Chapter 03

베르누이 방정식

2장에서 유체가 멈춰 있을 때 압력은 깊이만으로 정해졌다. 유체가 흐르기 시작하면 압력은 속력과도 거래를 한다 — 빨라지는 곳에서는 압력이 떨어지고, 멈추는 곳에서는 압력이 오른다. 이 거래의 장부가 베르누이 방정식이다. 비행기의 속도계, 수도관의 유량계, 물탱크의 배수 시간, 사이펀이 끊기는 높이가 모두 이 한 줄에서 나온다. 단, 장부가 맞으려면 조건이 있다. 그 조건을 정확히 아는 것이 이 장의 절반이다.

구멍(흰 원)과 수면을 끌어 분류를 과녁에 맞혀 보세요

유선 좌표계에서 뉴턴 제2법칙을 쓰고, 유선이 휘면 곡률 중심 쪽으로 압력이 낮아짐을 설명한다.
베르누이 방정식 $p + \tfrac12\rho V^2 + \rho g z = \text{const}$를 유도하고, 정상·비점성·비압축·유선을 따라라는 네 가정을 판별한다.
정압·동압·정체압을 구별하고, 피토관과 피토 정압관으로 유속을 구한다.
연속 방정식과 결합해 벤투리·오리피스·노즐 유량계의 유량을 유량 계수 $C_d$로 계산한다.
토리첼리 식으로 분류 속도와 궤적을 구하고, 준정상 가정으로 탱크 배수 시간을 계산한다.
사이펀의 정점 압력과 공동 현상 한계를 구하고, 관로를 따라 에너지선(EGL)과 수력 구배선(HGL)을 그린다.

유선을 따른 뉴턴 제2법칙

정상 유동에서 유체 입자는 유선(streamline)을 따라 움직인다. 유선은 어느 점에서나 속도 벡터에 접하는 곡선이다(4장에서 자세히 다룬다). 입자의 운동을 기술할 때 $x, y$ 대신 유선에 붙은 좌표를 쓰면 식이 훨씬 단순해진다. 유선을 따라 잰 거리를 $s$, 유선에 수직이면서 곡률 중심을 향하는 방향을 $n$으로 잡는 유선 좌표계(streamline coordinates)다. 이 좌표계에서 속도는 $\vec V = V\hat s$ 하나뿐이고, 가속도는 두 성분을 가진다.

$$a_s = V\frac{\partial V}{\partial s}, \qquad a_n = \frac{V^2}{\mathcal R}$$

정상 유동. $a_s$는 유선을 따라 빨라지거나 느려지는 가속도, $a_n$은 유선이 반지름 $\mathcal R$로 휘기 때문에 생기는 구심 가속도(곡률 중심 방향)다. 직선 유선($\mathcal R\to\infty$)에서는 $a_n = 0$.

크기 $\delta s\times\delta n\times\delta y$인 작은 유체 입자에 작용하는 힘은 무게와 압력뿐이라고 하자(점성 무시). 각 방향으로 $F = ma$를 쓰면 다음 그림의 네 단계가 된다.

휜 유선 위의 작은 입자. ŝ는 흐름 방향, n̂은 곡률 중심을 향한다.
s 방향: 뒷면과 앞면의 압력 차, 그리고 무게의 유선 방향 성분이 입자를 빠르게(또는 느리게) 한다.
n 방향: 입자가 휜 길을 따라가려면 중심 쪽 알짜힘 $m V^2/\mathcal R$이 필요하다. 그 힘은 바깥면의 더 큰 압력이 준다.
두 방향의 운동 방정식. 이 둘이 이 장 전체의 출발점이다.

유선 좌표계에서 유체 입자의 자유 물체도. ▶로 한 단계씩 보라.

결과를 정리하면 정상·비점성 유동의 두 방정식이 된다($\gamma = \rho g$는 비중량).

$$\underbrace{-\frac{\partial p}{\partial s} - \gamma\frac{\partial z}{\partial s} = \rho V\frac{\partial V}{\partial s}}_{\text{유선 방향}}, \qquad \underbrace{-\frac{\partial p}{\partial n} - \gamma\frac{\partial z}{\partial n} = \frac{\rho V^2}{\mathcal R}}_{\text{유선 수직 방향}}$$

유선 곡률과 압력 구배

수평면에서($\partial z/\partial n = 0$) 유선이 휘면 $\partial p/\partial n = -\rho V^2/\mathcal R < 0$ — 곡률 중심 쪽으로 갈수록 압력이 낮아진다. 유선이 곧고 나란하면($\mathcal R\to\infty$) 유선을 가로지르는 방향의 압력 변화는 정수압 $p + \gamma z = \text{const}$뿐이다. 그래서 대기로 뿜어지는 곧은 분류 속의 압력은 대기압이다.

이것은 직관과도 맞는다. 휜 수로를 도는 물이 바깥벽으로 밀려 수면이 바깥쪽에서 높아지고, 태풍의 눈은 기압이 가장 낮다. 아래 미니 실험에서 90° 굽은 수로를 위에서 내려다본다. 색은 압력이다.

속도 분포

평균 유속 V_m

MINI LAB물(ρ = 1000 kg/m³)이 안쪽 반지름 0.20 m, 바깥 반지름 0.40 m인 굽은 수로를 돈다. 어느 분포든 바깥벽 압력이 더 높다(빨강). 오른쪽 그래프 $p(r)$의 기울기가 곧 $\rho V^2/r$이다. 유속을 2배로 하면 압력 차는 4배가 된다.

물이 곡률 반지름 0.40인 굽은 관을 4.0로 지난다. 관 지름 0.10만큼 떨어진 바깥벽과 안쪽벽의 압력 차는 대략 $\Delta p \approx \rho V^2 D/\mathcal R$ = , 수은 마노미터로 읽으면 이다.

지름 10.0 cm인 수평 90° 엘보에서 관 중심선의 곡률 반지름이 40.0 cm이고 평균 유속이 4.00 m/s이다. 물(ρ = 1000 kg/m³)의 속력과 곡률 반지름이 단면에서 거의 일정하다고 보고, 바깥벽과 안쪽벽 사이 압력 차를 어림하라. 이 압력 차로 유량을 잴 수 있는 이유는?

풀이 보기

전략 수평이므로 n 방향 식은 $\partial p/\partial n = -\rho V^2/\mathcal R$. 단면을 가로질러(바깥 → 안쪽, $\Delta n = D$) 적분한다.

풀이 $\Delta p = p_\text{바깥} - p_\text{안쪽} \approx \rho V^2 D/\mathcal R = (1000)(4.00)^2(0.100)/0.400 = 4.00\times10^3$ Pa.

Δp ≈ 4.00 kPa (바깥벽이 높다)

검토 $\Delta p\propto V^2$이므로 $V\propto\sqrt{\Delta p}$, 즉 $Q\propto\sqrt{\Delta p}$. 엘보 양쪽 벽에 압력 탭만 뚫으면 추가 손실 없이 유량계가 된다. 실제로는 단면 속도 분포가 고르지 않아 보정 계수를 실험으로 정한다.

찻잔 속 찻잎

찻잔을 저으면 찻잎은 바깥이 아니라 바닥 가운데로 모인다. 회전하는 물에서는 바깥 압력이 높다(n 방향 식). 바닥 근처 물은 마찰로 느려져 $\rho V^2/r$이 작은데 압력 구배는 위쪽 물과 같으므로, 압력에 밀려 중심으로 흘러 들어간다 — 찻잎이 그 흐름을 따라간다.

베르누이 방정식: 유도와 가정

유선 방향 식을 유선을 따라 적분하자. 정상 유동이면 유선 위의 $p, V, z$는 $s$만의 함수이므로 편미분을 상미분으로 바꿔 $ds$를 곱할 수 있다.

유도: 유선을 따라 적분하기

① 유선 방향 식에 $ds$를 곱한다: $dp + \gamma\,dz + \rho V\,dV = 0$. 여기서 $V\,dV = \tfrac12 d(V^2)$.

② 따라서 $\dfrac{dp}{\rho} + \tfrac12 d(V^2) + g\,dz = 0$. 압축성 유동이면 $\int dp/\rho$를 하려면 $\rho(p)$를 알아야 한다.

③ 비압축($\rho$ = 일정)이면 그대로 적분된다: $\dfrac{p}{\rho} + \dfrac{V^2}{2} + gz = \text{const}$ (유선을 따라).

④ 쓰인 가정을 되짚으면 — 점성력 없음(힘은 압력·무게뿐), 정상($\partial V/\partial t$ 없음), 비압축(③), 한 유선 위(적분 경로) — 네 가지다.

$$p + \tfrac12\rho V^2 + \rho g z = \text{const} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{p}{\rho g} + \frac{V^2}{2g} + z = H \;(\text{유선을 따라 일정})$$

왼쪽은 단위 부피당 에너지(Pa = J/m³), 오른쪽은 단위 무게당 에너지(m) 꼴. $p/\rho g$: 압력 수두(pressure head), $V^2/2g$: 속도 수두(velocity head), $z$: 위치 수두(elevation head), 합 $H$: 전수두(total head).

베르누이 방정식의 네 가정

① 정상 유동 ② 비점성(마찰 손실 무시) ③ 비압축($\rho$ 일정) ④ 같은 유선 위의 두 점. 여기에 묵시적으로 두 점 사이에 펌프·터빈 같은 축일과 열 전달이 없어야 한다. 유동이 비회전(와도 0)이면 ④가 풀려 유동장 어디서나 같은 상수가 된다(6장).

베르누이 방정식은 에너지 보존의 한 형태다. 유체 입자가 유선을 따라 가면서 압력이 한 일(흐름 일)이 운동 에너지와 위치 에너지로 바뀐다. 마찰이 없으므로 셋의 합인 전수두는 줄지 않는다. 아래 미니 실험에서 점을 끌어 유선 위를 이동하며 세 수두의 몫이 어떻게 바뀌는지 보라.

출구/입구 면적비 A₂/A₁ 상승 높이 Δz

MINI LAB흰 점을 관을 따라 끌어 보라. 막대 셋(위치·압력·속도 수두)의 합은 어디서나 $H$ = 8.0 m로 같다. 관이 좁아지고 높아질수록 압력 수두가 둘 모두에게 몫을 내준다. 면적비를 줄여 압력 수두가 0 아래(부압)로 가는 조건을 찾아보라.

유선을 가로질러 갈 때는 n 방향 식을 적분한다. 결과는 $p + \rho\int \frac{V^2}{\mathcal R}\,dn + \gamma z = \text{const}$ (유선을 가로질러)이다. 유선이 곧으면 적분항이 사라져 정수압 관계만 남는다. 정상 유동에서 유선이 나란한 단면(관의 곧은 부분, 분류의 출구 단면)에서는 압력이 정수압 분포를 따른다는 이 사실을 관로 계산에서 계속 쓴다.

호스 끝 노즐 바로 앞의 계기압이 200이고 노즐 안쪽 유속을 무시하면, 대기로 나가는 물(ρ = 998 kg/m³)의 속력은 $V = \sqrt{2p/\rho}$ = 이다. 노즐을 위로 향하면 분류는 $p/\rho g$ = 높이까지 솟는다.

물(20 °C, ρ = 998 kg/m³)이 0.0500 m³/s로 위쪽을 향한 축소관을 흐른다. 단면 1은 지름 15.0 cm, 계기압 200 kPa이고, 단면 2는 지름 7.50 cm이며 단면 1보다 2.00 m 높다. 마찰을 무시할 때 단면 2의 계기압은?

풀이 보기

전략 연속 방정식으로 $V_1, V_2$를 구하고, 1과 2를 잇는 유선에 베르누이 식을 쓴다. 관 단면에서 유선이 거의 곧으므로 중심선 값을 대표값으로 쓴다.

풀이 $V_1 = Q/A_1 = 0.0500/(\pi(0.150)^2/4) = 2.83$ m/s, $V_2 = 4V_1 = 11.3$ m/s.
$p_2 = p_1 + \tfrac12\rho(V_1^2 - V_2^2) - \rho g(z_2 - z_1) = 200\,000 + 499(8.00 - 128.1) - (998)(9.81)(2.00)$
$= 200\,000 - 59\,930 - 19\,580 = 1.205\times10^5$ Pa.

p₂ ≈ 120 kPa (계기압)

검토 압력 강하 80 kPa 중 약 3/4이 가속(속도 수두 증가)에, 1/4이 높이에 쓰였다. 위의 미니 실험에서 면적비 0.25, Δz = 2 m로 두면 같은 경향을 볼 수 있다.

베르누이 방정식을 한 유선을 따라 쓸 때 필요 없는 가정은?

유선을 따른 적분에는 비회전 조건이 필요 없다. 비회전이면 서로 다른 유선 사이에서도 상수가 같아진다는 추가 혜택이 생길 뿐이다.

정압·동압·정체압과 피토관

베르누이 식의 각 항에는 이름이 있다. $p$는 유체와 함께 움직이는 계측기가 느낄 압력, 곧 정압(static pressure)이다. $\tfrac12\rho V^2$는 동압(dynamic pressure), $\rho g z$는 정수압 항이다. 유체를 마찰 없이 정지시키는 점을 정체점(stagnation point)이라 하고, 그곳의 압력을 정체압(stagnation pressure)이라 한다.

$$p_0 = p + \tfrac12\rho V^2 \qquad (\text{같은 높이, 정체점까지 마찰 없이 감속}), \qquad V = \sqrt{\frac{2(p_0 - p)}{\rho}}$$

$p_0$에 $\rho g z$까지 더한 $p + \tfrac12\rho V^2 + \rho g z$를 전압(total pressure)이라 부르기도 한다. 정체압과 정압의 차만 재면 속력을 안다 — 이것이 피토관의 원리다.

흰 원(압력 탐침)을 끌어 보세요

자유류 속력 U 압력 계수 색 지도

MINI LAB공기(ρ = 1.20 kg/m³)가 원주를 지나는 이상 유동. 색은 압력 계수 $C_p = (p - p_\infty)/\tfrac12\rho U^2$이다(빨강: 높음, 파랑: 낮음). 탐침을 원주 앞의 정체점에 대면 $C_p = 1$, 즉 $p - p_\infty$가 동압과 같다. 원주 꼭대기에서는 $V = 2U$, $C_p = -3$까지 떨어진다.

벽에 수직으로 뚫은 작은 구멍(피에조미터)은 흐름을 방해하지 않으므로 정압을 잰다. 곧은 관에서는 벽의 정압이 단면 중심의 정압과 같다.
흐름을 정면으로 마주 보는 관(피토관)의 입구는 정체점이다. 액주는 정체압에 해당하는 높이까지 오른다.
두 액주의 차가 속도 수두다. 속력은 $\sqrt{2g\Delta h}$로 바로 나온다.
피토 정압관(Pitot-static tube)은 두 구멍을 한 몸에 넣었다. 앞쪽 구멍은 정체압, 몸통 옆의 구멍들은 정압을 잰다. 비행기 속도계가 이 구조다.

정압·정체압 측정. 피토관의 액주가 피에조미터보다 높은 만큼이 동압이다.

공기 흐름을 액주계로 잴 때는 액주계 액체의 밀도로 압력 차를 구하고, 흐르는 유체의 밀도로 속력을 구한다. 이 둘을 섞으면 답이 수십 배 틀린다.

풍동 속 피토 정압관을 물 마노미터에 연결했더니 액주 차가 50였다. 공기 밀도가 1.20이면 $\Delta p = \rho_w g\Delta h$ = , 풍속은 $V = \sqrt{2\Delta p/\rho}$ = ()이다.

비행기의 속도계

항공기의 피토 정압관은 $p_0 - p$를 기계식 차압계로 재서 바늘을 돌린다. 문제는 눈금을 정할 때 쓴 밀도다. 속도계는 해면 표준 밀도 $\rho_0 = 1.225$ kg/m³로 눈금이 매겨져 있어서, 공기가 묽은 높은 고도에서는 실제 속력(진대기속도, TAS)보다 작은 값(지시 대기속도, IAS)을 가리킨다. 또 비행 마하수가 커지면 공기가 정체점까지 감속하며 압축되어 비압축 공식이 속력을 과대 추정한다.

같은 진대기속도 150 m/s로 해면 고도와 고도 10 km를 난다. 피토 정압관이 재는 압력 차 $p_0 - p$는?

$\Delta p \approx \tfrac12\rho V^2$이고 10 km의 공기 밀도는 0.41 kg/m³로 해면의 약 1/3이다. 아래 시뮬레이터에서 비행기를 위로 끌어 올리며 Δp 계기와 속도계 바늘이 내려가는 것을 보라.

SIMULATOR

피토 정압관으로 비행 속도 재기

오른쪽 고도 막대의 비행기를 위아래로 끌어 보세요

진대기속도 TAS 고도 z 추정에 압축성 보정 적용 추적 입자

공기 밀도 ρ—

측정 Δp = p₀ − p—

속도계 IAS (ρ₀ 눈금)—

추정 TAS (현지 ρ)—

마하수 Ma—

위쪽은 피토 정압관 머리 주위의 흐름(랭킨 반물체 이상 유동)이다. 앞 구멍(빨강)은 정체점, 옆 구멍(주황)은 흐름이 자유류 속력을 되찾은 곳에 있다. 해볼 것: ① 고도를 0 → 10 km로 올리면 TAS가 같아도 IAS는 크게 줄어든다. 추정 TAS는 현지 밀도를 쓰므로 맞는다. ② 속력을 250 m/s 이상으로 올리면(Ma ≈ 0.8) 비압축 추정이 실제보다 몇 % 크게 나온다. 압축성 보정을 켜서 오차가 사라지는 것을 확인하라. ③ Ma = 0.3 근처에서 오차가 약 1%임을 확인하라 — 비압축 가정의 경계다.

표준 대기 고도 3000 m($T$ = 268.65 K, $p$ = 70.1 kPa)를 나는 경비행기의 피토 정압관이 $p_0 - p$ = 3.20 kPa를 가리킨다. 비압축 가정으로 진대기속도를 구하고, 해면 밀도로 눈금을 매긴 속도계의 지시값과 비교하라. 비압축 가정은 타당한가?

풀이 보기

전략 이상 기체 식으로 현지 밀도를 구해 $V = \sqrt{2\Delta p/\rho}$. 속도계는 같은 식에 $\rho_0 = 1.225$를 쓴다. 끝으로 마하수를 확인한다.

풀이 $\rho = p/RT = 70\,108/(287.05\times268.65) = 0.909$ kg/m³.
TAS: $V = \sqrt{2(3200)/0.909} = 83.9$ m/s. IAS: $\sqrt{2(3200)/1.225} = 72.3$ m/s.
음속 $c = \sqrt{kRT} = \sqrt{1.4(287)(268.65)} = 329$ m/s → Ma = 0.255.

TAS ≈ 83.9 m/s, IAS ≈ 72.3 m/s, Ma ≈ 0.26 (비압축 가정 타당)

검토 지시값이 실제보다 14% 작다. 조종사에게 IAS는 오히려 유용하다 — 날개의 양력과 실속은 동압 $\tfrac12\rho V^2$로 정해지기 때문이다. Ma < 0.3이므로 압축성 오차는 1% 미만이다(7절).

정압 구멍의 위치와 정렬

정압 구멍이 머리에 너무 가까우면 머리 주위에서 가속된 흐름(정압이 낮음)을 재고, 지지대에 너무 가까우면 지지대 앞에서 감속된 흐름을 잰다. 그래서 정압 구멍은 머리에서 수 지름 뒤, 지지대에서 충분히 앞에 둔다. 관이 흐름과 10–15° 이상 어긋나면 두 구멍 모두 오차가 커진다. 2009년 에어프랑스 447편 사고는 피토관 결빙으로 속도 정보가 사라진 데서 시작했다.

연속 방정식과 유량계

베르누이 식 하나에는 미지수가 둘($p, V$)이다. 짝이 되는 식이 질량 보존, 곧 연속 방정식(continuity equation)이다. 정상 유동에서 관의 어느 단면을 지나는 질량 유량도 같아야 하므로

$$\dot m = \rho_1 A_1 V_1 = \rho_2 A_2 V_2 \quad\xrightarrow{\;\rho\;=\;\text{일정}\;}\quad Q = A_1V_1 = A_2V_2$$

$V$는 단면 평균 속력, $Q$는 체적 유량(volume flow rate). 지름이 절반이 되면 속력은 4배.

관을 일부러 좁혀 압력 차를 만들고 그 차로 유량을 재는 장치가 차압 유량계(differential-pressure flowmeter)다. 단면 1(관, 지름 $D$)과 목 2(지름 $d$, $\beta = d/D$)에 베르누이와 연속을 쓰면 이상 유량이 나온다. 실제 유량은 마찰과 축류 수축 때문에 이보다 작으므로 실험으로 정한 유량 계수(discharge coefficient) $C_d$를 곱한다.

$$Q = C_d\,A_2\sqrt{\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho\,(1 - \beta^4)}}, \qquad \beta = \frac{d}{D}$$

$1/\sqrt{1-\beta^4}$는 입구 속도 $V_1$을 고려한 접근 속도 계수다. 마노미터 액주차 $h$로 읽으면 $p_1 - p_2 = (\rho_m - \rho)gh$ (같은 높이의 탭).

세 가지 차압 유량계. 벤투리관은 완만한 확산부로 압력을 대부분 회복한다. 오리피스판 뒤에서는 흐름이 판 구멍보다 더 좁게 수축했다가(축류 수축) 소용돌이를 남기며 퍼져 압력 회복이 나쁘다.

유량계	대표 $C_d$	영구 압력 손실(차압 대비)	특징
벤투리관	0.95–0.99 (흔히 0.98)	10–20 %	정확·저손실, 크고 비쌈
유동 노즐	0.93–0.99 (Re 의존)	30–60 %	벤투리와 오리피스의 중간
오리피스판(모서리 날카로움)	0.60–0.62 (흔히 0.61)	40–90 %	싸고 교체 쉬움, 손실 큼

수평 벤투리관의 가장 좁은 목에 투명한 피에조미터를 세웠다. 목의 액주는 입구 액주와 비교해 어떻게 될까?

연속 방정식으로 목에서 속력이 커지고, 베르누이 식으로 그만큼 정압이 낮아진다. "좁은 곳에 몰려서 압력이 높다"는 가장 흔한 오해다. 아래에서 목 지름을 끌어 줄여 보라.

SIMULATOR

벤투리관: 목을 좁혀 보라

목 위쪽 흰 원을 위아래로 끌어 지름을 바꾼다

유량 Q 입구 계기압 p₁ 목 지름 d 확산부 영구 손실(차압의 12 %) 추적 입자(속력 색)

V₁ → V₂—

p₁ − p₂—

목 절대압 p₂—

수은 마노미터 h—

상태—

입구 지름 D = 100 mm, 물 20 °C(ρ = 998 kg/m³, 증기압 2.34 kPa). 입자는 실제 속력의 1/8로 느리게 흐른다. 해볼 것: ① 목 지름을 절반으로 줄이면 목 속력은 4배, 차압은 약 16배가 된다. ② 유량을 늘려 목 액주가 관 위로 내려가 부압이 되는 순간을 찾아라. ③ 계속 늘려 목의 절대압이 증기압에 닿으면 공동 현상(기포)이 생긴다 — 이 상태에서는 유량계 공식이 더는 맞지 않는다. 입구 압력을 올리면 한계가 늘어나는가?

지름 200 관의 벤투리관(목 지름 100, $C_d$ = 0.98)에서 물–수은 마노미터의 액주차가 150이면 $\beta$ = , 차압 , 유량 이다.

지름 20.0 cm 수평관에 목 지름 10.0 cm의 벤투리관이 있다. 물(ρ = 998 kg/m³)이 흐르고, 입구와 목 사이에 연결된 수은(ρ_m = 13 550 kg/m³) 마노미터의 액주차가 15.0 cm이다. $C_d$ = 0.98일 때 유량은?

풀이 보기

전략 마노미터 → 차압, 그다음 유량계 식. 마노미터 관 속 물기둥은 양쪽이 상쇄되어 $(\rho_m - \rho)gh$만 남는다(2장).

풀이 $\Delta p = (13\,550 - 998)(9.81)(0.150) = 1.847\times10^4$ Pa. $\beta = 0.5$, $1 - \beta^4 = 0.9375$.
$V_2 = \sqrt{2(18\,470)/(998\times0.9375)} = 6.28$ m/s, $A_2 = \pi(0.100)^2/4 = 7.854\times10^{-3}$ m².
$Q = 0.98\times7.854\times10^{-3}\times6.28 = 0.0484$ m³/s.

Q ≈ 0.0484 m³/s (48.4 L/s)

검토 관 속 평균 속력 $Q/A_1 = 1.54$ m/s로 상수도 관의 전형적인 값이다. 마노미터 읽기 1 mm 오차는 유량에 약 0.3 %의 오차를 준다($Q\propto\sqrt h$이므로 상대 오차가 절반).

지름 10.0 cm 관에 구멍 지름 5.00 cm의 날카로운 오리피스판이 있다($C_d$ = 0.61). 판 앞뒤 탭의 차압이 25.0 kPa일 때 물(ρ = 998 kg/m³)의 유량은? 같은 차압에서 이상 유량($C_d$ = 1)은 얼마인가?

풀이 보기

풀이 $\beta = 0.5$. $\sqrt{2(25\,000)/(998\times0.9375)} = 7.31$ m/s, $A_o = \pi(0.0500)^2/4 = 1.963\times10^{-3}$ m².
$Q = 0.61\times1.963\times10^{-3}\times7.31 = 8.76\times10^{-3}$ m³/s. 이상 유량은 $1.44\times10^{-2}$ m³/s.

Q ≈ 8.76 L/s (이상 유량 14.4 L/s)

검토 실제 유량이 이상값의 61 %뿐인 주된 이유는 마찰이 아니라 축류 수축이다. 흐름이 구멍보다 좁은 단면(약 0.6 $A_o$)으로 모여 지나가는데 공식은 $A_o$를 썼기 때문이다(다음 절).

자유 분류, 오리피스, 탱크 배수

큰 탱크 옆구리의 구멍에서 물이 뿜어진다. 수면(점 1)과 구멍 바로 바깥 분류(점 2)를 잇는 유선에 베르누이 식을 쓰자. 수면과 분류는 모두 대기에 닿아 있으므로 $p_1 = p_2 = p_\text{atm}$이다. 분류 속은 유선이 곧고 나란하므로(1절) 단면 전체가 대기압이다. 큰 탱크라 수면 속력 $V_1 \approx 0$이면

$$V_2 = \sqrt{2gh} \qquad (\text{토리첼리 정리}, \; h = z_1 - z_2)$$

높이 $h$에서 자유 낙하한 물체의 속력과 같다. 압력 수두가 통째로 속도 수두로 바뀐 것이다. 이렇게 고체 벽 없이 대기 속을 나아가는 흐름을 자유 분류(free jet)라 한다.

구멍을 떠난 분류는 포물선 운동을 한다. 수면이 바닥에서 $H$, 구멍이 바닥에서 $y$인 곳에 있으면, 수평 속력 $\sqrt{2g(H-y)}$로 $\sqrt{2y/g}$ 동안 날아가므로 바닥에 닿는 거리는 $x = 2\sqrt{y(H-y)}$이다. 구멍이 한가운데($y = H/2$)일 때 최대 $x = H$이고, 가운데에 대칭인 두 높이는 같은 거리를 준다 — 장 머리의 과녁 게임으로 확인해 보라.

수면이 바닥에서 2.00인 탱크의 높이 0.50에 구멍을 뚫으면 분류 속력은 , 바닥 도달 거리는 이다.

축류 수축과 유량 계수

구멍의 모서리가 날카로우면 탱크 속에서 사방으로 모여들던 유체가 모서리에서 갑자기 꺾이지 못하고, 구멍을 지난 뒤에도 잠시 계속 좁아진다. 분류가 가장 좁고 유선이 나란해지는 단면을 축류 수축부(vena contracta)라 한다. 토리첼리 속력은 바로 이 단면(압력 = 대기압인 곳)에서 성립한다.

오리피스 분류의 축류 수축. 유량 손실의 대부분은 마찰($C_v$)이 아니라 단면 수축($C_c\approx0.62$)에서 온다. 입구를 둥글게 다듬으면 수축이 거의 사라진다.

대기로 떨어지는 분류는 중력으로 계속 빨라지고, 연속 방정식 때문에 그만큼 가늘어진다. 수도꼭지 물줄기가 아래로 갈수록 가늘어지는 이유다. 높이 $z$만큼 떨어진 곳에서 $V = \sqrt{V_0^2 + 2gz}$, 지름 $d = d_0\sqrt{V_0/V}$이다.

유량 Q 꼭지 지름 d₀

MINI LAB수도꼭지 물줄기(가로 폭은 3배 과장). 유량이 작을수록 처음 속력 $V_0$이 작아 물줄기가 빨리 가늘어진다. 아주 가늘어지면 표면 장력 때문에 방울로 끊어진다(1장의 레일리–플래토 불안정성).

탱크 배수: 준정상 근사

탱크가 비어 가면 $h$가 줄어 유출 속력도 줄어든다. 엄밀히는 비정상 유동이지만 수면이 천천히 내려가면($A_o \ll A_T$) 매 순간을 정상 유동으로 보아도 된다. 이것이 준정상(quasi-steady) 근사다. 수면이 내려가는 속도와 유출 유량을 연속 방정식으로 잇는다.

유도: 배수 시간

단면적 $A_T$인 탱크에서 $-A_T\dfrac{dh}{dt} = Q = C_d A_o\sqrt{2gh}$. 변수를 분리하면 $\dfrac{dh}{\sqrt h} = -\dfrac{C_dA_o}{A_T}\sqrt{2g}\,dt$.

$h_0$에서 $h$까지 적분: $2(\sqrt{h_0} - \sqrt h) = \dfrac{C_dA_o}{A_T}\sqrt{2g}\,t$. 따라서

$$t = \frac{A_T}{C_dA_o}\sqrt{\frac{2}{g}}\left(\sqrt{h_0} - \sqrt{h}\right), \qquad t_\text{전체} = \frac{A_T}{C_dA_o}\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$$

$\sqrt h$가 시간에 대해 직선으로 줄어들므로 $h(t)$는 아래로 볼록한 포물선이다. 준정상 근사의 오차는 대략 $(A_o/A_T)^2$ 정도로, 보통 무시할 만하다.

원통 탱크가 바닥 구멍으로 빠진다. 수위가 처음의 절반이 될 때까지 걸리는 시간은 전체 배수 시간의 몇 %일까?

$t\propto\sqrt{h_0} - \sqrt h$이므로 $1 - 1/\sqrt2 = 0.293$. 물이 깊을 때 빨리 빠지고, 거의 빈 뒤의 마지막 절반(높이)에 71 %의 시간이 든다. 시뮬레이터의 h–t 그래프에서 확인하라.

SIMULATOR

탱크 배수: h–t 실시간 그래프

정지 상태에서 수면의 흰 원을 끌어 처음 수위를 정한다

탱크 지름 D_T 구멍 지름 d

구멍 모양 (C_d)

빨리 감기

경과 시간 t—

수위 h—

분류 속력 V—

절반 높이까지 / 전체—

그래프의 점선은 해석해 $\sqrt h = \sqrt{h_0} - \tfrac{C_dA_o}{A_T}\sqrt{g/2}\,t$, 실선은 매 순간 토리첼리 식으로 수치 적분한 결과다. 해볼 것: ① 수위가 절반이 되는 순간 그래프의 주황 표시가 전체 시간의 29 % 지점인지 보라. ② 처음 수위를 4배로 하면 전체 시간은 2배다($\propto\sqrt{h_0}$). ③ 구멍 지름을 2배로 하면 시간은 1/4. 날카로운 구멍을 둥근 입구로 바꾸면 얼마나 빨라지는가?

지름 1.2인 원통 탱크에 물이 1.5 차 있다. 바닥의 날카로운 구멍(지름 3.0, $C_d$ = 0.61)으로 완전히 빠지는 데 , 수위가 절반이 되는 데 걸린다. 처음 유량은 이다.

(a) 수면이 바닥에서 2.00 m인 큰 탱크의 높이 0.50 m에 작은 구멍이 있다. 분류 속력과 바닥 도달 거리를 구하고, 같은 거리를 주는 다른 구멍 높이를 구하라. (b) 지름 1.20 m 원통 탱크에 물이 1.50 m 차 있다. 바닥의 지름 3.00 cm 날카로운 구멍($C_d$ = 0.61)으로 완전히 빠지는 시간과 수위가 0.75 m가 되는 시간은?

풀이 보기

전략 (a) 토리첼리 + 포물선 운동. (b) 준정상 배수 공식, $A_T/A_o = (D/d)^2$.

풀이 (a) $V = \sqrt{2(9.81)(1.50)} = 5.42$ m/s. 낙하 시간 $\sqrt{2(0.50)/9.81} = 0.319$ s → $x = 5.42\times0.319 = 1.73$ m ($= 2\sqrt{0.50\times1.50}$). $y(H - y)$가 같으려면 $y = 1.50$ m.
(b) $A_T/A_o = (120/3.00)^2 = 1600$. $t_\text{전체} = \dfrac{1600}{0.61}\sqrt{\dfrac{2(1.50)}{9.81}} = 1.45\times10^3$ s $= 24.2$ min. $t_{1/2} = t_\text{전체}(1 - 1/\sqrt2) = 425$ s.

(a) 5.42 m/s, 1.73 m, y = 1.50 m (b) 1450 s ≈ 24.2 min, 425 s ≈ 7.1 min

검토 $A_o/A_T = 1/1600$이므로 준정상 근사는 매우 정확하다. 실제 분류는 점성과 표면 장력으로 조금 덜 날아간다.

사이펀, 공동 현상, 에너지선과 수력 구배선

사이펀과 공동 현상 한계

사이펀(siphon)은 물이 가득 찬 관이 수면보다 높은 곳을 넘어 더 낮은 곳으로 물을 옮기는 장치다. 수면(1)과 출구(2)를 잇는 유선에 베르누이 식을 쓰면, 두 점 모두 대기압이므로 $V_2 = \sqrt{2g(z_1 - z_2)}$ — 토리첼리와 같다. 유량은 정점 높이와 상관없이 출구가 수면보다 얼마나 낮은지만으로 정해진다.

그러면 정점은 얼마든지 높아도 될까? 수면과 정점(C)을 잇는 베르누이 식에 $V_C = V_2$(같은 관 지름)를 넣으면

$$p_C = p_\text{atm} - \rho g(z_C - z_1) - \tfrac12\rho V^2 = p_\text{atm} - \rho g\,(z_C - z_2)$$

정점 압력은 정점이 출구보다 높은 만큼 대기압보다 낮다. $p_C$가 물의 증기압 $p_v$ 아래로 내려가면 물이 끓어 증기 기포가 생기고(공동 현상), 물기둥이 끊겨 사이펀이 멈춘다. 따라서 $z_C - z_2 \le (p_\text{atm} - p_v)/\rho g$ — 20 °C 물에서 약 10.1 m.

잘 작동하는 사이펀의 정점을 (출구는 그대로 둔 채) 1 m 더 높였다. 끊기지 않는다면 유량은?

마찰이 없으면 $V = \sqrt{2g(z_1 - z_2)}$에 정점 높이가 없다. 대신 정점 압력이 낮아져 끊길 위험이 커진다. 아래 시뮬레이터에서 정점과 출구를 끌어 보라.

SIMULATOR

사이펀: 벽을 넘겨 최대 유량을 뽑아라

정점과 출구의 흰 원을 끈다

물 온도

관 지름 관 속 압력 색

유량 Q—

정점 절대압 p_C—

증기압 p_v—

도전—

왼쪽 저수조의 물을 벽 너머로 옮긴다. 정점은 벽보다 0.4 m 이상 높아야 한다. 도전: 사이펀이 끊기지 않으면서 유량이 목표값 이상이 되게 하라. 해볼 것: ① 출구를 내리면 유량이 늘지만 정점 압력이 내려간다. 정점–출구 높이차가 약 10 m를 넘는 순간 끊긴다. ② 정점은 벽 바로 위로 낮게 둘수록 유리하다. ③ 물을 80 °C로 데우면 증기압이 47 kPa로 올라 한계 높이가 절반 가까이로 준다 — 뜨거운 물은 사이펀하기 어렵다. 한 번 끊기면 ‘다시 채우기’를 눌러야 한다.

20 °C 물(ρ = 998 kg/m³, $p_v$ = 2.34 kPa)을 지름 2.50 cm 관으로 사이펀한다. 출구는 수면보다 3.00 m 낮고, 정점은 수면보다 4.00 m 높다. 대기압 101.3 kPa. (a) 유속과 유량, (b) 정점의 절대 압력, (c) 출구 위치를 그대로 둘 때 정점을 수면 위 몇 m까지 올릴 수 있는가? 마찰은 무시한다.

풀이 보기

풀이 (a) $V = \sqrt{2(9.81)(3.00)} = 7.67$ m/s, $Q = \pi(0.025)^2/4\times7.67 = 3.77\times10^{-3}$ m³/s.
(b) $p_C = 101\,325 - (998)(9.81)(4.00 + 3.00) = 3.28\times10^4$ Pa (절대).
(c) $z_C - z_2 \le (101\,325 - 2339)/(998\times9.81) = 10.1$ m → 정점은 수면 위 $10.1 - 3.00 = 7.11$ m까지.

(a) 7.67 m/s, 3.77 L/s (b) 32.8 kPa(절대) (c) 수면 위 약 7.1 m

검토 실제로는 관 마찰로 유속이 더 작아 정점 압력이 조금 높지만, 물에 녹아 있던 공기가 증기압보다 높은 압력에서 먼저 빠져나와 실제 한계는 7.1 m보다 낮다. 사이펀 정점은 보통 수면 위 6–7 m 이내로 설계한다.

공동 현상은 어디서나 같은 조건

국소 압력이 증기압 아래로 내려가는 곳이면 사이펀 정점, 벤투리관의 목, 펌프 입구, 선박 프로펠러의 날개 뒷면 어디서든 기포가 생긴다. 기포가 높은 압력 영역으로 흘러가 터지면 강한 충격파가 금속 표면을 파먹는다. 12장의 NPSH는 펌프 입구에서 이 여유를 재는 양이다.

에너지선(EGL)과 수력 구배선(HGL)

관로를 따라 베르누이 식의 수두들을 그림으로 그리면 문제의 전체 모습이 한눈에 보인다. 기준면 위로 각 점의 위치 $z$(관 중심선), 여기에 압력 수두를 더한 높이, 또 속도 수두까지 더한 높이를 잇는다.

$$\text{HGL} = \frac{p}{\rho g} + z, \qquad \text{EGL} = \frac{p}{\rho g} + \frac{V^2}{2g} + z = H, \qquad \text{EGL} - \text{HGL} = \frac{V^2}{2g}$$

수력 구배선(hydraulic grade line, HGL)은 관에 피에조미터를 세웠을 때 액주가 오르는 높이, 에너지선(energy grade line, EGL)은 피토관 액주가 오르는 높이다.

기준면과 관 중심선(위치 수두 z). 관은 굵은 관 → 가는 관 → 올라간 굵은 관 → 노즐 순서다.
손실이 없으면 전수두가 일정하므로 EGL은 저수조 수면 높이의 수평선이다.
HGL은 EGL에서 그 구간의 속도 수두만큼 아래. 가는 관일수록 속력이 커서 HGL이 더 내려간다. 피에조미터 액주가 HGL까지 오른다.
노즐 출구는 대기로 나가는 자유 분류라 계기압이 0 — HGL이 관 중심선과 만난다. 남은 전수두는 모두 속도 수두다.

EGL·HGL 그리기. 관 중심선이 HGL보다 위에 있는 구간이 있다면 그곳의 압력은 대기압보다 낮다(부압).

EGL을 읽는 규칙

손실이 없으면 수평. 마찰이 있으면 흐름 방향으로 내려가고(기울기 = 단위 길이당 손실), 밸브·급확대 같은 곳에서 계단처럼 떨어진다. 펌프에서는 올라가고 터빈에서는 떨어진다(5장).

HGL을 읽는 규칙

EGL 아래 $V^2/2g$만큼. 관이 가늘수록 더 아래. 대기로 나가는 출구·저수조 수면에서는 HGL이 그 높이와 같다. 관이 HGL 위로 올라가면 부압, $p_v$ 아래로 갈 만큼 높으면 공동 현상.

SIMULATOR

관로를 따라 EGL·HGL 그리기

관 위의 흰 원(지름), 노즐 끝 원(출구 지름), 수면 원을 끈다

저수조 수면 H₀ 노즐 출구 지름 d_n 마찰·입구 손실 포함 (f = 0.02, K_입구 = 0.5) 피에조미터·피토관 액주

유량 Q—

출구 속력—

최저 계기압 (위치)—

총 손실 수두—

물(ρ = 998 kg/m³), 관 길이 약 35 m, 노즐 출구 높이 z = 1 m. 관 두께는 지름에 비례해 과장해 그렸다. 해볼 것: ① 언덕 위 가운데 관(z = 6 m)을 가늘게 하면 HGL이 관 아래로 내려가 부압(빨강)이 된다. ② 노즐 출구를 키우면 유량이 늘어 모든 관에서 HGL이 내려간다 — 출구 지름이 관로 전체의 압력을 정한다. ③ 손실을 켜면 EGL이 흐름 방향으로 기울고 출구 속력이 줄어든다. 손실을 켠 채 출구 지름을 키워 보면, 어느 순간부터 유량이 거의 늘지 않는다.

수면이 기준면 위 8.00 m인 큰 저수조에서 지름 10.0 cm 관이 나와 높이 3.00 m인 언덕(점 A)을 넘은 뒤, 기준면 높이(z = 0)에서 출구 지름 5.00 cm 노즐로 대기에 뿜어진다. 손실을 무시하고 (a) 출구 속력과 유량, (b) 점 A의 계기압, (c) EGL과 HGL의 높이를 구하라. 물 ρ = 1000 kg/m³.

풀이 보기

전략 수면 → 출구 베르누이로 $V_e$, 연속으로 관 속력, 그다음 수면 → A.

풀이 (a) $V_e = \sqrt{2(9.81)(8.00)} = 12.5$ m/s, $Q = \pi(0.0500)^2/4\times12.53 = 0.0246$ m³/s.
(b) 관 속력 $V = V_e(5/10)^2 = 3.13$ m/s, $V^2/2g = 0.500$ m. $p_A/\gamma = 8.00 - 3.00 - 0.500 = 4.50$ m → $p_A = (1000)(9.81)(4.50) = 44.1$ kPa.
(c) EGL = 8.00 m(어디서나). 관 속 HGL = 8.00 − 0.50 = 7.50 m, 출구에서 HGL = 0 m(중심선).

(a) 12.5 m/s, 0.0246 m³/s (b) 44.1 kPa (계기압) (c) EGL 8.00 m, 관 속 HGL 7.50 m

검토 언덕이 7.50 m(= HGL)보다 높아지면 A가 부압이 된다. 노즐이 없다면(출구 지름 10 cm) 관 속 $V^2/2g$가 8.00 m가 되어 HGL이 기준면까지 내려가므로, 3 m 언덕에서 계기압은 −29.4 kPa다. 노즐이 관로 전체의 압력을 높게 유지시킨다.

베르누이 방정식의 적용 한계

베르누이 방정식은 유체역학에서 가장 많이 쓰이고, 또 가장 많이 잘못 쓰이는 식이다. 네 가정 중 하나라도 크게 어긋나면 결과가 틀린다. 어디서 어긋나는지 감각을 기르자.

베르누이 방정식이 맞는 곳과 맞지 않는 곳. 고체 벽에서 떨어진 매끄러운 바깥 흐름은 거의 비점성이라 잘 맞는다.

점성(마찰)

긴 관, 좁은 틈, 벽 근처 경계층, 박리된 후류에서는 마찰 손실이 크다. 관로에서는 손실 수두 $h_L$을 더한 에너지 방정식 $\frac{p_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_L$을 쓴다(5·8장). 급확대부에서 압력이 '회복되리라' 기대하면 틀린다.

비정상

밸브를 갑자기 열고 닫을 때, 출렁이는 흐름에서는 국소 가속도 항이 남는다: $p_1 + \tfrac12\rho V_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac12\rho V_2^2 + \rho g z_2 + \rho\int_1^2 \frac{\partial V}{\partial t}\,ds$. 탱크 배수처럼 느린 변화라면 준정상 근사로 충분하다.

압축성

기체도 마하수가 작으면 밀도 변화가 작다. 정체점까지의 상대 밀도 변화는 약 $\tfrac12\text{Ma}^2$이므로 Ma < 0.3이면 5 % 미만이고 압력 차 오차는 약 2 %다. 그 이상이면 11장의 압축성 식을 쓴다.

압축성 효과를 정량적으로 보자. 등엔트로피 압축을 고려한 정확한 정체압은 $p_0/p = (1 + \tfrac{k-1}{2}\text{Ma}^2)^{k/(k-1)}$이다(11장). 이것을 전개하면

$$\frac{p_0 - p}{\tfrac12\rho V^2} = 1 + \frac{\text{Ma}^2}{4} + \frac{2-k}{24}\text{Ma}^4 + \cdots$$

첫 항 1이 베르누이(비압축) 결과다. 나머지가 압축성 보정으로, Ma = 0.3에서 2.3 %, Ma = 0.5에서 6.4 %다. 속력으로 환산한 오차는 그 절반쯤이다.

그래프 위를 끌어 마하수를 바꿔 보세요

마하수 Ma

MINI LAB파란 곡선: 비압축 베르누이로 계산한 동압에 대한 실제 압력 차의 비. 주황 곡선: 비압축 공식으로 추정한 속력과 실제 속력의 비. 초록 띠(Ma < 0.3)에서는 속력 오차가 1.1 % 이하다. 해면 공기에서 Ma = 0.3은 약 100 m/s(360 km/h)다.

"빠르면 압력이 낮다"의 오용

베르누이 식은 같은 유선 위 두 점을 비교한다. 종이 위로 바람을 불면 종이가 뜨는 현상을 흔히 베르누이로 설명하지만, 입에서 나온 분류는 대기압이다(곧은 유선!). 종이가 뜨는 진짜 이유는 분류가 휜 종이 면을 따라 휘면서 생기는 n 방향 압력 구배(1절)다. 날개의 양력도 "위쪽 길이 더 길어 빨리 가야 한다"는 설명은 틀렸다 — 9장에서 바로잡는다.

다음 중 두 점 사이에 베르누이 방정식을 그대로 쓸 수 있는 경우는?

짧고 매끄러운 수축 흐름은 손실이 작고 정상·비압축이다. 펌프는 축일, 긴 관은 마찰, 초음속은 압축성 때문에 각각 다른 식이 필요하다.

핵심 정리

유선 좌표계의 뉴턴 제2법칙: 유선 방향 $-\partial p/\partial s - \gamma\,\partial z/\partial s = \rho V\partial V/\partial s$, 수직 방향 $-\partial p/\partial n - \gamma\,\partial z/\partial n = \rho V^2/\mathcal R$. 유선이 휘면 곡률 중심 쪽으로 압력이 낮아지고, 곧은 유선을 가로지르면 정수압 분포다.
정상·비점성·비압축 유동에서 한 유선을 따라 $p + \tfrac12\rho V^2 + \rho g z = \text{const}$, 수두로 $p/\gamma + V^2/2g + z = H$. 비회전이면 유동장 전체에서 같은 상수.
정체압 $p_0 = p + \tfrac12\rho V^2$. 피토 정압관은 $p_0 - p$를 재서 $V = \sqrt{2(p_0-p)/\rho}$를 준다. 흐르는 유체의 밀도를 써야 한다.
연속 $Q = A_1V_1 = A_2V_2$과 결합한 차압 유량계: $Q = C_dA_2\sqrt{2\Delta p/\rho(1-\beta^4)}$. $C_d$는 벤투리 ≈ 0.98, 노즐 ≈ 0.96, 오리피스 ≈ 0.61.
토리첼리 $V = \sqrt{2gh}$, 오리피스 $Q = C_dA_o\sqrt{2gh}$. 준정상 배수 시간 $t = \frac{A_T}{C_dA_o}\sqrt{2/g}\,(\sqrt{h_0} - \sqrt h)$ — 절반 높이까지 전체의 29 %.
사이펀 유량은 출구 깊이만으로, 정점 압력 $p_C = p_\text{atm} - \rho g(z_C - z_\text{출구})$이 증기압보다 커야 한다(물 20 °C: 약 10 m). HGL = $p/\gamma + z$, EGL = HGL + $V^2/2g$. 관이 HGL 위면 부압.
적용 한계: 펌프·터빈(축일), 긴 관·경계층·후류(점성), 급변하는 흐름(비정상), Ma > 0.3(압축성), 회전 유동의 서로 다른 유선 사이.

연습문제

특별한 말이 없으면 $g = 9.81$ m/s², 손실은 무시한다. 물의 밀도는 문제에 주어진 값을 쓴다. 답이 ±1 % 이내면 정답이다.

개울에 L자 피토관을 흐름을 마주 보게 꽂았더니 관 속 물기둥이 수면보다 18.0 cm 높이 올라왔다. 피토관 입구 위치의 유속은?

관 입구는 정체점, 수면과 관 입구 사이는 정수압 분포다. 올라온 높이가 곧 속도 수두다.

$V^2/2g = 0.180$ m → $V = \sqrt{2(9.81)(0.180)} = 1.88$ m/s.

30.0 m/s로 부는 바람(ρ = 1.20 kg/m³)의 동압은? 이 바람을 정면으로 받는 벽의 정체점에서 계기압은 얼마인가(같은 값)?

$q = \tfrac12\rho V^2 = 0.5(1.20)(30.0)^2 = 540$ Pa. 정체점에서 $p_0 - p_\infty = q$이므로 계기압도 540 Pa.

뚜껑이 열린 큰 물탱크의 구멍이 수면보다 3.20 m 아래에 있다. 축류 수축부의 분류 속력은?

$V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(9.81)(3.20)} = 7.92$ m/s.

수평관의 지름이 8.00 cm에서 4.00 cm로 줄어든다. 물(ρ = 1000 kg/m³) 10.0 L/s가 흐르고, 굵은 쪽 계기압이 150 kPa이다. 가는 쪽 계기압은?

$V_1 = 0.0100/(\pi(0.08)^2/4) = 1.99$ m/s, $V_2 = 4V_1 = 7.96$ m/s. $p_2 = 150\,000 + 500(1.99^2 - 7.96^2) = 150\,000 - 29\,690 = 1.203\times10^5$ Pa ≈ 120 kPa.

해면 고도(ρ = 1.225 kg/m³)를 나는 비행기의 피토 정압관이 $p_0 - p$ = 4.50 kPa를 잰다. 비압축으로 보고 비행 속력은?

$V = \sqrt{2(4500)/1.225} = 85.7$ m/s (309 km/h). Ma ≈ 0.25이므로 비압축 가정이 타당하다.

지름 30.0 cm 덕트의 공기(ρ = 1.20 kg/m³)가 목 지름 15.0 cm인 벤투리관을 지난다. 입구와 목 사이 물 마노미터(ρ_w = 1000 kg/m³)의 액주차가 40.0 mm이고 $C_d$ = 0.98이다. 체적 유량은?

마노미터: $\Delta p = (\rho_w - \rho_\text{공기})gh \approx \rho_w g h$. 유량 식에는 공기 밀도.

$\Delta p = (1000)(9.81)(0.0400) = 392$ Pa (공기 밀도 보정은 0.1 %). $\beta = 0.5$: $V_2 = \sqrt{2(392.4)/(1.20\times0.9375)} = 26.4$ m/s. $Q = 0.98\times\pi(0.15)^2/4\times26.4 = 0.457$ m³/s.

지름 16.0 cm 관에 구멍 지름 8.00 cm 오리피스판($C_d$ = 0.61)이 있다. 물(ρ = 998 kg/m³) 20.0 L/s가 흐를 때 탭 사이의 차압은?

$A_o = \pi(0.08)^2/4 = 5.027\times10^{-3}$ m², $Q/(C_dA_o) = 6.52$ m/s. $\Delta p = \tfrac12\rho(1-\beta^4)(6.52)^2 = 0.5(998)(0.9375)(42.55) = 1.99\times10^4$ Pa.

수면이 바닥에서 1.60 m인 큰 탱크의 바닥 위 0.400 m 높이 옆면에 작은 구멍이 있다. 분류가 바닥에 닿는 수평 거리는?

$x = 2\sqrt{y(H - y)} = 2\sqrt{0.400\times1.20} = 1.39$ m. 같은 거리를 주는 다른 높이는 1.20 m다.

지름 80.0 cm 원통 탱크에 물이 1.00 m 차 있다. 바닥의 지름 2.00 cm 구멍($C_d$ = 0.62)으로 완전히 빠지는 데 걸리는 시간은?

$t = \dfrac{(D/d)^2}{C_d}\sqrt{\dfrac{2h_0}{g}} = \dfrac{1600}{0.62}\sqrt{\dfrac{2(1.00)}{9.81}} = 1.165\times10^3$ s ≈ 19.4 min.

지름 10.0 cm 관의 벤투리관(목 지름 5.00 cm)에 20 °C 물(ρ = 998 kg/m³, $p_v$ = 2.34 kPa)이 흐른다. 입구 계기압이 50.0 kPa로 유지되고 대기압이 101.3 kPa일 때, 목에서 공동 현상이 시작되는 유량은? (이상 유동, $C_d$ = 1)

목의 절대압이 $p_v$가 되는 조건. $p_1 - p_2 = \tfrac12\rho V_2^2(1-\beta^4)$.

$p_1 - p_2 = 151\,325 - 2339 = 148\,990$ Pa. $V_2 = \sqrt{2(148\,990)/(998\times0.9375)} = 17.8$ m/s. $Q = \pi(0.05)^2/4\times17.85 = 0.0350$ m³/s.

60 °C 물(ρ = 983.2 kg/m³, $p_v$ = 19.94 kPa)을 사이펀한다. 출구는 수면 아래 2.00 m, 대기압 101.3 kPa(101 325 Pa). 사이펀이 끊기지 않는 정점의 최대 높이(수면 기준)는?

$z_C - z_2 \le (101\,325 - 19\,940)/(983.2\times9.81) = 8.44$ m → 수면 위 $8.44 - 2.00 = 6.44$ m.

회오리바람 바깥 영역을 자유 와류 $V = C/r$(비회전)로 본다. 반지름 50 m에서 풍속이 40.0 m/s이다. 공기(ρ = 1.20 kg/m³)의 반지름 500 m 지점과 50 m 지점 사이 압력 차는?

비회전 유동이므로 서로 다른 유선(동심원) 사이에도 베르누이 상수가 같다. 500 m에서 V = 4.00 m/s.

$\Delta p = \tfrac12\rho(V_{50}^2 - V_{500}^2) = 0.6(1600 - 16) = 950$ Pa. n 방향 식 $dp/dr = \rho V^2/r$을 적분해도 같다.

저수조 수면이 노즐 출구보다 15.0 m 높다. 지름 12.0 cm 관 끝에 출구 지름 6.00 cm 노즐이 있다. 관 위의 점 B는 노즐 출구보다 6.00 m 높다. 손실을 무시할 때 B의 계기압은? (ρ = 1000 kg/m³)

$V_e = \sqrt{2(9.81)(15.0)} = 17.2$ m/s, 관 속 $V = V_e/4 = 4.29$ m/s, $V^2/2g = 0.9375$ m. $p_B/\gamma = 15.0 - 6.00 - 0.9375 = 8.06$ m → $p_B = 79.1$ kPa.

Ma = 0.60으로 나는 비행기(k = 1.4)의 피토 정압관 차압을 비압축 식 $V = \sqrt{2\Delta p/\rho}$(현지 정압 밀도 사용)에 넣으면, 속력을 실제보다 몇 % 크게 추정하는가?

$\dfrac{p_0 - p}{\tfrac12\rho V^2} = \dfrac{2}{k\text{Ma}^2}\left[\left(1 + \tfrac{k-1}{2}\text{Ma}^2\right)^{k/(k-1)} - 1\right]$ ($\tfrac12\rho V^2 = \tfrac k2 p\,\text{Ma}^2$ 이용).

$(1 + 0.2\times0.36)^{3.5} = 1.2755$. 비 = $\dfrac{2}{1.4\times0.36}(0.2755) = 1.0933$. 추정 속력/실제 = $\sqrt{1.0933} = 1.0456$ → 4.56 % 과대.

펌프 입구(1)와 출구(2) 사이에 $p_1 + \tfrac12\rho V_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac12\rho V_2^2 + \rho g z_2$를 쓸 수 없는 가장 큰 이유는?

베르누이 식은 두 점 사이에 에너지 출입이 없다는 전제다. 펌프는 양정 $h_p$만큼 EGL을 올린다(5장의 에너지 방정식).

관로의 어느 구간에서 관 중심선이 HGL보다 위에 있다. 이 구간에 대해 옳은 것은?

HGL − z = p/γ < 0. 피에조미터를 세우면 액주가 관까지도 오르지 못한다. 충분히 높으면 공동 현상이 생긴다.

개념 확인 퀴즈

수평면에서 반시계로 휘는 유선을 따라 물이 흐른다. 압력에 대해 옳은 것은?

$\partial p/\partial n = -\rho V^2/\mathcal R$(n은 중심 쪽). 바깥 압력이 높아야 입자를 안쪽으로 밀어 휘게 할 수 있다.

피토 정압관의 두 구멍이 각각 재는 것은?

앞 구멍은 흐름을 정지시키는 정체점, 옆 구멍은 흐름과 나란해 정압을 잰다. 차이가 동압 $\tfrac12\rho V^2$이다.

같은 차압을 주는 벤투리관과 오리피스판(같은 β)을 비교하면?

$C_d$ 0.98 대 0.61. 오리피스는 축류 수축 때문에 같은 차압에서 유량이 작고, 판 뒤 소용돌이로 압력을 거의 회복하지 못한다.

물을 가득 채운 원통 탱크가 바닥 구멍으로 비는 데 10분 걸린다. 물을 4배 높이로 채우면?

$t_\text{전체}\propto\sqrt{h_0}$. 물의 양은 4배지만 처음 유출 속력도 2배다.

정점이 매우 높은 사이펀이 끊기는 직접적인 원인은?

$p_C = p_\text{atm} - \rho g(z_C - z_\text{출구})$. 대기압이 물기둥을 약 10 m까지만 받쳐 줄 수 있다.