Chapter 11

압축성 유동 입문

지금까지는 밀도가 일정하다고 놓고 풀었다. 그런데 여객기는 음속의 85%로 날고, 로켓 노즐 출구의 가스는 음속의 서너 배로 뿜어져 나온다. 이렇게 빠르면 공기가 눈에 띄게 압축되고, 정보를 전하는 압력파의 속도인 음속이 유동을 지배하게 된다. 그 결과 비압축성 직관과 정반대인 일들이 생긴다. 좁아지는 관에서 오히려 느려지는 흐름이 있고, 아무리 당겨도 더 늘지 않는 유량이 있고, 두께가 1마이크로미터도 안 되는 면에서 압력이 몇 배로 뛰기도 한다. 아래 음원의 속도를 끌어 올려 음속을 넘겨 보면서 시작하자.

아래 막대의 손잡이를 좌우로 끌어 음원의 마하 수를 바꾼다

이상 기체의 엔탈피·엔트로피·등엔트로피 관계를 쓰고, 검사 체적으로 음속 $c = \sqrt{kRT}$를 유도한다.
마하 수로 유동 영역(비압축·아음속·천음속·초음속·극초음속)을 구분하고, 마하 원뿔과 마하 각 $\sin\mu = 1/\text{Ma}$을 설명한다.
정체 온도·압력·밀도를 마하 수로 나타내고 비행체 표면 온도와 압축성 피토관 문제를 푼다.
면적–속도 관계 $dA/A = (\text{Ma}^2-1)\,dV/V$로 노즐·디퓨저를 해석하고, 임계 상태와 $A/A^*$, 초크 질량 유량을 구한다.
수축–확대 노즐의 배압에 따른 작동 상태와 수직 충격파 관계식, 경사 충격파의 θ–β–M 관계, 프란틀–마이어 팽창을 계산한다.

이상 기체 열역학과 음속

유동이 느릴 때는 압력이 조금 변해도 밀도는 거의 그대로라서 $\rho$를 상수로 둘 수 있었다. 속도가 음속에 가까워지면 압력 변화가 커지고, 그에 따라 밀도와 온도도 함께 바뀐다. 이제는 운동량 방정식만으로 부족하고 에너지 방정식과 상태 방정식을 같이 풀어야 한다. 이런 유동을 압축성 유동(compressible flow)이라 한다. 이 장의 기체는 모두 비열이 일정한 이상 기체로 본다.

이상 기체 관계식 (비열 일정)

상태 방정식 $p = \rho R T$, 내부 에너지 $u = c_v T$, 엔탈피(enthalpy) $h = u + p/\rho = c_p T$. 비열 사이에는 $c_p - c_v = R$이고 비열비(specific heat ratio)는 $k = c_p/c_v$이다. 따라서 $c_p = kR/(k-1)$이고, 공기($R = 287$ J/(kg·K), $k = 1.4$)는 $c_p = 1004.5$ J/(kg·K)이다.

엔트로피(entropy) 변화는 깁스 관계식 $T\,ds = dh - dp/\rho$를 적분해 얻는다. 마찰도 열전달도 없는 과정, 곧 등엔트로피 과정(isentropic process)에서는 $ds = 0$이므로 세 상태량이 서로 거듭제곱 관계로 묶인다.

$$s_2 - s_1 = c_p\ln\frac{T_2}{T_1} - R\ln\frac{p_2}{p_1}, \qquad \frac{p}{\rho^k} = \text{일정}, \qquad \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(k-1)/k} = \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)^{k-1}$$

등엔트로피 관계는 노즐 속 유동처럼 빠르고(열전달할 시간이 없음) 벽 마찰의 영향이 작은 유동에서 아주 잘 맞는다. 충격파 안에서는 성립하지 않는다(11.6절).

기체	R [J/(kg·K)]	k	c_p [J/(kg·K)]	c at 20 °C [m/s]
공기	287.0	1.40	1004.5	343
헬륨	2077	1.667	5193	1007
수소	4124	1.405	14300	1305
이산화탄소	188.9	1.289	842	267
아르곤	208.1	1.667	520	319

음속: 약한 압력파의 전파 속도

음속(speed of sound)은 아주 약한 압력 교란이 정지한 매질 속을 퍼져 나가는 속도다. 관 속 피스톤을 살짝 밀면 바로 앞의 기체가 압축되고, 그 압축이 다음 층으로 계속 넘어간다. 파면을 따라 움직이는 검사 체적을 잡으면 음속을 바로 구할 수 있다.

피스톤이 dV로 밀리면 압축 파면이 정지 기체 속으로 속도 c로 나아간다. 파면 뒤의 기체는 dV로 따라 움직인다.
파면에 올라탄 관찰자에게는 기체가 오른쪽에서 c로 들어와 c − dV로 나간다. 이렇게 보면 정상 유동이다.
질량 보존: 들어오는 질량 유량과 나가는 질량 유량이 같다. 2차 미소량을 버리면 c dρ = ρ dV.
운동량 보존: 압력 차이가 운동량 변화를 만든다(마찰 없음). 두 식에서 dV를 소거하면 c² = dp/dρ.

음속의 유도. 파면은 아주 약하고 빠르게 지나가 열전달도 마찰도 없으므로 이 과정은 등엔트로피 과정이다.

$$c = \sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s} = \sqrt{kRT} \quad(\text{이상 기체}), \qquad c = \sqrt{\frac{E_v}{\rho}} \quad(\text{액체}\cdot\text{고체, } E_v\text{: 체적 탄성 계수})$$

이상 기체의 음속은 온도만의 함수다. 압력이나 밀도를 따로 바꿔도 온도가 같으면 음속은 같다. 물은 $E_v \approx 2.2$ GPa이므로 $c \approx 1480$ m/s다.

온도 20에서 음속은 공기 , 헬륨 , 수소 , 이산화탄소 이다.

뉴턴의 실수: 등온인가, 등엔트로피인가

뉴턴은 음파가 등온 과정이라고 보고 $c = \sqrt{p/\rho} = \sqrt{RT}$를 얻었다. 15 °C 공기라면 288 m/s로, 측정값 340 m/s보다 약 15% 작다. 라플라스는 압축과 팽창이 너무 빨라 열이 오갈 틈이 없다는 점을 지적했다. 그래서 과정은 단열이고, 마찰도 없으므로 등엔트로피다. $p \propto \rho^k$를 쓰면 $dp/d\rho = kp/\rho$가 되어 $\sqrt{k} = 1.18$배만큼 보정된다.

SIMULATOR

관 속 압력파: 피스톤을 밀어 음파를 보내라

왼쪽 피스톤 손잡이를 좌우로 끌어 본다

기체

온도 T 압력 교란 p′ 그래프

음속 c = √(kRT)—

관 3 m 통과 시간—

측정한 통과 시간—

ρc (피스톤 1 m/s당 Δp)—

화면은 1/400로 느리게 돌린다. 점은 기체 입자이고, 입자의 변위는 보기 쉽게 크게 키웠다. 해볼 것: ① 피스톤을 빠르게 밀었다 당기면 입자가 몰린 곳(압축)과 성긴 곳(팽창)이 같은 속도로 오른쪽으로 간다. 입자 하나하나는 제자리에서 앞뒤로 흔들리기만 한다. ② 기체를 He로 바꾸면 펄스가 약 3배 빨라진다. $R$이 크기 때문이다. ③ '경주' 버튼은 절대 온도가 2배인 관을 아래에 띄운다. 통과 시간이 $1/\sqrt2$로 줄어드는지 확인하라.

(a) 고도 약 10 km의 공기(−50 °C)와 (b) 20 °C 헬륨에서 음속을 구하라. 헬륨은 $R = 2077$ J/(kg·K), $k = 1.667$이다. 같은 온도에서 헬륨의 음속은 공기의 몇 배인가?

풀이 보기

전략 이상 기체이므로 $c = \sqrt{kRT}$에 절대 온도를 넣는다.

풀이 (a) $T = 223.15$ K, $c = \sqrt{1.4(287)(223.15)} = 299$ m/s. (b) $T = 293.15$ K, $c = \sqrt{1.667(2077)(293.15)} = 1007$ m/s. 20 °C 공기는 343 m/s이므로 비는 $1007/343 = 2.94$이다.

(a) 299 m/s (b) 1007 m/s, 공기의 약 2.94배

검토 분자량이 작을수록(R이 클수록) 음속이 빠르다. 헬륨을 마시면 목소리가 높아지는 것도 이 때문이다. 성도(목 안의 공명 공간)의 공명 주파수가 $c$에 비례하기 때문이다.

마하 수와 유동 영역, 마하 원뿔

유동 속도를 그 자리의 음속으로 나눈 값이 마하 수(Mach number)다. 7장에서 보았듯이 $\text{Ma}^2$은 관성력과 압축성 힘(탄성력)의 비이기도 하다. 압축성의 효과는 Ma 하나로 판가름 난다.

$$\text{Ma} = \frac{V}{c}, \qquad \frac{\rho_0}{\rho} = \left(1 + \frac{k-1}{2}\text{Ma}^2\right)^{1/(k-1)} \;\Rightarrow\; \frac{\Delta\rho}{\rho_0} \approx \frac{\text{Ma}^2}{2} \quad(\text{Ma} \ll 1)$$

정지 상태($\rho_0$)로부터 Ma까지 가속할 때의 밀도 변화(11.3절에서 유도한다). Ma = 0.3에서 약 4.4%다. 그래서 공학에서는 Ma < 0.3이면 비압축성으로 다룬다.

마하 수 Ma

MINI LAB정체 상태에서 Ma까지 가속할 때 밀도가 몇 % 줄어드는지 보여 준다. 점선은 저속 근사 $\text{Ma}^2/2$이다. 5% 기준선을 넘는 지점이 Ma ≈ 0.3이다. 시속 360 km(Ma ≈ 0.3)를 넘는 자동차·열차의 공력 해석에서 압축성을 고려하기 시작하는 이유다.

영역	마하 수	특징과 예
비압축성	Ma < 0.3	밀도 변화 5% 미만. 배관, 풍력 터빈, 대부분의 자동차
아음속(subsonic)	0.3 – 0.8	압축성 보정이 필요하다. 어디에도 충격파가 없다. 터보프롭 항공기
천음속(transonic)	0.8 – 1.2	날개 윗면 등 국소적으로 초음속 영역과 약한 충격파가 생긴다. 항력 급증. 여객기 순항(Ma 0.85)
초음속(supersonic)	1.2 – 5	정보가 상류로 거슬러 가지 못한다. 충격파와 팽창파. 전투기, 콩코드, 로켓 노즐
극초음속(hypersonic)	Ma > 5	충격층이 얇고 매우 뜨겁다. 해리·이온화가 일어난다. 재돌입 캡슐, 스크램제트

움직이는 음원과 마하 원뿔

음원이 일정한 간격으로 소리를 내며 움직인다고 하자. 각 파면은 그 소리를 낸 지점을 중심으로 $c$의 속도로 커진다. 음원이 음속보다 느리면 앞쪽 파면이 촘촘해질 뿐 음원 앞에도 소리가 먼저 간다(도플러 효과). Ma = 1이면 모든 파면이 음원 위치에 겹쳐 쌓인다. Ma > 1이면 음원이 자기 소리를 앞지르고, 파면들은 원뿔 하나를 감싸게 된다. 이것이 마하 원뿔(Mach cone)이다.

같은 시간 간격으로 낸 다섯 파면. 초음속이면 파면이 원뿔(주황) 안에만 있다. 원뿔 바깥은 아직 소리가 닿지 않은 '침묵 영역'이다.

시간 $t$ 동안 음원은 $Vt$만큼 가고, 그때 낸 파면의 반지름은 $ct$다. 원뿔의 반각, 곧 마하 각(Mach angle)은 직각삼각형에서 바로 나온다.

$$\sin\mu = \frac{ct}{Vt} = \frac{1}{\text{Ma}}$$

Ma = 1이면 μ = 90°(평면 파면), Ma가 커질수록 원뿔이 뾰족해진다. 원뿔면이 지나가는 순간 땅 위의 관찰자는 소닉 붐(sonic boom)을 듣는다.

SIMULATOR

슐리렌 사진 판독: 마하 각을 재서 탄환의 속도를 맞혀라

흰 원을 끌어 선을 원뿔면에 맞춘다

모드

자유 실험 Ma 개별 파면 보기

내가 잰 μ—

추정 Ma = 1/sin μ—

실제 Ma?

점수0 / 0

탄환과 함께 움직이는 기준틀에서 본 모습이다. 파면은 뒤로 흘러가며 커진다. 해볼 것: ① 도전 모드에서 선을 원뿔면에 겹치고 '판독 확인'을 누르라. 오차 5% 안이면 명중이다. ② Ma가 클수록 μ가 작아져서 각도 1°의 오차가 Ma 추정에 더 크게 번진다. Ma 3.5와 1.3에서 판독 난이도를 비교해 보라. ③ 자유 실험에서 Ma를 1 아래로 내리면 원뿔이 사라지고 파면이 탄환 앞으로 나간다.

음속이 299인 고도 10를 마하 2.00로 나는 비행기의 마하 각은 다. 비행기가 머리 위를 지나고 뒤에 소닉 붐이 들린다. 그 순간 비행기는 앞에 있다.

마하 2.0으로 고도 10.0 km를 수평 비행하는 전투기가 관찰자 바로 위를 지났다. 대기의 음속을 299 m/s로 균일하게 보면, 관찰자는 몇 초 뒤에 소닉 붐을 듣는가? 그때 전투기는 수평으로 얼마나 앞서 있는가?

풀이 보기

전략 원뿔면이 관찰자에게 닿을 때 비행기–관찰자 선은 수평과 μ를 이룬다. 따라서 $x = h/\tan\mu$, $t = x/V$.

풀이 $\mu = \sin^{-1}(1/2.0) = 30.0^\circ$, $V = 2.0 \times 299 = 598$ m/s. $x = 10.0\text{ km}/\tan30^\circ = 17.3$ km, $t = 17\,320/598 = 28.9$ s.

약 28.9 s 뒤, 비행기는 17.3 km 앞

검토 실제 대기는 고도가 낮을수록 따뜻해 음속이 커지므로 원뿔면이 휘어진다. 그래도 크기는 같은 정도다. 위 드래그 숫자 문단에서 고도와 Ma를 바꿔 보라.

정체 상태량

3장의 정체압은 흐름을 마찰 없이 멈추었을 때의 압력이었다. 압축성 유동에서도 같은 생각을 쓴다. 유동을 단열·등엔트로피적으로 정지시켰을 때 얻는 상태가 정체 상태(stagnation state)이고, 그 상태량을 아래첨자 0으로 쓴다. 일과 열전달이 없는 정상 유동의 에너지 방정식(5장)에서 위치 에너지를 무시하면 다음을 얻는다.

$$h_0 = h + \frac{V^2}{2} \;\Rightarrow\; T_0 = T + \frac{V^2}{2c_p}$$

$T_0$: 정체 온도(stagnation temperature), $V^2/2c_p$: 동적 온도. 단열 유동이면 마찰이나 충격파가 있어도 $T_0$는 유선을 따라 일정하다.

$V^2 = \text{Ma}^2 kRT$와 $c_p = kR/(k-1)$을 대입하면 온도비가 마하 수만의 함수가 된다. 정체 압력과 정체 밀도는 여기에 등엔트로피 관계를 적용해 얻는다.

$$\frac{T_0}{T} = 1 + \frac{k-1}{2}\text{Ma}^2, \qquad \frac{p_0}{p} = \left(1 + \frac{k-1}{2}\text{Ma}^2\right)^{k/(k-1)}, \qquad \frac{\rho_0}{\rho} = \left(1 + \frac{k-1}{2}\text{Ma}^2\right)^{1/(k-1)}$$

공기(k = 1.4)라면 $T_0/T = 1 + 0.2\text{Ma}^2$이고 지수는 각각 3.5와 2.5다. $p_0$는 등엔트로피 정지를 전제하므로 마찰이나 충격파가 있으면 줄어든다.

빠른 비행체의 표면 온도

비행체 코끝이나 날개 앞전의 정체점에서는 공기가 멈추면서 운동 에너지가 모두 엔탈피로 바뀐다. 표면 온도는 대략 $T_0$에 이른다. 경계층이 있는 표면은 회복 계수 $r \approx 0.85$–0.9만큼 조금 덜 뜨겁다. 여객기 속도에서는 수십 도에 그치지만 마하 3에서는 300 °C를 넘는다. SR-71의 동체를 티타늄으로 만든 까닭이다.

고도 11(대기 온도 , 음속 )에서 250로 날면 Ma = 이고, 정체점의 공기 온도는 까지 오른다( 상승).

여객기가 고도 11 km($T = 216.65$ K)에서 250 m/s로 순항한다. 마하 수, 기수 정체점의 온도, 그리고 정체 압력과 정압의 비 $p_0/p$를 구하라.

풀이 보기

전략 그 고도의 음속으로 Ma를 구한 뒤 $T_0 = T + V^2/2c_p$, $p_0/p = (T_0/T)^{3.5}$.

풀이 $c = \sqrt{1.4(287)(216.65)} = 295.0$ m/s → Ma = 0.847. $T_0 = 216.65 + 250^2/(2\times1004.5) = 216.65 + 31.1 = 247.8$ K. $p_0/p = (247.8/216.65)^{3.5} = 1.60$.

Ma = 0.847, T₀ = 248 K (−25 °C), p₀/p = 1.60

검토 바깥 공기가 −57 °C여도 기수는 −25 °C까지 데워진다. 비압축성 베르누이로 $p_0/p$를 구하면 $1 + 0.7\text{Ma}^2 = 1.50$이 되어 7% 작게 나온다.

압축성 피토관

아음속 피토관은 정체 압력 $p_0$와 정압 $p$를 잰다. 비압축성 베르누이 식 $p_0 - p = \tfrac12\rho V^2 = \tfrac12 kp\,\text{Ma}^2$은 Ma가 커질수록 오차가 커진다. 정확한 식 $p_0/p = (1+0.2\text{Ma}^2)^{3.5}$를 이항 전개하면 차이가 무엇인지 보인다.

$$\frac{p_0 - p}{\tfrac12\rho V^2} = 1 + \frac{\text{Ma}^2}{4} + \frac{2-k}{24}\text{Ma}^4 + \cdots$$

첫 항 1이 베르누이 식이고, 나머지 항이 압축성 보정이다. Ma = 0.3에서 보정은 약 2%다.

마하 수 Ma

MINI LAB같은 Ma에서 정확한 등엔트로피 $p_0/p$(실선)와 베르누이 근사(점선)를 비교한다. 피토관 압력에서 거꾸로 속도를 구할 때 베르누이를 쓰면 속도를 과대평가한다. 그 오차를 아래 읽음에서 확인하라.

아음속 풍동에서 피토관이 정체 압력 120 kPa, 정압 80.0 kPa를 가리킨다. 등엔트로피 관계로 마하 수를 구하고, 비압축성 베르누이로 구한 값과 비교하라.

풀이 보기

전략 $p_0/p = (1+0.2\text{Ma}^2)^{3.5}$를 Ma에 대해 푼다. 베르누이는 $p_0 - p = \tfrac12 kp\,\text{Ma}^2$.

풀이 $p_0/p = 1.50$ → $\text{Ma} = \sqrt{5[(1.50)^{1/3.5} - 1]} = 0.784$. 베르누이: $\text{Ma} = \sqrt{2(40.0)/(1.4\times80.0)} = 0.845$.

Ma = 0.784 (베르누이로는 0.845, 7.8% 과대)

검토 압축성 때문에 같은 속도에서 정체 압력이 더 크게 오른다. 그래서 압력 차이를 베르누이로 풀면 속도가 크게 나온다. 항공기 대기 속도계는 압축성 식으로 눈금을 매긴다.

1차원 등엔트로피 유동

노즐이나 디퓨저처럼 단면적이 천천히 변하는 관의 유동은 준1차원으로 다룬다. 각 단면에서 상태량이 균일하다고 보는 것이다. 여기에 정상·단열·무마찰을 가정하면 유동은 등엔트로피이고, 정체 상태량 $T_0$, $p_0$, $\rho_0$가 관 전체에서 일정하다. 그러면 남는 질문은 하나다. 단면적이 바뀌면 속도는 어떻게 바뀌는가?

면적–속도 관계의 유도

질량 유량 $\rho A V$가 일정하므로 로그 미분하면 $\dfrac{d\rho}{\rho} + \dfrac{dA}{A} + \dfrac{dV}{V} = 0$. 마찰 없는 유선 운동량(오일러) 식은 $dp = -\rho V\,dV$이다. 등엔트로피 유동이면 $dp = c^2 d\rho$이므로 $\dfrac{d\rho}{\rho} = -\dfrac{V\,dV}{c^2} = -\text{Ma}^2\dfrac{dV}{V}$. 이것을 연속 방정식에 넣으면 아래 식이 나온다.

$$\frac{dA}{A} = \left(\text{Ma}^2 - 1\right)\frac{dV}{V}, \qquad \frac{d\rho}{\rho} = -\text{Ma}^2\,\frac{dV}{V}$$

Ma < 1이면 괄호가 음수라서 면적이 줄 때 속도가 는다(비압축성 직관과 같다). Ma > 1이면 괄호가 양수라서 면적이 늘 때 속도가 는다. 초음속에서는 밀도가 속도보다 빨리 줄어서, 같은 질량을 통과시키려면 면적이 더 필요하기 때문이다.

아음속 (Ma < 1)

수축 관 = 노즐(가속, 압력 감소). 확대 관 = 디퓨저(감속, 압력 회복). 수도꼭지와 벤투리관이 그 예다.

초음속 (Ma > 1)

확대 관 = 노즐(가속). 수축 관 = 디퓨저(감속). 로켓 노즐의 넓어지는 종 모양과 초음속 흡입구의 좁아지는 목이 그 예다.

Ma = 1

$dA = 0$인 곳, 곧 최소 단면적(목)에서만 음속에 이를 수 있다. 아음속을 초음속으로 바꾸려면 먼저 좁아졌다가 다시 넓어지는 관이 필요하다.

Ma = 2.5의 초음속 공기가 단면적이 점점 줄어드는 관에 들어간다(마찰 없음). 관을 따라 속도와 압력은?

$\text{Ma}^2 - 1 > 0$이므로 $dA < 0$이면 $dV < 0$이다. 초음속 수축 관은 디퓨저다. 아래에서 입구 Ma를 2.5로 두고 벽 손잡이를 끌어 확인하라.

SIMULATOR

면적–속도 관계: 관 벽을 끌어 모양을 바꿔라

벽의 흰 원 다섯 개를 위아래로 끈다

입구 마하 수

모양 예시

추적 입자 p/p₀ 곡선

A*/A_입구—

최소 단면의 Ma—

출구 Ma—

상태—

입구 Ma와 질량 유량을 고정하고 각 단면에서 $A/A^*$로 Ma를 구한다. 입자 색은 속력이다(파랑 느림 → 빨강 빠름). 해볼 것: ① 입구 Ma 0.6에서 관을 좁히면 빨라지고 넓히면 느려진다. 1.5나 2.5로 바꾸면 정반대가 된다. ② 아음속 입구에서 목을 계속 좁혀 $A < A^*$가 되게 하면 그 유량은 통과할 수 없다(초크, 붉은 표시). 목에서 Ma = 1이 되는 순간을 찾아라. ③ 초음속 입구에서 목을 $A^*$보다 좁히면 무슨 일이 생길지 생각해 보라(실제로는 입구 앞에 충격파가 선다).

임계 상태와 면적비 A/A*

Ma = 1인 가상의 단면 상태를 임계 상태(critical state)라 하고 별표(*)를 붙인다. 실제로 목에서 Ma = 1이 아니어도, 같은 $T_0$, $p_0$와 같은 질량 유량으로 등엔트로피 가속해 Ma = 1이 되는 단면적 $A^*$를 기준으로 쓰면 편하다. 공기의 임계 상태량은 $T^*/T_0 = 0.8333$, $p^*/p_0 = 0.5283$, $\rho^*/\rho_0 = 0.6339$이다.

$$\frac{T^*}{T_0} = \frac{2}{k+1}, \qquad \frac{p^*}{p_0} = \left(\frac{2}{k+1}\right)^{k/(k-1)}, \qquad \frac{A}{A^*} = \frac{1}{\text{Ma}}\left[\frac{2}{k+1}\left(1 + \frac{k-1}{2}\text{Ma}^2\right)\right]^{\frac{k+1}{2(k-1)}}$$

$A/A^*$는 $\rho^* V^* = \rho V \cdot A/A^*$에 앞의 관계식들을 넣어 얻는다. Ma = 1에서 최솟값 1을 가지므로, $A/A^* > 1$인 값 하나에 아음속 해와 초음속 해 두 개가 대응한다.

빨간 수평선을 위아래로 끈다

면적비 A/A*

MINI LAB$A/A^*$ 곡선(로그 눈금)은 Ma = 1에서 바닥을 찍는다. 수평선과 곡선이 만나는 두 점이 같은 면적비의 아음속 해와 초음속 해다. 어느 해를 고를지는 면적이 아니라 노즐 바깥 조건(배압)이 정한다.

Ma	T/T₀	p/p₀	ρ/ρ₀	A/A*
0.3	0.9823	0.9395	0.9564	2.0351
0.5	0.9524	0.8430	0.8852	1.3398
0.8	0.8865	0.6560	0.7400	1.0382
1.0	0.8333	0.5283	0.6339	1.0000
1.5	0.6897	0.2724	0.3950	1.1762
2.0	0.5556	0.1278	0.2300	1.6875
2.5	0.4444	0.0585	0.1317	2.6367
3.0	0.3571	0.0272	0.0762	4.2346

공기가 덕트 속을 등엔트로피로 흐른다. 단면적 20.0 cm²인 곳에서 Ma = 0.40이다. (a) Ma = 1이 되는 단면적 $A^*$와 (b) 목 이후 확대부에서 Ma = 2.0이 되는 단면적을 구하라.

풀이 보기

전략 $A^*$는 유동 전체에서 하나다(등엔트로피). $A^* = A_1/(A/A^*)_{0.4}$를 구한 뒤 $A_2 = A^*(A/A^*)_{2.0}$.

풀이 $(A/A^*)_{0.4} = \dfrac{1}{0.4}\left[\dfrac{1 + 0.2(0.16)}{1.2}\right]^{3} = 1.590$ → $A^* = 20.0/1.590 = 12.6$ cm². $(A/A^*)_{2.0} = 1.6875$ → $A_2 = 12.58 \times 1.6875 = 21.2$ cm².

(a) A* = 12.6 cm² (b) A = 21.2 cm²

검토 Ma 0.4인 입구(20.0 cm²)와 Ma 2.0인 확대부(21.2 cm²)는 면적이 거의 같다. 그래도 속도는 전혀 다르다. 면적만으로는 Ma가 정해지지 않고, 목을 지나며 어느 가지를 탔는지가 중요하다.

노즐 유동: 초크와 라발 노즐

수축 노즐과 초크

큰 탱크($p_0$, $T_0$)의 공기가 수축 노즐을 지나 압력이 $p_b$인 공간, 곧 배압(back pressure) 영역으로 나간다. $p_b = p_0$이면 흐름이 없다. $p_b$를 낮추면 출구 속도와 질량 유량이 는다. 그런데 출구는 최소 단면이라서 거기서 도달할 수 있는 최대 속도는 Ma = 1이다. 출구가 Ma = 1에 이르는 배압이 $p_b = p^* = 0.528p_0$다. 그보다 더 낮추어도 그 소식(압력파)이 음속으로 흐르는 출구를 거슬러 탱크 쪽으로 올라가지 못한다. 그래서 유량은 더 늘지 않는다. 이 상태를 초크(choked flow)라 한다.

$$\dot m_\text{max} = \rho^* V^* A^* = A^* p_0\sqrt{\frac{k}{RT_0}}\left(\frac{2}{k+1}\right)^{\frac{k+1}{2(k-1)}} = 0.6847\,\frac{A^*p_0}{\sqrt{RT_0}} \quad(k = 1.4)$$

초크 유량은 $p_0$에 비례하고 $\sqrt{T_0}$에 반비례한다. 배압과는 무관하다. 그래서 초크 노즐(임계 노즐)은 정밀한 기체 유량계로 쓰인다.

수축 노즐이 이미 초크된 상태($p_b = 0.4p_0$)에서 배압을 진공에 가깝게 더 낮추면 질량 유량은?

출구가 이미 Ma = 1이므로 하류의 압력 변화가 상류로 전달되지 않는다. 출구 압력은 $p^*$에 머물고, 나머지 팽창은 노즐 밖의 팽창파에서 일어난다(부족 팽창).

SIMULATOR

수축 노즐: 배압을 끌어 내려 초크시켜라

아래 그래프의 흰 원을 좌우로 끈다

배압 p_b/p₀ 탱크 압력 p₀ 탱크 온도 T₀ 출구 압력비 곡선(점선)

출구 Ma—

출구 압력 p_e—

질량 유량 (A_e = 3 cm²)—

상태—

해볼 것: ① 배압을 1에서 0.528까지 낮추면 유량이 빠르게 늘다가 기울기가 0이 되며 평평해진다. ② 0.528보다 낮추면 출구 압력이 $p^*$에 고정되고, 노즐 밖에서 팽창파(부채꼴)가 생긴다. ③ 초크 상태에서 $p_0$를 2배로 하면 유량도 2배가 된다. $T_0$를 4배로 하면 유량은 절반이 된다.

지름 20인 목을 통해 500, 400의 공기가 대기(101.3 kPa)로 나간다.

공기 탱크($p_0 = 500$ kPa, $T_0 = 400$ K)가 출구 단면적 3.00 cm²인 수축 노즐로 대기(101.3 kPa)에 분출한다. 출구의 압력·온도·속도와 질량 유량을 구하라.

풀이 보기

전략 먼저 초크 여부를 판정한다. $p_b/p_0 = 0.203 < 0.528$이므로 초크다. 출구는 임계 상태이고 $A_e = A^*$다.

풀이 $p_e = 0.5283(500) = 264$ kPa, $T_e = 0.8333(400) = 333$ K, $V_e = \sqrt{1.4(287)(333.3)} = 366$ m/s. $\dot m = 0.6847\dfrac{(3.00\times10^{-4})(500\times10^3)}{\sqrt{287(400)}} = 0.303$ kg/s.

p_e = 264 kPa, T_e = 333 K, V_e = 366 m/s, ṁ = 0.303 kg/s

검토 출구 압력(264 kPa)이 대기보다 높다. 노즐 밖에서 팽창이 마저 일어나는 부족 팽창이다. 확인: $\rho_e = p_e/RT_e = 2.76$ kg/m³, $\rho_e V_e A_e = 0.303$ kg/s.

수축–확대(라발) 노즐

초음속을 얻으려면 목에서 Ma = 1을 만든 뒤 넓어지는 관으로 계속 가속해야 한다. 이런 관을 수축–확대 노즐(converging–diverging nozzle) 또는 라발 노즐(de Laval nozzle)이라 한다. 그런데 목이 초크되었다고 해서 확대부가 저절로 초음속이 되지는 않는다. 확대부 유동이 앞 절의 두 해 가운데 어느 쪽을 타는지는 배압이 정한다. 면적비 $A_e/A_t$가 주어지면 기준 배압이 셋 생긴다.

$p_1$: 목만 겨우 Ma = 1이고 확대부는 다시 아음속(디퓨저)인 경우의 출구 압력. 아음속 해로 구한다.
$p_3$: 확대부 전체가 초음속이고 출구 압력이 배압과 같은 설계 조건(design condition). 초음속 해로 구한다.
$p_2$: 출구 바로 앞에 수직 충격파가 서는 경우. $p_2 = p_3 \times (p_2/p_1)_\text{충격파}$.

_b < p₂이면 노즐 밖 경사 충격파: 과팽창 p₃ (e) 설계 조건 p₃. p_b < p₃이면 노즐 밖 팽창파: 부족 팽창

p_b가 p₀보다 조금 낮다. 전체가 아음속이고, 목에서 압력이 가장 낮은 벤투리관 유동이다. 유량은 p_b에 따라 변한다.
p_b = p₁. 목이 막 Ma = 1에 닿는다. 이제 유량은 최대(초크)이고, p_b를 더 낮추어도 바뀌지 않는다.
p₂ < p_b < p₁. 목 뒤에서 초음속으로 가속하다가 수직 충격파로 아음속이 되고, 그 뒤 디퓨저로 압력을 회복해 p_b에 맞춘다. p_b를 낮출수록 충격파가 출구 쪽으로 간다.
p_b = p₂이면 충격파가 출구에 선다. 더 낮추면 노즐 안은 모두 초음속이고, 출구 압력이 배압보다 낮아 노즐 밖에 경사 충격파가 생긴다(과팽창).
p_b = p₃이면 출구 압력이 배압과 같아 깔끔한 분류가 나간다(설계 조건). 더 낮추면 노즐 밖 팽창파에서 마저 팽창한다(부족 팽창).

면적비 A_e/A_t = 2.0인 노즐의 압력 분포. 회색 점선은 초음속 등엔트로피 해다. 이 노즐은 p₁ = 0.937p₀, p₂ = 0.513p₀, p₃ = 0.0939p₀이다.

SIMULATOR

라발 노즐 시뮬레이터: 배압으로 충격파를 과녁에 세워라

그래프 오른쪽 끝의 흰 원(배압)을 위아래로 끈다

배압 p_b/p₀ 출구 면적비 A_e/A_t

그래프

작동 상태—

충격파 위치 A_s/A_t—

충격파 직전 Ma—

출구 Ma, p_e/p₀—

유량 ṁ/ṁ_초크—

과녁—

위는 노즐과 입자(색 = 마하 수), 아래는 축 방향 분포다. 해볼 것: ① 배압을 1에서 천천히 내리며 (a)–(e) 다섯 상태를 차례로 지나 보라. p₁ 아래에서는 유량이 1에 고정된다. ② '과녁 만들기'를 누르면 확대부에 과녁(주황 점선)이 생긴다. 배압만 조절해 충격파를 과녁 ±2% 안에 세워라. 면적비를 바꾸면 같은 배압에서 충격파가 어디로 가는가? ③ 충격파 직후 압력이 뛰어오르고, 그 뒤 디퓨저로 압력이 더 오른다. 출구 압력이 정확히 배압이 되는 것을 확인하라.

로켓 시험용 공기 노즐이 $p_0 = 1.00$ MPa, $T_0 = 500$ K에서 출구 Ma = 2.0으로 설계되었다. 필요한 면적비 $A_e/A_t$, 설계 배압, 출구 온도와 출구 속도를 구하라.

풀이 보기

전략 설계 조건에서는 목이 임계($A_t = A^*$)이고 확대부 전체가 등엔트로피 초음속이다. Ma = 2.0의 등엔트로피 표 값을 쓴다.

풀이 $A_e/A_t = (A/A^*)_{2.0} = 1.6875$. $p_e = p_0/(1+0.2\cdot4)^{3.5} = 1000/7.824 = 128$ kPa. $T_e = 500/1.8 = 278$ K, $V_e = 2.0\sqrt{1.4(287)(277.8)} = 668$ m/s.

A_e/A_t = 1.69, p_b,설계 = 128 kPa, T_e = 278 K, V_e = 668 m/s

검토 해수면(101 kPa)에서 쓰면 $p_b < p_e$라서 약간 부족 팽창이다. 반대로 $p_0$를 낮추어 $p_e$가 대기압보다 많이 낮아지면 과팽창이 되고, 노즐 안으로 충격파가 들어올 수도 있다.

로켓 배기의 충격파 다이아몬드

엔진 시험 영상에서 배기 분류에 밝은 마름모가 줄지어 보일 때가 있다. 과팽창이나 부족 팽창 때문에 출구 압력이 주위 압력과 다르면, 분류는 경사 충격파와 팽창파를 번갈아 거치며 주위 압력에 맞춰 간다. 그 반사 패턴이 마름모 무늬다. 고도가 오를수록 대기압이 낮아지므로 해수면용 노즐은 점점 부족 팽창 상태가 된다.

수직 충격파

초음속 유동이 갑자기 감속해야 할 때는 등엔트로피 과정으로는 감속하지 못한다. 대신 두께가 몇 개의 평균 자유 행로(대기압에서 0.1–1 μm)밖에 안 되는 얇은 면에서 압력·온도·밀도가 불연속처럼 뛴다. 유동에 수직인 이 면이 수직 충격파(normal shock wave)다. 충격파 안에서는 점성과 열전도가 크게 작용하므로 비가역이다. 그러나 충격파를 감싸는 얇은 검사 체적에 보존 법칙만 적용하면 앞뒤 상태를 정확히 이을 수 있다.

$$\rho_1V_1 = \rho_2V_2, \qquad p_1 + \rho_1V_1^2 = p_2 + \rho_2V_2^2, \qquad h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2}\;(T_{01} = T_{02})$$

면적이 같고, 벽 마찰을 무시하며, 단열이다. 여기에 $p = \rho RT$를 더하면 미지수 넷($p_2, T_2, \rho_2, V_2$)에 식이 넷이다. 정리하면 모든 비가 $\text{Ma}_1$만의 함수가 된다.

$$\text{Ma}_2^2 = \frac{\text{Ma}_1^2 + \frac{2}{k-1}}{\frac{2k}{k-1}\text{Ma}_1^2 - 1}, \quad \frac{p_2}{p_1} = 1 + \frac{2k}{k+1}\left(\text{Ma}_1^2 - 1\right), \quad \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{(k+1)\text{Ma}_1^2}{(k-1)\text{Ma}_1^2 + 2}$$

$T_2/T_1 = (p_2/p_1)/(\rho_2/\rho_1)$. 정체 압력비는 $\dfrac{p_{02}}{p_{01}} = \left(\dfrac{\rho_2}{\rho_1}\right)^{k/(k-1)}\left(\dfrac{p_1}{p_2}\right)^{1/(k-1)} < 1$이다.

엔트로피는 $T_0$가 같으므로 정체 상태끼리 비교하면 간단하다. $s_2 - s_1 = c_p\ln(T_{02}/T_{01}) - R\ln(p_{02}/p_{01}) = -R\ln(p_{02}/p_{01})$. 엔트로피는 늘기만 해야 하므로 $p_{02} < p_{01}$이다. 정체 압력의 손실이 곧 충격파의 비가역성을 재는 척도다.

Ma₁ = 3의 공기가 수직 충격파를 지난다. 다음 중 충격파 뒤에서 줄어드는 양을 모두 고른 것은?

정압·온도·밀도는 늘고, 정체 온도는 그대로(단열)다. 속도와 마하 수(아음속이 됨), 그리고 정체 압력(엔트로피 증가)은 준다. 아래에서 Ma₁을 바꾸며 막대들을 비교하라.

SIMULATOR

수직 충격파 계산기: 상류 속도 화살표를 끌어라

왼쪽 속도 화살표 끝의 흰 원을 좌우로 끈다

상류 마하 수 Ma₁ 상류 온도 T₁ 상류 압력 p₁ 입자 (색 = 온도)

Ma₂—

p₂—

T₂—

V₁ → V₂—

p₀₂/p₀₁—

Δs—

아래 막대는 로그 눈금이다. 가운데 선(비 = 1)의 오른쪽은 증가, 왼쪽은 감소를 뜻한다. 해볼 것: ① 입자가 충격파를 지나면 느려지고 촘촘해진다. 간격 비가 $\rho_2/\rho_1$이다. Ma₁을 키워도 밀도비가 6(= (k+1)/(k−1))을 넘지 못하는 것을 확인하라. ② Ma₁ → 1이면 모든 비가 1에 다가가 충격파가 마하파로 약해진다. ③ Ma₁ = 2에서 정체 압력이 28% 사라진다. 초음속 흡입구가 수직 충격파 하나 대신 여러 개의 약한 경사 충격파로 감속하는 까닭이다.

Ma₁

MINI LAB수직 충격파 관계식은 수학적으로 Ma₁ < 1에서도 해를 준다. 그 해는 '팽창 충격파'에 해당하는데 엔트로피가 줄어든다(붉은 영역). 열역학 제2법칙에 따라 충격파는 초음속에서 아음속으로 가는 압축 충격파만 존재한다.

Ma₁ = 2.0, $p_1 = 40.0$ kPa, $T_1 = 220$ K의 공기가 수직 충격파를 지난다. Ma₂, $p_2$, $T_2$, $V_2$, 정체 압력 손실, 엔트로피 증가를 구하라.

풀이 보기

전략 수직 충격파 관계식(또는 표)에 Ma₁ = 2.0을 넣고 상류 값을 곱한다.

풀이 $\text{Ma}_2^2 = (4 + 5)/(7\cdot4 - 1) = 1/3$ → Ma₂ = 0.577. $p_2/p_1 = 1 + 1.1667(3) = 4.50$ → $p_2 = 180$ kPa. $\rho_2/\rho_1 = 2.4(4)/(0.4\cdot4+2) = 2.667$, $T_2/T_1 = 4.5/2.667 = 1.6875$ → $T_2 = 371$ K. $V_1 = 2.0\sqrt{1.4(287)(220)} = 595$ m/s, $V_2 = V_1/2.667 = 223$ m/s. $p_{02}/p_{01} = 0.7209$이므로 $p_{01} = 40.0(1.8)^{3.5} = 313$ kPa에서 $p_{02} = 226$ kPa로 떨어진다. $\Delta s = -287\ln0.7209 = 93.9$ J/(kg·K).

Ma₂ = 0.577, p₂ = 180 kPa, T₂ = 371 K, V₂ = 223 m/s, p₀: 313 → 226 kPa(28% 손실), Δs = 93.9 J/(kg·K)

검토 $T_0$를 확인하자. 상류 $220(1.8) = 396$ K, 하류 $371(1 + 0.2/3) = 396$ K. 같다. 단열이므로 맞다.

면적비 $A_e/A_t = 2.0$인 라발 노즐에 공기가 흐르고 배압은 $p_b = 0.75p_0$이다. 확대부의 수직 충격파 위치 $A_s/A_t$와 충격파 직전 마하 수, 출구 마하 수를 구하라.

풀이 보기

전략 기준 압력을 먼저 구한다. $p_1 = 0.937p_0$, $p_2 = 0.513p_0$이므로 $p_b = 0.75p_0$는 그 사이이고, 충격파는 확대부 안에 있다. 충격파 뒤에서는 $p_0$가 $p_{02}$로 줄고 $A^*$는 $A_2^* = A_t\,p_{01}/p_{02}$로 커진다(질량 유량 보존). 미지수 $p_{02}$를 없애기 위해, 출구에서 계산할 수 있는 조합을 만든다.

풀이 $\dfrac{p_eA_e}{p_{01}A_t} = \dfrac{p_e}{p_{02}}\dfrac{A_e}{A_2^*} = 0.75\times2.0 = 1.50$. 아음속 Ma에 대해 $\dfrac{1}{(1+0.2\text{Ma}^2)^{3.5}}\cdot\left(\dfrac{A}{A^*}\right) = 1.50$을 풀면 $\text{Ma}_e = 0.380$, $p_e/p_{02} = 0.905$. 따라서 $p_{02}/p_{01} = 0.75/0.905 = 0.829$. 수직 충격파 표에서 $p_{02}/p_{01} = 0.829$인 $\text{Ma}_1 = 1.76$이고, 그 초음속 면적비가 $A_s/A_t = (A/A^*)_{1.76} = 1.40$이다.

A_s/A_t = 1.40, 충격파 직전 Ma = 1.76, 출구 Ma = 0.380

검토 앞 그림의 (c)와 라발 노즐 시뮬레이터가 바로 이 경우다(p_b/p₀ = 0.75, 면적비 2). 시뮬레이터의 읽음과 비교해 보라.

경사 충격파와 팽창파

초음속 유동이 쐐기나 압축 코너를 만나 각도 $\theta$만큼 꺾여야 할 때는 유동에 비스듬한 경사 충격파(oblique shock)가 생긴다. 충격파와 상류 유동이 이루는 각을 충격파 각 $\beta$라 한다. 핵심은 간단하다. 속도를 충격파에 수직인 성분과 나란한 성분으로 나누면, 나란한 성분은 변하지 않고(충격파 면을 따라서는 압력 차가 없다) 수직 성분만 수직 충격파처럼 바뀐다.

경사 충격파의 기하. 충격파에 나란한 성분 $V_t$는 그대로이고, 수직 성분만 $V_{n1} \to V_{n2}$로 줄어든다. 그래서 유동이 벽 쪽으로 θ만큼 꺾인다.

$$\text{Ma}_{n1} = \text{Ma}_1\sin\beta, \qquad \tan\theta = 2\cot\beta\,\frac{\text{Ma}_1^2\sin^2\beta - 1}{\text{Ma}_1^2(k + \cos2\beta) + 2}, \qquad \text{Ma}_2 = \frac{\text{Ma}_{n2}}{\sin(\beta - \theta)}$$

이것이 θ–β–M 관계(theta–beta–Mach relation)다. 주어진 Ma₁과 θ에 대해 β의 해가 두 개 있다. 작은 쪽이 약한 해(보통 실제로 나타나며 Ma₂ 대부분 > 1), 큰 쪽이 강한 해(Ma₂ < 1)다. θ가 그 Ma의 최대 꺾임각 $\theta_\text{max}$을 넘으면 붙은 경사 충격파가 없고, 물체 앞에 떨어진 분리 충격파(detached bow shock)가 선다.

Ma₁ = 2.0 유동 속 쐐기의 반각 θ를 10°에서 30°로 키우면 쐐기 끝의 충격파는?

Ma 2에서 붙은 경사 충격파로 꺾을 수 있는 최대 각은 약 23.0°다. 그보다 크면 앞쪽에 분리 충격파가 생기고, 그 가운데 부분은 수직 충격파와 같다. 아래 쐐기 손잡이로 확인하라.

SIMULATOR

쐐기와 코너: 경사 충격파와 팽창 부채

벽 끝의 흰 원을 위아래로 끈다

벽 모양

상류 Ma₁ 꺾임각 θ 강한 해도 그래프에 표시

β (약한 해)—

θ_max—

Ma₂—

p₂/p₁—

p₀₂/p₀₁—

오른쪽은 θ–β–M 선도다. 굵은 선이 현재 Ma₁이고 점이 현재 상태다. 해볼 것: ① θ → 0이면 β가 마하 각 $\mu = \sin^{-1}(1/\text{Ma}_1)$로 다가간다(무한히 약한 충격파 = 마하파). ② θ를 키워 θ_max를 넘기면 충격파가 떨어져 나간다. Ma₁을 키우면 θ_max도 커진다. ③ '팽창 코너'로 바꾸면 압력이 떨어지며 유동이 부채꼴 팽창파 속에서 매끄럽게 꺾이고 가속된다. 이 경우 정체 압력 손실이 0이다.

Ma₁ = 2.0의 공기가 반각 10.0°인 쐐기를 지난다. 약한 경사 충격파의 각 β, 충격파 뒤의 Ma₂와 압력비 $p_2/p_1$을 구하라.

풀이 보기

전략 θ–β–M 관계에서 β를 수치로 푼다(약한 해). 그다음 $\text{Ma}_{n1} = \text{Ma}_1\sin\beta$로 수직 충격파 관계식을 쓴다.

풀이 $\tan10^\circ = 2\cot\beta\dfrac{4\sin^2\beta - 1}{4(1.4 + \cos2\beta) + 2}$를 풀면 $\beta = 39.3^\circ$. $\text{Ma}_{n1} = 2.0\sin39.3^\circ = 1.267$ → $\text{Ma}_{n2} = 0.803$, $p_2/p_1 = 1.707$. $\text{Ma}_2 = 0.803/\sin(39.3^\circ - 10.0^\circ) = 1.64$.

β = 39.3°, Ma₂ = 1.64, p₂/p₁ = 1.71

검토 마하 각(30°)보다 조금 큰 β다. 하류는 여전히 초음속이다. 정체 압력 손실은 1.5%에 불과하다. 같은 Ma 2에서 수직 충격파의 손실이 28%였던 것과 비교해 보라.

프란틀–마이어 팽창파

초음속 유동이 볼록한 코너를 돌아 바깥쪽으로 꺾이면 충격파 대신 코너에서 부채꼴로 퍼지는 무수한 마하파, 곧 팽창 부채(expansion fan)가 생긴다. 각 마하파는 무한히 약하므로 팽창은 등엔트로피이고, 유동은 가속하며 압력과 온도가 내려간다. 꺾인 각과 마하 수의 관계는 프란틀–마이어 함수(Prandtl–Meyer function) $\nu$로 표현된다.

$$\theta = \nu(\text{Ma}_2) - \nu(\text{Ma}_1), \qquad \nu(\text{Ma}) = \sqrt{\frac{k+1}{k-1}}\tan^{-1}\sqrt{\frac{k-1}{k+1}(\text{Ma}^2 - 1)} - \tan^{-1}\sqrt{\text{Ma}^2 - 1}$$

$\nu(1) = 0$이고, Ma → ∞이면 $\nu \to 130.45^\circ$다(k = 1.4). 팽창 부채는 상류 마하선(각 $\mu_1$)에서 시작해 하류 마하선($\mu_2$, 꺾인 벽 기준)에서 끝난다. 압력비는 등엔트로피 관계로 구한다.

Ma₁ 꺾임각 θ

MINI LAB음속(Ma₁ = 1)에서 출발해도 볼록 코너를 돌면 초음속으로 가속된다. 부채의 첫 선과 마지막 선이 각각 $\mu_1$, $\mu_2$의 마하선이다. 꺾임각이 클수록 압력이 크게 떨어진다. 로켓 노즐 출구의 부족 팽창, 초음속 에어포일 윗면의 가속이 이 현상이다.

충격파와 팽창파를 헷갈리지 말 것

유동이 자기 쪽으로 꺾이는(오목, 압축) 코너에는 경사 충격파가 생긴다. 비가역이고, 압력이 갑자기 오르며, 정체 압력이 준다. 유동이 바깥쪽으로 꺾이는(볼록) 코너에는 팽창 부채가 생긴다. 등엔트로피이고, 압력이 연속적으로 내려가며, 정체 압력은 그대로다. 초음속 마름모 에어포일 문제는 앞전에서 충격파, 꼭짓점에서 팽창파, 뒷전에서 다시 충격파를 거치며 각 면의 압력을 구한다.

핵심 정리

이상 기체에서 $h = c_pT$, $c_p = kR/(k-1)$이고, 등엔트로피 과정은 $p/\rho^k$ = 일정, $T_2/T_1 = (p_2/p_1)^{(k-1)/k}$이다. 음속은 $c = \sqrt{(\partial p/\partial\rho)_s} = \sqrt{kRT}$로 온도만의 함수다.
마하 수 Ma = V/c가 압축성을 정한다. Ma < 0.3이면 밀도 변화 5% 미만이라 비압축성으로 다룬다. 초음속 물체는 반각 $\sin\mu = 1/\text{Ma}$인 마하 원뿔을 끈다.
정체 상태량: $T_0/T = 1 + \tfrac{k-1}{2}\text{Ma}^2$, $p_0/p = (T_0/T)^{k/(k-1)}$. 단열이면 $T_0$가 보존되고, 마찰이나 충격파가 있으면 $p_0$가 준다.
면적–속도 관계 $dA/A = (\text{Ma}^2-1)dV/V$. 아음속은 수축 관에서, 초음속은 확대 관에서 가속한다. Ma = 1은 목에서만 가능하다. 면적비 $A/A^*$ 하나에 아음속 해와 초음속 해가 하나씩 있다.
목이 Ma = 1에 이르면 초크된다. 이때 $\dot m_\text{max} = 0.6847A^*p_0/\sqrt{RT_0}$이고 배압과 무관하다. 수축 노즐은 $p_b \le 0.528p_0$에서 초크된다. 라발 노즐은 배압에 따라 아음속 → 초크 → 노즐 내 충격파 → 과팽창 → 설계 → 부족 팽창 순으로 작동한다.
수직 충격파는 초음속을 아음속으로 바꾸며 $p$, $T$, $\rho$를 높이고 $V$, Ma, $p_0$를 낮춘다. $T_0$는 보존된다. $\Delta s = -R\ln(p_{02}/p_{01}) > 0$이므로 압축 충격파만 존재한다.
경사 충격파는 수직 성분 $\text{Ma}_1\sin\beta$에만 수직 충격파 관계식을 적용한다(θ–β–M 관계). θ > θ_max이면 분리 충격파가 선다. 볼록 코너의 팽창은 등엔트로피 프란틀–마이어 팽창이며 $\theta = \nu_2 - \nu_1$이다.

연습문제

특별한 말이 없으면 공기는 $R = 287$ J/(kg·K), $k = 1.4$, $c_p = 1004.5$ J/(kg·K)인 이상 기체로 본다. 답이 ±1% 이내면 정답이다. 등엔트로피 표와 충격파 관계식은 본문에 있다.

35 °C 공기 속 음속은?

$c = \sqrt{1.4(287)(308.15)} = 352$ m/s.

여객기가 고도 10 km(표준 대기 온도 223.15 K)에서 900 km/h로 난다. 마하 수는?

$V = 250$ m/s, $c = \sqrt{1.4(287)(223.15)} = 299.4$ m/s → Ma = 0.835.

슐리렌 사진 속 탄환의 마하 수가 2.5이다. 마하 원뿔의 반각은?

$\mu = \sin^{-1}(1/2.5) = 23.6^\circ$.

20 °C 공기가 240 m/s로 흐른다. 정체 온도는?

$T_0 = 293.15 + 240^2/(2\times1004.5) = 293.15 + 28.7 = 322$ K (48.7 °C).

정압 60.0 kPa에서 Ma = 0.80으로 흐르는 공기를 피토관으로 잴 때 피토관이 가리키는 정체 압력은?

$p_0/p = (1 + 0.2\cdot0.64)^{3.5} = 1.524$ → $p_0 = 91.5$ kPa. (베르누이로 구하면 $60(1+0.7\cdot0.64) = 86.9$ kPa로 5% 작다.)

Ma = 1.80인 등엔트로피 공기 유동에서 $T/T_0$와 $p/p_0$는?

$T_0/T = 1 + 0.2(3.24) = 1.648$ → $T/T_0 = 0.607$. $p/p_0 = 0.6068^{3.5} = 0.174$.

라발 노즐 확대부에서 면적비가 $A/A^* = 2.50$인 단면의 초음속 마하 수는?

$A/A^*$ 식을 Ma > 1 구간에서 수치로 푼다. 표에서 Ma 2.5(2.637)보다 조금 작다.

이분법으로 $A/A^*(\text{Ma}) = 2.50$, Ma > 1을 풀면 Ma = 2.44. (같은 면적비의 아음속 해는 Ma = 0.24다.)

$p_0 = 300$ kPa, $T_0 = 290$ K인 공기 탱크에 지름 1.50 cm의 수축 노즐이 달려 대기로 분출한다. 질량 유량은?

먼저 $p_b/p_0 = 101.3/300 = 0.338 < 0.528$인지 확인한다.

초크 상태다. $A = \pi(0.015)^2/4 = 1.767\times10^{-4}$ m². $\dot m = 0.6847\,A p_0/\sqrt{RT_0} = 0.6847(1.767\times10^{-4})(3.00\times10^5)/\sqrt{287(290)} = 0.126$ kg/s.

$p_0 = 2.00$ MPa의 공기로 출구 Ma = 3.0을 얻는 라발 노즐을 설계하려 한다. 필요한 면적비 $A_e/A_t$와 설계 배압은?

$A_e/A_t = (A/A^*)_{3.0} = \dfrac13\left[\dfrac{1 + 0.2\cdot9}{1.2}\right]^3 = 4.23$. $p_e = 2000/(2.8)^{3.5} = 2000/36.73 = 54.4$ kPa.

Ma₁ = 3.0인 공기가 수직 충격파를 지난다. 하류 마하 수와 정압비는?

$\text{Ma}_2^2 = (9 + 5)/(7\cdot9 - 1) = 14/62$ → Ma₂ = 0.475. $p_2/p_1 = 1 + 1.1667(8) = 10.3$.

초음속 풍동에서 피토관 끝에 수직 충격파가 서 있다. 피토관은 충격파 뒤의 정체 압력 200 kPa를 가리키고, 벽의 정압 구멍은 상류 정압 40.0 kPa를 가리킨다. 상류 마하 수는?

$\dfrac{p_{02}}{p_1} = \dfrac{p_{02}}{p_{01}}\cdot\dfrac{p_{01}}{p_1}$. 두 비 모두 Ma₁의 함수다(레일리 피토관 식).

$f(\text{Ma}_1) = (p_{02}/p_{01})(1+0.2\text{Ma}_1^2)^{3.5} = 200/40.0 = 5.00$을 풀면 Ma₁ = 1.87. 충격파를 무시하고 등엔트로피로 풀면 1.71이 나와 틀린다.

면적비 $A_e/A_t = 3.0$인 라발 노즐의 배압이 $p_b = 0.60p_0$이다. 확대부 수직 충격파의 위치 $A_s/A_t$와 충격파 직전 마하 수를 구하라.

$p_eA_e/(p_{01}A_t) = 1.80$을 만족하는 아음속 출구 Ma를 먼저 찾는다(본문 예제와 같은 방법).

$\dfrac{A/A^*}{(1+0.2\text{Ma}_e^2)^{3.5}} = 1.80$ → Ma_e = 0.318, $p_e/p_{02} = 0.932$. $p_{02}/p_{01} = 0.60/0.932 = 0.644$ → Ma₁ = 2.17, $A_s/A_t = (A/A^*)_{2.17} = 1.95$. (확인: 이 노즐의 $p_1 = 0.973p_0$, $p_2 = 0.376p_0$이므로 충격파는 확대부 안에 있다.)

Ma₁ = 3.0의 공기가 15.0° 압축 코너를 지난다. 약한 경사 충격파의 각과 압력비는?

θ–β–M 관계를 β에 대해 푼다. 시뮬레이터의 θ–β–M 선도로 어림한 뒤 확인하라.

$\beta = 32.2^\circ$. $\text{Ma}_{n1} = 3.0\sin32.2^\circ = 1.60$ → $p_2/p_1 = 1 + 1.1667(1.60^2 - 1) = 2.82$. (Ma₂ = 2.25)

Ma₁ = 1.50의 공기가 볼록 코너에서 10.0°만큼 바깥으로 꺾이며 팽창한다. 팽창 후 마하 수는?

$\nu(1.5) = 11.91^\circ$ → $\nu_2 = 21.91^\circ$ → Ma₂ = 1.84. 압력비 $p_2/p_1 = (1+0.2\cdot2.25)^{3.5}/(1+0.2\cdot1.84^2)^{3.5} = 0.600$.

Ma = 1.8의 초음속 공기가 단면적이 점점 커지는 관을 등엔트로피로 흐른다. 하류로 갈수록 옳은 것은?

$dA/A = (\text{Ma}^2-1)dV/V$에서 Ma > 1, dA > 0이면 dV > 0이다. 초음속 확대 관은 노즐이다.

수직 충격파를 지나는 동안 변하지 않는 양은?

충격파 검사 체적은 단열이고 일이 없으므로 $h_0$, 곧 $T_0$가 보존된다. 정체 압력은 줄고 엔트로피는 는다.

개념 확인 퀴즈

같은 온도의 공기에서 압력을 2배로 높이면 음속은?

이상 기체에서 $c = \sqrt{kRT}$로 온도만의 함수다. 압력이 2배가 되면 밀도도 2배가 되어 $p/\rho$가 그대로다.

아음속으로 흐르는 수축–확대 관의 목에서 압력이 가장 낮았다. 목을 더 좁히면 목의 마하 수는 최대 얼마까지 오를 수 있는가?

면적–속도 관계에 따라 Ma = 1은 dA = 0인 곳에서만 가능하다. 아음속 유동은 최소 단면적에서 Ma = 1을 넘을 수 없다. 거기서 초크된다.

초크된 라발 노즐의 배압을 p₂와 p₁ 사이에서 조금 더 낮추면 확대부의 수직 충격파는?

배압이 낮을수록 충격파 전 Ma가 더 커져도 출구 압력을 맞출 수 있으므로 충격파가 하류로 밀려난다. p₂에서 출구에 닿는다.

Ma 2.0 공기를 아음속으로 감속하는 흡입구 설계로 정체 압력 손실이 가장 작은 것은?

충격파의 손실은 수직 마하 수 성분에 따라 급격히 커진다. 여러 개의 약한 충격파로 나누면 각각의 $\text{Ma}_n$이 1에 가까워 손실이 훨씬 적다.

초음속 유동이 볼록 코너를 돌아 팽창할 때 일정하게 유지되는 양은?

프란틀–마이어 팽창은 등엔트로피이므로 $p_0$와 $T_0$가 모두 보존된다. 정압과 온도는 내려가고 Ma와 속도는 커진다.