를 일부러 포기하고, 경험으로 보정하는 또 하나의 불완전 상사다.

실험 데이터 정리: 곡선 붕괴

차원 해석의 가장 실용적인 이득은 실험 횟수다. 관 마찰을 차원 있는 변수로 조사하려면 $V, D, \rho, \mu$를 각각 10단계씩 바꿔야 해서 $10^4$번의 실험이 든다. 무차원으로 보면 $f = \phi(\mathrm{Re})$(매끈한 관) — Re 10단계, 즉 10번이면 된다. 게다가 어떤 유체·어떤 관으로 잰 자료든 무차원 좌표에서는 하나의 곡선으로 붕괴(data collapse)해야 한다. 거꾸로, 자료가 붕괴하지 않으면 빠뜨린 변수가 있다는 신호다.

Π가 2개 (k = 2)

$\Pi_1 = \phi(\Pi_2)$: 모든 자료가 곡선 하나. 예: 매끈한 구의 $C_D(\mathrm{Re})$, 매끈한 관의 $f(\mathrm{Re})$.

Π가 3개 (k = 3)

$\Pi_1 = \phi(\Pi_2, \Pi_3)$: $\Pi_3$마다 한 개씩 곡선 묶음. 예: 무디 선도의 $\varepsilon/D$별 곡선, 배의 $C_T(\mathrm{Re}, \mathrm{Fr})$.

지름·유체가 다른 매끈한 관 9가지의 압력 강하 자료가 있다. 가로축을 레이놀즈 수로 바꾸었다. 세로축에는 무엇을 두어야 자료가 하나의 곡선으로 모일까?

$\Delta p D/(\rho V^2 L) = f/2$은 Re만의 함수다. $\Delta p/\rho V^2$는 $L/D$에도 의존하므로 관마다 다르다. $\Delta p D^2/(\mu V L) = (f/2)\mathrm{Re}$도 붕괴한다 — Π끼리 곱해도 Π다.

SIMULATOR

데이터 정리기: 올바른 무차원 묶음을 찾아 곡선을 붕괴시켜라

세로축

가로축

이론 곡선(64/Re, 콜브룩) 겹치기

흩어짐 지수—

판정—

찾은 조합0 / 2

세 유체(물·공기·기름) × 세 지름(1, 2.5, 6 cm)의 매끈한 관에서 잰 가상의 측정 자료(잡음 ±3%)다. 흩어짐 지수는 비슷한 가로축 값을 가진 다른 관 자료와의 세로 차이(log 단위)의 평균이다. 도전: 곡선이 붕괴하는 축 조합 두 가지를 모두 찾아라. 해볼 것: ① 가로축만 Re로 바꿔서는 부족하다. ② 붕괴한 곡선에서 Re ≈ 2300 부근의 꺾임(층류→난류)이 모든 관에서 같은 Re에 나타난다. ③ 공기 자료와 물 자료가 같은 Re에서 같은 f를 준다 — 공기로 잰 결과를 물에 쓸 수 있다.

외삽은 조심

곡선 붕괴는 자료가 덮은 Π 범위 안에서만 보장된다. Re = 10⁵까지 잰 $C_D$ 곡선으로 Re = 10⁷의 값을 추정하면, 그 사이에 항력 위기(구에서 Re ≈ 3×10⁵의 급감) 같은 새 현상이 숨어 있을 수 있다. 모형 실험에서 Re 독립을 "확인"해야 하는 이유다.

어떤 실험에서 $\Pi_1$을 $\Pi_2$에 대해 그렸더니 같은 $\Pi_2$에서도 점들이 체계적으로(유체 종류별로) 갈라졌다. 가장 그럴듯한 해석은?

유체별로 갈린다면 유체 물성(예: 표면 장력, 압축성)이 빠졌을 가능성이 크다. 반복 변수 선택은 Π의 모양만 바꿀 뿐 붕괴 여부를 바꾸지 않는다.

핵심 정리

물리량의 차원은 기본 차원 M·L·T·Θ의 거듭제곱 곱이다. 옳은 식의 모든 항은 같은 차원을 가진다(차원의 동차성).
방정식을 특성 척도로 무차원화하면 매개변수들이 무차원 수로 합쳐진다(던진 물체 → Fr, 베르누이 → $C_p$, 나비에–스토크스 → St·Eu·Fr·Re).
버킹엄 Π 정리: 변수 $n$개의 관계는 Π 그룹 $k = n - j$개의 관계로 쓸 수 있다. $j$는 차원 행렬의 계수(보통 기본 차원 수).
반복 변수법: 변수 나열 → 차원 → $j, k$ → 반복 변수 $j$개(종속 변수 제외, 차원 독립) → 지수 연립방정식 → 다듬기. Π는 유일하지 않다.
Re(관성/점성), Fr(관성/중력), Ma(관성/압축성), We(관성/표면 장력), Eu(압력/관성), St(비정상성)는 힘의 비다.
기하·운동·동역학적 상사가 성립하면 종속 Π가 같다: $F_p/F_m = (\rho_p/\rho_m)(V_p/V_m)^2(L_p/L_m)^2$. Re를 못 맞추면 레이놀즈 독립을 확인해 쓴다.
배는 Fr와 Re를 동시에 맞출 수 없다($\nu_m/\nu_p = \lambda^{3/2}$ 필요). 프루드 방법은 $C_T = C_F(\mathrm{Re}) + C_R(\mathrm{Fr})$로 나눠 옮긴다. 올바른 무차원 좌표에서 자료는 하나의 곡선으로 붕괴한다.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.81$ m/s², 공기 $R = 287$ J/(kg·K), $k = 1.4$를 쓴다. 답이 ±1% 이내면 정답이다(따로 적은 경우 제외).

동력 $\dot W$의 차원을 $\mathsf{M^aL^bT^c}$로 쓸 때 지수 $a, b, c$는?

동력 = 힘 × 속도.

$[\dot W] = [F][V] = (\mathsf{MLT^{-2}})(\mathsf{LT^{-1}}) = \mathsf{ML^2T^{-3}}$ → $a = 1, b = 2, c = -3$.

프로펠러 추력 $T$가 지름 $D$, 전진 속도 $V$, 회전수 $n$(rev/s), 공기 밀도 $\rho$, 점성 계수 $\mu$, 음속 $c$에 따라 정해진다. 무차원 Π 그룹은 몇 개인가?

$n = 7$(T 포함), 기본 차원 M·L·T로 $j = 3$ → $k = 4$: $C_T = T/\rho n^2D^4$, 전진비 $J = V/nD$, Re, Ma.

지름 5.00 cm 관에 20 °C 물($\nu = 1.004\times10^{-6}$ m²/s)이 평균 2.00 m/s로 흐른다. 레이놀즈 수는?

$\mathrm{Re} = VD/\nu = (2.00)(0.0500)/1.004\times10^{-6} = 9.96\times10^4$ — 난류.

여객기가 기온 216.65 K인 고도 11 km에서 250 m/s로 난다. 마하 수는?

$c = \sqrt{kRT} = \sqrt{1.4\times287\times216.65} = 295.0$ m/s, $\mathrm{Ma} = 250/295.0 = 0.847$.

지름 1.00 mm 노즐에서 물($\rho = 998$ kg/m³, $\sigma = 0.0728$ N/m)이 3.00 m/s로 분사된다. 분류 지름을 길이 척도로 한 웨버 수 $\rho V^2D/\sigma$는?

$\mathrm{We} = (998)(3.00)^2(0.00100)/0.0728 = 123$. 관성이 표면 장력보다 100배 이상 커서 분류가 곧 방울로 부서진다.

항력 문제 $F_D = f(\rho, V, D, L, \mu)$에서 반복 변수 묶음으로 쓸 수 없는 것은?

V, D, L에는 M이 없고, D와 L은 같은 차원이라 $D/L$이라는 무차원 묶음을 만든다(차원적으로 독립이 아님). 나머지 셋은 낯선 꼴일 수는 있어도 수학적으로 가능하다.

댐 여수로의 설계 홍수량이 500 m³/s이다. 1/20 축척 모형을 프루드 상사로 시험할 때 모형 유량은?

$Q \sim VL^2$, $V_m/V_p = \lambda^{1/2}$.

$Q_m/Q_p = \lambda^{1/2}\lambda^2 = \lambda^{5/2}$ → $Q_m = 500/20^{2.5} = 500/1789 = 0.280$ m³/s.

공기($\nu = 1.50\times10^{-5}$ m²/s) 속을 20.0 m/s로 움직이는 길이 2.00 m 물체를 1/4 축척 모형으로 물($\nu = 1.00\times10^{-6}$ m²/s) 회류 수조에서 시험한다. Re 상사에 필요한 수속은?

$V_m = V_p\dfrac{\nu_m}{\nu_p}\dfrac{L_p}{L_m} = 20.0\times\dfrac{1.00\times10^{-6}}{1.50\times10^{-5}}\times4 = 5.33$ m/s.

위 문제의 수조 시험(물 $\rho = 998$ kg/m³)에서 모형 항력이 120 N이었다. 원형(공기 $\rho = 1.20$ kg/m³)의 항력은?

$F_p = F_m\dfrac{\rho_p}{\rho_m}\left(\dfrac{V_p}{V_m}\right)^2\left(\dfrac{L_p}{L_m}\right)^2 = 120\times\dfrac{1.20}{998}\times\left(\dfrac{20.0}{5.333}\right)^2\times16 = 32.5$ N.

지구에서 주기 2.00 s인 진자의 길이를 4배로 늘려 화성($g = 3.71$ m/s²)에 가져가면 주기는? (진폭 같음)

$T\sqrt{g/L}$ 일정 → $T_2 = T_1\sqrt{(L_2/L_1)(g_1/g_2)} = 2.00\sqrt{4\times9.81/3.71} = 6.50$ s.

지름 4.00 mm 전선에 10.0 m/s 바람이 분다. $\mathrm{St} = 0.21$일 때 와류 방출 진동수(에올리언 톤)는?

$f = \mathrm{St}\,V/D = 0.21\times10.0/0.00400 = 525$ Hz. (공기 Re ≈ 2700으로 St ≈ 0.2 범위 안이다.)

지름 0.150 m 모형 펌프가 1800 rpm에서 양정 12.0 m를 낸다. 상사한 지름 0.450 m 펌프가 대응 작동점에서 양정 48.0 m를 내려면 회전수는?

$C_H = gH/\omega^2D^2$가 같다.

$\omega_p = \omega_m\sqrt{H_p/H_m}\,(D_m/D_p) = 1800\times\sqrt{4}\times\tfrac13 = 1200$ rpm.

배가 만드는 파(조파 저항)를 모형으로 재현할 때 반드시 맞춰야 하는 무차원 수는?

표면파의 복원력은 중력이므로 관성/중력의 비인 Fr가 파형을 정한다. Re는 마찰 저항에, We는 아주 작은 모형의 잔물결에 영향을 준다.

원형이 물($\nu = 1.00\times10^{-6}$ m²/s)에서 운항하는 배이고 모형 축척이 1/10이다. Fr와 Re를 동시에 맞추려면 모형 유체의 동점성 계수는 얼마여야 하는가? (참고: 수은 $\nu \approx 1.1\times10^{-7}$ m²/s)

$\nu_m = \nu_p\lambda^{3/2} = 1.00\times10^{-6}\times(0.1)^{1.5} = 3.16\times10^{-8}$ m²/s — 수은보다도 약 3.5배 작아야 하므로 불가능하다.

길이 100 m 배(바닷물 $\rho = 1025$ kg/m³, $\nu = 1.05\times10^{-6}$ m²/s)가 8.00 m/s로 달린다. 1/25 모형(민물 $\rho = 1000$ kg/m³, $\nu = 1.00\times10^{-6}$ m²/s, 젖은 면적 3.20 m²)을 프루드 상사 속도로 끌었더니 저항이 25.0 N이었다. ITTC 마찰선 $C_F = 0.075/(\log_{10}\mathrm{Re}-2)^2$을 써서 원형 저항을 kN 단위로 구하라(±2%).

$V_m = 1.60$ m/s, $\mathrm{Re}_m = 6.40\times10^6$, $\mathrm{Re}_p = 7.62\times10^8$.

$C_{T,m} = 25.0/(\tfrac12\cdot1000\cdot1.60^2\cdot3.20) = 6.10\times10^{-3}$, $C_{F,m} = 0.075/(6.806-2)^2 = 3.25\times10^{-3}$ → $C_R = 2.86\times10^{-3}$. $C_{F,p} = 0.075/(8.882-2)^2 = 1.58\times10^{-3}$ → $C_{T,p} = 4.44\times10^{-3}$. $S_p = 3.20\times625 = 2000$ m². $F_p = 4.44\times10^{-3}\times\tfrac12\times1025\times8.00^2\times2000 = 2.91\times10^5$ N = 291 kN.

아주 느린 유동에서는 관성이 무시되어 구의 항력이 $\rho$와 무관하다: $F_D = f(\mu, V, D)$. (a) 차원 해석으로 $F_D$의 꼴을 구하라. (b) 비례 상수가 $3\pi$일 때, 지름 2.00 mm 강철구($\rho_s = 7800$ kg/m³)가 글리세린($\rho = 1260$ kg/m³, $\mu = 1.41$ Pa·s) 속에서 떨어지는 종단 속도는?

(a) $n = 4$, $j = 3$ → Π 하나 = 상수. (b) 무게 − 부력 = 항력.

(a) $F_D/(\mu VD) = C$ → $F_D = C\mu VD$. (b) $(\rho_s-\rho)g\tfrac{\pi D^3}{6} = 3\pi\mu VD$ → $V = \dfrac{(\rho_s-\rho)gD^2}{18\mu} = \dfrac{6540\times9.81\times(0.002)^2}{18\times1.41} = 0.0101$ m/s. 확인: $\mathrm{Re} = 1260\times0.0101\times0.002/1.41 = 0.018 \ll 1$ ✓.

개념 확인 퀴즈

변수 6개, 기본 차원 3개(M, L, T)가 나타나는 문제인데 차원 행렬의 계수가 2였다. Π 그룹은 몇 개인가?

$k = n - j$에서 $j$는 기본 차원의 수가 아니라 계수다: $6 - 2 = 4$.

레이놀즈 수가 아주 작다(Re ≪ 1)는 것의 물리적 의미는?

Re = 관성력/점성력. Re ≪ 1인 크리핑 유동에서는 밀도(관성)가 빠지고 $F_D \propto \mu VD$가 된다.

같은 공기를 쓰는 풍동에서 1/10 모형으로 Re를 맞췄다. 모형에 작용하는 항력은 원형의 몇 배인가?

$F \propto \rho V^2L^2$이고 Re 상사로 $VL$이 같으므로 $F_m = F_p$. 단, 이때 모형 속도는 10배라 압축성이 문제가 된다.

배 모형 실험에서 Fr와 Re를 동시에 맞출 수 없는 근본 이유는?

Fr 상사는 $V \propto \sqrt{L}$(g 고정), Re 상사는 $V \propto \nu/L$을 요구한다. 둘을 함께 만족하려면 모형 유체의 ν가 $\lambda^{3/2}$배로 작아야 한다.

웨버 수가 중요한 상황은?

We = 관성력/표면 장력. 액적·기포·얇은 액막처럼 계면이 작고 곡률이 큰 곳에서 표면 장력이 관성과 겨룬다.

물리량	기호	SI 단위	차원
속도 / 가속도	\(V,\ a\)	m/s, m/s²	\(\mathsf{LT^{-1}}\), \(\mathsf{LT^{-2}}\)
힘	\(F\)	N = kg·m/s²	\(\mathsf{MLT^{-2}}\)
압력·응력	\(p,\ \tau\)	Pa = N/m²	\(\mathsf{ML^{-1}T^{-2}}\)
밀도	\(\rho\)	kg/m³	\(\mathsf{ML^{-3}}\)
점성 계수	\(\mu\)	Pa·s	\(\mathsf{ML^{-1}T^{-1}}\)
동점성 계수	\(\nu = \mu/\rho\)	m²/s	\(\mathsf{L^{2}T^{-1}}\)
표면 장력	\(\sigma\)	N/m	\(\mathsf{MT^{-2}}\)
체적 유량	\(Q\)	m³/s	\(\mathsf{L^{3}T^{-1}}\)
동력	\(\dot W\)	W = J/s	\(\mathsf{ML^{2}T^{-3}}\)
각속도·진동수	\(\omega,\ f\)	rad/s, Hz	\(\mathsf{T^{-1}}\)
비중량	\(\gamma = \rho g\)	N/m³	\(\mathsf{ML^{-2}T^{-2}}\)

이름	정의	힘의 비 / 의미	중요한 곳
레이놀즈 수(Reynolds number)	\(\mathrm{Re} = \dfrac{\rho VL}{\mu} = \dfrac{VL}{\nu}\)	관성력 / 점성력	거의 모든 유동, 층류·난류 천이
프루드 수(Froude number)	\(\mathrm{Fr} = \dfrac{V}{\sqrt{gL}}\)	(관성력 / 중력)^1/2	자유 표면: 배, 개수로, 여수로
마하 수(Mach number)	\(\mathrm{Ma} = \dfrac{V}{c}\)	(관성력 / 압축성 힘)^1/2	고속 기체 유동(Ma > 0.3)
웨버 수(Weber number)	\(\mathrm{We} = \dfrac{\rho V^2L}{\sigma}\)	관성력 / 표면 장력	액적·기포·분무, 얇은 액막
오일러 수(Euler number)	\(\mathrm{Eu} = \dfrac{\Delta p}{\rho V^2}\)	압력 힘 / 관성력	압력 강하, 공동 현상(\(\Delta p = p - p_v\))
스트로할 수(Strouhal number)	\(\mathrm{St} = \dfrac{fL}{V}\)	비정상 관성 / 대류 관성	와류 방출, 진동·맥동 유동
압력 계수	\(C_p = \dfrac{p - p_\infty}{\tfrac12\rho V^2}\)	압력 차 / 동압 (\(= 2\,\mathrm{Eu}\))	물체 표면 압력 분포
항력·양력 계수	\(C_D = \dfrac{F_D}{\tfrac12\rho V^2A}\), \(C_L\)	유체력 / (동압 × 면적)	외부 유동(9장)