Chapter 05

검사 체적 해석

소방 호스를 잡은 사람이 뒤로 밀리고, 로켓이 진공 속에서 가속하고, 잔디 스프링클러가 저절로 돈다. 유동 속 모든 입자를 따라가지 않고도 이런 힘과 토크를 구할 수 있다. 공간에 경계 하나를 긋고 그 경계를 드나드는 것만 세면 된다. 이것이 검사 체적 해석이고, 공학 유체역학에서 가장 자주 쓰는 계산 도구다. 아래에서 날개 끝을 끌어 분류를 꺾어 보면서 시작하자.

날개 끝 흰 원을 끌어 꺾임각 θ를 바꾼다

레이놀즈 수송 정리(RTT)로 계의 보존 법칙을 고정·이동·변형 검사 체적의 식으로 바꾼다.
질량 보존으로 정상·비정상 유동의 유량을 구하고, 탱크를 채우거나 비우는 시간을 계산한다.
선운동량 방정식으로 분류가 평판·날개에 주는 힘, 엘보·노즐을 붙잡는 볼트 힘, 로켓·제트 엔진의 추력을 구한다.
각운동량 방정식으로 스프링클러와 회전 기계의 토크와 회전 속도를 구한다.
에너지 방정식을 수두 형태로 쓰고 펌프·터빈 수두, 수두 손실, 효율, 운동 에너지 보정 계수 α를 다룬다.

레이놀즈 수송 정리와 검사 체적

뉴턴 법칙과 열역학 법칙은 원래 계(system), 즉 정해진 물질 덩어리에 대한 법칙이다. 그런데 유체는 끊임없이 흘러가므로 같은 물질을 따라가기가 매우 불편하다. 노즐에 걸리는 힘이 궁금할 때 우리가 관심 있는 것은 "지금 노즐 안에 있는 물"이지 "1초 전에 노즐에 있던 물"이 아니다. 그래서 공간에 고정된(또는 정해진 방식으로 움직이는) 영역 검사 체적(control volume, CV)을 잡고, 그 경계인 검사 표면(control surface, CS)을 드나드는 양을 센다.

4장에서 유도한 레이놀즈 수송 정리(Reynolds transport theorem, RTT)가 둘을 잇는다. 임의의 크기 성질 $B$(질량, 운동량, 에너지 …)와 그 단위 질량당 값 $b = dB/dm$에 대해

$$\frac{dB_\text{sys}}{dt} = \frac{d}{dt}\int_\text{CV}\rho\, b\,dV + \int_\text{CS}\rho\, b\,(\vec V_r\cdot\vec n)\,dA$$

$\vec n$: 검사 표면의 바깥 방향 단위 법선, $\vec V_r = \vec V - \vec V_\text{CS}$: 검사 표면에 대한 상대 속도. $\vec V_r\cdot\vec n > 0$이면 유출, $< 0$이면 유입이다. 첫 항은 CV 안에 쌓이는 비율, 둘째 항은 경계를 통해 빠져나가는 알짜 유속이다.

시각 $t$에 계(파란 영역)가 검사 체적과 정확히 겹치도록 고른다.
$dt$ 뒤 계는 흐름을 따라 오른쪽으로 옮겨 갔다. 검사 체적은 그대로다.
영역 I은 CV에 새로 들어온 유체(계 밖), III은 CV를 빠져나간 유체(계의 일부)다.
계의 변화 = CV 안의 변화 + 유출(III) − 유입(I). $dt\to0$이면 RTT가 된다.

계와 검사 체적의 관계. 계는 물질을 따라가고 검사 체적은 공간을 지킨다.

이 장에서는 $B$에 네 가지를 차례로 넣는다. $B = m$($b = 1$)이면 질량 보존, $B = m\vec V$($b = \vec V$)이면 선운동량, $B = \vec r\times m\vec V$이면 각운동량, $B = E$($b = e$)이면 에너지 방정식이 나온다. 네 식 모두 "CV 안의 저장 변화 + 경계를 통한 알짜 유출 = 원인(0, 힘, 토크, 열과 일)"이라는 같은 꼴이다.

검사 체적의 세 종류. 어느 경우든 경계를 통과하는 유속은 경계에 대한 상대 속도 $\vec V_r$로 계산한다.

검사 체적을 잘 고르는 것이 문제의 절반이다. 요령은 세 가지다. ① 경계가 알고 싶은 힘이 작용하는 곳(볼트, 지지대)을 자르게 한다. ② 유입·유출 단면은 흐름에 수직으로, 속도와 압력을 아는 곳에 둔다. ③ 자유 분류가 대기로 나가는 단면에서는 압력이 대기압(계기압 0)이다.

상자 가운데·모서리를 끌어 옮기고 크기를 바꾼다

유동장

MINI LAB점선 상자가 검사 체적이다. 경계 위의 짧은 화살표는 법선 속도 $\vec V\cdot\vec n$(주황: 유출, 파랑: 유입)이다. 정상 유동에서 상자 안에 원천이 없으면 유입과 유출이 정확히 같아 알짜 유출이 0이다. 원천을 상자 안에 넣으면 알짜 유출이 원천 세기 $q$와 같아진다 — 상자의 모양·크기와 무관하다.

질량 보존

RTT에 $B = m$, $b = 1$을 넣으면 계의 질량은 변하지 않으므로($dm_\text{sys}/dt = 0$) 다음을 얻는다.

$$0 = \frac{d}{dt}\int_\text{CV}\rho\,dV + \int_\text{CS}\rho\,(\vec V_r\cdot\vec n)\,dA \quad\Longrightarrow\quad \frac{dm_\text{CV}}{dt} = \sum_\text{in}\dot m - \sum_\text{out}\dot m$$

CV 안 질량의 증가율 = 들어오는 질량 유량 − 나가는 질량 유량. 은행 잔고와 같은 수지(收支) 식이다.

단면을 지나는 질량 유량(mass flow rate)과 체적 유량(volume flow rate)은 단면 위의 속도 분포를 적분해 구한다. 이때 평균 속도(average velocity) $V$를 정의하면 식이 간단해진다.

$$\dot m = \int_A \rho\,(\vec V\cdot\vec n)\,dA = \rho V A, \qquad Q = \int_A (\vec V\cdot\vec n)\,dA = VA, \qquad V \equiv \frac{Q}{A}$$

밀도가 단면에서 균일하다고 가정. 원관 층류에서 평균 속도는 중심 속도의 절반, 난류에서는 약 0.8배다(8장).

정상 유동이면 CV 안 질량이 일정하므로 $\sum\dot m_\text{in} = \sum\dot m_\text{out}$이다. 입구 하나·출구 하나면 $\rho_1 V_1 A_1 = \rho_2 V_2 A_2$, 비압축성이면 $V_1A_1 = V_2A_2$ — 3장의 연속 방정식이다.

지름 10인 관에서 물(ρ = 1000 kg/m³)이 평균 속도 2.0로 흐르면 체적 유량은 , 질량 유량은 이다. 관 끝에 출구 지름 3.0인 노즐을 달면 출구 속도는 가 된다.

움직이는 CV에서는 경계에 대한 상대 속도로 유량을 센다. 200 m/s로 나는 비행기의 엔진 흡입구로 들어가는 공기 유량은, 엔진에 붙은 CV로 보면 $\dot m = \rho A V_r = \rho A(200\ \text{m/s})$이다(정지 공기 기준). 변형 CV(풍선, 피스톤–실린더)에서는 CV의 부피 자체가 변해 $d m_\text{CV}/dt$ 항에 들어간다.

탱크 채우기와 비우기

대표적인 비정상 문제는 탱크다. 단면적 $A_T$인 탱크의 수위가 $h$이면 $m_\text{CV} = \rho A_T h$이므로 질량 보존은

$$\rho A_T\frac{dh}{dt} = \dot m_\text{in} - \dot m_\text{out} \quad\Longrightarrow\quad A_T\frac{dh}{dt} = Q_\text{in} - Q_\text{out}$$

바닥 구멍(면적 $A_o$)으로 물이 빠질 때, 3장의 토리첼리 결과 $V_o = C_d\sqrt{2gh}$(이상적이면 $C_d = 1$)를 넣으면 $dh/dt$가 $\sqrt h$에 비례하는 미분 방정식이 된다. 변수 분리로 적분하면

$$A_T\frac{dh}{dt} = -C_dA_o\sqrt{2gh} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{A_T}{C_dA_o}\sqrt{\frac{2}{g}}\left(\sqrt{h_0} - \sqrt{h}\right)$$

유입 $Q_\text{in}$이 함께 있으면 $dh/dt = 0$인 평형 수위 $h_\text{eq} = \dfrac{1}{2g}\left(\dfrac{Q_\text{in}}{C_dA_o}\right)^2$로 수렴한다.

지름 1.2인 원통 탱크에 물이 2.0 깊이로 차 있고, 바닥에 지름 5.0인 구멍($C_d = 1$)을 열었다. 처음 유출 속도는 , 수위가 절반이 될 때까지 , 완전히 비울 때까지 걸린다.

유입 없이 탱크를 비운다. 수위가 처음의 절반이 될 때까지 걸리는 시간은 완전히 비우는 시간의 몇 %일까?

$t \propto \sqrt{h_0} - \sqrt{h}$이므로 $t_{1/2}/t_\text{전체} = 1 - 1/\sqrt2 = 0.293$. 수위가 높을 때 빨리 빠지고 낮을수록 느려진다. 아래 탱크에서 유입을 0으로 두고 h–t 곡선의 모양을 확인하라.

SIMULATOR

탱크 질량 수지: 목표 수위를 지켜라

밸브 손잡이를 끌어 유입량을 바꾼다

빨간 점이 현재 수위

유입 유량 Q_in 바닥 구멍 지름 d 시간 배속 수요 변동(외란) 켜기

수위 h—

ṁ_in − ṁ_out—

ρA_T dh/dt—

평형 수위 h_eq—

게임—

탱크 지름 0.30 m, 구멍 유량 계수 $C_d = 0.61$, 물 ρ = 1000 kg/m³. 해볼 것: ① 두 읽음값 ṁ_in − ṁ_out과 $\rho A_T\,dh/dt$가 언제나 같음을 확인하라 — 이것이 질량 보존이다. ② ‘비우기 시험’을 누르고 수위가 1.0 m → 0.5 m, 0.5 m → 0 m에 걸리는 시간을 비교하라. ③ ‘목표 수위 게임’: 주황 띠(±3 cm) 안에 수위를 30 s(시뮬레이션 시간) 동안 유지하라. 평형 수위 식에서 필요한 $Q_\text{in}$을 미리 계산하면 한 번에 성공한다. 외란을 켜면 계속 조절해야 한다.

지름 1.20 m인 원통 탱크에 물이 2.00 m 깊이로 차 있다. 바닥의 지름 5.00 cm 구멍을 열었을 때 (a) 처음 유출 유량, (b) 수위가 1.00 m가 될 때까지 시간, (c) 완전히 비우는 시간을 구하라. 구멍은 이상적($C_d = 1$)이라 한다.

풀이 보기

전략 탱크 안의 물 전체를 변형 CV(수면이 내려감)로 잡고 질량 보존 $A_T\,dh/dt = -A_o\sqrt{2gh}$를 적분한다. 수면과 구멍 사이에 준정상 베르누이를 쓴다($A_o \ll A_T$).

풀이 (a) $V_0 = \sqrt{2(9.81)(2.00)} = 6.26$ m/s, $Q_0 = (\pi/4)(0.05)^2(6.26) = 0.0123$ m³/s.
(b) $A_T/A_o = (1.20/0.05)^2 = 576$. $t = 576\sqrt{2/9.81}\,(\sqrt{2.00} - \sqrt{1.00}) = 576(0.4515)(0.4142) = 108$ s.
(c) $t = 576\sqrt{2/9.81}\,\sqrt{2.00} = 368$ s.

(a) 0.0123 m³/s (12.3 L/s) (b) 108 s (c) 368 s ≈ 6.1 min

검토 위 절반을 비우는 데 108 s, 아래 절반에 260 s가 걸린다. 수위가 낮아지면 유출 속도가 $\sqrt h$로 줄기 때문이다. 처음 유량을 그대로 유지한다고 보고 계산하면 $V_T/Q_0 = 2.26/0.0123 = 184$ s로, 실제 시간의 절반밖에 안 된다.

선운동량 방정식: 분류와 날개

RTT에 $B = m\vec V$, $b = \vec V$를 넣고 뉴턴 제2법칙 $d(m\vec V)_\text{sys}/dt = \sum\vec F$를 쓰면 검사 체적의 선운동량 방정식(linear momentum equation)을 얻는다.

$$\sum\vec F = \frac{d}{dt}\int_\text{CV}\rho\vec V\,dV + \int_\text{CS}\rho\vec V\,(\vec V_r\cdot\vec n)\,dA$$

$\sum\vec F$: CV 안의 물질에 작용하는 모든 외력 — 체적력(중력), 표면력(압력, 전단), 그리고 경계가 자른 고체가 주는 힘(볼트, 지지대). $\vec V$는 관성 좌표계에서 잰 속도다.

정상 유동이고 각 입구·출구에서 속도가 거의 균일하면 적분이 합으로 바뀐다.

$$\sum\vec F = \sum_\text{out}\beta\,\dot m\,\vec V - \sum_\text{in}\beta\,\dot m\,\vec V, \qquad \beta = \frac{1}{AV^2}\int_A u^2\,dA$$

"힘 = 나가는 운동량 유속 − 들어오는 운동량 유속". $\beta$는 운동량 유속 보정 계수(momentum-flux correction factor)로, 속도가 균일하면 1이다. 이 식은 벡터식이므로 성분별로 쓴다.

평균 속도 $V$로 운동량 유속을 $\dot mV = \rho AV^2$로 쓰면, 실제 $\int\rho u^2dA$보다 작게 계산된다(제곱의 평균 ≥ 평균의 제곱). $\beta$가 그 차이를 메운다. 원관 완전 발달 층류에서 $\beta = 4/3$, 난류에서는 1.01–1.04이므로 난류 문제에서는 보통 $\beta \approx 1$로 둔다.

속도 분포

멱지수 n (u ∝ (1−r/R)^1/n)

MINI LAB실선이 실제 분포 $u(r)$, 점선이 같은 유량을 주는 균일 분포 $V$다. 분포가 뾰족할수록 $\beta$(운동량)와 $\alpha$(운동 에너지, 6절)가 1보다 커진다. 층류는 $\beta = 4/3$, $\alpha = 2$, 1/7 멱법칙 난류는 $\beta = 1.020$, $\alpha = 1.058$이다.

분류가 평판에 주는 힘

대기 중으로 나온 자유 분류(jet)는 둘레 압력이 모두 대기압이므로, 계기압으로 계산하면 압력 힘이 사라진다(닫힌 곡면에 걸린 균일 압력의 합력은 0). 중력과 마찰을 무시하면 베르누이에 의해 분류의 속력도 변하지 않는다. 남는 것은 운동량 유속의 방향 변화뿐이다. 속도 $V$, 단면적 $A$인 분류가 수직 평판에 부딪혀 옆으로 퍼지면 x 방향 운동량이 모두 사라지므로

$$F = \dot m V = \rho A V^2 = \rho Q V \qquad (\text{평판이 } U\text{로 물러나면 } F = \rho A (V-U)^2)$$

지름 5.0, 속도 20인 물 분류(ρ = 1000 kg/m³)의 질량 유량은 이고, 정지한 수직 평판에 의 힘을 준다. 평판이 0로 물러나면 힘은 , 평판이 받는 동력 $FU$는 .

평판이 분류에 대해 각 $\theta$로 기울어 있으면 분류는 두 갈래로 나뉜다. 마찰이 없으면 평판 방향의 힘이 없으므로 평판 방향 운동량이 보존되고, 이 조건이 두 갈래의 유량을 정한다: $Q_1 = \tfrac{Q}{2}(1+\cos\theta)$, $Q_2 = \tfrac{Q}{2}(1-\cos\theta)$. 평판에 수직인 힘은 $F_n = \rho QV\sin\theta$이다.

평판 끝 흰 원을 끌어 기울인다

평판 각 θ

MINI LABV = 20 m/s, 지름 5 cm 분류. 각을 줄이면 대부분의 물이 위쪽 갈래로 미끄러지고 수직 힘 $\rho QV\sin\theta$가 작아진다. θ = 90°에서 두 갈래가 같아지고 힘이 최대 $\rho QV$가 된다.

곡면 날개: 고정과 이동

곡면 날개(vane)가 분류를 각 $\theta$만큼 꺾으면, 들어오는 운동량 유속은 $\dot mV\hat\imath$, 나가는 것은 $\dot mV(\cos\theta\,\hat\imath + \sin\theta\,\hat\jmath)$이다. 날개가 유체에 주는 힘은 둘의 차이고, 유체가 날개에 주는 힘 $\vec F$는 그 반대다.

$$F_x = \dot m V(1-\cos\theta), \qquad F_y = -\dot m V\sin\theta, \qquad |\vec F| = 2\dot mV\sin\frac{\theta}{2}$$

유체가 날개에 주는 힘. θ = 180°(분류를 되돌림)이면 $F_x = 2\dot mV$로 수직 평판의 2배다. $\vec F$의 끝은 θ에 따라 중심 $(\dot mV, 0)$, 반지름 $\dot mV$인 원을 그린다.

날개가 분류 방향으로 일정한 속도 $U$로 움직이면, 날개와 함께 움직이는 CV(관성계)를 잡는다. 이 CV에서 본 상대 속도는 $V - U$이고, 날개에 실제로 닿는 질량 유량도 $\dot m_r = \rho A(V-U)$이다(분류가 날개를 쫓아가며 길어지므로). 따라서 $F_x = \rho A(V-U)^2(1-\cos\theta)$이다. 출구의 절대 속도는 상대 속도 벡터에 $U$를 더한 것이다.

날개가 분류 방향으로 $U = V/2$로 움직인다. 날개가 받는 힘은 정지해 있을 때의 몇 배일까?

상대 속도가 절반이 되고, 날개에 닿는 질량 유량도 절반이 되므로 $(1/2)^2 = 1/4$배다. 아래 시뮬레이터에서 ‘움직이는 날개’로 바꾸고 U를 V/2로 맞춰 확인하라.

SIMULATOR

날개 시뮬레이터: 목표 힘을 맞혀라

날개 끝 흰 원을 끌어 θ를 바꾼다

분류 속도 V 노즐 지름 d 꺾임각 θ

날개

날개 속도 U

날개에 닿는 ṁ—

F_x—

F_y—

동력 F_xU—

목표—

물 ρ = 1000 kg/m³, 마찰·중력 무시. 오른쪽 그림은 유체가 날개에 주는 힘 $\vec F$이고, 점선 원은 현재 V·U에서 θ만 바꿔 얻을 수 있는 모든 힘이다. 해볼 것: ① θ = 90°와 180°에서 $F_x$를 비교하라(1:2). ② 움직이는 날개에서 θ = 180°, U = V/2로 두면 출구 절대 속도(초록 화살표)가 0이 된다 — 분류의 운동 에너지를 모두 뽑아낸 것이다. ③ ‘새 목표’를 누르고 V, θ(, U)를 바꿔 힘 벡터 끝을 과녁(±4%)에 넣어라. 먼저 목표 힘의 방향에서 θ를, 크기에서 V를 계산해 보라.

하나의 날개가 아니라 펠턴 수차처럼 버킷이 줄지어 분류를 받으면, 언제나 어떤 버킷이 분류 전체를 받으므로 질량 유량은 $\rho AV$(노즐 유량 전체)이다. 그러면 동력은 $P = \rho QU(V-U)(1-\cos\theta)$이고 $U = V/2$에서 최대가 된다. θ = 180°이면 분류의 운동 에너지 $\tfrac12\rho QV^2$를 이론상 100% 뽑아낸다. 실제 버킷은 물이 다음 버킷에 부딪히지 않도록 θ ≈ 165°로 만든다.

지름 5.00 cm, 속도 20.0 m/s인 물 분류(ρ = 1000 kg/m³)가 수평면에서 고정 날개에 부딪혀 120° 꺾인다. 마찰을 무시할 때 날개를 붙잡는 데 필요한 힘의 성분과 크기는?

풀이 보기

전략 날개와 그 위의 물을 감싸는 CV를 잡는다. 자유 분류이므로 계기압 0, 속력은 그대로 20.0 m/s. 지지력 $\vec R$이 CV에 작용하는 유일한 외력이다.

풀이 $\dot m = \rho AV = 1000(\pi/4)(0.05)^2(20.0) = 39.3$ kg/s.
x: $R_x = \dot m(V\cos120^\circ - V) = 39.3(20.0)(-1.5) = -1178$ N.
y: $R_y = \dot m(V\sin120^\circ - 0) = 39.3(20.0)(0.866) = 680$ N.
$|\vec R| = 1360$ N.

지지력 R = (−1.18 kN, +0.680 kN), 크기 1.36 kN — 유체가 날개를 (+1.18, −0.680) kN으로 민다

검토 $|\vec F| = 2\dot mV\sin60^\circ = 2(785.4)(0.866) = 1360$ N로 일치한다. 힘의 방향은 들어오는 속도와 나가는 속도의 차 방향(꺾인 각의 이등분선에 수직)이다.

앞 예제의 날개가 분류 방향으로 8.00 m/s로 움직인다. (a) 날개가 받는 힘의 x 성분과 날개가 받는 동력, (b) 출구 절대 속도, (c) 같은 분류와 버킷 속도로 버킷이 줄지어 있는 수차(같은 θ)가 받는 동력을 구하라.

풀이 보기

전략 날개와 함께 등속으로 움직이는 CV는 관성계다. 그 CV에서 상대 속도 $V_r = V - U$인 정상 유동으로 본다.

풀이 (a) $V_r = 12.0$ m/s, $\dot m_r = 1000(1.963\times10^{-3})(12.0) = 23.6$ kg/s. $F_x = \dot m_rV_r(1-\cos120^\circ) = 23.6(12.0)(1.5) = 424$ N, $P = F_xU = 424(8.00) = 3.39$ kW.
(b) 출구 상대 속도 $12.0(\cos120^\circ, \sin120^\circ) = (-6.00, 10.4)$ m/s에 $U\hat\imath$를 더하면 $(2.00, 10.4)$ m/s, 크기 10.6 m/s.
(c) 수차는 노즐 유량 전체를 받으므로 $\dot m = 39.3$ kg/s: $P = \dot m\,U\,V_r(1-\cos\theta) = 39.3(8.00)(12.0)(1.5) = 5.65$ kW.

(a) 424 N, 3.39 kW (b) 10.6 m/s (c) 5.65 kW

검토 분류의 운동 에너지 유량은 $\tfrac12(39.3)(20.0)^2 = 7.85$ kW이므로 (c)의 효율은 72%다. U = 10 m/s, θ = 180°로 바꾸면 100%가 된다.

엘보·노즐·추력

관 속 유동에서는 압력이 대기압보다 훨씬 클 수 있어 압력 힘이 운동량 변화만큼, 혹은 그보다 크게 중요하다. 검사 체적을 엘보(또는 노즐)와 그 안의 물 전체로 잡고, 입구 ①과 출구 ②에서 관을 자른다. 대기압은 CV 전체를 감싸므로 상쇄되어, 단면 압력은 계기압으로 쓰면 된다.

힘을 알고 싶은 볼트를 자르도록 CV를 잡는다. 출구는 분류가 대기로 나가는 단면.
운동량 유속: 입구로 $\dot mV_1$이 들어오고 출구로 더 큰 $\dot mV_2$가 나간다.
압력 힘: 입구 단면에서 계기압 $p_1$이 CV를 안쪽으로 민다. 출구는 대기압이라 0.
볼트 힘 $R_x$를 미지수로 두고 x 방향 운동량 방정식을 푼다. 음수이면 실제 방향은 가정과 반대.

노즐 볼트 힘을 구하는 순서. 압력은 언제나 검사 표면을 안쪽으로 미는 방향이다.

일반적으로 입구 ①(방향 $\hat e_1$)과 출구 ②(방향 $\hat e_2$)를 가진 엘보에서 지지대가 CV에 주는 힘 $\vec R$는

$$\vec R = \underbrace{\dot m\left(\beta_2V_2\hat e_2 - \beta_1V_1\hat e_1\right)}_{\text{운동량 기여}} \;\underbrace{-\;p_{1}A_1\hat e_1 + p_{2}A_2\hat e_2}_{\text{압력 기여(계기압)}} \;-\; \vec W$$

$\vec W$: 엘보와 물의 무게(수평면 엘보이면 지면 수직이라 따로 다룸). 유체가 엘보에 주는 힘은 $-\vec R$(무게 제외)이다. $p_2$는 보통 베르누이(손실 무시) 또는 에너지 방정식(손실 포함)으로 구한다.

90° 엘보 안의 물이 흐르지 않고 압력만 200 kPa(계기압) 걸려 있다. 엘보를 붙잡는 볼트에 힘이 걸릴까?

유량이 0이어도 압력 기여 $-p_1A_1\hat e_1 + p_2A_2\hat e_2$는 남는다. 아래에서 유량을 최소로 낮춰도 주황 화살표(압력 기여)가 대부분을 차지하는 것을 보라. 고압 관로에서 엘보의 앵커 블록이 필요한 이유다.

SIMULATOR

엘보와 축소 노즐을 붙잡는 힘

출구 끝 흰 원을 끌어 꺾임각을 바꾼다

형태

유량 Q 입구 지름 D₁ 출구 지름 D₂ 입구 계기압 p₁ 꺾임각 θ

V₁ / V₂—

p₁ / p₂ (계기)—

R_x—

R_y—

|R|—

수평면 엘보(위에서 본 그림), 물 ρ = 1000 kg/m³, β = 1, 손실 무시($p_2$는 베르누이로 계산). 오른쪽 그림은 지지대가 엘보에 주는 힘 $\vec R$을 압력 기여와 운동량 기여로 나눠 머리–꼬리로 이은 것이다. 해볼 것: ① 기본값(예제 5.5)에서 압력 기여가 운동량 기여보다 훨씬 큼을 확인하라. ② θ를 0°→180°로 끌면 $|\vec R|$이 어떻게 커지는가? (U자관은 두 기여가 모두 같은 방향으로 더해진다.) ③ ‘노즐’로 바꾸면 $p_2 = 0$이 되고 $p_1$은 베르누이로 정해진다. $R_x < 0$: 볼트는 노즐이 앞으로 날아가지 않게 붙잡는다.

수평면에 놓인 90° 축소 엘보로 물(ρ = 1000 kg/m³)이 0.250 m³/s 흐른다. 입구 지름 30.0 cm, 계기압 200 kPa이고, 출구 지름 15.0 cm에서 흐름은 입구에 수직인 방향(+y)으로 나간다. 손실과 β의 영향을 무시하고 엘보를 고정하는 데 필요한 수평 힘을 구하라.

풀이 보기

전략 연속 방정식 → 속도, 베르누이 → $p_2$, 운동량 방정식 두 성분 → $R_x, R_y$. 입구 흐름은 +x.

풀이 $V_1 = 0.250/(\pi(0.15)^2) = 3.54$ m/s, $V_2 = 14.1$ m/s, $\dot m = 250$ kg/s.
$p_2 = p_1 + \tfrac12\rho(V_1^2 - V_2^2) = 200 - 93.8 = 106$ kPa.
$p_1A_1 = 200{,}000(0.0707) = 14.1$ kN, $p_2A_2 = 106{,}200(0.01767) = 1.88$ kN.
x: $R_x = \dot m(0 - V_1) - p_1A_1 = -884 - 14{,}137 = -15.0$ kN.
y: $R_y = \dot m(V_2 - 0) + p_2A_2 = 3537 + 1876 = 5.41$ kN.

R = (−15.0 kN, +5.41 kN), 크기 16.0 kN (+x에서 160°)

검토 x 성분은 압력 기여(14.1 kN)가 운동량 기여(0.88 kN)의 16배다. 관로 설계에서 엘보 앵커를 압력 힘 위주로 계산하는 이유다. 유체가 엘보를 미는 힘은 (+15.0, −5.41) kN — 바깥쪽 아래로 엘보를 밀어낸다.

지름 8.00 cm 호스 끝에 출구 지름 2.50 cm 노즐이 플랜지 볼트로 붙어 있다. 물(ρ = 1000 kg/m³) 12.0 L/s가 대기로 분사될 때 플랜지 볼트에 걸리는 전체 힘은? 손실은 무시한다.

풀이 보기

전략 위 단계별 그림의 CV. 출구는 자유 분류(계기압 0), $p_1$은 베르누이로 구한다.

풀이 $V_1 = 0.012/(5.027\times10^{-3}) = 2.39$ m/s, $V_2 = 0.012/(4.909\times10^{-4}) = 24.4$ m/s.
$p_1 = \tfrac12\rho(V_2^2 - V_1^2) = 296$ kPa(계기), $p_1A_1 = 1488$ N.
$R_x = \dot m(V_2 - V_1) - p_1A_1 = 12.0(22.06) - 1488 = 265 - 1488 = -1223$ N.

R_x = −1.22 kN: 볼트가 노즐을 상류 쪽으로 1.22 kN 당긴다(볼트는 인장)

검토 흔히 "분류가 뒤로 미니까 노즐이 뒤로 밀린다"고 생각하지만, 노즐 자체는 유체에 의해 앞으로 끌려간다. 뒤로 밀리는 반동은 호스 전체(굽은 곳과 사람의 손)에 걸린다.

로켓과 제트 엔진의 추력

추진 기관의 추력(thrust)도 운동량 방정식으로 구한다. 엔진에 붙어 함께 움직이는 CV를 잡으면(정상 비행이면 관성계), 엔진을 붙잡는 힘이 곧 추력이다. 출구 압력 $p_e$가 주위 압력 $p_a$와 다르면 압력 항이 남는다.

$$F_T = \dot m_e V_e - \dot m_i V_i + (p_e - p_a)A_e$$

$V_e, V_i$: 엔진에 대한 출구·입구 상대 속도. 로켓은 공기를 빨아들이지 않으므로 $\dot m_i = 0$. 제트 엔진은 $V_i$ = 비행 속도, $\dot m_e = \dot m_\text{air} + \dot m_\text{fuel}$.

추진 기관의 검사 체적. CV는 엔진과 함께 움직이며, 속도는 모두 엔진에 대한 상대 속도다.

터보제트가 250로 날며 공기 50를 빨아들이고, 연료를 공기 질량의 2.0만큼 태워 엔진에 대해 600로 배출한다($p_e = p_a$). 추력은 , 추진 동력 $F_TV$는 이다.

고도 z 추진제 유량 ṁ

MINI LAB배기 속도 2500 m/s, 출구 압력 40 kPa, 출구 면적 1.0 m²로 고정된 로켓. 고도가 오르면 대기압 $p_a$(표준 대기)가 줄어 압력 추력 $(p_e - p_a)A_e$가 음수에서 양수로 바뀐다. 해수면에서는 배기가 과팽창($p_e < p_a$)해 배기 기둥이 오므라들고, 높은 곳에서는 부족 팽창으로 퍼진다.

250 m/s로 수평 비행하는 터보제트가 공기를 50.0 kg/s 흡입하고 연료를 1.00 kg/s 태운다. 배기는 엔진에 대해 600 m/s로 대기압에서 나간다. 추력과 추진 동력을 구하라.

풀이 보기

전략 엔진과 함께 움직이는 CV. 공기는 엔진에 대해 250 m/s로 들어온다. 출구 압력이 대기압이므로 압력 항은 없다.

풀이 $F_T = \dot m_eV_e - \dot m_aV_i = (51.0)(600) - (50.0)(250) = 30{,}600 - 12{,}500 = 18{,}100$ N. 추진 동력 $F_TV = 18{,}100(250) = 4.53$ MW.

F_T = 18.1 kN, 추진 동력 4.53 MW

검토 흡입 공기의 운동량(램 항력 12.5 kN)이 배기 운동량의 40%를 깎아 먹는다. 비행 속도가 배기 속도에 가까워지면 추력이 0에 다가가므로, 고속기일수록 배기 속도가 커야 한다.

각운동량 방정식

펌프 임펠러, 터빈, 스프링클러처럼 회전하는 장치에서는 힘보다 토크가 중요하다. RTT에 $B = \vec r\times m\vec V$($b = \vec r\times\vec V$)를 넣고 계의 각운동량 변화율 = 알짜 토크를 쓰면

$$\sum\vec M = \frac{d}{dt}\int_\text{CV}(\vec r\times\vec V)\rho\,dV + \int_\text{CS}(\vec r\times\vec V)\rho(\vec V_r\cdot\vec n)\,dA \;\overset{\text{정상}}{=}\; \sum_\text{out}\vec r\times\dot m\vec V - \sum_\text{in}\vec r\times\dot m\vec V$$

$\vec r$: 기준점(보통 회전축)에서 유입·유출 단면 중심까지의 위치 벡터. 축 방향 성분만 보면 $\vec r\times\vec V$의 크기는 $rV_t$($V_t$: 원주 방향 절대 속도)다. 12장 오일러 터보 기계 방정식의 출발점이다.

스프링클러

팔 길이 $R$인 두 팔 스프링클러에 총 유량 $Q$가 축 방향으로 들어와, 각 노즐(면적 $A$)에서 팔에 대한 상대 속도 $V_r = Q/(2A)$로 나간다. 노즐은 원주 방향에서 $\theta$만큼 바깥으로 틀어져 있고, 팔이 각속도 $\omega$로 돈다. 축에서 들어오는 물은 각운동량이 없다. 나가는 물의 원주 방향 절대 속도는 $V_r\cos\theta - \omega R$(회전 반대 방향)이므로, 유체가 회전자에 주는 구동 토크는

$$T = \dot m R\,(V_r\cos\theta - \omega R), \qquad \omega_\text{max} = \frac{V_r\cos\theta}{R}, \qquad \omega = \frac{1}{R}\left(V_r\cos\theta - \frac{T_f}{\dot m R}\right)$$

$\dot m = \rho Q$. 정지 시($\omega = 0$) 토크가 최대 $\dot mRV_r\cos\theta$. 마찰 토크 $T_f$가 있으면 $T = T_f$에서 회전이 일정해진다. 노즐이 반지름 방향(θ = 90°)이면 토크가 0이다.

팔 반지름 25, 노즐 지름 6.0인 두 팔 스프링클러에 물이 총 0.50 흐르면 노즐 상대 속도는 , 붙잡아 둘 때의 토크는 , 마찰이 없을 때 최대 회전수는 이다(노즐은 원주 방향, θ = 0).

마찰이 전혀 없는 스프링클러는 계속 빨라질까?

$\omega R = V_r\cos\theta$가 되면 물이 각운동량을 가져가지 않으므로 토크가 0이다. 그때 물방울은 땅에서 보면 반지름 방향(또는 θ = 0이면 정지 상태로 떨어짐)으로만 나간다. 아래에서 마찰 토크를 0으로 두고 물방울의 궤적을 보라.

SIMULATOR

회전 스프링클러: 목표 회전수를 맞혀라

왼쪽 위 상자의 흰 원을 끌어 노즐 각을 바꾼다

총 유량 Q 팔 반지름 R 노즐 각 θ (원주 방향에서) 마찰 토크 T_f

V_r—

구동 토크—

회전수—

정상 회전수(이론)—

목표—

노즐 지름 8 mm 두 개, 물 ρ = 1000 kg/m³, 회전자 관성 모멘트 0.006 kg·m². 화면은 1/10 슬로 모션이고, 물방울은 땅에서 본 절대 속도로 직진한다. 해볼 것: ① 마찰을 0으로 두면 회전수가 $V_r\cos\theta/R$에 다가가고 물방울이 거의 반지름 방향으로 나감을 확인하라. ② θ를 키우면 구동 토크와 회전수가 $\cos\theta$로 준다. 마찰이 크면 어느 각에서 아예 멈추는가? ③ ‘새 목표 rpm’을 누르고 Q·R·θ를 조절해 회전수를 ±3% 안에 3 s 유지하라. 오른쪽 그래프의 점선(이론 정상 회전수)을 목표선에 맞추면 된다.

두 팔 스프링클러의 팔 반지름이 25.0 cm, 노즐 지름이 6.00 mm이고, 물(ρ = 1000 kg/m³)이 총 0.500 L/s 흐른다. 노즐은 원주 방향을 향한다(θ = 0). (a) 회전하지 못하게 붙잡는 데 필요한 토크, (b) 마찰이 없을 때 회전수, (c) 마찰 토크가 0.500 N·m일 때 회전수를 구하라.

풀이 보기

전략 회전자를 감싸는 CV(축 방향 유입은 각운동량 0)에 각운동량 방정식. 회전 중에는 출구 절대 원주 속도 $V_r - \omega R$를 쓴다.

풀이 $A = (\pi/4)(0.006)^2 = 2.827\times10^{-5}$ m², $V_r = 0.0005/(2A) = 8.84$ m/s, $\dot m = 0.500$ kg/s.
(a) $T_0 = \dot mRV_r = 0.500(0.250)(8.84) = 1.11$ N·m.
(b) $\omega = V_r/R = 35.4$ rad/s = 338 rpm.
(c) $\omega = (8.84 - 0.500/(0.500\times0.250))/0.250 = (8.84 - 4.00)/0.250 = 19.4$ rad/s = 185 rpm.

(a) 1.11 N·m (b) 338 rpm (c) 185 rpm

검토 토크는 $\omega$에 대해 선형으로 줄어 $\omega_\text{max}$에서 0이 된다. 마찰 0.5 N·m는 정지 토크의 45%이므로 회전수도 약 45% 줄었다(338 → 185 rpm).

에너지 방정식

RTT에 $B = E$, $b = e = u + V^2/2 + gz$를 넣고 열역학 제1법칙 $dE_\text{sys}/dt = \dot Q_\text{in} + \dot W_\text{in}$을 쓴다. 일은 회전축을 통한 축일(shaft work)과, 유체가 경계를 밀고 들어오며 하는 유동일 $p/\rho$로 나뉜다. 유동일을 유속 항에 합치면 엔탈피 꼴이 된다.

$$\dot Q_\text{in} + \dot W_\text{shaft,in} = \frac{d}{dt}\int_\text{CV}e\,\rho\,dV + \int_\text{CS}\left(\frac{p}{\rho} + u + \frac{V^2}{2} + gz\right)\rho(\vec V_r\cdot\vec n)\,dA$$

입구 하나·출구 하나인 검사 체적. 펌프는 축으로 일을 받아(Ẇ_shaft,in > 0) 유체의 $p/\rho + V^2/2 + gz$를 높인다.

정상 유동, 입구 하나·출구 하나이고 단면에서 $p/\rho + gz$가 균일하면(곧은 관 단면은 정수압 분포), 운동 에너지 항만 속도 분포의 영향을 받는다. $\int\rho u^3dA/2 = \alpha\,\dot mV^2/2$로 쓰고 $\dot mg$로 나누면 수두(head, 길이 단위) 형태가 된다.

$$\frac{p_1}{\rho g} + \alpha_1\frac{V_1^2}{2g} + z_1 + h_\text{pump,u} = \frac{p_2}{\rho g} + \alpha_2\frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_\text{turbine,e} + h_L$$

$\alpha = \dfrac{1}{AV^3}\int_A u^3dA$: 운동 에너지 보정 계수(kinetic energy correction factor) — 층류 2, 난류 1.04–1.11(보통 1.05 또는 1). $h_\text{pump,u} = \dot W_\text{pump,u}/\dot mg$: 펌프가 유체에 준 유효 수두, $h_\text{turbine,e}$: 터빈이 뽑아낸 수두, $h_L = (u_2 - u_1 - q_\text{in})/g$: 마찰로 열이 된 수두 손실(head loss).

펌프·터빈이 없고 손실도 없으며 α = 1이면 베르누이 식(3장)으로 돌아간다. 에너지 방정식은 베르누이에 기계 장치와 손실을 더한 것이다. 수두 손실은 늘 양수이고, 관 마찰($h_L = f\tfrac{L}{D}\tfrac{V^2}{2g}$)과 부차 손실($K\tfrac{V^2}{2g}$)로 계산한다(8장).

위치 수두 $z$: 기준면에서 관 중심까지. 저수지 A, B의 수면 높이가 $z_A, z_B$.
수력 구배선(HGL) = $p/\rho g + z$. 관 위에 피에조미터를 세우면 물이 올라오는 높이다.
에너지선(EGL) = HGL + $V^2/2g$. 관 지름이 같으면 두 선은 평행하다.
펌프에서 EGL이 $h_\text{pump}$만큼 뛰고, 마찰로 일정한 기울기로 내려가며, 입구·출구에서 부차 손실만큼 떨어진다.

펌프가 있는 관로의 수두 막대와 에너지선. 에너지선은 펌프가 아닌 곳에서 결코 올라가지 않는다.

저수지 B의 수면이 A보다 5 m 낮다. A에서 B로 보내는 유량을 크게 늘리면 관로 중간의 기계는?

필요한 기계 수두는 $h_m = (z_B - z_A) + h_L$이고, $h_L \propto Q^2$이다. 손실이 수면 차 5 m보다 커지는 순간 $h_m > 0$ — 터빈이 펌프로 바뀐다. 아래에서 B 수면을 A보다 낮게 끌어 놓고 유량을 올려 보라.

SIMULATOR

펌프·터빈이 있는 관로의 수두 막대

오른쪽 저수지 수면의 흰 원을 끌어 높이를 바꾼다

유량 Q

관 지름 D

기계 효율 η B 수면 z_B 수두 막대 보기

V, Re—

f—

h_L (전체)—

기계 수두—

동력—

물 20 °C(ρ = 998 kg/m³), 상용 강관(ε = 0.045 mm), 관 길이 A→기계 100 m, 기계→B 200 m, 입구 K = 0.5, 출구 K = 1. 막대는 각 지점의 z + p/ρg + V²/2g. 해볼 것: ① 기계 수두 $h_m = (z_B - z_A) + h_L$를 읽음값으로 확인하라. ② 관 지름을 15 → 10 cm로 줄이면 손실이 약 $(1.5)^5 \approx 7.6$배가 된다 — 펌프 동력은? ③ B 수면을 A(25 m)보다 낮게 내리면 기계가 터빈이 되어 동력을 낸다. 유량을 늘려 터빈 출력이 최대가 되는 Q를 찾아보라.

펌프·터빈 수두와 효율

펌프는 축으로 받은 동력의 일부만 유체에 준다. 나머지는 펌프 내부의 마찰·누설·난류로 사라진다. 터빈은 유체가 잃은 수두의 일부만 축 동력으로 낸다. 전동기·발전기 효율을 곱하면 전체 효율이 된다.

$$\eta_\text{pump} = \frac{\rho gQ\,h_\text{pump,u}}{\dot W_\text{shaft}}, \qquad \eta_\text{turbine} = \frac{\dot W_\text{shaft}}{\rho gQ\,h_\text{turbine,e}}, \qquad \eta_\text{전체} = \eta_\text{motor}\,\eta_\text{pump} \;\text{또는}\; \eta_\text{turbine}\,\eta_\text{gen}$$

물(ρ = 1000 kg/m³) 50를 높이 30 위 저수지로 올린다. 관로 수두 손실이 5.0이면 펌프 수두는 , 유체에 주는 동력은 이다. 펌프 효율이 75이면 축 동력 이 필요하다.

기계

η_전기 (전동기/발전기) η_기계 (펌프/터빈)

MINI LAB유체 동력 $\rho gQh$ = 20 kW 기준의 에너지 흐름. 펌프는 유체 동력보다 많은 전력을 먹고, 터빈은 유체 동력보다 적은 전력을 낸다. 회색 띠가 각 단계의 손실(결국 열)이다.

아래 저수지의 물(ρ = 1000 kg/m³)을 수면이 30.0 m 더 높은 위 저수지로 0.0500 m³/s 퍼 올린다. 관로 전체의 수두 손실이 5.00 m이고 펌프 효율이 75.0%일 때 펌프 수두와 필요한 축 동력을 구하라.

풀이 보기

전략 두 수면을 ①, ②로 잡는다. 수면에서 $p = p_\text{atm}$(계기압 0), $V \approx 0$이므로 에너지 방정식이 $z_1 + h_\text{pump,u} = z_2 + h_L$로 줄어든다.

풀이 $h_\text{pump,u} = (z_2 - z_1) + h_L = 30.0 + 5.00 = 35.0$ m.
$\dot W_\text{pump,u} = \rho gQh = 1000(9.81)(0.0500)(35.0) = 17.2$ kW.
$\dot W_\text{shaft} = 17.2/0.750 = 22.9$ kW.

h_pump = 35.0 m, 축 동력 22.9 kW

검토 손실이 없더라도 30 m를 올리는 데 14.7 kW(유체 동력)가 필요하다. 손실 5 m와 펌프 효율이 더해 1.56배가 되었다. 위 관로 시뮬레이터에서 같은 상황을 만들어 보라.

흔한 실수

① 펌프 수두를 수면 높이차로만 잡고 $h_L$을 빼먹는다. ② 축 동력과 유체 동력을 혼동한다(펌프는 나누기 η, 터빈은 곱하기 η). ③ 관 출구가 저수지로 들어갈 때, 출구 단면을 수면으로 잡으면 $V_2 = 0$이지만 출구 손실 $V^2/2g$를 $h_L$에 넣어야 한다. 출구 단면을 관 끝 분류로 잡으면 $V_2^2/2g$가 남고 출구 손실은 없다 — 둘 중 하나만 쓴다.

핵심 정리

레이놀즈 수송 정리: $dB_\text{sys}/dt = \frac{d}{dt}\int_\text{CV}\rho b\,dV + \int_\text{CS}\rho b(\vec V_r\cdot\vec n)dA$. 유속은 검사 표면에 대한 상대 속도로 센다.
질량 보존: $dm_\text{CV}/dt = \sum\dot m_\text{in} - \sum\dot m_\text{out}$, $\dot m = \rho VA$. 탱크 배수는 $A_T\,dh/dt = -C_dA_o\sqrt{2gh}$ → $t \propto \sqrt{h_0} - \sqrt h$.
선운동량: $\sum\vec F = \sum_\text{out}\beta\dot m\vec V - \sum_\text{in}\beta\dot m\vec V$(정상). $\sum\vec F$에는 계기 압력 힘, 무게, 지지력이 모두 들어가며 성분별로 푼다.
고정 날개: $F_x = \dot mV(1-\cos\theta)$, $F_y = -\dot mV\sin\theta$. 움직이는 날개는 상대 속도 $V-U$와 $\dot m_r = \rho A(V-U)$를 쓴다. 엘보·노즐에서는 압력 기여가 운동량 기여보다 클 때가 많다.
추력: $F_T = \dot m_eV_e - \dot m_iV_i + (p_e - p_a)A_e$.
각운동량: $\sum M = \sum_\text{out} r\dot mV_t - \sum_\text{in} r\dot mV_t$. 스프링클러 토크 $T = \dot mR(V_r\cos\theta - \omega R)$, 무마찰 회전 속도 $V_r\cos\theta/R$.
에너지(수두 형태): $\frac{p_1}{\rho g} + \alpha_1\frac{V_1^2}{2g} + z_1 + h_\text{pump,u} = \frac{p_2}{\rho g} + \alpha_2\frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_\text{turbine,e} + h_L$. 펌프 축 동력 $\rho gQh_p/\eta$, 터빈 출력 $\eta\rho gQh_t$.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.81$ m/s², 물 ρ = 1000 kg/m³, β = α = 1로 두고 마찰과 중력의 영향(분류)은 무시한다. 답이 ±1% 이내면 정답이다.

물(ρ = 998 kg/m³)이 지름 8.00 cm 관을 12.0 kg/s로 흐른다. 평균 속도는?

$V = \dot m/(\rho A) = 12.0/[998(\pi/4)(0.08)^2] = 12.0/5.016 = 2.39$ m/s.

제트 엔진이 정지 공기(ρ = 0.736 kg/m³, 고도 5 km) 속을 200 m/s로 난다. 흡입구 면적이 0.500 m²이고 흡입구 단면에서 공기가 엔진에 대해 비행 속도와 같은 속도로 들어간다고 할 때 흡입 질량 유량은?

엔진에 붙은 CV에서 상대 속도 $V_r = 200$ m/s: $\dot m = \rho AV_r = 0.736(0.500)(200) = 73.6$ kg/s.

지름 0.800 m 원통 탱크의 수위가 1.50 m이다. 바닥의 지름 2.00 cm 구멍(이상적, $C_d = 1$)으로 물이 빠질 때 수위가 0.500 m가 될 때까지 걸리는 시간은?

$t = \dfrac{A_T}{A_o}\sqrt{\dfrac{2}{g}}\left(\sqrt{h_0} - \sqrt{h}\right)$

$A_T/A_o = (0.8/0.02)^2 = 1600$. $t = 1600(0.4515)(\sqrt{1.5} - \sqrt{0.5}) = 1600(0.4515)(0.5176) = 374$ s.

탱크에 물이 2.00 L/s로 계속 들어오고, 바닥의 지름 3.00 cm 구멍($C_d = 1$)으로 빠져나간다. 수위가 더 변하지 않는 평형 수위는?

평형에서 $Q_\text{in} = A_o\sqrt{2gh}$. $V_o = 0.002/(7.069\times10^{-4}) = 2.83$ m/s → $h = V_o^2/2g = 0.408$ m. 탱크 단면적과 무관하다.

지름 3.00 cm, 속도 25.0 m/s인 물 분류가 정지한 수직 평판에 수직으로 부딪힌다. 평판을 붙잡는 힘은?

$F = \rho AV^2 = 1000(7.069\times10^{-4})(625) = 442$ N.

앞 문제의 평판이 분류 방향으로 10.0 m/s로 물러난다. 평판이 받는 힘과 평판이 받는 동력은?

평판과 함께 움직이는 CV: $V_r = 15.0$ m/s, $F = \rho A V_r^2 = 1000(7.069\times10^{-4})(225) = 159$ N. $P = FU = 1.59$ kW.

지름 4.00 cm, 속도 30.0 m/s인 물 분류를 고정 날개가 150° 꺾는다. 유체가 날개에 주는 힘의 x(분류 방향)·y 성분의 크기를 구하라.

$\dot m = 1000(1.257\times10^{-3})(30.0) = 37.7$ kg/s. $F_x = \dot mV(1-\cos150^\circ) = 37.7(30.0)(1.866) = 2110$ N, $F_y = \dot mV\sin150^\circ = 565$ N. 크기 $2\dot mV\sin75^\circ = 2185$ N.

지름 10.0 cm, 속도 60.0 m/s인 분류가 버킷 꺾임각 165°인 펠턴 수차를 돌린다. 이론 최대 동력과 그때의 버킷 속도는?

$P = \rho QU(V-U)(1-\cos\theta)$를 $U$로 미분한다.

$dP/dU = 0$ → $U = V/2 = 30.0$ m/s. $Q = (\pi/4)(0.1)^2(60) = 0.4712$ m³/s. $P = 1000(0.4712)(30)(30)(1 - \cos165^\circ) = 1000(0.4712)(900)(1.966) = 834$ kW. 분류 운동 에너지 848 kW의 98%다.

지름 10.0 cm 관 끝에 출구 지름 4.00 cm 노즐이 볼트로 붙어 물 20.0 L/s를 대기로 분사한다. 손실을 무시할 때 볼트에 걸리는 전체 인장력은?

$V_1 = 2.55$ m/s, $V_2 = 15.9$ m/s, $p_1 = \tfrac12\rho(V_2^2 - V_1^2) = 123$ kPa. $R_x = \dot m(V_2 - V_1) - p_1A_1 = 20.0(13.37) - 123{,}400(7.854\times10^{-3}) = 267 - 969 = -702$ N → 볼트 인장력 702 N.

수평면에 놓인 지름 10.0 cm의 180° 되돌림 굽힘관(U자관)에 물이 5.00 m/s로 흐르고, 입구·출구 계기압이 모두 150 kPa이다(손실 무시). 굽힘관을 고정하는 데 필요한 수평 힘의 크기는?

입구 +x, 출구 −x. 압력 기여와 운동량 기여가 모두 같은 방향(−x)이다.

$\dot m = 1000(7.854\times10^{-3})(5.00) = 39.3$ kg/s. $R_x = \dot m(-V - V) - pA - pA = -2(\dot mV + pA) = -2(196 + 1178) = -2749$ N. 크기 2.75 kN.

로켓 엔진이 추진제를 180 kg/s로 태워 엔진에 대해 2800 m/s로 배출한다. 노즐 출구 면적 0.800 m², 출구 압력 80.0 kPa이고 주위 대기압이 30.0 kPa일 때 추력은?

$F_T = \dot mV_e + (p_e - p_a)A_e = 180(2800) + (50{,}000)(0.800) = 504{,}000 + 40{,}000 = 544$ kN.

두 팔 스프링클러의 팔 반지름 30.0 cm, 노즐 지름 5.00 mm, 노즐은 원주 방향에서 20.0° 바깥으로 틀어져 있다. 총 유량 0.800 L/s일 때 (a) 붙잡아 두는 토크, (b) 마찰이 없을 때 회전수는?

$V_r = 0.0008/(2\times1.963\times10^{-5}) = 20.4$ m/s, $\dot m = 0.800$ kg/s. (a) $T_0 = \dot mRV_r\cos20^\circ = 0.800(0.300)(20.37)(0.9397) = 4.59$ N·m. (b) $\omega = V_r\cos20^\circ/R = 63.8$ rad/s = 609 rpm.

댐의 상류 수면과 방수로 수면의 높이 차가 80.0 m이고, 물 20.0 m³/s가 터빈을 지난다. 관로 수두 손실이 5.00 m, 터빈–발전기 전체 효율이 90.0%일 때 전기 출력은?

$h_\text{turbine,e} = 80.0 - 5.00 = 75.0$ m. $P = \eta\rho gQh = 0.900(1000)(9.81)(20.0)(75.0) = 13.2$ MW.

기름(ρ = 880 kg/m³)이 수평관에서 완전 발달 층류(α = 2)로 평균 속도 1.50 m/s로 흐르다가, 같은 높이의 노즐을 지나 균일한 분류(α = 1)로 6.00 m/s로 대기에 나간다. 손실을 무시할 때 관 단면 ①의 계기압은?

$\dfrac{p_1}{\rho g} + \alpha_1\dfrac{V_1^2}{2g} = \alpha_2\dfrac{V_2^2}{2g}$

$p_1 = \rho\left(\tfrac{\alpha_2V_2^2}{2} - \tfrac{\alpha_1V_1^2}{2}\right) = 880(18.0 - 2.25) = 13{,}860$ Pa = 13.9 kPa. α₁ = 1로 계산하면 14.9 kPa로 7% 크게 나온다.

펌프가 물 25.0 L/s를 보낸다. 입구(지름 10.0 cm) 계기압 −20.0 kPa, 출구(지름 6.00 cm, 입구보다 0.500 m 높음) 계기압 500 kPa이다. 펌프 축 동력이 18.0 kW일 때 펌프 효율은? (입·출구 사이 손실은 효율에 포함)

$V_1 = 3.18$ m/s, $V_2 = 8.84$ m/s. $h_\text{pump,u} = \dfrac{p_2 - p_1}{\rho g} + \dfrac{V_2^2 - V_1^2}{2g} + \Delta z = 53.0 + 3.47 + 0.500 = 57.0$ m. $\eta = \rho gQh/\dot W = 1000(9.81)(0.025)(57.0)/18{,}000 = 0.776$.

운동량 유속 보정 계수 β에 대해 옳은 것은?

$\beta = \overline{u^2}/V^2 \ge 1$(제곱 평균 ≥ 평균 제곱). 층류 원관에서 β = 4/3, α = 2이다.

엘보에 걸리는 힘을 구할 때 단면 압력을 계기압으로 써도 되는 이유는?

닫힌 곡면에 걸린 균일 압력의 합력은 0이다. 엘보 바깥면의 대기압과 단면의 대기압 부분이 서로 상쇄되므로 단면에는 $p - p_\text{atm}$만 남는다.

개념 확인 퀴즈

정상 유동인 검사 체적에 대해 반드시 성립하는 것은?

정상이면 $dm_\text{CV}/dt = 0$. 체적 유량은 밀도가 변하는 압축성 유동에서 같지 않을 수 있고, 알짜힘은 운동량 유속의 변화와 같다(0일 필요 없다).

고정 날개가 같은 분류를 90° 꺾을 때와 180° 꺾을 때, 분류 방향 힘 $F_x$의 비는?

$F_x = \dot mV(1-\cos\theta)$: 90°에서 $\dot mV$, 180°에서 $2\dot mV$. 되돌리면 운동량을 없앤 뒤 반대로 다시 주기 때문이다.

소방관이 호스 노즐을 잡고 있다. 노즐 자체(플랜지 볼트로 호스에 연결)에 유체가 주는 힘의 방향은?

노즐 입구의 큰 압력 힘 $p_1A_1$이 운동량 증가분보다 커서 유체는 노즐을 앞으로 끈다(볼트 인장). 뒤로 미는 반동은 호스의 굽은 부분과 손에 걸린다.

마찰이 없는 스프링클러가 최대 속도로 돌 때 옳은 것은?

$T = \dot mR(V_r\cos\theta - \omega R) = 0$일 때 가속이 멈춘다. 물은 여전히 $V_r$로 나가지만 땅에서 보면 원주 방향 성분이 0이다.

에너지 방정식에서 수두 손실 $h_L$이 나타내는 것은?

$h_L = (u_2 - u_1 - q_\text{in})/g$. 기계적 에너지(압력·운동·위치)가 마찰로 열이 된 몫이며 항상 양수다.