Chapter 06

미분 해석과 퍼텐셜 유동

5장의 검사 체적 해석은 노즐에 걸리는 힘이나 관을 지나는 유량처럼 전체에 관한 답을 준다. 그러나 날개 표면의 압력이 어디서 가장 낮은지, 베어링의 기름막 속 속도가 어떻게 분포하는지 알려면 질량·운동량 보존을 무한히 작은 유체 덩어리에 적용해 미분 방정식을 세워야 한다. 그 결과가 연속 방정식과 나비에–스토크스 방정식이다. 점성을 빼고 회전도 없다고 하면 방정식은 선형인 라플라스 방정식이 되고, 간단한 해들을 더하기만 해서 물체 주위의 흐름을 만들 수 있다. 아래 화면의 원천·흡입·와류를 끌어 보자.

원천(+)·흡입(−)·와류를 끌어 보세요

무한소 검사 체적에서 미분형 연속 방정식을 유도하고, 직교·원통 좌표에서 비압축 조건 $\nabla\cdot\vec V = 0$으로 모르는 속도 성분을 구한다.
2차원 비압축 유동의 유동 함수 $\psi$를 정의하고, 두 유선 사이의 유량이 $\psi$의 차임을 이용한다.
응력 구성 관계로부터 오일러 방정식과 나비에–스토크스 방정식을 세우고 각 항의 물리적 의미를 설명한다.
점착 조건을 써서 쿠에트·평판 푸아죄유·쿠에트–푸아죄유·하겐–푸아죄유 정확해의 속도 분포, 유량, 벽 전단 응력을 구한다.
속도 퍼텐셜 $\phi$와 라플라스 방정식, 균일류·원천·흡입·와류·쌍극자의 중첩으로 반무한 물체·랭킨 타원·원주 주위 유동을 만들고, 정체점·압력 계수·쿠타–주콥스키 양력을 계산한다.

미분형 연속 방정식

5장에서는 크기가 정해진 검사 체적에 질량 보존을 적용했다. 이제 그 검사 체적을 한 점 $(x, y, z)$ 주위의 무한소 상자 $dx\,dy\,dz$로 줄인다. 상자에 들어오고 나가는 질량 유량의 차이는 상자 안 질량이 줄어드는 비율과 같아야 한다. 각 면의 질량 유속 $\rho u$를 상자 중심의 값에서 테일러 전개해 일차 항까지 쓰면 된다.

점 (x, y)를 중심으로 하는 무한소 상자. 면을 지나는 질량 유속은 위치에 따라 조금씩 다르다.
x 방향: 왼쪽 면으로 ρu dy가 들어오고, dx만큼 떨어진 오른쪽 면으로는 테일러 전개한 값이 나간다. 차이는 ∂(ρu)/∂x · dx dy.
y 방향도 똑같이: 위·아래 면의 차이는 ∂(ρv)/∂y · dx dy.
순유출은 상자 안 질량의 감소율과 같다. dx dy로 나누면 미분형 연속 방정식이 된다.

무한소 검사 체적에 질량 보존 적용하기. 3차원이면 z 방향 항 ∂(ρw)/∂z가 더해진다.

이렇게 얻은 연속 방정식(continuity equation)은 좌표계와 무관한 벡터 꼴로 쓸 수 있다.

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec V) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho w)}{\partial z} = 0$$

물질 도함수(4장)를 쓰면 $\dfrac{1}{\rho}\dfrac{D\rho}{Dt} + \nabla\cdot\vec V = 0$. 즉 $\nabla\cdot\vec V$는 유체 입자의 체적 팽창률이고, 입자가 부풀면 밀도가 줄어든다.

액체 대부분과 마하 수 0.3 이하의 기체 흐름은 비압축성(incompressible)으로 다룬다. 밀도가 일정하면 연속 방정식은 시간 미분이 사라져 정상·비정상 유동 모두에 성립하는 간단한 꼴이 된다.

비압축 연속 방정식

$$\nabla\cdot\vec V = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$$ 어떤 유체 덩어리든 모양은 바뀌어도 체적은 바뀌지 않는다. 한 방향으로 늘어나면 다른 방향으로 반드시 줄어든다.

속도장 $u = x,\ v = -y$ (모서리를 향해 흘러드는 정체점 유동) 안에 정사각형 검사 체적을 놓았다. 왼쪽·오른쪽 면으로는 흐름이 빠져나가고 위·아래 면으로는 들어온다. 네 면을 지나는 순유출량은?

$\partial u/\partial x + \partial v/\partial y = 1 - 1 = 0$이므로 어디에 어떤 크기의 상자를 놓아도 순유출은 0이다. 아래에서 상자를 끌어 확인하고, ‘팽창 유동’으로 바꿔 차이를 보라.

SIMULATOR

검사 체적 상자: 면 유량과 유체 덩어리의 넓이

상자 가운데를 끌어 옮기고, 오른쪽 위 모서리로 크기를 바꾼다

속도장 면을 지나는 유량 화살표

오른쪽 − 왼쪽 면—

위 − 아래 면—

순유출 ∮V·n ds—

(∇·V) × 넓이—

덩어리 넓이 A/A₀—

주황 화살표는 나가는 유량, 파란 화살표는 들어오는 유량이다(단위 깊이당, m²/s). 해볼 것: ① 정체점·회전·전단·비선형 유동에서 상자를 어디로 옮겨도 순유출이 0임을 확인하라. ② ‘덩어리 흘려 보내기’를 누르면 상자 테두리의 유체 입자들이 흘러간다. 모양은 늘어나고 기울어져도 넓이 비 A/A₀는 1을 유지한다. ③ 팽창 유동에서는 A/A₀가 $e^{2t}$로 커진다(밀도가 줄어드는 압축성 유동). ④ 원천 유동에서 상자가 원점을 품으면 순유출이 $2\pi$(원천 세기), 품지 않으면 0이다.

원통 좌표 $(r, \theta, z)$는 관 속 흐름, 회전 유동, 원주 주위 흐름에 자연스럽다. 속도 성분은 반지름 방향 $u_r$, 원주 방향 $u_\theta$, 축 방향 $u_z$이다.

원통 좌표의 속도 성분. 원 위의 면적은 반지름에 비례해 커지므로 반지름 방향 유속에는 $r$이 함께 미분된다.

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{1}{r}\frac{\partial(r\rho u_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial(\rho u_\theta)}{\partial\theta} + \frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z} = 0 \qquad\xrightarrow{\ \rho\ =\ \text{일정}\ }\qquad \frac{1}{r}\frac{\partial(r u_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0$$

예: 원천 유동 $u_r = q/(2\pi r)$은 $r u_r$이 상수이므로 원점을 빼고 어디서나 연속 방정식을 만족한다.

연속 방정식의 가장 흔한 쓰임은 모르는 속도 성분 찾기다. 2차원 비압축 유동에서 $u$를 알면 $\partial v/\partial y = -\partial u/\partial x$를 $y$로 적분해 $v$를 얻는다. 적분 "상수"는 $x$의 임의 함수 $f(x)$이고 경계 조건으로 정한다.

2차원 비압축 유동의 x 성분이 $u = a x^2 + b y$이고 $a =$ 1.0, $b =$ 0.5라 하자. $\partial v/\partial y = -2ax$를 적분하고 $y = 0$에서 $v = 0$으로 두면 $v = -2axy$. 점 $(x, y) =$ (1.0, 0.5)에서 $u =$ , $v =$ 이고, $\partial u/\partial x =$ , $\partial v/\partial y =$ → 합은 . $b$는 $v$에 아무 영향이 없다 — $\partial u/\partial x$에 들어가지 않기 때문이다.

2차원 비압축 정상 유동에서 $u = 4x^3 - 6xy^2$ (m/s, $x, y$는 m)이다. 벽 $y = 0$을 뚫는 흐름이 없다($v = 0$)고 할 때 $v(x, y)$를 구하고, 점 (1, 1) m에서 값을 계산하라.

풀이 보기

전략 $\partial v/\partial y = -\partial u/\partial x$를 $y$로 적분하고 $f(x)$를 경계 조건으로 정한다.

풀이 $\partial u/\partial x = 12x^2 - 6y^2$ → $\partial v/\partial y = -12x^2 + 6y^2$ → $v = -12x^2 y + 2y^3 + f(x)$. $v(x, 0) = f(x) = 0$이므로 $v = -12x^2y + 2y^3$. 점 (1, 1)에서 $v = -12 + 2 = -10$ m/s.

$v = -12x^2 y + 2y^3$, $v(1, 1) = -10.0$ m/s

검토 $\partial u/\partial x + \partial v/\partial y = (12x^2 - 6y^2) + (-12x^2 + 6y^2) = 0$. 경계 조건이 없었다면 $f(x)$만큼의 자유가 남는다 — 연속 방정식 하나로는 유동장이 정해지지 않는다.

유동 함수

2차원 비압축 유동에서는 두 속도 성분을 함수 하나로 묶을 수 있다. 유동 함수(stream function) $\psi(x, y)$를 다음과 같이 정의하면

$$u = \frac{\partial\psi}{\partial y}, \qquad v = -\frac{\partial\psi}{\partial x} \qquad\Big(\text{원통 좌표: } u_r = \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta},\ \ u_\theta = -\frac{\partial\psi}{\partial r}\Big)$$

$\partial u/\partial x + \partial v/\partial y = \psi_{yx} - \psi_{xy} = 0$: 어떤 매끄러운 $\psi$를 골라도 연속 방정식이 저절로 만족된다. 단위는 m²/s(단위 깊이당 유량).

$\psi$가 일정한 곡선을 따라가면 $d\psi = \psi_x dx + \psi_y dy = -v\,dx + u\,dy = 0$, 즉 $dy/dx = v/u$이다. 이것은 유선의 방정식이다. 따라서

유동 함수의 두 성질

① $\psi = $일정인 곡선이 유선이다. ② 두 유선 사이를 흐르는 단위 깊이당 체적 유량은 $q = \psi_2 - \psi_1$이다(점 1에서 점 2로 걸어갈 때 오른쪽으로 건너가는 유량이 +). 유선을 가로질러 흐르는 유체는 없으므로, 두 유선 사이의 유량은 어디서 재든 같다. 유선 간격이 좁은 곳일수록 흐름이 빠르다.

점 A, B를 끌어 보세요

유동

MINI LABA와 B를 지나는 두 유선(굵은 선) 사이 띠를 흐르는 유량은 $\psi_B - \psi_A$다. 선분 AB를 가로지르는 유량을 직접 적분한 값(오른쪽)과 늘 같다. 띠 안의 입자(강조색)는 띠를 벗어나지 않으며, 띠가 좁아지는 곳에서 빨라진다.

2차원 비압축 유동 $u = 2y,\ v = 4x$ (m/s, 좌표는 m)의 유동 함수를 구하라. 또 점 A(0, 1) m와 B(1, 2) m를 지나는 두 유선 사이를 흐르는 단위 깊이당 유량은?

풀이 보기

전략 $\partial\psi/\partial y = u$를 $y$로 적분하고, $-\partial\psi/\partial x = v$로 적분 함수를 정한다.

풀이 먼저 $\partial u/\partial x + \partial v/\partial y = 0 + 0 = 0$이므로 $\psi$가 존재한다. $\psi = y^2 + g(x)$, $-\partial\psi/\partial x = -g'(x) = 4x$ → $g = -2x^2 + C$. 상수를 0으로 두면 $\psi = y^2 - 2x^2$. $\psi_A = 1$, $\psi_B = 4 - 2 = 2$ → $q = 2 - 1 = 1$ m²/s.

$\psi = y^2 - 2x^2$ (m²/s), $q = 1.00$ m²/s (단위 깊이당)

검토 유선 $y^2 - 2x^2 = C$는 쌍곡선이다. 상수 $C$는 마음대로 정할 수 있다. 유량은 $\psi$의 차로만 나오므로 상수에 영향받지 않는다.

유동 함수가 있는 경우와 없는 경우

$\psi$는 2차원(또는 축대칭) 비압축 유동이면 회전이 있든 없든, 점성이 있든 없든 존재한다. 3차원 일반 유동에는 단일 유동 함수가 없다. 압축성 정상 2차원 유동에서는 $\rho u = \partial\psi/\partial y$처럼 질량 유속으로 정의한다.

운동량 방정식: 오일러와 나비에–스토크스

무한소 유체 덩어리에 뉴턴 제2법칙을 적용하자. 단위 체적당 (질량 × 가속도) = (체적력) + (표면력)이고, 가속도는 4장의 물질 도함수 $D\vec V/Dt$이다. 표면력은 각 면에 작용하는 응력(stress)이 위치에 따라 달라서 생긴다. 응력 성분 $\sigma_{ij}$는 법선이 $i$ 방향인 면에 작용하는 $j$ 방향 성분이다.

유체 요소의 응력. 마주 보는 면의 응력은 방향이 반대이고, 크기 차이(위치에 따른 변화율)가 알짜 표면력이 된다. 각운동량 평형 때문에 $\tau_{xy} = \tau_{yx}$이다.

x 방향 성분을 쓰면 코시 운동 방정식(Cauchy equation)이다. 이 식은 어떤 연속체에도 성립하지만, 응력과 속도의 관계(구성 방정식(constitutive equation))를 알기 전에는 풀 수 없다.

$$\rho\frac{Du}{Dt} = \rho g_x + \frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}, \qquad \sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij} + \mu\Big(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\Big)$$

오른쪽 식이 비압축 뉴턴 유체의 구성 관계다. 1장의 $\tau = \mu\,du/dy$를 3차원 변형률(4장)로 일반화한 것이다.

구성 관계를 코시 방정식에 넣고 연속 방정식 $\nabla\cdot\vec V = 0$을 쓰면, 점성 항이 $\mu\nabla^2\vec V$로 깔끔하게 정리된다. 이것이 유체역학의 기본 방정식인 나비에–스토크스 방정식(Navier–Stokes equation)이다.

$$\rho\Big(\frac{\partial\vec V}{\partial t} + (\vec V\cdot\nabla)\vec V\Big) = -\nabla p + \rho\vec g + \mu\nabla^2\vec V$$

비압축 뉴턴 유체, 일정한 $\mu$. 미지수 $u, v, w, p$ 네 개에 방정식 네 개(운동량 3 + 연속 1). 왼쪽의 대류 항이 비선형이라 일반해가 없다.

국소 가속: 고정된 한 점에서 속도가 시간에 따라 바뀌는 정도.
대류 가속: 흐름을 따라 이동하며 속도가 다른 곳으로 옮겨 가서 생기는 가속. 정상 유동에도 있다.
압력 항: 압력의 기울기가 유체를 고압에서 저압으로 민다.
중력 항: 체적력. 정지 유체에서는 압력 항과 평형을 이룬다.
점성 항: 이웃보다 느린 유체는 끌려가고 빠른 유체는 붙잡힌다.
전체: 관성 = 힘. 관성과 점성의 비가 레이놀즈 수다.

나비에–스토크스 방정식 읽기. 각 항은 단위 체적당 힘(N/m³)의 차원을 갖는다.

성분별로 펼친 꼴 (직교 좌표, x 성분)

$$\rho\Big(\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}\Big) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \rho g_x + \mu\Big(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\Big)$$ y, z 성분은 $u \to v, w$, $x \to y, z$로 바꾼다. 유도: $\partial\sigma_{xx}/\partial x + \partial\tau_{yx}/\partial y + \partial\tau_{zx}/\partial z = -\partial p/\partial x + \mu\nabla^2 u + \mu\,\partial(\nabla\cdot\vec V)/\partial x$이고 마지막 항이 연속 방정식 때문에 0이다. 원통 좌표의 축 방향 성분은 관 유동(8장)에서 쓴다: $\mu\nabla^2 u_z = \mu\big[\frac1r\frac{\partial}{\partial r}\big(r\frac{\partial u_z}{\partial r}\big) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u_z}{\partial\theta^2} + \frac{\partial^2u_z}{\partial z^2}\big]$.

점성을 무시한 $\mu = 0$의 특수한 경우가 오일러 방정식(Euler equation)이다. 레이놀즈 수가 큰 흐름에서 벽에서 떨어진 영역에 잘 맞는다. 유선을 따라 적분하면 3장의 베르누이 식이 나온다.

$$\rho\frac{D\vec V}{Dt} = -\nabla p + \rho\vec g \qquad(\text{오일러, 비점성})$$

경계 조건

미분 방정식은 경계 조건이 있어야 해가 하나로 정해진다. 점성 유동에서 가장 중요한 것은 점착 조건(no-slip condition)이다. 벽에 닿은 유체는 벽과 같은 속도로 움직인다. 고정 벽에서는 $\vec V = 0$, 속도 $U$로 미끄러지는 판에서는 $u = U$이다. 그 밖에 자유 표면에서는 $p = p_\text{atm}$이고 전단 응력이 0(공기의 전단은 무시)이며, 두 유체의 경계면에서는 속도와 전단 응력이 연속이다. 점성을 버린 오일러 방정식은 미분 차수가 낮아 점착 조건을 걸 수 없고, 벽을 뚫지 않는다($V_n = 0$)는 조건만 쓴다. 비점성 해가 벽에서 미끄러지는 이유이고, 9장의 경계층이 그 간극을 메운다.

흰 탐침을 끌어 보세요

변형률 a

MINI LAB벽을 향하는 정체점 유동 $u = ax,\ v = -ay$ (물, ρ = 1000 kg/m³). 속도가 좌표의 일차식이라 $\nabla^2\vec V = 0$: 점성 항이 사라져 나비에–스토크스 방정식의 정확해가 된다. 색은 $p_0 - p = \tfrac12\rho a^2(x^2 + y^2)$. 탐침에서 $p_0 - p$와 $\tfrac12\rho V^2$가 같은지 보라(비회전 유동이면 베르누이가 모든 점 사이에 성립). 단, 이 해는 벽에서 미끄러진다 — 실제로는 벽 위에 얇은 경계층(히멘츠 유동)이 생긴다.

수평면에서 물(ρ = 1000 kg/m³)이 $u = ax,\ v = -ay$, $a = 2.0$ s⁻¹로 흐른다. 이 유동이 나비에–스토크스 방정식을 만족함을 보이고, 정체점(원점)과 점 (1.5, 2.0) m 사이의 압력 차를 구하라. 중력은 수직 방향이라 수평면 안의 압력 분포에는 영향이 없다.

풀이 보기

전략 연속 방정식을 확인한 뒤, 정상 유동의 x, y 운동량 식에서 $\partial p/\partial x$, $\partial p/\partial y$를 구해 적분한다.

풀이 $\partial u/\partial x + \partial v/\partial y = a - a = 0$ ✓. 2계 도함수가 모두 0이므로 점성 항 $\mu\nabla^2 u = \mu\nabla^2 v = 0$. x: $\rho(u\,\partial u/\partial x + v\,\partial u/\partial y) = \rho a^2 x = -\partial p/\partial x$. y: $\rho(u\,\partial v/\partial x + v\,\partial v/\partial y) = \rho a^2 y = -\partial p/\partial y$. 적분하면 $p = p_0 - \tfrac12\rho a^2(x^2 + y^2)$. 따라서 $p_0 - p = \tfrac12(1000)(2.0)^2(1.5^2 + 2.0^2) = 1.25\times10^4$ Pa.

$p_0 - p = 12.5$ kPa (정체점의 압력이 가장 높다)

검토 그 점의 속력은 $V = a\sqrt{x^2 + y^2} = 5.0$ m/s, $\tfrac12\rho V^2 = 12.5$ kPa로 베르누이 식과 같다. $\partial^2 p/\partial x\partial y$가 두 식에서 똑같이 0이어야 압력이 존재하는데, 이 검사가 바로 '주어진 속도장이 물리적으로 가능한가'의 판정이다.

나비에–스토크스 방정식의 정확해

비선형 방정식이지만, 기하가 단순하면 대류 항이 정확히 사라져 손으로 풀 수 있다. 두 평판 사이나 긴 관 속의 완전 발달 유동(fully developed flow)에서는 속도가 흐름 방향으로 변하지 않으므로($\partial u/\partial x = 0$), 연속 방정식에서 $v = 0$이 되고 대류 항 $u\,\partial u/\partial x + v\,\partial u/\partial y$가 0이 된다. 남는 것은 압력 구배와 점성의 평형뿐이다.

$$0 = -\frac{dp}{dx} + \mu\frac{d^2u}{dy^2} \quad\Longrightarrow\quad u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y^2 + C_1 y + C_2$$

y 운동량 식에서 $\partial p/\partial y = -\rho g$(정수압)이므로 $dp/dx$는 $y$와 무관한 상수다. $C_1, C_2$는 두 벽의 점착 조건으로 정한다.

두 대표 정확해. (a)는 판의 끌림만으로, (b)는 압력 구배만으로 생긴다. 방정식이 선형이 되었으므로 두 해를 더한 것도 해다(쿠에트–푸아죄유 유동).

쿠에트 유동 (dp/dx = 0)

$u(0) = 0,\ u(h) = U$ → $u = U\,y/h$. 전단 응력은 어디서나 같은 $\tau = \mu U/h$. 저널 베어링의 얇은 기름막, 점도계(1장)가 이 흐름이다.

평판 푸아죄유 유동 (U = 0)

$u = \dfrac{1}{2\mu}\Big(-\dfrac{dp}{dx}\Big)y(h - y)$. $u_\text{max} = \dfrac{h^2}{8\mu}\Big(-\dfrac{dp}{dx}\Big)$, 단위 폭 유량 $q = \dfrac{h^3}{12\mu}\Big(-\dfrac{dp}{dx}\Big)$, 평균 속도 $V = \tfrac23 u_\text{max}$, 벽 전단 $\tau_w = \dfrac h2\Big(-\dfrac{dp}{dx}\Big)$.

판을 갑자기 움직이면 정상 상태의 직선 분포가 즉시 생기지 않는다. 벽의 운동량은 점성에 의해 확산되어 퍼지고, 그 시간 규모는 $h^2/\nu$이다. 이번에는 비정상 항 $\partial u/\partial t$를 살려 둔 식 $\partial u/\partial t = \nu\,\partial^2u/\partial y^2 - (1/\rho)\,dp/dx$를 수치로 풀어 보자.

두 판 사이의 간격 $h$를 두 배로 늘리면, 윗판을 출발시킨 뒤 정상 상태에 가까워지는 데 걸리는 시간은?

확산 시간은 $t \sim h^2/\nu$이다. 간격이 두 배면 운동량이 퍼져야 할 거리가 두 배이고, 확산은 거리의 제곱에 비례하는 시간이 걸린다. 아래에서 h를 바꿔 ‘95% 도달 시간’을 비교하라.

SIMULATOR

출발 유동: 점성이 운동량을 퍼뜨리는 시간

경우

유체

간격 h

확산 시간 h²/ν—

중앙 95% 도달—

흐른 시간 t—

왼쪽: 속도 분포(화살표)와 정상 해(점선), 그리고 처음에 수직이던 염료 선 세 개가 흐름에 끌려 휘는 모습. 오른쪽: 중앙의 속도가 정상값에 다가가는 과정(실제 시간). 애니메이션 속도는 유체와 상관없이 $h^2/\nu$에 맞췄다. 해볼 것: ① h를 2배로 하면 95% 도달 시간이 4배가 된다. ② 같은 간격에서 물은 수십 초, 오일·글리세린은 수십 밀리초 — 동점성 계수 $\nu$가 확산 계수다. ③ ‘압력 구배’에서는 벽 근처부터가 아니라 가운데가 먼저 빨라지고, 벽이 그 운동량을 빼앗아 포물선이 된다.

쿠에트–푸아죄유 결합 유동과 역류

윗판이 $U$로 움직이면서 압력 구배도 있으면, 선형 방정식이므로 두 해를 더한다. 무차원 압력 구배 $P$를 쓰면 깔끔하다.

$$\frac{u}{U} = \frac{y}{h} + P\,\frac{y}{h}\Big(1 - \frac{y}{h}\Big), \qquad P = \frac{h^2}{2\mu U}\Big(-\frac{dp}{dx}\Big), \qquad q = Uh\Big(\frac12 + \frac P6\Big)$$

$P > 0$: 순압력 구배(흐름 방향으로 압력이 감소), $P < 0$: 역압력 구배. 아랫벽의 속도 기울기 $\partial u/\partial y|_0 = (U/h)(1 + P)$가 음이 되는 $P < -1$에서 역류가 생긴다.

윗판이 오른쪽으로 움직이고, 압력은 오른쪽으로 갈수록 높다(역압력 구배). 압력 구배를 서서히 키우면 맨 먼저 어디서 흐름이 거꾸로 될까?

움직이는 판은 근처 유체를 끌고 가므로 마지막까지 버틴다. 압력은 단면 전체를 똑같이 밀어내므로, 끌어 주는 것이 없는 고정 벽 근처가 먼저 뒤로 밀린다. 이것이 9장 경계층 박리의 원형이다.

SIMULATOR

쿠에트–푸아죄유 유동: 판을 끌고 압력을 올려라

윗판의 흰 손잡이는 좌우로, 왼쪽 압력계 꼭대기는 위아래로 끈다

윗판 속도 U 압력 차 p₁ − p₂

도전 과제

dp/dx—

무차원 P—

단위 폭 유량 q—

벽 전단 τ(아래 / 위)—

역류—

도전—

SAE 30 오일(μ = 0.29 Pa·s), 간격 h = 2.0 mm, 길이 L = 0.20 m. 입자는 실제 속도 분포로 흐른다. 도전 과제: ① 윗판을 움직인 채 아랫벽의 전단 응력을 0으로(역류 직전, P = −1), ② 판은 움직이는데 순유량이 0(위쪽은 앞으로, 아래쪽은 뒤로), ③ 유량이 같은 U의 순수 쿠에트 유동의 2배. 해볼 것: 성공한 상태에서 U를 바꾸면 깨진다 — 조건은 dp/dx가 아니라 P에 있다.

0.50 m × 0.30 m 판이 두께 1.2 mm의 SAE 30 오일(μ = 0.29 Pa·s, ρ = 891 kg/m³) 위를 2.0 m/s로 미끄러진다. 압력 구배는 없다. 판을 끄는 힘과 필요한 동력, 바닥에서 0.30 mm 높이의 속도를 구하라.

풀이 보기

전략 쿠에트 유동: 직선 분포, 전단 응력 일정 $\tau = \mu U/h$.

풀이 $\tau = (0.29)(2.0)/(1.2\times10^{-3}) = 483$ Pa. $F = \tau A = 483\times0.15 = 72.5$ N. 동력 $\dot W = FU = 145$ W. $u(0.30\text{ mm}) = U\,y/h = 2.0\times0.25 = 0.50$ m/s.

F = 72.5 N, 동력 = 145 W, u = 0.50 m/s

검토 레이놀즈 수 $\rho Uh/\mu = 891\times2.0\times0.0012/0.29 = 7.4$으로 층류 가정이 맞다. 동력은 모두 기름막 속에서 열로 소산된다.

폭 0.20 m, 길이 0.50 m, 간격 0.80 mm인 두 고정 평판 사이로 20 °C 물(μ = 1.002×10⁻³ Pa·s, ρ = 998 kg/m³)이 흐른다. 입구와 출구의 압력 차가 300 Pa일 때 체적 유량, 최대 속도, 벽 전단 응력을 구하라.

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전략 완전 발달 층류로 보고 $-dp/dx = \Delta p/L$을 쓴다. 끝에서 레이놀즈 수로 가정을 확인한다.

풀이 $-dp/dx = 300/0.50 = 600$ Pa/m. $q = \dfrac{h^3}{12\mu}\Big(-\dfrac{dp}{dx}\Big) = \dfrac{(8.0\times10^{-4})^3(600)}{12(1.002\times10^{-3})} = 2.55\times10^{-5}$ m²/s, $Q = q\times0.20 = 5.11\times10^{-6}$ m³/s (0.307 L/min). $V = q/h = 0.0319$ m/s, $u_\text{max} = 1.5V = 0.0479$ m/s, $\tau_w = (h/2)(600) = 0.240$ Pa.

Q = 5.11×10⁻⁶ m³/s, u_max = 0.0479 m/s, τ_w = 0.240 Pa

검토 $Re = \rho Vh/\mu = 25$으로 층류다. 유량이 $h^3$에 비례하므로 간격이 조금만 넓어져도 누설이 크게 는다 — 실린더 틈새 설계의 핵심이다.

간격 2.0 mm의 SAE 30 오일막(μ = 0.29 Pa·s)에서 윗판이 1.0 m/s로 움직이고, 압력이 흐름 방향으로 100 kPa/m씩 증가한다. 역류가 있는가? 단위 폭 유량은? 순유량이 0이 되려면 압력 구배가 얼마여야 하는가?

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전략 무차원 압력 구배 $P$를 계산해 $P < -1$인지 본다.

풀이 $P = \dfrac{h^2}{2\mu U}\Big(-\dfrac{dp}{dx}\Big) = \dfrac{(2.0\times10^{-3})^2}{2(0.29)(1.0)}(-1.0\times10^5) = -0.690$. $P > -1$이므로 역류는 없다. $q = Uh(1/2 + P/6) = (1.0)(0.002)(0.5 - 0.115) = 7.70\times10^{-4}$ m²/s. 순유량 0은 $P = -3$: $dp/dx = 3\times2\mu U/h^2 = 3(1.45\times10^5) = 4.35\times10^5$ Pa/m.

역류 없음 (P = −0.690), q = 7.70×10⁻⁴ m²/s, 순유량 0에는 dp/dx = +435 kPa/m

검토 위 시뮬레이터(L = 0.20 m)에서 U = 1.0 m/s, p₁ − p₂ = −20 kPa로 맞추면 같은 상태다. 미끄럼 베어링은 바로 이 역압력 구배로 하중을 떠받친다.

원관 속 하겐–푸아죄유 유동

반지름 $R$인 긴 원관의 완전 발달 층류도 같은 방법으로 풀린다(원통 좌표, $u_z(r)$만 있음). 점착 조건 $u_z(R) = 0$과 중심축에서 유한한 값이라는 조건을 쓰면 회전 포물면 분포가 나온다. 8장에서 입구 길이·난류와 함께 자세히 다룬다.

$$u_z(r) = \frac{1}{4\mu}\Big(-\frac{dp}{dz}\Big)(R^2 - r^2), \qquad Q = \frac{\pi R^4}{8\mu}\Big(-\frac{dp}{dz}\Big) = \frac{\pi D^4\,\Delta p}{128\,\mu L}, \qquad V = \frac{u_\text{max}}{2}$$

유체

지름 D 압력 구배 −dp/dz

MINI LAB관 지름을 두 배로 하면 유량은 $2^4 = 16$배가 된다. 물로 바꾸면 같은 조건에서 레이놀즈 수가 2300을 훌쩍 넘어 층류 가정이 깨진다 — 그때 하겐–푸아죄유 식은 더 이상 맞지 않는다(8장).

SAE 30 오일(μ = 0.29 Pa·s, ρ = 891 kg/m³)을 지름 8, 길이 2.0인 관에 압력 차 50로 밀어 넣으면 유량은 , 평균 속도는 , 레이놀즈 수는 이다.

비회전 유동과 퍼텐셜 유동의 중첩

레이놀즈 수가 큰 흐름에서 물체 앞쪽과 경계층 바깥은 점성 효과가 작고, 균일한 흐름에서 출발한 유체는 회전(와도, 4장)을 얻지 못한다. 이런 비회전 유동(irrotational flow)에서는 $\nabla\times\vec V = 0$이므로 속도를 스칼라 함수의 기울기로 쓸 수 있다. 이 함수가 속도 퍼텐셜(velocity potential) $\phi$다.

$$\vec V = \nabla\phi \ \ \Big(u = \frac{\partial\phi}{\partial x},\ v = \frac{\partial\phi}{\partial y}\Big), \qquad \nabla\cdot\vec V = 0 \ \Rightarrow\ \nabla^2\phi = \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} = 0$$

2차원에서는 비회전 조건 $\partial v/\partial x - \partial u/\partial y = 0$에서 $\nabla^2\psi = 0$도 성립한다. $\phi$와 $\psi$는 둘 다 라플라스 방정식(Laplace equation)을 만족하고, $\phi$ 등고선과 $\psi$ 등고선(유선)은 어디서나 직교한다.

라플라스 방정식은 선형이다. 해 두 개를 더한 것도 해이므로, 몇 가지 기본 해를 중첩하면 복잡한 흐름을 만들 수 있다. 압력은 속도를 구한 뒤 베르누이 식 $p + \tfrac12\rho V^2 = $일정(비회전이면 유동장 전체에서 같은 상수)으로 얻는다. 이렇게 운동학(φ 또는 ψ)과 압력 계산을 분리할 수 있다는 것이 퍼텐셜 유동의 힘이다.

기본 유동	속도 퍼텐셜 φ	유동 함수 ψ	속도
균일류 (x 방향)	$Ux$	$Uy$	$u = U$
원천(q > 0)·흡입(q < 0)	$\dfrac{q}{2\pi}\ln r$	$\dfrac{q}{2\pi}\theta$	$u_r = \dfrac{q}{2\pi r}$
자유 와류 (반시계 Γ > 0)	$\dfrac{\Gamma}{2\pi}\theta$	$-\dfrac{\Gamma}{2\pi}\ln r$	$u_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}$
쌍극자 (세기 K)	$\dfrac{K\cos\theta}{r}$	$-\dfrac{K\sin\theta}{r}$	$u_r = -\dfrac{K\cos\theta}{r^2},\ u_\theta = -\dfrac{K\sin\theta}{r^2}$

$q$는 단위 깊이당 체적 유량(m²/s), 순환(circulation) $\Gamma = \oint\vec V\cdot d\vec s$는 와류를 감싸는 닫힌 경로를 따라 속도를 적분한 값(m²/s)이다. 자유 와류는 중심 한 점을 빼고는 비회전이다 — 유체 입자는 원을 그리며 돌지만 자기 자신은 회전하지 않는다. 쌍극자(doublet)는 세기가 같은 원천과 흡입을 한없이 가까이 붙이면서 $q\times$간격을 일정하게 유지한 극한이다.

기본 유동

φ 등고선(점선)

MINI LAB실선은 유선(ψ = 일정), 점선은 등퍼텐셜선(φ = 일정)이다. 같은 간격으로 그리면 두 선이 작은 '정사각형' 그물을 이룬다. 원천과 와류는 φ와 ψ의 역할을 맞바꾼 관계다. 입자 색은 속력(파랑 → 빨강).

반무한 물체: 균일류 + 원천

원점의 원천 $q$에 균일류 $U$를 더하면 $\psi = U r\sin\theta + \dfrac{q}{2\pi}\theta$이다. 원천에서 나온 유체는 균일류에 떠밀려 하류로 가고, 균일류는 원천의 유체를 피해 돌아간다. 두 유체를 나누는 유선 $\psi = q/2$를 단단한 벽으로 바꿔도 흐름은 그대로이므로, 이것이 앞이 둥근 반무한 물체 주위의 흐름이다.

$$\text{정체점: } x = -b,\ \ b = \frac{q}{2\pi U}, \qquad \text{물체 표면: } r = \frac{b(\pi - \theta)}{\sin\theta}, \qquad \text{하류의 폭: } 2\pi b = \frac{q}{U}$$

정체점은 원천 속도 $q/(2\pi r)$이 $U$와 상쇄되는 곳이다. 멀리 하류에서 원천 유량 $q$가 폭 $2h$를 속도 $U$로 지나야 하므로 $2h = q/U$.

풍속 10의 바람(ρ = 1.2 kg/m³)에 세기 6.0인 원천을 두면 앞 정체점은 원천에서 $b =$ 앞에 있고, 하류의 물체 폭은 이다. 원천 바로 위 표면점(θ = 90°, $r = \pi b/2$)의 속력은 $U\sqrt{1 + 4/\pi^2} =$ , 압력은 $p - p_\infty = -\dfrac{4}{\pi^2}\cdot\tfrac12\rho U^2 =$ 이다.

20 m/s의 바람(ρ = 1.2 kg/m³) 속에서 하류 폭이 0.50 m인 반무한 물체(예: 언덕 꼭대기 단면의 근사)를 만들려면 원천 세기가 얼마여야 하는가? 정체점 위치와, 원천 바로 위 표면점의 계기 압력을 구하라.

풀이 보기

전략 하류 폭 $= q/U$에서 $q$, 그다음 $b = q/(2\pi U)$. 표면점의 속도는 균일류와 원천 속도의 벡터 합.

풀이 $q = (0.50)(20) = 10.0$ m²/s, $b = 10.0/(2\pi\cdot20) = 0.0796$ m. θ = 90°에서 $r = \pi b/2$, 원천 속도는 위쪽으로 $q/(2\pi r) = q/(\pi^2 b) = 2U/\pi$, 균일류는 오른쪽 $U$. $V^2 = U^2(1 + 4/\pi^2)$, $C_p = 1 - V^2/U^2 = -4/\pi^2 = -0.405$. $p - p_\infty = C_p\cdot\tfrac12\rho U^2 = -0.405\times240 = -97.3$ Pa.

q = 10.0 m²/s, 정체점은 원천 앞 7.96 cm, p − p_∞ = −97.3 Pa

검토 표면 속력은 θ ≈ 63°에서 최대 1.26U가 된다. 언덕 위에서 바람이 빨라지는 이유이고, 패러글라이더가 능선 앞쪽에서 상승 기류를 타는 이유이기도 하다.

랭킨 타원과 중첩 빌더

원천 $q$를 $x = -a$에, 같은 세기의 흡입을 $x = +a$에 두고 균일류를 더하면 원천에서 나온 유체가 모두 흡입으로 들어가 닫힌 물체가 생긴다. 이것이 랭킨 타원(Rankine oval)이다. x축 위에서 $u = U - \dfrac{qa/\pi}{x^2 - a^2} = 0$을 풀면 앞뒤 정체점의 위치가 나온다.

$$\frac{\ell}{a} = \sqrt{1 + \frac{q}{\pi U a}}, \qquad \text{반두께 } h:\ \ \psi(0, h) = Uh - \frac{q}{\pi}\tan^{-1}\frac{a}{h} = 0$$

$q/(\pi Ua)$가 클수록 뭉툭해지고, 작을수록 납작해진다. $a \to 0$이면서 $qa$를 일정하게 두면 쌍극자가 되고 원주가 된다.

SIMULATOR

중첩 빌더: 요소를 놓아 목표 모양을 만들어라

요소를 눌러 선택하고 끌어 옮긴다

선택 요소 세기 균일류 U 목표 모양 추적 입자 압력 계수 Cp 색

선택 요소—

정체점—

모양 일치도—

과제—

균일류 U는 m/s, 원천·흡입 세기 q와 순환 Γ는 m²/s, 쌍극자 K는 m³/s 단위다. 굵은 주황 선은 정체점을 지나는 유선(물체 표면), ×는 정체점, 점선은 목표 모양이다. 위치는 0.05 m 격자에 맞춰진다. 해볼 것: ① ‘반무한 물체’ — 원천 하나로, $b = q/(2\pi U)$를 써서 세기를 계산해 맞춰라. ② ‘랭킨 타원’ — 원천과 흡입을 (∓1, 0)에 두고 $\ell/a = \sqrt{1 + q/(\pi Ua)}$에서 q를 구하라. ③ ‘원주’ — 쌍극자 하나, $K = Ua^2$. ④ ‘양력 원주’ — 원주에 와류를 더해 정체점을 아래로 30° 내려라. Cp 색을 켜면 빨강은 $C_p > 0$(감속), 파랑은 $C_p < 0$(가속) 영역이다.

원주 주위 유동과 양력

균일류에 원점의 쌍극자 $K = Ua^2$를 더하면 $r = a$인 원이 유선 $\psi = 0$이 된다. 원 밖의 흐름이 반지름 $a$인 원주 주위의 비점성 유동이다.

$$\psi = U\sin\theta\Big(r - \frac{a^2}{r}\Big), \qquad u_r = U\cos\theta\Big(1 - \frac{a^2}{r^2}\Big), \qquad u_\theta = -U\sin\theta\Big(1 + \frac{a^2}{r^2}\Big)$$

표면 $r = a$에서 $u_r = 0$(뚫지 않음), $u_\theta = -2U\sin\theta$(미끄러짐). $\theta$는 하류 방향 x축에서 반시계로 잰 각이다(뒤 정체점 θ = 0, 앞 정체점 θ = 180°).

균일류 U: 유선은 평행한 직선.
원점의 쌍극자: 유선은 원점에서 x축에 접하는 원들.
둘을 더하면 유선 ψ = 0이 반지름 a = √(K/U)인 원 — 원주 주위 흐름. 앞뒤 대칭이다.
시계 방향 순환(Γ < 0)을 더하면 윗면이 빨라지고 아랫면이 느려져 정체점이 아래로 이동하고, 위로 양력이 생긴다.

중첩으로 원주 주위 유동 만들기. 선은 유선(ψ = 일정), 주황 점은 정체점이다.

표면 속력 $V_s = 2U|\sin\theta|$를 베르누이 식에 넣으면 표면 압력 계수(pressure coefficient)가 나온다.

$$C_p = \frac{p_s - p_\infty}{\tfrac12\rho U^2} = 1 - \Big(\frac{V_s}{U}\Big)^2 = 1 - 4\sin^2\theta$$

정체점(θ = 0°, 180°)에서 $C_p = 1$, 꼭대기와 바닥(θ = ±90°)에서 $C_p = -3$(속력 2U), θ = 30°, 150°에서 $C_p = 0$.

표면의 흰 점을 끌어 보세요

MINI LAB표면 화살표는 압력: 안쪽(빨강)은 $C_p > 0$으로 미는 압력, 바깥쪽(파랑)은 $C_p < 0$으로 빨아당기는 압력이다. 분포가 좌우·상하 모두 대칭이므로 앞쪽과 뒤쪽의 압력힘이 정확히 상쇄된다 — 항력도 양력도 0이다.

달랑베르 역설

비점성·비회전 이론에서는 원주뿐 아니라 어떤 모양의 물체도 정상 유동에서 항력이 0이다(1752). 실제 원주는 $C_D \approx 1.2$의 큰 항력을 받는다. 원인은 점성이다. 표면의 얇은 경계층은 뒤쪽의 압력 상승(역압력 구배)을 이기지 못해 θ ≈ 100° 부근에서 박리되고, 뒤쪽에 압력이 회복되지 않은 후류가 남는다. 앞면은 높은 압력, 뒷면은 낮은 압력 — 이것이 압력 항력이다(9장). 쿠에트–푸아죄유 시뮬레이터에서 역압력 구배가 벽 근처 유체를 뒤로 밀던 것과 같은 현상이다.

순환이 있는 원주: 쿠타–주콥스키 양력

원주 중심에 자유 와류(순환 Γ)를 더해도 원은 여전히 유선이다(와류의 유선이 원이므로). $\psi = U\sin\theta\,(r - a^2/r) - \dfrac{\Gamma}{2\pi}\ln\dfrac ra$이고, 표면 속도는 $u_\theta = -2U\sin\theta + \dfrac{\Gamma}{2\pi a}$이다.

$$\sin\theta_s = \frac{\Gamma}{4\pi U a}, \qquad C_p = 1 - \Big(2\sin\theta - \frac{\Gamma}{2\pi a U}\Big)^2, \qquad L' = -\rho U\Gamma, \qquad D' = 0$$

$L'$은 단위 길이당 양력(위쪽 +), Γ는 반시계 +. 시계 방향 순환(Γ < 0)이면 윗면이 빨라져 위로 양력이 생긴다. $|\Gamma| > 4\pi Ua$이면 정체점이 표면을 떠나 유동 속으로 나간다. 크기만 쓰면 쿠타–주콥스키 정리(Kutta–Joukowski theorem) $L' = \rho U|\Gamma|$이며, 모양과 상관없이 모든 2차원 물체에 성립한다.

회전하는 원주나 공은 점성으로 주변 유체를 끌고 돌아 순환을 만든다. 이것이 마그누스 효과(Magnus effect)다. 탑스핀을 건 탁구공이 뚝 떨어지고, 축구의 감아 차기가 휘며, 야구의 커브볼이 꺾이는 이유다. 돛 대신 회전 원통을 단 플레트너 로터 배도 있다. 이상적으로는 표면 속도가 유체 속도와 같다고 보고 $\Gamma = 2\pi a^2\omega$로 어림하지만, 실제 순환과 양력은 이보다 작다.

순환이 없는 원주(정체점이 앞뒤 정중앙)에 시계 방향 순환을 조금 더했다. 정체점 두 개는 어떻게 움직일까?

$\sin\theta_s = \Gamma/(4\pi Ua) < 0$: 두 정체점이 모두 아랫면으로 내려가 서로 가까워지고, $|\Gamma| = 4\pi Ua$에서 바닥에서 만난다. 아래에서 정체점을 직접 끌어 보라.

SIMULATOR

회전하는 원주: 순환, 정체점, 표면 압력, 양력

흰 정체점을 원 위에서 끈다

무차원 순환 Γ/(4πUa) 풍속 U 추적 입자 표면 압력 화살표

순환 Γ—

정체점 θ_s—

이상적 회전수—

양력 L′ = −ρUΓ—

C_L (압력 적분)—

항력 D′ (압력 적분)—

지름 20 cm 원주(a = 0.10 m), 공기 ρ = 1.2 kg/m³. 오른쪽 그래프는 표면 $C_p(\theta)$(점선: 순환 0), 움직이는 점은 원 위를 도는 탐침이다. C_L, D′는 표면 압력을 수치 적분한 값이다. 해볼 것: ① 정체점을 끌어 내리면 아랫면 압력이 오르고(Cp 곡선의 비대칭) 양력이 생긴다. 적분한 C_L이 $-\Gamma/(Ua)$와 같다. ② 순환을 아무리 바꿔도 항력은 0(달랑베르). ③ ‘정체점 합치기’(Γ/(4πUa) = −1) 다음 더 키우면 정체점이 원을 떠나 아래 유동 속으로 나가고, 원주 주위에 갇혀 함께 도는 유체 영역이 생긴다.

지름 10 cm, 길이 0.60 m의 원통이 1200 rpm으로 회전하며 10 m/s의 공기(ρ = 1.2 kg/m³) 흐름에 수직으로 놓여 있다. 표면 속도만큼 유체가 돈다고 가정해 순환, 정체점 위치, 양력을 구하라.

풀이 보기

전략 $\Gamma = (2\pi a)(a\omega) = 2\pi a^2\omega$, 정체점은 $\sin\theta_s = \Gamma/(4\pi Ua)$, 양력은 쿠타–주콥스키.

풀이 $\omega = 1200\times2\pi/60 = 125.7$ rad/s, $a = 0.050$ m. $|\Gamma| = 2\pi(0.050)^2(125.7) = 1.97$ m²/s. $|\Gamma|/(4\pi Ua) = 1.974/(4\pi\cdot10\cdot0.05) = 0.314$ → 정체점은 수평에서 18.3°만큼 (빨라지는 면의 반대쪽으로) 이동. $L' = \rho U|\Gamma| = 1.2\times10\times1.974 = 23.7$ N/m, $L = 23.7\times0.60 = 14.2$ N.

|Γ| = 1.97 m²/s, θ_s = 18.3°, L = 14.2 N (C_L = 3.95)

검토 원통 무게(수 N)를 넘는 큰 힘이지만 실제 측정값은 경계층 때문에 대략 이 값의 절반 정도다. 양력 방향은 표면이 흐름과 같은 방향으로 움직이는 쪽이다.

핵심 정리

미분형 연속 방정식 $\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot(\rho\vec V) = 0$. 비압축이면 $\nabla\cdot\vec V = 0$(원통 좌표: $\frac1r\partial(ru_r)/\partial r + \frac1r\partial u_\theta/\partial\theta + \partial u_z/\partial z = 0$)이고, 모르는 속도 성분을 적분과 경계 조건으로 구한다.
2차원 비압축 유동의 유동 함수: $u = \partial\psi/\partial y,\ v = -\partial\psi/\partial x$. $\psi = $일정이 유선이고, 두 유선 사이 단위 깊이당 유량은 $\psi_2 - \psi_1$.
비압축 뉴턴 유체의 나비에–스토크스 방정식 $\rho D\vec V/Dt = -\nabla p + \rho\vec g + \mu\nabla^2\vec V$. 국소·대류 가속 = 압력 + 중력 + 점성. $\mu = 0$이면 오일러 방정식.
점성 유동의 벽 경계 조건은 점착(유체 속도 = 벽 속도). 비점성 해는 벽을 뚫지 않는다는 조건만 만족한다.
완전 발달 유동의 정확해: 쿠에트 $u = Uy/h$, 평판 푸아죄유 $q = h^3(-dp/dx)/12\mu$, 결합 유동 $u/U = \eta + P\eta(1-\eta)$(P < −1이면 역류), 하겐–푸아죄유 $Q = \pi D^4\Delta p/128\mu L$.
비회전 유동은 $\vec V = \nabla\phi$, $\nabla^2\phi = 0$. 선형이므로 균일류·원천·흡입·와류·쌍극자를 중첩해 반무한 물체($b = q/2\pi U$), 랭킨 타원, 원주($K = Ua^2$)를 만든다.
원주 표면 $C_p = 1 - 4\sin^2\theta$는 대칭이라 항력 0(달랑베르 역설, 실제로는 박리 때문에 항력). 순환을 더하면 $\sin\theta_s = \Gamma/4\pi Ua$, 양력 $L' = \rho U|\Gamma|$(쿠타–주콥스키, 마그누스 효과).

연습문제

특별한 말이 없으면 비압축 유동이고 $g = 9.81$ m/s²이다. 속도장의 좌표는 m, 속도는 m/s 단위다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

2차원 비압축 유동에서 $u = 3x^2 - 2y$이다. $y = 0$에서 $v = 0$일 때 점 (1, 2)에서 $v$는?

$\partial v/\partial y = -\partial u/\partial x = -6x$.

$v = -6xy + f(x)$, $f = 0$. $v(1, 2) = -12$ m/s. $u$의 $-2y$ 항은 $\partial u/\partial x$에 기여하지 않는다.

다음 2차원 속도장 중 비압축 연속 방정식을 만족하지 않는 것은?

$\partial u/\partial x + \partial v/\partial y$: ① $2 - 2 = 0$, ② $0 + 0 = 0$, ③ $2x - 2x = 0$, ④ $y + x \ne 0$.

2차원 비압축 유동의 원주 방향 속도가 $u_\theta = -U\sin\theta\,(1 + a^2/r^2)$이고, $r = a$에서 $u_r = 0$이다. $U = 5.0$ m/s, $a = 0.10$ m일 때 $r = 0.20$ m, $\theta = 30^\circ$에서 $u_r$은?

$\partial(ru_r)/\partial r = -\partial u_\theta/\partial\theta = U\cos\theta\,(1 + a^2/r^2)$를 $r$로 적분한다.

$ru_r = U\cos\theta\,(r - a^2/r) + f(\theta)$, $r = a$에서 0이므로 $f = 0$. $u_r = U\cos\theta\,(1 - a^2/r^2) = 5.0\cos30^\circ(1 - 0.25) = 3.25$ m/s. (원주 주위 유동이다.)

유동 함수가 $\psi = 3x^2y - y^3$ (m²/s)이다. 점 (1, 2)에서 속력은?

$u = \partial\psi/\partial y = 3x^2 - 3y^2 = -9$, $v = -\partial\psi/\partial x = -6xy = -12$. $|V| = \sqrt{81 + 144} = 15.0$ m/s.

유동 함수가 $\psi = 4xy$ (m²/s)인 모서리 유동이다. 점 (1, 1)과 (2, 3)을 지나는 두 유선 사이를 흐르는 체적 유량은? 깊이(종이에 수직)는 0.50 m이다.

$\psi_1 = 4$, $\psi_2 = 24$ → 단위 깊이당 20 m²/s, $Q = 20\times0.50 = 10.0$ m³/s.

위 문제의 유동($\psi = 4xy$)은 비회전이다. 속도 퍼텐셜 $\phi$를 구하고 $\phi(3, 1) - \phi(1, 1)$을 계산하라.

$u = \partial\psi/\partial y = 4x = \partial\phi/\partial x$, $v = -4y = \partial\phi/\partial y$.

$\phi = 2x^2 - 2y^2$. $\phi(3, 1) - \phi(1, 1) = 16 - 0 = 16.0$ m²/s. $\phi$와 $\psi$의 등고선(쌍곡선)은 서로 직교한다.

0.40 m × 0.40 m 판이 두께 0.80 mm의 SAE 30 오일막(μ = 0.29 Pa·s) 위를 1.5 m/s로 미끄러진다. 판을 끄는 힘과 동력은?

$\tau = \mu U/h = 0.29\times1.5/0.0008 = 544$ Pa, $F = \tau A = 544\times0.16 = 87.0$ N, $\dot W = FU = 130.5$ W.

간격 1.00 mm인 두 고정 평판 사이로 20 °C 물(μ = 1.002×10⁻³ Pa·s)이 흐르고 $dp/dx = -2.00$ kPa/m이다. 단위 폭 유량과 최대 속도는?

$q = h^3(-dp/dx)/(12\mu) = (10^{-9})(2000)/(0.012024) = 1.66\times10^{-4}$ m²/s, $u_\text{max} = h^2(-dp/dx)/(8\mu) = (10^{-6})(2000)/(8.016\times10^{-3}) = 0.250$ m/s.

간격 2.0 mm의 SAE 30 오일막(μ = 0.29 Pa·s)에서 윗판이 2.0 m/s로 움직인다. 아랫벽의 전단 응력이 0이 되는(역류가 막 시작되는) 압력 구배 $dp/dx$와, 그때의 단위 폭 유량을 구하라.

아랫벽에서 $\partial u/\partial y = (U/h)(1 + P) = 0$ → $P = -1$.

$P = -1$ → $dp/dx = 2\mu U/h^2 = 2(0.29)(2.0)/(4\times10^{-6}) = 2.90\times10^5$ Pa/m (역압력 구배). $q = Uh(1/2 - 1/6) = Uh/3 = 1.33\times10^{-3}$ m²/s.

지름 1.0 cm, 길이 2.0 m인 관으로 SAE 30 오일(μ = 0.29 Pa·s, ρ = 891 kg/m³)을 압력 차 30 kPa로 보낸다. 체적 유량은? (층류인지도 확인하라.)

$Q = \pi D^4\Delta p/(128\mu L) = \pi(0.01)^4(30000)/(128\times0.29\times2.0) = 1.27\times10^{-5}$ m³/s (0.762 L/min). $V = 0.162$ m/s, $Re = 891\times0.162\times0.01/0.29 = 5.0$ → 층류.

균일류 $U = 10$ m/s에 세기 $q = 6.0$ m²/s의 원천을 더했다. 원천에서 앞 정체점까지 거리 $b$와 하류의 물체 폭은?

$b = q/(2\pi U) = 6.0/(20\pi) = 0.0955$ m, 폭 $= q/U = 0.600$ m.

반무한 물체 표면에서 원천 바로 위(θ = 90°)인 점의 압력 계수는? (U와 q에 무관함을 보여라.)

표면 방정식 $r = b(\pi - \theta)/\sin\theta$에서 θ = 90°이면 $r = \pi b/2$.

원천 속도 $q/(2\pi r) = q/(\pi^2 b) = 2U/\pi$(위쪽), 균일류 $U$(오른쪽). $V^2/U^2 = 1 + 4/\pi^2$, $C_p = -4/\pi^2 = -0.405$.

순환 없는 원주 주위 비점성 유동에서, 앞 정체점에서 잰 각으로 표면 압력이 자유류 압력과 같아지는 첫 위치는? 또 U = 20 m/s 공기(ρ = 1.2 kg/m³)일 때 표면의 최저 계기 압력은?

$1 - 4\sin^2\theta = 0$ → $\sin\theta = 1/2$ → 30°. 최저는 θ = 90°의 $C_p = -3$: $p - p_\infty = -3\times\tfrac12(1.2)(20)^2 = -720$ Pa.

지름 1.0 m, 높이 10 m의 회전 원통(플레트너 로터)이 8.0 m/s의 바람(ρ = 1.2 kg/m³)을 받는다. 두 정체점이 표면의 한 점에서 막 만나도록 회전시킬 때, 필요한 순환의 크기와 퍼텐셜 이론의 양력은?

두 정체점이 만나는 조건은 $|\sin\theta_s| = 1$, 즉 $|\Gamma| = 4\pi Ua$.

$|\Gamma| = 4\pi(8.0)(0.50) = 50.3$ m²/s. $L = \rho U|\Gamma|\,b = 1.2\times8.0\times50.3\times10 = 4.83\times10^3$ N. 이상적 회전수 $\omega = \Gamma/(2\pi a^2) = 32$ rad/s(306 rpm).

퍼텐셜 유동 이론이 예측하는 원주의 항력이 실제와 크게 다른 가장 중요한 이유는?

이상 유동에서는 뒤쪽 표면의 압력이 앞쪽과 똑같이 회복되어 항력이 0이다. 실제로는 역압력 구배에서 경계층이 박리되어 후류의 압력이 낮게 남는다.

균일류 $U = 5.0$ m/s에 세기 $q = 10$ m²/s의 원천을 $x = -1.0$ m에, 같은 세기의 흡입을 $x = +1.0$ m에 두었다. 랭킨 타원의 반길이 $\ell$(원점에서 정체점까지)은?

x축 위에서 $u = U + \dfrac{q}{2\pi}\Big(\dfrac{1}{x + a} - \dfrac{1}{x - a}\Big) = 0$.

$u = U - \dfrac{qa/\pi}{x^2 - a^2} = 0$ → $\ell = a\sqrt{1 + q/(\pi Ua)} = \sqrt{1 + 10/(5\pi)} = 1.28$ m. 중첩 빌더에서 U = 1, q = 2(같은 $q/U$)로 확인해 보라.

개념 확인 퀴즈

유동 함수 ψ를 정의할 수 있는 유동은?

$\psi$는 2차원 연속 방정식을 자동으로 만족시키려고 도입한 함수다. 회전·점성과는 관계없다. 비회전 조건이 필요한 것은 속도 퍼텐셜 φ다.

두 평판 사이의 완전 발달 층류에서 나비에–스토크스 방정식의 어느 항이 정확히 0인가?

$\partial u/\partial x = 0$이고 연속 방정식에서 $v = 0$이므로 $u\,\partial u/\partial x + v\,\partial u/\partial y = 0$. 압력 구배와 점성이 평형을 이룬다.

쿠에트–푸아죄유 유동(윗판 +x로 이동)에서 아랫벽 근처에 역류가 생기는 조건은?

$P = (h^2/2\mu U)(-dp/dx) < -1$, 즉 $dp/dx > 2\mu U/h^2$. 점성이 클수록 판이 끄는 힘이 강해져 역류가 어려워진다.

왼쪽에서 오른쪽으로 부는 바람 속의 원통이 시계 방향으로 회전한다. 양력의 방향은?

시계 방향이면 윗면이 바람과 같은 방향(+x)으로 움직여 윗면 유속이 빨라지고 압력이 낮아진다. Γ < 0이므로 $L' = -\rho U\Gamma > 0$.

순환이 없는 원주 표면에서 속력이 가장 큰 곳과 그 값은?

$V_s = 2U|\sin\theta|$. 꼭대기에서 2U, $C_p = -3$. θ = 30°에서는 $V_s = U$, $C_p = 0$이다.

기본 유동	속도 퍼텐셜 φ	유동 함수 ψ	속도
균일류 (x 방향)	\(Ux\)	\(Uy\)	\(u = U\)
원천(q > 0)·흡입(q < 0)	\(\dfrac{q}{2\pi}\ln r\)	\(\dfrac{q}{2\pi}\theta\)	\(u_r = \dfrac{q}{2\pi r}\)
자유 와류 (반시계 Γ > 0)	\(\dfrac{\Gamma}{2\pi}\theta\)	\(-\dfrac{\Gamma}{2\pi}\ln r\)	\(u_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\)
쌍극자 (세기 K)	\(\dfrac{K\cos\theta}{r}\)	\(-\dfrac{K\sin\theta}{r}\)	\(u_r = -\dfrac{K\cos\theta}{r^2},\ u_\theta = -\dfrac{K\sin\theta}{r^2}\)